Наилучшее приближение аналитических в круге функций в пространстве Харди тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ЮСУПОВ ГУЛЗОРХОН АМИРШОЕВИЧ

НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ХАРДИ 01.01.01 - математический анализ

с.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

ДУШАНБЕ - 2 00 4

I

I

Работа выполнена на кафедре математического анализа Хорогского государственного университета имени М.Назаршосва

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

член - корр. АН РТ, доктор физ. - мат. наук ШАБОЗОВ Мирганд Шабозович

доктор физ. - мат. наук, снс Исхоков Сулаймон Абунасрович

кандидат физ. - мат. наук, доцент Солиев Юнус

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Таджикский государственный

национальный университет

Защита состоится 2004 г. в /Г часов на заседании

диссертационного совета К.047.007.01 при Институте математики АН РТ по адресу: 734063, г. Душанбе, ул.Айни 299/1

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики АН РТ

Автореферат разослан " ЛГ" 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ. - мат. наух, снс уВЦьЦ-С^ У Замонов М.З. ^

2004-4 29282

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В последние годы в теории приближения интенсивно изучаются задачи наилучшего приближения аналитических в круге функций комплексными полиномами в различных функциональных пространствах. Это связано, в первую очередь, с задачей отыскания значений поперечников классов функций в этих же пространствах. Так, в пространствах Хярди Нр, р > 1, задачи наилучшего приближения аналитических в единичном круге функций с ограниченной по норме производной изучались • в работах К.И.Забенко, В.М.Тихомирова, Л.В.Тайкова, Ж.Шейка, В.И.Белого, М.З.Двейрина, С.Б.Вакарчука.

Вопросы, связанные с точным вычислением поперечников по Колмогорову классов аналитических функций, в определении которых существенную роль играют модули непрерывности или модули гладкости в пространстве Харди, рассматривались в работах Л.В.Тайкова, К.Айнуллоева и С.Б.Вакарчука.

Данная работа посвящена вычислению точных значений колмого-ровских, линейных и проекционных поперечников классов аналитических в единичном круге функций, у которых г-я производная принадлежит пространству Харди #г и удовлетворяет на границе некоторым ограничениям, связанным со скоростью убывания модуля непрерывности т-го порядка.

Цель работы:

1. Найти новые точные неравенства между наилучшими приближениями комплексными полиномами и интегралами, содержащими модули непрерывности высших порядков граничных значений производных в пространстве Харди.

2. Вычислить точные значение колмогоровских, линейных и проекционных п - поперечников соответствующих классов аналитических в единичном круге функций. О

Приложения. Результаты, полученные в диссертации, имеют, как

—————————— ^

теоретическое, так и прикладное значение. Они могут быть использованы при вычислении е - энтропии классов функций, аналитических в единичном круге.

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались 'на семинарах по теории приближения функций в ХоГУ (Хорог, 19992003гг.), на семинарах по теории функций в ТГНУ (Душанбе,2000-2003гг.), на международной конференции "Развитие горных регионов в XXI векс"(Хорог, Таджикистан, 26-29 августа 2001 г.), на научно-теоретической конференции, посвященной 10-летию ХоГУ (Хорог, 26-28 октября 2002г.), на международной научной конференции по "Дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами," посвященной 50 - летию кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений ТГНУ (Душанбе, 25-28 октября 2003г.)

Публикация. Основные результаты опубликованы в работах {1-4J.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 46 наименований и занимает 86 страниц машинописного текста. Главы подразделены на 7 параграфов. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на параграф, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формул в данном параграфе.

Содержание диссертации

Во введении приведен краткий обзор работ, имеющих непосредственное отношение к теме диссертационной работы. Дается краткая характеристика изучаемой проблемы и приводятся основные результаты работы.

