Некоторые вопросы теории приближения в весовых пространствах Бергмана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Саидусайнов, Муким Саидусайнович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Душанбе
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2011
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
484/ооо
На правах рукописи
Саидусайнов Муким Саидусайнович
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЯ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ БЕРГМАНА
01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
2 6 МАЙ 2011
ДУШАНБЕ-2011
4847656
Работа выполнена в Хорогском государственном университете имени М.Назаршоева
НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: доктор физико-математических наук,
академик АН РТ Шабозов Мирганд Шабозович
ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физико-математических наук,
член корреспондент АН РТ Рахмонов Зарулло Хусенович
ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Таджикский государственный
педагогический университет имени С.Айни
Защита состоится 15 июня 2011 г. в II00 часов на заседании диссертационного совета ДМ 047.007.01 при Институте математики АН РТ п адресу: 734063, г. Душанбе, ул.Айни 299/4
кандидат физико-математических наук Юсупов Гулзорхон Амиршоевич
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Республики Таджикистан
Автореферат разослан
lili iilA<A 2011 г.
Ученый секретарь диссертационного совета
Халилов Ш.Б.
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Работа посвящена вычислению точных значений поперечников некоторых классов аналитических в круге функций и построению наилучших линейных методов приближения в весовых пространствах Бергмана. Хорошо известно, что в экстремальных задачах теории приближения функций важную роль играют точные неравенства, содержащие оценки величины наилучшего полиномиального приближения посредством усредненных значений модулей непрерывности высших порядков производных функций. Эти неравенства, с одной стороны, позволяют установить новые связи между конструктивными и структурными свойствами функций, с другой стороны, для соответствующих классов функций дают оценку сверху поперечников.
Вычислению точных значений различных п-поперечников классов функций, аналитических в круге, посвящен целый ряд работ. Первые результаты, связанные с вычислением колмогоровских п-поперечников в пространстве Харди, принадлежат В.М.Тихомирову и Л.В.Тайкову. В дальнейшем эта тематика нашла свое развитие в работах Л.В.Тайкова, Ж.Шейка, М.З.Двейрина, Ю.А.Фаркова, Н.Айнуллоева, С.Д.Фишера, М.И.Стесина, К.А.Миччели, А.Пинкуса, С.Б.Вакарчука, М.Ш.Шабозова, Х.Х.Пирова, Г.А.Юсупова, М.Р.Лангаршоева и многих других.
В данной работе мы изучаем вопросы наилучшего приближения аналитических в круге функций алгебраическими комплексными полиномами в весовом пространстве Бергмана и вычисляем точные значения бернштейновского, колмогоровского, гельфандовского,' линейного и проекционного п-поперечников для различных компактных классов функций с ограниченными по норме пространстве производных и классов функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков в весовом пространстве 1 < д < оо, 7 = 7(И) > 0.
Цель работы.
1. Указать новые точные неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями аналитических в круге функций и усредненными модулями непрерывности в весовом пространстве Бергмана 1 < д < оо.
2. Найти точное неравенство типа А.Н.Колмогорова для норм промежуточных производных функций через норму самой функции и норму ее старшей производной в пространстве В2,7.
3. Найти точные значения бернштейновских, колмогоровских, гель-фандовских, линейных и проекционных п-поперечников для классов функций, определяемых модулями непрерывности. ^1^1 -
4. Найти наилучший линейный метод приближения, реализующий точное значение линейного п-поперечника для классов аналитических в круге |г| < Д, Я > 1 функций с ограниченной по норме производной в пространстве ВЧ1, 1 < д < оо.
Метод исследования. В работе используется метод Н.П.Корнейчука оценки верхних гранов наилучших приближений классов функций подпространством фиксированной размерности и разработанная В.М.Тихомировым оценка снизу поперечников в нормированных пространствах.
Научная новизна исследований.
• Найдены точные неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями и усредненными модулями непрерывности в весовом пространстве Бергмана Вчл, 1 < q < оо.
• Найдены точные неравенства типа А.Н.Колмогорова для норм промежуточной производной функции через норму самой функции и норму ее старшей производной в пространстве т
• Найдены точные значения бернштейновских, колмогоровских, гель-фандовских, линейных и проекционных п-поперечников для классов функций, определяемых модулями непрерывности.
• Найдены наилучшие линейные методы приближения классов функций, реализующие точные значения линейных п-поперечников.
Практическая ценность. Полученные в работе результаты имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Они могут быть реализованы в задачах определения е-емкости и е-энтропии компактных классов аналитических в круге функций.
Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на республиканской научной конференции "Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений", посвященной 75-летию со дня рождения академика АН РТ А.Д.Джураева (Душанбе, 16-17 октября 2007 г.), на международной конференции "Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ", посвященной 80-летию академика АН РТ Л.Г.Михайлова (Душанбе, 29-30 мая 2008 г.), на международной научной конференции, посвященной 105-летию академика С.М.Никольского (Москва, МГУ, 17-19 мая 2010г.), на международной конференции "Современные проблемы математического анализа и их приложений", посвященной 60-летию академика АН РТ К.Х.Бойматова (Душанбе, 23-24 июня 2010 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-6]. В совместных работах [1,2], М.Ш.Шабозову принадлежит постановка задач и выбор метода доказательства.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 79 наименований, занимает 87 страниц машинописного текста и набрана на ЬАТЕХ'е. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.
Во введении дается краткий исторический обзор результатов, касающихся затрагиваемых вопросов, обосновывается актуальность темы и приводятся основные результаты диссертационной работы.
В первом параграфе первой главы приводятся основные определения и вспомогательные факты, используемые в дальнейшем. .■■•■-.-•
Будем рассматривать пространство Бергмана ВЧ1 функций /(г) аналитических в единичном круге \г\ < 1 с конечной нормой
Содержание диссертации
Н/1кт
\
I
(1)
где 7(|г|) - положительная суммируемая в круге |.г| < 1 весовая функция. Очевидно, что норму (1) можно записать в виде
/ 1 1 2" \1/4 11/1|в,л = I (n{p)\f(pelt)\4pdt\ < оо, 1 < q < оо. (2)
Величину.
<*»(/.*)»„, = sup {||Дт(/,-,-, Д)11в,„ : |Л| < t} =
= sup <
гае ,,•„..-.•,
,12* \i/9 }
^¡fpy{p)]^(f-,p,u,h)\4pdu\- :|/i|<i|, (3)
Дт(/; р, и, К) = £ (-1 )кСкт} [рс^)
- разность т-.го порядка функции / (ре*4) по аргументу Ь с шагом Л, назовем интегральным модулем непрерывности т-го порядка. Для любых г С- №через = оГ//Й2Г обозначим обычную производную, а символом/,$г'(.г) =-дг/(ре1()/<9Г, 0 < р < 1 обозначим производную г-го порядка по аргументу функции/(г), /«(*) = {Л'"4}«. гбМ, /:(г) = /'й-а. .. .
Множество алгебраических комплексных полиномов степени не выше п обозначим через Тп- Величину
ЗД)в,л = 5пГ{|;/ -/)„.;!,: е Гп-г} . ,.
назовем наилучшим приближением функции ¡(г) 6 ВЧ:У множеством "Рп-1-Символом Д,,7,я (1 < г/ < оо, 0 < Д < 1) обозначим пространство аналитических в круге |г| < Д функций /(г) € Вч1, для которых
11/(-)1кл.к = ||/(Я-)ЦВ„<оо. .
Введем также обозначения: — - ■
= {/(г) е В,л : ||гг/(г)||в,,7 < оо} , 1 < д < оо,
В{;1а = {т 6 : ||/М||Вм < оо}, 1 < 5 < оо.
