Ряды экспонент в пространстве Вергмана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Российская Академия Наук I Ысппут Математики Уфимского Научного Центра

ь

на пранах рукописи

(V

Напалков Валерии Валентинокич

Р Я Д Ы Э К С 1 ] О Н В Н Т в прогтра 1и'тп1; !::; г /,;;

01.01.01. (математический анализ)

Л юорсферат диссертации на соискание ученом степени канлидагя фи жко-математнчсских наук

Уфа - 10').1

Работа выполнена и Институте математики Уфимского научного центра РАН

11аучныи руководитель: доктор физико - математических наук,

профессор P.C. Юлмухамегов

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук,

профессор И.Ф. Красичков -Терновский

доктор физико - математических наук Б.Н. Хабибуллнн

Ведущая организация: Математический Институт

им. В.А. Стеклова РАН

Защита состоятся " /У " М.ОЛ' 1995 г. в часов на

заседании специализированного совета К 003.59.01 при Институте Математики Уфимского научного центра РАН (450000, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Математики УНЦ РАН.

Автореферат разослан"

СМуииЛг 1995 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физико - математических наук

А.Б.Сскерип

- 3В диссерташга для пространства Бергмана DAG) функций голо ыорфных в ограниченной односвязной области G С С и суммируемых с квадратом модули по плошали

lh(G) = [/ е H{G) ; ||/||2„2(0, =f ^ \m\2dv(:) < ^J .

где H {G) - пространство аналитических n G функгош с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах G. изучаются вопросы описания сощшжснного проелранства к пространству Бергмана ЩЮ). а также существование в В?1С!\ ^углопнт_*кп::гов С2 ji»uii>— —г

Актуальность темы. Для.решения различных задач в пространствах аналитических функций (вопросы полноты систем аналитических функции, задача разложения функций в ряды экспонент и более общих систем функций, решении некоторых классов футошональных уравне-шш и др.) используется метод перехода в сопряженное пространство, где двойственная задача чаще решается проще. Чтобы использовать такой метол необходимо найти удачное описание пространства линейных непрерывных (функционалов на данном пространстве аналитических функций. Вопросу описания сопражешшх пространств к различным пространствам аналитических функций и применению этих описании ноевщцены работы многих математиков. '-Этим занимались Б.Я. Левин. К).И. Любарский. Б.А. Державец. И.О. Напалков. О.В. Епифанов. Р.С.Юлмухаметов, G. Küthe. G. I'oiya ,A.i\ Galderon. L. Brautfeh, T.G. Gencev, S. Sait.oli. 13.A.Taylor и друг ие математики.

Одним из важных применений описания сопряженного пространства является задача представления аналитических функций рядами '-кстю-нецт. '-Эга задача исследовала( ь А.Ф. Леонтьевым. Б.Я. Левиным. Ю.Ф. Коробейником. В.К Дзпдыком. В.В. Напалковым, А.М. ('ед л едким. Ю.И. Любарским, К). И. Мельником. P.C. Юлмухаметовым и другими математиками. Отметим. что с вопросом продст;шлсния фулк-ций рядами экспонент тесно связан вопрос о базиснопи систем экспонент в различных пространствах аналитических функций.

Анализ in следов;исий по данной проблематике показывает, что указанные выше задачи наиболее сложно решаются в подпространствах

аналитических функций с "жесткой" топологией, например, в нормированных пространствах. По этой причине в таких пространствах указанные выше задачи не изучены так полно как и пространствах аналитических функций, в которых топология задана счетным набором норм ("мягкая".топология), например, пространствах H{G).

Цель работы. Получить в терминах преобразования Кошии н терминах преобразования Лапласа описание сопряженного пространства к пространству Бергмана: получить описание шнряжешшго пространства к вгеовому п])остранс:тну Бергмана d круге: изучить существование базисов Рисса из экспонент в пространстве Бергмана.

Методика исследования. Использованы методы теории целых и аналитических функций, теории субгармоничес ких функций, и функционального анализа.

