Наилучшее приближение аналитических функций в пространстве Бергмана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукопш и

Лангаршоев Мухтор Рамазонович

НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА

01 01 01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

иио44Ь338

ДУШ АНБЕ- 2 00 8

003445338

Работа выполнена в Институте математики Академии паук Республики Таджикистан

доктор физ -мат наук, академик АН РТ Шабо юв Мирганд Шабозович

доктор физ -мат наук, профессор Вакарчук Сергей Борисович

кандидат физ -мат наук Юсупов Гулзорхон Амиршоевич

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ Таджикский государственный

педагогический университет им С Айни

Защита состоится " 9 " июля 2008 г в 9 00 часов на заседай диссертационного совета ДМ 047 007 01 при Институте математики АН по адресу 734063, г Душанбе, ул Айни 299/1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Республики Таджикистан

Автореферат разослан _ 2008 г

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ

Ученый секретарь диссертационного совета

Халилов Ш.Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Работа посвящена нахождению точных значений различных поперечников компактных классов аналитических в единичном круге функций в пространстве Бергмана Общеизвестно, что в экстремальных задачах теории приближения функций большую роль играют точные неравенства, позволяющие установить новые связи между конструктивными и структурными свойствами функций Поэтому в последнее время интенсивно изучались неравенства, содержащие оценки величины наилучшего приближения функции посредством модуля непрерывности высших порядков в различных пространствах аналитических функций Отметим, что наиболее подробно вопросы приближения аналитических функций и вычисления поперечников классов функций изучены в пространствах Харди. В этом направление укажем на основополагающие работы К И Бабенко, В М Тихомирова, Л В.Тайкова, Ж Т Шейка, В И Белого, М 3 Двейрина, Н Айнуллоева, С Б Вакарчука, М Ш Шабозова, X X Пирова, Г А Юсупова и других

В данной работе мы изучаем вопросы наилучшего приближения классов аналитических в единичном круге функций алгебраическими комплексными полиномами в пространстве Бергмана Вр, 1 < р < оо и вычисляем точные значения бернштейновского, колмогоровского, линейного и проекционного поперечников некоторых классов функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков Первыми работами, в которых затронуты вопросы нахождении точных значений поперечников в пространстве Бергмана, являются недавно опубликованные работы С Б Вакарчука и М Ш Шабозова

Цель работы:

1 Указать новые точные неравенства между наилучшими приближениями аналитических в круге функций алгебраическими комплексными полиномами и усредненными модулями непрерывности высших порядков производных в пространстве Бергмана Вг 1 < р < оо

2 Нахождение точных значений наилучших приближений конкретных классов аналитических в круге функций в пространстве Бергмана

3 Вычисление точных значений борнштейновских, колмогоровских, линейных и проекционных поперечников некоторых компактных классов аналитических в круге функций

Метод исследования. В работе используется метод Н П Корнейчука оценки сверху наилучших приближений классов функций подпространством полиномов фиксированной размерности и разработанная В М Тихомировым оценки снизу поперечников компактов в нормированных пространствах

Научная новизна исследований

- Найдены новые точные неравенства между наилучшими приближениями аналитических функций комплексными полиномами и усредненными модулям непрерывности высших порядков в пространстве Бергмана Вр,1<р<оо

- Найдены точные значения наилучших приближений конкретных классов аналитических в круге функций, определяемых модулям непрерывности высших порядков производных в пространстве Бергмана

- Вычислены точные значения бернштейновских, колмогоровских, линейных и проекционных поперечников классов функций определяемых модулями непрерывности высших порядков или их мажорантами в пространстве В2

Практическая ценность. Полученные в работе результаты имеют как теоретическое, так и прикладное значение Они могут быт реализованы в задачах определения е~ емкости и е- энтропии компактных классов аналитических в круге функций

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах по теории приближения функций в Хорогском госуниверситете (Хорог 2000-2005 гг), на семинарах по вопросам теории функций в Таджикском государственном национальном университете (Душанбе, 2001-2005 гг), на международной конференции "Развитие горных регионов в XXI ве-