■ Сформулируем основные результаты второго параграфа первой главы.
Теорема 1.2.2. Для произвольного полинома рп(г) 6 Вча, 1 < ц < оо, \ у которого производная т-го порядка по аргументу (,Рп{г))^ е спра-
ведливо неравенство
Неравенство (4) точно в том смысле, что существует комплексный полином рп{г) € Вча, для которого оно обращается в равенство.
Неравенство (4) является обобщением известного неравенства С.Н.Бернштейна для алгебраических комплексных полиномов в весовом пространстве Вяп, 1 < <7 < оо.
Теорема 1.2.3. Для произвольной функции 6 Д,,т,я, (1 < <7 < со, О < Я < 1), у которой € ВЧП, 1 < <7 < оо, имеет место точное нера-
венство
Еп(Лв^< 11п-п-т-Еп(йт))в^. (5)
Знак равенства в (5) реализует функция /о(г) = гп.
В третьем параграфе первой главы изучается задача о наилучшем полиномиальном приближении аналитических в единичном круге функций, структурные свойства которых характеризуются усредненными модулями непрерывности т-го порядка обычных производных г-го порядка функций в пространстве £2,г Зависимость наилучших приближений £;п(/)в27 от усредненных с положительным весом модулей непрерывности порядка т выражается следующей теоремой.
Теорема 1.3.1. Для любой функции /(г) е £2.7, У которой zrf(r'>(z). е £?г,7 при всех т,п,г £ М, п > г и любых 0 < Л < 7г/п,0 < /3 < 7г, при О < с < 2п1п[п/(п — г)] ([а] - целая часть числа а), справедливо точное неравенство
1 л
я£(/)в,7 < °-й-<-. (6)
22та2пг •}иш2т{пЬ/2) 8т"(/«/А)Л и
где а,1Г = п(п — 1)(п — 2) ■ ■ ■ (п — г + 1) = п![(п — г)!]-1, п > г. Равенство в соотношении (6) реализует функция /0(г) = г" 6 £2,7-
При решении некоторых задач теории приближения вместо модуля непрерывности шт(/, 1 — Я — 00 иногда удобнее использовать следующую эквивалентную характеристику
г Т Т ) '/<;
«•»(/. *), = ^ / ■ ■ ■7 IIД№") НШь-ЙЛ™ , Г > 0, • (7) I О о ]
где
л = (Ль 112,..., и. ДГ = А^ о • • • о Д1п, Д^/(реЙ) = /(ре'(<+">>)"- /(ре«). Известно, что для всех 1 < <2 < оо, Пт(/,4), ж шт(/,
Среди экстремальных задач теории полиномиальный приближений аналитических в круге функций в весовом пространстве 1 < д < оо
одной из наиболее важных задач является вычисление точных констант в неравенствах типа Джексона-Стечкина
ВДК, < X • ■ ит(*Ч{г\ ф)вьу; г 6 г+, Т > о,
где и,п - некоторая характеристика гладкости функции /(г) 6 Дг7, например, ш,п или Г2т, х ~ некоторая константа.
В четвертом параграфе первой главы вводится в рассмотрение экстремальная характеристика следующего вида
£т,п,г,р(£, ит) = вир
гЕпи)в2,у
\ 1/р
где ит - характеристика гладкости функции /(г:) е 11т = а>т или ит = 0.т. Имеет место следующая
Теорема 1.4.1. Пусть т,п£М, г € 0<р<2и0<(< 7Г/п. Тогда справедливы равенства
/Ст,п,г,р&, ит) = 2_т | у (эт г I ¿и
иу 12)
-1/р
(8)
В частности,
г ^ \-JlH
Г((тр+1)/2)Г1/р Г((шр)/2 + 1)/ '
где Г(Ь) - гамма-функция Эйлера,
, _ 1 Г п \т/2
О)
Равенства (8) и (9) для периодических дифференцируемых функций / € 4г)[0,2тг], доказаны, соответственно М.Ш.Шабозовым и С.Б.Вакарчуком. Основным результатом пятого параграфа является следующая Теорема 1.5.1. Пусть т,п 6 К, г е 0<р<2и0<К 7г/п. Тогда справедливы равенства
' (г / чт и\тр/2
О») = 2"т/21/ (1 -
В частности,
( K-m,n,rfi/m (t, Пт) = {t - Si(t)} m/2 ,
где Si(t) = J6~lsin9d6 - интегральный синус. о
С начала XX в. особый интерес у многих математиков, начиная с Э.Ландау, Ж.Адамара, Г.Харди, Дж.Литтльвуда, А.Н.Колмогорова, вызывает получение точных неравенств для норм промежуточных производных функции через норму самой функции и норму ее старшей производной. Несомненный интерес данная задача представляет и в банаховых пространствах аналитических в круге функций.
Заключительный шестой параграф первой главы посвящен доказательству неравенствам между нормами последовательных производных или неравенствам типа Колмогорова в весовом пространстве Бергмана
Теорема 1.6.1. Пусть к,г s N, 1 < к < г. Для произвольной f(z) € л,а имеет место неравенства типа Колмогорова
ll/r'lk^ll/iltr-ll/llt- (Ю)
Неравенство (10) является тонным в том смысле, что существует функция из класса В^.а» которая обращает (10) в равенство.
Теорема 1.6.2. Пусть k,г € N, 1 < к < г. Тогда для произвольной функции f{z) € $2^,0. справедливо неравенства типа Колмогорова
ь (tf-v * mBJ~k/r ■ тлв j/r, (id
точное в том смысле, что существует функция fo(z) € которая
обращает неравенства (11) в равенство.
Вторая глава состоит из четырех параграфов, и в ней рассматривается задача определения точных значений различных тг-поиеречников классов аналитических функций, принадлежащих весовому пространству Бергмана Д,7,1 < q < оо. Прежде чем сформулировать основные результаты второй главы, напомним необходимые обозначения и определения, приведенные в первом параграфе второй главы.
Пусть X - произвольное банахово пространство; S - единичный шар в нем; Ш - некоторое выпуклое центрально-симметричное множество в Х\ Ln С Х-п - мерное линейное подпространство; Ln С X - подпространство коразмерности n; С{Х, Ln) ~ множество всех линейных ограниченных операторов, отображающих X в Ln; Сх(Х, Ln) - подмножество проекторов в С(Х, /,„).
Приближение фиксированного множества ОТ с X фиксированным подпространством Ln С X определяется величиной
^■¡ЕЦЯЛ)* = Е{т, Ln)x =' sup {inf {||/ - <p\\x : <p 6 Ln} : / 6 ОТ} . (12)
Величина
£п(т)х = £{т,ьп)х =
=/Ы{8ир{||/-Л(/)|и:/бОТ}:ЛсОД1п)} (13)
характеризует наилучшее линейное приближение множества ОТ элементами подпространства с X. Линейный'оператор Л*(Л* С С(Х,Ьп)), если он существует и реализует в (13) точную нижнюю грань, является наилучшим для ОТ линейным методом приближения;
Е;:(ш)х -е^т.ьп)х --- * '
= шЦвирШ - А/||х : / е ОТ} : Л С С1 {X., Л,,)} (14)
- наилучшее приближение множества ОТ С X проекторами в пространстве X. Очевидно, что для величин (12)-(14), согласно определению, выполняется соотношение
Еп(т)х<£п(Щх<£птх- (15)
Величины -
6П(ОТ, X) = 8ир{зир{£ > 0 : е5П Ьп+1 С ОТ} : Ьп+1 С X}, (16) ¿"(ОТ, X) = ш!{8ир{||: / 6 ЯЛП = ^ С X}, (17)
4(ОТ, X) У ц*{£(ОТ, Ьп)х : Ьп С X}, (18)
г„(яя,х) = Ы{£(т,ьп)х ■ ьп с х}, (19)
1гп{т,х) = ы{£±(т,ь„):-ьпсх} (20)
называют соответственно бернштейковским, гельфандовским, колмого-ровским, линейным и проекционным п-поперечниками.
