Наилучшее приближение периодических функций двух переменных и значения квазипоперечников некоторых классов функций в L2 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Акобиршоев Мухиддин Отамшоевич

НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ

ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ И ЗНАЧЕНИЯ КВАЗИПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ В ¿2

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 7 ЯКЗ 2011

ДУШАНБЕ-2010

4842934

Работа выполнена в Институте математики Академии наук Республики Таджикистан

НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ: доктор физико-математических наук,

академик АН РТ Шабозов Мирганд Шабозович

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физико-математических наук

Азизов Музафар

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Российско-Таджикский

Славянский университет

Защита состоится 2 февраля 2011 г. в II00 часов на заседании диссертационного совета ДМ 047.007.01 при Институте математики АН РТ по адресу: 734063, г. Душанбе, ул.Айни 299/4

доктор физико-математических наук, профессор

Вакарчук Сергей Борисович

кандидат физико-математических наук, доцент

Абдулофизов Шергози

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Республики Таджикистан

Ученый секретарь диссертационного совета

Халилов Ш.Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Среди экстремальных задач теории приближения функций многих переменных наиболее грудными являются задачи нахождения точных оценок приближения на классах функций, связанные с отысканием значений поперечников и квазипоперечников в различных банаховых функциональных пространствах. В связи с этим исследования задач, связанных с приближением функций. п (п > 2) переменных, продвинуто не так далеко, как в одномерном случае.

Определения понятий различных квазипоперечников компактов дало возможность перейти к изучению тех экстремальных задач теории приближений функций многих переменных, круг которых для обычных поперечников очертил А.Н.Колмогоров.

При решении экстремальных задач теории приближения функций многих переменных одной из важных является задача о приближении заданной функции х-2,. •., хп) суперпозициями функции меньшего

числа переменных, то есть требуется построить такой полином, в котором коэффициенты определяются по заданным п (п > 2) переменным каким либо процессом приближения и являются функциями не более к (0 < < к < п — 1) переменных. При этом указанный полином должен иметь лучшие аппроксимативные свойства по сравнению с любой другой линейной формой полиномов, содержащих функции не более к переменных. Такой постановке задачи приближения функций многих переменных отвечают обобщенные полиномы (так называемые квазиполиномы) порожденными тензорным произведением одномерных функций.

Вопросами приближения функций многих переменных суперпозициями функций меньшего числа переменных в разное время занимались Б.В^апси, Н.П.Корнейчук, А.И.Вайндинер, М.К.Потапов, В.Ю.Брудный,

B. Н. Темляков, М.-Б.Бабаев. А. Н. Литвин. В.В.Федько, С.В.Переверзев,

C.Б.Вакарчук, М.Ш.Шабозов и мн. другие.

Дальнейшему развитию указанной тематики и посвящена данная работа.

Цель работы:

1. Получить неравенства типа Джексона-Стечкина для дифференцируемых периодических функций двух переменных, связывающие наилучшее

приближение функций обобщенными полиномами с усредненными модулями непрерывности высших порядков частных производных функций в пространстве Ь2{д), д = {(.г, у) : 0 <х,у< 2тг}.

2. Вычислить точные значения колмогоровских и линейных квазипоперечников классов дифференцируемых периодических функций, определяемых усредненными модулями непрерывности высших порядков частных производных в пространстве ¿2(¡5).

Метод исследования. В работе широко использованы общие методы функционального анализа, методы решения экстремальных задач функции многих переменных, а также некоторые подходы к решению многомерных задач вариационного содержания.

Научная новизна исследований

- Найдены новые точные неравенства, связывающие наилучшие приближения обобщенными полиномами функций двух переменных с усредненными модулями непрерывности высших порядков частных производных функций В

- Вычислены точные значения колмогоровских и линейных квазипоперечников классов функций, определяемых усредненными модулями непрерывности высших порядков частных производных функций в с положительными весами.

Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты косят в основном теоретический характер. Установленные в ней факты могут быть использованы при построении методов решения прикладных задач, связанных с интегральными уравнениями.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах по теории приближения функций в Хорогском госуниверситете (Хорог 2002-2005 гг.), на международной конференции ..Развитие горных регионов в XXI веке "(Хорог, Таджикистан 26-29 августа 2001 г.), на научно-теоретической конференции, посвященной 10-летию Хорогского госуниверситета (Хорог, 26-28 октября 2002 г.), на республиканской научной конференции „Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений1', посвященной 75-летию со дня рождения академика АН РТ А.Д.Джураева (Душанбе, 16-17 октября 2007 г.), на

международной конференции „Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ", посвященной 80-летию академика АН РТ Л.Г.Михайлова (Душанбе, 29-30 мая 2008 г.), на международной конференции „Современные проблемы математического анализа и их приложений", посвященной 60-летию академика АН РТ К.Х.Бойматова (Душанбе, 23-24 июня 2010 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5). В работах [2,4], выполненных в соавторстве с М.Ш.Шабозовым, последнему принадлежит постановки задачи и выбор объекта исследований.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 56 наименований и занимает 73 страниц машинописного текста и набрана на LATEX'e.

