Представление фреймов Парсеваля в гильбертовых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На нранах рукописи

РЯБЦОВ ИГОРЬ СЕРГЕЕВИЧ

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФРЕЙМОВ ПАРСЕВАЛЯ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.01 Вещественный, комплексный и функциональный анализ

С ЛЕИ 2012

Аито реферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физнко-матсмагнчсскнх паук

Воронеж 2012

005056247

Работа выполнена ма кафедре функционального анализа и теории функций Самарского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Новиков Сергей Яковлевич, Самарский государственный университет, декан механико-математического факультета

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент Гельман Борис Данилович, Воронежский государственный университет, доцент кафедры математического анализа

доктор физико-математических наук, профессор Тсрёхин Павел Александрович, Саратовский государственный университет, профессор кафедры математического анализа

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет.

Защита состоится 18 декабря па-заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете но адресу: 391006, г. Воронеж. Университетская пл., 1, В ГУ, математический факультет, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан ноября 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22,

доктор физ.-мат. наук,

профессор Гликлих Ю.Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В последние десятилетия наряду с классическим гармоническим анализом активно развивается негармонический, в котором большое внимание уделяется изучению фреймов - липсйпо-завиеимых полных систем векторов.

Понятие фрейма было введено в 1952 г. в работе авторов R..J. Duffm и A.C. Schacffer, посвященной негармоническим рядам Фурье. Однако, до па-чала 90-х родов фреймы были малоизвестны, число публикаций по этой теме исчислялось единицами. Из ранних работ, посвященных фреймам, можно отмстить книги и статьи R. Young, I. Daubechics, А. Grossmann, Y. Meyer, С. Heil, D. Walnut. С появлением и развитием теории всйвлстов ситуация изменилась, и теория фреймов стала бурно развиваться. Большое число исследовательских групп активно работают в этом направлении, среди которых можно отметить такие, наиболее крупные, как Frame Research Center в университете Миссури и NUHaG в университете Вены. Ежегодно публикуются сотни работ, посвященных фреймам.

Фреймы нашли широкое применение в цифровой обработке сигналов и изображений, в кодировании и сжатии информации, в разработке фильтров для удаления различных шумов, в квантовой механике. Такой интерес к фреймам связан с отсутствием требования линейной независимости. С одной стороны, это позволяет строить фреймы сколь угодно большого объема и сколь угодно большой избыточности. Эти свойства фреймов имеют определенную ценность для многих прикладных задач, так как избыточность фрейма позволяет восстановить исходный сигнал, даже если при передаче некоторые из его коэффициентов разложения были потеряны, искажены или за-шумлсиы. С другой стороны, любой элемент гильбертова пространства можно разложить по фрейму, причем, в общем случае, разложение не является единственным, а, следовательно, существует возможность выбирать коэффициенты разложения, налагая па них дополнительные ограничения. Это свойство, в частности, используется в сравнительно попой парадигме цифровой обработки сигналов иод названием Compressed Sensing. Нетривиалыгость ядра оператора синтеза фрейма дает возможность устранять шумы полностью, если они целиком попадают в это ядро.

Особое место занимают фреймы в помехоустойчивом кодировании. При этом известно, что оптимальными фреймами в задачах помехоустойчивого кодирования являются жёсткие фреймы, в частности, равномерные фреймы Парсеваля, поскольку они обеспечивают максимально возможное подавление шума при заданной избыточности. Кроме того, использование жестких фреймов предпочтительно сточки зрения вычислительной сложности - операция обращения фреймового оператора для таких систем является тривиальной.

Несмотря на то, что построение произвольных фреймов Парсеваля не является сложным, задача построения равномерных фреймов Парсеваля является отнюдь не тривиальной. Поиск новых методов решения этой задачи является актуальным, па текущий момент, и будет затронут в диссертационной работе.

Важной областью исследований является изучение свойств подсистем фреймов. С прикладной точки зрения эта задача интересна, поскольку она позволяет анализировать устойчивость фрейма к потерям фреймовых коэффициентов при передаче. В теоретическом плане эта задача также важна. Одна из переформулировок проблемы Кадиссона-Зингера, так называемая гипотеза Фейхтингсра и сё конечномерные аналоги, связаны со свойствами разбиений произвольных фреймов и фреймов Парсеваля.

Цель работы. Исследование возможности получения новых фреймов из произвольного фрейма при помощи изменения норм векторов; поиск условий, при которых из фрейма Парсеваля можно получить новые фреймы Парсеваля; анализ структурных свойств фреймов Парсеваля под действием изменений норм их векторов; поиск новых конструктивных методов построения жестких фреймов с заданными характеристикам, в частности, равномерных фреймов Парсеваля; определение: и описание класса простых фреймов Парсеваля; анализ основных свойств классов простых и составных фреймов Парсеваля, а также инвариантных преобразований этих классов; получение конкретных конструкций простых фреймов Па.рссваля в конечномерных и бесконечномерных пространствах; поиск необходимых, достаточных условий, а также критериев простоты фреймов Парсеваля;

Методика исследований. Использовались методы теории функций и функционального анализа, элементы линейной алгебры и теории операторов.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них можно выделить следующие, наиболее важные:

1. Введены и описаны классы простых н составных фреймов Парсеваля в гильбертовых пространствах.

