Системы сдвигов и экспонент как бесселевы последовательности и фреймы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

КЛИМОВА ЕКАТЕРИНА СЕРГЕЕВНА

СИСТЕМЫ СДВИГОВ И ЭКСПОНЕНТ КАК БЕССЕЛЕВЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ФРЕЙМЫ

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 МЮЛ 2012

Воронеж - 2012

005046441

Работа выполнена в Самарском государственном университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Новиков Сергей Яковлевич, Самарский государственный университет декан механико-математического факультета

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент Гельман Борис Данилович, Воронежский государственный университет доцент кафедры теории функций и геометрии

доктор физико-математических наук, профессор Насыров Семен Рафаилович, Казанский (приволжский) федеральный университет зав. кафедрой математического анализа

Ведущая организация: Саратовский государственный университет.

Защита состоится 4 сентября на заседании диссертационного совета

Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, математический факультет, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан июня 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.038.22,

доктор физ.-мат. наук, профессор Гликлих Ю.Е.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Наряду с методами классического гармоииче-ского анализа в последние десятилетия большое внимание стало уделяться негармоническому анализу, в котором информация (сигналы) представляются в виде рядов по неортогональным или линейно зависимым (избыточным) системам. Такие представления имеют ряд преимуществ: неограниченный объем, возможности выбора оптимальных представлений по разным критериям и т.д. Например, широко используются фреймовые представления для удаления шумов, использующие нетривиальность ядра оператора синтеза.

Понятие фрейма впервые было введено в 1952 году Даффином и Шеффе-ром, в связи с изучением негармонических рядов Фурье. Следует отметить, что ранее в работах Бари, Наймарка была развита теория фреймов. В последние годы фреймы получили широкое распространение в различных научных направлениях. В квантовой механике фреймы помогают представлять когерентные состояния. Цифровая обработка сигналов использует фреймы для борьбы с шумами. В общем, фреймы — это "избыточное"множсство векторов в гильбертовом пространстве, для которого сохраняется ослабленное равенство Парсеваля-Стеклова. Именно свойство избыточности обеспечивает в цифровой обработке сигналов устойчивость к потерям информации. Базисы Рисса являются фреймами, но образуют лишь малую часть во множестве фреймов. Интерес к фреймам связан с тем, что в отличие от классического базиса в определении фрейма отсутствует требование линейной независимости, что позволяет строить фреймы сколь угодно большого объема. Общая теория фреймов подробно описывается в работах О. (Лн^епвеп, И. Добеши, К. Блаттера. Ряд прикладных задач потребовал изучения фреймов специального вида, таких как фреймы, полученные сдвигами одного элемента гильбертова пространства, а также фреймы комплексных экспонент. Естественной является задача сравнения критериев базисности Рисса и фреймовое™ различных систем, таких как системы сдвигов, системы комплексных экспонент, весовых экспонент. Для того, чтобы применять фреймы, скажем, в цифровой

обработке сигналов, желательно, чтобы элементы фрейма обладали похожей структурой, иными словами, являлись когерентными. В этом смысле, целесообразно строить и изучать фреймы, которые получаются из одного элемента некоторого гильбертова пространства при помощи оператора сдвига. Данной задаче посвящены работы О. Сіігініепзеп, Оіеуккі А., Терехина П.А. Базисные свойства систем экспонент {егХ"х}пех изучались на протяжении многих десятилетий и являлись объектами исследований таких выдающихся математиков, как Н. Винер и Р. Пэли, Даффин, Шеффер, А.Ф. Леонтьев, А.М Сед-лецкий и др. В диссертации получены некоторые аналоги этих результатов при замене свойств базисности Рисса на свойства бесселсвости и фреймовости соответствующих систем.

Цель работы. Построение фреймов из сдвигов вектора в конечномерном пространстве над полем вещественных чисел; нахождение критерия бесселсвости системы векторов, построенной из сдвигов вектора в конечномерном пространстве; исследование систем весовых экспонент в конечномерном пространстве над полем комплексных чисел; нахождение необходимых и достаточных условий на вес, для того, чтобы система весовых экспонент образовывала фрейм, бесселеву систему; определение фрейма для конечномерного пространства над полем р- адических чисел и доказательство основных теорем о фреймовом представление, построение фреймов в пространстве над полем р- адических чисел; исследование систем, образованных с помощью целых и произвольных сдвигов функции в пространстве Ь2 (К), построение фреймовой последовательности; нахождение критериев фреймовости систем экспонент {єгХпХ}пЄх, весовых экспонент {д (х) еа"х}пЄ2 в пространстве Ь~ (—7Г, 7г); исследование устойчивости фреймов.

Методика исследований. Использовались методы теории функций и функционального анализа, элементы комплексного аналнза и преобразования Фурье.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные.

1. Найдены необходимые и достаточные условия фреймовости и бесселе-

вости системы вссовых экспонент в конечномерном пространстве.

2. Введено определение фрейма в Лг-мерно.м пространстве над полем р-адичсских чисел, построены фреймы Парсеваля-Стеклова и исследованы свойства соответствующих фреймам операторов.

3. Найдены критерии фреймовости и бесселевости системы сдвигов функции 13 пространстве Ь2 (М).

