Краевые задачи для бесконечномерного параболического уравнения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I.ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОМЕРНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ /ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ПОДХОД/

§1.Теорема единственности

§2. Теорема существования и единственности

Глава II.ТЕОРИЯ ТЕПЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ.

§1.Поверхностные меры,соответствующие дифференцируемым мерам.

§2.Определение тепловых потенциалов

§3.Дифференциальные свойства тепловых потенциалов

§4.Непрерывность тепловых потенциалов

§5.Теорема о скачке.

§6.Тепловые потенциалы и /квази/характеристические операторы.

Глава III. РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ПРИ ПОМОЩИ ТЕПЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ.

§1.Интегральные уравнения

§2.Первая и вторая краевые задачи для уравнения теплопроводности в цилиндрической области с бесконечномерным основанием.

§3.Теорема о среднем для функций,удовлетворяющих /дифференциальному/ уравнению теплопроводности .III

В диссертации решаются первая и вторая краевые задачи в области гильбертова пространства для бесконечномерного параболического оператора второго порядка.

Изучение таких операторов представляет большой интерес по двум причинам.Во-первых,они естественно возникают в приложениях - евклидовой квантовой теории поля,статистической гидромеханике и в теории случайных процессов с бесконечномерным фазовым пространством; во-вторых,хотя они являются непосредственным обобщением соответствующих конечномерных операторов, однако их теория существенным образом отличается от конечномерной.

Исследование параболических и эллиптических операторов на бесконечномерных пространствах началось около 15 лет назад в работах Ю.Л.Далецкого [i] и Л.Гросса [2] ,которые,в частности, рассматривали задачу Коши для бесконечномерных параболических уравнений.В дальнейшем эта задача - как в пространствах функций,так и в пространствах мер - изучалась многими авторами /см.,например, [з] , [4] , [б] и др./.Первая краевая задача рассматривалась наиболее подробно для эллиптических операторов и их расширений / [2] , [б] , [?], [в] , [9] . [Ю] и др./; в параболическом случае лишь в работах [9 ] , [il] , [12] и [,38] .

При исследовании бесконечномерных уравнений в большей части работ применялась теория строго марковских процессов с бесконечномерным фазовым пространством,близких к диффузионным /см. [i] , [2] и др./.Использовались также метод парамет-рикса / [13] , [4] , [б] / и вариационный метод / [14] , l5] /.Теория потенциала была применена в работе [1б] в эллиптическом случае для цилиндрической области.

Изучение в диссертации теории тепловых потенциалов потребовало систематического использования свойств дифференцируемых мер /см. [l7] ,а также [l8] , [l9] / и соответствующих им поверхностных мер / [20] /.Применение теории потенциалов позволило,с одной стороны,новым методом решить первую краевую задачу,с другой стороны,впервые решить вторую краевую задачу,а также исследовать регулярность полученных решений.

Перейдем к изложению основных результатов.Диссертация состоит из введения и трех глав,разбитых на параграфы; внутри каждой главы нумерация теорем,лемм,формул и т.д. сквозная, причем римской цифрой обозначен номер главы,а арабской -очередной номер.

1.Далецкий Ю. Л.бесконечномерные эллиптические операторы и связанные с ними параболические уравнения,Успехи матем. наук,22,вып.4 /1967/,с.3 - 54.

2. Gross L.,Potential theory on Hilbert space,J.of Func.Anal., v.1,N22 (1967),p.123-181.

3. Фомин С.В.,Метод преобразования Фурье для уравнений в функциональных производных,Докл.АН СССР,181,Р4 /1968/,с.812-814.

4. Piech М.А.,A fundamental solution of parabolic equation on Hilbert space,J.of Func.Anal.,v.3,P1 (1969),p.85-114.

5. Шавгулидзе E.T.,0прямом уравнений Колмогорова для мер в гильбертовой шкале пространств,Вестн.Моск.ун-та.Матем., механ., 1978,№3, с. 19-28.

6. Бенткус В.-К.Ю.,Уравнения с постоянными коэффициентами в частных производных для обобщенных мер в бесконечномерном полупространстве,в сб.Дифференциальные уравнения и их применение,Вильнюс,1976,вып.16,с.9-39.

7. Фролов Н.Н.,К задаче Дирихле в гильбертовом пространстве, в сб.Теория вероятностей и матем.статистика,Киев,1970, вып.3,с.200-210.