2. Получен новый метод построения фреймов Парсеваля с заданными характеристиками, который значительно проще существующих подходов. При этом для конечных фреймов метод является универсальным, с его помощью возможно получить любой фрейм Парсеваля.

3. Найдены конкретные конструкции простых фреймов Парсеваля на основе равноугольных и блочных фреймов.

4. Доказана ограниченность числи векторов простых конечных фреймов Парсеваля в .

5. Получены достаточные условия простоты конечных фреймов Парсеваля в конечномерных пространствах.

6. Доказан ряд критериев простоты фреймов Парсеваля в различных терминах.

7. Описаны топологические и проекционные свойства множества простых фреймов в ¿2 ■

Практическая и теоретическая значимость. Работа, носит теоретический характер. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения жёстких фреймов в конечномерных и бесконечномерных пространствах. Результаты, полученные I! диссертации, могут быть использованы для построения жестких фреймов с заданными свойствами, а также найти применение в цифровой обработке сигналов.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались па семинарах Самарского государственного университета; на семинаре кафедры высшей математики Сапкт-Персбургского государственного университета; на второй международной конференции «Математическая физика и сё приложения» в г. Самара, 2010 г.; на международной конференции «Современные методы теории функций и смежные проблемы» в г. Воронеж, 2011 г.; на десятой международной Казанской летней

научной школе-конференции, 2011 г.; на конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» и г. Самара, 2011 г.; на международной научной студенческой конференции в г. Новосибирск, 2011, 2012 гг.; на международной Саратовской зимней математической школе «Современные проблемы теории функций и их приложения», 2012 г.; па международной конференции "Wavelets and Applications" и г. Санкт-Петербург, 2012 г.

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в работах автора (1-16]. Из совместной работы (14] в диссертацию вошли только результаты, полученные лично автором. Статьи (2,8,13,14] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ.

Структура и об-ьём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Объем диссертации 107 страниц. Библиографический список содержит 71 наименование.

Содержание диссертации

Во введении описана краткая история возникновения проблемы данного исследования, обосновывается актуальность выбранной темы исследования, его связь с прикладными задачами. Далее формулируется ряд качественных вопросов, которые изучаются в данной работе, и ответы на которые приводятся в исследовании.

В первой главе рассматривается общая теория фреймов в сенарабсльных гильбертовых пространствах над вещественным полем, специфические свойства конечномерных фреймов, описываются основные свойства фреймового потенциала и его значение в характернзации жёстких фреймов, исследуется класс равноугольных фреймов.

Пусть Н — полное сеиарабелыюс пространство, наделённое скалярным произведением (•,•) и согласованной нормой ||а;|| = \J(х,х), аХ - конечное или бесконечное множество индексов. В силу изоморфизма сенарабсльных гильбертовых пространств, не ограничивая общность, можно рассматривать исключительно пространства и £2■

Определение 1.5 Набор элементов F = {/¿},<=i пространства Н называется фреймом, если существуют константы Л, В > 0 такие, что для всех

С

х из Н выполнено двойное неравенство

А\\х\\2<52\(Х,/{)\2<В\\Х\\*.

IеХ

Числа А п В называются соответственно нижней и верхней границами фрейма. Множество фреймов в пространстве Н с границами А и В будет обозначать Укажем некоторые специальные классы фреймов.

Определение 1.6 Фрейм Р = {/,};61 называется равномерным, если существует константа Ь > О такая, что Уг е X верно ||/,|| = Ь. Определение 1.7 Фрейм Г = {/¿},ет называется нормированным, если Уг 6 I верно || /¿|1 = 1.

Определение 1.8 Фрейм = {/¿};е! называется ограниченным, если существует константа 8 > 0 такая, "сто Уг 6 Т верно > <5. Определение 1.9 Назовём фрейм F = {/;}усх жестким, если можно выбрать границы фреймы так, ■что А — В.

Определение 1.10 Назовём фрейм /Р = {.А},с! фреймом Парсеваля, если

У х€Н, ¿2\(х,/д\2=\\х\\2. «6т

Множество фреймов Парссваля в пространстве Л будем обозначать

а подмножество ограниченных фреймов Парссваля ВТ1 У-(ТС)-Рассмотрим произвольный фрейм Р = в пространстве Н.

Определение 1.12 Будем называть оператором синтеза фрейма линейное отображение следующего вида

«ег

Оператор синтеза фрейма будем обозначать 7' вупиюн-ч (У71). Рассмотрим класс равноугольных фреймов над вещественным полем, который имеет не только теоретическое, по и прикладное значение. Определение 1.17 Нормированную систему векторов = про-

странства £2 назовём равноугольной, если для некоторой константы с 6 [0,1) верно равенство

[с, гф].

Теорема 1.9 Пусть Р — -- произвольная равноугольная система

векторов в пространстве ^, тогда

2

Важным частным случаем равноугольных фреймов являются жесткие фреймы, при этом являющиеся равноугольными. Класс таких фреймов в пространстве будем обозначать

Во второй главе определяются и рассматриваются два непересекающихся класса фреймов — простые и составные фреймы Парссваля, объединение которых образует все множество фреймов Парссваля. Глава посвящена описанию основных свойств простых и составных фреймов, формулировке необходимых и достаточных условий принадлежности произвольного фрейма Парссваля этим классам, поиску конструкций простых фреймов в различных пространствах. Основным результатом главы является теорема, которая показывает, что любой конечный фрейм Парссваля может быть получен исключительно при помощи простых фреймов Парссваля. Определение 2.1 Назовём фрейм Р — {/,:},6Е ТТ[^Н) составным, если существует набор констант такой, что

1. Система векторов Ра = {о;,-/,'};ех 6 ТТ^Н),

2. Существует индекс к а! такой, что а= О,

3. Существует индекс I е X такой, что с/ = ¡пГ сц,

¡61 о^О

4- Существует индекс Ь 6 1 такой, что сц = .чир а,.

