Равномерные фреймы в конечномерных и бесконечномерных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

005002014

ЛИХОБАБЕНКО МАРИЯ АЛЕКСАНДРОВНА

Равномерные фреймы в конечномерных и бесконечномерных пространствах

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 4 НОЯ 2011

Воронеж - 2011

005002014

Работа выполнена на кафедре функционального анализа и теории функций Самарского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Новиков Сергей Яковлевич.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент Гельман Борис Данилович

доктор физико-математических наук, Тсрехин Павел Александрович

Ведущая организация: Казанский (Приволжский) Федеральный университет.

Защита состоится 20 декабря 2011 г. в 15.10 на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, математический факультет, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан "(¿_" ноября 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22,

доктор физ.-мат. наук,

профессор

Гликлих Ю.Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Впервые понятие фрейма было введено в работе R.J. Duffin п A.C. Schaeffcr1. Бурное развитие теории фреймов началось в конце 80-х годов прошлого века в связи с возникновением и развитием теории вейвлетов.

Интерес к фреймам связан с тем, что в отличие от классического базиса в определении фрейма отсутствует требование линейной независимости, что позволяет строить фреймы сколь угодно большого объема. Тем не менее, оказалось верным то, что любой элемент гильбертова пространства можно разложить по фрейму, причем не единственным образом. Такие представления имеют определенную ценность для многих прикладных вопросов, так как свойство избыточности фрейма позволяет восстановить исходный сигнал, даже если при передаче по сети некоторые из его коэффициентов разложения но фрейму былн потеряны. В монографин С. Малла2 подробно описано применение фреймов для уменьшения шума при обработке сигнала, а также для анализа изображений. Кроме того, фреймы находят широкое применение в цифровой обработке сигналов, сжатии информации, удалении помех, сжатом зондировании, дискретизации непрерывного сигнала и др. В каждой из перечисленных областей уделяется особое внимание фреймам специального вида, в том числе и равномерным фреймам, т.е фреймам с одинаковыми нормами. Использование таких фреймов упрощает многие вычислительные процедуры.

В книгах О. Christensen3, И. Добеши4, К. Чуй5, К. Блаттера0 описана общая теория фреймов в конечномерных и бесконечномерных пространствах. В диссертации основное внимание уделяется равномерным фреймам и более общей задаче построения фреймов с заданными нормами.

Muffin R.J. A class of nonharmonic Fourier series / R.J. Duffin, A.C. Schaßffer // Trans. Amer. Math. Soc. - 1902. - V. 72. - P. 341- .306.

2Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов / С. Малла. — М. : Мир, 2005. — С71 с.

3Christensen О. An Introduction to Frames and Riesz Bases / O. Christensen. — Boston : Birkhäuser, 2002.

'Добеши II. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши. — М.-11жевск : РХД, 2004. — 4G4 с.

°Чуи К. Введение в вейвлеты / К. Чуй. — М. Мир, 2001.

6Блаттер, К. Вейвлет-анализ. Основы теории / К. Блаттер. — М. : Техносфера, 2004. -- 280 с.

Теория фреймов далека от завершения. Большие группы исследователей разных стран активно работают в этой области. На сайте Исследовательского фрейм-центра (США, www.frc.org) постоянно обновляется список нерешенных проблем теории фреймов.

Цель работы. Исследование устойчивости фреймов по отношению к действию операции свертки в конечномерных пространствах; построить равномерные фреймы Парсеваля — Стеклова в конечномерных пространствах над полем вещественных чисел; найти алгоритмы для конструкции фреймов Парсеваля — Стеклова с заданными нормами в конечномерных пространствах; доказать возможность построения и построить фреймы Парсеваля — Стеклова с одинаковыми нормами в бесконечномерных пространствах, отличные от ортонормированных базисов; описать наборы положительных чисел, которые являются нормами фреймов в бесконечномерных пространствах.

Методика исследований. Использовались методы теории функций и функционального анализа, теории матриц, абстрактной теории операторов, анализа Фурье и геометрии гильбертовых пространств.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные.

