Гладкие функции и цилиндрические меры на локально выпуклых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

Глава X.Отображения топологических векторных пространств

Обозначения и терминология.

§1 .Основные определения.

§2.Дифференцируемость и непрерывность.

§3.Цепное правило(теорема о дифференцировании сложной функции).

§4.Формула Тейлора и ее обращение.

§5.Теоремы о непрерывной производной.

§6.Совпадение высших производных различных типов.

§7.Предельный шереход под знаком производной.

§8.Пространства гладких отображений.

§9.Дифференцируемость отображения взятия композиции и экспоненциальный закон для пространств гладких отображений.

§10.Эволюционные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах.

§11 .Топологические векторные пространства,для которых справедлива теорема об ограниченной дифференцируемое™ обратной функции.

Глава 2.Меры на топологических векторных пространствах.

§1.0дин признак счетной аддитивности незнакопостоянных цилиндрических мер.

§2.Обратная теорема Прохорова.

§3.Измеримые линейные многообразия в произведениях векторных пространств с мерой.

§4.Дифференцируемые меры.

§5.Обобщенные фикции и распределения.

§6.Псевдодифференциальные операторы.

§7.Стохастические дифференциальные уравнения.

Глава 3.Совершенно полные и близкие к ним локально выпуклые пространства.

§1.Решения трех задач,связанных с понятием совершенной полноты.

§2.0 топологии пространств^ и 3)

Основные результаты диссертации связаны с задачами локального нелинейного функционального анализа .В ней построено дифференциальное исчисление для отображений топологических векторных пространств ^ТВП) - обычно предполагаемых локально выпуклыми -и для мер на таких пространствах и описаны его применения для исследования обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений относительно функций,принимающих значения в локально выпуклых пространства (ЛВП) ;получено несколько теорем о свойствах "произвольных" числовых мер,в том числе обратная теорема Прохорова для одного класса вполне регулярных топологических пространств и признак счетной аддитивности знакопеременных цилиндрических мер на ЛВП,представляющий собой обобщение теорем Минлоса-Сазонова и Гросса-Сазонова;решено несколько проблем из общей теории ЛВП,связанных с теоремой Банаха о гомоморфизме.

Актуальность темы.Гладкие отображения бесконечномерных пространств,цилиндрические и,в частности»дифференцируемые меры на них и уравнения относительно функций и мер на таких пространствах возникают как в приложениях - в квантовой теории поля [I^ - [з], статистической физике »гидродинамике [б^ , [б^ »теории экстремальных задач так и внутри самой математики - в теории распределений на бесконечномерных пространствах [9^ , [пГ\ , при исследовании нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными , [эб], ¡96^ ,в теории случайных процессов^]!^ • Так,при квантовании по Шредингеру бесконечномерных гамильтоновых систем классической функции Шмильтона сопоставляется пара взаимно сопряженных операторов,один из которых действует в пространстве обобщенных функций,а другой - в пространстве обобщенных мер на конфигурационном пространстве

С9?!»(сужения получаемых так операторов в пространстве обоб

98]. щенных мер на подходящее подпространство порождают,в частности, рассматриваемые в книгах и [8] квантовополевые гамильтонианы в "представлении Шредингера"); прямое и обратное уравнения Колмогорова для диффузионных процессов представляют собой,соответственно, частными производными уравнения для их "первых интегралов "»являющиеся частными случаями обратного уравнения Колмогорова,представляют собой уравнения относительно функций,определенных на некотором бесконечномерном пространстве,а сопряженные к ним - частные случай прямого уравнения Колмогорова - уравнения относительно мер на этом пространстве |9б|(знаменитое уравнение Хопфа[б]является преобразованием фурье сопряженного к уравнению для первых интегралов системы Навье-Стокса[95|).Для формализации и решения задач,в которых встречаются дифференцируемые отображения бесконечномерных пространств и дифференшфуемые меры на них.удобно использовать аппарат дифференциального исчисления в локально выпуклых пространствах;рамки теории нормированных пространств оказываются часто слишком стеснительными.С помощью этого аппарата в диссертации получены,в частности,нелинейный и стохастический аналоги классической теоремы единственности Гольмгрена;именно,показано, что связь между нелинейным эволюционным уравненивм в ЛВП и уравнением для его первых интегралов,а также связь между стохастическим дифференциальным уравнением в ЛВП и соответствующим ещ обратным уравнением Колмогорова аналогичны связи между двумя линейными эволюционными уравнениями,в правых частях которых стоят сопряженные операторы 3 то же время изучение гладких отображений произвольных ЛВП и дифференцируемых мер на них представляет и самостоятельный интерес .В отличие от созданного более 50 лет назад дифференциального исчисления для отображений банаховых пространств,основные результаты которого получаются путем уравнения относительно мер и функций на фазовом пространстве при подходящей интерпретации уравнений с почти непосредственного обобщения теорем классического анализа, теория гладких отображений ЛВП по существу является новой;как постановки задач и методы,так и результаты этой теории часто не имеют классических аналогов,причем есть примеры,когда ее методы находят применение и в линейной теорииЛВП;в частности,один технический прием,использованный в диссертации при исследовании гладкости отображений,применяется в ней затем для решения нескольких проблем,связанных с теоремой Банаха о гомоморфизме.Теория дифференцируемых мер на ЛВП вообще не имеет классического прообраза: впервые понятие дифферецируемой меры на гильбертовом пространстве было введено С.В .Фоминым [э] в 1966 г.Развитие этой теории потребовало исследования свойств произвольных - не обязательно дифференцируемых или неотрицательных - цилиндрических мер Такие меры интересны и сами по себе;доказательства теорем о них составляют один из основных разделов диссертации.

Понятие дифференцируемого отображения ТВП в ТВП было выработа-тано сравнительно недавно .К середине шестидесятых годов было предложено несколько десятков определений и серий определений диффе-ренцируемости для отображений ТВП и ЛВП (см.работы [22^ - [24^и имеющиеся там ссылки) .Однако дифференциального исчисления для отображений ТВП и ЛВП в то время фактически не существовало,и казалось,что единого дифференциального исчисления для них и не может быть,а каждое определению дифференцируемости должно соответствовать свое собственное дифференциальное исчисление .Для трех конкретных определений довольно значительные фрагменты дифференциального исчисления были построены .Для так называемой дифференцируемости по системе ограниченных множеств и для серии близких к ней дифференцируемостей это было сделано в статьях (^23^ и .пересказанных затем в книге Ямаадуры [76^ ,а для двух других определений - в книге Фрелихера и Бухера [22^и в работах

Бастиани и Симоне [37] 9)^4} (см.также ссылки в[25]и[26р.Однако в доказательстве одного предложения в середине п.II.2.8 книги Фрелихера и Духера есть пробел,так что неизвестно,верш ли содержащиеся во второй ее половине предложения о пространствах гладких отображенйй;в то же время в статьях [23^ и [24] пространства гладких отображений вообще не рассматриваются.С другой сторо- , ны, используемая в работах Бастиани и Симоне так называемая МВ-производная является одной из наиболее простых,и в построенной на ее основе теории не приходится преодолевать многие трудности, характерные для небанахова случая;однако для банаховых пространств МВ-дифференцируемость не совпадает с классической диффе-ренцируемостью по Фреше.Итог этому периоду развития дифференциального исчисления для отображений бесконечномерных пространств был подведен в двухтомной монографии Гелера[25],¡2б].