В первой главе диссертации изучаются аппроксимативные и структурные свойства аналитических в единичном круге функций

/(*) = £ ckZk, z = ре", :0<р<1, 0<*<2тг, *=0

в метрике пространства Харди Нр, 1 < р < оо с нормой

«» / 1 ** \Vp ( 1 2* \1/р И-дф / = (s I < 1 ^ <

где F(t) = /(е") - угловое граничное значение /(г).

В случав р — оо удобно рассматривать аналитические в единичном круге функции, которые непрерывны вплоть до границы с нормой

= max||/(z)| : \г\ < l} = max{|F(i)| : 0 < t < 2тг}.

В первом параграфе главы I приведены необходимые для /^льнеКшего определения и факты из общей теории приближения в нормированных пространствах.

Пусть г - целое положительное число. Через F^r\t) обозначим граничное значение производной /'r'(z), а через F^r\t) - производную г - го порядка но аргументу функции f(z). Очевидно, что

f'a{z) = fz{z)zt^f'(z)zi,

и для г > 2 полагаем: /¿г,(.г) = {/i1""1^)} • Всюду вводим обозначение

я; = {/(г)еяр: ¡/(Г,Ц<<4

Если функция /(г) € Нр имеет непрерывные граничные значения F(t), то их гладкость характеризуем модулем непрерывности т - го порядка

um(F-, h)n, = sup{||Am(F; .,i)| : |t| < й},

где

-разность т-го порядка функции F(t). В частности, легко подсчитать, что

u,2jF(r>; t) = 2"' supi £ «1Ы2(1 - cos (к - г)иГ : и € [0,i]|,

4 /нг lk=r+1 4 ' '

где положено

акг = к(к - 1 )...(к - г + 1), к > г. Множество всех комплексных полиномов степени < п — 1 обозначим

Т„-г = {pn-i(z) : p„-i(z) = Ё |a„_i| ф о}.

Величину

W)h, := E{f,Vn-{)„f = inf{|/ -A-if : Pn-iW6P»-i}

назовем наилучшим приближением функции f(z) € Нр подпространством "Рп-1- Если Ш - некоторый класс функций {/(г)} С Нр, то требуется найти величину

Еп{Щ„, := Е(Ш, 7V0Чр = sup{S„(/)*p : / 6 ЯП}. (1)

Далее, пусть А - некоторый метод приближения /(г) € Нр, погрешность которого на классе ОТ оценивается сверху

£(/),/, = suP{||/-Л/Ц: /еап}.

Если - линейное многообразие в Нр, £(ЯР,01) - множество всех линейных операторов А : Нр —> ОТ, то требуется найти

£(ОТ, Я)я, = inf{sup{||/ - Л/| : / е ОТ} : Л € С(НР, 01)}, (2) и указать оператор А' ¿(Яр;0\), для которого

¿(ОТ, Я)я, = вир{1/ - Л*/1 : / € от}.

В этом случае оператор А* определяет наилучший для класса ОТ линейный метод приближения.

Аналогичным образом, если £-и(Яр)9г1) - множество всех операторов А линейного проектирования на подпространство ОТ, то требуется найти

Я)я, = inf{ sup{|/ - Af\ : / е ОТ} : Л е £Х(НР, Ol)}. <3)

При вычислении величин (1) - (3) в качестве ОТ будем рассматривать конкретные классы аналитических функций из Нр, а в качестве 01 выбираем подпространство Vn-i- Точные значения указанных величин получаем как следствие вычисления соответствующих поперечников класса ОТ С Нр, р > 1.

Пусть X - произвольное нормированное пространство, Мп - класс всех подпространств размерности не более п в X. Если ОТ - центрально-симметричное множество в X, то величины

dnQBt, X) = inf{S(OT, 0l)x : Ol G Mn} 1 < (4)

A„(OT, X) = inf{5(ОТ, 0t)* : 01 € Mn} (5)

„(ОТ, X) = inf{i1 (ОТ, <П)х ■ 0l€ M„} (6)

называют соответственно колмогоровским, линейным и проекционными поперечниками.

