О некоторых свойствах параболических и несамосопряженных эллиптических функционально-дифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

Варфоломеев Евгений Михайлович

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ И НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук ,

Москва 2007

003056653

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и математической физики факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор А. Л. Скубачевский.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В. Л. Треногин,

кандидат физико-математических наук, доцент А; В. Разгулин.

Ведущая организация:

Московский энергетический институт (технический университет).

Защита состоится * 27" апреля 2007 г. в 14 часов 30 мин. на заседании диссертационного совета К.501.001.07 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119992, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, 2-й учебный корпус, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат разослан аХЪ " И^рти 2007 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета кандидат физико-математических наук,

доцент

В. М. Говоров

Актуальность темы

Параболические функционально-дифференциальные уравнения, содержащие отклонения по переменной времени, рассматривались в работах G. Di Blasio, К. Kunisch и Е. J.Sinestrari', К. Kunisch и W. J. Shappacher2, S.Nakagiri3, O.J.Staffans4, J. Wu5. Наиболее общий случай таких уравнений с переменными запаздываниями в старших производных исследовался В. В. Власовым6,7.

Краевые задачи для параболических дифференциально-разностных уравнений со сдвигами по пространственным переменным изучались в работах А. Л. Скубачевского и Р.В.Шамина8'9, Р. В. Шамина10, А. Л.Скубачевского и A.M.Селицкого".

В настоящей диссертации рассматриваются параболические функционально-дифференциальные уравнения, содержащие произвольные преобразования пространственных переменных. Такие задачи возникают в нелинейной оптике.

В нелинейных оптических системах с преобразованием поля в двумерной обратной связи возникают различные регулярные периодические явления, которые называют многолепестковыми волнами12'13. Эти явления могут использоваться для оптических методов передачи, обработки и хранения информации. Математической моделью некоторого класса таких оптических систем является вторая смешанная задача для квазилинейного параболического функционально-дифференциального уравнения "с преобразованием пространственных переменных:

+ и(х, t) = DAu(x, t) + К{\ +ycos(u(g(x), t))),

du

dv

= °> Ult=€ = u°(x)>

9QxR

(1)

где х £ <5 С К2,4 е К, и(х, () — фазовая модуляция световой волны, Б > О, К,7 — некоторые постоянные величины, д — преобразование пространственных переменных, V = {и, 0), а V — единичный вектор внешней нормали к Возникновение многолепестковых волн происходит в результате бифуркации периодических решений задачи (1) в окрестности

'Di Blasio G., Klinisch К., Sinestrari E. J. Math. Anal. Appl.. 1984. V. 102, № 1. P. 38-57.

2Kumsch K., Shappacher W. J. Differential Equations. 1983. V. 50, № 1. P. 49-79.

3Nakagiri S. Osaka J. Math. 1988. V. 85. P. 353-398.

4Staffans O. J. Differential Equations. 1985. V. 58, № 2. P. 157-191.

5Wu J. Differ. Integral Equ. Appl. 1991. V. 4, № 6. P. 1325-1351.

6Власов В. В. Мат. сборник. 1995. Т. 186, № 8. С. 67-92.

'Власов В. В. Тр. мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1999. Т. 227. С. 109-121.

8Скубачевский А. Л., Шамин Р. В. Мат. заметки. 1999. Т. 66, № 1. С. 145-153.

'Sharnin R. V., Skubachevskii A. L. Fund. Differ. Equ. 2001. V. 8. P. 407-424.

10Шзмин P. В. Мат. сборник. 2003. T. 194, № 9. С. 141-156.

"Селицкий А. М., Скубачевский А. Л. Успехи мат. наук. 2007. Т. 62, №.1. С. 207-208.

,2Воронцов М. А., Думаревский Ю. Д., Пруидзе Д. В., Шмальгаузен В. И. Изв. АН СССР. Физика. 1988.

Т. 52, № 2. С. 374-376.

"Voronisov M. A., íroshmkov N. G., Abernathy R. L. Chaos Solitons Fractals. 1994. V. 4. P. 1701-1716.

пространственно-однородного стационарного решения w = const, определяемого соотношением w = К(1 + 7 cos tu).

Задача (1) изучалась в целом ряде работ. А. В. Разгулиным14, а также А. Ю. Колесовым и Н.Х.Розовым'5 рассматривалась одномерная модель на окружности, в которой преобразование пространственных переменных g являлось поворотом на некоторый угол.

B.А.Чушкиным и A.B.Разгулиным'6 была решена задача на отрезке, где преобразование g являлось отражением пространственной переменной относительно центра отрезка. А. В. Разгулиным17 был исследован случай, когда пространственная область Q — круг, а преобразование д — поворот на некоторый постоянный угол. Е. П. Беланом18 рассматривался случай, когда область Q — круг, а преобразование g является суперпозицией преобразований поворота и радиального сжатия. Случай произвольной области Q с гладкой границей и невырожденного взаимно-однозначного преобразования g & С3 общего вида изучался А. Л. Скубачевским19'20 в предположении, что линеаризованный эллиптический функционально-дифференциальный оператор L : V(L) С Ьг{СЦ) —» Lz{Q) задачи (1) вида