Содержание диссертации

Во введении приведен краткий исторический обзор работ, имеющих непосредственное отношение к теме диссертационной работы, и дается краткая характеристика исследуемой проблемы.

Первая глава диссертации, состоящая из четырех параграфов, посвящена вопросам наилучшего приближения дифференцируемых периодических функций двух переменных обобщенными полиномами состоящих из тензорных произведений периодических функций одной переменной в гильбертовом пространстве ¿2(<3), Q = {(я>У) '■ 0 < х,у < 2тг}.

В первом параграфе приводятся необходимые для дальнейшего определения и обозначения общего характера, а в остальных трех параграфах излагаются результаты исследований автора.

Приведем содержание этой главы.

Пусть R+,Z+ и N - множества соответственно всех положительных, целых неотрицательных и натуральных чисел. C(Q) - множество всех непрерывных на Q функций f(x, у) 27г-периодических по каждой переменной с нормой ||/||c(Q) = тах{|/(я;, т/)| : (а:, у) 6 Q}, L2(Q) - множество 27г-перио-дических функций f(x.y), для которых

( 1 \1/2 И/Иг := ll/IL(Q) = TZiU^yfdxdy] < со.

X Q J

Через (г, s € N) обозначим множество функций f(x,y), имею-

щих непрерывные частные производные

{х, у) = дГ+^ЛЯГхдРу, г/ < г, /х < s,

а ¿2Г(Ф) (r> i £ N) - есть множество функций

/(x^jjeC^'^iQ) (r,s>l),

у которых частные производные

/('■") (х, у) (/1 = 075^1), }^\х,у) =

существуют, кусочно-непрерывны, допускают перемену порядка дифференцирования и f(r's\x,y) е ¿2(<Э)-

Пусть (X, IHIjf) и (У, ||-|iy) - линейные нормированные пространства функций одной переменной с соответствующими нормами, а

Um = span{(u1/(a:))^L1}, Уп = span{{vil(y))r^l}

их конечномерные подпространства Um с X, Vn С Y. Выражение вида

m п

ffm,n(x,y) = Е Mx)i>v(y) + £ vli(y)Pl'(X)'

I/=l /J=l

где и Щу)УЪ>" наборы произвольных функций из пространства

X и Y, назовем обобщенным полиномом, порожденным подпространствами Um и Vn. Указанные обобщенные полиномы образуют подпространство

G(Um,Vn)d^ Um®Y + Vn®X,

где операции " ® " и "4- " обозначают соответственно операции декартова произведения и прямой суммы множеств. Обозначим

£(f-}G(Um,Vn))zdifM{\\f'9mM)\\z- <K„(/)eG(t/m,Vn)}, (1)

£(9Л; G(Um, Vn))z = sup {£(/; G(Um, Vn))z : f 6 Ш}. (2)

Величина (1) характеризует наилучшее приближение элемента / € 9Jt множеством G(Um, Vn), а (2) отклонение множества ОТ от подпространства G(Um,Vn) в нормированном пространстве (Z. ||-|jz).

Пусть Л - линейный оператор, действующий на функции / 6 Ш, образ А{Ш) :— {Л(/) : / 6 ®1} которого принадлежит множеству G([/m, Vn). Положим

e(£CT;A)2 = sup{||/-A(/)||z: / е 9Л} ,

е(£Ю; G(Um, Vn))z = inf {е(Ш1; A)z : А(9Я) 6 G(Um, К,)}. (3) Непосредственно из приведенных определений следуют неравенства

е(2Я; G(Um, Vn))z > G(Um, Vn))z. (4)

Далее всюду полагаем, что X = Y = ¿2[0,2тг], Z = L2(Q). Для произвольной функции f{x,y) € Ьг(<3) определим смешанный модуль непрерывности к-го порядка по переменной х и р-го порядка по у равенством

i, г)2 := sup {Ю(:г, : |u| < t, М < г} , (5)

где

ДЛ5/(®> У) = Е £ (-1)^" ñ М /(* + + и.

i>=0 д=0 W W

Используя равенство Парсеваля, величину (5) запишем в виде

2 =

+00 +СО

= 2i+p sup £ Е |Cjl(/)f2(l - C08J«)*(1 - COBÍ«y,

|u|<< j'=-oo /=—oe

I o|<r

где

^(Я = ¿i JJ f(x,v)e-,Ux+lv)dxdy

(С)

- коэффициенты Фурье функции }{х,у) е имеющей формальное

разложение в двойной ряд Фурье

Е Е М/У^Ч

J = -00 /=-ос

Нам в дальнейшем понадобится следующая Лемма 1.1.1. Пусть

Щт-1 = SPan { (C0S Í1)¡NO1' (SÍn i1)^"!1} >

= span {(cos ly)lJ, (sin ly)U} ■ Тогда среди всех обобщенных полиномов

92m-l,2n-l(x,y) 6 G(t/2m-l. V2n-l),

наилучшее приближение функции f(x, у) £ ¿2(Q) доставляет обобщенный полином

9*2т-1,2п-Л^х,У) =

+00 +00 , .

