Некоторые уравнения с бесконечномерными псевдодифференциальными операторами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ЕВЕЩЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОБ ОБРАТИМОСТИ БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬ

БЫХ ОПЕРАТОРОВ.

§ I. Псевдодифференциальные операторы с символом специального вида .•••.

§ 2. Псевдодифференциальные операторы с символом, зависящим от одного аргумента

ГЛАВА II. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ С БЕСКОНЕЧНОМЕРШМИ ПСЕВДО

ДИФШЕРЕНЦИАЛЬНЫШ ОПЕРАТОРАМИ.

§ I. Существование решения в обобщённых мерах задачи

I *»,

Коши для некоторых эволоционных уравнений

§ 2. Эволюционные уравнения в пространстве функций на гильбертовом пространстве

§ 3. О корректности краевой задачи для системы уравнений с псевдодифференциальными операторами . 76 ДОПОЛНЕНИЕ. О ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРАХ, КОМШТИРУЩЙХ СО СВЁРТКОЙ

МЕР В БЕСКОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ.

В диссертации исследуются условия разрешимости задачи Коши для эволюционных уравнений с бесконечномерными псевдодифференциальными операторами (сокращённо ПДО) в правой части, строится класс корректности задачи Коши для системы уравнений, содержащих ПДО с постоянными коэффициентами, а также описываются некоторые классы обратимых ПДО.

Бесконечномерные псевдодифференциальные уравнения привлекают сейчас внимание по нескольким причинам.

Во-первых, такие уравнения естественно возникают в квантовой теории поля, статистической физике и статистической гидродинамике.

Во-вторых, к необходимости исследования этих уравнений приводит сама логика развития нелинейного функционального анализа.

Наконец, отметим, что методы и результаты исследований бесконечномерных уравнений существенно отличаются от конечномерных. Эти отличия связаны с тем, что в бесконечномерном пространстве отсутствует мера Лебега (см. [ЗЗ] ). Поэтому, в частности, уравнения, сопряжённые к дифференциальным уравнениям относительно функций, оказываются уравнениями относительно мер. Фактически на это обстоятельство впервые обратил внимание С.В.Фомин (см. [39] ), указавший, что понятие распределения в смысле Шварца в бесконечномерном ' пространстве расщепляется. Меры на таком пространстве' нельзя отождествить с обобщёнными функциями. Поэтому появляются два вида распределений: обобщённые функции - линейные непрерывные функционалы на основном пространстве гладких мер и обобщённые меры - линейные непрерывные функционалы на пространстве гладких функций(различные типы таких пространств построены в [3] , [-/ , [з в] ).

К настоящему времени опубликовано значительное число работ, посвященных исследованию ПДО и дифференциальных операторов в пространствах мер и функций на бесконечномерном пространстве,

В частности, такие операторы изучались в работах С.В.Фомина, Ю.М.Березанского, М.И.Вишика, Ю.Л.Далецкого, О.Г.Смолянова,В.Ю.Бе-нткуса, А.В.Угланова, Е.Т.Шавгулидзе, Л.Гросса, Б.Ласкара, А.Пич, и других математиков (см. [з] - [7] , [ю] - [п] , [1б], [19] -[20] , [26] , [29] - [32] , [35] - [38] , [40] - [41] , [47] -[49]).

В большей части этих работ исследуются дифференциальные уравнения, как с постоянными, так и с переменными коэффициентами. Так, например, в [37] доказывается существование и единственность фундаментального решения дифференциального оператора второго порядка с постоянными коэффициентами и исследуются эволюционные уравнения с такими операторами в пространстве обобщённых мер. В [4] устанавливаются достаточные условия обратимости дифференциальных операторов высших порядков. В |1б] изучаются эволюционные уравнения, содержащие дифференциальные операторы второго порядка с переменными коэффициентами.

Псевдодифференциальные операторы рассматриваются в |2б] , [41] и, с помощью существенно иных методов, в работах [6] и [31] - [32], [48] . В работе [26 определяются ИДО в пространствах мер и функций на бесконечномерном локально выпуклом пространстве. Класс таких ПДО включает в себя дифференциальные операторы, как с постоянными, так и с переменными коэффициентами. Здесь, как и в конечномерном случае, бесконечномерные ПДО характеризуются своим символом. В [41] изучаются бесконечномерные ПДО (в смысле работы ¡2б]) с символом, зависящим от одного аргумента Н » где Н - гильбертово пространство и доказывается однозначная разрешимость задачи Коши для дифференциальных уравнений порядка т по ~Ь , содержащих эти ПДО. Кроме того, для каждого ПДО с борелевским символом определяется своё пространство обобщённых мер и доказывается обратимость ПДО в этом пространстве,

В [б] описывается один класс функций на произведении гильбертовых пространств и определяются ПДО с символами из этого класса. Доказывается теорема о композиции ПДО, исследуются эллиптические ПДО с параметром и устанавливается их обратимость при достаточно больших значениях параметра. Заметим, что бесконечномерный оператор Лапласа не является псевдодифференциальным оператором в смысле работы [б] .

