Обобщенные пространства дифференцируемых функций с симметричной и смешанной нормой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

п

АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИШРСЮЕ ОТДОЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМА1ИЩ

На правах рукописи УДК 517,51

ВЕРЮЛАЙШ 'Ьрн Зиновьевич

ОБОБЩЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА ДШ'ЕШЩШЕШХ ФУНКЦИЙ С ЩММЕТШЧНОЙ И СМЕШАННОЙ НОРМОЙ

специальность 01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора фиаико-математических наук

Новосибирск - 1988

Работа выполнена в Воронежском ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительном институте (БИСЙ)

Официальные оппоненты:

чл,«-кор. АН СССР,4 доктор физико-математических наук, профессор Д.Д,КУДРЯВЦЕВ

чл,-кор, АН СССР, доктор физико-математических наук, профессор В.Г.К)1ШЮВ

доктор фкзите-патематическк наук, профессор £,М.СЕМЕЮВ

Ведущая оршзшщш! Ленинградское отделение Математического института т. В.А.Стекловй АН СССР

Загада соотяится ...,;.. 198 - г.

s ^scob на заседании Специализированного совета

Д,00£»23.02 по защите диссертаций.на соискание ученой степени доктора физико-математических' иеук при Институте математики - СО АН СССР по адресу: 630090, г,Новосибирск -90, Университетский проспект, 4t

С диссертацией ыоыно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР, Университетский проспект, 4.

Автореферат разослан " , .. ."___ 198 г.

Учений секретарь Специализированного совета, доктор физико-математических —

^И» В.С.Белоносов

ОБЩАЯ ХАРАЮШСВНй РАБОТЫ " '

Актуальность темы. Работа посвящена пространствам Соболева, Лизоркина - Трибеля, Бесова со степенной и с функциональной гладкостью, построенным по симметричным'пространствам и пространствам са смешанной нормой»

Несмотря на то, что первые работы С Д. Соболева по теоремам Елскенил пространств функций» имеющих обобщенные производные, появились более полувека назад, интерес к этой тематике не ос» лабевает, что подтверждает поток куриальной и монографической литературы. Обусловливается это и многочисленными приложениями теорем вложения к, теории уравнений в частных производных, зада» чам математической физики и вычислительной математики, и те:..» что получение таких теорем порождает и развивает новые .етодн > математического анализа.

Опйшем кратко подходы к доказательствам теорем вложения пространств функций-, заданных на верном евклидовом прйс,ч? ранстве || .

Первый них ы метод интегральных представлений функций иг»,, рез их производные или разности » восходит к работам С.Л.Соболе», ва. С большой полнотой и общностью этот метод изложен в монографиях: О.В,Бесов, В.П4Илыш, С.М.Никольский "Интегральные представления функций и теоремы вложения"9 й.„1975; Гольдштейн В.Н,, Решетняк Ю.Г. "Введение в теории функций с обобщенными произЕод» ни и квазиконформные,отображения"» !.1.,1983, а также в работах авторов этих монографий, Я^Бугрова, В.И.Буренкова, В.Г.Мазьи, С.В.Успенского и др.

Второй подход, базирующийся На аппарате прибликенип функции посредством целых функций экспоненциального типа (Ц4ЭТ), был

предложен С.М.Никольским и развит затем О.В.Бесовым, П.И.Лизор--киным, Я.Петре, Х.Трибелем. Перечень математиков, внесших в последнее время вклад в развитие этого метода весьма обширен, отметим здесь важные работы М.Д.Гольдмана и Г.А.Калябина. В первую очередь монография С.Ы.Никольского "Приближение функций мно*. гих переменных и теоремы вложения", М., 1977, а также раб&т названных математиков стимулировали исследования автора; далее будут излокены мотивы, в силу которых ки опирались именно на второй подход. .

Отметим еще Третий подход к получении теорем вложения,возникший сравнительно недавно « это подход, связанный с теорией интерполяции линейных операторов (см., например, 5-ю главу монографии С„Г.Крейна, Ю.К.Петукика, Е.М.Семенова "Интерполяция линейных операторов", М,, 1979, написанную С.Г.Крейном для английского перевода, изданного в 1982 году Американским Ыатемати-ческим Обществом в серии" ■ Щ ¿ЛаНшгза-

' и, и работы А.В.Бухвалова).