4jx+ly)

= Е Е + Е Е-Е Е Ы/)е

^|j'|<m-lí=-oo j=-x¡I|<n-l |j|<ro-l|l|<n-lj

При этом

= ||/ - 92т-^п-М2 = | Е Е ЫЯ12) • (6)

В частности, из (6) следует, что если f(x,y) = р(х)гр(у), то

£(/; G^m-l' ^2n-l))í2(Q) = U2m-l)¿2[0,2>r] ' )ь2[0,2тг], (7)

где £{Т. f/^g—1)¿2 - величина наилучшего приближения функции F (х) тригонометрическими полиномами порядка 2q — le L2[0,27r].

Отметим, что для произвольной функции f(x, у) € lJ['s\Q) выполняется неравенство

которое является точным в том смысле, что для функции fo(x,y) = eos ma: eos ny G L^'iQ) оно обращается в равенство.

Во втором параграфе первой главы рассматривается задача приближения непрерывно дифференцируемых периодических функций двух переменных обобщенными тригонометрическими полиномами в пространстве L2(Q)-При решении экстремальных задач теории наилучшего приближения функции f(x,y) S ¿2r's'(Q) обобщенными полиномами, связанных с нахождением точных констант в неравенствах типа Джексона-Стечкина

£(/; G(u2m-u V^-Ob < X • m~rns • Шкф (/(r's); -, ,

\ m п) 2

рассматриваются различные характеристики, приводящие к уточнению оценок сверху постоянных Х-

В дальнейшем, при определении классов функций структурные свойства функции f{x,y) 6 4r,s)(Q) характеризуем скоростью стремления к нулю модуля непрерывности производной f^r's\x, у), задавая эту скорость посредством мажоранты некоторой усредненной величины . При к=р=1 вместо 0,'хд (/; t, т)2 будем писать просто w(/;í,r)2.

Имеет место следующая

Теорема 1.2.1. Для любых m,n € N, удовлетворяющих неравенствам О < mt < 7г/2, 0 < пт < 7г/2, справедливо равенство

fir 1 -1/2

sup £(/; G(u;m_v / I u, i,)dudv

f£Lp'}(Q) lb Ó J

/<r''> ¿const

1 f m _JL_V/2 J_ _L

2{mt —sinmt пт — smnT) mT ns' Далее, условимся, что вместо ш^к (/; t: т)2 будем писать просто Шк (/; t, т)2. Именно в этом случае удается обобщить утверждение теоремы 1.2.1.

Теорема 1.2.2. Для любых m,n € N, удовлетворяющих неравенствам О < mt < ж/2, 0 < пт < 7г/2, при любом к 6 N справедливо соотношение

it г ) -*/2

sup £(/; Git/^, V2;_1))2 j J4/k(J^-,u, v)dudv

/64r-*>(Q) u о J

f^ ¿const

= 1 J_™_Г -L . I. (9)

2k \ (mt — sin mt) (tit — sin пт) J mr n"

Существует функция fa(x,y) G L^'^iQ), для которой верхняя грань достигается в соотношении (9).

В третьем параграфе доказывается одна общая теорема, из которой в качестве следствия получаем некоторые ранее известные результаты.

Теорема 1.3.2. Для любых m,n,r,s,k,p € N, всех положительных a,(3,h,r) для которых 0 < ah < тг, 0 < fir) < 7Г и произвольных 0 < ц < < rq — 1, 0 < V < sq — 1, max{l/r,l/.s} < q <2 справедливо равенство

\ 1/9

/М^соп! / / аивт" (Зус1и<1у

\0 О

Существует функция f*{x,y) в ¡^^{О), для которой верхняя грань

эт—-) I э'т — ] вт^аивти . (10)

в

соотношение (10) достигается.

Отметим, что в случае (1 = 1/ = 0 и д = 2 из теорема 1.3.2 вытекают ранее полученные результаты С.Б.Вакарчука и М.Ш.Шабозова.

В четвертом параграфе первой главы приводятся результаты о наилучшем приближение дифференцируемых периодических функций обобщенными тригонометрическими полиномами, структурные характеристики которых задаются обобщенными модулями гладкости.

При решении экстремальных задач теории наилучших приближений /(х,у) 6 обобщенными тригонометрическими полиномами вместо

модуля непрерывности а>*,р(/;£,т)ч часто удобнее использовать следующую характеристику гладкости функции

и = (щ , иг, • ■ ■, «О. Я = (1-'1. Ъ, ■ ■ ■, «'„), а Д£| = Д*хД£;Д* = Д^о...о Д^

Л§ = Д', о ... о ; операторы Д£ и Д§ действуют на функцию / по переменным х и у соответственно.