Настоящая работа также посвящена уравнениям с бесконечномерными ПДО в гильбертовом пространстве. В диссертации исследуются ПДО в смысле работы [2б],с символами специального вида, изучаются уравнения с такими операторами, причём, в отличие от [б], [3l] и [48]; параллельно рассматриваются уравнения относительно функций и мер. Кроме того, в настоящей работе ПДО строятся непосредственно, а не как пределы конечномерных операторов, которые определяются в б . Классу таких ПДО принадлежат дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами, которые изучались в работах [з] -[б] и [Зб] - [37] . В частности, из теорем 2.1-2.2 см. главу I , устанавливающих достаточные условия обратимости ПДО с постоянными коэффициентами, вытекает усиление теорем 2 и 9 из [4] и [37] соответственно. Так, пример 2.1 показывает, что таким условиям удовлетворяет бесконечномерный оператор Лапласа и любая его степень.

В отличие от [41] , пространства, в которых исследуются псевдодифференциальные уравнения, не зависят от символов операторов .

В диссертации доказываются также теоремы об обратимости ПДО с переменными коэффициентами специального вида. При этом используется метод преобразований Фурье в сочетании с методом последовательных приближений такой подход не использовался в указанных вше работах о ПДО). Самостоятельный интерес представляют ПДО, которые издаются в § 2 главы II, где гильбертово пространство Но разлагается в прямую сумму своих подпространств Но{ и Н и исследуются ПДО с символом, зависящим от двух аргументов С3^) * Н • Класс таких ПДО включает операторы дифференцирования по направлениям из подпространства Н с переменными коэффициентами (см. гл. П, пример 2.4-).

Перейдём теперь к изложению основных понятий и результатов работы. Основной текст диссертации состоит из двух глав и допол нения. Главы разбиты на параграфы, формулы и утверждения в каждой главе имеют двойной номер - первая цифра соответствует номеру параграфа, вторая - является собственным номером формулы или утверждения внутри данного параграфа.

В диссертации используется, в основном, тершшодогия работ [/], ¡57] -р^] » частично напоминаемая ниже.

Пусть Н{ ^ Н - пара вещественных сепарабельных гильбертовых пространств со скалярными, произведениями > , (* > •) соответственно, связанных плотным вложением типа Гилъберта-Шглидта;

- -алгебра борелевских подмножеств пространства Н ; -комплекснозначная мера на (Н, ) .

Определение I (С,В »Фомин). Мера называется дифференцируемой по подпространству Н{ , если для любых и для каждого фиксированного отображение с/^ (А) представляет собой линейный непрерывный функционал на Н{ • При этом отображение (¿^/^(А) называется производной меры^ на множестве А по подпространству Н • Выражение с/^^ (*) при каждом фиксированном <= Hd представляет собой функцию множества, определённую на cf^) , которая называется дифференциалом меры JH> при приращении А .

Дифференциал меры jw при приращении i есть меры на

Определение 2. Преобразованием Фурье меры JH> называется функция §~[jil 7 ' Я —* С , определенная равенством J eL (Х' dju.(y) ? уе H . H

Известно (см. L Z 5 ] ), что мера jw однозначно определяется своим преобразованием Фурье.

Определение 3. Пусть / - суммируемая по мере ¡и, функция на H , мера /у^ , определённая равенством fjn(A) = J f(f ) Jb(c(f) 9 А^Я , А в называется произведением меры J4> на функцию f . Функция f xJ4, , определённая равенством fx) - J frx-J) jurdj) ^ JC£- H, H называется свёрткой функции / и меры уи- .

Определение 4. Пусть ^уч^ -, - две числовые меры на

Н Сверткой меР J^-x и J^i называется образ меры хпри отображении /' (ос^ ^ х jr / .г пространства(Н*Я , в (H yJ3 ) .

Из определения образа меры и теоремы фубини вытекает, что Я

В диссертации используются следующие свойства операции дифференцирования мер (см. [13 ) : (ctl ) . Пусть мера jvu дифференцируема по направлению /I , / - измеримая вещественная функция, дифференцируемая по этому же направлению в каждой точке, причём сама \ устойчиво суммируема, а функция устойчиво уи^ -суммируема относительно сдвигов по направлению А . Тогда мера дифференцируема по направлению А и И с1%), пусть и - две числовые меры на ( И ,53), причём мера уч^ дифференцируема по подпространству . Тогда мера у^* у^ дифференцируема по подпространству Н^ и для всех А е ¿-I

Функция / является устойчиво уи- -суммируемой (см. [I] ), если существуют такое >0 и такая неотрицательная у^ -суммируемая функция ^ на Н % что I + t■&)! ~ % ДОШ всех ^ £ Н при / ^ / £ <Г .в настоящей работе правила (б/ Я -(<£%) применяются при дифференцировании произведения /уи. и свёртки уи.^ * уи^ , где меры уи- »уи^.уч, бесконечно дифференцируемы по подпространству //, , мера ун- имеет ограниченный носитель, а функция У бесконечно дифференцируема в смысле Фреше, причём сама функция / и все её дифференциалы / (по любому конечному набору направлений С А^ , ^ из И^ ограничены на ограниченных множествах пространства // . В таких случаях требования правил (<¿1) и {<£ 3.) выполнены.