1. Доказана устойчивость фреймов по отношению к действию операции свертки в конечномерных пространствах.

2. Построены равномерные фреймы Парсеваля — Стеклова в конечномерных евклидовых пространствах.

3. Описан алгоритм построения фреймов Парсеваля — Стеклова с заданными нормами в конечномерных пространствах.

4. Введено понятие блочного фрейма и описано построите равномерных фреймов Парсеваля — Стеклова в бесконечномерных пространствах.

5. Найдены условия на наборы положительных чисел, которые являются нормами фреймов Парсеваля — Стеклова и е-почти фреймов Парсеваля — Стеклова в бесконечномерных пространствах.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть

использованы для дальнейшего изучения теории фреймов в конечномерных и бесконечномерных пространствах, для построения фреймов с заданными свойствами. Возможны нримепенения в цифровой обработке сигналов.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались па семинарах Самарского государственного университета; на Всероссийской молодежной школе-конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Лобачевские чтения" в г. Казань, 2006, 2009 гг.; на международной Казанской летней научной школе-копфереиции в г. Казань, 2009, 2011 гг.; на Саратовской зимней математической школе, посвященной 125-летию со дня рождения В.В. Голубева и 100-летию СГУ в г. Саратов, 2010 г.; на зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" в г. Воронеж, 2009, 2011 гг.; на международной научной студенческой конференции в г. Новосибирск, 2011 г.

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в 13 научных работах. Статьи [3], [4] и [13] опубликованы в изданиях, соответсвую-щих списку ВАК РФ.

Структура и объем дисертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав и списка литературы. Объем диссертации 96 страниц. Библиографический список содержит 57 наименований.

Содержание работы

Во введении описана краткая история возникновения проблемы данного исследования, обосновывается актуальность выбранной темы исследования, его связь с прикладными задачами. Далее во введении формулируется ряд качественных вопросов, которые изучаются в данной работе, и ответы на которые приводятся в исследовании.

Нумерация приводимых ниже теорем и определений совпадает с их нумерацией в диссертации.

В первой главе изучаются фреймы в Дг-мсрных линейных евклидовых (унитарных) пространствах над полями вещественных и комплексных чисел. Пространства обозначаются или ¿^(С) соответственно. Если выбор

числового поля нс влияет на формулировки результатов и определений, то будем использовать обозначение В данном пространстве введено стандартное скалярное произведение и евклидова (унитарная) норма.

Пусть М и N — натуральные числа, причем М > N, и пусть J — конечное или бесконечное множество индексов. Введем понятие фрейма.

Определение 1.1. Набор элементов {^¿t}^ из l2N называется фреймом для пространства 12к, если существуют положительные числа А и В такие, что

А\\х\\2<^\<х,ук>\2<В\\х\\2 (1)

keJ

для всех х из 1%.

Числа Л и В называются соответственно нижней и верхней границами фрейма. Они определяются неоднозначно, так как верхнюю границу В можно увеличивать, а нижнюю границу А — уменьшать. Поэтому иифинум по множеству всех верхних границ — это оптимальная верхняя граница фрейма, а супремум по множеству всех нижних границ — оптимальная нижняя граница фрейма. Если оптимальная верхняя и нижняя границы совпадают, т.е. А = В, то фрейм называется жестким. При А = 1 равенство (1) принимает форму равенства Парсеваля — Стеклова

¿2\<х,П>\3=М\ (2)

keJ

поэтому фреймы, для которых выполнено (2), называют фреймами Парсеваля — Стеклова.

Определение 1.2. Фрейм {pk}kej называется равномерным, если существует число (3 такое, что \\<fik\\ = 0 для любого к £ J.

Известно, что система {ipk}f.!=1 является фреймом для £2N тогда и только тогда, когда = span({ipk}llj). Тем самым фрейм в конечномерном пространстве — это синоним полной системы.

В первой главе исследуется устойчивость фреймов по отношению к операции свертки, которая является интересной для практических приложений. Поскольку операции классической обработки сигналов, такие как стационар-

ное удаление шума, передача сигнала, упреждающее кодирование, выполняются с помощью линейных инвариантных относительно сдвига операторов, а свертка задаст общий вид таких операторов.