Очевидно, что т-)2 х ^р(/;£,т)2. Поэтому имеет смысл ввести

в рассмотрении экстремальную характеристику

^ о " ' о о " ' о ^ " ' ^^ '"йУр\ 'А'4 >

(И)

где

ю

Основным результатом данного параграфа является следующая Теорема 1.4.1 Пусть т,п,г,.ч 6 N. Тогда для любых чисел ^т е (0,7г/2] справедливы равенства

= (12) Следствие 1.4.1 В условиях теоремы 1.4-1 справедливо равенство

[ТТ 7Г\ ( (

£т,п,г,з,к,р ( 2 ' 2 ) = Г I1 ~ 7Г ] ) ' ^

Отметим, что одномерный вариант теоремы 1.4.1 принадлежит С.Б.Ва-карчуку и В.И.Забутной.

Вторая глава диссертации посвящена вычислению точных значений колмогоровских и линейных квазипоперечников для некоторых классов дифференцируемых периодических функций двух переменных в гильбертовом пространстве Ь2(¿2).

В первом параграфе второй главы приведены определения колмогоровских и линейных квазипоперечников множеств. Придерживаясь обозначений первой главы напомним, что для центрально-симметричного множества®! С Z величину

с1т>п(т, Ъ) = т£{£(9Л, С({/т, Уп))г : итсХ, Уп С У} (14)

называют квазипоперечником множества ЯЛ по Колмогорову. Аналогичном образом, исходя из равенства (3) величину

¿„.„(ЗЯ, Ъ) = шЦеДО, С(ит, Уп))г : ип С X, Уп С У} (15)

назовем линейным квазипоперчником множества ЯЛ в пространстве Ъ.

В задачах (14) и (15) наибольший интерес представляет отыскание экстремальных подпространств С Х,У° С У, для которых выполняются равенства

£(Ш, , ОЬ = е(9Л, С(и°т, = ¿„,„(3Я, 2) = ¿т,п(<Ж, Ъ).

Далее, в протяжении второй главы полагаем, что X = У = Ь2\0,2тг], Ъ = ¿2(<3) и для некоторых центрально-симметричных множеств периодических функций Ш С Ь2(Сд) вычисляются величины

й2т-1,2п-1{Ш, Ь2{Я)) = ш!{£(Ш1,С(С/2я1_1, Уап-О^м) : ^т-ь^-г С Ь2[0,2тг]},

°2m-l,2n-l (m,L2{Q))=ixií{e{<m,G{U2m-l,V2n-l))L2{Q) : U2m-uV2n-i С Ь2[0,2тт]}.

Во втором параграфе второй главы приводится определение классов функций, для которых затем вычисляются точные значения квазипоперечников.

Пусть Фj{x) (х > 0; j = 1, 2) - произвольные непрерывные возрастающие при х > 0 функции, такие, что Ф,-(0) = 0.

Для любых к, г, s 6 N и 0 < h < тг/(2т), 0 < r¡ < 7г/(2п) введем в рассмотрение следующие классы функций

= е L<r'>(Q) : t,r)2dtdT < lj ,

И$(ФХ1 Ф2; ш) У |у) € 4r,í)(Q) : J{4/k(f{r's)M2dtdT < Ф{(А)Ф*(т|) J .

Через И^'* ?(Фх, Ф2; w) обозначим множество функций /(.-г, у) g L2''\Q), которые для любых положительных а, (5, h, r¡, /(. и € R+ с ограничениями 0 < q/i < 7г, 0 < /бт] < 7г, 0 < /í < rg -1, 0 < у < sg -1, max{l/r, 1/s} < g < 2 удовлетворяют условию

( t Т . I1/«

|/ j4M{r'Sl>x- vh sin" -ax sin" 5Pydxdyl < Фх(0Ф 2(r).

Помимо перечисленных выше классов функций, исходя из результатов теоремы 1.4.1 и следствие 1.4.1, для любых к,р,г,$ € N и произвольных h,r¡ Е.Ш+ вводим в рассмотрение класс функций

^■•(П^ФьФа) = {f(x,y) е L^(Q) : ÍM/^M) < •

Имеет место следующее утверждение

Теорема 2.2.1 Пусть т,п,к в N, 0 < h < я/(2тп), 0 < т) < п/(2п). Тогда при любых г, s £ N справедливо равенство

d2m-i,2n-i /*(<?)) = í2m-i,2»-i (W%(w),L2(Q)) =

= £ (И^И, G(í/Ím_lf V^))^ = е G(U;m_u V,2U))Ll{Q] =

= í_ш_\*/2_l.I

) 4(m/i — sin mh)(nr¡ — sin nr¡)) mr ns

12

В случае периодических дифференцируемых функций одной вещественной переменой вопросы вычисления точных верхних граней модулей коэффициентов Фурье на различных классах рассматривались А.В.Ефимовым, А.Ф.Тиманом, Н.П.Корнейчуком, В.И.Бердышевым, С.А.Теляковским, А.И.Степанцом, С.Б.Вакарчуком и многими другими. Задача подобного рода представляет определенный интерес и для коэффициентов Фурье периодических дифференцируемых функций двух переменных.