Опишем теперь пространства мер и функций на Н , в которых определяются ЦЦО. Через М обозначается векторное пространство всех комплекснозначных мер уи. на ( И 9 ), бесконечно дифференцируемых по подпространству И' , имещих ограниченные носители и конечные нормы:

II (Uli ' Vdr м, ||м,|| -Slip Vär dtnM, П)

J 0 J J * HV^iH fi-J

Здесь An- ( .»A^ , hc еЯ ( l = /г } ; ö^h ß- мера, полученная из jh- дифференцированием по направлениям h-^ запись Ii // ä ^ означает, что н 1,.,// //^ ^ i , где II' Нi - норма в Hd. Пространство М наделяется топологией строгого индуктивного предела последовательности подпространств Нк , состоящих из мер с носителями в шаре радиуса к , с топологией, задаваемой семейством норм ( I ) • Образ пространства М при преобразовании 2>урье обозначается через Z и наделяется топологией, индуцированной из М преобразованием Фурье. Элементы пространства М называются основными мерами, а элементы Z -основными функциями. Через II' обозначается пространство, сопряжённое к И , через Ъ - пространство, сопряжённое к Z. . Эле 01 менты пространств Л. и А называются соответственно,обобщёнными функциями и обобщёнными мерами. Пространства Jl' и zJ рассматриваются в слабых топологиях 6 (fi \M)и 6(Z\l) пар линейных пространств Л' 9 М и Z Z соответственно, в двойственности; Из определения топологии в М и Z следует {см. С42], стр, 9IJ,

I , что пространства М и Z слабо секвенциально полны; Преобразованием Фурье обобщённых мер называется отображение, сопряжённое к отображению Л Ъ , jk . Пространства М и Z естественно вкладываются в пространства Z и /1' соответственно. Поэтому преобразование Фурье обобщённых мер также обозначается через . По определению, для всех мер пг^-М и jvt£ Z

У: Z' Л* , < С jvt 1 , №. > = < jvt , iCm,] > в отображение : z! Р1' взаимно однозначно и непрерывно в слабых топологиях пространств Z' и .М . Через У * обозначается отоб ражение Л Z , / & [ /7 , обратное к .

Через Я = Я ® // обозначается прямая сумма гильбертовых пространств Ясй и Н , через Ф(Н ) - векторное пространство всех комплекснозначных непрерывных функций / на Н0 таких, что при любом фиксированном х £ Ной функция / (у.) = = / (х Ф у. ) принадлежит 2 , то есть является преобразованием Фурье некоторой мерыиз . Пространство ф(На) наделяется слабейшей топологией, в которой непрерывны все отображения: Я^- Ф(Н0)~МЩ / хеЦ. Так как Я хаусдорфово и разделяет точки в Ф(Н) , то Ф(Н ) также

О О хаусдорфово (см. [2,4] , п. 3.8, стф. 75).

Через Ъо и Л'о обозначаются соответственно пространства основных функций и обобщенных функций на Н0 (построенные также как и пространства 2, и ). Пространство Ъо естественно вкладывается в М'0 . Из определения ^ (Но) следует, что можно рассматривать как подпространство пространства Ф (Н0) (относительно таких вложений см. С463 , предл. 2.4).

Через V обозначается векторное пространство всех непрерывных комплексно значных функций на Н , ограниченных на ограниченных множествах в Н . Ясно, что "V/ °с Л* . Через & обозначается образ пространства Ж ° при отображении : И £ . Пространство О наделяется слабой топологией, индуцированной >п т т. /т. л./т из £ . Через и- , г1 , , £ , уЧ обозначаются декартовы произведения т. экземпляров пространств, соответственно , — I „ гп . /П /77 . . / т. , л , И , г , л . Пространства % М > Ъ * Ъ и Л.

АМ. /—г ' А'Тнаделяются топологией произведения. Пространства Z и 21 м т. м I т и Л- ) приводятся в двойственность с помощью билинейной формы

М> = <М> + "- где < /, ^ > -- с h , ^ > * . * < > Hn>'где /гг = (/ <t)£M <4 V ) С M ) й 1 "'•> 1 ftx ' L 1 9 K 1 1 ■) V trt

Ниже определяются классы функций, которым принадлежат симсто болы псевдодифференциальных операторов. Через w обозначается векторное подпространство пространства "W°9 состоящее из функций /: И Iii- , бесконечно дифференцируемых, ограниченных на ограниченных множествах в И ж таких, что

5 и р I d а любого ограниченного множества

Е С Н и любого tie ¡м . Всюду ниже через b (О, с) обозначается шар в гильбертовом пространстве Н с центром в нуле, радиуса t . Через L0 обозначается векторное пространство функции а : И х И С * вида: сю а (х, Ч) = z • Q£ (х> Р. (ч) (Z) таких, что а) Qj - С VjJ , \)j £ М для всякого £ е М , причем, S и р в 1> // + , /п i ; б) Р^ <=- W для всех J <£//)// и для любого ограниченного множества £ С Л существуют числа «¿а> i и Са у О такие, что

5 исР 1 1 - Са ¿>1 , / е INI ; в) существует е. (N! такое, что носители Ъирр ]). £ 6(0,6) а для всех J> е //V/. Через L обозначается подпространство пространства LQ , состоящее из функций вида ( Z ), удовлетворяющих условию:

4) для всякого ограниченного множества £ Н и всех

П. 6 /А// существуют числа С^О такие, что

Л / * а* а*

Здесь ^^ ~ ДиФФеРенДиал (порядка П) функции Р. в точке ^ по направлениям Ау 9 ,., г А л из уУ,

Через Л обозначается подпространство пространства , состоящее из функций вида (2 ) , удовлетворяющих условию: (% ) существует в <£ 1М такое, что для всякого ^ 6 ¡N1 носитель 6 ирр ./? (у) С 3 (О, 5 ) , Через обозначается пересечение пространств и ; через ¿, - векторное пространство функций с1> > И * И /Р14 , л» „ для всех ^ Иг; через ¿1 ^ - векторное пространство всех непрерывных функций к- : Нх И <£ * таких, что для каждого фиксированного зс е функция -А С где 4с ^ " ^^^для всех € У^/Л^ ; через подпространство пространства ¿^ , состоящее из функций

Я = ^ , где 0 : с - непререрывная функция, а Р^Ш для всех 4у4,^/п*

Через ^С обозначается векторное пространство непрерывных у функций : Я* Н-* таких, что при любом фиксированном осе Я функция <хх = ау)принадлежит классу 00 . Справедливы следующие включения: Л с с Л с ¿г? / с Л Ь с.

