Спектральная асимптотика несамосопряженных эллиптических операторов в Rn тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Ж1СТЕРСТБ0 ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ТАДЖИКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕШШЛ УНИВЕРСИТЕТ

Специализированна совет К 065,01.02

На правах рукописи :ДК 517.9

-ВОБОКМОНОВА ДИЛРАБО МТШЛОЕВНА

■СПЕКЕРАЛЬЕАЯ АСИМПТОТИКА НБСАНОООИРЯЖЁННЫХ •ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ В

01.01,02 - дифереяциальчыэ уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени калдидата физико-математических каук

ДУкАКВЕ - 1Э34

Работа выполнена з ¡¡нсглтуте математики с ВЦ Академии наук Республики Тзджлиютш!

Научные руководители - член-корреспондект АН РТ, доктор физкко<

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор М.К.ШУСИ, кандидат физико-математических наук, профессор Н.УСГ.1АН0Б.

Ведущая организация - ИосновскиГС инясенерно-физичэскиА институт

[а заседании специализированного совета К 065.CI.02 по [рисукдзнига . ученой степени кандидата физико-матемагическиг аук в Таджикском Госунтаерситете (7340Я5, Дукан^о, проспект удаки, 17).

С диссертацией шгяо ознакомиться в научноП биЗлпот'еко адкикекого Госуниверсктета.

Автореферат разослан " I ^ 1 у) 159-1 г.

Учений секретарь специ&л.12проеанисI'С совета, кандидат физ,-мат. наук,

математических наук, профессор К.Х.БОЗЖГОВ, кандидат физико-математических наук С .А.ИСХОДОВ.

Защита состоится

„3 „ ц^-Т ^)

ОБЩАЯ' ХАРАКТЕРИСТИКА РАЕОМ

Актуальность теш. При решении многих задач механики, физики, техники, кристаллографии и ряда других областей существенную роль играет спектральная теория линейных операторов, относящаяся как к самосопряженным так и к несамосопряженным операторам.

Вопросам спектральной теории эллиптических дифференциальных операторов заданных в неограниченных областях посвящено большое количество статей, опубликованных с конца 50-х годов по ■-настоящее время (сц.работы (1)-(3), где имеется библиография). Спектральные асимптотики общих самосопряжённых эдлвдтигаерких операторов б , К изучались в ряде работ последнего времени» Срёди них рабмы

A.Г.Ксстэченко, М.А.Шубина, В.И.Туловского, В.И.Зейгина, С, 3. Левей-

* '* .» -

" дорского, КД.Боймагова, ДО.О.Сгедбаава, С.йсзгоаова, .В.И.Безяеза,

B.Ю.Киселева, В .Б.москатели и М. Томпсона, С.А.Сцагша, Н.Метивье, Д.Робера, А Мущки, Фам Гхе Лая, Г.В.Рсзёнблом2 и других. '•./'':" -

Несмотря на то, что спектральные. св'ойсздеа сашсопряжекных операторов исследована достаточна.полно*,"слейтральнув аоимдтотику несамосопряженных эллиптических операяороа в \ « \, удавалось вычислить лтъ для д^ертгщалъющоператоу^ов вида , ;

А-МЕ+5), - (I)

(1) БойттовК Д,// Труда оеыинера им.И,Г.ПетроЕског<):, 1981, •г.7, с.¡50-3X0, ' у,9, с.240-263; 1©4^ *Д0> С.