ке"(Хорог, Таджикныаи 26-29 августа 2001 г), на научно-тсорстической конференции, посвященной 10-летию Хорогского госуниверситета (Хорог 20-28 октября 2002 г), на республиканской научной конференции "Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений", посвященной 75-летию со дня рождения академика АН РТ А Д Джурасва (Душанбе, 16-октября 2007 г),на международной конференции "Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ", посвященной 80-летию академика АН РТ Л Г Михайлова (Душанбе, 29-30 мая 2008 г)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-6]

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 45 наименований и занимает 88 страниц машинописного текста Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул Они имеют тройную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе

Содержание диссертации

Во введении дается краткая характеристика изучаемой проблемы и приведены основные результаты работы В первой главе диссертации изучаются аппроксимативные и структурные свойства аналитических в единичном круге функций

ОО

/(-г) = £ скгк,г = ре'1,0 < р < 1,0 < г < 2тт, *=о

в метрике пространстве Бергмана Вр, 1 < р < оо с конечной нормой

1Шк = {\ Л 1/(*№) 1/Р=(1),Р < оо (1) >|<1 V о о )

В первом параграфе главы I приведены необходимые для дальнейшего определения и факты из общей теории наилучшего приближения Пусть

г— целое положительное число Через = cTf/d zr обозначим обычную

производную а символом /jr'(z) = df(pelt)/dtT, 0 < р < 1 обозначим производную г—ю порядка по аргументу t функции f(z) При этом

Ш = /'(*) 4 = /'(•*) Я,

и для г > 2 полагаем

fir)(z) = {f{r-\(z)}'a

Величину

Wm(/,<)p =Um(f,t)Bp = SUp||Am(/; , ,ft)||fl=

|A|<«

Л 1 2*j \p

= sup - / [ Am(/, p, U, ft) pdpdu , (2)

!Л|<« б о 1 1 /

где

Д m(f,P,U,h) = E(-l)^/(^+fch)) k—0

- разность m-го порядка функции /(pe%t) по аргументу i, назовем интегральным модулем непрерывности m-ro порядка функции /(л) 6 Вр, 1 < р < оо Множество всех комплексных полиномов степени < п — 1 обозначим

P„_i = |p„-i(z) p„-i(z) = ¿; afc2fe|

Через

Еп(Лв„ = £„(/, Pn-ib„ = ш/ {||/ - P„_i||b, ?„_, € P„_i}

обозначим наилучшее приближение функции f(z) £ Вр, 1 < р < оо множеством Vn-i В конце параграфа доказана основная

Лемма 1.1.1. Если функция f(z) € Bi, zrf^{z) € В2, то справедливо равенство

<^7(r\ = 2'"SUP | £ ^ylCfcPd - cosfai)m, |U| < Л, (3)

G

где, ради краткоапи,в (3) положено

аь = к{к - 1 ){к - 2) • (к - г + 1) = к>{(к - г)»}-1, к>г

Во втором параграфе доказано одно общее неравенство типа неравенства А А Лигуна между наилучшими приближениями аналитических в единичном круге функций, алгебраическими комплексными полиномами и усредненными интегралами, содержащими, кроме модулей непрерывности высших порядков, также положительную весовую функцию 1р{С)

Пусть Щ,(г = 0,1,2, ,1 < р < оо)-множество аналитических в единичном круге фуикций /(г) € Вр, 1 < р < оо, у которых производная 2г/(г)(г) 6 Вр, 1 < р < оо, то есть Вр = {/(г) 6 Вр ||2г/(г)1к < оо} Имеет место следующая

Теорема 1.2.1. Пусть для аналитической функции /(г) € 1 < Р < 2 производные гг/^(г) ф итзЬ и, кроме того, //(г)(2)6В2 Тогда для любых натуральных т,п,г, п > г и ф(1) >0, 0 < £ < /г справедливы неравенства

1 <8ир_та*_<_I_ (4)

~ Ч 2 л _ - ^А^Ы'У

о

где

Аг$(гЬ) = 2та1 /(1 - соз к1)'У№ (5)