Если существует подпространство Ь*п+Х, на котором достигается точная верхняя грань в (16), и существуют подпространства Ьп, на которых достигаются внешние точные нижние грани в (17)-(20), то такие подпространства называют экстремальными для соответствующих п-поперечников (16)-(20). Очевидно, что между величинами (16)-(20) выполняются соотношения
Мал, х) < ^ < бп(т, х) < п(<т, х)
и, если X - гильбертово пространство, то
ьп(<т, х) < (ял, х) < в,п{ш, х) = гп(ал, х) = тг(<ш, х).
Введем классы функций, которые естественным образом появляются из результатов о наилучшем приближении аналитических функций в параграфах 1.1-1.5 первой главы.
Пусть Ф(£),4 > 0 - произвольная возрастающая непрерывная функция, такая, что Ф(0) = 0. Исходя из результатов третьего параграфа, для т,п, г е К, п > г, 0 < V < 2п\п[п/(п - г)], 0 < Л < тг/п, 0 < /3 < ж определим классы функций
3-{Ь) := ^(тп, п, г, и, Р, 7; К) =
!{г) е В1п : / / Р7(р)^»(гг/1г); Р, 02 < 1),
0 0 ; л J
= |/(*) е В£т : / /р7(р)^(г7(г);л02Йп,'034/А)^ < Ф(А)|.
Через 1У)Г'(Ф),г е N обозначим класс аналитических функций /(2) £ £>2,7, удовлетворяющих условию
Для т б N. г б 2+ через И^0(Ф) обозначим класс аналитических функций /(г) € ¿?2л,а> Для которых при любом 4 > 0 выполняется условие
/ ! V'2
а через И^Цф), т е Н, г 6 1/г < р < 2 обозначим класс аналитических функций /(г) е Удовлетворяющих условию
и
Введем также в рассмотрение класс аналитических в круге \г\ < Л, Д > 1 функций
Кл = {/ : /(г,(*) е Нр,п, ||/М||яР,я<1}.
Во втором параграфе второй главы вычислены точные верхние грани наилучших приближений функций ^(Н) и Т{Н, Ф) в пространстве £2,7- Введя обозначение , л ч —1/2
ЛН) = / &т2т(гй/2) |
сформулируем основной результат этого параграфа.
Теорема 2.2.1. При всех натуральных т,п,г, п > г, V > 0, 0 < Н < 7г/п, 0 < /3 < тг справедливы равенства
Я(ЯЛ),Рп-1)д1л = ¿(НЦ.Рп-гЫл =
= £1{Т{К),Тп-х)в2„ = 2-т ■ а"1 • ^(А),
= ),Рп-1)в2л = 2"п • а-1 • ЛЛ)'
Третий параграф второй главы посвящен вычислению точных значений п-поперечников классов аналитических функций И^^Ф), И^'0(Ф) и
И'М,(Ф) в пространстве В1~г
Теорема 2.3.1 Для любых п, г € М, п > г и 1 < р < оо, р 6 (0,1) имеет место равенство
где &п{-) ~ любой из п-поперечников (16)-(20).
Следуя С.Б.Вакарчуку, через обозначим величину аргумента
х £ (0, оо) функции втх/х, при которой она достигает своего наименьшего
значения. Очевидно, £, есть наименьший из положительных корней
уравнения х = tga; (4,49 < и < 4,51). При этом полагаем
Д БтаЛ Г вта; вт^ 1
11--^ := < 1--, если 0 < х < £»; 1--, если х > >.
\ £ / * I )
Теорема 2.3.3. Пусть при некотором п 6 N мажорирующая функция
Ф(4) удовлетворяет ограничению
Ф2(г) ^о
^ л;—с./ ,„ч . (0<t< оо), (21)
Ф2(тг/2п) - тг/2 - 5г(тг/2) 12
где ¿>г(£) = Jх^-&\1ххс1х!.'7. интегральный синус. Тогда для этого п и всех
о . ....
г € N выполнены 'равенства
* К'квч) - - £ ■ т^д * (£) ■
Здесь 7п(0 - любой из поперечников (16)-(20). Множество мажорант, удовлетворяющих ограничению (21), не пусто.
Теорема 2.3.4. Пусть т, п £ N. Если при любых £ е (0, оо) мажоранта Ф(£) удовлетворяет условию
то для г 6 справедливы равенства
7» (И&(Ф), = ■ „"^ • {/ (1 - ^ • Ф ,
где 7„(-) - любой из п-поперечников (16)-(20). Множество мажорант (Ф(£)}, удовлетворяющих ограничению (22), не пусто. Этому условию удовлетворяет, например, функция
(П.
В следующей теореме положено
(зт£), = {з1п если 0 <t< 7г/2; 1, если £ > тг/2}. Теорема 2.3.5. Пусть т,п € М, г € Ж+, 1 /г < р < 2. Если для О < £ < 7г/п мажоранта Ф(£) удовлетворяет ограничению
фР№ > Г^^^^^Г1 }(„■.„пв\тр.
*г( п0\тр ) \ ( пв\тр I (зт^) <1в\ ■1(^1 (23)
ФР(7Г/п) то справедливы равенства
1 (Г ({тр)/2 + 1) 11/,р п1/,р
ЪХ тЛ >' 2п) 2т |г((тр+1)/2) / [п)' .
где Г (а) - гамма-функция Эйлера, а 7„(-) - любой из п-поперечников (16)-(20). Условию (23) удовлетворяет, например, функция
/к / м тр
¡{ет~1 <11.
Четвертый параграф второй главы посвящен вычислению точных значений п-поперечников (16)-(20) классов аналитических в круге радиуса Я > 1 и построению наилучших линейных методов приближения для класса И^(1<Р<оо,Д>1).
Предварительно введем некоторые определения и обозначения, касающиеся этого параграфа. Пусть А(СГц) - множество аналитических в круге С/й = {г е С : |г| < Я}, ([/1 II) радиуса Я > 1 функций. Для произвольной функции / £ А(11ц) при р 6 (О, Я) полагаем
I/ . 2л \!/р
(5/№ОГ«) , если 1 < р < оо,
тах{|/(рег()| : < е [0,27г]}, если р = оо.
Символом Нрд, 1 < р < оо, Я > 1 обозначим банахово пространство Харди, состоящее из функций / е А([/н), для которых конечна норма
11/1кя = Д™омр(/,р).
Через Ьр Ьр{и) обозначим множество функций / б и, имеющих конечную норму
Л \ 1/Р / , 1 2тт \ !/Р
11/1и„:
'Чж" I 2-тг - - /
((/) / V" оо /
где интеграл понимается в смысле Лебега.
Пусть 7(|г|) - некоторая неотрицательная измеримая в II функция. Через ¿р,7 Ьр(и, 7), 1 < р < оо обозначим множество комплекснозначных в С/ функций /, для которых 71/р ■ / 6 £Р(£/) и ||/||Лрл = ||71/рЛ| V Под Бр,7 Вр(и, 7), 1 < р < оо понимаем банахово пространство функций / 6 А([7) таких, что / 6 £гл7. При этом
Определенный интерес представляет вычисление вышеперечисленных гс-поперечников (16)-(20) классов И^'д, Я > 1, 1 < р < оо, т е N в пространствах Вр,7 и Конкретизируем экстремальные подпространства '£*, Ь",Ъп+1 и наилучший линейный метод приближения А*, полагая .