(Lu)(х) — £>(Ли)(х) - u(x) - Kju(g(x))siaw

С областью определения V{L) — {и S W^Q) : (du/du) = 0} является нормальным. Кроме того, А. Л. Скубачевским2' были получены необходимые и достаточные условия нормальности таких операторов. Без предположения нормальности оператора L для произвольной области Q с гладкой границей и достаточно гладкого невырожденного взаимно-однозначного преобразования g общего вида А. Л. Скубачевским22 было доказано существование бифуркации периодических решений задачи (1) методами исследования бифуркации Андронова—Хопфа в бесконечномерном случае23,24. Е. П. Беланом25 при таких же предположениях об операторе L, области Q и преобразовании g методом центральных многообразий были получены условия существования и устойчивости бифуркационных решений задачи (1), а также формулы для определения их топологических свойств. А. В. Разгулиным26 была изучена задача управления преобразованием пространственных переменных g в случае, когда Q — произвольная область с гладкой границей, а преобразование g задано в обобщенном виде с помощью некоторого функционала и, вообще говоря, не является обратимым.

"Разгулян А. В. Журн. выч. мат. и мат. физ. 1993. Т. 33, № 1. С. 69-80.

|5Колесов А. Ю., Розов H. X. Теор. и матем. физ. 2004. Т. 140, № 1. С. 14-28.

16Чушкин В. А., Разгулин А. В. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2003. Т. 2.

C. 13-20.

l7Razgulin А. V. Chaos in Optics. Proc. SPIE, ed. R. Roy. 1993. V. 2039. P. 342-352.

18Белан E. П. Дифф. уравн. 2004. T. 40, K° 5. С. 645-654.

|9Скубачевскин А. Л. Успехи мат. наук. 1996. Т. 51, № 1 (307). С. 169-170.

20Skubachevskii A. L. Nonlinear Anal. 1998. V. 32, № 2. P. 261-278. ;

21Скубачевский А. Л. Функц. анализ и его прилож. 1997. Т. 31, № 4. С. 60-65.

22Скубачезский А. Л. Дифф. уравн. 1998. Т. 34, № 10. С. 1394-1401.

23Crandalt M. G., Rabinowitz P. H. Arch. Rat. Mech. Anal. 1978. V. 68. P. 53-72.

24Da Prato G., Lunardi A. Ann. Inst. Henri Poincare. 1986. V. 3. P. 315-329.

25Белан E. П. Ученые записки ТНУ. Сер. мат. мех. внформ. и киберн. 2002. Т. 2. С. 11-23.

26Разгулин А. В. Докл. РАН. 2005. Т. 403, № 4. С. 448-451.

Цель работы

Целью диссертационной работы является: 1) обобщение задачи (1) на случай конечного числа произвольных преобразований пространственных переменных и получение условий бифуркации периодических решений такой задачи; 2) получение условий нормальности линеаризованного эллиптического функционально-дифференциального оператора такой задачи; 3) исследование разрешимости первой и второй смешанных задач для линейных параболических функционально-дифференциальных уравнений, содержащих конечное число преобразований пространственных переменных.

Новизна результатов

1. В диссертации впервые получены достаточные условия бифуркации периодических решений квазилинейных параболических функционально-дифференциальных уравнений, содержащих конечное число произвольных преобразований пространственных переменных. Рассмотрены два случая: когда линеаризованный эллиптический функционально-дифференциальный оператор задачи является нормальным, и когда нормальность указанного оператора не предполагается. Ранее такие задачи рассматривались только для случая одного преобразования пространственных переменных (см. сноски 14-20, 22-26).

2. Получены необходимые и достаточные условия нормальности линейных эллиптических функционально-дифференциальных операторов, содержащих конечное число произвольных преобразований пространственных, переменных. Известные ранее результаты касались случая одного преобразования пространственных переменных (см. сноску 21).

3. Доказаны существование и единственность обобщенных решений первой и второй смешанных задач для линейных параболических функционально-дифференциальных уравнений, содержащих конечное число преобразований пространственных переменных. Предполагается, что эллиптический функционально-дифференциальный оператор, входящий в состав уравнений, является нормальным. Указан конструктивный способ построения решений методом Фурье.

Во всех случаях преобразования пространственных переменных предполагаются достаточно гладкими, невырожденными и взаимно-однозначными.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы (40 наименований). Общий объем диссертации —119 страниц.

В первой главе изучается нормальность линейных эллиптических функционально-дифференциальных операторов, .содержащих конечное число произвольных преобразований пространственных переменных. Доказывается, что при некоторых условиях оператор указанного типа является нормальным тогда и "только тогда, когда преобразования пространственных переменных являются коммутирующими ортогональными преобразованиями. Для всех введенных условий строятся контрпримеры, показывающие их существенность.

Во второй главе исследуется разрешимость первой и второй смешанных задач для линейных параболических функционально-дифференциальных уравнений, содержащих конечное число преобразований пространственных переменных. Эллиптический функционально-дифференциальный оператор, входящий в уравнение, предполагается нормальным, что эквивалентно существованию базиса из собственных функций такого оператора. Используются условия нормальности линейных эллиптических функционально-дифференциальных операторов, полученные в первой главе, согласно которым преобразования пространственных переменных должны принадлежать некоторому классу преобразований. Методом Фурье доказывается существование обобщенных решений в анизотропных пространствах Соболева. Доказывается единственность обобщенных решений.