Из теоремы 2.2.1 вытекает

Следствие 2.2.1 Пусть выполнены условия теорелт 2.2.1. Тогда имеет льесто равенство

йир {[ст„(/)| : ах, у) € -

\к/2 Л 1

тп 1 1

[A(mh — sin mh){nr¡ — sinnr¡) J mr ns Следующая теорема в определенном смысле обобщает теорему 2.2.1. Теорема 2.2.2 Если мажоранты i}j(l) (j — 1,2), при любом q Е i удовлетворяют ограничениям

í>j(í) 2 J qt — sinqt, если 0<t<n/q,

Ф^(тг/2д) г - 2 [ 2qt - тг если t > ж/q, то для любых т, п, г, s, к €. N имеют место равенства

(Wftfa ФЬ Ы ¿2(Q)) =

= ¿2m- 1,2п-1 ФЬ Ф2), L2(Q)) =

= 5 (И£2'(и; Фь Ф2), ОДт_1, V2;_1))i2(0) = = е Фь ф2), ад^, Щ)^ =

4

™ ^и^шГ1 1

Дтг-2)2 \2тп) \2п) J тг п«' Введем следующее обозначение

(sintí), = {sin и, если 0 < и < тг/2; 1, если и > 7г/2} .

Результат теоремы 1.3.2 позволяет при некоторых ограничениях на мажорантных функций Ф.,^), j = 1,2 сформулировать следующее общее утверждение.

Теорема 2.2.3 Пусть для ecext, т € [0, 2я"] функции <&j(t) (j = 1,2), при всех 0 < ц < rq — 1, О < v < sq — 1, max{l/r, 1/s} < q < 2 и произвольных h,r],a,{3 G K_(- таких для которых 0 < а/г < 7т. О < flr¡ < ~ удовлетворяют условиям

) ( mx\kq h h¡ t mx\kq

Ф'(Л) I j^sin — J sin'1 -axdx < Ф\{1) J ^sin —J sin'' axdx,

ФК»?) / (sin sin" ^Pydy < ФЦт) ] (sin ^J1 sin" (3ydy.

Тогда для любых тп, n,p, k, r, s S N справедливы равенства d2m-l,2n-x Фь Фг), ¿2«)) =

= Фь ф2), HQ)) =

{г 7 / тх\кч ( ny\p? 1_1/?

J j (^sin— J |sin—j sin'1 ах sin" Bydxdy j

Из теоремы 2.2.3 непосредственно вытекает

Следствие 2.2.3 Б условиях теоремы 2.2.3 при 0 < ¡i < rq — 1, О < v < sg — 1, max{l/r, 1/s} < q < 2 и n = ж, (i — п, h — я/т, rj = тт/п при любых тп, п, г, 5, € N имеет место равенство

¿2т-Х.2п-1 Фь Ф2), L2(Q)) = ^-1.2,-1 Фх, Ф2), =

Vi

Ф1(7г/т)Ф2('г/»г)

mr-l/qns~l/q

+ м + 1) Г + I/ + 1)

Отметим, что теорема 2.2.3 и следствия 2.2.3 в качестве частного случая содержат при /г = ^ = 0 и д = 2 результаты С.Б.Вакарчука и М.Ш.Шабозова.

В заключительном третьем параграфе приводятся точные значения колмогоровских и линейных квазипоперечников классов функций, определенные обобщенными модулями непрерывности (11) в пространстве Ь2(0;).

Сформулируем основной результат этого параграфа.

Теорема 2.3.1 Пусть при любых д,т,п € N мажорирующие функции ^ = 1,2 удовлетворяют ограничениям

>

Ф1(тг/2д)

(1-28ш(тг«/2)/(7Г«))т, если 0 < I < 2, 2т(1-1//,)т, если 2 <£<оо.

Ф2(7гт/2д)

>

Ф2(тг/2д)

(1-2зт(тгг/2)/(7гт))п, если 0 < г < 2, 2™(1 - 1/т)", если 2 < т < оо.

Тогда для этих ц, г, 5 6 N выполняются равенства

<*2т-1,2„-1 (^'(П^; Фь Фа), ¿2(0)) -= <У2т-1,2п-1 Фь Фа), ¿а(£)) =

= 5 Фь Ф2), ССС^.!, =

= е Фх, Ф2), С{Щт_ъ У^))^ =

7Г \(*+Р)/2 1 1. /Я-Л

$2 Г" •

)) тг п5 ч2т/ ^п/

ч2(тг — 2);

Следствие 2.3.1 Если выполнены условия теоремы 2.3.1, то имеет место равенство

зир{|стп(/)| : /(.т,у) е ^(П^ФьФа)} =

7Г \

20

± 1ф (1)Ф И - 2)) тг ' п* 112т/ 2 \2п/ '

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своим научным руководителям академику АН РТ М.Ш.Шабозову и профессору С.Б.Вакарчуку за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Акобиршоев М.О. Точные значения квазипоперечники некоторых классов функций в Ь2. //Вестник ХоГУ. Естест. науки, 2003, №6, с. 20-29.

