Случайные и специальные полиномы по общим функциональным системам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Некоторые используемые обозначения Введение

1. Случайные полиномы по системам функций из Lp при р >

1.1. Интегрально-равномерная норма.

1.2. Нижняя оценка норм случайных полиномов.

2. Случайные линейные комбинации функций из L\

2.1. Оценка сверху.

2.2. Нижние оценки норм случайных полиномов по системам функций из L\.

Диссертация посвящена исследованию полиномов (конечных линейных комбинаций) по общим и специальным функциональным системам. Необходимость исследования свойств различных полиномов возникает при решении многих задач анализа и теории приближений. Гак, большинство теорем вложения могут быть сформулированы в виде утверждений о поведении полиномов с некоторыми экстремальными свойствами, а отсутствие вложения одного нормированного пространства в другое обычно доказывается демонстрацией "количественной" разницы порядков норм в этих пространствах на экстремальных в определенном смысле полиномах. Такие полиномы строятся либо с помощью какой-нибудь специальной конструкции, либо с помощью некоторой процедуры усреднения, показывающей, что "большинство типичных" ("средних" или "случайных" в определенном смысле) полиномов обладает некоторым свойством. Стоит отметить, что свойства полиномов отражают не просто различие двух нормированных пространств, а различие целой последовательности их общих конечномерных подпространс тв — полиномов порядка не выше п. Поэтому утверждение о поведении норм полиномов содержит значительно больше информации в сравнении с результатом о том, что одно нормированное пространство не вкладывается в другое.

Внесем некоторую ясность в терминологию. Пусть {J,}'1 — некоторая система функций на пространстве с мерой (X,/i). Мы будем называть случайным полиномом по системе {/г}" или полиномом со случайными коэффициентами линейную комбинацию следующего вида: где "случайные коэффициенты'' — набор независимых случайных величин на вероятностном пространстве (Q, Р), а. "неслучайные коэффициенты" {«,-}", — набор комплексных чисел. Нас будут интересовать свойства случайной величины !)/•'„(и/. • )||i(A'./<)» || • |ji — норма в некотором пространстве функций L на (.Y,/i).

Одним из классических результатов, позволяющих, в частности, исследовать свойства случайных полиномов (1), является неравенство Хинчина. Приведем его в следующей форме: п

1=1

Теорема. (Неравенство Хин чина (Марцинкевича-Пэли-Зигмунда))' Д. in любого J ^ р < ос существуют константы и Вр > 0 такие, что для произвольного набора независимых случайных величин {£,•} таких, что Е£г- = О и Е|^г|р < оо, справедливы неравенства:

4рЕ($> р/2 ф

Если, к тому же, E|ft-|2 = 1, E|£t-|p < М и р > 2, то

1/2 г I для всех комплексных коэффициентов {с,-}" с некоторой константой Cv,m > 0. С помощью неравенства Хинчина нетрудно показать, что

Е|1Е"

I/; 92и+1 k~—r, IEпо всем kn знакам ед. = ±1

Ч-е ikx п. 1 ^ р < ОС . где r-fc(u>) = signsin(27rtw) — функции Радемахера,2 uj £ [0,1]. В то же время для случая р = оо Р. Салемом и Л. Зигмундом [35] в 1954 г. было доказано, что

Е|| £ rk(. ikx t п log п. k=-n

Этот факт показывает качественное различие вложений пространства тригонометрических полиномов порядка не выше и в и в Lp при р < ос-.

Приведенные выше оценки целесообразно сравнить со свойствами тригонометрических полиномов специального вида. Гак. для ядер Дирихле 1

DM = 9 Е имеет место I[ Dn 111 п н

2|!Д, п + I, в то время ка к для '"типичного'1 тригонометрического полинома, с коэффициентами ±1 имеет место

Jkx\ п И у::,, ikx | a/» log /г, что показывает специфичность ядер Дирихле в пространствах L\ и £.v>. Другим примером тригонометрических полиномов с экстремальным и свойствами являются полиномы Рудина-Шапнро, это полиномы вида п

Rn(x) = £ 0kcikx, k=-n со свойством

Rr,

11.