При т = 1, </'(<) = 1 из (4) и (5) получаем результат М Ш Шабозова

В третьем параграфе речь идет о наилучшем полиномиальном приближении аналитических функций /(г) € Вр, 1 < р < 2, структурные свойства которых определяются модулями непрерывности т—го порядка Основным результатом данного параграфа является

Теорема 1 3.1. Пусть для произвольной функции /(г) € Вр, 1 < р < 2 производная гг^гЦг) 6 Вг Тогда для всех натуральных т п и г > 0(л > г), 0 < 1г < 7Г/п справедливо неравенство

En(fh,, <

{ h у1/2 ( h -|V2

<2-m'2a~! U (l-cos nt)mdt\ Uw2m(zrf{rKtUdt\ , (G)

которое является точным при р = 2, в толь смысле, что для функции /о(л) = гп £ Вг неравенство (6) обращается в равенство

Следующая теорема является обобщением и распространением известных результатов Н И Черных, Н Айнуллоева, X Юссефа, полученных для классов дифференцируемых периодических функций на случай классов аналитических функций, определенных модулями непрерывности т—го порядка в пространстве 2?г

Теорема 1 3.2. Если у функции f(z) € Вр, 1 < р < 2 ее производная гТр'Цг) € В2, то при любых натуральных т, п, и г > 0, 0 < Ii < ix/n справедливо неравенство

1/2

ВДЧ < -(7)

u h

При p = 2 функция fo(z) = zn £ B2 в (7) реализует знак равенства В частности, при h = ir/n из (7) получаем

ЕЛ1)в„ <

m + 1 11 ru2Jzrr\t/n)Bism#tdt

1/2

В четвертом параграфе для выяснения аппроксимативных свойс тв (функции /(2) € Вр введена следующая экстремальная характеристика, которая содержит модуль непрерывности тп—го порядка не только под знаком интеграла, но также и вне интеграла

М,1,.,тП(£) = эир

0?пЛи)в>

(8)

/ев;

(27(г),ОЙ, + /(* - тМ1'»{ггр\т)пЯт

о

/

где О < £ < 7Г/п Экстремальная характеристика (8) для периодических дифференцируемых функции в ¿2(0,2тг] была введена С Б Вакарчуком и А Н Щитовым Имеет место следующее утверждение

Теорема 1.4.1. Пусть т,п, г—произвольные натуральные числа п > г Тогда для любых чисел ¿, удовлетворяющих условию 0 < £ < к/п, имеет место равенство

и верхнюю грань в равенстве (8) реализует функция /о(г) = гп € Щ Из этой теоремы вытекает

Следствие 1.4.1. Для любых ¿, удовлетворяющих условию О < £ < 7г/п, выполняется неравенство

В пятом параграфе найдено значение наилучших полиномиальных приближений через усредненные модули непрерывности более низких порядков, задаваемых во всем пространстве Вр, 1 < р < оо Этот результат является обобщением и распространением известных результатов Н П Корнейчука для периодических функций /(г) € Vи Л В Тайкова для аналитических функций /(г) 6 Яр, 1 < р < оо на случай аналитических в круге функций /(*) 6 Вр, 1 < р < ос

Теорема 1.5.1. Для любых натуральных чисел п и г (п > г) и любой функции /(г) € Вр, 1 < р < оо, у которой € Вр, 1 < р < оо.

А/„,г,т(0 = Ы)~2т

т£{Л/п,г,т(0 0 < £ < тг/п} = 7Г

-2т

.—2т

справедливо точное неравенство

/ ^(/ir)-i)Bprfí (10)

Равенство в (10) достигается для функции fo(z) = 2" € J5P, 1 < р < 00

В шестом параграфе речь идет о наилучшем приближении аналитических функций в весовом пространстве Бергмана Рассматриваются аппроксимативные свойства аналитических в единичном круге функций

00

/(«) = Y.Ckz\z = pelK0<p<l k=о

в пространстве Бергмана Bprn 1 < р < оо с конечной нормой

= (b И 7(W)|/WI"da)1/P < 00,

где 7(И)- неотрицательная измеримая функция и интеграл понимается в смысле Лебега, da— элемент площади