Основным результатом второго параграфа первой главы является Теорема 1.2.2. Пусть для произвольной функции f(z) £ Нр, 1 < р < 2 ее производные /'r'(z) £ Н2 имеют непрерывные граничгче значения FW(<) ф const. Тогда для любых натуральных n,m,r\ г < пи любого

г-1

О < 7 < 2(п - г) £ (п - s)_I при Л > > 0 таких, что 0 < < ж,

л-0

справедливо равенство

sup--£- =-----> (,)

/еИ; [ul(F(r\ t) sin7ptdt 2™ [(1 - cos (n - r)t)msin'(3tdt о "2 0

где a„r = n(n — l)...(n — r + 1), n > r.

Отметим, что из (7) при m = 1,7 = 0 получим результат М.Ш.Шабозова, а при m = 1,7=1,/? = 7г/Л, Л = 7г/(п — г) - результат С.Б.Вакарчука. Кроме; перечисленных случаев справедливо

Следствие 1.2.2. При'выполнении условий теоремы 1.2.2 для любых натуральных п,т; г > 0,r < п и 1 < р < 2 справедливо соотношение

^]^(F^t/(n-r))HiSbtdt ~ 22m+1

В трегьем параграфе первой главы рассматривается задача о наилучшем приближении аналитических функций, задаваемых модулями непрерывности высшего порядка от производной г-го порядка по аргументу. Имеет место следующая

Теорема 1.3.1 Пусть для произвольной f(z) £ Нр, 1 < р < 2 ее производные f^¿\z) £ H-¡ имеют непрерывные граничные значении F¿r)(i) ф const. Тогда для любых натуральных т,п, г; 1 < г < п и любого 0 < 7 < 2г — 1, при любых h > 0,/? > 0 таких, что О < 0h < к, спраьедливо равенство

_1_кжо г*

sup ^-Е-=-й---, 1 < р < 2 (8)

/€Я' / (Fir), t) н sin7 ptdt 2mf(l- cos ni) m sin7 /3tát

Верхняя грань в (8) реализуется для функции /о{г) = гп € Щ, 1 < р < 2. В условиях теоремы 1.3.1 имеет место

Следствие 1.3.1 Справедливо равенство

""^(Ля, т!

В четвертом параграфе рассматривается задача о наилучшем приближении некоторых классов аналитических функций в пространстве 1 < р < 2. При решении указанной задачи будем исходить из точных результатов, полученных в предыдущих параграфах.

Пусть Ф(и) - произвольная непрерывная возрастающая при и > О функция такая, что Ф(0) = 0. При любых,натуральных т,п,г и /3 > 0,

И > 0,0 < /?Л < я-, и соответственно 0 < 7 < 2(п — г) Ё (п — в)-1, < ■■ »*• »=0 0<7<2г — 1,и любом и е (0,7г], определим в Яг следующие классы

функций:

= |/ € Щ : < Ф2(Ы)|,

= |/ 6 Щ : < Ф2(и)|.

Мы также вводим в рассмотрение не зависящие от мажоранты Ф(и) классы функций:

= |/ € щ: г)Иг вш*\fitdt < Л.

В принятых обозначениях справедлива следующая

Теорема 1.4.1 Для наилучшего приближения классов И'щ, п, И^(Ф) и И^^Ф) подпространством Vn~\ в пространстве Яр, 1 < р < 2, соответственно, при 0 < h < г/(п — г), n>ruO<h< п/п, справедливы равенства

,"1/2

/\ / V I-'*/ чШТГГ

Еп

:= = [2Г"апг}{1 - C0s(" - O^sin* £<tt j

E»(W^)Hp ~ E(wrmta,r„.= |2mn2r/(l - cosní)msin^ídf

, -1/2

í " * rl/2

= j 2malr J{ 1 - eos (n - r)í)m sin7 ~tdt | Ф(Л),

Г Л ' 1 -1/2

• = |2mn2r /(1 - cos ní)m sin7 £¿dí J- Ф(Л).