Третья глава посвящена изучению бифуркации периодических решений квазилинейных параболических функционально-дифференциальных уравнений, содержащих конечное число преобразований пространственных переменных. Рассматриваются два случая. В первом случае преобразования пространственных переменных предполагаются принадлежащими классу преобразований, соответствующему условиям нормальности линеаризованного функционально-дифференциального оператора задачи (используются результаты, полученные в первой главе). С помощью метода Фурье и теоремы о неявном операторе доказывается существование периодических решений, бифурцирующих из стационарного решения. Во втором случае предполагаются лишь ограниченность операторов, содержащих преобразования пространственных переменных. Методами исследования бифуркации Андронова—Хопфа в бесконечномерном случае (см. сноски 23,24) доказывается существование бифуркационных решений в пространствах Гельдера.

Содержание диссертации

Глава 1. Нормальность линейных эллиптических функционально-дифференциальных операторов

Пусть <2 С К" — ограниченная область с границей <9$ е С°°, п ^ 2. Обозначим г = 1,...,И, N ^ 2, взаимно-однозначные преобразования класса С3, такие что

■ д{ : К С Г -» д,{У) С К", х £ V,

где V — ограниченная область, <3 С V, Jg¡{x) = [дд^/дх^^ — матрица Якоби преобразования ди 14(.т)| = |(Мг = 1,.,ЛГ. Будем предполагать, что выполнено следующее условие:

' ЗАО) с<г, i = l,...,N.

Введем неограниченный оператор

А0 : Т>(А0) С 12{Я) -> Ацо = Ьо

с областью определения Т>(А0) = {•« е : Ву = 0}. Здесь обозначает про-

странство Соболева комплекснозначных функций, принадлежащих Ьг((?) вместе со всеми

обобщенными производными вплоть до порядка к включительно, оператор Bv = t/j^Q или Bv = {dvjdv)\sQ задает краевые условия, a v — единичный вектор внешней нормали к 8Q в точке х € dQ. Как известно, оператор Аа — самосопряженный. Рассмотрим оператор

N

A:V{A)CL2{Q)->L2{Q), A = Ao + Y,AÍ,

i=i

где Ai, i = 1,...,TV —ограниченные линейные операторы преобразования переменных, определенные на всем пространстве по формуле

Ai ■■ L2{Q) L2(Q), A¡v(x) = а(о{&{х)),

где a¡ 0 — вещественные числа, i = 1,..., N. Положим V(A) = V(Ao).

Неограниченный оператор Т называется нормальным, если он замкнут, определен на плотном множестве, V{TT*) = Т>(Т*Т) = V и TTv = T*Tv для всех v 6 V.

Введем множества G™ = {х е Q : д?{х) Ф х}, тп = 1,2,..., i = 1,..., N. Здесь д™(х) обозначает преобразование g¡, примененное тп раз. Будем записывать суперпозицию преобразований в виде ffiflj(s), д^зА1) и т- Д-

Введем несколько условий, которые будут использоваться при формулировке теорем. Пусть О ^M^N.

Условие 1.1. a¿ Ф 0 для любого подмножества К. с {1,..., М}, Кф 0. •ек

Условие 1.2. g¡(х) ф для п. в. х 6 Q и всех i,j = 1 ,...,N, гф j.

Условие 1.3. Щ aiaj Ф 0 ^ля любых ау е {0, ±1, ±2}, не равных одновременно нулю. 1

1 <jiN i <j

Справедливы следующие теоремы (см. §1.2). Теорема 1.1. Пусть G^. / 0 и

1. Если оператор А — нормальный и выполнены условия 1.1 и 1.2 при М — N, то

д^х) = К,х + Ьи xdQ, i — l,...,N, (1.1)

где Ki — ортогональные матрицы размера пхп, Kf ф Е, 6¡ G R".

2. Если выполнено свойство (1.1) и

gigAx) = íw¡(z), xeQ, . i,j = i,...,N, (1.2)

то оператор А — нормальный.

3. Если выполнены условия 1.1, 1.2 и 1.3 при М - ]\Г, то оператор А является нормальным тогда и только тогда, когда выполнены свойства (1.1) и (1;2).

Теорема 1.2. Пусть й], = 0, г = 1,..., N. Тогда д^О) = 6?, г = 1, и справедливы следующие утверокдения.

/. Если оператор А — нормальный и выполнено хотя бы одно из условий 1.1,1.2 при М = Ы, то

¡4(1)1 = 1, хеЯ, » = 1,...,лг, (1.3)

а оператор А является самосопряженным.

2. Если выполнено свойство (1.3), то оператор А ~ самосопряженный.

Теорема 1.3. Пусть й]. Ф 0 и #(<2) = <2, г = 1,..., М, а также = 0, г = М+1, ..., N. Тогда 5) = Я, г = М + 1,..., Ы, и справедливы следующие утверждения.

1. Если оператор А — нормальный и выполнены условия 1.1 и 1.2, то

д,{х) = К{х + Ьг, же <2, ¿=1 (1.4)

14(г); = 1, хеЯ, | = АГ + 1,...,ЛГ1 (1.5)

где К, — ортогональные матрицы размера пхп, К? Ф Е, е К".

2. Если выполнены свойства (1.4) и (1.5), а также

= .те я, г = \ ,...,М, = (1.6)

то оператор А — нормальный.

3. Если выполнены условия 1.1, 1.2 ы 1.3, то оператор А является нормальным тогда и только тогда, когда выполнены свойства (1.4)—(1.6).