(2) Левендорсгий С.З. У/ Успехи йат.к.| 1238, т.43, Р I, с.123-157. '■-'"'■ V.' :" ' V

(3) гозенблш Г.В. * Солоияк М.2., £убш /¿Д. Спехтт/альная ; теорм да^еренциалы-шх операа'оррв// Итоги адуки и тесники.Совр. прсбл.катеквтики. $унд.направления,-. г.£4, с,1-233. : -

Цель работ. Для широкого класса эллиптически дифференциальных операторов в неприводящнхся к виду (I), шчислить ух спектральную'асшштот1Лу; исследовать вопросы полноту собственных ¡1 присоединенных, функций; изучить условия дискретности спектра; получить интегральное представление фикции Грина параболического уравнения и

Метод'исследования. Основными методами исследования являются современные методы функционального анализа и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Используется метод Титч- -марта модифишфованный К.Х.Бойматовчм. Широко применяется метод

ГП -векториальных операторов, теорёш о следах, о полноте собственных и присоединенных функций несал:осопряженнш: операторов. Научная новизна. Новыми Являются следующие результаты:

- для широкого класса дифференциальных операторов заданных в КП и нэприводящихся к виду (IV, получено интегральное представление оператор-функции

, о<Ъ.<"Ь0

- ксследован'ы асимптотические свойства опзратор-функции (I) при, %б + ; . •

- выделены условия дискретности спектра оператора А ;

- вычислена спектральная асимптотика оператора А ;

- кайденн условия полноты собственных и присоединенных фунпцлЯ , оператора А ,

Теоретическая и практ:гчаокая ценность. Исследования, ссдэр»

пациеся в диссертации, носят теоретически характер. От: могут наРте пр1Шбйвчй'е--в теория параболических ¿равненкй с растут» ксэ$флцкен1&ка зодаянш-д в неограниченных областях., ъ зизУ'Х-рйлмоЯ

теории несамссопряяенних эллиптических операторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на научно-исследовательском семинаре отдела "Функционального анализа" Математического института с ВЦ АН Таджикистана с участием доктора физ.-мат. наук Я.Т.Султанаевьы (1991 г.); на Республиканской нвучно-практическсй конференции молодых ученых и специалистов Таджикистана (г.Душанбе, октябрь 1992 г.); на научном семинаре кафедры высшей математики «¿®К (рук. доктор физ.-мат.наук, профессор Н.В.Нирошин, 1993 г.); на объединенном научном сеыинаре отделов "Функционального анализа" и "Вычислительной математики" Института математики с ВЦ АН РТ (рук. член-корр., доктор физ.-мат. наук, проф. К.Х.Бойматов, доктор физ.-иат. наук Г.Джангибеков, 1994 г.); на объединенной заседании кафедр функционального анализа и дифференциальных уравнений, математического анализа и теории функций, высыей математики механико-математического ф-та ТГУ (преде, член-корр. АН РТ, доктор физ.-ыат. наук, проф. К.Р.Радяа-бов, 1994 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы три научные статьи, список которых приведен 2'конце настоящего автореферата.

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена

на II9 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав и списка литературы. Библиография насчитывает 62 наименования. .

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении к диссертационной работе обосновывается акту- ■ альчость поставленных задач, дается исторический обзор, формули-

- б -

пу'зтся делъ юследовак::'', кратко излагается основное содержали? раСоти.

В первой глоое (55 1-4) усследуетзл интегрально6 представление йуннцп;' Гр.-ла пг^абол^геского уравнения с гладкими коэффициента;-::

| (г,х) =- А.и (1;,ас), О <"Ь < Ъо

[и(о,х) = д(х) , (2)

где А дифференциальны!* оператор вида ¡о-Мр^т

г сблссть»! определения и Н " Ьг ( Я ) , СП - СОГ^

• Б первом параграфе пр.ш едены обозначения и сфорыуигроканн основные результаты главы.

Рэс.смс-трг;^ и пространстве Н ~ Ь (Г<П) дифференциальный оператор

(А0и)(сс)- ^ 0^(аАр(х) и(зс)), (иесГ(1*п)),

Обозначен

Я(Х,3)= 2 аХр(х)5А5р, а(х,5) = Яе & (х,8). Предположи, что пьшс.гагчк сл^дутд/.е у с пег.-л

1> аАр(1)еСт(а";1).

И) 3 С > О адтоб, что а (х.Б) > С ¡б)гт, (У т,3 е Я").