1 Неравенство (2) в частном случае независимых бернуллиевских случайных величин было получено А .Я. Хинчпным [48] в 1923 г. и позже усилено в [24]. Неравенство (3) было выведено из (2) Пэли и Зигмундом [33] в 1930 г. Неравенство (2) в случае произвольных случайных величин было получено Марцинкевичем и Зигмундом [27] в 1937 г. (см. также [17] теор. 2.6 и 2.7 или [49] теор. 10.2).

Или, если читатель предпочитает вероятностную терминологию, {г*} — произвольный набор независимых бернуллиевских случайных величин, принимающих значения ±1 с вероятностями 1/2. где ек = ±1 — некоторая специальным образом выбранная последовательность знаков (см. [17], теор. 4.11). Таким образом, полиномы Рудина-Шапиро являются экстремальными в классе тригонометрических полиномов с коэффициентами ±1 в смысле малости (по порядку) их || • Ц^- нормы.

К настоящему моменту получен ряд оценок равномерной нормы случайных полиномов вида (1) с различными ограничениями на {£•}" и {/«}". Отметим, что в то время как оценки сверху давно нашли разнообразные приложения в анализе и теории вероятностей, приложения соответствующих оценок снизу не столь многочисленны. Однако, доказательство именно нижних оценок обычно наиболее трудоемко и требует использования специфических свойств систем {/,} и {£,•}. В доказательстве верхних оценок условия на систему {/г} обычно существенно слабее. 'Гак, часто, если для математического ожидания нормы полинома вида (1) по системе {/;}" выполнена некоторая верхняя опенка, то она имеет место и в том случае, если мы заменим в выражении (1) функции ,/г на их абсолютные величины |/'г(. Для доказательства верхних оценок часто бывает достаточно несложной процедуры усреднения (см. доказательство верхней оценки в разделе 2.1). В качестве1 примера простой и полезной оценки сверху приведем следующий хорошо известный результат

Теорема, (см. [15], гл. VI, теор. 1) Пусть существует константа р > 0 такал, что для каждого полипома по системе функций {/«} С L^X.f.i) (fiX = 1) имеет место: ч 1

Пусть также независимые случайные величины {&}" ,являются субгауссовски-ми,Л т.е. для любого i — 1,. . ., п выполнено

А2

Еехр(А£,) ^ ехр (~) »/>"■ вст-с — оо < А < со. Тогда для любого х >2 имеет место неравенство р{IIЕ ч Е iog(2px)f2} ^ г i

Следствием этой теоремы является следующая полезная Теорема, (см. [15], гл. VI, теор. 3) Пусть {/*} — комплексные тригонометрические полиномы d переменных порядка не выше N. а — набор независимых субгауссовских величин и с/ > 0, тогда имеем p{liE^L > -v)1/2} < к к где Cg,d >0 — некоторая постоянная. и, следовательно, если „множество индексов А С { —:V,. N}d. то

Ell Е&а*<-(M,IL < 2G,/2.,(E Ы2ьё v)1/2. (5) kP\ k£A

3Субгауссовость величин & здесь, по большому счету, не важна. Для выполнения теоремы (возможно с другими константами) нужно, чтобы "хвосты"' распределений всех линейных комбинаций J2ci& .Убывали достаточно быстро, что обеспечивается, например, выполнением экспоненциальной оценки типа (2.1) (см. раздел 2.1). Заметим, что и стандартные нормальные случайные величины, и функции Радемахера являются субга.уссовсклми.