Сдедуег отметить также формулируемые г терминах емкостных характеристик точные .теоремы аложення дал пространств функций, заданных йа областях в (В,Г. Уазья "Пространства С.Л,Собо-

лева", 1-д, Изд-г,о ЛГУ,'1985).

Потребности теории нелинейных граничных задач для эллиптических уравнений побудоа Ф.Браудера, Т.Дональсона, Ж.Госсе, В.Ц.Кокилащвили, Юакруа, Н.Трудингера и др, использовать пространства дифференцируемых функций,„построенные по.более общей,

нежели 1.«, -норма, норме, а именно, по норме пространств Г • >

Орлича, Пространства Орлича - это частный случай так называемых

симметричных пространств. (СИ); пространства,Соболева, построен-

ные по СП функций» заданных на ограниченной области в Я^" рассматривались В.С.Климовым; ограниченность области существенно сказывалась и на результатах и на методах доказательств.. Что же касеется пространств дифференцируемых функций с

симметричной нормной на , то первые такие рассмотрения

предприняли А.Кальдерон» К.К.Роловкин, О.В.Бесов, Ю.А.ЕрудныЯ, Ю.А.Брудный и В.К.Шалашов»

Изучение весовых классов Соболева, начатое J1.Д.Кудрявцевым, потребности теории приближений à теории вырокдающих уравнений в частных производных сделали актуальной задачу об изучении классов функций с нестепенной гладкосгьо. Отметим здесь полную систему теорем вложения дли классов Ц (одномерный случай), полу. ■ 'Р-

ченную П.Я,Ульяновым» а таййе результаты М.Л.Гольдмана, A.C. Джафарова и Г.А.Налябкна, ,

Оказывается» мекду пространствами функций с "общей глад-* костью" и пространствами фудацЕЙ» построенными по "общим нормам" существует естественная взаимосвязь, которая прослеживается.уке на самых простых примерах. Так» пусть flh} -возрастающая

функция, совпадаидая при L £ (о> é» 2 » рД® ^ достаточно

мало, с 4 и продолженная на (¿a, 11 касательной к

кривой чМХЧ в точке . Построим по ней простран—

? 1

ство Бесова [j (Я. )• Из результатов А.С.Джр*)арова^ и М.Л.

f3 '

Дкафаров A.C., Докл* АН Азерб. СОТ, 1985 , 21: 1? 2.

Гольдмана^ вытекает, что ни при каких р и © , р>£ ,

@<&l¿eo] пространство £L (Я'} самое узкое по второму

индексу и мало по гладкости отличающееся от В_й ( Я,1) » не

г ^

вложено в Bpg (Я^ . В то же время, если Ц -функция

I/ . '

определена при малых $4, формулой ¿jf^íte*') ~

в И, ш и , то из наших результатов следует влокение

0а ' '. ' $ '

. 3 £,* " самым> изучение'пространств Бесова

8 ~ Ца

с более подробными,, нежели степенные, характеристиками дкфферен-- циальных свойств, требует привлечения более .общих норм, нежели, р нормы, •

Цель работы;

1) Установить аналог неравенства разных метрик С.М.Никольского для целых функций экспоненциального типа (ЦШТ) в СП и в

-5

пространствах С>... } £п ) со сметанной нормой

Шг 4L.INI - 1 |

ГД6 Е1 > Л**,'»*.*1- **СП' '

2) Рассмотреть пространства Лизоркина-Трибеля, Соболева и Бесова с обобщенной гладкостью, построенные-по СП и по простран-

^ Гольдман М.Д., Матем, заметки, 1972, IZi Г<3, с.325-336.

ствам £ . Установить для них точные.теоремы вложения разных метрик и теоремы о следах,.уточняющие и дополняющие классические утверждения, а также дать решение задачи Я.С.Бугрова об описании пространства следов на подпространстве Х^ ~ О ,

Г

1 4 * А Л"! функций из Щ ((С) .

г

3, Рассмотреть некоторые классические операторы анализа в

пространствах Бесова, построенных по СП и по пространствам £ ~, а также в обобщенных пространствах Гельдера„

. Общая методика выполнения исследований. Поясним кратко, почему' в работе мы опираемся на второй подход к доказательствам теорем вложения (см. выше).