¡61

Будем полагать, что все а> 0. В дальнейшем будет показано, что это никак не отражается на определении составного фрейма. Определение 2.2 Назовём фрейм Р = {/,} ,ех е ТЗ^СН) простым, если он не является составным.

Множество составных фреймов Парссваля в пространстве И будем обозначать СРТ{П), а простых

В работе получено ограничение па объем простого фрейма Парссваля, аналогичное ограничению на объём равноугольного фрейма в теореме 1.9. Теорема 2.1 Если Г = {/¿}?£1 6 VI3 то имеет место следуплцее

ограничение числа векторов

Сформулируем критерий простоты произвольного фрейма Парссваля в операторной форме.

Теорема 2.3 Пусть F = {/¿}ieI е VT{U), а Т = synthesis (F). Тогда следующие два условия эквивалентны

(г) F е CVT{4).

(ii) Существует диагональный оператор D : £<ц{Т) ¿<¿{2), при этом верны утверэ/сдения:

1. Оператор D строго положителен, ограничен и является инъекцией,

2. TD'2T* = I,

3.

Рассмотрим произвольное гильбертово пространство И Пусть F = {/;};ех ~ произвольная система векторов из Н, а А вещественный скаляр. Условимся использовать сокращение AF = {A/j},-6j.

Выберем произвольный вектор h €7i такой, что ЦАЦ = 1. Определение 2.4 Если -- набор ненулевых констант, удовлетво-

ряющий условию

то систему векторов вида Я - {И^}^, где = о,/1 для всех] 6 3, будем называть классом коллинеарных векторов.

Определение 2.5 Будем называть вектор Л нормальным элементом класса Н и использовать для пего следущее обозначение М{П) ----- /1.

На множестве всех классов коллинеарных векторов определим следующий оператор

jeJ

Рассмотрим произвольный фрейм F = {/¡};6z, который может содержать попарно коллинеариые вектора. Разделим множество индексов I на непересекающиеся классы {Тк}ксХ так, что I = U Zk-

к€.1С

Множество векторов фрейма F разбивается па классы коллипеарных векторов Нк = {fv}peik, F = (U./7t.

На множестве всех фреймов определим следующий оператор

FW) = un(Ih).

Определение 2.6 Пусть {F/Jte/c — множество фреймов пространства И с границами {Аа J^g/c и {Вк}ке£, причём

Ак < оо, В,: < оо .

кеХ

Тогда определим фреймовое объединение мпоэюеетва {Fk}keK. следующим образом

U {{ЛгЬек:) = ТП '

При это границы А и В полученного фрейма U {{Fk}ke>c) можно оцепить следующим образом

]Г Ак<А<В<^Вк.

к<=К ' к<-_К

Определение 2.7 Пусть {Fk}kzK: — мноэ/сество фреймов Парсеваля про-странстваН. Выберем некоторый набор положительных весов {Ак}кек такой, что ^^А\ = 1. Взвешенным фреймовым объединением множества keic

{Fk}keic фреймов с весами {А*}*6к назовём следующий фрейм Парсеваля

WU ({Ffc}t€C , {Ajt>*.ejc) = W ({А^-}ше) .

При этом требования определения 2.6 автоматически выполнены, и фреймовое объединение всегда имеет смысл.

Центральным результатом работы является следующая теорема о представлении произвольного фрейма Парсеваля.

Теорема 2.5 Любой фрейм Парсеваля F — {/¡}iei £ CPTi^i), не содер-эюащий коллипеарных векторов, можно представить в виде взвешенного

фреймового объединения двух фреймов Парсеваля вида

F=WU{{Fn,F^,{Xtt, А/;}), при этом будут верпы следующие утверждения: 1■ Fa = {aJijiçj е VT{U) и F0 = {Pifi},sx e VT{H),

2. Существует индексы 1,1' e 1, такие, что сц — inf au fo = inf Д:

ici ici "

it,/!) p„io

3. Существует индексы t,t' 6 I такие, что at = вира,, f3v == sup

>6î ¡ei

«г/» д/о

4. Для пары наборов {o;}iej и {/J;},:ez существуют индексы k, k' € I, такие что k ф к', при этом ак = (3, ¡Эк ф 0, ак> ф 0, рк' = О,

5. Ха ф О и Хц ф О (разумеется A(2t + Л^ ==

Свойство 2.10 Если, в формулировке теоремы. .2.5 дополнительно предположить, что F = {fi}ieX е CVT{H) nBVf(n), то Fm Ffi e BVFÇH). Теорема 2.6 Любой фрейм Парсеваля F == € VT(t%), который не

codepoicum. к.оллгшеарных векторов, молено представить в виде взвешенного фреймового объединения конечного числа простых фреймов Парсеваля. Иными словами, существует константа К ç N, для которой найдутся фреймы Fu... FK e VVT{i%) и ненулевые веса А1;..., Ад- (сумма квадратов весов равна единице) такие, что

F = WU{{Fk)llt{ Л*}*=1).