Однако еще в 1972 году было обнаружено[89^,что практически существуют ровно два типа бесконечно дифференцируемых отображений ЛВП то же верно и для У) раз (п > 1) дифференцируемых отображений, если игнорировать возможное понижение порядка дифферен-цируемости на единицу [92~](аналогичный,но более слабый результат был независимо получен в монографии Келлера [27],целиком посвященной классификации высших производных отображений ЛВП) .Этот результат вместе с полученными в то же время и несколько позже другими предложениями о дифференцируемых отображениях [88]-[96^ позволил построить единое и по существу очень простое дифференщиао циальное исчисление для отображений ЛВП [9б].Изложение этого исчисления и его приложений содержится в диссертации • основные результаты монографий¡22] , [76 ] , [27^ являются частными случаями ее предложений.Развитие теории гладких мер происходило аналогично. Здесь также сначала были введены различные определения диф-ференцируемости [9] , [28] и также затем было обнаружено,что все они вкладываются в единую теорию,основы которой изложены в диссертации.

Таким образом,актуальность темы диссертации определяется,с одной стороны,внутренней логикой развития нелинейного функционального анализа и,с другой стороны,тем,что в ней получены результаты и развиты методы,представляющие интерес и вне его рамок.

2.Основные результаты диссертации можно разделить на три группы.К одной из них относятся предложения о свойствах произвольных цилиндрических мер на ЛВП,мер Радона на вполне регулярных топологических пространствах и произведений мер,в том числе теоремы,обобщающие и усиливающие теорему Минлоеа - Сазонова и обратную теорему Прохорова .К другой группе относятся решения задач из теории двойственности ДВП,связанных с теоремой Банаха о гомоморфизме.Наконец,третью группу составляют результаты о свойствах дифференцируемых отображений ДВП и дифференцируемых мер на таких пространствах.

Композиционную основу диссертации образуют результаты третьей группы,занимающие первую главу и конец второй главы диссертации. Результаты первой группы занимают большую часть второй главы ¡результатам второй группы целиком посвящена последняя,третья глава диссертации.Такое расположение материала определяется связями между результатами различных разделов диссертации.

Первая глава посвящена построению дифференциального исчисления для отображений локально выпуклых и более общих пространств. Если не оговорено противное,предполагается,что полем скаляров является поле вещественных чисел.При этом используются две бесконечнее серии определений диффереадируемости,рассматриваемые параллельно .При исследовании дифференцируемых отображений, соответствующих одной из них, используется язык теории псевдотопологических пространств (все необходимые сведения из нее приводятся в основном тексте диссертации, а часть их - еще и в сносках во введении; они есть также в книгах ^22] , [25^ и [9б]] ); в теории дифференцируемых мер используется лишь та серия определений дифференцируемости, которая не связана с псевдотопологиями.

Далее для каждого множества и каждого векторного пространства символ ¿У об означает векторное пространство всех отображений Е1 в . Пусть теперь Е1 - псевдотопологическое векторное пространство (ПВП и, для каждого ПВП & , п ]/Пусть Р - множество, Ф(Р]- множество всех фильтров в г. Псевдотопологией в Р называется отображение «Г множества Р в множество всех подмножеств множества Р) , обладающее следующими свойствами: (I) Мое £ Р Ы € 'с(эс) ( ¡Ъс] ~ Ф^ьтр всех подмножеств Р , содержащих ос ); (2) У ос &Р (4>г, ^ £ П^е С<Г6х)) ; з )\/хеР €<с(ос)^е

Псевдотопологическое пространство - это множество, в котором задана некоторая псевдотопология. Если Р - псевдотопологическое пространство и - его псевдотопология, то фильтр У7 € ^(^называется сходящимся к точке ос € Р , если € ^(эс) -Говорят, что структура группы (с аддитивно записываемой групповой операцией) и псевдотопология , заданные в множестве Е , согласуются, если (I) отображение (Е'*Е1'еСк<с)-^(Е/с)>(хи,х±) непрерывно (т.е. переводит сходящиеся фильтры в сходящиеся). Говорят, что структура векторного пространства и псевдотопология в множестве Е согласуются, если псевдотопология согласуется со структурой аддитивной группы этого векторного пространства и если, кроме того, (2) отображение ^—^СЕ^), эс^^Ёх. непрерывно. Псевдотопологической группой называется множество, наделенное согласующимися структурой группы и псевдотопологией; псевдотопологическим векторным пространством называется множество, наделенное согласующимися структурой векторного пространства и топологией. Все рассматриваемые псевдотопологии предполагаются

Q^^^CEIjQJ - векторные подпространства пространства причем выполнено следующее условие: (С) если Ц~~ -окрестность нуля в пространстве i jf & )G)

Определение I. Отображение ^ части ХГ пш в ПВП Q называется (один раз) J^^ - дифференцируемым в точке эс(£^ХГ~) если существует элемент пространства j^C^E-j &J »называемый (первой) -производной отображения Jj^ в точке ос0 и обозначаемый символом ^ (э(о) (т.о., символы используются в обозначениях соответствующих производных), окрестность нуля V0 в пространстве Е и отображение G)* «(называемое при этом -малым), такие, что lfQ <Z \J~ и для всех справедливо равенство н- Л) - f foc „) = +

Из требований, наложенных на паруQ>J^ вытекает, что для всякой точки d € множество JD^ (U~ отображений & ^(iJ^Qj* -дифференцируемых в точке et , образует векторное подпространство пространства причем отображение I—>^ {&-J} (; кроме того, в силу этих же требований, каждое отображение Q>J может иметь не более одной производной в данной точке, всякое отображение "Z. $(EjG?J ^С^-дифференцируемо в нуле, и О CE j • Конечно, верно и обратное отделимыми; топологии считаются частными случаями псевдотопологий.

I/ Если Е - ПВП и - его псевдотопология, то через С1 ° (соответственно, через ) обозначается сильнейшая среди всех локально выпуклых топологий (соответственно, сильнейшая среди всех топологий в [£. , согласующихся со структурой векторного пространства), мажорируемых псевдотопологией ; пространство £ наделенное псевдотопологией<Г (соответственно,обозначается к последнему утверждению: если ^ - -дифференцируемоев нуле отображение Е в С и ^ (О) — О »то ^ € $ (Е^С>)

Практический интерес представляют случаи, когда ^С (Е, С*) совпадает с одним из следующих четырех пространств: ^ (Ь., & СЕ} С>)} В(Е, 0^). В СЕ, 0•) ; приведенные символы обозначают векторные подпространства пространства всех линейных отображений Е в 0> , состоящие, соответственно, из всех непрерывных, секвенциально непрерывных, квазиограниченных и ограниченных отображений^. В диссертации рассматриваются подробно лишь случаи, когда Ж-СЕ}0>) совпадает с одним из первых двух пространств; аналогичные результаты справедливы и тогда, когда ^ССЕ^ С>)совпадает с одним из оставшихся пространств, причем их формулировки и доказательства, как правило,проще; это объясняется тем, что объем пространств Б СЕ, С*) ж В СЕ, 0?) не зависит непосредственно от псевдотопологий пространств Е и & , а определяется лишь запасом квазиограниченных фильтров и ограниченных множеств в них, соответственно (по этой причине теории в к - » вя -дифференцируемых отображений фактически представляют собой - при подходящем выборе множеств (, , . ) - теории дифференцируемых отображений векторных пространств, наделенных структурами более бед

ГТ о г— ОО через ¿1 (через о ),

I/ Отображение ^ ПВП Е в ПВП С называется квазиограниченным (ограниченным), если оно переводит каждый квазиограниченный фильтр (каждое ограниченное множество) в квазиограниченный фильтр (ограниченное множество). При этом фильтр ^ в ПВПЕназывается квазиограниченным, если ^0 Е » где ]// - фильтр окрестностей нуля в /(^ ; подмножество в Е называется ограниченным, если ограничен порожденный им фильтр (символ " ^ Е " означает "сходится к нулю в Е ")• ными, чем топология или псевдотопология: борнологией (^29] , [зо^ в первом случае и "квазиборнологией" - во втором).