III) Чйт^ llm А (я,5)! ja"1(x,S)j = о

равномерно пс S G Rn\ {0} .

Пусть А - азмшсяние в Ц оператора ' ¡v-

А* = А о + cj, (х), D (А1) = СГ (Rn).

Предполагается, что выполнены следующие условия

IV) q(x)<s С1 (Rn;€), р(ос) ^ Re о,(х)И,

!lniq(x)¡ ^ Ар(х),

в

] vq(x)| ^ Мр (ос), о <0< f.

j.-e е б

V) |<Uplx))« Мрш *(х), |7аАр(зс)*Мрта(х), е>о,

уп Elm p(x) = -i- «о .

Х-Л-ЧО I

Строятся специальные разбиения единицы пространства R с определенным!-, свойствами | , ^(^^j.4** , К» {,2,... Вводится оператор-функция ч

ЗД) =+f et(t) ^ «fy (t) ipLj, o<t <t0,

Ul j=1

где i( ~ разбиение единицы интервала ( 0 , f/2 ).

Основные результаты первой главы заключается в слздуюцеы: Теорема I. Пусть выполнены условия I) - У). Тогда наЯдется с.юло t0>0 такое, что ггрк любом д(&)еН решение задачи (2) сут.;зст?ует ;; ед;шстзенко в массе

. С (Co,t0); Н) П С ((o,t0); Н() П С1 ((o,t0); Н),

- у -

где ~ есть пополнение О (А) по норме

1И,-(1Н2 + |и|2),/г .

знак I I обозначает норду в пространстве

Теорема 2. Пусть выполнены условия тесремн I, тогда наП-дотся число "оо> 0 такое, что справедливо интегральное представление ^

о

где оператор-Функц/л Ф(и) по операторной норме удовлетворяет оценке

|(ВД| =5 МГ* , 0< зе с 1 .

Теорема 3. Пусть выполнены условия .1/ - УХ). Тогда оператор- Л - Л Е имеет непрерывны?! обратный при некотором А € С . Спектр оператора А ччето точечный о ед^шетвенной предель -ной точкой "а бесконечности. ■ -

Параграфы 2-4 посвящена доказательству теорем 1-3 , Вторая глава (§§ 5-7) посвящена спектральной асимптотике эллиптических дифференциальных операторов, где существенную роль играет интегральное представление задачи Коши для параболэтескогс .уравнения и применяется соответствующая тауберова теорема.

3 5 5 даётся формулировка основных результатов второй глень;. Введём функцто

^(А) = к (X;х,3) с1а:г1б ,

где к (Х',Х,5) обозначает характеристическую функцию шолостеа

{(х,5)с ЯП* : а(х,Э) + р(х)< Л} .

Пусть выполнены следующие услов

ш)|1т У Л Ке X

щ wpl-m |jLi*|p|-fn

где число /ч , не зависит от X £ Rn , ^ 6 С (|cL| = m).

УШ) существует таксе число р > п/2ГЛ :: число Ц, > О

что для все" Я.> 1 выполняются неравенства

ХР<МЦ)(М, Lp (А) ^ МЛ4", где Л < tg р , р = 'min (tf/2q,, иг/2) .

Основным результатои второй главы является Теорзмв 4. Пусть выполнены ¿словил !) - • УШ) . Тогда оператор А ' теет дискретный спектр и его система корневых векторов полна в пространстве Н . Если при этой Vp(,2A.) 0(Ч>1М) и выполнено тауберово условие

ipUb^U), CK —-too),

где vp (А) - некоторая неубывающая функция, то ниеет место асимптотическая формула N ( А) ~ {"к),

где N (X) =•• ^ 1 , Х,Д2, ... -собственные

Re Aj «S Л

значения оператора А , занумерованные по аорядку возраста

пул их юдулеП с учётом idc алгебраической кратность.