, 71—1 '
ь^Ш)
' _7=т
'п-1
7=0
п-],т
{/ € : /(,:)(0) - 0, к = 0, п - 1} :
г ¿¡/ ■^п+1 =
Рп(г) ■ Ри{г) = Ё ак^, с^С .
I .
Теорема 2.4.1. Пусть В > 1, 1 < р < оо, г е N. Тогда имеют место
равенства
/М.
м.
оо,
1^7' п
апг дг-п
I рпр+1^(р)др
1/р
п < Г
П > Т, 1 < р < ОО, Т1 > Г, р = оо.
При этом:
1) в случае п-поперечншов дп(Ци 5п{\№рд, подпространство Ь*п является экстремальным для класса в пространстве
2) линейный непрерывный оператор Л* является наилучшим для класса
линейным методом приближения в пространстве Ьрп;
3) подпространство Щ будет экстремальным для п-поперечника
4) подпространство Ьп+\ = "Рп является экстремальным для Ьп(\¥рд; Вр/у).
Теорема 2.4.2. Яри выполнении условий теоремы 2.4.1 имеет место следующее равенство
где п> п, г € М; Я > 1, 1 < р < оо.
Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю академику АН РТ М.Ш.Шабозову за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией.
Список работ, опубликованных по теме диссертации
1. Шабозов М.Ш., Саидуеайнов М.С. Неравенство типа Колмогорова в весовом пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2007, т.50, №1, с.14-19.
2. Шабозов М.Ш., Саидуеайнов М.С. О поперечниках классов аналитических в круге функций в весовом пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2009, т.52, №2, с.85-92.
3. Саидуеайнов М.С. Наилучшее полиномиальное приближение и значения поперечников некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана. // ДАН Республики Таджикистан, 2009, т.52, №9, с.661-668.
4. Саидуеайнов М.С., Шабозов М.Ш. Неравенство типа Колмогорова в весовом пространстве Бергмана // Современные проблемы анализа и преподавания математики. Материалы межд.науч.конф., поев. 105-летию академика С.М.Никольского. - Москва, Россия, 17-19 мая 2010г., с.88-89.
5. Саидуеайнов М.С. О точных значениях п-поперечников некоторых классов функций в вёсовом пространстве Бергмана Б2.7. // ДАН Республики Таджикистан, 2010, т.53, №6, с.420-423.
6. Саидуеайнов М.С. Значения п-поперечников некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана // Изв. АН Республики Таджикистан, 2010, т. 139, №2, с.18-21.
Сдано в печать 27.04.2011. Подписано в печать 04.05.2011. Гарнитура Times New Roman Бумага офсетная. Печать офсетная. Формат 60x84. Тираж 100 экз. Цена договорная. Заказ № 9
Отпечатано в ООО «Офсет Империя» г. Душанбе, ул. М.Турсунзода, 31. Тел: 919948080
Введение.
Глава I. Наилучшее приближение аналитических функций в весовом пространстве Бергмана.
§1.1. Общие сведения и вспомогательные факты.
1. Пространство Бергмана £?9і7(і)).
§1.2. О наилучшем полиномиальном приближении аналитических функций в весовом пространстве Бергмана Вчл
§1.3. О наилучшем приближении полиномами аналитических функций /(г) Є ^2,7) структурные свойства которых определяются модулями непрерывности 771-ГО порядка.
§1.4. О наилучшем полиномиальном приближении функций /(г) Є і?2)7, структурные свойства которых определяются обобщенными модулями непрерывности т-го порядка
§1.5. О некоторых обобщениях результатов о наилучшем полиномиальном приближении функций /(г-) є І?2,7 структурные свойства которых определяются усредненными модулями непрерывности о;т(/,£)я27 и Пт(/,і)в2>7.
§1.6. Неравенство типа Колмогорова в весовом пространстве
Бергмана
Глава II. Поперечники некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана 1 < д < оо
§2.1 Основные обозначения и определения. Классы функций.
1. Определение п-поперечников
2. Определение классов функций
§2.2. Верхние грани наилучших приближений классов Т{К) и
Ф) полиномами в пространстве В2Л
§2.3. Точные значения п-поперечников некоторых классов функций
§2.4. Наилучшие линейные методы приближения и значения ппоперечников одного класса функций.
Диссертационная работа посвящена вычислению точных значений поперечников некоторых классов аналитических в круге функций и построению наилучших линейных методов приближения в весовых пространствах Бергмана. Хорошо известно, что в экстремальных задачах теории приближения функций важную роль играют точные неравенства, содержащие оценки величины наилучшего полиномиального приближения посредством усредненных значений модулей непрерывности высших порядков производных функций. Эти неравенства, с одной стороны, позволяют установить новые связи между конструктивными и структурными свойствами функций, с другой стороны, для соответствующих классов функций дают оценку сверху поперечников.
Вычислению точных значений различных п-поперечников классов функций, аналитических в круге, посвящен целый ряд работ. Первые результаты, связанные с вычислением колмогоровских п-поперечников в пространстве Харди, принадлежат В.М.Тихомирову [47] и Л.В.Тайкову [46]. В дальнейшем эта тематика нашла свое отражение в работах М.З.Двейрина [16], Ю.А.Фаркова [50], Н.Айнуллоева и Л.В.Тайкова [1], С.Д.Фишера и М.И.Стесина [52], С.Д.Фишера и К.А.Миччели [51], А.Пинкуса [32], С.Б.Вакарчука [6], М.Ш.Шабозова [56-58], М.Ш.Шабозова и Х.Х.Пирова [59], Г.А.Юсупова [77-79], М.Р.Лангаршоева [27] и многих других.
В данной работе мы изучаем вопросы наилучшего приближения аналитических в круге функций алгебраическими комплексными полиномами в весовом пространстве Бергмана и вычисляем точные значения бернштейновского, колмогоровского, гельфандовского, линейного и проекционного п-поперечников для различных компактных классов функций с ограниченными по норме пространстве производных и классов функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков в пространстве 1 < д < оо, 7 = 7(И) > 04
Основной целью данной работы является:
1. Указать новые точные неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями аналитических в круге функций и усредненными модулями непрерывности в весовом пространстве Бергмана 1 < <7 < °о.
2. Найти точное неравенство типа А.Н.Колмогорова для норм промежуточных производных функций через норму самой функции и норму ее старшей производной в пространстве В2,7.
3. Найти точные значения бернштейновских, колмогоровских, гель-фандовских, линейных и проекционных п-поперечников для классов функций, определяемых модулями непрерывности.
4. Найти наилучший линейный метод приближения, реализующий точное значение линейного п-поперечника для классов аналитических в круге \г\ < Я, В, > 1 функций с ограниченной по норме производной в пространстве Вял, 1 < д < оо.
Основные результаты диссертации обсуждались на республиканской научной конференции "Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений", посвященной 75-летию со дня рождения академика АН РТ А.Д.Джураева (Душанбе, 16-17 октября 2007 г.), на международной конференции "Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ", посвященной 80-летию академика АН РТ Л.Г.Михайлова (Душанбе, 29-30 мая 2008 г.), на международной научной конференции, посвященной 105-летию академика С.М.Никольского (Москва, МГУ, 17-19 мая 2010г.), на международной конференции "Современные проблемы математического анализа и их приложений", посвященной 60-летию академика АН РТ К.Х.Бойматова (Душанбе, 23-24 июня 2010 г.).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [34-36, 66, 72, 75]. В совместных работах [66, 72, 75] М.Ш.Шабозову принадлежит постановка задач и выбор метода доказательства.
Приведем краткий обзор результатов, полученные в диссертационной работы.