3. 4 ° С* 0 7 4 5 '

Ниже определяются ПДО с символами, принадлежащими классам функций Й/" , , .

Определение 5. Псевдодифференциальными операторами в пространстве основных функций Z. на И с -символом ( см.[2,6]) а е X и рср -символом CLod £ L0i ( CLoj32,y) Q^i^Jy) ) называются отображения А (х, й) Z Z и A (D, у,): Z > определённые равенствами: byf(x) - Pca-xty) ; oo

J- -d a

Здесь /<£ Z » мера CL^ ty)S M и равна произведению меры 3- if J на функцию ссх ) ~ а ; аналогично, мера

P'^QJ] ^ М Для всех /е/Л/.

V V /I Л

Если символ <2 оператора Л2Г,Д)не зависит от , то есть а.(х}у) = а(у) и то ПДО называется псевдодифференциальным оператором с постоянными коэффициентами и обозначается через А (£>) • Таким образом,

А (Ь) /(*) = ¡FIGL14) ¿"'[f] 1 (X).

СО

Если символ а е. Ln , а (эс, v) = Z С. (х)Р.(р, то

00

G помощью правила (di) дифференцирования произведения меры на функцию и правила (dfi ) дифференцирования свёртки двух мер в работе показывается Г см. гл. I, § I ), что операторы./!//)), A f^W и корректно определены, непрерывны в Z, и являются бесконечномерными ПДО в смысле работы[26] . В случае, если Я -конечномерное пространство, они являются обычными ПДО (см., например, [21] , [34J ,[44]).

В работе рассматривается случай, когда ПДО с -символом может быть продолжен на более широкое пространство. Приведём точное определение.

- 14

Псевдодифференциальным оператором в пространстве ф(Нв) с символом называется отображение Ж С-Х', /)) ФШа) О определяемое так:

- л х, О) Нхег)-- [А^апРс^Э] (ы , <3> где /« Ф(.Но), ХФ*<Ь.НМ*Я. 4 £ 4 /<*<»¥ > для всех (ЗС7 Н • Так как для всякого фиксированного функция ^ принадлежит пространству Л» , то мера ] 14. . Поэтому оператор корректно опредеравенством (3 ) . Отметим, что, ъо,т.Х=Ъ0- пространство основных функций на Н0 , то

Z С ф(Н0) и сужение оператора Ж(х9д) на 2 совпадает с ПДО .Д^г,/); с ^/»-символом, определяемым равенством о. ~ А (рж , ) , где ^ : и р^ : Н - ортопроекторы в Н - Н ® Н .

Псевдодифференциальные операторы А*(х.} Ь) 9 и А (й) в пространстве обобщённых мер 21! ( с символами ссое ¿,о 9 ао± <=-и определяются как отображения, сопряжённые к отображениям Л (Ь^) и ^^соответственно. По определению для всех^уиё^. и ^ £ ^ оо ^

А\х,Ь)г,ч> ? > А* <й,У ^ > = 27<.Л» % > ■

Здесь 0. Т С Р^ . /- 7 - произведение функций & € 2 к? СР^.Я-'Су] 3 , равное ? С £ где ^ '-Г', / сеМ.

Перейдём теперь к изложению основных результатов работы. В главе I изучаются ПДО А С /)), А (X, /)) и А С О ) в пространстве основных функций Z и их сопряжённые в пространстве обобщённых мер Z • Так, в § I исследуется обратимость ПДО с символом, зависящим от двух аргументов (X7 ^ )£]i*H •

Теорема 1.1(гл. I). Если А(х,Ь)~ ПДО с символом а в L и л^я4, Iл \ cdco/u<t~d)» то да всякого ^ Z (A/^Z ) решение уравнения (¿с, D ) + /\ / ~ ^ уравнения А* (X,t h) JA- + ^JR- = АО существует и единственно в пространстве Z (в пространстве Z' ) .

Здесь CÄ , об^ и - числовые постоянные, которые участвуют в определении классов Lq и Z.C Lq. Теорема I.I даёт достаточное условие обратимости ЦЦО Т = А 2 + А ( ^, Ь ) и у yl X

Т = ^ I •+ j4 в пространствах Z и Z' соответственно, а также достаточное условие непрерывности обратных операторов Т * и (Т1*) (см* предл. 1,3). Аналогичный результат ( см. теорема 1.2)

А «if имеет место и для операторов äI + А ( bи л I + А ( с символом CL t€. .

II Ob

В § 2 изучаются ПДО с символом й в "К/ , здесь используется определение 6 (см.{41). Борелевское множество В называется Н ± -конечномерно ограниченным, если существует последовательность оо E^J ^ конечномерных подпространств пространства Н^ , такая, что ортоганальная проекция в пространстве Н множества ß на Е^ ограничена для каждого пь , причем размерности пространств Е ^ стремятся к бесконечности при т, .