После выбора пространства^^Е, (С,) для определения первой производной достаточно задать пространство (Е, 0>) .В диссертации для этой цели используется понятие псевдотопологии. Если Е-1 и ¿Г? - два векторных пространства,^ ^ и /7 <£ ( ~Лмножество всех натуральных чисел), то через п.^ обозначается отображение Е1 в Е^ , определяемое равенством Ь (ос € ) , а через 10 - нулевое отображение в Ь2 ( ^ 0 ) — О для всех ос ). Пусть, для каждого ПВП 0> , ^(Е, 0>) - псевдотопология в С), мажорирующая топологию поточечной сходимости и превращающая 0>) ъ псевдотопологическую векторную группу^ (которая будет обозначаться символом (¡¿с (Е, С>) ).

Определение 2. Отображение <ъ ПВП в ПВП О- называется <27 -малым /1 -ого порядка ( П если отображение ~Ь ^ , К ^г (£■> непрерывно в точке

Отображение, ЧГ -малое первого порядка, называется С2Г -малым. Множество всех отображений £" в С , являющихся ^-малыми /7 -ого порядка, обозначается символом ^ ,

Замечание I. Если для каждого из включения 1 € вытекает, что 1 ^ что, каково бы ни бшо^^Е*

I/ Псевдотопологической векторной группой ( ПВГ ) называется векторное пространство Е , наделенное псевдотопологией *С , согласующейся со структурой его аддитивной группы и удовлетворяющей, кроме того, следующим двум условиям: отображение $ 'л (Е, (£ эс) I—» ос непрерывно в точке {О, О ); отображение (^ <Н ^/Г ¿с "¿эс непрерывно в точке О для всякого £ £

О в С , то в О) существует даже топология СГ , мажорирующая топологию поточечной сходимости и такая, что <£(Е}С)-Х\ЪГ и 5Р (Е3 С) , так что определение 2 вводит, по существу, лишь способ описания пространств же, а) "малых" отображений, не сужая их запаса. При этом для основных известных определений дифференцируемости Светом числе и введенных первоначально независимо от каких бы то ни было псевдотопологий) удается определить задающие их "хорошие" псевдотопологии и лишь иногда - топологии.

Далее всегда предполагается, что (Е, 0>)"{Я^^СЕ; (Z■J, и, если не оговорено противное,что ¿^совпадает или с

УЕ* С») » или с «¿'(¿Г, 0>) '* ПРИ этом требования, наложенные выше на пару ( ^C(EJG>JJ & (Е^О)), оказываются выполненными, так что применимо определение I. Вместо терминоВо^!^^"' производная будут использоваться, соответственно, термины <Г-производная , <5Г -производная.

Для определения высших производных по индукции следует в каждом из пространств Ж(Е, а); Же, ох ,.

Е;,. О-))\. ,) ввести какую-нибудь топологию или псевдотопологию (согласующуюся со структурой векторного пространства). Представляется естесственным, чтобы, для каждого ПЕЛ С> , пространство наделено псевдотопологией, являющейся сужением на Е} О*-) псевдотопологии , определяющей пространство $ Г^(Е;С*)Т-малых отображений. Однако без дополнительных предположений это требование не накладывает существенных ограничений на псевдотопологию в а), так как, каковы бы ни были подпространство ^(Е, С») пространства О?) , обладающее пе

I/ Наделенное такой псевдотопологией, это пространство обозначается символом СЕ, С"), речисленными в замечании I свойствами, и топология ^^ в мажорирующая топологию поточечной сходимости и согласующаяся со структурой векторного пространства, в О-) существует топология^ сужение которой С^совпацает с , которая обладает свойствами, сформулированными перед определением 2 и такова, что . Поэтому приводимое далее определение 4 оказывается все еще максимально широким.

Определение 3. Отображение ^ части ХГ ПВП Е в ПВП 0> называется (один раз) -дифференцируемым (соответственно, "Г -дифференцируемым) на множестве Ц~ , если оно -дифференцируемо (соответственно, -дифференцируемо) в каждой точке ос ьг; при этом отображение ^ -зс '(ос)} —СЕ} 0>) соответственно, (Е^ ) называется (первой) СГ производной (соответственно, -производной) отображения ^ (на V ).

Определение 4. Предположим, что, для каждого ПВП 0> , ^-(Е^)-ПВП . Отображение ^ части Ц~ ПВП Е в ПВП С называется н раз псу!/* н > 1) -дифференцируемым в точке 0Со €. Ц~~ , если оно п - 1 раз -дифференцируемо на некотором содержащем точку ос0 множестве 0> и его /7-/-я -производная

-дифференцируема в точке эс© ; при этом п- и <Г-производной отображения ^ в точке называется первая <Г~ -производная отображения ^в этой точке:

Отобракение ^ называется бесконечн© -дифференцируемым в точке ос0 € и~ , если, каково бы ни было натуральное п , отображение ^ п раз -дифференцируемо в этой точке.

Аналогично определяются отображение, п раз ^ -дифференцируемое в точке, его п-я «Г"-производная, производные по подпространству и т.д. В дальнейшем используются без дополнительных пояснений также и эти понятия.

Замечание 2. Если заменить термин "ПВП" термином "ПВГ" , то определения 1-4 окажутся применимыми и к отображениям ПВГ.

Замечание 3. В приведенных определениях не используются специальные свойства поля вещественных чисел; все эти определения применимы и к векторным пространствам над произвольным нормированным (и даже топологическим) полем. Более того, их можно распространить и на отображения (псевдо) топологических модулей над (псевдо) топологическими кольцами.

Достаточно широкий и в то же время допускающий построение содержательной теории класс псеццотопологий в пространствах ^(Е, вводится в следующем определении (эти псевдотопологии представляют собой обобщения топологий равномерной сходимости на системах множеств). Именно для этих псеццотопологий определение 4 оказывается наиболее естес твенным.

Определение 5. Пусть Р - множество, ^ - псевдотопологическая коммутативная группа, ^ некоторое множество фильтров в к . Псевдотопологией (в группе ) всех отображений множества Р в ) сходимости на множестве (=системе) фильтров из ^ или, короче, ^-топологией, называется псевдотопология, обозначаемая через (Р, 5) и определяемая так: ч> ^ (Р, 5; и - С А) ^«е-у (Р, у ;

Так определенная псеэдотопология согласуется со структурой группы в ; если ^ -ПВГ , то и^Г (Р>

Вместо символа обычно будея? использоваться символ цу , в частности, ^С^ -производная будет называться ^ -производной. у - и ^р - производные называются также производными по системе фильтров .Будут использоваться также термины "дифференцируе-мость по системе фильтров" и "дифференцирование по системе фильтров". Если ¿> - некоторое множество подмножеств множестваМ^ множество фильтров,каждый из которых порождается некоторым элементом множества ¿> ,и - коммутативная топологическая группа,то псевдотопологияЧ^^/^ 5) совпадает с топологией сходимости на системе множеств .Б том случае,когда ЧК<^ДЛЯ некоторого множества <о подмножеств ПВП Е ,вместосимвола ^у будет использоваться символ Сэ ;при этом ¿> - и(?- производные называются также производными по системе множеств <э (используются и другие аналогичные выражения).Производные по системам множеств и фильтров - это и есть те две серии производных,о которых было сказано выше .Конечно,дифференцирование по системе множеств - это всего лишь специальный вид дифференцирования по системе фильтров. Однако,в отличие от теории производных по системам фильтров,теорию производных по системам множеств можно построить,оставаясь в рамках классического функционального анализа (т.е. не пользуясь языком псевдотопологий ^;при этом обнаруживается аналогия между свойствами операции дифференцирования по системе множеств для отображений ТВП,с одной стороны,и свойствами операции дифференцирования по системе фильтров для отображений произвольных ПВП, с другой стороны.