Теорема 1.6.1. Для любой функции f(z) е справедливо точное неравенство

( 1,/» >1/2 Ы)** < j§ / / mipWif, р, t)Di sin ntdpdtJ" (11)

и равенство в (11) достигается для /0(2) = zn € Вг^

Отметим, что во всех параграфах первой главы получены аналоги теорем 121-141 также для случая, когда модуль непрерывности m-го порядка определяется значением производной г—го порядка по аргументу /,' (г)

Вторая глава состоит из трех параграфов и в ней рассматривается задача определения значений поперечников различных классов аналитических функций Прежде чем сформулировать основные результаты, напомним необходимые обозначения и определения, приведенные в первом параграфе второй главы Если WI- некоторый класс функций {f(z)} с Вр, то требуется найти величину

E(m,Vn-i) = sup{E(f,pn-ib„ /emt} (12)

ю

Далее, пусть А— некоторый линейный метод приближения f(z) € Вр, погрешность которого на классе Ш оценивается сверху

£(fhP = suP{\\f-Af\\Bp /его*}

Если некоторое линейное многообразие фиксированной размерности п в пространстве Вр, L = L(BP, %,)- множество всех линейных операторов А Вр—* У1„, то требуется найти

= /еЩ AeL} (13)

и указать оператор А* С Ь(В)1,(У1п), для которого

£(Ж, <П„)вр = в«р{||/ - A*f\\Bp / €

В этом случае оператор А* определяет наилучший для класса Ш линейный метод приближения Аналогичным образом, если ZA = Ьх(Вр,У1п)— множество всех операторов А линейного проектирования на подпространство 9t„, то требуется найти

= mf{s«p{||/ - Л/||Вр / € ЯЛ} AeLx} (14)

При вычислении величин (12)-(14) в качестве Ш будем рассматривать конкретные классы аналитических функций из Вр, а в качестве sRn выбираем подпространство Vn-\ алгебраических комплексных полиномов степени не выше п — 1

Пусть X— банахово пространство, S— единичный шар в X, 9Я— некоторое центрально-симметричное множество из А', Ln с X— произвольное п— мерное подпространство Величины

bn(5m,X)==5up{sup{£>0 cSnbn+i С an} Ln+1CX}, (15)

dn(m, X) = mf{E(ÜR, Ln)x Ln с X}, (16)

A„(971, X) = mf{£(m, Ln)x Ln с X}, (17)

*„№, X) = гп/{£х(ГОг, Ln)x Ln С А'} (18) 11

называются соответственно бсрнштсйновским, колмогоровским, линейным и проекционными поперечниками Подпространства Ьап) которые реализуют верхние и нижние грани в (15)-(18), называются экстремальными подпространствами

Вышеперечисленные поперечники монотонны по п и удовлетворяют соотношениями

Далее во второй главе рассмотрен случай X = В2, а в качестве Ш выбраны различные классы из этого пространства Во втором параграфе второй главы для любых целых положительных г, т. и 0 < Л < п/п найдены наилучшие приближения следующих классов аналитических функций

Если Ф(Л), Ф(Л)и О(Л)— произвольные возрастающие при Л > 0 функции такие, что /ипФ(й) = Ф(0) = 0, /гтФ(Л) = Ф(0) = 0 и 1ггпП(1г) = П(0) = О, то введем также в рассмотрение следующие классы функций, определяемые мажорантами Ф(/г), Ф(Л) и П(Л)

Приводим основные результаты второго параграфа второй главы

Теорема 2.2.1. При всех натуральных т,п,г, п > г и 0 < Л < тг/л справедливы равенства

Ьп(Ш,Х) < ёп{Ш,Х) < А„(£Ш,Х) < тг„(т,Х)

(19)

£п(Щ,т)в> = 2-'" а"1 Хт(1г),

(20)

£пф1,а)в, = 2~т а-} (21)