В работе получены некоторые конструкции простых фреймов Парсеваля. Определение 2.8 Пусть G = {i/,}f'1 G £TF{t%) с «углом» c. € (0,1). Назовём равноугольным фреймом Парсеваля систему F — {/¡}?1, € где

1<»<М.

Теорема 2.8 Любой равноугольный ф>рсйм Парсеваля F = {/¡}fl, является простым.

Теорема 2.9 Пусть {/'*}£„ ! множество фреймов, которые будем называть блоками, таких, чтоУк е {1,..., К) верны утвер-ждеиия

1. Р^Гл.вЛФ),

2. = Мк< оо.

Для удобства введем следующие обозначения

К К

к=1 *=1

Тогда система векторов Р = с оператором синтеза следующего вида

(Ъ 0 ••• о\

О Т2

\ 0 0 • •• Тк)

будет блочным фреймом в пространстве с оптимальными границами А = гшп Ак , В = тах В*.- •

Теорема 2.10 Пусть {Рк}ке/с — бесконечное множество фреймов, которые будем называть блоками, таких, что

1. Рк е ГлМ*2к)> 6 ^ а. = Л4 < оо, у/с е /с,

3. Ы Лк > о,

кеК

4. яир Вк < оо. кеК

Для удобства введём обозначение 7* = вупШс^Я.). Тогда система векторов F = {/¡};ех с оператором синтеза следующего вида

(тх о о - Д

О Т2 о •■ О О Тз ••

будет блочным фреймом в пространстве с оптимальными границами

А= Ы Ак, В = зир Вк. ке>с ке/с

Г = (Ьав({Т*Ь6/с)

Теорема 2.11 Если для всех к € 1С блоки Р^ являются простыми фреймами Парсеваля, то блочный фрейм Р также является простым фреймом Парсеваля в конечном или бесконечнолщлиш пространстве ~Н.

В третьей главе описываются свойства простых и составных фреймов Парсеваля в конечномерных пространствах: достаточные условия н критерии простоты, топологические и проекционные свойства.

Для начала рассмотрим критерии, полученные в данной работе. Введём матрицу У(Р) для Р = {/„•}££, 6 РТ{1^) следующего вида

Следствие 3.2 Блочный фрейм Р € является простым тогда и

только тогда, когда все его блоки являются простыми фреймами,

Парсеваля.

В работе доказан ряд достаточных условий простоты фреймов Парсеваля. Введем величину взаимной когерентности векторов фрейма Р — {/г}^ € ТТ^) 110 формуле

Теорема 3.2 Если для произвольного фрейма Р {/¡}?1] 5 Т>Т((!Ц) выполнено неравенство /^*(F) < 1/\Л/У, то фрейм Р 6 РРТ^)-Теорема 3.3 Если для произвольного фрейма Р = {/¡}££( 6 РТ^), выполнено неравенство ||/, || > 1/\/2, то фрейм Р €

Теорема 3.4 Если для произвольного фрейма Р = 6 верно

равенство М = N + 1, то фрейм Р е РРТ{1%).

Перейдём к топологическим свойствам простых и составных фреймов Пар-

севаля. Пусть Р = {/,;}?£, 6 РТ и О = {<*}& 6 ТТ (#). Определим

1- Р = Шм е "РРН®)-

2. det К(^) ф 0.

^(0 = тах|</;,/;>|.

расстояние между фреймами Р и G следующим образом p(F,G)= max ||/4-Si||.

Следующая теорема показывает, что множество простых фреймов Парсеваля является открытым в смысле введённого расстояния. Теорема 3.5 Пусть F б Р'РТ Тогда существует некоторая константа е(Р) > 0 такая, что для любого G £ VJ-' при р (F, G) < £ автоматически верно и G е VP.F (£'2).

В работе приводится расширение теоремы Наймарка, которое является критерием простоты произвольного фрейма Парсеваля. Теорема 3.6 Пусть F = {fi}?h € VF и Р - фиксированный оргпопро-ектор из в ■ По теореме Наймарка, существует ортонормированный базис {ejfli такой, что Ре, =- /j при всех 1 < г < М. В этом случае следующие два условия эквивалентны

(г) F е CVT (¿2) ■

(и) Существует произвольная полная ортогональная система {Ы}^ такая, что Phi = fi и hi 0 при всех 1 < г < М, а также 3 k : ||/ifc|| ^ 1.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Рябцов. И.С. Алгоритм нахождения коэффициентов фреймового представления с наименьшей ¿^-нормой / И.С. Рябцов // Тезисы докладов XXXIV самарской областной студенческой научной конференции. Часть I. Общественные, естественные и технические науки. — 2008. — С. 111.

¡2] Рябцов. И.С. О представлении фреймов Парсеваля / И.С. Рябцов // Вести. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. пауки. 2(23). 2011. С. 194-199.

[3] Рябцов. И.С. О представлении фреймов Парсеваля / И.С. Рябцов // Материалы Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы». Издательство Воронежского государственного университета. -- 2011. — С. 292-293.