Третий подход, основанный на теории интерполяции линейных операторов^ по сути своей не позволяет- получать необходимые условия вложений или существования следов.

Первый подход, как известно, основан на точных условиях действия операторов сверток (или операторов типа потенциала) в

пространствах я Ь-* .До настоящего же времени не по-

г г

лучены, насколько нам известно, точные условия действия таких операторов в произвольных СП или в произвольных пространствах со смешанной нормой.

Второй же подход имеет в своей основе неравенства С.М.Никольского для ЦШТ-;и автору удалось получить аналог такого неравенства для СП и пространств Е . Это и позволило доказать, в качестве применений, основные резу."'>таты по теоремам вложения.

.Л - 8 -

Научная новизна. Впервые начали изучаться пространства Лизоркина - Трибеля,. построенные по СП и по пространствам со •вмешанной нормой. Кроме того, пространства Соболева и Бесова с©) смешанной нормой- более общей, нежели - норма также •

нигде-» насколько нам известно, ранее не рассматривались. Отметим. появившиеся в последнее время работы Ю.В.Нетрусова, где рас-«згатриваюхся подобные пространства.

В. работе нолучеив следующие основные результаты! I) аналог неравенства С.М.Никольского равных метрик для СП . и пространств со смешанной нормой;:."; . '

2> теоремавложения разныхыетрик для пространств Бесоча

с нестепенной гладкостьо, построенных по СП или по ;

3) изучены следа на Е** функций на пространств Лизоркина-

Трибеля, построенных цо £ ^ Е. 3 ' где ~СЦ

Я *. ; , ' Я

' ' 4 ' ••'■•. ■ -'-Л : ' • " ■' '■'

4) изучены следы на подпространстве а

, I & * \ * * ^ ^ -11. ; у пространств Яйзоркина-Три-

беля, построенных по £ . Тем самым, решена, в частности, упомянутая вше задача Я.С.Бугрс-а;

5) показана точность теоремы А.Берлинга в широком классе пространств Бесова; .,;

, 6) найдено необходимой и достаточное условие ограниченности сингулярного интегрального оператора (ОТО) 6 ядром Гильберта

или Коши в обобщенных пространствах Гельдера ff^

Принятая в диссертации общность рассмотрения (пространства дифференцируемых функций с "обобщенной гладкостью", построенные по "общим нормам") позволили не только дополнить и уточнить ряд известных результатов, Но и исследовать некоторые нерешенные

задачи» поставленные в классических терминах L-® - нормы и

Р

степенной гладкости.

Теоретическая и практическая ценность» Результаты работы могут быть применены в теории граничных задач для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных_производных, в - теории приближений» в исследованиях» связанных с разрешимостью сингулярных интегральных уравнений в различных функциональных пространствах и т.п. Некоторые такие приложения приведены в диссертации. Отметим, что в работе выявлены новые связи между тес-ремами вложения и понятиями, возникшими ранее в геометрической теории банаховых решёток (параграф 3Д); кроме Того, эти исследования приводили иногда к нетривиальным задачам в теории идеальных пространств функций, некоторые из них стимулировали работы других математиков.

Апробация работы. Основные результаты диссертации по мере их получения докладывались на Семинарах ШАН, МГУ, ЛОЖ, Института математики СО АН СССР, Института математики АН Груз.ССР, ■ ВГУ, а также в Школах по теории операторов в функциональных пространствах (Новосибирск (1980,1985), Иркутск (1981), Рига (1983), Челябинск (1986), Ереван (1987), ' ;

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах /I/ - /14/.

Объем работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав, первая из которых носит, в основном, предварительный характер, Текст диссертации занимает 300-стр. машинописного текс- . та, Библиография содеркит 121 наименование.

СОДЕРШШИЕ ДИССЕРТАЦИИ

I. Общий обзор работы.

Приведем ряд определений, которые понадобятся нам для фор-' мулировки основных результатов.

Пусть £ (OjC®) - банахово пространство измеримых по мере Лебега на •(о,®®) почти всюду конечных функций с обычным отождествлением. Пространство J; надувается идеальным пространством (ИЛ), если ll^l á f|si п.в. у £ ~>

■ & . * Су»»®®}

ИП £ (о,со ) называется симметричным пространством (СП), ) •если все равноизмеримые функции имеют одинаковую норму. .