Результаты теорем 1.1-1.3 обсуждаются в §1.3: полученные результаты сравниваются с известными ранее для случая одного преобразования переменных (см. сноску 21); приводятся примеры преобразований вида (1.5); доказываются некоторые конструктивные условия, достаточные для выполнения условия 1.3. Существенность используемых условий обоснована примерами 1.4, 1.6, 1.8 и 1.9 (см. §§1.5, 1.7).

Глава 2. Смешанные задачи для линейных параболических функционально-дифференциальных уравнений

Рассмотрим линейное параболическое функционально-дифференциальное уравнение

= д + + МеПг (2.1)

1=1

с краевыми условиями первого либо второго рода

ди

(2-2)

(2.3)

и начальным условием

и1е=о = хеЯ.

(2.4)

Здесь <2 С 1" - ограниченная область, дЯ 6 С00, Пт = <3 х [О,Г], Гг = дЦ х [0,2], ? — единичный вектор внешней нормали к Гг, а\,...,а1} е К, / е Ь2(Ит), V е ¿2^), а 01,...,<?лг —некоторые преобразования переменных. Будем также использовать обозначение = {<}, так что <2о = <2-

Будем предполагать, что неограниченный линейный оператор А: 2>(Л) С -»■ ¿2(<3) с областью определения 1>(А) = {« е 1У|((2): Ви = 0}, действующий по формуле

является нормальным. (Здесь оператор Ви — или Ви = \ди/ди)^ задает краевые условия первого или второго рода.)

Условие 2.1. Преобразования взаимно-однозначны, принадлежат классу глад-

кости С3, имеет место &(<2) = <2, |</й(х)| ф 0 (х € Я), г = 1,..., Ы, а также

г = 1,...,М, (% = 0, г = М + 1,

(См. определения главе 1.)

Условие 2.2. Преобразования д1,...,дц при всех х 6 <2 удовлетворяют соотношениям

где Ki — ортогональные матрицы размера пхп, К? ^ .Е, Ь, £ К™.

Применяя теорему 1.3, получим следующие результаты. Теорема 2.1.

1. Пусть выполнены условия 2.1 и 2.2. Тогда, оператор А — нормальный.

2. Пусть выполнены условия 2.1 и 1.1-1.3. Тогда условие 2.2 эквивалентно нормальности оператора А.

N

{Аи)(х) = Аи(х) +

д{(х) = КгХ + 6,-, г = 1,..., М, ¡4(ж)| = 1, г = М + 1,...,^,

Будем считать, что условия 2.1 и 2.2 выполнены, следовательно, оператор А является нормальным.

Через \У\{0) обозначим замыкание в И^ф) множества финитных бесконечно дифференцируемых функций С00((2).

о

Определение 2.1. Не равная тождественно нулю функция и € №¡¡{(¡1) (и £ Ж,1 ((2)) называется обобщенной собственной функцией оператора А с краевыми условиями Ви = и1э<Э = ® = = ")> соответствующей собственному значению Л б С, если

для любой функции у 6 (« е выполняется интегральное тождество

J ( УиУи - | Лх = — А Jиьйх.

Далее под собственными функциями будем понимать обобщенные собственные функции. Справедлив следующий результат.

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия 2.1 и 2.2. Тогда в Ьг{0) существует ортонор-мированный базис, состоящий из собственных функций оператора А.

Введем анизотропное пространство Соболева ^'"(Оу) функций, принадлежащих Ь2(ПГ) вместе со своими обобщенными производными первого порядка по переменным ..., х/у

Это гильбертово пространство со скалярным произведением

у

(и, г>),у1.°(ад = I (УиУи + то) ¿хМ = у (и, и^адСЙ.

Пг О

Введем также следующие подпространства:

^(пг) = {«е^1(пг):и)<гг=.0}1

= {« е И^(Пг): «|Гг = 0, «¡^ = 0}.

Определение 2.2. Назовем функцию и е (и е ^'"(Пг)) обобщенным ре-

шением задачи^(2.1), (2.2), (2.4) (задачи (2.1), (2.3), (2.4)), если для любой функции V е Щвфт) (V 6 И^Пт)) выполняется интегральное тождество

пт ^ '=1 ' . о, Ят

В §§2.4, 2.5 получен следующий результат о разрешимости задач (2.1), (2.2), (2.4) и (2.1), (2.3), (2.4).

Теорема 2.3. Пусть выполнены условия 2.1 и 2.2. Тогда для любых / € ЬгСФг), Ч> € ¿2(<3) существует единственное обобщенное решение и 6 (и £ ^'"(Фг))

задачи (2.1), (2.2), (2.4) (задачи (2.1), (2.3), (2.4)), которое представляется в виде ряда

00

и{х4) =

где

т

uk(t) = ^c +1 ex^fk(t)dt, о

fk(t)= J f[x,t)ek{x)dxdt, щ ~Jtp{x)ek[x)dx,

nT Q

a ek, A* ~ собственные функции и собственные значения оператора А с краевыми условиями Ви = м|0 = 0 (Bu - (du/dv)\eQ = 0). Ряд сходится в lV21,0(i2r), и справедлива оценка

!H!w'.°(r!T) ^ с (llvlkw) + ИЛксад) ■

Глава 3. Бифуркация периодических решений квазилинейных параболических функционально-дифференциальных уравнений

1. Рассмотрим квазилинейное параболическое функционально-дифференциальное уравнение с конечным числом преобразований переменных в младших членах:

Здесь х 6 Q, t 6 К, Q С К" (п ^ 2) — ограниченная область с границей dQ G С00; D > О, К,7i,...,7jv 6 R —постоянные коэффициенты, не равные нулю; & : V —► <?i(V) — взаимно-однозначные преобразования, V 6 R", Q CV.