Научная новизна. Все основные результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы для изучения пространств Бергмат на и вопросов приближения в этих пространствах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах по комплексному анализу в институте математики с ВЦ УТЩ РАН и Башкирском государственном университет«1.

Публикации. По теме диссертации опубликованы две работы. Список публикаций приводится в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых нн четыре параграфа. Объем диссертации ее стр. Библиография содержит&£ названия.

Содержание работы. Пусть В 2 (G) пространство Бергмана функций, голоморфных в ограниченной односвязной области G и суммируемых с квадратом модуля по площади:

Это гильбертово пространство со скал ярным произведением

Глава 1 диссертации посвящена иопрос;ш опнпшия сопряженного пространства к пространству Бергмана. Каждый функционал 5' го В? (С)

но теореме Ршса-Фишера. порождается функцией у £ В^(С) по правилу:

Я/') = (7.7)= / В2(С).

.¡а *

Онисашю пространства ,Щ( 6') дано в терминах преобразования Кошии п терминах преобразования Лапласа. При£ £ € \ 6' функция ^ принадлежит пространству В} (С) как ограниченная аналитическая фушс-ттт"!. К"ттт У .Т1Г—Т!:11ГГ: непрерывный фушсщцшал на Л/{С), и» чини ) обозначимпреобразование Коши этого функционала. а именно

= ) . - € 6'.

Пусть #и(С \ С) пространство функций голоморфных в С \ 6' и исчезающих на бесконечности. Через В\ (С \ Ст ) оГмпначим подпрос-Т1>анс1ло Нп(С \ С). состоящее из функций, производная которых интегрируется е квадратом По площади:

\ (V) = •{->(:) е Я«(С \ С) . „, |1в,(Г:чс;)

/г\« J

./г\<г;

Н первой главы докаливается гледутощее утсрждение.

'1и>ГКМд 1.1. Пугин, С! ■ одпосия.гши/ огран-ачсшиш область. Б -линейный непрерывным функционал на /?2((?) '"■ ■

-,(0 =Г-1—V

То/да

1Ь'Ил.1(с\с) 5 II5!!Щ(«)•

Оператор преобразования Коши, непрерывно действует из В*, (С) в /?2(С \ Сх ) для любой односвязной и ограниченной области С. Возникает вопрос: Когда этот оператор сюръсктивен, т.е. когда для любой функции ■) € В\(С \ О) найдется функционал из ВЦС). преобразованием Коши которого является У! Условие на область при котором оператор преобразования Коши «объективен дает следующая

ТЕОРЕМА 1.2. Пусти С! - односл.изная ограниченная область на ■плоскости с гралтцеи. класса С1+" (т.е.. существует параметризация границы. «(/). / £ [0,1] иг > 0. так -что для любых <2 £ [0.1| выполняется услонш |«'(/1) —< <ГГ*|/^ — ¿2|£ ). Тогда оператор преобразования Коши. действующий из 13п(Ст) в В}(С\С) сюрьек-тиаен. Если -у - преобразование Коши. функционала 5, то имеет место неравенство

1|5|1в;сс) < ^Н'УНв^сче)-

где к > 0 некоторая постоянном.

Требования гладкости границы области для сюрьсктивности преобразования Коши необходимы. Бп 1.2. диссертации приводится приме]) области с негладкой границей, для которой сюрьектшзность оператора преобразования Коши не имеет .места. Там доказано, что для области

С = {»с 6 С: «• — (; — I)2- |;|< 1}

оператор преобразования Копти не сюрьективен. Теорема 1.1 и теорема 1.2 в совокупности дают следующий результат.

ТЕОРЕМА 1.3. Пусть С ограниченная односвязная область па комплексной плоскости с границей класса С'1+0. Тогда оператор преобразования Коши устанавливает изоморфизм пространств В) (О) и В о (С \ С). При этом если фуикц-ия 7 есть преобразование Коши функционала 6', то справедливы неравенства

< 1|7||В»,СЧС) ^ И вглв).

где к > 0-погтонттн.