Для кавдого псевдотопологического пространства с. через М$(Е) обозначается множество всех сходящихся в Е фильтров;для каждой пвг£Г через /^(^/обозначается множество всех квазиограниченных фильтров в Е ;для каждого ТВП Е через-^(^соответственно, через С(Е))обозначается множество всех ограниченных подмножеств Ь (соответственно,множество,определяемое так: $ представЕ ляет собой множество элементов некоторой сходящейся в£ последо

ЛГ вательности) ;тконец,через^(£/обозначается множество всех конечных подмножеств Ь. .Символ £Тв этих обозначениях будет обычно опускаться; дифференцируемые отображения,будут называться также ограниченно дифференцируемыми .При/: вместо терминов »д л и т.д. -дифференцируемоеть"будет использоваться термин !,дифференцируемость",так как в этом случае все эти термины имеют одинаковый смысл ;кроме того,при этом,для каждого ПВП 0> »векторное пространств.ос^/^ б^)будет отождествляться с (2, .

С псевдотопологиями сходимости на системе фильтров тесно связаны так называемые псевдотопологии Хайерса - Ленга и Келлера,определение которых сейчас будет дано.Если - векторное пространство с псевдотопологией ¿¿~",то через ^^обозначается инвариантная относительно сдвигов псевдотопология в /2 »определяемая соотношением: ^ \/с «Г 3 У : ^ ^ <с ^ У/^у При этом векторное пространство Е »наделенное псевдотопологией »обозначается через ¡1- .Если Ь. - ПВП или ПВГ, то £1 таково же. .-

Если и - ПВП,то пространство и его псевдотопология называются [22] уравновешенными. Если £Г-псевдотопологиче ское пространства, а (2» - ПВГ,то псевдотопологией Хайерса-Ленга в называется псевдотопология,обозначаемая через¿у'шш,короче, через ,и определяемая так: (Ь^)- ^ (С^.Если Е -множество, - некоторое множество фильтров в Е и & -псевдотопологическая коммутативная группа,то через ^обозначается инвариантная относительно сдвигов псевдотопология в С?), определяемая 1Гв Ф 1Г) 1>& Если Е -псевдотопологическое пространство и (2, - ПВГ, то асевдо-топологией Келлера в , С?) называется псевдотопология,обозначаемая через ^(Е}&)шж черезТ^ и определяемая так:

Символы^^обычно будут заменяться символами /-/¿^ К .Если С -ПВГ, то^^также ПВГ ,но,вообще говоря, не ПВП даже в случае, когда 0> - ЛШ.

Замечание 4. я В -дифференцируемые отображения ЛВП были введены Себаштьяном э Сильва [32] . Один раз М В -дифференцируемые отображения ЛВП впервые были рассмотрены Майклом [33] , один раз НЬ -дифференцируемые отображения ЛВП - Хайерсом [34] задолго до появления понятия псевдотопологии, введенного Ковальским [Зб] и впервые систематически использованного в дифференциальном исчислении Бастиани , которая с помощью этого понятия независимо от Майкла ввела М8 -дифференци-руемость произвольного порядка (подробно исследованную в [37]-[39] ). Определение однократной Г В -дифференцируемости совпадает с определением дифференцируемости, введенным в книге Бух ера и Фрелихера £22] . К -производные первого порядка для отображений ЛВП ввел Келлер [Зб] . Дифференцируемость по произвольной системе фильтров (в частности, РБ -производные произвольного порядка) а также ¿ -производные были введены автором [89] , [92.] , [96] .

Замечание 5. В книге [22] при определении производных высшего порядка пространство 0>) наделяется псевдотопологией , а при определении малости отображения используется псевдотопология ^р^ ) такая непоследовательность объясняется тем, что в то время не было известно доказательство цепного правила для рВ -производных произвольного порядка (цепное правило для [~В -производных неявно использовалось в [89] и было опубликовано в [Э2\ и в 0*1 >.

Есть и другие работы, в которых используются (по аналогичным причинам) столь же непоследовательные (хотя и другие) определения высших производных [40*], [31] .

Замечание 6. Необходимость при определении высших производных наделять пространство псевдотопологией, а не топологией в свое время мотивировалась тем, что если Е и 0> - локально выпуклые пространства , причем Е ненормируемо, то ни при какой локально выпуклой топологии в(^отображение вычисления £х^(Е3 С , не является непрерывным, из-за чего классическое доказательство цепного правила невозможно провести в рамках теории топологических векторных пространств для тех случаев, когда из дифференцируемости следует непрерывность. Сейчас такую мотивировку следует считать устаревшей, так как в настоящее время известны (отличающиеся от классического) доказательства цепного правила и для тех случаев, когда из дифференцируемости не следует непрерывность (для .£ - и ^-производных £41] , [зб] ) и в то же время даже использование псевдотопологий не позволяет распространить классическое доказательство цепного правила на -производные высших порядков. Истинной причиной того, что при построении теории дифференцирования для отображений ЛВП оказывается полезным рассматривать отображения ПВП и даже ПВГ , следует считать невозможность с помощью чисто топологических понятий сформулировать естес твенные для теории дифференцирования требования типа непрерывности. Именно, даже когда Е и С- - ЛВП , ни в одном из пространств мк (Е, &), Аа (Е> ^ ¿»¿£> С)> Упсевдотопология не может быть, вообще говоря, задана никакой топологией (хотя бы и не согласующейся со структурой векторного пространства), так что для того, чтобы иметь возможность определить высшие М В~} НЬ~} производные отображений ЛВП в ЛВП по индукции, не обход шло располагать определением производных для отображений ЛВП в (произвольные) ПВП и даже ПВГ ; в теоремах о гладких отображениях ЛВП возникают и дифференцируемые отображения ПВП ; наконец, с помощью псевдотопологий (как видно из предыдущего) весьма просто формулируются определения малости отображений. Отметим однако, что теорию производных по системе множеств (не фильтров) для отображений ЛВП можно построить, оставаясь в рамках теории ТВП , что и делается в диссертации. (Для этих производных из дифференцируемости не следует непрерывность).

В первой главе диссертации получены, в частности, следующие результаты.

Теорема I §6. Пусть Е и 0> - ЛВП , причем Е удовлетворяет следующему условию сход шло сти Макки: для всякой последовательности {х^ элементов из Е , сходящейся к нулю, найдется последовательность {положительных чисел, такая, что Хк—** 9 но —^ О . Пусть, далее, Ц~ - открытое подмножество Е €1Г и у -отображение V в О . Тогда, если, для всякого функция ; ос -ёСч'Ы)) ,

С -дифференцируема в точке х0 , то отображение чу секвенциально непрерывно в этой точке; если для всякого £ £ 0> функция Н раз (/^б^^шш ь = ) с -дифференцируема на 7X" и п + / раз с, -дифференщфуема в точке ос0 , причем & секвенциально полно, то у п раз -дифференцируемо в этой точке.

Теорема 2 §6. Пусть Е -уравновешенное, а О- -локально выпуклое ПВП Ц~- открытое в Е подмножество Е • Тогда всякое /7 -+• раз -дифференцируемое в точке зс£ ХГ отображение у; ХГ-^О? П раз ни -дифференцируемо в этой точке.

Последняя теорема содержит один из основных результатов книги

1/Л 8 П С называется локально выпуклым , если из сходимости в С- к нулю фильтра у9 вытекает сходимость в О. к нулю п с,о фильтра у> , порожденного замыканиями в ь» выпуклых оболочек множеств из у>

Келлера [27^ , опубликованной одновременно с заметкой автора , в которой была анонсирована (для п—о^ ) эта теорема (ее полная формулировка и доказательство напечатаны в [1иГ\ ).

Пусть с0 - шварцевское пространство финитных бесконечно дифференцируемых функций, определенных на И -мерном эвклидовом пространстве, 2) - его сильное сопряженное, ^ - счетная сумма, - счетное произведение вещественных прямых.