Как было отмечено выше, доказательство нижних оценок равномерной нормы случайных полиломов является обычно существенно более трудном задачей и требует использования различных специфических свойств систем {/',;} и {£■;}. Например, доказательство нижней оценки в соотношении (4) в работе [35] фактически использовало то, что тригонометрическая система является системой характеров (т.е. использовались простые тригонометрические формулы типа cos(q + 0) — cos а • cos 0 — sin о - sin fi), а также то, что функции Радемахера субгауссовские.4

В монографиях [25], [26] излагается обширная теория, позволяющая получать оценки математического ожидания равномерной нормы случайного полинома. (1) в том случае, когда система {/,•} является системой характеров на локально-компактной абелевои группе, ограниченной на некоторую компактную окрестность V единичного элемента этой группы. Основным методом получения оценок максимума случайного процесса (в частности, случайного полинома вида. (1)) в [25], [26] служит сведение задачи к оценке е-энтропии множества. V относительно некоторой метрики,5 индуцируемой этим случайным процессом. Этот метод, восходящий еще к идеям А.Н. Колмогорова, был впервые использован Р. Дадли [11] и В.Н. Судаковым [38], [39] и позднее развит В.Н. Судаковым, К. Ферником, М. Маркусом, М. Леду, Ж. Иизье, М. Талагра.-ном и другими авторами (см. подробнее [25], [26], [40]. [47]). Для доказательства нижних оценок максимума случайного процесса этим методом ключевое значение имеет лемма Слеиьяна [36] для гауссовских векторов. Эта, лемма позволяет оценивать снизу вероятность

Р{ max У ' / •./ ;. ' " }. {хк}Т — некоторая сетка, в А'

1 </е<т —' в том случае, когда все нормированные скалярные произведения (углы)

И .11 к > w: векторов \УХ}:={Мх^=1еС j = 1, m

Xk! достаточно малы и {£,;} независимые стандартные гауссовские величины. Дока-за.тельство существования такой сетки {xj} представляет в ряде случаев отдельную нетривиальную задачу. Кроме того, поскольку лемма Слеиьяна применима лишь к гауссовским векторам, возникают серьезные трудности с перенесением результатов для случайных полиномов с га.уссовскими коэффициентами на. случай негауссовских {£г"}

В 1995 г. Б.С. Катиным и Л. Цафрири в работах [21]-[23] была предложена другая методика получения нижних оценок равномерной нормы случайных полиномов. Их метод позволил впервые получить нетривиальные нижние оценки равномерной нормы случайных полиномов по любой ортонормированной системе равномерно ограниченных в L^ функций. Этот метод использовал версию двумерной центральной предельной теоремы с точной оценкой оста точного

Н [17] (гл. 4, утверждение -) можно найти элегантное доказательство нижней оценки равномерной нормы случайного полинома. & cos кх, где J — независимые г ауссовские величины, которое использует то, что матрица (соs—jk) что ортогональные гауссовские величины независимы.

Определение с-энтропии можно найти в разделе 3.1. j ,к~ U кратна ортогональной, и то. члена,. При этом уже не требовалось оценивать все попарные углы между векторами Wx , а лишь показать, что эти углы малы в среднем. Сформулируем этот результат.

Теорема. (1>.С. Кашин, Л. Цафрири [22], [23]) Пусть системы функций {/г}"=1 и определены на вероятностных пространствах (Х,/л) и (П. Р) соответственно и удовлетворяют условиям: a) Ц/г'Цг = I и ||/г||з ^ М для всех г = 1,. . . , п; п п j,9 b) II X] сг/г'Ц2 ^ Л/! ^ |сг;|2) " для всех наборов коэффициентов ; г=1 г=1 c) {£,•}" - • независимые случайные величины такие, что Е£; = 0. Е|£,-|2 = 1 и

Тогда существуют положите.гъные / = 1,2,3 такие, что для случайного оценка константы6 q = q(M). Cj = СД.1/), полинома (!) имеет место следующая п I г< П : \\Fn^,x)\\Lx[X] < r^kl^d+log^} < (6) г = 1 где

Н = 1?({q,■}?):= (7)

L;=i kr и, следовательно,

П П JI

EllEfli^ILm ^^(EN2) "(1 + log R)i/2- (8) = 1 i = 1

Таким образом, было показано, что нижняя оценка в теореме Салема-Зигмунда (см. (4)) остается справедливой для случайных полиномов по любой ортонормированной равномерно ограниченной в L3 системе.7 В [22] Б.С. Кашин и .11. Цафрири ввели следующую норму