4. Найдены необходимые условия на последовательность вещественных чисел {Ап}„62, чтобы соответствующая система экспонент образовывала фрейм, являлась бесселевой.

5. Получены условия на весовую функцию, для того, чтобы соответствующая система весовых экспонент образовывала фрейм, бесселеву последовательность.

0. Введены радиусы притяжения вещественной числовой последовательности {Ап}пех, которые характеризуют устойчивость комплексных экспонент {егАпХ}1[е2, как базисов Рисса (фреймов) по отношению к сдвигам чисел А„. Доказано, что переход от базисов Рисса к фреймам не увеличивает радиус притяжения, что является обобщением классической теоремы Кадеца об

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы для дальнейшего изучения фреймов сдвигов и экспонент, а также найти применение в частотно-временном анализе.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались на семинарах Самарского государственного университета; на семинарах кафедры Математических моделей и информационных технологий Самарской академии государственного и муниципального управления; на международной конференции "Современные методы теории функций и смежные нроблемы"в г. Воронеж (2009, 2011); на международной Саратовской зимней математической школе "Современные проблемы теории функций и их приложения"( 2010, 2012); на седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование н краевые задачи "в г. Самара (2010); на 2-ой всероссийской научно-

практической конференции "Математическое моделирование, численные методы и информационные снстемы"в г. Самара (2010); на десятой международной Казанской летней научной школе-конференцни в г. Казань (2011);

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в работах автора [1]—[13]. Из совместной работы [13] в диссертацию вошли только результаты, полученные лично автором. Работы [6], [10] и [11] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав и списка литературы. Объем диссертации 120 страниц. Библиографический список содержит 57 наименований.

Содержание диссертации.

Во введении описывается история возникновения проблемы исследования, обосновывается актуальность выбранной темы. Далее приводится ряд задач, требующих решения и ответы на поставленные задачи.

В первой главе приводятся основные определения, изучаются фреймы сдвигов одного и двух векторов, находятся критерии Фреймовое™ систем весовых экспонент, определяется фрейм для конечномерного пространства над полем р-адических чисел. Напомним классическое определение фрейма.

Пусть конечномерное комплексное пространство со скалярным произведением, где:

II / 11= у/< /,/>.

Область определения векторов пространства ¿2 фактически является -классом вычетов по модулю Аг.

Определение 1.4. Набор векторов ЦкУ/'-х из называется фреймом, если существуют константы А, В > 0 такие, что для любого / £ ¿2 выполняются следующие неравенства:

т

ЛЦ/112 <^|</,/,>|2<5||/||2.

Ли В называются гранітами фрейма. Наибольшая из нижннх границ называется оптимальной нижней границей, а наименьшая из верхних границ -оптимальной верхней границей. Если А = В, то фрейм называется жестким, а если А — В = 1, то фреймом Парсеваля-Стеклова. Были построены фреймы Парсеваля-Стеклова из сдвигов одного и двух векторов.

Возьмем Лг-мсрное гильбертово пространство Сдг, и рассмотрим набор векторов

Ет (п) = (Ет (0), Ет (1),..., Ет (М - 1)),

где т = 0,1,..., N — 1, определенных следующим образом:

1 27Г ітітп Ет (п) = -Щ ехр ——, Утг, т = 0,1,..., N - 1.

Возьмем вектор (д (п))^1 Є и рассмотрим систему вида (д (п) Ет (тг))^, где умножение вектора ((/(гг))^1 па Ет(п) покоординатное. Справедлива следующая теорема:

Теорема 1.2. Пусть имеется набор (д (п) Ет (тг))^, где (д (пЄ Сл. Следующие утверждения эквивалентны:

1) Система (д (п) Ет полна в Сл\

2) Вектор д (п) ф 0, для всех п = 0,1,..., N — 1.

Если к тому же || д(п) ||= , то (д (п) Ет (п))^ ортоиормировап-ный базис пространства Сл'.

Переполненные жесткие фреймы в пространстве См можно получать с помощью проекции ортонормировапного базиса из пространства СЛ/ на <СМ, где М > N.

Возьмем М > М, определим вектора (Ек (п))^1 следующим образом:

. . 1 2ттгкп , , Я- (п) = -Д= ехр ——, Уп = 0,1,..., N - 1.

Тогда (Т7*,. (п))^-1 - фрейм Парсеваля-Стеклова в пространстве СЛ, причем

N

выполняется || Рд. (п) ||= у •

Заметим, что в конечномерном пространстве любой набор векторов является бессолевой системой, в силу неравенства Копш-Буняковского.

Возьмем (fKn))^,1 Є Сл' и рассмотрим систему (д (п) Fk (n))£Lo\ справедлива следующая теорема:

Теорема 1.3. Пусть имеется набор (д (n) Fk (п))^1, где (g(n))^=Q Є СЛ\ Следующие утверждения эквивалентны:

1) Система (g (п) Fk (гг))^1 фрейм в пространстве CN

2) Вектор д (тг) ф 0, для всех п = 0,1,..., N — 1.

Следствие 1.1. Система (g (п) Fk (п))^1 - фрейм Парсеваля-Стеклова в пространстве CN <=>• | д (п) | = 1, Vn = 0,1,..., N — 1.