В первом параграфе первой главы приводятся основные определения и вспомогательные факты, используемые в дальнейшем.
Будем рассматривать пространство Бергмана функций /(г) аналитических в единичном круге \г\ < 1 с конечной нормой . \ 1/9
11/1к, = к //т(ИН/М19<ь
V И<1 У со,
1) где 7(|.г|) - положительная суммируемая в круге \г\ <1 весовая функция.
Очевидно, что норму (1) можно записать в виде 1/9 Д
9,7 н 1 2тг \ к 0 0 оо, 1 < д < оо.
2)
Величину вир где
Ь>тШ)в,„ = вир {||Дт(/, •, •, Л)|\вч„ : Щ < *} = 1/«
0 0 / ТП
Ат(/; р,«, Л) = Е (-1)^/
121 у/«
3) 0
- разность т-го порядка функции / (ре^) по аргументу £ с шагом /г, назовем интегральным модулем непрерывности т-го порядка. Для любых г е N через у(г)(/г) = сГ//сЬг обозначим обычную производную, а символом /^(г) = дг f (ре1*) / дУ, 0 < р < 1 обозначим производную г-го порядка по аргументу функции /(*), Ш = {й^Уа, г е М, = /'И - гг.
Множество алгебраических комплексных полиномов степени не выше п обозначим через 7Величину
Епи)вчп = ^{II/ ~ Рп-А\вч„ ■ Рп-1 е Тп-г} назовем наилучшим приближением функции /(г) Е Вча множеством Тп-Символом (1 < д < сю, 0 < Я < 1) обозначим пространство аналитических в круге < Я функций /(г) € для которых
Н/(-)1к7.д = ||/(Л-)1к7<оо.
Введем также обозначения: {/(г) <Е Вч {/(*) е вчл : \\№\\Вд,7 < оо} , 1 < д < со.
Сформулируем основные результаты второго параграфа первой главы. Теорема 1.2.2. Для произвольного полинома рп(г) 6 Д^, 1 < Я < ею, у которого производная т-го порядка по аргументу € Врпд, справедливо неравенство
Рп(-))1ш)||В]< Л" • Пга • ||р„||в„. (4)
Неравенство (4) точно в том смысле, что существует комплексный полином рп(г) (Е для которого оно обращается в равенство.
Неравенство (4) является обобщением известного неравенства С.Н.Бернштейна для алгебраических комплексных полиномов в весовом пространстве Вдл, 1 < д < сю.
Теорема 1.2.3. Для произвольной функции /(г) 6Е Вчлд, (1 < д < оо, О < В, < 1), у которой f^n\z) € ВЪ1,1 < д < оо, имеет место точное неравенство
ЕМ)в^н<11п-п-™-Еп{^) (5)
Ч1У
Знак равенства в (5) реализует функция /о(-г) = ¿п.
В третьем параграфе первой главы изучается задача о наилучшем полиномиальном приближении аналитических в единичном круге функций, структурные свойства которых характеризуются усредненными модулями непрерывности ш-го порядка обычных производных г-го порядка функций н в пространстве #2,7 • Зависимость наилучших приближений Еп(/)в2~, от усредненных с положительным весом модулей непрерывности порядка га выражается следующей теоремой.
Теорема 1.3.1. Для любой функции /(г) е у которой гГ п при всех т, п, г М, п > г и любых 0 < к < п/п, 0 < /3 < 7г; при О < V < 2п\в.[п/(п — г)] ([а] - целая чаешь числа а), справедливо точное неравенство
1 к
К, < ^-й-, (6)
22та2пг • ¡Бт2то(п*/2) вт о где апг = п(п — 1 )(п — 2) • • ■ (п — г + 1) = п\[{п — т)!]-1, п > г. Равенство в соотношении (6) реализует функция = гп 6= #2,7
При решении некоторых задач теории приближения вместо модуля непрерывности 1 < Ц < оо иногда удобнее использовать следующую эквивалентную характеристику
О О
1/9 г > 0, (7) где
К = (Ль Л2>ад, АГ - К О • - ■ О А1т, А у (ре*) = Дре*^) - Дре^). Известно, что для всех 1 < д < оо, Г2т(/, х о;ш(/,
Среди экстремальных задач теории полиномиальных приближений аналитических в круге функций в весовом пространстве 1 < # < оо одной из наиболее важных задач является вычисление точных констант в неравенствах типа Джексона-Стечкина
ВДН, < X • • ит(гг^г\т/п)В1^ ге^т>0, где ит - некоторая характеристика гладкости функции / (г) € Д?^, например шт или % - некоторая константа.
В четвертом параграфе первой главы вводится в рассмотрение экстремальная характеристика следующего вида
1Ст,п,г,р(*) = 8иР ' апгЕп(/)в2п
I и*т{гг^\и/п)<1ч
-щ- : / Є В
2,7 где ит - характеристика гладкости функции /(г) Е IIт — шт или ит = Имеет место следующая
Теорема 1.4.1. Пусть т, п £ М, г Е 0<p<2u0<t<^г. Тогда справедливы равенства тр ш / \ ^ г1!) к0 4 у и
-1 /р
8)
В частности,
Г , , , I \^-Т((тр + 1)/2)\~11р (Ж' '"> " 2'" \ Г ((тр)/2 + 1) / где Г (6) - гамма-функция Эйлера, т,п,г,2/т ^ш) = - бШ)]'42 .
9)
Равенства (8) и (9) для периодических дифференцируемых функций / Є 27г] доказаны, соответственно, М.Ш.Шабозовым [76] и С.Б.Вакарчуком
12].
Основным результатом пятого параграфа является следующая Теорема 1.5.1. Пусть т, п Е М, г Є 0<р<2и0<і< 7г/п. Тогда справедливы равенства { \ ( віпи\тр/2 Пш) = 2~т'2 | ¡(1 - — ] йи
В частности,
К-т,п,г,2/т ^ш) = № ~ Зі(і)} г/2 ь где Si{t) == 16~1ътв(16 - интегральный синус. о
С начала XX в. особый интерес у многих математиков, начиная с Э.Ландау, Ж.Адамара, Г.Харди, Дж.Литтльвуда, А.Н.Колмогорова, вызывает получение точных неравенств для норм промежуточных производных функций через норму самой функции и норму ее старшей производной. Несомненный интерес данная задача представляет и в банаховых пространствах аналитических в круге функций.
Заключительный шестой параграф первой главы посвящен доказательству неравенств между нормами последовательных производных или неравенствам типа Колмогорова в весовом пространстве Бергмана
Теорема 1.6.1. Пусть к,г е М, 1 < к < г. Для произвольной /(г) е #2^7,0 имеет место неравенства типа Колмогорова и/Мк, < \rnlT ■ «лис, ■ (1о)
Неравенство (10) является точным в том смысле, что существует функция из класса В^ а) которая обращает (10) в равенство.
Теорема 1.6.2. Пусть к, г £ М, 1 < к < г. Тогда для произвольной функции f(z) Е а справедливо неравенство типа Колмогорова
Еп (/<-*>)В2л < (Еп твХФ • , (11) точное в том смысле, что существует функция Е. В2Л, которая обращает неравенства (11) в равенство.
Вторая глава состоит из четырех параграфов, и в ней рассматривается задача определения точных значений различных п-поперечников классов аналитических функций, принадлежащих весовому пространству Бергмана Д?,751 < д < оо. Прежде чем сформулировать основные результаты второй главы, напомним необходимые обозначения и определения, приведенные в первом параграфе второй главы.
Пусть X - произвольное банахово пространство; 5 - единичный шар в нем; 9Я - некоторое выпуклое центрально-симметричное множество в X;
Ln С X-n - мерное линейное подпространство; Ln С X - подпространство коразмерности n; С(Х, Ln) - множество всех линейных ограниченных операторов, отображающих X в Ln; CL(X, Ln) - подмножество проекторов в
Цх,ьп).