II./'IIт.ОС. := / ••• / n\^x{\f(.x1)\.\f{xlll)\}(l/i(x1).dfi(.cm), J X Jx где / — интегрируемая функция, определенная на пространстве с мерой (A", /i), /i(A') = 1. Следуя работам автора [8]-[10], будем называть норму ||/||т,оо интегрально-равномерной нормой. При доказательстве оценок (б). (8) для равномерной нормы в [21], [23] фактически были получены аналогичные оценки для интегрально-равномерной нормы со значением параметра т. х R^2+e. Стоит заметит!,, что оценки для нормы \\f\\m,oc, (точнее для семейства норм с т ^ 1)

6Автором показано, что степенной показатель q можно выбрать не зависимо от М любым числом из интервала (0,1/2), при этом константы С,- могут зависеть от выбора q (см. георему 1.2 и замечание 1.3).

Б.С. Кашиным и Л. Цафрири было замечено, что оценки (б), (8) остаются верными и для равномерно ограниченных в /,р при р > 2 систем функций {/,•}£, удовлетворяющих ||/,-||2 = 1 и (Ь), (см. замечания в [21] и замечание 1.4 в разделе 1.2). представляют самостоятельный интерес, так как несут в себе достаточно полную информацию о распределении функции Лj(t) = fi{x £ .V : \f(x)\ ^ t}. Так, нетрудно показать, что

I -a-\f(t))m)dt.

J о

Легко ВИДеТЬ, ЧТО ||/|ji = ||/||l,oo < ||/||m,oo < ll/iloo, причем ll/l m —>• ос. В разделе- 1.1 (теор. 1.1) будет показано, что при т,оо X sup jm j |/| с///}. А

Это соотношение удобным образом связывает интегрально-равномерную норму интегрируемой функции с ее распределением.

В разделе 1.2 оценки (6), (8) будут обобщены на случай интегрально-равномерной нормы с произвольным значением параметра т, а также будет показано, что оценки типа (6), (8) остаются верными и для полиномов по системам функций {/}i\ удовлетворяющим (а) и (Ь'), где b') II Е;'=л £ifilb ^ Мп*+Р для всех наборов знаков = ±1 с некоторыми р £ [0, М > 0.

В разделе 2.1 будет установлена оценка сверху, во многих случаях подтверждающая точность полученной нижней оценки. Как непосредственное следствие теорем 1.2 и 2.1 (см. также замечания 1.1, 2.1, лемму 2.1 и следствие 2.1) может быть получена следующая

Теорема 0.1. Пусть набор функций {)]}'{ на вероятностном пространстве (A',/t) удовлетворяет условиям. (а) и (Ь'); а набор независимых случайных величин на другом, вероятностном, пространстве (Q, Р) удовлетворяет (с). Пусть также набор комплексных коэффициентов {а,-}" такой, что м

EILi кг

Тогда при всех т ^ п справедливо неравенство в > - + р.

1=1

Е|| (' Е l + logm)1/2. 1 г = 1 где С4 — СЛ(@.р, М) >0 — некоторая постоянная.

Если, к тому же. случайные величины равномерно ограничены в Lc (т.е. ess sup ^ М). то при всех т ^ 1 выполнено не равенство г = 1 i=i

1 + log т)1/2 с некоторой константой С5(Л/). (Последнее неравенство выполнено для любого набора функций {/',}\ С Ij(yo{X, //).}

Таким образом, оценки типа (6), (8) могут быть неверны только для систем функций {/;}, существенно отличаняцихся от ортогональных таких, как, например, последовательность функций, сходящаяся к некоторой фиксированной функции.