В данной главе было определено понятие фрейма для пространства над полем р- адических чисел, построен фрейм Парсеваля-Стеклова.

Пусть р простое число, а 7- целое. Обозначим Qp - поле /> адических чисел, с нормой :

, , = Г^.х^о (1)

I х% ІР Ых^о ^

где Ordx- = /паибольшая сгспспь числа р, которая делит xj, х<-цеаое 1 \Ordpn—Ordpb, Xj=|, a,b, 6^0—целые

Рассмотрим ^-мерное пространство над полем р- адических чисел: QpV = QPx х Qv х Є Q^, х = где хі Є Qp.

N

В этом пространстве определена норма следующим образом:

II х ||р= max | хі L у 1 <i<N

где І Хі |р - норма Хі в пространстве Qp:

Норма І х |р является неархимедовой, то есть выполняется сильное неравенство треугольника:

| х + У |р< тах(| х |р| у |р).

В пространстве Qp введено скалярное произведение:

N

<х,у>= ^2хііл,УХ,У Є Qp.

г= 1

В пространстве Qp с нормой

х „= шах хі

l<i<N

■і |р

выполняется неравенство Коиш-Буняковского:

|< Х,у> |р<|| X ||р|| у ||р .

Ввиду специфики данного пространства, определение фрейма ввести тем же способом, что и для пространств МЛ, Сл' не удается. Нами введено определение фрейма в пространстве следующим образом:

Определение 1.8. Набор (/г)^ Є - фрейм, если существуют, такие константы А, В > 0, что V/ Є выполняются неравенства:

В || / ||р< тах |< /,/г >|р< А || / ||„ .

1<г<ЛІ

Если поле К = М или К = С, то хорошо известна эквивалентность : Набор - фрейм в К тогда и только тогда, когда (/¿)^і - полная систе-

ма.

Доказано, что при определении 1.8. фрейма аналогичное утверждения сохраняет силу.

Теорема 1.4. Система - фрейм в (Ц)^ тогда и только тогда,

когда(/і)^!=1 - полная система.

Построен пример фрейма Парсеваля-Стеклова в пространстве (Ц)^. Рассмотрим отображение Т* : <0^ —> О)*1, действующее по следующему правилу: Т* (/) = (<

Рассмотрим сопряжённый оператор, определяемый следующим образом: Т (с/.) = Ск/к- Тогда можем определить фреймовый оператор: 5 = ТТ*. Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.5. Пусть (Л)І-Іі ~ фрейм в , 51 - фреймовый оператор. Тогда:

1. Оператор Б - обратим и самосопряжён.

2. Для любого вектора / Є 0>р' справедливо следующее представление:

м м

/ = < /, б-'П > л = 53 < /, л > 5-1/,..

к= 1 А-=1

3. Если / Є о^ и / = Еі'іі Скїфк) Є о*1,тогда:

м

м

Е 4 = Е < /' ^л >2+Е < >)2 •

Во второй главе исследуются системы образованные с помощью сдвигов функции / (ж) Є Ь2 (К). Хорошо известно, что из сдвигов функции нельзя получить базис. Возникает вопрос, можно ли сделать фрейм? В работе О. Оп^епБеп показано, что ответ на поставленный вопрос отрицательный, но с помощью сдвигов можно получить фреймовую последовательность (фрейм для замыкания линейной оболочки системы). Таким образом, вторая глава посвящена нахождению условий на функцию, чтобы соответствующая система сдвигов образовывала фреймовую последовательность. Напомним некоторые определения.

Определение 2.1. Оператор Та действующий из пространства Ь'і (К) в пространство Ь2 (К), определяемый следующим образом:

где называется оператором сдвига на а.

Определение 2.2. Оператором модуляции Еь из Ь-2 (М) в пространство (К) называется оператор, определенный следующим образом:

Напомним, что преобразование Фурье Е функции / (а;) € Ь2 (К) определяется следующим образом:

Определение 2.4. Набор , называется фреймом в гильбертовом

пространстве Н, если существуют такие константы А,В> 0, что У<р £

(Та/) (х)=Пх-а),

(ВД (х) = е2«ІЬ*/(х).

Н выполняются следующие неравенства:

ос

А || <р ||2< 1< ^ >12- В II V

Фреймовой последовательностью называется система, которая образует фрейм для замыкания линейной оболочки.

Используя результат работы О. Сіігійіеннен, были исследованы целые сдвиги функции

ір{х) = ""га"* ( с традиционным определением в нуле), І'ДЄ а Є (0,1). Доказана теорема.

Теорема 2.3. Система сдвигов

образует фрейм в пространстве Пэли-Винера Р\Уа.

Рассматривается общий случай системы (Т\пд {х))пе% , где Л = (Л„)пб2 -произвольная последовательность вещественных чисел. Учитывая хорошо известную двойственность, которая устанавливается с помощью преобразования Фурье, можно получить следующий результат.

Теорема 3.23. Пусть последовательность вещественных чисел, такова, что {еа"х}пех образует фрейм в пространстве Ь2 (—7,7), возьмем функцию д (х) 6 -РИ'а, где а < 7, тогда:

1) Система {ТА,(х)}пех является бесселевой в пространстве Ь2 (К), тогда и только тогда, когда | д (и>) |< В, для всех и € К.