Во второй главе диссертации, состоящей из трех параграфов, рассматривается задача определения значений колмогоровских, линейных и проекционных поперечников классов функций, аналитических в единичном круге, принадлежащих пространству Нр< 1 < р < 2.

К настоящему времени, в задаче о поперечниках классов аналитических функций достигнут определенный прогресс.

Поперечники различных классов функций с ограничениями на производные г-го порядка вычислены в работах В.М.Тихомирова, Л.В.Тайкова, А.Пинкуса, Р.Фишера, К.Миччели, Н.Айнуллоева, С.Б.Вакарчу.\а, М.З.Двейрина, М.Ш.Шабозова, Х.Х.Пирова.

В то же время, известно мало результатов точного вычисления поперечников в функциональных пространствах аналитических функций с интегральными модулями непрерывности. Здесь следует отметить результаты Л.В.Тайкова и Н.Айнуллоева, связанные с точным вычислением поперечников по Колмогорову некоторых классов аналитических функций, и определении которых существенную роль играют модули непрерывности или модули гладкости. 0

Во второй главе диссертации найдены точные значения колмогоровских, 'линейных и проекционных поперечников классов функций И^, И^(Ф) и (Ф), определяемых интегральными модулями непрерывности высших порядков граничных значений производных.

Основной результат первого параграфа второй главы сформулирован в следующей теореме.

Теорема 2.1.1 При 0 < к < т/(п-г),г < п,0<у< 2 (п-г) £(«-«)

*=о

и 0 < к < тг/гг, 0 < 7 < 2г — 1, соответственно для значений поперечников классов и И7^,, в пространстве Я2 справедливы равенства

¿п Яа) = А„ (К, Яг) = тгп(ж;, я2) =

= {2та*г /(1 - сов (п - г)«)т зт7 ¿п(^;,01яг) = д„(^,а,я2) = =

= {2тп2г/(1 - созпг)т8т^^}~1/2.

Лее поперечники реализуются частными суммами Тейлора п-1

Тп-1{/,г) = Е разложения /(г) в круге < 1. *=о

Из теоремы 2.1.1 при Л = т/(п — г), г < п и Л = 7г/п вытекает

Следствие 2.1.1 Для любит целъьх неотрицательных г, натуральных

г-1

т,п при любых 0 < 7 < 2(п—г) з) «О < 7 < 2г— 1, соответственно"

з=0

справедливы равенства

—1/2

-V (V яЛ - [ , Г(т + 7 + 1)_} у^

7" V т' ~ 22"1+1Т(т + (7 + 1)/2)Г((7 + 1)/2) [ авг ' <

. -1/2

Г(т + 7+1) 1 1

-V (иг н\ = \_Цт + 7+1)_

\ т'а' лУ 122т+1Г(тп + (7 + 1)/2)Г((7 + 1)/2)

где Г(и) - гамма функция Эйлера, а 7П(-) - любой из поперечников с/п(-), А„(-) и жп(-).

Во втором параграфе второй главы при некоторых ограничениях на мажоранту Ф(и) вычислены поперечинки классов и И'^в(Ф) в

пространстве #2-

Положим

(l-cosí) —cosí) , если t < я-; 2m, если t > тг}.

Теорема 2.2.1 Если для всех0 > 0,u е (0,я-] и 0 < h < ж/(п-г),г < п, функция Ф(и) удовлетворяет условию

Ф2(Л) /(l - cos (n - г)«)"* sin1- < Ф2(и) /(l - cos (n - r)<)m sin1 Jtdt, то справедливо равенство

7„(К(Ф), Я2) = {2ma2r/(l - cos(n - г^зш^лГ'^Л),

о

г<?е 7„(-) - любой из поперечников d„(-), Ап(-) и «•„(•).

Все поперечники реализуются частными суммами Тейлора Tn_i(/, г) разложения /(z) в круге |г| < 1.

Аналогичный результат получен для класса И/^>0(Ф). .