В ч'2 гл.«>ы 1 да«*тся ошк-анис прост р.шства )ь тершигах преоб-разппаичч Лапласа. Справедлива

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть (.-< - окранннеиная тл-пцклая область в С с /¡1а:ни1{( ¡1 кл.аеси. С1, кривима которой, отграничена, oi.ii. нуля и и/ п;ош '¡»ости. ПрсоЬрн.тиан не Ланласн. которое стчтпи н соот-нешетнн/ к.а./к'дому линейному и.с н.ре рыпно.му фун каноналу 3 функцию 5(А) — .9(ехр( А:)) устипаплтшст ишморфи.ш между прос-

н ирчгИс]НГПгтнои и

■1С

?де Н(\) - опорная функция области С При этом спранедлиаы следующие нерпненг.таи

,ч)е --Ц. .1з > I) - постоянные.

Дока >атсльств<> этого р»чультата основано на том. чп> пргобралова» икс Лапласа функционала ¡г ; О'(С-!) есть колик • шмия прсобра-кш.ишя Коши. дейс шукнцею из В^С!) п В\{С \ 6'). и преобразования Б<>-реля. ставящего в соответствие функции из пространства В\{С \ Г.') ;к соципропанную ей по Борелю целую функцию. Злось применяется реплы'си об описании пространства В', {С!) в терминах преобразования Коши. а также следующее утверждетн' о преобразовании Бореля функции из пространс тва В\ ('С \ С )•

Геогема 2.1. Пусть У целая /функция жкпонгнцпальиоуо типа.

- ассоциированная но Иорслю с/. 6'у - соиряжкншш диалримми функции / с границей класса ('-. 1]ридполпж.1Ш. что крива.тч гри-К1/с;м от/]итичсна от нуля и. Г>е(¡кон/ чкости. 'Го'/.да следующие

ц ел ооия же un алсптп и

Г Г inr^tfc-^'f^,^ ,lr,!ç U/H? < ос J О ./(!

/ h}(í)l2'Mí) = Ih/llî <

-/с\ Gf

При этом снранедлииы, неравенства

ciih/lk< II/II ^c-aih/lli. ■ *

где Ci, Ci > 0 - некоторые: постоянные.

По второй главе исследуете« вопрос существования Оазисов Рцсеа и i экспонент в пространстве Z?2(Cî ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система {cjcitLi элементов С называется базисом Ршта л £, если любой элемент х Ç £ единственным образом представ ляетея в виде:

ос ¿. = 1

и имеет место соотношение

НИ1с < £ M'IMl < М|М||.

Существование базисов Рисса из экспонент изучалось для нроетран ства Смирнова состоящего из функций голоморфшлх в выпуклой ограниченной области G, являющихся пополнением комплексных полиномом относительно нормы

НЛ|2=/ |/(:)|2^(.:). .

Jog

Для пространства L■>{-!)■ где I - отрезок вещественной от Б.Я. Левиным р;1зработан метод построения базисов Рисса из экспонент. Этот

етод пыл применен В. Я. Левиным и К).И. Любарским1 для построена оазиса Рисса в пространстве Смирнова E^IG), где G - многоуголь-ик. Для случая произвольной выпуклой области В.И. Луценко и P.C. Ктмухамсговьиг изучено существование базисов Рисса га экспонент пространстве Смирнова E2{G). Доказано, что если граница области ' содержит С2 гладкую дугу, кривизна которой отграничена от нуля бесконечности, то в пространстве En{G) не существует базиса Рисса. 1 экспонент. В диссертации получен аналогичный результат для нро-гранства Бергмана. Справедлива следующая

•1 mPFMA '2.1. Пуинь С с. С Mje»«wtfv<4fMfr.« пшуклая oG.lu.ciu*.

уг) '== .чпГраница области G содержит дугу

*

tt е дСг : е ЬъЫ Пе^ - h[<p) = ()}.

шсса С2, и имеет место соотношение

О < in < h"[ip) -f h(<f) < Л/ < а:. V5 6 Ьь Ы

(. крннпжо дуги отграничена от нули и бесконечности.