Напомним оиеределение дискретного преобразования Фурье и свертки, для этого заменим нумерацию {1,2,..., ЛГ} на {0,1,..., N - 1}, компоненты к-го вектора Д будем записывать как Д(/), где к = 1,2 ...,М,1 = = 0,1,..., N - 1 и продолжим вектор / из пространства на все целые числа, требуя, чтобы / был ЛГ-пернодическнм:

f{l + mN) = f(l),

Другими словами, значение /(/) зависит только от вычета I по модулю N и

4 = /2(2/ЛГ2).

Определение 1.4. Пусть / = (/(0), /(1),..., /(ЛГ - 1)) £ £%. Для т =

= 0,1,..., N — 1 определим

1=0

Пусть

/=(/(0),/(1),...,/(ЛГ-1)).

Тогда / £ 1\. Отобраоюение': -> которое связывает / к /, называется дискретным преобразованиелг Фурье.

Следующая теорема показывает связь между фреймом и его дискретным преобразованием Фурье.

Теорема 1.3. Последовательность {<Рк}1=1 ФРейм с границами А и В в пространстве тогда и только тогда, когда {фк}^ фрейм с границами ЫА и N В в пространстве

Определение 1.5. Для /, ги € 1% сверткой /*ш £ 1% называется вектор с координатами

ЛГ-1

/ * ги(т) = ^ /(т — 1)ю{1), для т = 0,1,..., N — 1.

1=0

Интересным является вопрос о том, каким свойством должен обладать вектор w, чтобы элементы {w * <Pk}kLi оставались фреймом в пространстве ijr, ответом является следующая теорема.

Теорема 1.4. Пусть {щ}^ фрейм для пространства t2N с границами А и В и пусть вектор w из £2N. Элементы {w * образуют фрейм

в пространстве £2N тогда и только тогда, когда w(l) ф 0 для любого I = О,..., N — 1. В этом случае фрейм {w * <Pk}kLi имеет границы

А min |г&(Л|2 и В max |w(/)|2.

Теорема 1.4 позволяет вывести следующее утверждение:

Следствие 1.1. Пусть {(рь}1'=1 жесткий фрейм с границей А для пространства 1\. Элементы {w * 4>k}k=\ образуют фрейм Парсеваля - Стек-лова тогда и только тогда, когда |w(OI = для любого I = 0,..., N — 1.

Следующая теорема показывает устойчивость фреймов по отношению к действию операции свертки в конечномерных пространствах.

Теорема 1.5. Пусть {ipk и {Ф^=х фреймы в пространстве £% с границами А\, В\ и А2, В2, соответственно. Свертка {<Pk*^j}j={ k=i всегда образует фрейм в пространстве l2N из ML элементов с границами

l м

Л3 = min{A г min^ £ А2; min £ \Фк(1)\2}

'""' J=1 '"'' к=1

U

L М

В3 = {В!; max^ £ \ФМ2, В2 max £ \фк(1)\2}.

'"'' 3=1 '"'' А=1

Во второй главе получены условия на числовые наборы, которые являются нормами фреймов Парсеваля — Стеклова.

В работе P. Casazza и N. Leonhard7 описан способ построения фреймов Парсеваля — Стеклова с одинаковыми нормами для пространства 1\,(<С), с использованием матрицы дискретного преобразования Фурье.

7Casazza P. The known equal norm Parseval frames as of 2005 / P. Casazza, N. Leonhard // Technical Report, University of Missouri, 2005.

Конструктивное доказательство следующей теоремы позволило построить аналогичный фрейм для пространства ^(К).

Теорема 2.1. В пространстве £дг(М) существует, фрейм Парсевам — Стеклова с одинаковыми нормами, равными = для любого

М > N.

В теореме 2.2 показано, какой набор чисел в общем случае является нормами фрейма Парсеваля — Стеклова.

Теорема 2.2. Пусть сц > а,2 > ... > ам > 0, тогда следующие условия эквивалентны.