Уравнение (3.1) рассматривается с краевыми условиями Неймана

£1 =0, (3.2)

где v = (i/,0), а ¡/ — единичный вектор внешней нормали к dQ в точке х. Условие 3.1. gt(Q) С Q, д{(х) ф х {х G Q), г = 1,..., N.

Условие 3.2. Операторы Gt : LP(Q) —> LP(Q), (Giu)(x) =и(д{(х)), i — 1,..., JV, ограничены.

Решение и/ задачи (3.1), (3.2) называется пространственно-однородный стационарным решением, если оно не зависит от х е <2 и ( 6 К. Оно удовлетворяет трансцендентному уравнению

N

= + 7<сози>). (3.3)

. 1=1

Л лг ^

Условие 3.3. 1 + .К^тСй £ 7; ^ О, где ш — решение уравнения (3.3) для К — К.

<=1

Будем рассматривать К как бифуркационный параметр. Положим К = К + х. Пусть ■ш = удовлетворяет уравнению (3.3) для К — К-{-к и и>(0) = 2). Представим решение задачи (3.1), (3.2) в виде и(х,Ь,х) = ги(х) + и(х, ¿, х). Уравнение (3.1) примет вид

VI = ¡{у, я),

^ N

где /(и,х) = 1?Дг)-« + (А" + г<) ^7;(соз(ш(гг) + 1)^) -созги(х)).

¿—1

Очевидно, /„(О, х)к = ОАу - V - (К + к) бшЦх) ]Г)

«=1

Введем оператор Л(х): Т>(А(к)) С ЬР(Я) -> £,,(<?) с областью определения Х>(Л(х)) = {г/ е Жр2((?) .- (<%/<Эг/)|ад = 0} по формуле Л(х) = Д,(0,х). Обозначим Л0'= Л(0). Ясно, что

N

А0У = РА У -V — К 8ш V) -у,уд..

1=1

Обозначим через АДх) = 53(х) + гша(х), в = 1,2,..., собственные значения оператора Л(х).

Условие 3.4. При х = 0 существуют в точности два простых чисто мнимых комплексно сопряженных собственных значения А^О) = ш, Аг(0) = -гш оператора Ло : Х>(Л0) с Ьр(<2) -> 1Р(<Э), так что 5Ц0) = 52(0) = 0, и>1(0) = -ш2(0) = ш. При этом выполнено ш > 0 и

дх

¿0.

к=0

2. Будем предполагать, что линеаризованный эллиптический функционально-дифференциальный оператор Л0 : 2?(Л0) С £2(<3) -+ ЫЯ) с областью определения Р(Л0) = {а 6 ^(ф) : (ди/ду))^ = 0} является нормальным. Поскольку нормальность оператора Ло эквивалентна нормальности оператора Л0 4-1, применим теорему 1.3 совместно с условиями 2.1 и 2.2 и получим следующие результаты.

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия 2.1 и 2.2. Тогда оператор Ло — нормальный.

Условия 2.1 и 2.2 определяют класс допустимых преобразований ди...,дн в задаче (3.1), (3.2) в предположении, что оператор Л0 : Т>{А0) с Ь2{Я) -> Ь2(<5) нормальный. Очевидно, такие преобразования будут удовлетворять также условиям 3.1, 3.2.

Пусть Пт = <Э х (О,Т). Обозначим через И^фг) пространство функций из 1/г(Пг)> таких что все их обобщенные производные вплоть до второго порядка по а; и первая обобщенная производная по 4 принадлежат пространству Ьг(От)- Это банахово пространство с нормой

Ч

+ |£>(«|21 сыг \ .

Введем подпространство

W^Un*, = {« 6 W}1^ : = 0, uU = «и}.

Введем новую переменную времени т = u>Qt, где ы = ш(х) — неизвестная частота. В §3.4 доказана следующая теорема.

Теорема 3.2. Пусть выполнены условия 3.3, 2.1, 2.2, 3.4. Тогда для некоторого £о > О существует непрерывная вектор-функция е н» (г)(е),ш(е), к(е)) из [—е0,£о] в И^(П21т)х R х Е. Эта функция аналитическая на интервале (-e0l £0) и удовлетворяет условиям

и(0) = 0, w(0) = l, х(0) = 0.

Функция u(x,t,e) = ги(я(е)) +v(x,r,e) является 2ж{ши(е))~1 -периодическим по t решением задачи (3.1), (3.2), где г = oj(s)Qt.

3. Откажемся от предположения нормальности оператора Л0 : 2?(Л0) С Li(Q) -»L%{Q)-Будем предполагать, что преобразования <?i,...,9jv в задаче (3.1), (3.2) удовлетворяют лишь условиям 3.1, 3.2. ■

Обозначим через С£Я(Х) пространство всех cr-непрерывных по Гельдеру 27г-периоди-ческих функций нормой

\Ы\сих) = вщ, ЫШх + sup

0<t^2ir 0<s<t<2>r (t — S)"

где X — вещественное банахово пространство, 0 < cr < 1.