2. Шабозов М.Ш., Акобиршоев М.О. Квазипоперечники некоторых классов дифференцируемых периодических функций двух переменных //ДАН России, 2005, т. 404, №4, с. 460-464.

3. Акобиршоев М.О. О наилучшем приближении периодических функций двух переменных обобщенными полиномами //Докл. АН Респ. Таджикистан, 2006, т. 49, №3, с. 210-214.

4. Шабозов М.Ш., Акобиршоев М.О. Точные значения квазипоперечников некоторых классов дифференцируемых периодических функций двух переменных //Analysis Mathematica, 2009, т.35, с. 61-72.

5. Акобиршоев М.О. О приближение непрерывно дифференцируемых функций двух переменных обобщенными тригонометрическими полиномами в L2(Q), Q = {0 < х,у < 2л-} //Современные проблемы математического анализа и их приложений. Материалы межд. науч. конф. поев. 60-летию академика К.Х.Бойматова. Душанбе, 23-24 июня 2010 г., с. 13-15.

Введение.

Глава I. Наилучшее приближение дифференцируемых периодических функций двух переменных обобщенными полиномами в гильбертовом пространстве

Ь2(<2),д = {0<ж,г/<27г}.

§1.1. Основные определения и вспомогательные факты.

1.1.1. Необходимые обозначения.

1.1.2. Приближение двумерных фуикций обобщенными полиномами

1.1.3. Смешанные модули непрерывности в пространстве 1/2((5)

1.1.4. Основная лемма.

§1.2. О приближении непрерывно-дифференцируемых периодических функций двух переменных обобщенными тригонометрическими полиномами в 5).

§1.3. О наилучшем приближении функций /(ж,у) € ^^{О) обобщенными полиномами, структурные свойства которых определяются усредненными значениями модулей непрерывности старшей частной производной.

§1.4. О наилучшем приближении дифференцируемых функций обобщенными полиномами, структурные характеристики которых задаются обобщенными модулями гладкости

Глава II. Квазипоперечники некоторых классов дифференцируемых периодических функций двух переменных

§2.1. Постановка задач и необходимые определения.

§2.2. Квазипоперечники некоторых классов функций, определяемые усредненными модулями непрерывности высших порядков

§2.3. Квазипоперечники классов функций, определяемые обобщенными модулями непрерывности в 1/2((5)

Среди экстремальных задач теории приближения функций многих переменных наиболее трудными являются задачи нахождения точных оценок приближения на классах функций, связанные с отысканием значений поперечников и квазипоперечников в различных банаховых функциональных пространствах. В связи с этим исследования задач, связанных с приближением функций п (п > 2) переменных, продвинуто не так далеко, как в одномерном случае.

Определения понятий различных квазипоперечников компактов дало возможность перейти к изучению тех экстремальных задач теории приближений функций многих переменных, круг которых для обычных поперечников очертил А.Н.Колмогоров [35].

При решении экстремальных задач теории приближения функций многих переменных одной из важных является задача о приближении заданной функции Х2,. ■., хп) суперпозициями функции меньшего числа переменных, то есть требуется построить такой полином, в котором коэффициенты определяются по заданным п (п > 2) переменным каким-либо процессом приближения и являются функциями не более к (О < < к < п — 1) переменных. При этом указанный полином должен иметь лучшие аппроксимативные свойства по сравнению с любой другой линейной формой полиномов, содержащих функции не более к переменных. Такой постановке задачи приближения функций многих переменных отвечают обобщенные полиномы (так называемые квазиполиномы), порожденные тензорным произведением одномерных функций.

Вопросами приближения функций многих переменных суперпозициями функций меньшего числа неременных в разное время занимались Б.Б^апси [43], Н.П.Корнейчук [29], А.И.Вайндинер [14], М.К.Потапов [40], В.Ю.Брудный [11], В. Н. Те мл яков [49], М.-Б.А.Бабаев [7], А.Н.Литвин [37], В.В.Федько [52], С.В.Переверзев [39], С.Б.Вакарчук [16-18], С.Б.Вакарчук и М.Ш.Шабозов [19,20] и многие другие.

Дальнейшему развитию указанной тематики и посвящена данная работа, целью которой является решение следующих задач:

1. Получить неравенства типа Джексона-Стечкина для дифференцируемых периодических функций двух переменных, связывающие наилучшее приближение функций обобщенными полиномами с усредненными модулями непрерывности высших порядков частных производных функций в пространстве £2(<2), Я —{{я,у)'. 0 < х,у < 27г}.

2. Вычислить точные значения колмогоровских и линейных квазипоперечников классов дифференцируемых периодических функций, определяемых усредненными модулями непрерывности высших порядков частных производных в пространстве 1/2 ((5).