A.B. Угланов доказал (см. С 37] , что, если цилиндрическое множество Е имеет ограниченную проекцию на иг -мерное прост. ранство, а мера jvi* m раз дифференцируема по всем направлениям из этого пространства, то т

Uin { Ä VCtr (it - О {k) £ J

С помощью равенства (4) В.Ю.Бенткус (см. 1 ) установил, что для Н^ - конечномерно ограниченного множества Е и меры К е К . А i sup I var et п ju> ] - о (б) для всякого вещественного j5 ^ о .

В настоящем параграфе равенство ( 5) используется при доказательстве предложения 2.1, из которого вытекает следующее утверждение.

Теорема £ Л. Пусть А ( D ) Z Z' - ЦДО с символом cL(y) -= ¿L L + Л * О , функции ¿^ ^ ^ неотрицательны и принадлежат классу "Й/" Если функция ¿ä удовлетворяет условию (in 4) существуют Су 0 и ^ > О такие, что для всякого или условию

Cm %) множество { у. & Н > ^ d j Н^ - конечномерно ограничено и существует ¿f > О такое, что для всех и £ и) = £ * оо 4 г-t ^ ^ то для всякого /1/6 2 решение уравнения (Ь) - А/ существует и единственно в пространстве обобщённых мер £'•

Следствие 2.4. Если функция а (у ) = ¿Гг^ /у; + 4 » где £\ ¿Ф О , а функции ^ , ^ * О ; 4» <4 е ' причём выполнено одно из условий (т ± ) или Сиг %) , то отображение А( 0 ) % - изоморфизм пространства Z , а отображение - изоморфизм пространства % .

Следствие £.2. Если .А ( й ) ; 2 - ПДО с символом ас(гр ~ Где ' а функция удовлетворяет требованию следствиям, то для всякого A/e Z! и у.Q£ Н решение уравнения А*( D)jvi - N существует и единственно в пространстве Z,' .

Следствия 21-22дают также достаточные условия обратимости дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами (см. 13] } Со

L 41 , L 3 7 3 ), которые входят в класс ПДО с символом (X е w . В частности, следствие2.2 является усилением теоремы 2 из [ ^ 1 , которая устанавливает однозначную разрешимость уравнения = /V , где J[ ¿ Z/ - дифференциальный оператор с символом 0 * t~<f°%"'1$~<f0'* ' ^ " линейная непрерывная форма в Л .

Следует отметить, что в работе [4] ] доказывается обратимость операторов А(й)'*Я и А*(Ь)-Л1 . Характерно то, что пространство //¿> своё для каждого оператора А(£>) с символом <х:Н-*£ , а <2- борелевскал функция. Точнее,

Яр = ^^^ > ^г/^' ГДе " ство мер ^L на Н таких, что jk ( б ) = О для всякого борелевско-го множества Ъ ^ Н Н : fCfr) ^(f¿ £ J ДОЯ некоторого á > О .

В настоящей работе символ операторов лт

Л (D) принадлежит более узкому классу функций ( & £ IX/) , чем в С4 i] , однако достаточные условия обратимости этих ПДО получены в пространствах .Z и Z' , не зависящих от символа.

В § 2 описывается ещё одно пространство основных функций S и обобщённых мер 5 в оснащённом гильбертовом пространстве Ф с Jjc: Ф и изучаются ПДО А (С)): S S tí A S , определённые также, как в пространствах Z и Z', Здесь £ - .5), где 5 - пространство мер ju на Ф , бесконечно дифференцируемых по подпространству Ф , быстро убывающих по вариации вместе со всеми своими дифференциалами J>U (см. С 36] ). Устанавливаются достаточные условия (см» условия (¿0) , ( Lü) , (L^ ) ) однозначной разрешимости уравнения А*(b) fit - N в пространстве о . Пример 2.1 показывает, что эти условия выполняются для iß ß> дифференциального оператора Л' с символом ci'iy)- ^ » где € , уб > О , (-, - - скалярное произведение в Ф' .

Поэтому решение уравнения A'^jHs-M существует и единственно fit / / в пространстве <5 . Кроме того, для оператора А - Z -^Z с символом cL(-y^ij) также выполнены условия(fnl) и, так, что уравнение /У - А/ имеет единственное решение в пространстве Z/ .

В заключение § 2 доказывается (см. теорема 2.3), что, если выполнено достаточное условие (tnl) или (т $.) однозначной разрешимости уравнения Л*(£>)J4-- /V в пространстве 2L' , то для всякого N £ решение jit данного уравнения можно представить в виде свёртки J^i- , где JiP0 Z - фундаментальное решение оператора А*(&) : Z'-^Z.

Глава П посвящена эволюционным уравнениям с бесконечномерными ПДО. Здесь используются некоторые определения, общепринятые в теории дифференциальных уравнений с частными производными (см., например, £5] , [¿ЭД^З]), сформулированные только применительно к интересующему, нас случаю.

Определение 7. Пусть ( Е,Т) - локально выпуклое пространство с топологией V , J - интервал в /FL . Отображение U* I Е называется дифференцируемым в точке •£<= I , если существует предел (в пространстве Е в смысле топологии Г ) к*г . ) .

2Д £

Если -U-I-*-Е дифференцируемо во всех точках I , то отображение I £ U '/Л называется производной отображения

U / t) по параметру i .