[4] Рябцов. И.С. О некоторых свойствах представления фреймов Парсеваля / И.С. Рябцов // Материалы десятой международной Казанской

летней научной школы-конференции «Теория функций, её приложения и смежные вопросы», труды Математического центра им. Н И. Лобачевского. Издательство Казанского математического общества, издательство Казанского государственного университета. 2011. Т. 43. С. 309 311.

[5] Рябцов. И.С. О представлении фреймов Парссваля / И.С. Рябцов // Материалы Х1ЛХ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Сер. Математика, Новосибирский гос. ун-т., Новосибирск. Рсдакциопио-издательский центр НГУ. 2011. С. 110.

[6] Рябцов. И.С. О некоторых свойствах представления фреймов Парссва-ля / И.С. Рябцов // СамДнф-2011 : конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», г. Самара, 26-30 июня 2011 г. Тезисы докладов. Самара : Издательство «Уннвсрс групп». 2011. С. 99 100.

[7] Рябцов. И.С. О некоторых свойствах представления фреймов Парссва-ля / И.С. Рябцов // Материалы IV Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования», Воронеж, 12 17 сентября 2011 г. - Издатсльско-полиграфический центр Воронежского государственного университета. 2011. С. 254 255.

[8] Рябцов. И.С. О представлении фреймов Парссваля в гильбертовых пространствах /' И.С. Рябцов //' Вестник Самарского государственного университета. Сер. Естественнонаучная. 2011. 5(80). С. 00- 70.

[9] Рябцов. И.С. Критерий простоты фрейма Парссваля / И.С. Рябцов // Материалы 10-ой Саратовской зимней школы «Современные проблемы теории функций и их приложения». Саратов : ООО Издательство «Научная книга». 2012. С. 147-148.

[10] Рябцов. И.С. Необходимые и достаточные условия простоты фреймов Парссваля / И.С. Рябцов // XX Международная конференция «Математика. Экономика. Образование». VII международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». VI Междисциплинарный семинар «Фундаментальные проблемы информационных и коммуникационных технологий».

Тезисы докладов. Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ, Ростов п/Д. 2012. .....

С. 33 34.

[11] Рябцов. И.С. Некоторые свойства простых фреймов Парссваля / И.С. Рябцов // Современные проблемы математики : тезисы Международной (43-ей Всероссийской) молодежной школы-конференции. Екатеринбург : Институт математики и механики УрО РАН. — 2012. - С. 259-2G0.

[12] Рябцов. И.С. Критерий простоты фрейма Парссваля / И.С. Рябцов // Материалы Юбилейной 50-ой международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Сер. Математика, Новосибирский гос. ун-т., Новосибирск. - 2012. - С. 99.

|13] Рябцов. И.С. Необходимые и достаточные условия простоты фреймов Парссваля ,/ И.С. Рябцов //' Вестник Самарского государственного университета. Сер. Естественнонаучная. - 2012. 4(95). - С. 42—48.

[14| Ryabtsov I.S. Optimization of Frame Representations for Compressed Sensing and Mercedes-Bcnz Frame / S.Ya. Novikov, I.S. Ryabtsov ,// Selected topics of mathematical physics and p-adic analysis, Collected papers, Tr. Mat. Inst. Stcklova, 265, MAIK Nauka/Intcrpcriodica, Moscow. 2009. P. 211 219.

[15] Ryabtsov I.S. An equivalence to Parscval frames / I.S. Ryabtsov // The Second International Conference "Mathematical Physics and its Applications". Samara. "Kniga!1 publisher. 2010. - P. 365.

[16] Ryabtsov I.S. Prime Frame Criterion / I.S. Ryabtsov // The international conference "Wavelets and Applications, July 8 15, 2012, St. Petersburg, Russia." Abstracts. 2012. P. 85-87.

Статьи [2,8,13,14] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых

научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Министерства образования и пауки РФ.

Подписано в мечап. 13.11.12. Формат 60*84 '/,6. Усл. печ. л. 0,93.

Тираж 100 экз. Заказ 1049.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Иэдательско-полиграфичеекого центра Воронежскою i-осударственного университета.

394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Введение

1 Фреймы в гильбертовых пространствах

1.1 Определения и основные свойства фреймов.

1.2 Фреймы и связаные с ними операторы.

1.3 Фреймовый потенциал.

1.4 Равноугольные фреймы.

2 Классы простых и составных фреймов Парсеваля в пространствах произвольной размерности

2.1 Основные свойства простых и составных фреймов Парсеваля

2.2 Взвешенное фреймовое объединение фреймов Парсеваля

2.3 Представление составных фреймов Парсеваля.

2.4 Конструкции простых фреймов Парсеваля.

3 Простые фреймы Парсеваля в конечномерных пространствах

3.1 Критерии простоты фреймов Парсеваля.

3.2 Достаточные условия простоты фреймов Парсеваля.

3.3 Топологические свойства простых фреймов Парсеваля

Актуальность темы. В последние десятилетия наряду с классическим гармоническим анализом активно развивается негармонический, в котором большое внимание уделяется изучению фреймов — линейно-зависимых полных систем векторов.