Теорема 3 § 6. На каждом из пространств можно определить всвду бесконечно ^ -дифференцируемую вещественную функцию, не являющуюся в некоторых точках МВ -дифференцируемой и даже непрерывной. (Функции с такими свойствами строятся в диссертации явно).

То, что было сказано выше о двух типах дифференцируемых отображений, вытекает из этих трех теорем.

Теорема 2 § 3. ПустьЕ? 0>, Н -ПВП (соответственно, ТШ ), причем пространство Н отделимо (т.е. для всякого ненулевого элемента Н найдется линейный непрерывный функционал ч^ на /-/ , такой, что ^ - отображение С- в Ь> , /7 раз РВ- (соответственно, с Л ) -дифференцируемое в точке ос0 , с^ - отображение С в Н , /7 раз соответственно, еу ) -дифференцируемое в точке ^ (эс0) . Тогда композиция^7/?раз гв (соответственно, ^ с7; ^ ) -дифференцируема в точке .

Доказательство этой теоремы опубликовано в [96~][ ; для частного случая ^ -производных она была независимо доказана также в

И.

Для МВ (соответственно, С ) -производных сформулированное предложение также справедливо, притом для произвольных ПВП (ТВ П)-в этом случае оно даже "тривиально", так как применимо классическое доказательство.

Требование отделимости Н° связано с тем, что оно достаточно для симметричности высших производных, используемой в доказательстве: для отображений ЛВП в не локально выпуклые ТВП вторая производная (в точке) может быть, как показано в диссертации, даже антисимметричной.

В § 4 приведены условия, достаточные для того, чтобы для п раз «Г -дифференцируемых отображений (; Е—^ 0> ) были справедливы формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, т.е. включение

V ¿' — / —-¡-^—--^ и ее обращение; доказывается также "формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагр^анжа".

Если Е - псевдотопологическое пространство, (3 - множество, У> - фильтр в и ^ - отображение О. в Е , то запись хуосх в Е " означает, что образ фильтра у? при отображении ^ сходится в Ь к элементу ос . Используются и другие аналогичные обозначения.

Будем говорить, что псевдотопологическая коммутативная группа Е удовлетворяет аксиоме повторного предела (АШ) [^Зэ] , если, каковы бы ни были множества /I и В с фильтрами у5 и у и отображения В ^ Е и : /? * В —* Е » справедлива импликация [рС*, ■£)О Л V а £

Га Е].

Всякая топологическая коммутативная группа удовлетворяет АШ; если фильтр ч^ содержит только одно множество В Л Е - топологическое пространство, то условие <^6*, ^р ' 0оъъо.-чает, что^¿^равномерно по В

Псевдотопологическая коммутативная группа называется полной, если справедлива импликация / у - фильтр в е Е, У^Е]. в

В § 7 доказывается следующая

Теорема I. Пусть Е , 0> - ПВП, причем б локально выпукло и удовлетворяет АПП, 4х - множество фильтров в Е , обладающее следующими свойствами:

1) £\£ч{1=£>[: у/Х 6 У] ;

2) если X ^Е , ТО

3) [а б Е, X е £> + * £ .

Пусть, далее, ф - фильтр в С*) , обладающий базисом, все множества которого состоят из ЦУ -дифференцируемых отображений Е В С , - фильтр в , порожденный образом этого базиса при отображении взятия у -производной. Тогда

1) если Ф сходится в &) к -^с , а

Ф сходится в к а , то отображение /

У -дифференцируемо, и ;

2) если ф сходится в (Ь^ (Е) О]) % и для некоторой ТОЧКИ ЭС 6 С. сходится (в £ ) фильтр (р(осJ , причем пространство 0> полно и справедлива импликация (4) £" Д £ Ц^]

1]^р] , то существует такое -дифференцируемое отображение С], что и ^^ .

Аналогичное предложение доказано и для последовательностей (не фильтров) «2Г -дифференцируемых отображений ТВП в ЛВП.

Если Е и С - ТВП, - часть ¿Г и $ - некоторое множество ограниченных подмножеств Е , то через С^, С^ ( К ) обозначается топологическая векторная группа, определяемая так: £ С^ ^ секвенциально непрерывное отображение в 0> и \/ос € Е ^ /сраз -дифференцируемо в точке X , причем отображение ос I—^^ & (эс.)л Е—^ —¿¿^ (Е С) переводит ограниченные множества в ограниченные и секвенциально непрерывно для каждого ^ ^ ^ Л^, .к^

Из теоремы о предельном переходе под знаком производной выте-%— ^ ) если таковолю , ✓-» кает, что ТВП С^ (с^ Ьу секвенциально полно>1 (§ 8).

Аналогичное предложение доказывается и для пространств отображений, дифференцируемых по системам фильтров; в то же время аналог этого предложения для Н/-, -производных уже неверен (как показано в диссертации).

Для пространства ^ Я1) ( Н - гильбертово пространство) доказывается (§8) аналог теоремы Петре [[42^ , дающей аксиоматическое описание дифференциальных операторов.

Вввду далее через С о/г? обозначается отображение взятия комПОЗИЦИИ Ж, &) хШ, Е , С* , - множества). Следующее предложение является частью теоремы 3 § 9.

Пусть £[ , 0> , / - ТЕП, причем Т локально выпукло, , ^ €.Тогда сужение отображения сот на пространство С^ (Е} О] хС^ ^ (С*; Т) /> раз -дифференцируемо как отображение этого пространства в пространство С^ (Е> для того,чтобы это отображение было .3 секвенциально непрерывно и р раз -дифференцируемо, достаточно, чтобы для всякой сходящейся к нулю последовательности /зс^} элементов пространства О- существовали ее подпоследовательность {•Хп^ И последовательность вещественных чисел j такие, ЧТО ) .—> , НО Д. ос —о .

При этом в обоих случаях для подходящих ( ^ ,-¿г ), ( , ) ., , ^ ) к )) справедливо равенство: с^/*'С?, #)((*,.

Зудем говорить,что для -дифференцируемых отображений ТВП Е и £ справедлив экспоненциальный закон,если,каково бы ни было ЛВП Т »отображение Ж [рс 1-* [2.1 представляет собой изоморфизм ГГJ наС^ (Е,

- это проективные пределы относительно канонических отображений последовательностей пространств

В диссертации показано ^§9) ,что,если ТВп£~и С обладают свойством,о котором говорится в конце предвдущей теоремы,то для ^-дифференцируемых отображений этих пространств экспоненциальный закон справедлива отмечено,что аналогичное предложение верно и для пространств отображений ПВП (при этом,как и во многих других случаях, <£ -дифференцируемости соотв етствует в-дифференцируемость).

Следующий параграф посвящен описанию связи между эволюционными дифференциальными уравнениями в ЛВП и уравнениями для их первых интегралов.

В последнем параграфе описывается класс ЛВП,для отображений которых справедлива теорема об ограниченной дифференцируемости обратной функции.Мы говорим,что в ТВП справедлива теорема об ограниченной дифференцируемости обратной функции, ее ли, каковы бы ни были точках^ и взаимно однозначное отображение^>из 4-дифференцируемости этого отображения в точке айн лрерывно-сти отображения ^ в точке вытекает - при условии,что-^х) -линейный гомеоморфизм Е на Е) -^-дифференцируемость отображения $ в точке ^ .

Теорема I § II.Для того,чтобы в ЛВп£" была справедлива теорема об ограниченной дифференцируемости обратнвй функции,необходимо и достаточно,чтобы Е удовлетворяло следующему условию:для всякой сходящейся к нулю последовательности (а^ ненулевых элементов Е существует такая последовательность^]вещественных чисел,что последовательность ограничена, но не сходится к нулю в Е .