Определение 8 , Эволюционным уравнением называется уравнение вида и*Ц ) 3 и (i ), - (б) где ß : Е Е - отображение подмножества Е локально выпук-ß & лого пространства Е в само Е . Решением эволюционного уравнения С 6 ) называется отображение , дифф ер е нциру емо е во всех точках t^ I и такое, что при любом 1 выполняется равенство (б )

Определение 9. Решением задачи Коши для уравнения (6) с начальным условием 1Л l±o ) - MQ , где €. I , UQ £ E - фиксированы, называется такое решение уравнения ( 6 ) » которое удовлетворяет данному начальному условию.

В § I главы П изучается задача Коши для эволюционного уравнения fl-'d ) = A (x^^JltU) и уравнения ß!/i )■=■ А (Dy)ßLli) с начальным условием ßi ¡t0)-S' , где Л* D J и

ПДО в пространстве Z' с символами GL„ £ Z и сг <£ /, , о О Gi od со ао Zf-Jo/'*

При этом исследование проводится на основании результатов А.Н.Годунова (см. И 5 ] ), с помощью которых получено достаточное условие существования решения задачи Коши в пространстве X , сопряженном к некоторому локально выпуклому пространству X . Предполагается, что пространство X секвенциально полно в <Ь(Х\Х.) топологии. Через Т- Х~*Х обозначается линейный непрерывный оператор в X » Т*:)- его сопряженный; i € /Я , O+Ai^l » J-d-Ai , + ) - интервал X',

U: 1 X - отображение интервала I в X . Лемма!.!. Если для каждого существует число С^ ^ О возможно, зависящее от к) такое, что I ^ •> ^ ^ С^ (г ! (М=0,4,. ) » то существует решение -Ц I .X ' задачи Коши а'(£) = Т*и Ц), ИЦв)= И0 .

Из леммы 1.1 вытекает следующее утверждение. Теорема 1.1. Если для каждого существуют числа р < т т ^ р^ 4 и 0 £р^ 1 такие, что для всякого ^ € Н

IР (у)!//^//^'т где (¿с ? о6с , 4» причем ¿¿о 7 с£ 9 и не зависят от то существует решение рл, : I -»* 2' задачи Коши для уравнения уСК(X, Ь)№ (± ) и уравнения уи//=/С( с начальным условием = •

Таким образом, теорема 1.1 даёт достаточное условие (7) существования решения задачи Коши для эволюционных уравнений, содержащих ПДО с переменными коэффициентами специального вида. Однако, условие (7) не выполняется для произвольного дифференциального оператора в с переменными коэффициентами. Оно выполняется только для дробных степеней таких операторов (см. гл. II, примеры 1.1 - 1.2) .

В §2 главы II рассматривается задача Коши для эволюционного уравнения

4'И) -- й) = I , (&) где ^ : 10 ,+<*=>) неизвестная функция, ^ <5 ф(Л0 ),

ПДО с символом ^е ¿2 , Л - N хВ. При этом до* функция р : £0} + оо ) с£(Н) называется решением задачи (8) на интервале [о7+<>о) , если она дифференцируема во всех точках и удовлетворяет равенствам (8). Доказывается следующее утверждение:

Теорема 2.1. Для всякого ^ € Ф(Не) решение /; со? задачи (8) существует и единственно в пространстве Ф(Н0).

При доказательстве теоремы 2,Л пространство Н0 разлагается в прямую сумму подпространств HQ{ и Н и используется метод преобразований Фурье (по переменной ^б Н ). С помощью теоремы 2 Л , полученной ранее (см. гл. I, § 2), доказывается теорема2,2. Если <Н- (X, Ь): Ф (Н0)^фСН)- ПДО с символом As И * Н ^ |R , fié. L таким, что для каждого фикси-01 + 5 рованного х £ Но1 функция édX (у) - h (^J) удовлетворяет одному из условий (. m,i) или (т. г) , то для всякого с^е. Ф(Но) решение уравнения (х, D) - Cj, существует и единственно в пространстве Ф(Н ) . о

Из теорем 2Л ~ Z.Z вытекает следующая теорема. Теорема 2.3, Если ф (Нс ) — ф(Ив)-ПДО с символом А £ таким, что А (X, О для всех и функция (у fi (х^) при каждом фиксированном хс удовлетворяет одному из условий (m. 1) или (т. 2) , то для всякого

Ф(Ио) и /е Ф(Н0) решение f:£C, + <?<=>)#(Н0) задачи Коши существует и единственно в пространстве ф( И).

Замечание Z.I Если (X, д) ' З6//^ ) ^ Ф (Н0) - ПДО с символом , AjOC^) = ¿(X) Cé^íx.y) где éü (x, y ) , é¿ ) ъО , причём при любом фиксированном ¿ce# функции (у) ¿£X (у) ~ принадлежат пространству , то утверждения теорем Z.I-Z.5 остаются справедливыми для оператора (х, &) в предположении, что функция éj^. (у,) удовлетворяет одному из условий (tni) шш(тя).

В примерах 2.1-2.5 рассматриваются дифференциальные операторы с переменными коэффициентами, символ которых удовлетворяет всем требованиям замечания 2.1. Такие операторы обратимы в пространстве Ф(Н0) , и задача Коши для эволюционных уравнений, содержащих эти операторы в правой части, однозначно разрешима в ф(Н0) В § 3 главы II изучается краевая задача для системы уравнений

Ю ) = е/а0. , I = 1 , 2 ,., т • •£ в Со, ^ )

Здесь С ,,. , ) - вектор начальных данных, о € , ^ с о, + ) ф(Н0) - неизвестная функция,

АСк 1 ^ ) • 21' ' - ПДО с символом а. ( у, ) , функции а.кеу/°° для всех 1.', к * 1, г , . , т . тт v ,пг

Доказывается, что решение + задачи (9 ) существует, единственно и секвенциально непрерывно зависит от начальных данных. Отсюда следует однозначная разрешимость задачи Коши для системы бесконечномерных уравнений, содержащих дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами.