Пусть Cl£(X) — пространство дифференцируемых функций <р: К-> X, таких что \р и (р' принадлежат С%Ж(Х)- Это банахово пространство с нормой

Мс''"«)= sup HvWk + ll<p'llcj,(x)-

Обозначим через CV{Q) пространство Лебега вещественнозначных функций, абсолютно интегрируемых в области Q с показателем р, а через Wp(Q) — пространство Соболева вещественнозначных функций, принадлежащих £P(Q) вместе со своими обобщенными

производными вплоть до порядка к. Введем подпространство >^^(<3) = {г> £ И^ф) :

' Положим т = ии}(х)Ь, где и(н) — неизвестная частота. В §3.5 получена следующая теорема.

Теорема 3.3. Пусть выполняются условия 3.1, 3.2, 3.3, 3.4. Зафиксируем а £ (0,1) и р > га/2.

Тогда существуют е0 > 0 и аналитическая вектор-функция е н-» (и(£),ы(е),х(е)) из (-е0, е0) в С'?Ж(П>£„(<2)) ПС^ОСрСЭ)) х К х 1, такая что «(О) = 0, Ц0) = 1, х(0) = 0 и ь(е) не постоянна по г при е ^ 0.

Функция и(1,£,е) = м^е)) + у(х,т,е) является 2тт{и}ш(е))~1-периодическим по I решением задачи (3.1), (3.2), где т = При этом ш(е) = 1 + ё2ш2 + + ...,

х(е) = е2к2 + е3хз + • ■ • •

Более того, существует 50 > 0, такое что если я,й £ К и V £ С^гО^д^С?)) п С1х(£р{Я}) удовлетворяют условиям

. . йт = (2ш)_1/(у>*)> ген,

то существуют в £ [0,2п) и е £ (-£о,£о), такие что ~х — к{е), ш = ш(е), Ъ{х,т) = у(х, т +.в,е).

Апробация

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинаре кафедры общей математики факультета ВМиК МГУ под руководством академика Е. И. Моисеева; на семинаре физико-математического факультета МГУ под руководством проф. А. Г. Костюченко, проф. В. В. Власова и проф. К. А. Мирзоева; на семинаре кафедры математического моделирования МЭИ (ТУ) под руководством проф. Ю. А. Дубинского и проф. А. А. Амосова; на семинаре кафедры прикладной математики-1 МИИТ под руководством проф. А. Д. Мышкиса; на семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математической физики РУДН под руководством проф. А. Л. Скубачевского.

Результаты диссертации докладывались также на 4-й Международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям, Москва, 2005; Крымских осенних математических школах-симпозиумах, Симферополь, 2004,2005,2006; ХШ Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии, Москва, 2006; Всеукраинской научной конференции молодых ученых и студентов по дифференциальным уравнениям и их применениям, посвященной 100-летнему юбилею Я. Б. Лопатинского, Донецк, 2006.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах, библиографическое описание которых дается ниже.

Литература

1. Варфоломеев Е. М. Нормальность некоторых эллиптических функционально-дифференциальных операторов с конечным числом преобразований переменных// XLII Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии: Тезисы докладов. Секции математики и информатики. РУДН, Москва, 2006. С. 16.

2. Варфоломеев Е. М. Нормальность эллиптического функционально-дифференциального оператора с двумя преобразованиями переменных// Spectral and evolution problems. Труды 16-й Крымской осенней математической школы-симпозиума. 2006. Т. 16. С. 118122.

3. Варфоломеев Е. М. О бифуркации Андронова—Хопфа для параболических функционально-дифференциальных уравнений с преобразованиями переменных в младших членах// Тезисы докладов Всеукраинской научной конференции молодых ученых и студентов по дифференциальным уравнениям и их применениям, посвященной 100-летнему юбилею Я. Б. Лопатинского. ДонНУ, Донецк, 2006. С. 27-28.

4. Варфоломеев Е. М. О нормальности некоторых эллиптических функционально-дифференциальных операторов второго порядка// Успехи мат. наук. 2006. Т. 61, № 1. С. 173-174.

5. Варфоломеев Е. М. О некоторых свойствах эллиптических и параболических функционально-дифференциальных операторов, возникающих в нелинейной оптике// Современная математика. Фундаментальные направления. 2007, февраль. Т. 21. С. 5-36.

6. Varfolomeyev Е. М. On the normality of some elliptic functional differential operators// The Fourth International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Steklov Math. Institute, Moscow, 2005. P. 80-81.

7. Varfolomeyev E. M. On the existence of orthonormal basis consisting of eigenfunctions of elliptic functional differential operators// Funct. Differ. Equ. 2006. V. 13, № 2. P. 267-304.