Это предложение доказано в ; оно содержится также в книге Ямамуры [7б] , однако приведенное в ней доказательство не является независимым: оно использует обобщение одной конструкции, принадлежащей автору.

Отметим, что в диссертации не рассматриваются определения производных, вводившиеся для получения таких обобщений теоремы о локальной обратимости гладкого отображения и о дифференцируемости обратного отображения, которые были бы справедливы сразу для всех локально выпуклых пространств (см. по этому поводу работы ¡2.6^ [7^3 И ше]К}Щиеся там ссылки).

Во всех таких определениях на отображения накладываются весьма сильные ограничения. Теоремы § II и контрпримеры в конце работы [^24^] , показывают, что такого рода ограничения неизбежны, если желать, чтобы теоремы, о которых вдет речь, были справедливы для всех локально выпуклых пространств; однако эти ограничения сильно сужают область возможных приложений теории.

Во второй главе рассматриваются дифференцируемые меры на локально выпуклых пространствах; кроме того, она содержит ряд теорем общей теории меры, используемых при исследовании дифференцируемых мер и в приложениях теории таких мер.

Если ЕЕ - векторное пространство и р - некоторое множество линейных функционалов на Ь , то через ОСр обозначается алгебра р~ -цилиндрических подмножеств £ { 01 существуют такое конечное семейство > > и такое борелевское подашожество^ространства К" , что А - {йс 6 Е\

-цилиндрической мерой на Е: 00 значениями в ЛВП 0> называется функция У; 01Д -—^ 0> , обладающая следующим свойством: каково бы ни было конечное подмножество К множества , сужение У на ¿7 счетно-аддитивно.

Преобразованием Фурье (ПФ) такой меры называется функция определяемая так: /*эср (¿$(х)) у (о/ос) . Е

Пусть Н - гильбертово пространство со скалярным произведением ( # ? ' Н) множество всех его конечномерных векторных подпространств и, для каждого /■""Рр- -оператор (в Н ) ортогонального проектирования на Е . Пусть^далее^ \У -Н -цилиндрическая мера на Н , определяемая равенством:

JVfocJ - ^-оср ^

Полунорма ^ на А/ называется измеримой, если выполнено следующее условие: £ .(всякая полунорма, измеримая в смысле Гросса £19] , измертла).

Если - ЛВП, то топологией Гросса-Сазонова (в £ ) называется топология, задаваемая семейством С? полунорм, определяемых так: <£ (р существуют линейное непрерывное отображение

ЛВП ¿Г в сепарабельное гильбертово пространство Н и измеримая полунорма Р на Н , такие, что —

Во второй главе получены следующие результаты.

Теорема I § I. Пусть Ь - ЛВП, ЕЕ - его сопряженное и У - Е -цилиндрическая вещественная мера на Е , множество значений которой ограничено. Для счетной аддитивности У достаточно, чтобы ее ПФ было (всюду) непрерывно в топологии, Гросса-Сазонова в

Е .

Эта теорема обобщает теоремы Минлоса-Сазонова £1б] - ¡18] , £21*] и Гросса-Сазонова [19] и усиливает теорему Шавгулвдзе [21] , являющуюся, в свою очередь, обобщением первой из названных теорем.

Пусть - ТВПуТПХЕ)- векторное пространство всех мер Ра-дона(£21] ) на Е » Е^С Е) ~ векторное пространство всех ограниченных вещественных функций на ; векторные пространства С£ СЕ) и 772 ХЕ) находятся в двойственности относительно бшшнейной формы V) |—=> J ^ о/V .

Теорема I § 2. Пусть £ - замкнутое подпространство произведения счетного семейства ЛВП » причем, для каждого с , Е-1 - строгий индуктивный предел последовательности пространств Фреше или ^ - пространство [46] , обладающее счетной фуццамен-тальной системой компактных множеств. Тогда пространство 1%Е)* секвенциально полно; более того, если р -подмножество пространства ^72 » каждая бесконечная последовательность элементов которого содержит фундаментальную втопологии (7П ЧЕХ Ое(Е)) подпоследовательность, то для всякого в ¿- существует такое компактное подмножество Л , что ¡¡УСЕ \ К) <£ , если Р .

Это - обратная , ' теорема Прохорова /~201 , Г211для описанного класса пространств.

В § 3 доказывается "закон нуля или единицы" для измеримых линейных многообразий в произведениях семейств векторных пространств со счетноаддитивной нормированной мерой. Одним из следствий полученных здесь результатов является следующая теорема, представляющая самостоятельный интерес.

Пусть для к — ( > В^ » ) - вещественная прямая с мерой, причем все меры совпадают с одной и той же симметричной мерой, не сосредоточенной в нуле, а все Вк - с <с> -алгеброй борелевских подмножеств . Пусть еще СП ик,ТГвк, черта сверху означает пополнение меры и ее область определения) и {последовательность вещественных чисел.

Тогда для того, чтобы множество всех тех последовательностей ^ в О, для которых ряц ^ \к сходится, содержало некоторое измеримое векторное подпространство пространства , обладающее полной мерой, необходимо , чтобы сходился ряд 1 ^к I

К-1

Если £ - множество я ОХ. - алгебра его подмножеств, то мерой на ( ^ , ОЬ ) со значениями в векторном пространстве называется аддитивная функция У : .

Пусть Е - векторное пространство, Е ] - его векторное подпространство, (7С - алгебра подмножеств , инвариантная относительно сдвигов на элементы из ЕЕ]* и С - векторное пространство.

Если У - мера на ( , 0~1 ) со значениями в & и то через У^ обозначается мера на ( Е , (X- ), определяемая равенством У^ (/?)— ; она называется сдвигом меры у на элемент Л . Пусть 0 - некоторое векторное пространство мер на ( Е > 01 ) со значениями в 0> , -топология в 0 , согласующаяся со структурой векторного пространства, причем выполнено следующее условие: £ Е], отображение т]—* —^ } V У^ представляет собой гомеоморфизм.

Мера V £ 0 называется ( (2 » ^ ) -дифференцируемой по направлению если И В а существует такая мера

1 , что 1 при О ; при этом мера ^ называется ( (5 , ) - дифференциалом (первого порядка) меры У при приращении Л и обозначается символом или ¿^ уЛЛ ).

Пусть Е] - Если мера У ( , Т ) -дифференцируема по каждому направлению Д £ Е^ и отображение о,/V :

О. > ) линейно и непрерывно, то мера У называется (слабо) ( , «Г ) -дифференцируемой по подпространству , а отображение с/у - ее ( , *С ) -дифференциалом по подпространству Е] . При этом отображение // ы» представляет собой; меру на ( , ОЬ ) со значениями в пространстве линейных отображений Е] в О- ; она обозначается символом у{ и называется (слабой) ) -производной меры у по подпространству Е] .

Для мер можно сформулировать аналоги и других определений производной, известных для отображений ТВП.

В частности, мера у 6 Q называется ( Q ,<С ) -ограниченно дифференцируемой по подпространству Е^ , если отображение Е^ ^ ( Q, , ), ^-дифференцируемо в точке

0 (тогда это отображение -дифференцируемо всюду).