Приближение фиксированного множества 9Я С X фиксированным подпространством Ln С X определяется величиной
Еп(Ш)х = Е(Ш, Ln)x sup {inf{||/ - tp\\x : tp £ Ln} : f G Ш} . (12)
Величина sn{m)x = s{dK,Ln)xdM inf{sup{||/ - A(f)\\x : fem}: Л С C(X,Ln)} (13) характеризует наилучшее линейное приближение множества 9Я элементами подпространства Ln С X. Линейный оператор А*(А* С £(X,Ln)), если он существует и реализует в (13) точную нижнюю грань, является наилучшим для Ш линейным методом приближения; inf{suP{||/ - Af\\x : / G Ш} : А С CL(X, Ln)} (14)
- наилучшее приближение множества Ш1 С X проекторами в пространстве X. Очевидно, что для величин (12)-(14), согласно определению, выполняется соотношение
Еп{Ш)х < еп{Ш)х < £i(Wl)x. (15)
Величины
Ьп{т,Х) = sup{sup{£ > 0 : eSfl Аг+i С Ш} : Ln+1 С X}, (16) <Г(Ш,Х) = inf{suP{||/|U :feWlf]Ln}:Ln С X}, (17) dn(m, X) inf{Е(Ш, Ln)x :Ln d X}, (18)
6п(ЯП, X) = Ы{8(Ш, Ьп)х : Ьп С X},
19)
7ГП(Ш1, X) = т^рШ, £п) ■. Ьп а X} (20) называют соответственно бернштейновским, гельфандовским, колмого-ровским, линейным и проекционным п-поперечниками.
Если существует подпространство Ь*п+Ъ на котором достигается точная верхняя грань в (16), и существуют подпространства ЬП} на которых достигаются внешние точные нижние грани в (17)-(20), то такие подпространства называют экстремальными для соответствующих п-поперечников (16)-(20). Очевидно, что между величинами (16)-(20) выполняются соотношения
Ьп(Ш: X) < X) < х) < ^ х) и, если X - гильбертово пространство, то ьп(ш, х) < ап{ш, х) < ап(т, х) = 5п(ж, х) = х).
Введем классы функций, которые естественным образом появляются из результатов о наилучшем приближении аналитических функций в параграфах 1.1-1.5 первой главы.
Пусть Ф(£),£ > 0 - произвольная возрастающая непрерывная функция, такая, что Ф(0) = 0. Исходя из результатов третьего параграфа, для т,п, г Е М, п > г, 0 < V < 2п\п[п/(п — г)], 0 < /г < 7г/п, 0 < /5 < 7г определим классы функций
Т{Л;) Т{т, п, г, V, /3,7; К) = г) 6 Я2г,7 : /]< : о о
Ф) := Т(т, п, г, и, /3,7; Л, Ф) =
1 /I
М € В\а : //< Ф(Л) о о
Через И^ (Ф), г € N обозначим класс аналитических функций /(2:) 6 г)
2,7, удовлетворяющих условию х1/2
0 /
Для т 6 М, г 6 через И^а(Ф) обозначим класс аналитических / \ функций /(2) 6 #2,7,а> Для которых при любом £ > 0 выполняется условие 1/2 а через И^^Ф), т £ М, г £ 1/г < р < 2 обозначим класс аналитических функций /(г) £ удовлетворяющих условию
Наконец, в заключительном четвертом параграфе второй главы, для любого шбМи1<р<оо, вводим в рассмотрение класс аналитических в круге \х\ < Я, Я > 1 функций {/ : /(т,М 6 Яр,Я, ||/(т)||яр,д < 1} •
Вычислению точных значений п-поперечников классов аналитических в круге функций в различных банаховых пространствах функций посвящен целый ряд работ. Первые результаты, связанные с вычислением колмогоровских поперечников в пространстве Харди Нр (1 < р < со), принадлежат В.М.Тихомирову [47] и Л.В.Тайкову [46]. Указанные исследования нашли дальнейшее развитие в работах Н.Айнуллоева [1], М.З.Двейрина [16], С.Д.Фишера и М.И.Стесина [52], А.Пинкуса [32], Ю.А.Фаркова [50], С.Б.Вакарчука [6], М.Ш.Шабозова и Х.Х.Пирова [59], Г.А.Юсупова [77] и многих других.
Во втором параграфе второй главы вычислены точные верхние грани наилучших приближений функций и ^(Ф, К) в пространстве -62,7- Введя обозначение , к ^ -1/2
ЛК) =
Iъш2т(пг/2) Б^фь/Ь)^ сформулируем основной результат этого параграфа.'
Теорема 2.2.1. При всех натуральных т,п,г, п > г, и > 0, 0 < к < 7г/п, 0</3<7г справедливы равенства 2-т . • ЛК), SL{HK ф), Тп-1 )в2п = 2"т ■ а"1 ■ ЛК) ■ Ф{К).
Третий параграф второй главы посвящен вычислению точных значений п-поперечников классов аналитических функций И^0(Ф) и $р(Ф) в пространстве £?2,7.
Теорема 2.3.1 Для любых п, г £ К, п > г и 1 < р < оо, р 6Е (0,1) имеет место равенство ап(В(%а, ВРП) = рп ■ п-, где <уп{') - любой из п-поперечников (16)-(20).
Следуя С.Б.Вакарчуку [12], через обозначим величину аргумента х £ (0, оо) функции этж/гс, при которой она достигает своего наименьшего значения. Очевидно, есть наименьший из положительных корней уравнения х = tgж (4,49 < < 4, 51). При этом полагаем
Л этаЛ Г эта; Л ^ эт^ "I
I 1--] := < 1--, если 0 < х < ¿*; 1--, если х > т* > . х / * \ х J
Теорема 2.3.3. Пусть при некотором п £ N мажорирующая функция
Ф(£) удовлетворяет ограничению ní / ч
Ф2(тг/2п) - тг/2 - 5г(тг/2) где Зг{Ь) = J х 1вт хв,х - интегральный синус. Тогда для этого п и всех о г £ N выполнены равенства 1 ф(^) апг ^/тг - 25г(тг/2) \2п)
Здесь 7п(-) - любой из поперечников (16)-(20). Множество мажорант, удовлетворяющих ограничению (21), не пусто.
Теорема 2.3.4. Пусть т,п £ N. Если при любых £ 6 (0, оо) мажоранта Ф(£) удовлетворяет условию т
Ф(7г/та) то для г € справедливы равенства 7п«)а(Ф )>В2|7)=2-т/2.п"г+1/2
1/2
22) гп
-1/2
• Ф * где 7п(-) - любой из п-поперечников (16)-(20). Множество мажорант {Ф(£)}, удовлетворяющих ограничению (22), не пусто. Этому условию удовлетворяет, например, функция
7Г / • 1\ Ш
1-^) Л.
В следующей теореме положено эт^)* — {вт^, если 0 < ^ < 7г/2; 1, если £ > 7г/2}. Теорема 2.3.5. Пусть т,п € М, г £ 1/г < р < 2. Если для 0 < £ < 7г/п мажоранта Ф(£) удовлетворяет ограничению фр{г) Фр(тг/п)
- / Гт) тпр
-1
К)>
23) то справедливы равенства
2"' |Г ((т.р + 1)/2) } '
ПГ V Н' / где Г(а) - гамма-функция Эйлера, а 7П(-) ~~ любой из п-поперечников (16)-(20). Условию (23) удовлетворяет, например, функция
7Г ф**й = где а := тг/ / ^т - j
Четвертый параграф второй главы посвящен вычислению точных значений п-поперечников (16)-(20) классов аналитических в круге радиуса В > 1 и построению наилучших линейных методов приближения для класса И^(1<р<оо,Д>1).