Основные примеры СП: Lp 0 jMfij^l ; пространства Лоренца. , f, ® ; ítfe* ^ А р^ ПРИ h Afij й L * Lp ), пространс .'ва Орлича 1«д ( L^ ~ Lp при tÜ * ti ) f пространства Лоренца Д ^ и Марцин-кевича И ш ■ .

По СП ECoj00) можно построить соответствующее СП-на следующим образом: банахово" пространство £{RH) измеримых по -

- 1Г'*»

П, - мерной мере Лебега почти везде конечных функций |(гг)' » называется СП, если оно является ИП и ёсли

й?II ~ I $ !! , где I* - невозраставщая

Е(Г) 3 £ (о,«») *

перестановка функции 1£ (зс) | , '

■ Банахово пространство со смешанной нормой- £ *» ( Е^. Еп )

<см, Еыше) - это ИП, но не СП. Кроме £ в диссертации рассматриваются еще и другие пространства со смешанной нормой на

= С *■ Р,П",П , а именно ИП Е„С Е, ] , где Е, - СП на

21 - А

Г

г\, , а Е., - это СП на {V » Отметим сразу, что в силу теоремы Колмогорова - Нагумо, все результаты, относящиеся к СП

IV

Е С а ) , ИП Е = и к ИП ЕсЕз совершенно неза-

висимы , если только £ А Г .

- р

■ В сюда ниже через /1 мы обозначаем какое-либо ИП ка Ц11 , относящееся к одного из трех типое: СП, пространство £ ,

пространство ЕксЕ,3 . , С Д ,...,/О ♦

¡1 >0 , -это подпространство в Л , состоя-

из сунений на Ц ЦЕЭТ М . _

п*

В диссертации мы рассматриваем пространства Бесова ¿V , гда - вектор-функция, определяющая гладкость - СП

на (о, I Л по мере ~ и пространства Лизоркина - Трибеля

" ~ - V . .

. ' " " где система (.&,Н, 7 ) . задающая некоторое раз>-, Г?'

>¥бяение;.ещ1ицы в двойственных переменных, определяет обобщенную ррладкостАг^а(. ^ - некоторое ИП последовательностей, такое,-

Однакр.в качестве основных результатов мы приведем здесь ут-i вихрения, являющиеся следствиями более общих, доказанных в диссертации, и которые либо уточняют, и дополняют классические ут*» ¡эервдения для пространств степенной гладкости, либо решают нерешенные задачи для таких пространств. Поэтому мы не станем приво-

о

рить довольно громоздкие строгие определения пространств Ц ,

■ . ' ■ • ■ ■ Ь**

, а скажем лишь, что встречающиеся ниже простран-

суща Бесова и Соболева, построенные по ПП /| , определи тся

аналогично'классическим с заменой к, - нормы на н ..........' 5

Чуд не касается пространства Лизоркина - Трибеля I..

Г

то

.'V

1 Г

оно определяется почти аналогично I. ' (см. Х.Трибель, "Теория функциональных пространств", Ц., 1986), только разбиение единицы в двойственных переменных производите- по параллелепипедам и системам функций, приспособленными одновременно" для .нужд • и симметричной, и смешанной нормы.

х Глава I ■ Эта глава носит предварительный характер. В'§ I приведены используемые в дальнейшем понятия и факты"из теории ИП, СП и интерполяции линейных операторов« В § 2 даны определения обоб-ценных пространств Лизоркина - Трибеля L и БесоЕа

- Л,'?

С-А, г

установлены некоторые кх свой-

Я,.Р. ' я

ства.

Глава 2

Результаты этой главы являются опорными для всего последующего о

В § I получено необходимое и достаточное условие вложения TFL Ш ' Доказано неравенство разных метрик в СП.

'. .Д. £. V*»£i '

В диссертации приведено доказательство этого неравенства, полученное совместно_с В.И.Овчинниковым, основная идея доказательства принадлежит автору. Здесь же для полноты изложения приведено принадлежащее В.И.Овчинникову неравенство разных измерений в СП. В дальнейшем в диссертации используются лишь частные случаи этого неравенства, ранее полученные автором.