Теорема I § 4 (о среднем для мер). Если мераyGd ( Ci, Г ) -дифференцируема по направлению Е^ , причем топология

ZT локально выпукла, то справедливо включение ^ — У € € \ 0<е < 1) ' , где соигг^ ] - замкнутая выпуклая оболочка множества £ ^ в пространстве

С помощью этой теоремы и результатов § 1,2 в § 4 показано, что из более слабой дифференцируемости при некоторых дополнительных предположениях вытекает более сильная. В частности, доказаны

Теорема 2 § 4 гл II. Пусть Е. - ЛВП, для которого выполнены предположения теоремы I § 2 гл. II, (7L - ¿> -алгебра его борелевских подмножеств,. <Ггг- топология сходимости по вариации в пространстве и Eli бочечное ЛВП. Пусть, каковы бы ни были ограниченная непрерывная функция ^ на Е и элементы

Н. гующия ( tf , tt ^jf^t/^AJv^ ft2-—¡\ * дважды дифференцируема в точке (0, 0). Тогда мера у {7П°(е\ Ту- ) -ограниченно дифференцируема по подпространству Е1 • Теорема 3 § 4. Пусть Е - ЛВП, Е - его сопряженное,

01 - ¿> -алгебра подмножеств Е » порожденная алгеброй его Е -цилиндрических подмножеств, причем Е таково, что ¿77 совпадает с £ -алгеброй борелевских подмножеств Ей » УП ^ некоторое векторное пространство счетно-аддитивных мер на ( Е » OL ) и -топология в , согласующаяся со структурой век

-31- , торного пространства,б которой множество > Н^Н ' / замкну то. Тогда, если мера (Ж^) -дифференцируема по направлению причем о/^у является мерой,абсолютно непрерывной относительно у ,то мера У и (^Т^/г^-дифференцируема по направлению ^г •

С помощью этой теоремы очень просто доказывается бесконечная дифференцируемость по некоторому гильбертову подпространству всякой гауссовой меры.

Б § 4 определяются также дифференциальные операторы,действу-ющие в пространстве /77 бесконечно дифференцируемых по подходящему подпространству мер на гильбертовом пространстве как сопряженные относительно естественной двойственности к дифференциальным операторам,действующим в пространстве гладких функций на том же пространстве,и доказывается,что для того,чтобы линейное отображение пространства 371 в себя было дифференциальным оператором, достаточно (помимо непрерывности в слабой топологии,определяемой той же двойственностью),чтобы образ всякой меры был относительно нее абсолютно непрерывен.

В следующих двух параграфах описывается схема построения теории обобщенных функций и обобщенных мер (распределений) на ЛВП и в рамках этой теории определяются псевдодифференциальные операторы (ЦЦО) в пространствах функций и мер .Получено представление таких ПДО с помощью "меры Фейнмана в фазовом пространстве" и описано их применение для определения квантования по Шредингеру бесконечномерных гамильтоновых систем.

Последний параграф главы 2 содержит стохастический аналог теоремы единственности Гольмгрена.

В третьей главе порчено несколько результатов об объеме классов совершенно полных ЛВП ^пространств Птака [47Д)и близких к ним пространств.

Если с - ЛВП, то подмножество п его сопряженного £ называется почти замкнутым , если, какова бы ни была окрестность нуля в Е , множество Д (]У~0 ( Ц~° - поляра в Е 1 множества ХГ ) замкнуто в топологии & ( Е' » Е ). ЛВП Е называется совершенно полным (соответственно, В^ -полным, гиперполным пространством Крейна-Шмульяна) £47] , [48 ] , [бо] , если всякое почти замкнутое векторное подпространство (соответственно, всвду плотное в топологии £ ( Е > Е ) векторное подвыпуклое подмножество; / пространство; абсолютно выпуклое подхлнолшство^пространства £ замкнуто в { Е * <э ( Ь ' > Е ))•

ТВП называется наследственно полным, если всякое его фактор-пространство полно, и ультраполным £'51] , если полно равномерное пространство, получаемое наделением множества всех его замкнутых подмножеств равномерностью Хаусдорфа.

Таким образом, связь между введенными понятиями описывается следующей цепочкой включений: ЛВП В -полные^ совершенно полные т.

ЛВП гиперполные ЛВП ^ пространства Крейна-Шмульяна ^ ультралолные ЛВП • наследственно полные ЛВП совершенно полные ЛВП. Значение совершенно полных и В -полных ЛВП (введенных Пта-ном) определяется тем, что как доказано Птаком и Робертсонами £473 для отображений совершенно полных ЛВП в произвольные бочечные ЛВП справедлива теорема Банаха о гомоморфизме, а для отображений произвольного бочечного пространства в В^ -полное пространство справедлива теорема Банаха о замкнутом графике. Хотя к середине шестидесятых годов совершенно полные^ В^ -полные и гиперполные пространства вошли в учебники ( [47^ , [48Д ), об объеме этих (и остальных перечисленных) классов пространств было известно очень мало. Не было известно, в частности, совпадают или нет классы -полных пространств и пространств Крейна-Шмульяна и замкнут ли класс совершенно полных пространств относительно образования произведений ,

Но,самое главное, почти ничего не било известно о принадлежности к перечисленным классам часто встречающихся пространств функционального анализа; не било даже известно, принадлежит ли хотя бы одному из перечисленных классов пространство^ финитных бесконечно дифференцируемых функций - наиболее важное из неметри-зуемых и не являющихся сопряженными к метризуемым пространств функционального анализа (а то, что пространство£)' не является совершенно полным, было обнаружено только в 1967 году (Д.А. Райковым [48] , использовавшим результат Словиковского [49] ).

В диссертации даны ответы на перечисленные вопросы; именно, показано, что пространство обладает неполным (притом метризуемым) факторпространством; что пространство <2)^0 ^ * <^£0 -/] не является наследственно полным, хотя оба сомножителя даже ульт-раполны; что классы совершенно полных пространств и пространств Крейна-Шмульяна не совпадают.

Все эти результаты получены путем построения подходящих почти замкнутых незамкнутых подмножеств в пространствах, сопряженных рассматриваемым; эти множества, в свою очередь, строятся как выпуклые подмножества, линейные многообразия или векторные подпространства, порожденные некоторыми дискретными счетными множествами подобными тем, которые использовались в задачах дифференциального исчисления в главе I.

Замечание 7. Только что описанный метод был усовершенствован затем Е.Т. Шавгулвдзе [53"^ , что позволило ему усилить часть результатов 4-й главы; в частности, он показал, что пространства £) и оО'не являются и $ -полными. То, что^о^не В^ -полны, независимо от Шавгулидзе (но несколько позже) показал также Валь-дивия[54),£73],который при этом использовал не метод, а один из результатов главы 3 опубликованный в .

Замечание 8.В статье Дьедонне и Шварца £55]было поставлено II вопросов о свойствах строгих индуктивных пределов последовательностей пространств Фреше,требующих ответа "да" или "нет".Спустя четыре года на все эти вопросы дал ответ Гротецдик [56~3 .построив примеры пространств с нужными свойствами.Из результатов главы3 вытекает, однако,что свойствами,о которых говорится в пяти из этих вопросов, обладает даже пространство

3.Организация текста.Главы диссертации делятся на параграфы;большинство параграфов - на пункты;названия глав и параграфов приведены в оглавленш. Нумерация теорем,формул и т.д.в пределах каждого параграфа своя;при ссылках на теореь/у или формулу »которые содержатся в той же главе или том же параграфе,что и сама ссылка,номера соответствующих главы или параграфа не указывается. Обозначения и терминология»используемые в диссертации,обычно вводятся в начале тех разделов,где они впервые применяются.На протяжении всей дис-диссертации термины"векторное пространство" и "линейное пространство" используются как синонимы.

4.Апробация.Результаты диссертации излагались в докладах автора на Всесоюзной конференции по дифференциальным уравнениям,посвященной памяти И.Г.Петровского(москва,1976^,в Школе по теории операторов в функциональных пространствах(Минск,1978),на третьей Международной конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1981^, на Ломоносовских чтениях в ШУ (1982) ,назасе-даниях семинаров в Институте математики АН УССР(1981,1982) ,в Западном научном центре АН УССР (Львов,1982),Институте математики и механики АН ГДР^Берлин) и университете г.Грейфсвальд (гдр). , 5.Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора[77]-{Э8]

Все эти работы выполнены без соавторов.

- 35

1.Боголюбов H.H. ,Ширков Д.В.Введение в теорию квантованных полей. -М. :Наука,1976.- 479 с.