2) Система {Т\пд {х)}пег образует фреймовую последовательность, тогда и только тогда, когда А <| д{и>) \< В, для всех ш € [—а, а].

3) Система {Т\пд (х)}пех образует фрейм в пространстве Р\¥п, тогда и только тогда, когда А <| д (ш) |< В, для всех ш е [—7,7].

В третьей главе исследуются системы экспонент {егХ'а}пег в пространстве Ь2 (—7Г, ж), находятся необходимые условия на последовательность вещественных чисел {Лп}пег, Для того, чтобы соответствующая система экспонент являлась бесселевой, образовывала фрейм.

{Тк<р(х)}кеХ = {

біп 27га (2: — к)

7Г (х — к)

Определение 3.11. Последовательность {A/tj^ez называется отделимой, если \/г Ф j выполняется inf,-^ | А, — Аj | > 6, где S > 0.

Определение 3.12 Последовательность {Аk}kez называется относительно отделимой, если ее можно представить в виде объединения конечного числа отделимых последовательностей.

Определение 3.13. Для последовательности вещественных чисел Л = {Аk}kez вводятся понятия верхней плотности

D+ (Л) = lim sup

/і-» ос h

и нижней плотности

D~ (Л) = lim inf

h—>оо h

где = sup І (Л П [х - §, ж + £]), v~ = inf (і (Л П [х - §, х + f ]).

хЄІК

Одной из целей данной работы было нахождение необходимых условий на последовательность вещественных чисел Л = {А„}riez, таких, что соответствующая система экспонент образовывала фрейм. В этом направлении получены следующие результаты.

Теорема 3.7. Пусть Л = {Xn}nez последовательность вещественных чисел, такая что Хп —» оо, при п —» со. Если система {e,}["x}nez является бесселевой в пространстве L2 (а, Ь), то ряд

У—

сходится для всех а > 1.

Теорема 3.8. Если система

пєz образует фрейм в пространстве

L2 (а, b), то ряд X^ez [Х~[ расходится.

В работе Даффнна и Шеффера было введено понятие фреймового радиуса, корректность которого определяется свойством фреймов. Однако для базисов Рисса введение такого определения невозможно. Тем не менее, и фреймы и базисы Рисса обладают устойчивостью другого вида. В данной главе были введены радиусы притяжения вещественной числовой последовательности {Аn}nzZ, которые характеризуют устойчивость комплексных экспонент {егЛ"х}„Є2, как базисов Рисса (фреймов) по отношению к сдвигам чисел Ап.

Для последовательности вещественных чисел {Цп}пеZ, такой, ЧТО {e4'"X}nez образует базис Рнсса в пространстве L2 (—тг, тт) введем понятие BR-paduyca притяжения :

П ({/xn}) = sup{L Є R : {Xn}neZ С R и I An — fin |< L, Vn {éKx}nez базис Рисса}. По аналогии вводим н понятие фреймового радиуса пргітяжения для последовательности вещественных чисел {fJ.n}neZ, такой, что {e1M"x}n<Ez образует фрейм в пространстве L2 (—п, 7г)

Ф ({/х„}) = sup{L Є M : {\п}пеъ С R и I Л„ - Цп |< L, Vn ==> {e'Kx}neZ фрейм в L2 (-7Г, 7г)} Поиск ВЯ-радиуса притяжения множества Ъ имеет историю. Пэли и Винер показали, что если {\n}nez Є R> и suPiteZ I ^fc — к ^> т0 соответствующая система экспонент образует базис Рисса. Позже R. Duffin и J. Eachus получили следующий результат: если последовательность вещественных или комплексных чисел {Anjnez, такова, что

supj.gZ I АГ[ — п |< то {e'XnX}nçz - базис Рисса в Ь2[—7г,7г]. Точную константу для вещественных чисел нашел М.И. Кадец, а для комплексных чисел наиболее сильные результаты получены А.М.Седлецким.

Теорема 3.10. (Кадеца об 1/4) Если последовательность вещественных чисел {Ak}kez, удовлетворяет неравенству :

sup I \к - к \< ^

keZ 4

то система {e,XkX}uez образует базис Рисса в пространстве L2 (—7Т,7г).

Введенные понятия позволяют сформулировать теорему Кадеца об 1/4 в виде равенства Л (Z) = 1/4. Оказалось, что константа 1/4 является точной и для фреймового радиуса притяжения множества целых чисел: Ф (Z) = 1/4, что доказывается в следующей теореме:

Теорема 3.15. Если {Аа} - последовательность вещественных чисел такая, что

sup I Afc - k |= -,

fcez 4

то система {єіА<гХ}іЄ2 образует фрейм для Ь2 (—ж, ж) тогда и только тогда, когда она является базисом Рисса.

Таким образом, для множества Ъ получены равенства 7^(2) = Ф(2) = Кроме того, примеры, которые ранее использовались для обоснования точности константы 1/4 в теореме Кадеца о базисах Рисса, оказываются точными и для фреймов.