В § 2 доказывается аналог неравенства С.М.Никольск^го для —>.

пространств £ и с'£ 3 » результаты обобщают такие утверздения А.С.Диафарова и А. П.У минского. для случая пространств . Здесь пе получены'точные условия вложения

i ' ■

^ (пусть даже с констан-

j%E(Rn) ' с£з .

зависящими, от ) - упомянутая выше теорема Колмого-

р>ва «• Нагумо;делает подобную задачу естественной.

Глава 3

В § 1 решается задача: найти те б и ^ , при которых

У ? г '

имеется вложение Б. ' ^ ; 0. '«

-л,«. * ' ' * '

КакоЬы (при фиксированном ) наибольшее 0 и иаимень-

сез ^ ? Решение подобной,задачи, помимо попытки изучения ваавкорасполоарния в зависимости от второго ниинего индекса обобщенных пространств Бесова и Лдаорниде - Трибеля, преследует к другую цель: получав точные теоремы вложения разных метрш; для , Ероетраиств Бесова, найти затем точные условия влокешя обобщен-как пространств Лйзоркина « Трнбеля (Соболева) эта методика реализуется в конце § 2. Получено полное решение поставленной задачи терминах выпуклости И вогнутости банаховых решеток «•' - . омаь зткх понятий с теоремам; влокекшг нигде ранее нэ отмечаюсь.» Как следствие получается, например, характеристиче^ко-е свойство пространств С '. в семействе 11П Л и утверждение

о точности вложений:

В-.', ' • яч' с \У/„ '.¿'"В- ■

сами эти вложения и их точность ранее известны не были,

В § 2 изучаются условия вложения разных метрик обобщенных пространств Бесова, друг в друга, а такяе условия вложений обоб-»

щеншх пространств Бесова в некоторые СП. Отметим» что аналогичные, а такае и более общие результаты о вложениях обобщенных пространств Бесова в СП, сформулированные в иных терминах, независимо получены ¿.К Л, Го ль дмансм1' и ЭоВ.НетрусовЬм,^ Из полученных здесь реэультатов^вытекает» например, следующее утверждение;

а! ' (Г) 9 г >

С £ ЪГ. при О, >0Л } ' . \ ' гд <|ш я 1 ~ 2- Г ^7 ~ * •

дополняет результат Я.СЛЗугрова о .том» что при % * <%

^равенства Р. & Г; влекут упомянутое влопенке. Отметим

4 « I»/ р

еща едко, утверждение, вытекающее из результатов §§ 1,2: Ш.

- Г* р V

• 3 § 3 изучается следа на ;. • у функции из пространств

- ».'{''ш Лизоркина - Тркбеля ' ■ С Я ) . Одно кз следствий,

вытекающих из полученных здесь результатов»''приведено в. разделе ."Основные результаты", отмстим лишь, что и пространства Николь-

Х) Гольдман 11,ЛДокл АН СССР, 1585, 284, 9 2, с, 283-287, НеТрусов Й.Б», Зап.каучн.сем. ЛОШ, 1987, т.159, с. 69-82.

с кого

) и пространств Бесова р С К

могу? быть пространствами следов невесовых пространств Соболева со смешанной нормой (появлеию пространств Никольского в качестве пространств следов у весовых пространств Соболева' ранее

обмечалось О.В.Бесовым).^ "

В § 4 изучаются следа на подпространстве X = ••• =

1 ... 'Ун, у функций из пространств Лизорки-

I » ■ ' ...

Ш •» Трибеля ,("%}•> Как следствие» решена упомя-

нуадя вше задача Я„С<,Бугрова Соответствующее утверждение мы формулируем в разделе "Основные результаты", упомянем здесь, что

V! г

\У1

пространства Соболева г р г такке являются

пространствами следов на подпространстве. ~ 2С. - С для -

пространств Соболева Ш С /Г') .До' настоя-

^УР»-"»^,)

П - X ' ■

щего времени подобше явления известны не были, линь в работе Т „О .Шапошниковой*^ было установлено, что пространства бесселевых потенциалов с гладкостью, меньшей единицы,, могут быть пространствами следов для некоторых весовых пространств Соболева. "Пространствами следов являются такке пространства Дизоркн-

^ Бесов О .В"., Матем.сборник, 1962, 58, К 2, с. 673-Ш4. 2) Бугров Я.С., Матем сборник, 1973, 92, К 4, с, 611-621. 35 Шапошникова Т.О., Сиб.^ем.вурн., 1980, 21, 15 3, с. 184-196.