Предварительно введем некоторые определения и обозначения, касающиеся этого параграфа. Пусть А(11л) - множество аналитических в круге Не = {г £ С : \г\ < Я}, (С/х := и) радиуса В > 1 функций. Для произвольной функции / 6 А{и^) при р £ (О, В) полагаем
Мр{1, Р) й~
2тг \ 1/Р если 1 < р < ОО, гпах {|/(рег*)| : Е [0, 27г]} , если р = оо. Символом Нрд, 1 < р < оо, Л > 1 обозначим банахово пространство Харди, состоящее из функций / е А(С/д), для которых конечна норма яр,л = рНтоМр(/,р).
Через Ьр = Ьр(и) обозначим множество функций / Е /7, имеющих конечную норму
- 12. \1/Р
11/1к = о-// = -// р|/(ре«)|^ , (У) У V 0 о / где интеграл понимается в смысле Лебега.
Пусть 7(|г|) - некоторая неотрицательная измеримая в и функция. йе /
Через Ьр)7 = Ьр(и, 7), 1 < р < оо обозначим множество комплекснозначных в и функций /, для которых 7Х/р • / е Ьр(17) и Ц/Ц^ = ||71/рЛир- Под Врл *= Вр(и, 7), 1 < р < оо понимаем банахово пространство функций / £ таких, что / € При этом
ВРП
1 \ I/ Р7 {р)Щи,р)(1р
Определенный интерес представляет вычисление вышеперечисленных п-поперечников (16)-(20) классов И^д, Л > 1, 1 < р < оо, т 6 N в пространствах Вр)7 и Конкретизируем экстремальные подпространства 1 и наилучший линейный метод приближения Л*, полагая л ^ П=1 а*. ь. с/е/ п
М-Го1,
3= о 3=ГП
771 — 1 гг-1 ь; ^ {/ Е врл : /<*>(0) = о, А; = 0^1} , аз,т
2п-з,т V )
3=т)
2 (п-Я Тп = 1рп{г) : Рп{г) = £ «аД При получении основного результата понадобится следующая лемма, которая представляет и самостоятельный интерес.
Лемма. Для любого полинома рп(г) Е ВРП, 1 < р < оо; у которого производная р^ (г) Е 1 < р < оо при любом п > г и Я > 1, справедливо неравенство
Лнр,п < Яп~г ■ <*пг • \\Рп\\вр„. (24)
Неравенство (24) является точным в том смысле, что существует полином цп(г) Е Тп, для которого оно обращается в равенство.
Теорема 2.4.1. Пусть В, > 1, 1 < р < оо, г Е N. Тогда имеют место п равенства
Ъп(УУр){] Врл) = Ъп(у\Грд] Ьрл) = г). ^{У/^Ъ- Врл) = с1п{У/^ ЬРЛ) = ^(И^; Ьрл) = г).
А»*) = Ь*п)Ьрп = Ь*п)Ьр„ =
Лг). г) оо, яг~п а
ВТ пг —п р^ЧШР і /р а п < г п > г, 1 < р < оо, п > г, р = оо. пг
Дри этом:
1) в случае п-поперечников (іп{у/рд\ Ьрл) и ^піУ^р^ю подпространство Ь*п является экстремальным для класса И^д в пространстве Ьра;
2) линейный непрерывный оператор Л*.! является наилучшим для класса г) д линейным методом приближения в пространстве
3) подпространство VI будет экстремальным для п-поперечника
4) подпространство Ьп+і = Тп является экстремальным для Врл).
Теорема 2.4.2. При выполнении условий теоремы 2.4.1 имеет место следующее равенство зир{К(/)|:/Є<>} = ІГ"" где п > г; п, г Є М; Я > 1, 1 < р < оо. а пг
ГЛАВА І
НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА
1. Айнуллоев H., Тайков J1.B. Наилучшие приближения в смысле А.Н.Колмогорова классов аналитических в единичном круге функций // Матем.заметки, 1986, т.40; №3, с.341-351.
2. Бабенко К.И. О наилучших приближениях одного класса аналитических функций // Изв.АН СССР, 1958, т.22, №5, с.631-640.
3. Белый В.И. К вопросу о наилучших линейных методах приближения функций, аналитических в единичном круге // Укр.мат.журнал, 1967, т. 19, №2, с.104-108.
4. Bergman S. The cernel function and conformai mapping // Math.surveys, N.Y.: Amer.Math.Society., 1950, 163 pp.
5. Вакарчук С.Б. О неравенствах типа Колмогорова для некоторых банаховых пространств аналитических функций. В сб. "Некоторые вопросы анализа и дифференциальной топологии". Киев, 1988, с.4-7.
6. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди Н2 // Укр.мат.журнал, 1989, т.41, №26, с.799-802.
7. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге функций // Укр.мат.журнал, 1990, т.42, №7, с.873-881.
8. Вакарчук С.Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций // Матем.заметки, 1995, т.57, №1, с.30-39.
9. Вакарчук С.Б. О наилучших линейных методах приближения и поперечниках некоторых классов аналитических функций / / Матем.заметки, 1999, т.65, №2, с.186-193.
10. Вакарчук С.Б. Точные значения поперечников классов аналитических в круге функций и наилучшие линейные методы приближения // Матем.заметки, 2002, т.72, №5, с.665-669.
11. Вакарчук С.Б. О некоторых экстремальных задачах теории приближений в комплексной плоскости // Укр.мат.журн., 2004, т.56, №9, с.1155-1171.
12. Вакарчук С.Б. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников функциональных классов из Ь2 // Матем.заметки, 2005, т.78, №5, с.792-796.
13. Vakarchuk S.B., Zabutna V.l. Widths of function classes from L2 and exact constants in Jackson type inequalities // East Journal on Approximation. Bulgarian Academy of Sciences : Sofia, 2008, v. 14, №4, p.29-39.
14. Гварадзе М.И. О пространствах B(p, д, Л) аналитических функций // Сообщ.АН ГССР, 1975, т.77, №2, с.273-276.
15. Гварадзе М.И. Об одном классе пространств аналитических функций // Матем.заметки, 1977, т.21, №2, с.141-150.
16. Двейрин М.З. Поперечники и е-энтропия классов функций, аналитических в единичном круге. В кн.: Теория функций, функциональный анализ и их приложения, вып.23. Изд-во Харьк. ун-та, 1975, с.32-46.
17. Двейрин М.З. Задачи наилучшего приближения классов функций, аналитических в единичном круге. В кн.: Теория приближения функций М.: Наука, 1977, с.129-132.
18. Двейрин М.З., Чебаненко И.В. О полиномиальной аппроксимации в банаховых пространствах аналитических функций // Теория отображений и приближение функций. Киев: Наукова думка, 1983, с.62-73.
19. Джурахонов O.A. Об одной экстремальной задаче для наилучшего полиномиального приближения некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди // ДАН Республики Таджикистан, 2009, т.52, №10, с.759-764.
20. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М: Наука, 1977, 151 с.
21. Duren P.L., Shields A.L. Properties of Hp, 0 < p < 1 and its containing Banach space // Frans.Amer.Math., 1969, 141, July, p.255-262.
22. Duren P.L., Romberg B.W., Shields A.L. Linear functionals of Hp spaces with 0 < p < 1 // I. reine und angew für Math., 1969, 238, p.32-60.
23. Корнейчук H.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1976, 320 с.