8. Беляев А.А.,Решение задачи Дирихле в полупространстве гильбертова пространства с помощью потенциалов,Успехи матем. наук,37,вып.4 /1982/,с.143-144.

9. БеляевА.А.,Задача Дирихле в гильбертовом пространстве с мерой,в сб.Некоторые вопросы математики и механики,Изд-во Моск.ун-та,1У81,с.23-24.

10. Фролов Н.Н.,0 задаче Дирихле для эллиптического оператора в цилиндрической области гильбертова пространства,Матем. сборн.,92,Ш /1973/,с.430-445.

11. Фомин С.В.Дифференцируемые меры в линейных пространствах, Успехи матем.наук,23,!И /1968/,с.221-222.

12. Авербух В.И.,Смолянов 0.Г.,Фомин С.В.,Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах.1., Труды Моск.матем.о-ва,24,1971,с.133-174.

13. Смолянов 0.Г.,Анализ на топологических линейных пространствах и его приложения,М.,МГУ,1979.

14. Угланов А.В.,Поверхностные интегралы в банаховом пространстве, Матем.сборн.,110,^2 /1979/,с.189-217.

15. Дынкин Е.Б.,Марковские процессы,М.,Физматгиз,1963.

16. Скороход А.В.,06 однородных непрерывных марковских процессах, являющихся мартингалами,Теория вероятн.и ее примен., 8,Р4 /1963/.

17. Крылов Н.В.,0 первой краевой задаче для эллиптических уравнений второго порядка,Диффер.ур-я,3,№2 /1967/,с.315-326.

18. Го Х.-С.,Гауссовские меры в банаховых пространствах,М., Мир,1979.

19. Авербух В.И.,Смолянов 0.Г.Дифференцирование в линейных топологических пространствах,Докл.АН СССР,173,№4 /1967%,с.735-738.

20. Вентцель А.Д.,Курс теории случайных процессов,М.,Наука,1975.

21. Дубровский В.М.,0 некоторых свойствах вполне аддитивных функций множества и о предельном переходе под знаком интеграла,Изв.АН СССР.Сер.матем. ,9,1124 /1945/,с.311-320.

22. Гельфанд И.М. ,Виленкин Н.Я.,Обобщенные функции,вып.4,М., Физматгиз,1961.

23. Elson C.M.,An extension of Weyl's lemma to infinite dimensions ,Trans, of Amer.Math.Soc.,v.57,N§1 (1977),p.56-67.

24. Piech M.A.,Smooth functions on Banach spaces,J.Math.Anal, and Appl.,v.57,№1 (1977),p.56-67.

25. Goodman V.,A divergence theorem for Hilbert space, Trans.of Amer.Math.Soc.,v.164 (1972),p.411-426.

26. Pemique M.Z.,Int£grabilite des vecteurs Gaussiens, С.R.Acad.Sci.,Paris,270,ser. A (1970),p.1698-1699.

27. Беляев А.А.,Интегральное представление функций,гармонических в области гильбертова пространства,Вестн.Моск.ун-та. Матем.,механ.,198I,^6,с.44-47.

28. Неве Ж.,Математические основы теории вероятностей,М.,Мир, 1969.

29. Угланов А.В.,0 делении обобщенных функций бесконечного числа переменных на многочлены,Докл.АН СССР,264,№5 /1982/,с.1096-1099.

30. Данфорд Н.,Шварц Дк.,Линейные операторы,т.1,М.,ИЛ,1962.

31. Бенткус В.-К.Ю.,Эллиптичность бесконечномерного итерированного оператора Лапласа,ч.I,Лит.матем.сборн.,19,И /1979/,с.13-28,ч.II,там же,20,Щ /1980/,с.3-13.

32. Норин Н.В.,Задача Дирихле для уравнения теплопроводности относительно функций на банаховом пространстве,в сб.Некоторые вопросы математики и механики,Изд-во Моск.ун-та, I98I,c.40-4I.

33. Шавгулидзе Е.Т.,Метод параметрикса для уравнений относительно мер в бесконечномерных пространствах,в сб.Некоторые вопросы математики и механики,Изд-во Моск.ун-та,1981, с.47-48.

34. Норин Н.В.,Краевые задачи для бесконечномерного параболического уравнения,рукопись депонирована в ВИНИТИ АН СССРW- 3458-83 Деп.от 27 июня 1983 г., 15 с.

35. Норин Н.В.,Тепловые потенциалы на гильбертовом пространстве, Матем.заметки,354 /1984/,с.531-548.