В частности, из утверждения теоремы 2.2.1 при 7 = 0 и 7 = 1 вытекают равенства

(ч 1/2 _

«и}

*nr

В завершающем, третьем параграфе второй главы, найдены точные значения поперечников, зависящих от параметра А (0 < А < 1) для классов И£(*) и И^>0(Ф).

Приведем основной результат для класса И^(Ф). <■

Теорема 2.3.1 Если для заданного А (0 < Л < 1) и для всех ¡х > О, и € (0,7г], функция Ф(и) удовлетворяет условию 3

о/и \ '/v \m V п / \т V

Ф ^-AJ у — cos vj sin -dv < Ф (и) J [ 1 - cos vj sin -dv,

^ О О О ' "

A

то для целого неотрицательного г и любых натуральных т,п, г < п справедливо jtaecucmao

где 7„(-) любой из поперечников </„(•), А„(-) и тгп(-).

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю член -корреспонденту АН РТ М.Ш.Шабозову за постановку задач и постоянное внимание при рабою над диссертацией.

Список опубликованных работ по теме диссертации

1. Юсупов Г.А. О наилучшем приближении одного класса аналитических функций // Вестник ХоГУ, 1999, N1, серия 1, с.69-71.

2. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшее приближение аналитических в единичном круге функций и значение поперечников некоторых классов функций ,// Вестник ХоГУ, 2000, N2, серия 1, С.87-93.

3. Юсупов Г.А. Значение поперечников некоторых классов аналитических функций // ДАН Респ. Таджикистан, 2001, N3-4, т.43. "

4. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов аналитических функций // ДАН

и, о частности, при А = -

России, 2002, т.3£2, N6, с.747-749

/

Подписано в печать *Г.Х(.200Чг Объем ¿ пл.. тираж ZCQ-iю. Отпечатано в типографии РТСУ

I ♦

t

>

РНБ Русский фонд

2004-4 29282

Введение

Глава I. Наилучшее приближение аналитических функций полиномами в пространстве Щ, 1 < р < 2.

§1.1. Основные понятия и вспомогательные факты

1. Пространство Харди Нр, 1 < р < оо.

2. Приближение классов функций в пространстве Нр, 1 < р < оо

3. Задачи о поперечниках.

§1.2. О наилучших приближениях аналитических функций из

Щ, 1 < р < 2.

§1.3. Наилучшее приближение аналитических функций, задаваемых модулями непрерывности производной по аргументу.

§1.4. Наилучшее приближение некоторых классов аналитических функций вЯ;,1<р<2.

Глава II. Значение поперечников некоторых классов функций в пространстве Я2.

§2.1. Значение поперечников классов W.^ и ЦТ а в i?

§2.2. Значение поперечников классов И^(Ф) и Ф) в Яг

§2.3. О значениях поперечников, зависящих от параметра

Л (0 < Л < 1), для классов и Т^>0(Ф).

В последние годы в теории приближения интенсивно изучаются задачи наилучшего приближения аналитических в круге функций комплексными полиномами в различных функциональных пространствах. Это связано, в первую очередь, с задачей отыскания значений поперечников классов функций в этих же пространствах. Так, например, в пространствах Харди Нр, р > 1, задачи наилучшего приближения аналитических в единичном круге функций с ограниченной по норме производной изучались в работах К.И.Бабенко, В.М.Тихомирова, Л.В.Тайкова, Ж.Шейка, В.И.Белого, М.З.Двейрина, С.Б.Вакарчука.

Вопросы, связанные с точным вычислением поперечников по Колмогорову классов аналитических в круге функций, в определении которых существенную роль играют модули непрерывности или модули гладкости в пространстве Харди, рассматривались в работах Л.В.Тайкова, Н.Айнуллоева, С.Б.Вакарчука и М.Ш.Шабозова.

Диссертационная работа посвящена вычислению точных значений колмогоровских, линейных и проекционных поперечников классов аналитических в единичном круге функций, у которых г-я производная принадлежит пространству Харди Н2 и удовлетворяет на границе некоторым ограничениям, связанными со скоростью убывания модуля непрерывности т-го порядка.