Равенство в соотношении (20) достигается для функции

¡1{г) = у/п + 1 {2"т а~г Х.т(/г)} г",

а в соотношении (21) для функции

Ц{г) = ч/^ТТ {2-"' а"1 ЩЛ)} Л

где

л I-1/2 Г л Г1/2

2-ЛД -г- /м- /в1П2т.п«

Jn,m(h) = | У sin2"' yrfíj , J„*ra(A) = j J sm¿m - sin - tdf |

Следствие 2.2.1. В условиях теоремы 2 21 npuh = ъ/п выполняются равенства

t \ 1/2 _ f/fír ч 2"" mi 1 VH

£п{В1/п<т)в2 -

m +1 y/ñ

2 апг

Для классов функций В'н Ш(Ф), доказана следующая

Теорема 2.2.2. При всес натуральных т,п, г, п > г и 0 < Л < 7т/п справедливы равенства

= 2~т «¿г Л,т(/1)Ф(/1), (22)

= 2- а',1 (23)

Равенство в соотношении (22) достигается для функции

Ш) = у/пТТ {2~ш а-} Лт(Л) Ф(А)} 2", а в соотношении (23) для функции

В завершающем третьем параграфе второй главы рассматривается задача о вычислении поперечников классов функций, введенных в первом параграфе второй главы Имеет место следующая

Теорема 2.3.1. При всех натуральных т,п,т,п > г и 0 < к < -к/п справедливы равенства

о

7п(Щ,т,В2) = 2~тапи1т{К) =

где 7„()— любой из поперечников Ьп( ),<1п(-), А„() и тг„(-)

Все поперечники реализуются частными суммами Тейлора п-1

7г,_1(/, А = £ скг разложения функции }{г) в единичном круге |г| < 1 Если положить

п1

^и*п/п)= / шп2т —сН,

/п)= / вш^ип о 2 Р

(1 — созпОГ = {(1 — соеесли п< < тг, 2т, если > 7г|, то при выполнении некоторых дополнительных условий относительно мажоранты Ф(и) справедлива

Теорема 2.3.2. Пусть для произвольного 6 [0,1] и для всех А > 0 и V £ [0,7г] функция Ф(и) удовлетворяет условию Атг

Ф2(/ш) |(1 - соэУ)™с1У < Ф2(Аи) /(1 - С051')т^ о о

Тогда для всех натуральных тп, п, г справедливо равенство

где 7„()— любой из поперечников Ь„( ),(1п(), А„() и 7Г„() Все вышеперечисленные поперечники реализуются частными суммами ТейлораТп-1(/; г)

разложения функции f(z) в круге |г| < 1 В этом же параграфе для класса т(Ф) доказана Теорема 2.3.3. Справедливо равенство

7Мт(ПВ2) = 2-ma-Jjrlm(h)nh),

где 7„()— любой из поперечников bn( ),dn{), А„() и 7Г„() Все поперечники

п-1 .

реализуются частными суммами TeÜAopaTn-i(f,z) = £ c^z разложения

к=о

функции f(z) в круге |г| < 1

Теорема 2.3.4. Для любых натуральных чисел т, п, r,n > г справедливо равенство

7n(ßi/.im(n), В2) =

^е 7„()— любой из перечисленных п— поперечников (15)-(18)

Аналоги теорем 2 3 1-234 доказаны также для соответствующих классов BZщ Brh% 0л,т(ф). определяемых модулем непрерывности

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю академику АН РТ М Ш Шабозову за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1 Шабозов М Ш ,Лангаршоев М Р Приближение некоторых классов аналитических функций в пространстве Вр // Вестник ХоГУ, 1999, серия 1, №1, с 45-50

2 Лангаршоев М Р Значение поперечников некоторых классов аналитических функций в пространстве Бергмана В2 // Вестник ХоГУ, 2000, серия 1, №2, с 63-69

3 Shabozov М Sh ,Abdul Hasan Siddiqi,Langarshoev M R Diameters of some classes of analytical functions in Bergman's space // Вестник ХоГУ, 2001, серия 1, №4, с 67-75

4 Лангаршосв М Р Наилучшее приближение и значение поперечников некоторых классов функций в пространстве Бергмана//Доклады АН Республики Таджикисган, 2005, т 48, №3-4, с 12-17