Для систем весовых экспонент вида {д (х) е,Л"г}пЄ2 где в качестве веса взята функция д (х) =| х |а, а € М и последовательность {Хп}пє2 ~ последовательность целых чисел, получен следующий результат.

Теорема 3.16. Рассмотрим систему х |а -^=ехргл:г^ в Ь2[—ж, ж]. Справедливы следующие утверждения:

1) Система х |а ^^ехртх^ является полной, тогда и только тогда, когда а >

2) Система х \а -^ехріпх^ ^ является бесселевой последовательностью, тогда и только тогда, когда а > 0.

3) Система х |а -^І^ехртх^ является минимальной, тогда и только тогда, когда — і < а < і, и ее биортогональная удовлетворяет левому неравенству в определении фрейма 0 < а < \ .

4) Система х -^ехріпх^ является фреймом, тогда и только тогда, когда а = 0.

Если в качестве веса взять функцию д (х) =| х + а , где | а |> 7Г, то справедлива следующая теорема.

Теорема 3.17. Пусть а - произвольное вещественное число,] а |> 7Г, тогда система х + а |а ^—ехргпх^ является базисной последовательностью Рисса в пространстве Ь2[—7Г,7т], для всех а Є К

В случае произвольной функции д (х) и вещественной последовательности {^п}пс2 получен следующий результат:

Теорема 3.20. Пусть Л = (Л- последовательность вещественных чисел, такая что (Л) > 1 и Л относительно отделима, и пусть функция д{х) Є Ь2[—ж, 7г], тогда следующие утверждения эквивалентны: 1) Система (д (х) егХкХ)к.е2 - фрейм для Ь2[—ж, ж].

2) Существуют такие константы А,В> 0, тате что А < \ д(х) |< В п. е.

Также получены аналогичные критерии бесселевости и полноты системы весовых экспонент.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю С.Я. Новикову за постановку задач, внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Голубева Е.С. Определение фрейма в пространстве . Построение фрейма Парсеваля-Стеклова в пространстве Q2 / Е.С. Голубева // Материалы международной конференции «Современные методы теории функций и смежные проблемы. - Изд-во: Воронежский государственный университет -2009. - С. 64-65.

[2] Голубева Е.С. Определение фреймов в N-мерном р-аднческом пространстве. / Е.С. Голубева // Тезисы докладов 35 Самарской областной студенческой научной конференции. - Изд-во: Артель -2009. - С. 140-141.

[3J Голубева Е.С. Конструкция фреймов над полем р-адических чисел. / Е.С. Голубева // Сборник статей Межвузовской научно-практической конференции «Математическое моделирование, численные методы и информационные системы. - Изд-во: Самарский муниципальный институт управления -2009. - С. 26-29.

[4] Голубева Е.С. Конструкция фреймов в пространстве Qfi' . / Е.С. Голубева // Материалы докладов Саратовской зимней математической школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". - Изд-во Саратовского университета -2010. - С. 57.

[5] Голубева Е.С. Фреймы сдвигов в пространствах над нолями М, С. / Е.С. Голубева // Труды седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием « Математическое моделирование и краевые задачи. -Изд-во: Самарский государственный технический университет -2010. - С. 6468.

[6] Голубева Е.С. Конструкция фреймов над полем р-адичсских чисел. Фреймовый оператор. / Е.С. Голубева // Вестник Самарского муниципального института управления. - вып.2(13). - Изд-во: Самарский муниципальный институт управления -2010. - С. 88-93.

[7] Голубева Е.С. Системы полученные с помощью операций трансляции и модуляции. / Е.С. Голубева // Материалы 2-ой всероссийской научно-практической конференции «Математическое моделирование, численные методы и информационные системы». - Изд-во: Самарский муниципальный институт управления -2010. - С. 75-78.

[8| Голубева Е.С. Системы оконных экспонент в пространстве

i] / Е.С. Голубева // Материалы Воронежской зимней математической школы Современные методы теории функций и смежные проблемы. -Изд-во: Воронежского государственного университета -2011. - С. 84-85.

[9] Голубева Е.С. Бсссслевы системы экспонент {<~:lX"x}„ez в пространстве L2[—7г, 7г]. / Е.С. Голубева // Материалы десятой международной Казанской летней научной школы-конференции. - Изд-во: -2011. - С. 94-96.

[10] Голубева Е.С. Фреймы экспонент со степенным весом / Е.С. Голубева // Вестник Самарского государственного университета .Сер. Естественнонаучная. - 2011. - № 2(83) - С. 15-2G.

[И] Климова Е.С. Система сдвигов функции / Е.С. Климова // Вестник Самарского государственного университета .Сер. Естественнонаучная. - 2011. -№ 8(89) - С. 37-45.

[12] Климова Е.С. Системы сдвигов функции. / Е.С. Климова // Материалы Саратовской зимней математической школы Современные методы теории функций и смежные проблемы. - Изд-во: Научная книга -2012. - С. 85.

[13] Климова Е.С. Теорема Кадсца об \ и фреймы. / Е.С. Климова, С.Я. Новиков // Материалы Саратовской зимней математической школы Современные методы теории функций и смежные проблемы. - Изд-во: Научная книга -2012. - С. 86.