Следствием теорем 1.2 и 1.1 является также следующая

Теорема 0.2. Пусть случайные величины {£,■}"' на вероятностном пространстве (О, Р) удовлетворяют (с), а набор функций {/,}'( определенный на другом вероятностном пространстве (А\/<) удовлетворяет условию (а). Пусть также для. набора функций {/;}"' и набора комплексных коэффициентов {a,;},' ыполнено уелоьие:

11 п k*) Е <"'/г L ^ М/?'(Е Ы2) для всех наборов коэффициентов {с,}", где i=1 - г = 1

R = /('({а,;},1) определяется формулой (7); с некоторыми константами р £ [0, Л/ > 0. Тогда существуют некоторые постоянные8 q' = q'(p) > 0. С' = С-{М,р) > 0, j = 1,2,3 такие, что при всех т ^ 1 справедливы следующие неравенства п 71 ^ у- ^ / sup (ml ^-^r, t.A = i/m Л «=1 где Р — 1 + min(/?г, R). и п п е( sup {ml ^Ш^Ш^'Н}) > Cz{ ^H'logP)*. v дел ,/д . . > ' . л

Дальнейшее обобщение результата Б.С. Кашина и Л. Цафрнрп будет получено в разделе 2.2. Там оценки типа (6), (8) в частном случае а, = 1 будут получены для интегрально-равномерной нормы случайных полиномов гю системам функций {/,•} С L\, вообще говоря, неограниченным в Lp, р > 1. Отметим, что этот результат является новым и для случая £co-нормы случайных полиномов по таким системам функций. Сформулируем простейшую версию этого результата.

Теорема 0.3. (См. теорему 2.2 и следствие 2.2) Пусть независимые случайные величины удовлетворяют (с), а набор функций на (Л',//) (fiX = 1) удов л е т воряе т уел о в и ю: j[ fi ||i = 1 для всех i = J,. . . , п " . i 11 II ^Qifilh ^ для всех наборов знаков {0;У{, 0-t = ±1 1 с некоторыми постоянными р £ [0, М > 0. Тогда при всех т С. и справедливо неравенство п п fp {т y^i^ii i-rni/nx*}) •

1=1 ,£=1Х/,П JA 1=1 ^Ell Ef'/i,,,,.» ^ r'6^T(l+logm) г = 1 с некоторой константой (,'б = С<>(р, М) > 0. ьКонстаыту q' можно выбрать произвольным образом из интервала (0, — '2р)) при этом остальные константы С', j = 1.2,3, будут зависеть от выбора. </ (см. замечание 1.3).

Глава 3 связана с проблематикой оценок s-энтронии и колмогоровских поперечников соболевских классов функций многих переменных в /. . норме. Точнее, мы рассмотрим вопрос о существовании тригонометрических полиномов с определенным экстремальным свойством, возникший в связи с важной для приложений в анализе и теории вероятностей задаче оценки t-энтропии и колмогоровских поперечников в пространстве L ^, классов функций нескольких переменных с ограниченной в Ь2 смешанной производной. Эта задача остается открытой в течении довольно длительного времени. В разделе 3.J приводится небольшой обзор соответствующих результатов. В разделе 3.2 строится последовательность тригонометрических полиномов вида s„

X = Е о*]*

2 к см. теорему 3.1) с интересным экстремальным свойством: л, <: v «

2k~l^\j\<2k

5'»IL^ l'\ а. ei3X\\ < I

E «

2A" —1 ^ 1.71 <2fc

CMX A? для всех n = 1.2. с некоторыми абсолютными положительными константами Ai, Л2- A:i. Эти полиномы интересны еще и тем. что снова показывают разное поведение специальных и случайных полиномов. Действительно, Б.С. Катиным и В.Н. Темляковым в [19], [20] было показано, что для любых полипомов вида (9) выполнено

Е ]Гг*(с k=i b3e

I'JX с Е Е к=1 2к->^\]\<2к b:ie'JX где1 г* (и;) — функции Ра.демахера, С >0 — некоторая абсолютная константа. Поэтому для полиномов (9) Е к~\ Е С ■ А2п.