Понятие фрейма было введено в 1952 г. в работе R.J. Duffin и A.C. Schaeffer [51], посвященной негармоническим рядам Фурье. Однако, до начала 90-х годов фреймы были малоизвестны, число публикаций по этой теме исчислялось единицами. Из ранних работ, посвящённых фреймам, можно отметить книги и статьи R. Young, I. Daubechies, А. Grossmann, Y. Meyer, С. Heil, D. Walnut. С появлением и развитием теории вейвлетов ситуация изменилась, и теория фреймов стала бурно развиваться [1,3,7,31,56]. Большое число исследовательских групп активно работают в этом направлении, среди которых можно отметить такие наиболее крупные, как Frame Research Center в университете Миссури и NUHaG в университете Вены. Ежегодно публикуются сотни работ, посвящённых фреймам.

Фреймы нашли широкое применение в цифровой обработке сигналов и изображений, в кодировании и сжатии информации, в разработке фильтров для удаления разного рода шумов, в квантовой механике [7,13,66]. Такой интерес к фреймам связан с отсутствием требования линейной независимости. С одной стороны, это позволяет строить фреймы сколь угодно большого объема и сколь угодно большой избыточности. Эти свойства фреймов имеют определенную ценность для многих прикладных задач, так как избыточность фрейма позволяет восстановить исходный сигнал, даже если при передаче некоторые из его коэффициентов разложения были потеряны, искажены или зашумлены. С другой стороны, любой элемент гильбертова пространства можно разложить по фрейму, причём, в общем случае, разложение не является единственным, а, следовательно, существует возможность выбирать коэффициенты разложения, налагая на них дополнительные ограничения. Это свойство, в частности, используется в сравнительно новой парадигме цифровой обработки сигналов под названием Compressed Sensing [52]. Нетривиальность ядра оператора синтеза фрейма даёт возможность устранять шумы полностью, если они целиком попадают в это ядро.

Особое место занимают фреймы в помехоустойчивом кодировании [57]. При этом известно, что оптимальными фреймами в задачах помехоустойчивого кодирования являются жёсткие фреймы, в частности, равномерные фреймы Парсеваля, поскольку они обеспечивают максимально возможное подавление шума при заданной избыточности [50]. Кроме того, использование жёстких фреймов предпочтительно с точки зрения вычислительной сложности — операция обращения фреймового оператора для таких систем является тривиальной.

Несмотря на то, что построение произвольных фреймов Парсеваля не является сложным, задача построения равномерных фреймов Парсеваля является отнюдь не тривиальной [36,47,48]. Поиск новых методов решения этой задачи является актуальным на текущий момент, и будет затронут в диссертационной работе.

Важной областью исследований является изучение свойств подсистем фреймов [37]. С прикладной точки зрения эта задача интересна, поскольку она позволяет анализировать устойчивость фрейма к потерям фреймовых коэффициентов при передаче. В теоретическом плане эта задача также важна. Одна из переформулировок проблемы Кадиссона-Зингера, так называемая гипотеза Фейхтингера и её конечномерные варианты [41,43], связаны со свойствами разбиений произвольных фреймов и фреймов Парсеваля.

Цель работы. Исследование возможности получения новых фреймов из произвольного фрейма при помощи изменения норм векторов; поиск условий, при которых из фрейма Парсеваля можно получить новые фреймы Парсеваля; анализ структурных свойств фреймов Парсеваля под действием изменений норм их векторов; поиск новых конструктивных методов построения жёстких фреймов с заданными характеристикам, в частности, равномерных фреймов Парсеваля; определение и описание класса простых фреймов Парсеваля; анализ основных свойств классов простых и составных фреймов Парсеваля, а также инвариантных преобразований этих классов; получение конкретных конструкций простых фреймов Парсеваля в конечномерных и бесконечномерных пространствах; поиск необходимых, достаточных условий, а также критериев простоты фреймов Парсеваля;

Методика исследований. Использовались методы теории функций и функционального анализа, элементы линейной алгебры и теории операторов.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них можно выделить следующие, наиболее важные:

1. Введены и описаны классы простых и составных фреймов Парсеваля в гильбертовых пространствах.

2. Получен новый метод построения фреймов Парсеваля с заданными характеристиками, который значительно проще существующих подходов. При этом для конечных фреймов метод является универсальным, с его помощью возможно получить любой фрейм Парсеваля.

3. Найдены конкретные конструкции простых фреймов Парсеваля на основе равноугольных и блочных фреймов.

4. Доказана ограниченность числа векторов простых конечных фреймов Парсеваля в •

5. Получены достаточные условия простоты конечных фреймов Парсеваля в конечномерных пространствах.

6. Доказан ряд критериев простоты фреймов Парсеваля в различных терминах.

7. Описаны топологические и проекционные свойства множества простых фреймов в £2 •

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения жёстких фреймов в конечномерных и бесконечномерных пространствах. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы для построения жёстких фреймов с заданными свойствами, а также найти применение в цифровой обработке сигналов.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались на семинарах Самарского государственного университета; на семинаре кафедры высшей математики Санкт-Перебургского государственного университета; на второй международной конференции «Математическая физика и её приложения» в г. Самара, 2010 г.; на международной конференции «Современные методы теории функций и смежные проблемы» в г. Воронеж, 2011 г.; на десятой международной Казанской летней научной школе-конференции, 2011 г.; на конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» в г. Самара, 2011 г.; на международной научной студенческой конференции в г. Новосибирск, 2011, 2012 гг.; на международной Саратовской зимней математической школе «Современные проблемы теории функций и их приложения», 2012 г.; на международной конференции "Wavelets and Application^' в г. Санкт-Петербург, 2012 г.