В работе широко использованы общие методы функционального анализа, методы решения экстремальных задач функции многих переменных, а также некоторые подходы к решению многомерных задач вариационного содержания. В диссертационной работе:

- найдены новые точные неравенства, связывающие наилучшие приближения обобщенными полиномами функций двух переменных с усредненными модулями непрерывности высших порядков частных производных функций В ¿2((5);

- вычислены точные значения колмогоровских и линейных квазипоперечников классов функций, определяемых усредненными модулями непрерывности высших порядков частных производных функций в 1/2(ф) с положительными весами.

Полученные в диссертации результаты носят в основном теоретический характер. Установленные в ней факты могут быть использованы при построении методов решения прикладных задач, связанных с интегральными уравнениями.

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах по теории приближения функций в Хорогском госуниверситете (Хорог, 2002-2005 гг.), на международной конференции „Развитие горных регионов в XXI веке"(Хорог, Таджикистан 26-29 августа 2001 г.), на научно-теоретической конференции, посвященной 10-летию Хорогского госуниверситета (Хорог, , 26-28 октября 2002 г.), на республиканской научной конференции "Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений", посвященной 75-летию со дня рождения академика АН РТ А.Д.Джураева (Душанбе, 16-17 октября 2007 г.), па международной , конференции "Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ", посвященной 80-летию академика АН РТ Л.Г.Михайлова (Душанбе, 29-30 мая 2008 г.), на международной конференции „Современные проблемы математического анализа и их приложений", посвященной 60-летию академика АН РТ К.Х.Бойматова (Душанбе, 23-24 июня 2010 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [3-5,54,56]. В работах [54,56], выполненных в соавторстве с М.Ш.Шабозовым, последнему принадлежат постановки задач и выбор объекта исследований.

Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной

1. Авакян А.Н. О приближении функций двух переменных линейными методами //Укр. мат. журнал, 1983, т. 35, №4, с. 409 - 414.

2. Айнуллоев Н. О поперечниках дифференцируемых функций в Ь2 //ДАН Тадж. ССР, 1985, т.28, №6, с.309-313.

3. Акобиршоев М.О. Точные значения квазипоперечники некоторых классов функций в Z/2 //Вестник ХоГУ. Естест. науки, 2003, №6, с. 20-29.

4. Акобиршоев М.О. О наилучшем приближении периодических функций двух переменных обобщенными полиномами //Докл. АН Респ. Таджикистан, 2006, т. 49, №3, с. 210-214.

5. Арнольд В.И., Колмогоров А.Н. Представление функций многих переменных суперпозициями функций меньшего числа переменных //УМН, 1958, с.71-111.

6. Бабаев М.-Б.А. Приближение соболевских классов функций суммами произведений функций меньшего числа переменных //Труды МИАН СССР, т. 180. М.: Наука, 1987, с. 30 - 32.

7. Бабепко В.Ф., Лигун A.A. Об интерполяции многогранными функциями //Мат. заметки, 1975, т.18, №6, с. 803 814.

8. Бабенко В.Ф. Интерполяция непрерывных отображений кусочно-линейными //Мат. заметки, 1978, т.24, el, с. 43 51.

9. Бердышев В.И. О теореме Джексона в Lp //Тр. Матем. ин-та АН СССР, 1967, т.88, с. 3 16.

10. Брудный Ю.А. Приближение функций п-переменных квазимногочленами //Изв. АН СССР, сер. матем., 1970, т.34, №3, с. 564 584.

11. Вайндинер А.И. Об одной новой форме рядов Фурье и выбора наилучших полиномов Фурье //ЖВМ и МФ, 1967, т.7, №1, с. 177 185.

12. Вайндинер А.И. К оценке остатка обобщенного ряда Фурье дифференцируемых функций двух переменных //Докл. АН СССР, 1969, т. 184, №3, с. 511 513.

13. Вайндинер А.И. Приближение непрерывных и дифференцируемых функций многих переменных обобщенными полиномами (конечной линейной суперпозицией функций меньшего числа переменных) //ДАН СССР, 1970, т. 192, с. 483 486.

14. Вайндинер А.И. Некоторые вопросы приближения функций многих переменных и эффективные прямые методы решения задач теории упругости //Упругость и неупругость. Изд-во Московского ун-та, 1973, вып. 3, с. 16 46.

15. Вакарчук С.Б. О точных значениях квазипоперечников некоторых периодических функций двух переменных //Теория приближений и смежные вопросы анализа и топологии. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1987, с. 15 - 20.

16. Вакарчук C.B. О приближении дифференцируемых функций многих переменных //Мат. заметки, 1990, т. 48, №3, с. 37 44.

17. Вакарчук C.B. Квазипоперечники функциональных классов некоторых банаховых пространствах аналитических функций многих комплексных переменных //ДАН Украины, серия А, 1992, №3, с. 26 31.