Основной целью работы является:

1. Найти новые точные неравенства между наилучшими приближениями комплексными алгебраическими полиномами и интегралами, содержа-, щими модули непрерывности высших порядков граничных значений производных в пространстве Харди.

2. Вычислить точные значение колмогоровских, линейных и проекционных поперечников соответствующих классов аналитических в единичном круге функций.

Результаты, полученные в диссертации, имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Они могут быть использованы при вычислении е -энтропии классов функций, аналитических в единичном круге.

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах по теории приближения функций в ХоГУ (Хорог, 1999-2003 гг.), на семинарах по теории функций в ТГНУ (Душанбе, 2000-2003 гг.), на международной конференции "Развитие горных регионов в XXI веке"(Хорог, Таджикистан, 26-29 августа 2001 г.), на научно-теоретической конференции посвященной 10-летию ХоГУ (Хорог, 26-28 октября 2002 г.), на международной научной конференции по "Дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами," посвященной 50 - летию кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений ТГНУ (Душанбе, 25-28 октября 2003г.)

Основные результаты опубликованы в работах [42,43;45,46].

Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 46 наименований и занимает 86 страниц машинописного текста. Главы подразделены на 7 параграфов. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они

1. Айнуллоев Н. Значение поперечников некоторых классов дифференцируемых функций в Ь2 // ДАН Тадж.ССР, т.27, N8, 1984, с.415-418.

2. Айнуллоев Н. О поперечниках дифференцируемых функций в Ь2 / / ДАН Тадж.ССР, т.28, N6, 1985, с.309-313.

3. Айнуллоев Н. Поперечники классов аналитических функций. // Геометрические вопросы теории функций и множеств. Сборник научных трудов; Калининский госуниверситет, 1986, с. 91-101.

4. Айнуллоев Н. Наилучшее приближение некоторых классов дифференцируемых функций в Z/2 // Применение функционального анализа в теории приближений. Сборник научных трудов. Калининский госуниверситет, 1986, с.3-10.

5. Айнуллоев Н., Тайков JI.B. Наилучшие приближения в смысле А.Н.Колмогорова классов аналитических в единичном круге функций. // Математические заметки, т.40, N3, 1986,с.341-351.

6. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации.-М. : Наука, 1965.

7. Бабенко К.И. О наилучших приближениях одного класса аналитических функций // Изв. АН СССР, сер.матем., 1958, т.22, N5, с.631-640.

8. Белый В.И. К вопросу о наилучших линейных методах приближения функций, аналитических в единичном круге // Укр. матем. журнал, 1967, т.19, N2, с.104-108.

9. Белый В.И., Двейрин М.З. О наилучших лигейных методах приближения на классах функций, определяемых союзными ядрами // В кн: Метрические вопросы теории функций и отображений, вып. 2. Киев, "Науково думка", 1971, с.37-54.

10. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди #2 // Укр. матем. журнал, 1989, т.41, N26, с.799-802.

11. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге функций // Укр. матем. журнал, 1990, т.42, N7, с.873-881.

12. Вакарчук С.Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций. //Математические заметки, 1995, т.57, N1, с.30-39.

13. Вакарчук С.Б. О наилучшем полиномиальном приближении аналитических в единичном круге функций // Укр.мат. журнал, 1990, т.42, N6, с.838-843.

14. Григорян Ю.И. Поперечники некоторых множеств в функциональных пространствах // Математические заметки, 1973, N5, т.22, с.637-644.

15. Двейрин М.З. Задачи наилучшего приближения классов функций, аналитических в единичном круге. // Теория приближения функций. М. Наука, 1977, с.129-132.

16. Двейрин М.З. Поперечники и 8 энтропия классов функций, аналитических в единичном круге // Теория функций, функциональный анализ и их приложения, 1975, вып.23, с.32-46.