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в работах автора [14-26,62-64]. Из совместной работы [62] в диссертацию вошли только результаты, полученные лично автором. Статьи [15,21,26,62] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Объем диссертации 107 страниц. Библиографический список содержит 71 наименование.

1. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории / К. Блаттер. — М. : Техносфера, 2004. - 280 с.

2. Глазман И.М. Конечномерный линейный анализ / И.М. Глазман, Ю.И. Любич. М. : Наука, 1969.

3. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши. — М.-Ижевск : РХД, 2004. 464 с.

4. Кашин B.C. Замечание об описании фреймов общего вида / Б.С. Кашин, Т.Ю. Куликова // Матем. заметки. 2002. - Т. 72, вып. 6. - С. 941-945.

5. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. — М. : Наука, 1976. — 544 с.

6. Лапшина М.А. Выравнивание норм в строках ортогональной матрицы и равномерные фреймы / М.А. Лапшина // Вестник Самарского государственного университета. Сер. Естественнонаучная. — 2009. — № 2(68). — С. 51-59.

7. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов / С. Малла. — М. : Мир, 2005. — 671 с.

8. Малоземов В.Н. Равноугольные жесткие фреймы / В.Н. Малозе-мов, А.Б. Певный // Проблемы математического анализа. — 2009. — Вып. 39. С. 3-25.

9. Избранные главы дискретного гармонического анализа и геометрического моделирования / под. ред В.Н. Малоземова. — Санкт-Петербург, 2009. 584 с.

10. Новиков С.Я. Бесселевы последовательности как проекции ортогональных систем / С.Я. Новиков // Математические заметки. — 2007. — Т. 81, вып. 6. С. 893-903.

11. Прэтт У. Цифровая обработка изображений / У. Прэтт ; пер. с англ. Д.С. Лебедев. М. Мир, 1982.

12. Рябцов. И.С. О представлении фреймов Парсеваля / И.С. Рябцов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2(23). — 2011. — С. 194-199.

13. Рябцов. И.С. О представлении фреймов Парсеваля / И.С. Рябцов // Материалы Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы». Издательство Воронежского государственного университета. — 2011. — С. 292-293.

14. Рябцов. И.С. О представлении фреймов Парсеваля в гильбертовых пространствах / И.С. Рябцов // Вестник Самарского государственного университета. Сер. Естественнонаучная. — 2011. — 5(86). — С. 60—70.

15. Рябцов. И.С. Критерий простоты фрейма Парсеваля / И.С. Рябцов // Материалы 16-ой Саратовской зимней школы «Современные проблемы теории функций и их приложения». — Саратов : ООО Издательство «Научная книга». — 2012. — С. 147-148.

16. Рябцов. И.С. Критерий простоты фрейма Парсеваля / И.С. Рябцов // Материалы Юбилейной 50-ой международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Сер. Математика, Новосибирский гос. ун-т., Новосибирск. — 2012. — С. 99.

17. Рябцов. И.С. Необходимые и достаточные условия простоты фреймов Парсеваля / И.С. Рябцов // Вестник Самарского государственного университета. Сер. Естественнонаучная. — 2012. — 4(95). — С. 42—48.

18. Садовничий В.А. Теория операторов : учеб. для вузов с углубленным изучением математики / В.А. Садовничий. — М : Дрофа, 2004. — 384 с.

19. Терехин П.А. Системы представления и проекции базисов / П.А. Тере-хин // Математические заметки. — 2004. — Т. 75, вып. 6. — С. 944-947.

20. Фейзер М. Введение в вэйвлеты в свете линейной алгебры / М. Фейзер. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. — 487 с.

21. Хорн Р. Матричный анализ / Р. Хорн, Ч. Джонсон. — М. : Мир, 1989. — 655 с.

22. Чуй К. Введение в вейвлеты / К. Чуй. — М. : Мир, 2001.

23. Balan Excess of Parseval Frames / R. Balan, P.G. Casazza, C. Heil, Z. Landau // SPIE Wavelets Applications in Signal and Image Processing XI. 2005. - Vol. 5914.

24. Benedetto J.J. Finite normalized tight frames / J.J. Benedetto, M.C. Fickus // Advances in Computational Mathematics, Frames. — 2003. — Vol. 18. P. 357-385.

25. Benedetto J.J. Geometric properties of Grassmannian frames forR2 and R3 / J.J. Benedetto, J. Kolesar // EURASIP J. Applied Signal Processing 2006.

26. Bodmann B.G. When are frames close to equal-norm Parseval frames? / B.G. Bodmann, P.G. Casazza // Wavelets XIII, Proceedings of the SPIE. — 2009. Vol. 7446.

27. Bodmann B.G. The road to equal-norm Parseval frames / B.G. Bodmann, P.G. Casazza // Journal of Functional Analysis. — 2010. — Vol. 258. — P. 397-420.

28. Bodmann B.G. Spanning and independence properties of frame partitions / B.G. Bodmann, P.G. Casazza, V.I. Paulsen, D. Speegle // Proceedings of AMS 140. No. 7. - 2012. - P. 2193-2207.

29. Casazza P.G. The art of frame theory / P.G. Casazza // Taiwanese Journal on Mathematics. 2000. -Vol. 4, № 2. - P. 129-202.