5 Лангаршоев МР О наилучшем приближении функций полиномами в пространстве Бергмана//Доклады АН Республики Таджикистан, 2006, т 49, №9, с 798-802

6 Лангаршоев М Р ,Саидусайнов М С О поперечниках некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана //Доклады АН Республики Таджикистан, 2008, т50, №8, с 653-659

Сдано29 05 08г. Подписано в печать 02.06.08г. Гарнитура Times Roman. Бумага офсетная. Печать офсетная. Формат 60x84 Тираж 100 экз. Цена договорная. Заказ №31

Отпечатано в типографии ООО «Хоеарон»

Введение

Глава I. Наилучшее приближение аналитических функций

§1.1. Общие сведения и вспомогательные факты.

1. Пространство Бергмана Вр.

2. Наилучшее приближение функций в пространстве Вр, 1 < р < оо

3. Неравенство Хаусдорфа-Юнга.

4. Описание модулей непрерывности в пространстве Бергмана

Вр, 1 < р < оо.

5. Основная лемма.

§1.2. О неравенстве А.А.Лигуна между наилучшими приближениями и модулям непрерывности высших порядков для классов функций, принадлежащих пространству Вр, 1 < р <

§1.3. О наилучшем приближении полипомами аналитических функций /(г) Е Вр, 1 < р < 2, структурные свойства которых определяются модулями непрерывности т—го порядка.

§1.4. Наилучшие полиномиальные приближения аналитических функций в пространстве Бергмана

§1.5. Наилучшее приближение аналитических функций /(г) £ Вр, 1 < р < оо, задаваемых модулем непрерывности первого порядка

§1.6.0 наилучшем приближении аналитических функций в весовом пространстве Бергмана.

Глава II. Точные значения поперечников классов аналитических функций в пространстве Бергмана Вч

§2.1. Определение значения поперечников классов аналитических функций в пространстве Бергмана В2.

§2.2. Определение классов функций в пространстве Бергмана. Приближение классов функций.

§2.3. Поперечники классов функций

Диссертационная работа посвящена нахождению точных значений различных поперечников компактных классов аналитических в единичном круге функций в пространстве Бергмана. Общеизвестно, что в экстремальных задачах теории приближения функций большую роль играют точные неравенства, позволяющие установить новые связи между конструктивными и структурными свойствами функций. Поэтому в последнее время интенсивно изучались неравенства, содержащие оценки величины наилучшего приближения функции посредством модуля непрерывности высших порядков в различных пространствах аналитических функций. Отметим, что наиболее подробно вопросы приближения аналитических функций и вычисления поперечников классов функций изучены в пространствах Харди. В этом направлении укажем на основополагающие работы К.И.Бабенко [3], В.М.Тихомирова [30], Л.В.Тайкова [29], Ж.Т.Шейка [44], В.И.Белого [4], М.З.Двейрина [13], Н.Айнуллоева и Л.В.Тайкова [2], С.Б.Вакарчука [7], М.Ш.Шабозова [34], М.Ш.Шабозова и Х.Х.Пирова [38,39], М.Ш.Шабозова и Г.А.Юсупова [42], М.Ш.Шабозова и О.Ш.Шабозова [40,41].

В данной работе мы изучаем вопросы наилучшего приближения классов аналитических в единичном круге функций алгебраическими комплексными полиномами в пространстве Бергмана Вр, 1 < р < оо и вычисляем точные значения бернштейновского, колмогоровского, линейного и проекционного поперечников некоторых классов функций, определяемые модулями непрерывности высших порядков. Первые работы, в которых затронуты вопросы нахождения точных значений поперечников в пространстве Бергмана, являются недавно опубликованные работы С.Б.Вакарчука [8-11].

Основной целью данной работы является:

1. Указать новые точные неравенства между наилучшими приближениями аналитических в круге функций алгебраическими комплексными полиномами и усредненными модулями непрерывности высших порядков производных в пространстве Бергмана Вр, 1 < р < оо.

2. Нахождение точных значений наилучших приближений конкретных классов аналитических в круге функций в пространстве Бергмана.