Используются следующие определения ( см. 15] и [43] , гл. 1У ) .

Определение 10. Функция Ы • С о, + 00) ( принимающая значения в локально выпуклом пространстве Е с топологией 'С , называется растущей при не быстрее некоторой числовой функции у. С0,+ с'0) , если существует ьъО такое, что множество ^ » ^ ^ 6 } ограничено в пространстве ( Е , V ) #

3 I ^ /

Определение II. Задача (9 > называется корректной в классе обобщённых мер Ог ^ Ъ' , если, каковы бы ни были элементы т

Л »Ль» - » п е & » она имеет Решение ^ : 1 + 00 ) ^ ' единственное в в , секвенциально непрерывно зависящее от начальных данных ^»^ои-ч^о^) и растущее при-I-"+<*> не быстрее некоторой степени £ .

В [53 установлена корректность задачи Коши для системы уравнений с дифференциальным оператором в правой части. Эти результаты переносятся на случай системы уравнений с ПДО. Следующая теорема является усилением теоремы 3 из I Ъ 1 , которая, в свою очередь, обобщает результаты из I на бесконечномерный случай.

Теорема 3.2. . Если преобразование Фурье ( Э >. ¿Г Г (Н- ] (х) ) начальных данных при каждом фиксирован

0/П /Г тном Н принадлежит пространству € (X) <С £ (см. § 3), то задача ( 9 ) корректна в классе б .

Теорема д. % применима для исследования корректности краевой задачи для дифференциального уравнения порядка т, по 1 : где уч. : со,+®°) О ^ - неизвестная функция, (,

- вектор начальных данных; Л* ( О V. & ^ О ПДО с символом СС <£ У/ , КгО, 1,., т-4 .

Для случая Ш - 1 из теоремы 3.2, вытекает следующий результат .

Предложение 3.1 . Пусть Л (О) 21 - ПДО с символом ае Ш°° . Тогда решение уи. : £' задачи Коши для уравнения = тк./^ ) (Ю) с начальным условием

Л (°> » /^о (11) существует и единственно в пространстве обобщенных мер И' .

Если Э" £ , то решением задачи (10 ) - (11 ) является функция jvt со, + <*>)-*- G , jvt ( -t ) - А/ ( { ) * jvv0 , где

N ( -t) - фундаментальное решение задачи Коши для уравнения (10 ).

Если и Не i а (х ) \ ^ о для всякого х е H , то задача (1^ ) - (15 ) корректна в классе G .

ПредложениеЗ! является усилением (для случая эволюционного уравнения с ПДО) теоремы 13 из L , которая устанавливает существование и единственность решения задачи Коши для уравнения, содержащего в правой части дифференциальный оператор второго порядка с постоянными коэффициентами.

В дополнении доказывается бесконечномерный аналог одного свойства (см. НА 51 ) линейных непрерывных операторов, коммутирующих со свёрткой.

Теорема I.I . Если (5,6 ) - пространство обобщённых мер в оснащённом гильбертовом пространстве Ф ¿г H с Ф с то-,—-1 ~ , . пологией é С г Ь ) , а ( о , Т ) - пространство основных мер i с топологией t , индуцированной вложением 5^6 и т : - линейный непрерывный оператор, то следующие условия эквивалентны: а) оператор Т перестановочен со свёртками; / i б) существует обобщённая мера L^- о такая, что Т/и- - ь для всех jvt £ 8 .

Здесь - пространство, сопряжённое к пространству S , которое, в свою очередь, является образом счётно-нормированного пространства S при преобразовании Фурье Ь S . Просторанства 8 , b и 5 определяются в § 2 главы I (см. также 156]). Пространство «S состоит из финитных бесконечно дифференцируемых по подпространству Ф мер на 4> , быстро убывающих по вариации вместе со всеми своими дифференциалами ¿^'J^. Пространство 5 является бочечным в счётно-нормированной топологии, индуцированной из 5 преобразованием Фурье. При доказательстве теоремы I.I используется принцип ограниченности для бочечных пространств (см. [45] , п. 7.1.I).

Основные результаты настоящей работы опубликованы в статьях [50] - С 5 .

Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ, на Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Минск, июль 1982), на конференции молодых учёных МГУ в 1982 году.

Автор глубоко признательна своему научному руководителю О.Г.Смолянову за постоянное внимание и поддержку в работе.

1. Авербух В.И., Смолянов О.Г., Фомин C.B. Обобщённые функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах, I. Дифференцируемые меры. - Тр. Моск. матем. о-ва, 1971, т. 24, с. 133 - 174.

2. Беляев A.A. Интегральное представление функций, гармонических в области гильбертова пространства. Вестник М1У, Сер. матем. и механ., 1981, № 6, с. 43 - 47.

3. Бенткус В.Ю. Существование и единственность решения уравнения Пуассона для обобщённых мер на бесконечномерном пространстве. Матем. заметки, 1976, т. 20, f 6, с. 825 - 834.