>гда. vd.NOfid, бы ни вы.л<1 иоследонательнослиь комплексным ■чисел = {Лу,. [/,■>(! система экспонент {cxp(Aj.c), А*. б А} и е. является гуслонны.м Оишсом в ■проетранепте. D2{G)

В !j4 диссертации для пространства Бергмана Di(G). где G - огра-ченная ныпуклая область с гралицей класса С'. К]>ивизна которой "раиичена от нуля и бесконечности, строится полная и минтыльная тема экспонент {expiA^.г)}: А --- есть нулевое множество

шй функции 5\А) обладающей свойствами:

1). Все корни А = {A;.}i°. функшпт S(A) простые и П]>и некотором • 0 круги Df; =f D(£|Afc|1/'2) попарно не пересекаются.

'Лкиин Б.П., ЛюЬАГ'ПКИЙ К).И. Интерполяция целыми функциями спе-лъиых клшшв и связанные с пою разложении п ряды экспонент// Изв. A..II. СР. сер. матсм. - 1975. - Т.39. Л>3. С. 05 7- 702

' Луш;пКО В.И. Безусловные Оазисы из экспонент в пространстве Смирно-tJhw.. канд. физ,- мат. наук, Уфа, 1992.

- то -

2). Для любого г? > О

1оК|5(А)| = Я(А) |А| + 0(1). А

где Н{А) - опорная функция области О* = {«• £ С

й 6 С}. Будем считать, что (Л;-| >2 V/; > 1.

Существование таких функций показано в работе3.

Справедлива следующая

Теорема 4.1. Система {ехр(А/_. г). Ад. 6 Л} полна и минимамп а Вг{С)

Каждой (функции / € В2(С) сопоставляется ряд по системс {пхр(А1.г)А,, £ Л}.

а:> 1

где {Фк} система функционалов из В2 (С), биортогональиаяк систем {ехр(А(_. ~) X). € Л}. Далее доказывается, чю этот ряд можно цросум мировагь в топологии во(с) специальным треугольным методом.

Теорема 4.2. Пусть гт(<) е С2[0,+оо) - дважды дифференци руемал функции, равная нулю при ( > 1 и равная единице пр\ 1 6 [0,1/2]; целая функция 5' удовлетворяет условиям I) и 2). {сч-- система, биортогональиая к системе {г.гр()ц: с)}. Для любог Л > 0 определим операторы 1ц : Всоотношения

ми

Тл :/( = )-> £ а(|АЬ|//?)(/, «Л'-г. г € С. (2

Тогда для любой, функции / £ Вт (О) функция Тд / сходится к фунь ции ¡по норме В2(С).

Отметим, что в случае пространства Смирнова Е-^С) аналогичны: теореме 4.2 результат доказан в работе4 Доказательство теоремы 4.

3 ЛЮБАРСКИЙ Ю.И., СолиН М.Л. Аналоги функций типа сипуса длявь пуклых областей.// Харьков: Препринт физико-коашческого институт низких температур АН УССР. № 17.-1986.-С.42.

4 Люг.ЛРСКИЙ Ю.И. Ряда экспопент п пространствах Смирнова и интерш дпцияцелыми функциями специальных классов,//Изв. АН СССР сер.мат. 198' т.52 .V- 3, стр. 559-580

- Il -

ковано на двойственности задачи представления рядами экспонент в остранстве Bi(G) и задачи интерполяции в пространстве /^((т). Сп-

ледливо следующее утверждение об интерполяции функций из Fi(G). то рое равносильно теореме 4.'2.

ТЕОРЕМА 4.3. Пусть целая функции S обладает свойствами ,2). V функция a G С2[0,ос), a{t) = 1 при t. G [0,1/2], o{t) = 0 <it t > 1. Тогда для Л'юбой функции F G I\(G) функция

. . К= I

ipr.Mumr.jr при 1) —> со к функции F по норме пространства (G).