на - Трибеля I. (и даже их векторно-значные аналоги) - это

первое появление таких пространств в задачах, формулируемых в рамках классических пространств Соболева.'

Глава 4

В § I изучаются образы Щгръа функций из обобщенных пространств Бесова, Центральный результат этого параграфа сформулирован ниже, - y

В § 2 установлено, что принадлежность функции пространству Бесова или Гельдера.монет быть сформулирована в-терминах (необходимых и достаточных) индивидуальных сценок их модулей непрерывности, Здесь se дается приложение этого факта к теории приближений, а такуе" доказывается с его помощью обобщение известной террецы Харди - Лнттлвуда об условиях» когда гармоническая в единичном яруге функция является интегралом Пуассона функции из f> - ' ■ ■

¿й|Э 4. .

В § 2 изучается задача об ограниченности СИО с ядром Гильберта .или Ноши в обобщенных" пространствах Гельдера» Основной результат отего параграфа сформулирован шкквь

Приведем кратко точные фор^ляровкн основных результатов.

При ттом отметим, что в самой работе, результаты зачасзуа сформулированы в больней степени общности»

Г л -а в а 2

г- íi ¡г

Пусть ¡u - подпространство в-СИ С 0 состоящее

у ■ - 1f из функции вида - Ck-í «О

Теорема 2.1.3. Для любых СП £. С1~1Л) вложения4

4у ■ '

а, т. <; ж,

в) с; Е*

Л Л }

в) £а Л <5

эквивалентны н имеет место точное по порядь-у неравенство

1,1 .с6(р,уех,Е,)м , 1/1«Дл.#

о С °

где

« „

Замечание. Постоянная с "зависит лишь от ц и от "взаиморасполокения" пространств £ ^ » но от последнего

весьма неожиданно; она, при фиксированном р. , ыо'кет неограниченно расти при сбликении пространств Е , например, Е * I' , С - I г Р Р • Это связано с

* ,а Ч>* 1. 1а

существенной ролью вложения б).

. Отметим также, что величина 0 не всегда, но в трех практически важных случаях (два из них найдены В.И.Овчинниковым) шкот быть выранена в-более удобных терминах - так называемых фундаментальных функций СП Е ^ .

Глава 3

В формулируемых ниже теоремах след понимается в смысле

пространства ь-^СИ ) (см. С»М.Нинольский "Приближенна функций многих переменных и теоремы влокения"„ М. Д97б„ с, 234): стрелка и означает влоиение пространства следов„ стрелка

и 4— п (" ¡¡г^ _ наличие линейного (нелинейного) оператора продолжения»

Теорема 3,3 Л, а) Пусть í*•¡ff)c¡f <<ш . » ® й 3 ' ,

{Л ь>»

^ аГ ~ *<*' - » Тогда

прячем условий £ >0 необходимо для $огов чтобы каадая функ* ция йэ этого пространства Соболева шела бы след на Я >

б) Пусть ^ :. «-Вии » *о

Г

«к га < > П«1

'СЯ1*»' \ : ^

если же . ^ » , то Г

причем условие J? необходимо в смысле утверждения а).

Наиболее интересен предельный случай при ^г« «

Как известно s функция из пространства ffí Р (Я*1) след на

р -

подпространстве Ц,. может и не иметь» Из приведенной теоремы вытекает, что подобная ситуация сохраняется н для (Золее уз-"

кого пространства Соболева У. (Ц } , £ © * р- ,

L^gCÍ-^Ui ÍJ ' -

но у самого узкого в этой, шкале пространства Соболева -

i ^ t <рв,, (íi ) - пространство следов появляется -LpCLfilí >* • , . i

»«> Ln (Я"Ь Хорошо известен результат Гальярдо/

L (Я^) i объединяя его с (I) при р = | „ t'n-n-i ,

$

мы получаем соотношение

' \

(под пространством Соболева с нецелой.гладкостью мы понимаем пространство бесселевых потенциалов).