4. Бенткус В.Ю. Об обратимости эллиптических операторов с псотоянными коэффициентами, действующих на обобщённые меры в гильбертовом пространстве. Литовск. матем. сб., 1976, т. 16, № 3, с. 21 - 29.

5. Бенткус В.Ю. Уравнения с постоянными коэффициентами в частных производных для обобщённых мер в бесконечномерном пространстве. Дифф. ур-ния и их применение. Вып. 16, Вильнюс, 1976.

6. Блехер П.М., Вишик М.И. Об одном классе псевдодифференциальных операторов с бесконечным числом переменных и их приложениях. Матем. сб., 1971, т. 86, К? 3, с. 446 - 494.

7. Березанский Ю.М., Самойленко В.Г. Самосопряжённость дифференциальных операторов с бесконечным числом переменных и эволюционные уравнения. УМН, 1981, т. 36, W 5, с. 3 - 56.

8. Бурбаки Н. Интегрирование. Векторное интегрирование. Мера Хаара. Свёртка и представления. М.: Мир, 1970.

9. Бурбаки Н. Интегрирование. Меры на локально компактных пространствах. Продолжение меры. Интегрирование мер. Меры наотделимых пространствах. M.: Мир, 1977.

10. Вишик М.И. фундаментальные решения бесконечномерных эллиптических операторов любого порядка с постоянными коэффициентами. ДАН СССР, 1973, т. 208, № 4, с. 764 - 767.

11. Вишик М.И., Марченко А.В. Краевые задачи для эллиптических и параболических операторов второго порядка на бесконеч-мерных многообразиях с краем. Матем. сб., 1973, т. 90, №3, с. 331 - 371.

12. Гельфанд Й.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщённых функций. М.: Физматгиз, 1958.

13. Гельфанд H.M¿, Виленкин Н.Я. Обобщённые функции. Вып; 4, М.: Физматгиз, 1961.

14. Ib. Х.-С. Гауссовские меры в банаховых пространствах. M.: М., Мир, 1979.

15. Годунов А.Н., Дуркин А.П. 0 дифференциальных уравнениях в линейных пространствах. Вестник МГУ, Сер. матем. и механ., 1969, Р 4, с. 39 - 47¿

16. Далецкий Ю.Л., Фомин C.B. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. М.: Наука, 1983.

17. Дудин Д.Н. Обобщённые меры, или распределения на гильбертовом пространстве. Тр. Моск. матем. о-ва, 1973, т. 28, с. 135 - 158.

18. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. M.: Мир, 1971.

19. Лобанов С.Г. 0 разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах. -Вестн. МГУ, Сер. матем. и механ., 1980, Р 2, с.

20. Лобузов А.А. Первая краевая задача для параболическо.-го уравнения в бесконечномерном пространстве. УМН, 1981, т.36, Р 5, с. 179 180.

21. Маслов В .П. Операторные методы, М.: Наука, 1973.

22. Мейер П.А. Вероятность и потенциалы. М.: Мир, 1973.

23. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. I. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977.

24. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.

25. Скороход А¿В. Интегрирование в гильбертовом пространстве. M.: Наука, 1975.

26. Смолянов О.Г. Бесконечномерные псевдодифференциальные операторы и квантование по Шредингеру. ДАН СССР, 1982, т. 263, с. 558 - 562i

27. Смолянов О.Г. Анализ на топологических линейных пространствах и его приложения. Изд-во МГУ, 1979.

28. Смолянов О.Г., Фомин C.B. Меры на линейных топологических пространствах. УМН, 1976, т. 31, № 4, с. 3 - 56.

29. Смолянов О.Г., Шавгулидзе Е.Т. Бесконечномерные линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами в пространствах мер и функций. УМН, 1983, т. 38, Р5 , с. 138.

30. Смолянов О.Г., Шавгулидзе Е.Т. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка на бесконечномерных многообразиях. УМН, 1984, т. 39, № 4, с. 141.

31. Соболев С.И. Псевдодифференциальные операторы с бесконечным числом переменных, порождаемые мерами степенного роста. -Вестник МГУ, Сер. матем. и механ., 1974, №2, с. 52-61;

32. Соболев С.И, Об одном классе псевдодифференциальных операторов с бесконечным числом переменных, символы которых зависят от квадратичной формы. Вестник МГУ, Сер. матем. и механ., 1974, Р 3, с. 22 - 31.

33. Судаков В.Н. Линейные множества с квазиинвариантноймерой. ДАН СССР, 1959, т. 12?, № 3, с. 524 - 525.

34. Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье. Том I. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1983.

35. Фомин С.В; Обобщённые функции бесконечного числа переменных и их преобразования Фурье. УМН, 1968, т. 23, Р 2, с.215-216.

36. Фролов H.H. О задаче Дирихле для эллиптического оператора в цилиндрической области гильбертова пространства. Матем. сб., 1973, т. 92, № 3, с. 430 - 445.

37. Эдварде P¿ Функциональный анализ; Теория и приложения; М.: Мир, 1969;

38. Курбыко. И;Ф; 0 задач© Коши для эволюционных уравнений с бесконечномерным псевдодифференциальным оператором. Дифференциальные уравнения и их приложения. Изд-во МГУ, 1984, с. 148 - 153;

39. Курбыко И;Ф; 0 некоторых уравнениях с псевдодифференциальными операторами в бесконечномерном пространстве. Вестник МГУ, сер. матем. и механ., 1984, № 4, с; 69 - 71;