Подписано в печать -/37 <93. 07. Формат 60x84/16. Тиражей? экз. Усл. печ. л. . 4 Заказ

Типография Издательства РУДН 117923, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3

1 Нормальность линейных эллиптических функционально-диф-ференциальных операторов

1.1 Постановка задачи

1.2 Необходимые и достаточные условия нормальности

1.3 Комментарии

1.4 Вспомогательные утверждения

1.5 Доказательство теоремы

1.6 Доказательство теоремы

1.7 Доказательство теоремы

2 Смешанные задачи для линейных параболических функцио-нально-дифференциальных уравнений

2.1 Постановка задачи

2.2 Спектральные свойства эллиптического функционально-диф-ференциального оператора

2.3 Формальное решение методом Фурье

2.4 Существование обобщенных решений

2.5 Единственность обобш,енных решений 802- -

3 Бифуркация периодических решений квазилинейных парабо-лических функционально-дифференциальных уравнений

3.1 Постановка задачи

3.2 Линеаризация

3.3 Спектральные свойства линеаризованного оператора

3.4 Бифуркация периодических решений

3.5 Бифуркация Андронова—Хопфа

1. в настоящей диссертации изучаются кЕ?азилинейные параболическиефункционально-дифференциальные уравнения, содержащие конечное число преобразований пространственных переменных, а также соответствующие линеаризованные эллиптические и параболические функциональнодифференциальные операторы.Параболические функционально-дифференциальные уравнения, содержащие отклонения по переменной времени, рассматривались в ряде работ, см. [29-31, 36, 40]. Наиболее общий случай таких уравнений с переменными запаздываниями в старших производных исследовался в работахВ.В.Власова [8, 9].Краевые задачи для параболических дифференциально-разностных уравнений со сдвигами по пространственным переменным изучались в работахА. Л.Скубачевского, Р. В. Шамина и А М.Селицкого [17, 21, 25, 34].В диссертационной работе рассматриваются параболические функционально-дифференциальные уравнения, содержащие произвольные преобразования пространственных переменных. Такие задачи возникают в нелинейной оптике.В нелинейных оптических системах с преобразованием поля в двумерной обратной связи возникают различные регулярные периодические яв- 5 ления, которые называют многолепестковыми волнами [10, 39]. Эти явления могут использоваться для оптических методов передачи, обработки ихранения информации. Математической моделью некоторого класса такихоптических систем является вторая смешанная задача для квазилинейногопараболического функционально-дифференциального уравнения с преобразованием пространственных переменных:ди01(1)= 0,где .г € (? С М ,^ f 6 М, w(.r,/)— фазовая модуляция световой волны,D > О, /\',') —некоторые постоянные величины, /; —преобразование пространственных переменных, i/ = (г/, 0), а // — единичный вектор внешнейнормали к OQ. Возникновение многолепестковых волн происходит в результате бифуркации периодических решений задачи (1) в окрестностипространственно-однородного стационарного решения w = const, определяемого соотношением w = Л'(1 -}- 7С()ь w).В настоящей диссертации рассматривается обобщение задачи (1) на- 7 случай конечного числа произвольных достаточно гладких невырожденных взаимно-однозначных преобразований пространственных переменных,а также исследуется нормальность линеаризованного эллиптического функционально-дифференциального оператора такой задачи и разрешимостьпервой и второй смешанных задач для линейных параболических функционально-дифференциальных уравнений.2. Диссертация состоит из введения и трех глав.Для задач (2),(3),(5) и (2), (4), (5) введены понятия обоб1ценных рещений в пространствах Соболева (§2.1). Доказаны существование (§2.4) иединственность (§2.5) обобщенных рещений задач (2), (3), (5) и (2), (4), (5).Указан конструктивный метод получения рещений в виде разложения вряд по базису из собственных функций оператора Л (§2.3), доказана сходимость рядов к обобщенным решениям в анизотропном пространстве Соболева (§2.4).Кроме того, в диссертации получены достаточные условия бифуркациипериодических решений задачи (6), (7) без предположения нормальностиоператора Л (§3.5), Для этого используются методы исследования бифуркации Андронова—Хопфа в бесконечномерных задачах, развитые в работах Крэндалла, Рабиновица [27] и Да Прато, Лунарди {28]. Такой подход позволяет рассматривать преобразования пространственных переменных г/1 , г/л из более широкого класса.3. Результаты диссертации опубликованы в работах [3-7, 37, 38].Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались насеминаре кафедры общей математики факультета ВМиК МГУ под руководством академика Е.И.Моисеева; на семинаре физико-математического факультета МГУ под руководством проф. А. Г. Костюченко, проф.В.В.Власова и проф. К.А.Мирзоева; на семинаре кафедры математического моделирования МЭИ (ТУ) под руководством проф. Ю. А. Дубинскогои проф. А.А.Амосова; на семинаре кафедры прикладной математики-1МИИТ под руководством проф. А. Д. Мышкиса; на семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математической физики РУДЫ под руководством проф. А. Л.Скубачевского.Результаты диссертации докладывались также на 4-й Международнойконференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным- 1 2 уравнениям, Москва, 2005; Крымских осенних математических школахсимпозиумах, Симферополь, 2004, 2005, 2006; XLII Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии, Москва,2006; Всеукраинскои научной конференции молодых ученых и студентовпо дифференциальным уравнениям и их применениям, посвященной 100летнему юбилею Я.Б. Лопатинского, Донецк, 2006.

1. Белам Е. П. О бифуркации периодических решений в параболическом функционально-дифференциальном уравнении// Ученые записки ТНУ. Сер. мат. мех. информ. и киберн. 2002. Т. 2 С. 11-23.

2. Белан Е. П О взаимодействии бегущих волн в параболическом функционально-дифференциальном уравнении// Дифф. уравн. 2004. Т. 40, № 5. С. 645-654.

3. Варфоломеев Е. М. Нормальность эллиптического функционально-дифференциального оператора с двумя преобразованиями переменных// Spectral and evolution problems. Труды 16-й Крымской осенней математической школы-симпозиума. 2006. Т. 16. С. 118-122.