Работы [6], [10] и [11] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Подписано в печать 23.06.2012. Формат 60 х 84/16. Бумага ксероксная. Печать оперативная. Объем -1,0 усл. п. л. Тираж 100 экз. Заказ № 93.

Отпечатано в типографии ООО «Инсома-пресс» 443080, г. Самара, ул. Санфировой, 110 А; тел.: 222-92-40

Введение

1 Фреймы сдвигов и системы экспонент в конечномерных пространствах над полем М, С, 0>р.

1.1 Фреймы сдвигов векторов в унитарном пространстве. Построение, примеры.

1.2 Бесселева граница последовательности.

1.3 Системы экспонент в пространстве С^.34'

1.4 Конструкция фреймов в пространстве над полем р-адических чисел.

Построение фрейма Парсеваля-Стеклова в 0>2.

2 Фреймы сдвигов в Ь2 (М).

2.1 Некоторые операторные соотношения в Ь2 (М).

2.2 Фреймы из целых сдвигов функции.

2.3 Фреймы сдвигов для произвольной числовой последовательности

3 Базисы Рисса, фреймы и бесселевы последовательности экспонент в Ь2 (—7, 7) •

3.1 Предварительные сведения.

3.2 Бесселевы последовательности и фреймы экспонент. Необходимые условия.

3.3 ВИ- и фреймовый радиусы притяжения для числовой последовательности

3.4 Системы весовых экспонент.

Актуальность работы. Наряду с методами классического гармонического анализа в последние десятилетия большое внимание стало уделяться негармоническому анализу, в котором информация (сигналы) представляются в виде рядов по неортогональным или линейно зависимым (избыточным) системам. Такие представления имеют ряд преимуществ: неограниченный объем, возможности выбора оптимальных представлений по разным критериям и т.д. Например, широко используются фреймовые представления для удаления шумов, использующие нетривиальность ядра оператора синтеза.

Понятие фрейма впервые было введено в 1952 году Даффином и Шеффе-ром [47], в связи с изучением негармонических рядов Фурье. Следует отметить, что ранее в работах Бари, Наймарка [32] была развита теория фреймов. В последние годы фреймы получили широкое распространение в различных научных направлениях. В квантовой механике фреймы помогают представлять когерентные состояния. Цифровая обработка сигналов использует фреймы для борьбы с шумами. В общем, фреймы — это "избыточное"множество векторов в гильбертовом пространстве, для которого сохраняется ослабленное равенство Парсеваля-Стеклова. Именно свойство избыточности обеспечивает в цифровой обработке сигналов устойчивость к потерям информации. Базисы Рисса являются фреймами, но образуют лишь малую часть во множестве фреймов. Интерес к фреймам связан с тем, что в отличие от классического базиса в определении фрейма отсутствует требование линейной независимости. что позволяет строить фреймы сколь угодно большого объема. Общая теория фреймов подробно описывается в работах О. Christensen [45]. И. Добеши [18], К. Блаттера [3]. Ряд прикладных задач потребовал изучения фреймов специального вида, таких как фреймы, полученные сдвигами одного элемента гильбертова пространства, а также фреймы комплексных экспонент. Естественной является задача сравнения критериев базисности Рисса и фреймовое™ различных систем, таких как системы сдвигов, системы комплексных экспонент, весовых экспонент. Для того, чтобы применять фреймы, скажем, в цифровой обработке сигналов, желательно, чтобы элементы фрейма обладали похожей структурой, иными словами, являлись когерентными. В этом смысле, целесообразно строить и изучать фреймы, которые получаются из одного элемента некоторого гильбертова пространства при помощи оператора сдвига. Данной задаче посвящены работы О. СИи^епвеп, СНеувИ А.[53], Терехина П.А. [37]. Базисные свойства систем экспонент {егХпХ}п^ изучались на протяжении многих десятилетий и являлись объектами исследований таких выдающихся математиков, как Н. Винер и Р. Пэли [5], Даффин, Шеффер, М.И Кадец [20], А.Ф. Леонтьев [30], А.М Седлецкий [36] и др. В диссертации получены некоторые аналоги этих результатов при замене свойств базисности Рисса на свойства бесселевости и фреймовости соответствующих систем.

Цель работы. Построение фреймов из сдвигов вектора в конечномерном пространстве над полем вещественных чисел; нахождение критерия бесселевости системы векторов, построенной из сдвигов вектора в конечномерном пространстве; исследование систем весовых экспонент в конечномерном пространстве над полем комплексных чисел; нахождение необходимых и достаточных условий на вес, для того, чтобы система весовых экспонент образовывала фрейм, бесселеву систему; определение фрейма для конечномерного пространства над полем р- адических чисел и доказательство основных теорем о фреймовом представление, построение фреймов в пространстве над полем р- адических чисел; исследование систем, образованных с помощью целых и произвольных сдвигов функции в пространстве Ь2 (М) , построение фреймовой последовательности; нахождение критериев фреймовости систем экспонент {егХпХ}пе1, весовых экспонент {д (х) егХпХ}п€1 в пространстве Ь2 (—7г,7г); исследование устойчивости фреймов.

Методика исследований. Использовались методы теории функций и функционального анализа, элементы комплексного анализа и преобразования Фурье.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные.