3. Вычисление точных значений бернштейновских, колмогоровских, линейных и проекционных поперечников некоторых компактных классов аналитических в круге функций.

Полученные в работе результаты имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Они могут быть реализованы в задачах определения е-емкости и е— энтропии компактных классов аналитических в круге функций.

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах по теории приближения функций в Хорогском госуниверситете (Хорог, 2000-2005 гг.), на семинарах по вопросом теории функций в Таджикском государственном национальном университете (Душанбе, 2001-2005 гг.), на международной конференции "Развитие горных регионов в XXI веке"(Хорог, Таджикистан, 26-29 августа 2001 г.), на научно-теоретической конференции, посвященной 10-летию Хорогского госуниверситета (Хорог, 26-28 октября 2002 г.), на республиканской научной конференции "Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений", посвященной 75-летию со дня рождения академика АН РТ А.Д.Джураева (Душанбе, 16-октября 2007 г.),на международной конференции "Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ "посвященной 80-летию академика АН РТ Л.Г.Михайлова (Душанбе, 29-30 мая 2008г).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [21-24,36,37].

Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 44 наименований и занимает 88 страниц машинописного текста. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.

1. Айнуллоев Н. Значение поперечников некоторых классов дифференцируемых функций в Ь2// Докл. АН Тадж. ССР.-1984, т.27, №8, с.415-418.

2. Айнуллоев Н., Тайков Л.В. Наилучшие приближения в смысле А.Н.Колмогорова классов аналитических в единичном круге функций // Мат. заметки, 1986, т.40, №3, с.341-351.

3. Бабенко К.И. О наилучших приближениях одного класса аналитических функций-Известия АН СССР Сер.матем.,1958, т. 22,№5, с.631-640.

4. Белый В.И. К вопросу о наилучших линейных методах приближения функций, аналитических в единичном круге- Укр. матем. журнал,1967, т.19, №, с.104-108.

5. Bergman S. The cernel function and conformal mapping// Math. survays, 5 N. Y. : Amer. Math. soc., 1950, 163 pp.

6. Bochner S. Uber ortogonal systeme analitischen functionen // Mathem. zeitschr. , 1922 ,14, p. 180-207.

7. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди Н2 // Укр. матем. журнал, 1989, т.41, №26, с.799-802.

8. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге функций//Укр. матем. журнал, 1990, т.42, №7, с.873-881.

9. Вакарчук С.Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций //Мат. заметки, 1995, т.57, №1, с.30-39.

10. Вакарчук С.Б. О наилучших линейных методах приближения и поперечниках некоторых классов аналитических функций // Мат. заметки, 1999, т. 65, №, с. 186-193.

11. Вакарчук С.Б. Точные значения поперечников классов аналитических в круге функций и наилучшие линейные методы приближения. // Мат. заметки, 2002, т. 72. №5, с. 665-669.

12. Вакарчук С.Б.,Щитов А.Н. Наилучшие полиномиальные приближения в ¿2 и поперечники некоторых классов функций//Укр. матем.журн.,2004, т.56, №11, с.1458-1467.

13. Двейрин М.З. Поперечники и е—энтропия классов функций, аналитических в единичном круге. В кн.: Теория функций, функциональный анализ и их приложения, вып.23. Изд-во Харьк. ун-та, 1975, с.32-46.

14. Двейрин М.З., Чебаненко И.В. О полиномиальной аппроксимации в банаховых пространствах аналитических функций // Теория отображений и приближение функций. Киев. Науково думка, 1983, с.62-73.

15. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М: Наука, 1977, с.151.

16. Duren P.L., Shields A.L. Properties of Hp 0 < р < 1 and its containing Banach spase// Frans. Amer. Math., 1969, 141, July, p.255-262.

17. Duren P.L., Romberg B.W., Shields A.L. Linear functionals of Hp spaces with 0 < p < 1 //I. reine und angew für Math., 1969, 238, p. 32-60.

18. Carleman F. Uber die Approximation Functionen durch lineare Aggregate von vorgegebenen Potenzen // Ark. von Math., Astr. Fysik, 1922-1923 ,17.