Замечание. Я.Петре доказал, что в соотношении Гальярдо линейного оператора продолжения не существует. Вопрос о существовании в (I) линейного оператора продолжения, пока остался открытым, В следующих двух утверждениях мы для простоты формулировок

ограничимся случаем следов на подпространстве = С ,

D H-Í

О i Vа , которое обозначим через Ц .

—о

4

-21-',,

Теорема 3,4.4. Пусть 1 * f. А 00 » j «

f = >'" > Рл ' " Ч »' & } ' 0бозначим J> * г - Г?"»

тогда

причем условие j* * О необходимо для того, чтобы каждая функция из (ft*)'. имела бы след на Я.д .

Следствие 3.4.2. Пусть f * f , * ^ » - ¿ , - r.it ,

г-.f% *о \.. V*oim :,

Г.?/ л у tip г' ."в: у..'.--. га. >Ч "9 ■

причеа у<У1оайе ? необходимо в указанном выше смысле. Полоаяв в (2) ^ »,iw' получим, что пространством еле»

до в служит пространство бесселевых потенциалов. Полагая Р -1 й применяя последовательно (2>, получим, что пространством следов на. подпространстве e ® служит пространство Соболева. ; ■ ■

Глава 4 Я-

В следующем утверждении <- оператор преобразования

' Ёурье ( в смысле теории обобщенных функций), а В ( Я ) - СП, Рассмотрим три условия на £ :

I ) существует число $ > О , такое, что фундаментальная

функция Т& (£}. ™ $ <^(егЬъ ^ £(0 ¿э) удовлетворяет услов}®

(* %СЬ Г ;

И ) Е интерполяционно мевду и I,

.... г £

ш ) С » 05о пространство Орлича ¿_ , » причем

ел*

-X ^ !

I (иХ) и ф

Следствие 4»Г.1е Пусть £ л и, кроме того,

£ удовлетворяет одному из условий / ) - Ш). Тогда для

вектора Я , Ти ) , П>0 и любого £ 00 1

вг (Г) - 1(П<=> В" (Г) 4 ВД)1 (П.

Е;е 1

Импликация ■ - тривиальное следствие известной теоремы А, Берлинга, импликация => , показывает точность этой теоремы в широком классе пространств Бесова»

. Отметим, что условию ! ) удовлетворяют, например, прост -ранетва I.рь , р 4 ^ , С" <£ СХ,00!. ( в частности ? [_ '

при р «2 ).

Обозначим через совокупность функций ) ,

£ & Е 3 непрерывных» возрастающих ( = О ) и

таких, что функция I тН) ■ • почти убывает.

Напомним, что функция f & ■ удовлетворяет условию (§1 ('?£($) ) если существует число с^>0 , такое, что

функция Ь почти возрастает; удовлетворяет условию

( 6 С. ) ) , если для некоторого числа р & (о,4 ) .р-1

функция б почти убывает. ...

Обозначим через > & » & 6 » прост-

ранство непрерывных на £о 3 , - периодических функ-

ций , для которых конечна , норма

11^(1 1 * ■Ч -

9

При я «г» мы получаем хорошо известные в анализе простр-ранства .

Рассмотрим оператор перехода к сопряженной функции - ОГО с ядром Гильберта: _ ' '

с?

Теорема Бари -Стечкина утверждает, что Г '• Н ^ И^ Оператор / В пространствах Н«, е при

et £ (о ¡1 ) рассматривался П.Бутцерон и Х.Беренсом а

( „ SfcHÙ » ^toups Qpetb.ta%s ùm4 Jf^toxlnâtUon

BetdiH j Sf dm^t"Ven&g , 1967), где было установлено, что >1 "ч? f*S Н^ & -* H^to » ® в пространствах, близких к H«î» ® - Х.И.14ухтаровы!4 (Докл. АН СССР, 1973, 213, >гЗ) f ' 4

и А.С.Днафаровш Швв» АН â§ep6. ССР, сер. физ.-тех. наук¿1974, )й 2). В этих работах достаточное условие ограниченности оперД-

тора Г ' б Ь'ш п &1гляд0ло так: £ V(l> ^ С S >

vI С*

Сдедувдая теореыа в объединении с теоремой Бари-Стечкина . дает точное ошсаказ ограниченности оператора [' в пространствах fj^jî, (тт<а доказать, что ограниченность оператора Г

в rL «. - рзекзсйльш его действия в Tf, ).