1. Найдены необходимые и достаточные условия фреймовости и бесселе-вости системы весовых экспонент в конечномерном пространстве.

2. Введено определение фрейма в Д^-мерном пространстве над полем р-адических чисел, построены фреймы Парсеваля-Стеклова и исследованы свойства соответствующих фреймам операторов.

3. Найдены критерии фреймовости и бесселевости системы сдвигов функции в пространстве Ь2 (М).

4. Найдены необходимые условия на последовательность вещественных чисел {Лп}пе%, чтобы соответствующая система экспонент образовывала фрейм, являлась бесселевой.

5. Получены условия на весовую функцию, для того, чтобы соответствующая система весовых экспонент образовывала фрейм, бесселеву последовательность.

6. Введены радиусы притяжения вещественной числовой последовательности {\п}п£%, которые характеризуют устойчивость комплексных экспонент {егХпХ}п£%, как базисов Рисса (фреймов) по отношению к сдвигам чисел Ап. Доказано, что переход от базисов Рисса к фреймам не увеличивает радиус притяжения, что является обобщением классической теоремы Кадеца об

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации могут быть использованы для дальнейшего изучения фреймов сдвигов и экспонент, а также найти применение в частотно-временном анализе.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались на семинарах Самарского государственного университета; на семинарах кафедры Математических моделей и информационных технологий Самарской академии государственного и муниципального управления; на международной конференции "Современные методы теории функций и смежные проблемы "в г. Воронеж (2009, 2011); на международной Саратовской зимней математической школе "Современные проблемы теории функций и их приложения"( 2010, 2012); на седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи"в г. Самара (2010); на 2-ой всероссийской научно-практической конференции "Математическое моделирование, численные методы и информационные системы "в г. Самара (2010); на десятой международной Казанской летней научной школе-конференции в г. Казань (2011);

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в работах автора [7] —[16], [25] — [27]. Статьи [12], [16] и [27] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав и списка литературы. Объем диссертации 120 страниц. Библиографический список содержит 57 наименований.

1. Ахиезер Н.И. Лекции об интегральных преобразованиях / Н.И. Ахие-зер. — X. : Вища школа, 1984. 121 с.

2. Бабенко К.И., О сопряженных функциях/ К.И. Бабенко. Доклады академии наук СССР, в.62, № 2, 1948. С. 157-160.

3. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории / К. Блаттер. — М. : Техносфера, 2004. 280 с.

4. Голубов Б.И. Об аппроксимации свертками и базисах из сдвигов функций / Б.И. Голубов // Analysis Mathematica. — 2008. — № 34. — С. 9-28.

5. Голубева Е.С. Определение фреймов в N-мерном р-адическом пространстве. / Е.С. Голубева // Тезисы докладов 35 Самарской областной студенческой научной конференции. — Из-во Артель —2009. — С. 140-141.

6. Голубева Е.С. Конструкция фреймов в пространстве Q^ . / Е.С. Голубева // Материалы докладов Саратовской зимней математической школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". — Из-во Саратовского университета —2010. — С. 57.

7. Голубева Е.С. Конструкция фреймов над полем р-адических чисел. Фреймовый оператор. / Е.С. Голубева // Вестник Самарского муниципального института управления. — вып.2(13). — Из-во: Самарский муниципальный институт управления —2010. — С. 88-93.

8. Голубева Е.С. Бесселевы системы экспонент {егХпХ}п£% в пространстве Ь2—тт, 7г]. / Е.С. Голубева // Материалы десятой международной Казанской летней научной школы-конференции. — Из-во: —2011. — С. 94-96.

9. Голубева Е.С. Фреймы экспонент со степенным весом / Е.С. Голубева // Вестник Самарского государственного университета .Сер. Естественнонаучная. 2011. - № 2(83) - С. 15-26.

10. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г.Б. Двайт // Наука. 1973. 228 с.

11. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши. — М.-Ижевск : РХД, 2004. 464 с.

12. Зигмунд А. Тригонометрические ряды/ А. Зигмунд, М: Мир — 1965. — 530 с.

13. Кадец М.И. Точное значение постоянной Палея-Винера / М.И. Кадец // Доклады Академии наук СССР 1964, -вып. 155(6) -С. 1253-1254.

14. Каток С.Б. р-адический анализ в сравнении с вещественным / С.Б. Каток ; М. : МЦНМО, 2004. 112с.

15. Кацнельсон В.Э. Обобщение теоремы Винера-Палея о представлении целых функций конечной степени/ В.Э. Кацнельсон // Теория функций, функц. анализ и их прилож. 1965. N® 1. С. 99-110.

16. Кашин B.C. Замечание об описании фреймов общего вида / B.C. Кашин, Т.Ю. Куликова // Матем. заметки. 2002. - Т. 72, вып. 6. - С. 941-945.

17. Кашин Б.С. Ортогональные ряды / B.C. Кашин, A.A. Саакян, Москва АФЦ, 1999. 560 с.

18. Климова Е.С. Системы сдвигов функции. / Е.С. Климова // Материалы Саратовской зимней математической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы". — Из-во:Научная книга —2012. — С. 85.