Замьчаяиь. 5 условиях аэореиы 4 необязательно , чтобы ихело место соотаопен^е

. £im arg - о . J

3 асимптотической формула, полученной s данной главе участвует ъсг коэффициента оператора А

3 > С получз:ш оценки ьори некоторых вспомогательны?; одера-'iCi-it^HH^Ht' и г. 5 ч лр.-.йсде;>о коаааэугльстзо теорему 4.

- .10 -

Е третьей главе . ( §§ 3 - 12 ) изучается спектральная асимптотика несамосопряжённьге эллиптических диференциальннх опе- ' раторов с растущими старшими коэффициентами.

В § 8 сформулирован основной результат треть-, i главы. ^ Пусть функции аАр (Х) (|<Л| = | р|= т) удовлетворит условиям :

1. (х) s api. (х). -

2. |dVp(x)|« MO + lxlf, a>o ,

3.(i+fxi)2m+e X S ад.рФ§*1р» e>0'

хде число M не зависит от ОС G Rn , (|<Jlj = m). •

Пусть Функция q,(x)e Loo,eoc Rn . удовлетворяет следующим усж^кям :

4. р(х) = Re q(x)sH q,(x} = 0(|x|a) , |1тЯДж)Н Лр(зс).

0= min (зТ/2, зтт/п).

Обозначим через W замыкание Cq (R") по норме

||u||=( Y S.. «д-р(®)D*-U{«)ВРU)dx4-$ p№)U¡(x)|2dx)b.

|A|»|p|=m *

Вил1ле?ная форма

X. Sftnai?(x)D¿'U(x)D-0U'(JC)dx +

W-Ißl-m

- и - .

+ JRn с^(зс) Ütx) ÜTx) tíx

о областью определения D [Л] = W плотно определена, замкнута :i еекториалька в . L^(R°) • Следовательно, существует единственный m -секториальниГ' оператор А со свойствами

Л[u,а] = (Au.ir), I> (A) cD (Л).

Теорема 5. Оператор А ассоциированный с билинейной формой $ [U,и] имеет дискретный спектр у для его функции распределения собственных значений справедлива асимптотическая формула

N (А) ~ 6 ЛП/2т, А —-+<=*=?, . ,

где

6-(2jr)*nmes2n{(£c,S)eRn^Rn: £ aJLp(a:)Sd,sP< \). •

. В процесса доказательства торремы й применяется метод возмущения слнгулярныа потенциалом (БСП), разработанный в работах КД.Бой-ыатсва, н здключалцяйск в следузощо/л: дчфференциалышЛ оператор Aq возмущает сингулярным потенциалом ty (X) . С помощью результатов второй главы исследуется спектральная асимптотика возмущенного оператора А0+ £{,(!£) , а сама функция CJ, (X) подбирается

таким образом, чтобы ока. не влияла на азишготкцу функции распре-дглоння собственных значений N (А) ..

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах :

1. Абдуллаева ( Бобокалонова ) Д.Ф. , БоЯматов К.Х. Спектральная астштотика несамосопрякённых эллиптических операторов в Я11 . - УЖ, вып. 5(275), т.45, 1990, с. .177-1®

2. Бобокалонова , Гадоев М.Г. Спектральная асимптотика несамосопряжённых эллиптических систег дифференциальных операторов во всём пространстве. - ДАН Республики Таджикистан, т.36, Р I," 1993,

р. 5 - 9.

3. Бобокэлскова Д.5. Об асимптотике спектра несамосопряжённых

систем второго порядка до всем пространстве. - Материалы конференции молодых учёных и специалистов Таджикистана, "1992 г. '

»

Автор считает своим приятным'долгом выразить глубокую благодарность научным руководителям'член-корр. АН Республики-Тадаиккстан, дэйтору фпз.-мат.наук»'профессору К.Х.Бойматову и канд.физ,-мат.наук С.Ксхокову за постановку задачи /ценные советы и постояннее внимание к работе,