Теоргца в) f : U <«*> t V(i> « О ) ;

VjV т^в

при. ©êÎ1,«s®} в

б) Оператор Г на при каша . не действует в Н^«

Справедливо аналогичное теореме 4.3,2 утверждение об ограниченности оператора

<K!»h -ife-v.P.

*

в пространствах 9 функций, непрерывных на достаточно

гладких замкнутых жордановых спркмляеиых кривых.

Отметим, что при f é С S ) , ?f ( Si ) f и Л не

действуют из Ну в * но иоано подобрать такие ©в (1 с*),

что Г и К действуют из е % Нр & - этот факт ке»

пользуется в теории сингулярных интегральных уравнений с операторами р и К .

СШШК РАБОТ Ш ТЕЬЗ ДЮСЕРШр!

1. Берколайко М.З. Оценки модулс-Я непрерывности функций из

пространств Зр 0 и Ну э //Докл. АН СССР.» 1977,- Т.

233,> 5,- С.7БГ-764/

2. Берколайко М.З. Теорема.йлояения обобщенных пространств Бе-*

сова и Гелъдерз//Докл. АН СССР.- 1980.- ?. 251, У? 4.- С, 521-• . 524 •

3. Берколайко М.З. Об операторе, сопряаегая в пространствах гель» деровского тпла//Сообщ. АН Груз.ССР.«. 1950,-7. 99.- С.281-284.

4. Берколайко М.З. Интерполяция кэазяяннэйных оператора к неравенства для целых фуницчй в сямяет^кшх пространст8ах//Фунпц. анализ и его приложения. «- 1982.« Т. 16, вотД,- С. 60-61.

5. Берколайко М.З. Теоремы вловеная размах метрик и измерений обобщенных пространств Бесоэ'а//Груды ШАН,- 1983.- Т. Ш.- . С. 18-28. |

6. Берколайко М.З. О следах обобщенных пространств дифференцируемых функций со смешанной нормой//Докл. АН СССР.- 1984.- Т. 277,> 2,- С. 270-271.

7. Берколайко М.З. Теоремы о следах на координатных подпространствах для некоторых пространств дифференцируете функций с

анизотропной смётанной нормой//Докл. АН СССР,- 19Е5,- Т.282, # 5,- С. 1042-1046;

8. Берколайко М.З. Образы £урье функций из обобщенных пространств Бесова//Доклады расшир. засед. семинара- ин-та дрикл, мат. им.И.Н.Векуа/Тбилиси,- 1985.- С. 33-36.

9. Берколайко М.З. Неравенства разню: «егрик в смешанных нормах и теоремы влокения//Докл. АН СССР,- 1986,- Т.288 , F4. -

С, 788-791. •

IO-II. Берколайко М.З» Следы на произвольном координатном подпространстве функций, из обобстекКых пространств. Соболева со смешанной нормой. I,П//Кссяед. по геом. и мат, аная, Труды ин^-та мат. СО АН СССР/Т.7. Н-ск:Наука,- 1937.- С. 30-43; Т. 9.- С, 34.41 „

12. Берколайко М.З. Выпуклость банаховых; пространств и теоремы влокения/Деория функций и сменные вэдросы анализа, Труды конф. по теор. функций, поев. 80-летии акад. С.М.Никольского/ М,: Наука,- 1987.- С. 49-50.'

13. Берколайко М.З., Рутицкий- Я.Б. Об операторах в пространствах! Нц, Е //Сиб. матем. ¡курн.- 1983,- Т.24, 3.~ С. 18-33,

14. Берколайко И;3., Овчинников В.И. Неравенства для целых функций экспоненциального типа в симметричных пространствах// Труды ШН,- 1983.- Т. 161.- С. 3-17.

Очень ценный для автора было частое общеше с руководителями ш участниками семинара академиков С.М.Никольского и СД.Соболева - и чл.-кор. АН СССР Л.Д.Кудрявцева, а такие с А.В.Бухваловым, Ы.Л.Гольдманоы, В.И.Овчинниковым.

Всем названным лицам автор выракает свою искреннюю признательность.