24. Корнейчук Н.П., Лигун A.A., Доронин В.Г. Аппроксимация с ограничениями Киев: Наукова думка, 1982, 252 с.
25. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения М.: Наука, 1987, 424 с.
26. Корнейчук Н.П. О наилучшем равномерном приближении дифференцируемых функций // ДАН СССР,1961, т.141, с.304-307.
27. Лангаршоев М.Р. Значение поперечников некоторых классов аналитических функций в пространстве Бергмана Вч // Вестник ХоГУ, 2000, серия 1, №2, с.63-69.
28. Лангаршоев М.Р. Наилучшее приближение и значение поперечников некоторых классов функций в пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2005, т.48, №3-4, с.12-17.
29. Лангаршоев М.Р. О наилучшем приближении функций полиномами в пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2006, т.49, №, с.798-802.
30. Лангаршоев М.Р., Саидусайнов М.С. О поперечниках некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2008, т.50, №8, с.653-659.
31. Лангаршоев М.Р., Саидусайнов М.С. Поперечники некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2008, т.51, №3, с.165-171.
32. Pinkus А. п-width in approximation theory Berlin : Springer - Verlag., 1985.
33. Руновский K.B. О приближении семействами линейных полиномиальных операторов в пространствах 0 < р < 1 // Матем.сборник, 1994, т.185, №8, с.81-102.
34. Саидусайнов М.С. Наилучшее полиномиальное приближение и значения поперечников некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2009, т.52, №9, с.661-668.
35. Саидусайнов М.С. О точных значениях n-поперечников некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2010, т.53, №6, с.420-423.
36. Саидусайнов М.С. Значения n-поперечников некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана / / Изв.АН Республики Таджикистан, Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн.п., 2010, №2(139), с.18-21.
37. Смирнов В.И., Лебедев H.A. Конструктивная теория функции комплексного переменного. М.-Л.: Наука, 1964, 438 с.
38. Степанец А.И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Киев: Наукова думка, 1981, 324 с.
39. Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Матем.заметки, 1967, №1, вып.2, с.137-148.
40. Стороженко Э.А., Кропов В.Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в пространствах LP, 0 < р < 1 // Матем.сборник, 1975, т.98, №140, с.395-415
41. Тайков JI.B. О наилучших линейных методах приближения функций классов Вг и Нг // Усп.мат.наук, 1963, т.18, Ш, с.183-189.
42. Тайков JI.B. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций // Матем.заметки, 1967, т.1, №2, с.155-162.
43. Тайков JI.B. Неравенства типа Колмогорова и наилучшие формулы численного дифференцирования // Матем.заметки, 1968, Ne4, вып.2, с.233-238.
44. Тайков JI.B. Некоторые точные неравенства в теории приближения функций // Analysis Mathematica, 1976, т.2, с.77-85.
45. Тайков JI.B. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из Z/2 // Матем.заметки, 1976, т.20, №3, с.433-438.
46. Тайков JI.B. Поперечники некоторых классов аналитических функций // Матем.заметки, 1977, т.22, №2, с.285-295.
47. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений // Усп.мат.наук, 1960, т. 15, вып.З., с.81-120.
48. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.:МГУ, 1976, 324 с.
49. Тихомиров В.М. Теория приближений // Итоги науки и техники. Совр.пробл.математики. Фундам. направления / ВИНТИ, 1987, т.11, с.103-260.
50. Фарков Ю.А. Поперечники классов Харди и Бергмана в шаре из Сп, Усп.мат.наук, 1990, т.45, №25, с.197-198.
51. Fisher S.D., Micchelli С.A. Duke Math Journal, 1980, V.47, №4, р.789-801.
52. Fisher S.D., Stessin M.J. The n-width of the unit ball of Hq, J.Approxim.Theory, 1991, V.67, 3, p.347-356.
53. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е и Полиа Г. Неравенства. М., 1948, 456 с.
54. Hardy G.H. The mean value of the modulus of an analytic function. Proc.London Math Soc., 1915, 14, p.32-60.
55. Hardy G.H., Littlewood I.E. Some properties of fractional integrals II // Math. Z., 1931, 34, №3, p. 403-439.
56. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических в единичном круге функций // ДАН Республики Таджикистан, 1997, т.40, №9-10, с.54-61.
57. Шабозов М.Ш. О поперечниках в пространстве Харди Н2 классов аналитических функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков // ДАН Республики Таджикистан, 1998, т.41, №9, с.48-53.
58. Шабозов М.Ш. Значение поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди // Вестник ХоГУ, 1999, №1, серия 1, с.35-44.
59. Шабозов М.Ш., Пиров Х.Х. О наилучших приближениях аналитических функций и значениях поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди // ДАН Республики Таджикистан, 1999, т.42, №4, с.19-24.
60. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди Н2 // Матем.заметки, 2000, т.68, №5, с.796-800.
61. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Бергмана // ДАН России, 2002, т.383, №2, с. 171174.
62. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов аналитических функций // ДАН России, 2002, т.382, №6, с.747-749.
63. Шабозов М.Ш., Пиров Х.Х. Точные константы в неравенствах типа Джексона для приближения аналитических функций из Нр: 1 < р < 2 // ДАН России, 2004, т. 394, №4, с.19-24.
64. Шабозов М.Ш, Шабозов О.Ш. О наилучшем приближение и точные значения поперечников некоторых классов функций в пространстве Бергмана Вр, 1 < р < оо // ДАН России, 2006, т.410, №4, с.461-464.
65. Шабозов М.Ш., Джурахонов O.A. О наилучшем полиномиальном приближении в пространстве Харди // ДАН Республики Таджикистан, 2006, т.49, №9, с.787-797.
66. Шабозов М.Ш., Саидусайнов М.С. Неравенство типа Колмогорова в весовом пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2007, т.50, №, с.14-19.
67. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2007, т.50, №3, с.205-211.
68. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. О наилучшем приближение некоторых классов аналитических функций в весовых пространствах Бергмана // ДАН России, 2007, т.412, №4, с.466-469.
69. Шабозов М.Ш., Мамадов Р. О наилучшем полиномиальном приближении целых функций в весовых пространствах Бергмана Д^, l<q<oo // ДАН Республики Таджикистан, 2007, т.50, №5, с.401-408.
70. Шабозов М.Ш. Наилучшее полиномиальное приближение аналитических функций в весовом пространстве Бергмана / / ДАН Республики.Таджикистан, 2008, т.51, №5, с.323-330.
71. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди // ДАН Республики Таджикистан, 2008, т.51, №8, с.564-572.
72. Шабозов М.Ш., Саидусайнов М.С. О поперечниках классов аналитических в круге функций в весовом пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2009, т.52, №2, с.85-92.
73. Шабозов М.Ш., Лангаршоев М.Р. Наилучшее приближение некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана / / Изв АН Республики Таджикистан, Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн.н., 2009, №3(136), с.7-23.
74. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Поперечники некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана // Изв АН Республики Таджикистан, Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн.н., 2009, №4(137), с.7-17.
75. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов периодических дифференцируемых функций в пространстве Х20, 27г. // Матем.заметки, 2010, т.87, вып.4, с.616-623.
76. Юсупов Г.А. Наилучшее приближение и значение поперечников некоторых классов аналитических функций / / ДАН Республики Таджикистан, 2000, т.ХЫН, №4, с.12-15.
77. Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в протранстве £2(0, 27г. и точные значения п-поперечников // ДАН Республики Таджикистан, 2008, т.51, №11, с.803-809.
78. Юсупов Г.А. О наилучшем линейном методе приближения аналитических в круге функций в весовом пространстве Бергмана // ДАН Республики Таджикистан, 2008, т.51, №3, с.172-179.с.88-89.