19. Корнейчук H.П. Точные константы в теории приближения. М. "Наука", 1987, 424с.

20. Корнейчук Н. П. О наилучшем равномерном приближении дифференцируемых функций. // Докл. АН СССР,1961, т. 141, с. 304-307.

21. Лангаршоев М.Р. Значение поперечников некоторых классов аналитических функций в пространстве Бергмана В2 // Вестник ХоГУ, 2000, серия 1, №2, с.63-69.

22. Лангаршоев М.Р. Наилучшее приближение и значение поперечников некоторых классов функций в пространстве Бергмана//Докл. АН. Респ. Тадж.,т. 48, №3-4, 2005, с.12-17.

23. Лангаршоев М.Р. О наилучшем приближении функций полиномами в пространстве Бергмана//Докл. АН. Респ. Тадж.,т. 49, №9, 2006, с.798-802.

24. Лангаршоев М.Р.,Саидусайнов М.С. О поперечниках некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана.//ДАН. Респ.Тадж.,том 50,№8,2008,стр.653-659.

25. Лигун A.A. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве Ь2 //Мат. заметки, 1978, т.24, №6, с.785-792.

26. Pinkus A. n -width in approximation theory Berlin : Springer - Verlag., 1985.

27. Тайков JI.В. Некоторые точные неравенства в теории приближения функций // Analysis Mathematica, 1976, т.2, с.77-85.

28. Тайков Л.В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций //Мат. заметки, 1967, т.1, №2, с.155-162.

29. Тайков Л.В. Поперечники некоторых классов аналитических функций // Мат. заметки, 1977, т. 22, Ш, с. 285-295

30. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений //Усп. матем.наук, 1960, т.15, вып.З.

31. Тихомиров В.М. Теория приближений // Итоги науки и техники. Совр.пробл.математики. Фундам. направления / ВИНТИ. -1987, т. 11, с.103-260.

32. Hardy G.H., Littlewood I.E. Some properties of fractional integrals II // Math. Z. , 1931, 34, №3, p. 403-439.

33. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в L2 //Мат.заметки, 1967, т.2, №5, с.513-522.

34. Шабозов М.Ш. О поперечниках в пространстве Харди Н2 классов аналитических функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков // ДАН Респ. Таджикистан, 1998, т.41, №9, с.48-53.

35. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Бергмана // ДАН России, 2002, т. 383, №2, с 171-174.

36. Shabozov M.Sh., Abdul Hasan Siddiqi, Langarshoev M.R. Diameters of some classes of analytical functions in Bergman's space// Вестник ХоГУ, 2001, серия 1, №4, с.67-75.

37. Шабозов М.Ш., Лангаршоев М.Р. Приближение некоторых классов аналитических функций в пространстве Вр // Вестник ХоГУ, 1999, серия 1, №1, с.45-50.

38. Шабозов М.Ш., Пиров Х.Х. О наилучших приближениях аналитических функций и значениях поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди // ДАН Респ. Таджикистан, 1999, т.42, №4, с. 19-24.

39. Шабозов М.Ш., Пиров Х.Х. Точные константы в неравенствах типа Джексона для приближения аналитических функций из Щ, 1 < р < 2 // ДАН России, 2004, т. 394, №4 с. 19-24.

40. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических в единичном круге функций // ДАН Респ. Таджикистан, 1997, т.40, №9-10, с.54-61.

41. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди // Мат. заметки, 2000, т.68, №5, с.796-800.

42. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов аналитических функций // ДАН Росии, 2002, т.382, №6, с.747-749.

43. Шабозов О.Ш., Абдулофизов Ш. Наилучшее приближение аналитических функций в пространстве Бергмана // Вестник ХоГУ, 1999, серия 1, т, с.51-54.

44. Scheick J.Т. Polinomial approximation of functions analytic in a disk, Proc. Amer. Math, soc., 1966, 17, №6, 1238-1243.

45. Юссеф X. О наилучших приближениях функций и значениях поперечников классов функций в .¿^//Применение функционального анализа в теории приближении: Сб. научн. тр.-Калинин, 1998, с.100-114.