4. Варфоломеев Е. М. О нормальности некоторых эллиптических функционально-дифференциальных операторов второго порядка// Успехи мат. наук. 2006. Т. 61, № 1. С. 173-174.

5. Варфоломеев Е. М. О некоторых свойствах эллиптических и параболических функционально-дифференциальных операторов, возникающих в нелинейной оптике// Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. Т. 21. С. 5-36.

6. Власов В. В. О разрешимости и свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве// Мат. сборник. 1995. Т 186, № 8. С. 67-92.

7. Власов В. В. О разрешимости и оценках решений функционально-дифференциальных уравнений в пространствах Соболева// Тр. мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1999. Т. 227. С. 109-121

8. Воронцов М. А., Думаревский Ю. Д., Пруидзе Д. В., Шмальгау-зен В. И. Автоволновые процессы в системах с оптической обратной связью// Изв. АН СССР. Физика. 1988. Т. 52, № 2. С. 374-376.И. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

9. Колесов А. Ю., Розов Н. X. Оптическая буферность и механизмы ее возникновения// Теор. и матем. физ. 2004. Т. 140, № 1. С 14-28.

10. Лионе Ж. Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

11. Разгулин А. В. Об автоколебаниях в нелинейной параболической задаче с преобразованным аргументом// Журн. выч. мат. и мат. физ. 1993. Т. 33, № 1. С. 69-80.

12. Разгулин А. В. О параболических функционально-дифференциальных уравнениях с управляемым преобразованием пространственных аргументов// Докл РАН. 2005. Т. 403, № 4. С. 448-451.

13. Рудин У. Функциональный анализ. М: Мир, 1975.

14. Селицкий А. М., Скубачевский А. Л. Вторая краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения// Успехи мат. наук. 2007. Т. 62, № 1. С. 207-208.

15. Скубачевский А. Л. О некоторых свойствах эллиптических и параболических функционально-дифференциальных уравнений// Успехи мат. наук. 1996. Т. 51, № 1 (307). С. 169-170.

16. Скубачевский А. Л. О нормальности некоторых эллиптических функционально-дифференциальных операторов// Функц. анализ и его при-лож. 1997. Т 31, № 4. С. 60-65.

17. Скубачевский А. Л. О бифуркации Хопфа для квазилинейного параболического функционально-дифференциального уравнения// Дифф уравн. 1998. Т. 34, № 10. С. 1394-1401.

18. Скубачевский А. Л., Шамин Р В. Первая смешанная задача для параболического дифференциально-разностного уравнения// Мат. заметки. 1999 Т. 66, № 1. С. 145-153.

19. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

20. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

21. Чушкин В. А., Разгулин А. В. Стационарные структуры в функционально-дифференциальном уравнении диффузии с отражением пространственного аргумента// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15 Вы-числ. матем. и киберн. 2003. Т. 2. С. 13-20

22. Шамин Р. В. О пространствах начальных данных для дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве// Мат. сборник. 2003. Т. 194, № 9 С. 141-156.

23. Agmon S. On the eigenvalues and on the eigenfunctions of general elliptic boundary value problems// Comm. Pure Appl. Math. 1962. V. 15. P. 119-147.

24. Di Blasio G., Kunisch K., Sinestrari E. L2-regularity for parabolic partial integrodifferential equations with delay in the highest-order derivatives// J. Math. Anal. Appl. 1984. V. 102, № 1. P 38-57.

25. Kunisch К , Shappacher W. Necessary conditions for partial differential equations with delay to generate Co-semigroup// J. Differential Equations. 1983. V. 50, № 1. P. 49-79

26. Nakagiri S. Structural properties of functional differential equations in Banach spaces// Osaka J. Math. 1988. V. 85. P. 353-398.

27. Pazi A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. New York: Springer-Verlag, 1983.

28. Razgulin A. V. Rotational multi-petal waves in optical system with 2-D feedback// Chaos in Optics. Proc SPIE, ed. R. Roy. 1993. V. 2039. P. 342-352.

29. Shamin R. V., Skubachevskii A. L. The mixed boundary value problem for parabolic differential-difference equation// Funct. Differ. Equ. 2001. V. 8. P. 407-424.

30. Skubachevskii A. L. Bifurcation of periodic solutions for nonlinear parabolic functional differential equation arising in optoelectronics// Nonlinear Anal 1998. V. 32, № 2. P. 261-278

31. Staffans O. Some well-posed functional equations which generate semigroups//J. Differential Equations. 1985. V. 58, № 2. P. 157-191.

32. Varfolomeyev E. M. On the normality of some elliptic functional differential operators// The Fourth International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Steklov Math. Institute, Moscow, 2005. P. 80-81.

33. Varfolomeyev E. M. On the existence of orthonormal basis consisting of eigenfunctions of elliptic functional differential operators// Funct. Differ. Equ. 2006. V. 13, № 2. P. 267-304.

34. Vorontsov M. A., Iroshnikov N. G., Abernathy R L. Diffractive patterns in nonlinear optical two-dimensional feedback system with field rotation// Chaos Solitons Fractals. 1994. V. 4. P. 1701-1716

35. Wu J. Semigroup and integral form of a class of partial differential equations with infinite delay// Differ. Integral Equ Appl. 1991. V. 4, № 6 P. 1325-1351.