3. Боголюбов H.H.Проблемы динамической теории в статистической физике. М.-Л.:Гостехиздат,1946. - 119 с.

4. Нор)^ Е, Stcctts tLCa <£ -ßydiootCnctyyiLcS-ГЗП, V, 2*-12$.а ho г

5. Е^вс^Х), 6>,, о/я-Н С- 1о ир-еь,37.0, к 92, р, /02

6. Гамкрелидзе Р.В. ,Харатишвили Г.Л.Экстремальные задачи в линейных топологических пространствах. Изв.АН СССР,сер.матем., 1969,т.33,4,с.781 - 839.

7. Далецкий Ю.Л.Бесконечномерные эллиптические операторы и связанные с ними параболические уравнения.- УМН,1¿67,т.22,в.4,с.3-54.

8. Далецкий Ю.Л.,Фомин C.B.Обобщенные меры в гильбертовом пространстве и прямое уравнение Колмогорова,- ДАН СССР,1972,т.205, .№4,0.759-762.

9. Qioss L, Po tj2ia te и £ C^y?Spetc*. X ^UHc^t, YS6S,v,1, p. 123-121,

10. Вишик М.И. ,Фурсиков A.В.Аналитические первые интегралы нелинейных параболических в смысле И.Г.Петровского систем дифференциальных уравнений и их приложения. УМН,1974,т.29,в.2,с.123-153.

11. Минлос P.A.Обобщенные случайные процессы и их продолжение до меры.- Труды Моск.матем.о-ваД959,т.8,с.497-518.

12. Сазонов В.В.Замечание о характеристических функционалах.-Теория вероятн.и примен.,1958,т.3 ,№2,с.201-205.

13. Колмогоров А.Н.Замечание о работах Р.А.Минлоса и В.В.Сазонова.- Теория вероятн.и примен. ,1959,т.4,J£2,с.237-239.

14. Го Х.С.Гауссовские меры в банаховых пространствах.-М.:Мир, 1979,-176 с.

15. Прохоров Ю.В.Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей,- Теория вероятн.и примен.,1956,т.I,в.2,с.177-237.

16. Смоляное 0.Г.,Фомин C.B.Меры на топологических линейных проь странствах.- УМН,1976,т,31,в.4,с,3 56.

17. Фрелихер А.,Бухер В.Дифференциальное исчисление в векторных пространствах без нормы.- М.:Мир,1070.-168 с.

18. Авербух В.И.»Смолянов 0.Г.Теория дифференцирования в линейных топологических пространствах. -УМН,1967, т. 22, в. 6, с.2QL-260.

19. Скороход A.В.Интегрирование в гильбертовом пространстве.-M.: Наука, I975v 231 с.-25 Q

22. Канторович Л.В.Дкилов Г.П.Функциональный анализ в нормированных пространствах.-М.:Физматгиз,1959.-684 с.h О- 252

24. Постников M.M.Введение в теорию Морса.-M.:Наука,1971.-567 с.

25. Шефер X.Топологические векторные пространства.-М.; Мир,1971. -359 с.

26. Буйков Д.А.Теоремы о замкнутом графике и полнота топологических линейных пространств.- Труды четвертого Всесоюзного математического съезда.-1964,т.2,с.317-323.

27. Райков Д.А.О В- полноте топологических векторных групп. 5Ьискс1 таЬЛ., ,1968,31, р, 295 - 305.

28. М. Са ¿¿^¿г^сг'С'бе еСНао/апжп.о/- о/аиьРа-гс'$), $ е1, /7} 26Г/, р. 245*3 ¿4 М.

29. Картан А.Дифференциальное исчисление.Дифференциальные формы. -М.: Мир,1971.- 392 с.

30. Бурбаки Н.Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов,- М.:Мир,1975.- 220 с.

31. Сова М. . . Теория дифференцируемости в линейных топологических пространствах.- Чехосл.матем.ж.,1964,т.14,№ 4,с.485 508.

32. De Wette- ^¿lo^fLbtjZ. ^¿stcc&Ji sßwan. С €ъ ОП ß,РЛу*. /573, v, р.2 SS

33. Балабанов В.А.Некоторые вопросы нелинейного функционального анализа и их применения.- Тбилиси: Изд-во "Мецниереба",1982.-С2-) поЬ 8гс о^^е,

34. Райков Д.А.О двух классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях.- Труды семинара по функц. анализу, 1957, вып.5,с.22 34.

35. Смолянов 0.Г.Измеримые линейные многообразия в произведениях линейных пространств с мерой.- Матем.заметки,1969,т.5,в.5,с.623-633.

36. Смолянов О.Г.О линейных топологических пространствах без первой аксиомы счетности.- УМН,1964,т.19,в.6,с.199 200.- 185 с.73.- 256

37. Смолянов О.Г.О топологии индуктивных пределов последовательностей линейных топологических пространств,удовлетворяющих первой аксиоме счетности,- Вестник Моск.ун-та,сер.матем.,1965, № I,с.26 23.

38. Смолянов О.Г.Почти замкнутые линейные подпространства строгих индуктивных пределов последовательностей пространств Фреше.-Матем.сборник,1969,т.80,в.4,с.513 520.

39. Смолянов О.Г.Пространство 2) не является наследственно полным.- Изв .АН СССР, сер.матем.,1971, т.35, в. 3,с. 682 696.

40. Смолянов О.Г.Секвенциально замкнутые подмножества произведений локально выпуклых пространств.- Функц.анализ и прилож., 1973,т.7,в.I,с.88 89.

41. Смолянов О.Г.Несколько результатов о совершенно полных и наследственно полных пространствах.- УМН,1972,т.27,в.2,с.181 -182.

42. Смолянов О.Г.Почти зажнутые подмножества счетных произведений локально выпуклых пространств.- Труды Моск.матем.о-ва, 1975,т.32,с.61 75.

43. Смолянов О.Г.Об объеме классов гиперполных пространств и пространств »удовлетворяющих условию Крейна Шмульяна.- УМН, 1975,т.30,в.I,с.259 - 260.

44. Смолянов О.Г. Теорема Гросса Сазонова для знакопеременных цилиндрических мер.-Вестник Моск.ун-та,сер.матем.,1983,№4.

45. Смолянов О.Г. Линейные дифференциальные операторы в пространствах мер и функций на гильбертовом пространстве.- УМН,1973,т.28,в.5,с.317 318.

46. Смолянов О.Г.Некоторые полные пространства гладких отображении псевдотопологических линейных пространств.- УМН,1974,т.39,в.4, с.181 182.

47. Смолянов 0.Г.Линейные представления эволюционных дифференциальных уравнений,- ДАН СССР,1975,т.221 6,с.1288 1291.

48. Смолянов 0.Г.Класс пространству которых справедлива теорема об ограниченной дифференцируемости обратной санкции.- Матем. заметки, 1975,т. 17,№ 5,с.703 709.

49. Смолянов 0.Г.Нелинейные уравнения и бесконечномерный анализ.-Школа по теории операторов в функциональных пространствах3.9 июля 1978 года .Тезисы докладов.Минск,1978,с.239-140.

50. Смолянов 0.Г.Один метод доказательства теорем единственности для эволюционных дифференциальных уравнений.- Матем.заметки, 1979,т.25,в.2,с.259-269.

51. Смолянов 0.Г .Анализ на топологических линейных пространствах и его приложения.- М.:Изд-вр ЩУДЭТЭ,- 86 с.

52. Смолянов 0.Г .Бесконечномерные псевдодифференциальные операторы для мер и квантование по Шредингеру.- Третья Международная Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике.Тезисы докладов,1981,с.165 166.

53. Смолянов 0.Г.Бесконечномерные псевдодифференциальние операторы и квантование по Шредингеру.- ДДН СССР,1982,т.263,№ 3,с.558 561.