18. Вакарчук C.B., Шабозов М.Ш. О точных значениях квазипоперечников некоторых функциональных классов //Укр. мат. журн., 1996, т.48, №3, с. 301 308.

19. Вакарчук C.B., Шабозов М.Ш. Квазипоперечники и оптимизация методов смешанной аппроксимации многомерных сингулярных интегралов с ядрами типа Гильберта //Укр. матем. жунал., 1996, т.48, №6, с.753-770.

20. Вакарчук С.Б. О наилучших полиномиальных приближениях в Ь2 некоторых классов 27г-периодических функций и точных значениях их п-поперечников //Мат. заметки, 2001, т.70, №3, с. 334-345.

21. Vakarchuk S.В. Exact constant in an inequality of Jackson type for L2 approximation on the line and exact values of mean widths of functional classes //East Journal on Approximation, 2004, т. 10, №1-2, p. 27-39.

22. Вакарчук С.Б. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников функциональных классов азЬ2 //Матем.заметки, 2005, т.78, №5, с. 792-796.

23. Вакарчук C.B. Неравенства типа Джексона и поперечники классов функций в Ь2 //Матем. заметки, 2006, т.25, №1. с.11-19.

24. Vakarchuk S.B. and Zabutna V.l. Widths of function classes fromZ/2 and exact constants in Jackson type inequalities //East Journal on approximations, 2008, T.14, №4, p. 411-421.

25. Гильберт Д. Математические проблемы. Из-во иностр. литературы. М., 1958.

26. Ефимов A.B. О приближении периодических функций суммами Валле-Пусена II //ИАН СССР, сер. матем., 1960, т.24, №3, с. 431 468.

27. Корнейчук Н.П. Наилучшие кубатурные формулы для некоторых классов функций многих переменных //Мат. заметки, 1968, т.З, №5,-с. 565 -576.

28. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1976, 320 с.

29. Корнейчук Н.П., Переверзев C.B. К вопросу о приближении функций двух переменных операторами, построенными на базе одномерных операторов //Теория функций и топология. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983, с. 43 - 49.

30. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. М.:Наука, 1984,352с.

31. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987, 424 с.

32. Корнейчук Н.П., Бабенко В.Ф., Лигун A.A. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. Киев: Наукова думка, 1992, 304 с.

33. Kolmogoroff A.N. Über die besste Annäherung von Funktionen einer gegebenen Funktionklassen //Arm. Math., 1936, Bd.37, s.107-110.

34. Левин M.И., Гиршович Ю.М. Экстремальные задачи для кубатурных формул //ДАН СССР, 1977, т.236, №6, с. 1315 1318.

35. Литвин А.Н. IntennÍHau,ifl функцш. Харюв: Основа. 1992, 234 с.

36. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977, 474 с.

37. Переверзев C.B. Точная оценка приближения эрмитовыми сплайнами на одном классе дифференцируемых функций двух переменных //Изв. вузов. Матем., 1981, №12, с.58 66.

38. Потапов М.К. Изучение некоторых классов функций при помощи приближения „углом"//Тр. МИАН СССР, Т.117. М.: Наука, 1972, с. 256 - 291.

39. Pinkus A. 77,-widths in Approximation Theory. Berlin: Springer Verlag. 1985, 490 p.

40. Сенета E. Правильно меняющиеся функции. M.: Наука, 1985, 142 с.

41. Stancu D.D. The remainder of certain linear approximation formulas in two variables //Jounr. Soc. Indust. Appl. Math. Ser. В. Numer. Anal., 1964, v.l, pp. 137-163.

42. Степанец А.И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Линейные методы. Киев: Наукова думка, 340 с.

43. Стечкин С.Б. Наилучшие приближение линейных операторов //Мат. заметки, 1976, т.1, №2, с. 137 148.

44. Стороженко Э.А., Кротов В.Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в пространствах Ьр //Матем. сб., 1975, вып. 98(140), №3(11), с. 395-415.

45. Тайков JI.B. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из Ь2 //Мат. заметки, 1976, т. 20, №3, с. 433 438.

46. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной //Труды МИАН СССР, 1986, т.178, с. 3-12.

47. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960, 624 с.

48. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: МГУ, 1976, 325 с.

49. Федько В.В. О погрешности блендинговых приближения //УМЖ, 1979, №6, с. 590-601.

50. Hardy G.H., Littlewood I.E., Polya G. Inequality. Cambridge University Press. 2nd ed. 1952, 346 p.

51. Шабозов М.Ш., Акобиршоев M. Квазипоперечники некоторых классов дифференцируемых периодических функций двух переменных //ДАН России, 2005, т.404, №4, с.460-464.

52. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. О поперечниках классов периодических функций в пространстве Ь20, 27т. //ДАН Респ. Таджикистан, 2006, т.49,с.111-116.

53. Шабозов М.Ш., Акобиршоев М.О. Точные значения квазипоперечников некоторых классов дифференцируемых периодических функций двухпеременных //Analysis Mathematica, 2009, т.35, с. 61-72.