17. Двейрин М.З. О приближении функций, аналитических в единичном круге // Метрические вопросы теории функций и отображений, вып.6, Киев "Науково думка", 1975, с.41-54.

18. Двейрин М.З., Чебаненко И.В. О полиномиальной аппроксимации в банаховых пространствах аналитических функций // Теория отображений и приближение функций. Киев. "Науково думка", 1983, с.62-73.

19. Колмогоров А.Н. Uber die beste Annaherug von Funktionen einer gegebe-nen Funktionen klasse // Annalen of Math., 1936, N37, S. 107-111.

20. Корнейчук Н.П. Поперечники в Lp классах непрерывных и дифференцируемых функций и оптимальные методы кодирования и восстановлений функций и их производных // Изв. АН СССР. 1981, т.45, N2, с.266-290.

21. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М. "Наука", 1976, 320с.

22. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М. "Наука", 1987, 424с.

23. Кусис П. Введение в теорию пространств Нр. М. "Мир", 1984, 364с.

24. Лигун А. А. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве Ь2 //Мат. заметки, 1978, т.24, N6, с.785-792.

25. Лигун А.А. О точных константах в неравенствах типа Джексона // ДАН СССР, 1985, т.281, N1, с.34-37.

26. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. М. 1950, 382с.

27. Смирнов В.И., Лебедев Н.А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. -М.-Л. :Наука, 1964.

28. Тайков Л.В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций. //Математические заметки, 1967, т.1, N2, с.155-162.

29. Тайков Л.В. Некоторые точные неравенства в теории приближения функций // Analysis Mathematica, 1976, т.2, с.77-85.

30. Тайков Л.В. Наилучшие приближения дифференцируемых функций в метрике пространства Ь2 // Мат. заметки, 1977, т.22, N4, с.535-542.

31. Тайков Л.В. Стрктурные и конструктивные характеристики функций из L2 // Математические заметки, 1979, т.25, N2, с.217-223.

32. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений // Успехи матем. наук, 1960, т.1, N3, с.81-120.

33. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. -М. :Издательство МГУ, 1976, 304с.

34. Тихомиров В.М. Теория приближений // Итоги науки и техники. Совр.пробл.математики. Фунда'м. направления / ВИНТИ. -1987, т. 11, с.103-260.

35. Черных Н.И. О неравенствах Джексона в L2 // Труды МИАН СССР, 1967, т.88, с.71-74.

36. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в L2 // Математические заметки, 1967, т.2, N5, с.513-522.

37. Шабозов М.Ш.,Шабозов О.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических в единичном круге функций. // ДАН Респ. Таджикистан, 1997, т.40, N9-10, с.54-61.

38. Шабозов М.Ш. О поперечниках в пространстве Харди Я2 классов аналитических функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков // ДАН Респ. Таджикистан, 1998, т.41, N9, с.48-53.

39. Шабозов М.Ш. Значение поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди. //Вестник ХоГУ, 1999, N1, серия 1, с.35-44.

40. Шабозов М.Ш., Пиров Х.Х. О наилучших приближениях аналитических функций и значениях поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди // ДАН Респ. Таджикистан, 1999, т.42, N4, с.19-24.

41. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди i?2 // Математические заметки, 2000, т.68, N5, с.796-800.

42. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшее приближение аналитических в единичном круге функций и значение поперечников некоторых классов функций // Вестник ХоГУ, 2000, N2, серия 1, С.87-93.

43. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов аналитических функций // ДАН Росии, 2002, т.382, N6, с.747-749

44. Scheick J.Т. Polynomial approximation of functions analytic in a disk // Proc. Amer. Math. Soc., 1966, 17, N6, 1238-1243.

45. Юсупов Г.А. О наилучшем приближении одного класса аналитических функций // Вестник ХоГУ, 1999, N1, серия 1, с.69-71.

46. Юсупов Г.А. Значение поперечников некоторых классов аналитических функций // ДАН Респ. Таджикистан, 2001, N3-4, т.43.