30. Casazza P.G. A brief introduction to Hilbert space frame theory and its applications / P. G. Casazza, J. C. Tremain // Department of Mathematics, University of Missouri, Columbia, MO 65211-4100, URL: http://framerc.org

31. Casazza P.G. The Kadison-Singer Problem / P. G. Casazza, J. C. Tremain // in Mathematics and Engineering, Proceedings of the National Academy of Sciences, Vol. 103 No. 7 (2006) 2032-2039.

32. Casazza P.G. Equivalents of the Kadison-Singer Problem / P.G. Casazza, D. Edidin // Contemp. Math. 435 (2007). P. 123-142.

33. Casazza P.G. Real Equiangular Frames / P. G. Casazza, D. Redmond, J. C. Tremain // CISS Meeting Information Sciences and Systems, Princeton, NJ, 2008.

34. Casazza P.G. Frames and the Kadison-Singer Problem / P. G. Casazza, G. Kutyniok, D. Larson and D. Speegle // Preprint. URL: http://framerc.org

35. Casazza P.G. Frames with a given frame operator / P.G. Casazza, M. Leon. — www.math.missouri.edu/~pete/

36. Casazza P.G. Existence and construction of finite tight frames /P.G. Casazza, M. Leon // J. Concr. Appl. Math. 2006. - Vol. 4. - P. 277-289.

37. Casazza P.G. Classes of Finite Equal Norm Parseval Frames /P.G. Casazza, N. Leonhard // Contemp. Math. 2008. - Vol. 451. - P. 11-31.

38. Casazza P.G. Custom Building Finite Frames / P.G. Casazza // Contemporary Math. 2004. - Vol. 345. - P. 61-86.

39. Casazza P.G. The known equal norm Parseval frames as of 2005 / P.G. Casazza, N. Leonhard // Technical Report, University of Missouri. — 2005.

40. Casazza P.G. Constructing infinite tight frames / P.G. Casazza et al.]. — www.math.missouri.edu/~pete/

41. Christensen O. An Introduction to Frames and Riesz Bases / O. Christensen. — Boston : Birkhäuser, 2003.

42. Dufiin R.J. A class of nonharmonic Fourier series / R.J. Duffin, A.C. Schaeffer // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. - Vol. 72. - P. 341366.

43. Elad M. Sparse and Redundant Representations: From Theory to Applications in Signal and Image Processing / M. Elad. — Springer, 2010.

44. Fickus M. Steiner equiangular tight frames / M. Fickus, D.G. Mixon, J.C. Tremain // arXiv:1009.5730vl math.FA] 29 Sep 2010.

45. Haantjes J. Equilateral point-sets in elliptic two- and three-dimensional / J. Haantjes // spaces, Nieuw Arch. Wisk. 22. 1948. — P. 355-362.

46. Han D. Frames, bases and group representations / D. Han and D. R. Larson .— Birkhäuser, Boston, 2000.

47. Heil C.E. Continuous and discrete wavelet transforms / C.E. Heil,D.F. Walnut // SIAM Rev., 31, 628-666, 1989.

48. Holmes R.B. Optimal frames for erasures / R.B. Holmes, V.l. Paulsen // Linear Algebra and its Applications. — 2004. — Vol. 377. — P. 31-51.

49. Kovacevic J. An Introduction to frames / J. Kovacevic, A. Chebira // Foundations and trends in signal processing. — 2008. — Vol. 2, № 1. —P. 1-94.

50. Kutyniok G. Scalable Frames / G. Kutyniok, K.A. Okoudjou, F. Philipp,E.K.Tuley // Preprint arXiv:1204.1880v3, 2012.

51. Lemvig J. Prime tight frames / J. Lemvig, C. Miller, K.A. Okoudjou // Preprint arXiv:1202.6350v3, 2012.

52. Lemmens P.W.H. Equiangular lines / P.W.H. Lemmens, J.J. Seidel // J. Algebra, 24:494-512, 1973.

53. Ryabtsov I.S. An equivalence to Parseval frames / I.S. Ryabtsov // The Second International Conference "Mathematical Physics and its Applications". Samara. — "Kniga" publisher. — 2010. P. 365.

54. Ryabtsov I.S. Prime Frame Criterion / I.S. Ryabtsov // The international conference "Wavelets and Applications, July 8-15, 2012, St. Petersburg, Russia." Abstracts. 2012. — P. 85-87.

55. Sustik M. On the existence of equiangular tight frames / M. Sustik, J.A. Tropp, I. Dhillon, and R.W. Heath Jr. // Linear Algebra Appl., 426(2-3):619-635, 2007.

56. Strohmer T. Grassmannian frames with applications to coding and communication / T. Strohmer, R.W. Heath Jr. // Appl. Comput. Harmon. Anal. 2003. - № 14. - R 257-275.

57. Tremain J.C. Concrete Constructions of Real Equiangular Line Sets / J.C. Tremain // Preprint, 2008. URL: http://framerc.org

58. Tremain J.C. Concrete Constructions of Real Equiangular Line Sets II / J.C. Tremain // Preprint, 2009. URL: http://framerc.org

59. Welch. L.R. Lower bounds on the maximum cross-correlation of signals / L.R. Welch // IEEE Trans. Info. Theory, 20:397-399, 1974.