19. Климова Е.С., Новиков С.Я. Теорема Кадеца об \ и фреймы. / Е.С. Климова, С.Я. Новиков // Материалы Саратовской зимней математической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы". — Из-во:Научная книга —2012. — С. 86.

20. Климова Е.С. Система сдвигов функции / Е.С. Климова // Вестник Самарского государственного университета .Сер. Естественнонаучная. — 2011. № 8(89) - С. 37-45.

21. Козырев С.В. Методы и приложения ультраметрического и р-адического анализа: от теории всплесков до биофизики. / С.В Козырев. Современные проблемы математики вып. 12/Математический институт им. В.А. Стеклова Москва, 2008.С. 3-168.

22. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. — М. : Наука, 1976. — 544 с.

23. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент / А.Ф. Леонтьев — М. :Наука, 1976. — 536 с.

24. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов / С. Малла. — М. : Мир, 2005. — 671 с.

25. Наймарк М.А. Спектральные функции симметрического оператора / М.А. Наймарк // Изв. АН СССР. Сер. Математика. 1940. - Т. 4, № 3. - С. 277-318.

26. Новиков С.Я. Бесселевы последовательности как проекции ортогональных систем / С.Я. Новиков // Математические заметки. — 2007. — Т. 81, вып. 6. С. 893-903.

27. Прэтт У. Цифровая обработка изображений / У. Прэтт ; пер. с англ. Д.С. Лебедев. М. Мир, 1982.

28. Садовничий В.А. Теория операторов : учеб. для вузов с углубленным изучением математики / В.А. Садовничий. — М : Дрофа, 2004. — 384 с.

29. Седлецкий A.M. Аппроксимация свертками и первообразными / A.M. Седлецкий // Математические заметки. — 2006. — Т. 79, вып. 5. — С. 756-766.

30. Терехин П.А. Неравенства для компонентов суммируемых функций и их представление по элементам системы сжатий и сдвигов / П.А. Терехин // Известия вузов. Сер. Математика. —1999 — № 8(447). — С.74-81.

31. Терехин П.А. Базисы Рисса, порожденные сжатиями и сдвигами функции на отрезке / П.А. Трехин // Математические заметки. — 2002. — Т.72, вып. 4. С. 547-560.

32. Терехин П.А. Системы представления и проекции базисов / П.А. Терехин // Математические заметки. — 2004. — Т. 75, вып. 6. — С. 944-947.

33. Терехин П.А. Проекционные характеристики бесселевых систем / П.А. Терехин // Изв. Сарат. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. - № 9:1. - С. 44-51.

34. Фейзер М. Введение в вэйвлеты в свете линейной алгебры / М. Фейзер. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. 487 с.

35. Чуй К. Введение в вейвлеты / К. Чуй. — М. : Мир, 2001.

36. Casazza P.G. The art of frame theory / P.G. Casazza // Taiwanese Journal on Mathematics. 2000. -Vol. 4, № 2. - P. 129-202.

37. Casazza P.G. Density results for frames of exponentials // P.G. Casazza, O. Christensen , S.Li, A. Lindner // Harmonic Analysis and Applications in honor of John Benedetto, C. Heil Ed., - BIrkhauser - 2006 - p.359-370.

38. Christensen O. An Introduction to Frames and Riesz Bases / O. Christensen. — Boston : Birkhauser, 2002.

39. R.J.Duffin, J.J.Eachus Some Notes on an Expansion Theorem of Paley and Wiener // Bull.Amer.Math.Soc. V.48 . - 1942 . - 850-855.

40. Duffin R.J. A class of nonharmonic Fourier serues / R.J. Duffin, A.C. Schaeffer // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. - Vol. 72. - R 341366.

41. C. Heil and Gitta Kutyniok, Density of frames and Shauder bases of windowed exponentials,Houston Jornal of Mathematics, vol .34, No.2, 2008.

42. Kovacevic J. An Introduction to frames / J. Kovacevic, A. Chebira // Foundations and trends in signal processing. — 2008. — Vol. 2, № 1. — P. 1-94.

43. Landau H.J. Necessary density conditions for sampling and interpolation of certain entire functions// Acta Math. —Vol. 117, — 1967, — p.37-52.

44. Levinson N. On non-harmonic Fourier series // Annals of Math. —Vol. 37, — No. 4 , 1936, - p. 919-936.

45. Odell E. Systems formed by translates of one element in Lp (M) // E. Odell, B. Sari, Th. Schlumprecht, B. Zheng//http://www.arxiv.org/abs/0906.1162vl.

46. Olevski A. Completness in L2 (M) of almost integer translates // C.R.Acad.Sci.Paris Ser.I Math. -Vol. 324, 1997, - p. 987-991.

47. Seip K. On the connection between exponential bases and certain related sequences in L2(-tt,tt) . //Funct.Anal. Vol.130, - 1995, -p. 131-160.

48. V.M. Shelkovich and M.Skopina p-adic Haar multiresolution analysis and pseudo-differential operators

49. Young R.M. An introduction to non-harmonic fourier series // Academic Press 1980.

50. Young R.M. On the stability of exponential bases in L2 (—7r, ir)//Proceedings of the AMS 100, -№ 1,- 1987.