Использованный для построения полиномов Sn метод в каком-то смысле позаимствован из стохастического анализа и показывает, что аналоги марковских моментов остановки могут быть использованы и без наличия потока ст-алгебр (определения см. в [52]). Этот метод достаточно универсален и может быть применен для построения экстремальных полиномов по довольно широкому классу функциональных систем.

1. Бочкарёв С.В., Абсолютная сходимость рядов Фурье по полным ортонор-мироьанным системам// Успехи матем. наук. 1972. т. 27. N. 2. с. 57-76.

2. Бочкарёв С.В., Ряды Вал.ле-Пуссена в пространствах В МО, L\ и H1(D), и мультипликативные неравенства// Труды МИАН. 1995. т. 210. с. 41-64.

3. Бочкарёв С.В., Мультипликативные оценки Li-нормы экспоненциальных сумм // Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа. Сб. статей. Москва: АФЦ. 1999. с. 57-68.

4. Бхаттачария Р.Н., Ран го Рао Р., А ппроксимацил нормальным распределением, и асимптотические разложения. М.: Наука, 1982.

5. Григорьев П.Г., Об одной последовательности тригонометрических полиномов// Матем. заметки. 1997. т. 61. N. 6. с. 935-938.

6. Григорьев П.Г., Оценки норм случайных полиномов и, их приложение// Тезисы докладов Воронежской зимней матем. школы: "Современные методы теории функций и смежные проблемы." ВГУ. Воронеж, 2001. с. 100-103.

7. Зигмунд А., Тригонометрические ряды. М.: Мир, 1965.

8. Кахан Ж.-П., Случайные функциональные ряды. М.: Мир, 1973.

9. Кашин Б.С., Поперечники некоторых конечномерных .множеств и классов гладких функций// Изв. АН СССР. 1977. т. 41. N. 2. с. 334 -351.

10. Кашин Б.С. Саакян А.А., Ортогональные ряды, (второе издание) Москва: АФЦ, 1999.

11. Кашин Б.С., Темляков В.Н., Об оценке аппроксимативных характеристик классов функций с ограниченной смешанной производной // Матем. заме тки. 1995. т. 58. N. 6. с. 922-925.

12. Кашин Б.С., Темляков В.Н., Об одной норме и связанных с ней приложениях /У Матем. заметки. 1998. т. 64. N. 4. с. 637-640.

13. Ivashin, В., Tzafriri, L., Lower estimates for the supremum of some random processes. II // East J. Approx. 1995. v. 1. N. 3. p. 373-377.

14. Kashin, В., Tzalriri, L., Lower estimates for the supremum of some random processes, II // Preprint, Max-Plank Institut fur Mathematik, Bonn/95-85, 1995.

15. Никольский C.M., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука. 1969.

16. Спринджук В.Г., Метрическая теория диофантовых приближений // М.: Наука. 1977.

17. Судаков В.Н. Меры Гаусса, Коши и е-энтропия // ДАН СССР. 1969. т. 185. N. 1. с. 43-45.

18. Судаков В.Н., Гауссовские случайные процессы и меры телесных углов в гильбертовом пространстве j j ДАН СССР. 1971. т. 197. N. 1. с. 51-53.

19. Судаков В.Н., Геометрические проблемы теории бесконечных вероятностных распределений // Труды МИАН. 1976. т. 141. с. 3-190.41. (Талагран) Talagrand, М., The small ball problem for the Brownian sheetЦ Ann. Probability. 1994. v 22. N 3. p. 1331-1354.

20. Темляков B.H., Приближения функций с ограниченной смешанной производной // Труды МИАН. 1986. т. 178.

21. Temlyakov, V.N., An inequality for trigometric polynomials and its applications for estimating the entropy numbers j/ J. Complexity. 1995. v. 11. p. 293-307.

22. Sidak, Z., On multivariate normal probabilities of rectangles// Ann. Math. Statist. 1968. v. 39. p. 1425-1434.

23. Ширяев А.П., Вероятность, M.: Наука, 1989.