В третьей главе диссертации рассматриваются вопросы описания лыго сопряженного пространства к весовому пространству Бергма-аналитических функций в терминах преобразования Лапласа. Пусть D = {л G С : < 1}-единичный круг и ¡1 - неотрицательная рана®, supp/i = [0.1]. Рассмотрим пространство функций голо-рфных в D и таких, что

1 Г \f{re^)\2d^dp(r) < сю. ./о

остранство D. ft ) - гильбертово пространство со скалярным пройденном ^

(/•//)= / f ffj<lçd,,(r). J0 ./о

стема экспонент {ехр(Дс) Л £ С} принадлежит данному простран-iy как аналитические и ограниченные n D функции. Кроме того, сис-ia экспонент полна в B->{D. р). Преобразование Лапласа

S —ïS - Sz (сАг), A G с,

лит в соответствие каждому линейному непрерывному функпиона-S над Д>(А/') целую функцию S. По теореме Банаха отображе-■ S —> 5, усташшливасх изоморфизм пространства (£>. р) и про-ганства B2(D, р) = {S, S G B^D./i)} с нормой

llSllâ2(0./i) = II5IIB2*(D,m)-

L

В диссертации получен критерий существования в пространст; B2iD.fl) нормы вида

115115= Г Г

J 0 ./()

где V - неотрицательная борелсвская мера на С. эквивалентной но ме

Справедлива теорема

ТЕОРЕМА 5.1. В пространстве B2iD. fi) можно ввести зкаив лентную норму |( • ([[, тогда и только тогда, когда для функции

«(*) = ¿111 / г21(1//(г) />1, 1 ./о

выполнено условие

£>(•», и, ЬЛ) < ОЦ1 + 1пГ. ЬЛ2,1) +С, l<^\<t<t2, (о.

где

>2 ~ П 12 — 1-1

Приведен пример меры ц для которой в пространстве Вп(0. ц) нел1 ззг ввести меру вида || ■ ||„.

Научные положения, вынесешгые на защиту, заключаются в след} ющем.

(1) Длл односвязных ограниченных областей С с С1+0 - гладко] границей показано, что преобразование Коши устанавливав изоморфизм между сильно сопряженным пространством к прос транству Бергмана и пространством В%(С \ б) - функций голо морфных в дополнении С. исчезающих на бесконечности, и сум мнруемых в дополнении С с квадратом модуля производной п( площади.

(2) Построен пример области с негладкой границей для которой пространства B^iG) и Во[С \ G) не изоморфны.

(3) Для выпуклых ограниченных областей с границей класса С2 у которых кривизна границы отделена от нуля и бесконечности, получено описание пространства B*{G) и терминах преобразования Лапласа.

(4) Для выпуклой ограничетгой области граница которой < одержит дугу класса С2, кривизна которой отделена от нуля и бесконечности, показано несуществование базиса Рисса из экспонент в пространстве Бергмана.

(5) Для выпуклой ограниченной области с границей класса С.'~ v ко-

ТОТТЙ ZpiSiiiiUU к )ШШМ tri ЛРППЯЯ л"» Г TV" IX Сссыла ЧШХ.хИ Лч-

стргена полная и минимальная система экспонент в пространстве Бергмана. Ряд но этой системе экспонент можно проссу-мироиать по норме Лг(С) к фучгктш по которой указанный ряд построен специальным методом суммирования. (G) Длярадиально весового пространства Бергмана аналитических функций в единичном круге получен критерий существования в пространстве преобразований Лапласа линейных непрерывных функционалов эквивалентной интегральной нормы.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руково-гелю профессору P.C. ГОлмухаметову за постоянное внимание и ло-ць в работе над диссертацией.

Ъ> теме диссертации опубликованы следующие работы. !.. Напалков В.В.(мл.), Юлмухлметов P.C. Весовые преобра-акия Фурье-Лапласа аналитических функционалов в круге // Ма-. сб..1992.'т. 183. .V 11, стр. 139-144.

!. Напалков В.В.(мл.), Юлмухаметов P.C. О преобразовании [1И функционалов на пространстве Бергмана // Матем. сб.. 1994. т. . Л'а 7, стр.77-86.

)оискатель .

(Напалков В.В.)