1) Существует фрейм Парсеваля — Стеклова {рк}1'=1 в пространстве /^г(Е) такой, что ||<^|| = а.к для любого к = 1,2,..., Л/.

2) Для последовательности {а^}^ выполняются следующие условг1я:

м

а\< 1, к= 1...М; и ^а\ = N.

к=1

В доказательстве данной теоремы приведен алгоритм для построения фреймов Парсеваля — Стеклова с заданными нормами в конечномерных пространствах.

Теорема 2.4 показывает, что нормы фрейма Парсеваля — Стеклова, состоящего из бесконечного числа элементов, в удовлетворяют тому же условию, что и нормы фрейма Парсеваля — Стеклова, состоящего из конечного числа элементов, в £%(Ш).

Теорема 2.4. Если — фрейм Парсеваля — Стеклова в простран-

стве ^(М) и = ак для к = 1,2,..., то а\ < 1 для к = 1,2,... и

оо

¿24 = N.

к= 1

Введем понятие е-почтп фрейма Парсеваля — Стеклова в конечномерном пространстве. Зафиксируем е па интервале [0,1).

Определение 2.1. Набор элементов {<л)ь=1 из называется е —

почти фреймом Парсеваля — Стеклова в пространстве если суще-

ствуют константы А=1~е и В = 1-\-е такие, что

00

(1-£)|М|2<£|<:г,№>|2<(1 + £)|Ы|

2

(3)

для любого х е

Теорема 2.5. Пустъ {а*}^ — последовательность положительных чи-

сел такая, что а2 < 1 для к = 1,2,... и = N. Тогда существует

ее [0; 1) и для этого е существует е-почти фрейм Парсеваля — Стеклова в пространстве и ||у>к||2 = а\ для к — 1,2, —

В третьей главе показано, что фрейм, построенный в доказательстве теоремы 2.1, обладает дополнительным свойством, а именно является оптимальным фреймом Грассмана, если М = N + 1.

Напомним определение оптимального фрейма Грассмана. Определение 3.1. Пустъ = {хк\ь'= \ ~ пабор векторов из /]у(К) такой, что Цж^Ц = 1 для любого к. Максимальную корреляцию в /^(К) значим Моо(Хх) и определим как

Определение 3.4. Пустъ А/, Лг е N и N < М < Пусть Ф^ =

{<л}ь=г ~ фрейм в /^(К) и = 1 для любого к. Фрейм Ф^7 называется оптимальным фреймом Грассмана, если Ф^/ удовлетворяет равенству

В дайной главе построены некоторые примеры фреймов Габора. Найдены необходимые и достаточные условия на вектор д, чтобы системы векторов, образованные действием оператора сдвига и модуляции на д являлись базисами.

Оператор Т : —> С^ называется оператором циклического сдвига, если

Та = Т(д(0),э(1), •.. - 1)) = (з(ЛГ - 1),5(0), <7(1),... ,д(Ы - 2)),

00

Моорс^) = тах| < Хк,хр > |.

Пусть вектор д = (д(0),д{1), 1)) € С*.

для всех д € С".

Теорема 3.2. Система векторов {Ткд}£=1} образует базис в С^ тогда и только тогда, когда д(т) ф 0 для т = 0,1,..., N - 1.

Оператор М -* См, определенный равенством

Мд = М (д(0),д(1), ...,д(М- 1)) = (иРдф^дЦ),... ,ш»~1д(М - 1)) ,

где ш = , называется оператором модуляции.

Теорема 3.3. Система векторов {М'х}^'1 образует базис в С^ тогда и только тогда, когда х{]) ф 0 дм ] = 0,1,..., N - 1.

Определение 3.5. Система Габора в - это система векторов вида {М1Ткд}, где (1,к) еАс%%, где - класс вычетов по тойИ.

Известно, что полная система Габора с д ф 0 и Л = Z2N образует равномерный жесткий фрейм с фреймовой границей N. Этот результат дополняется следующими теоремами.

Теорема 3.4. Пусть д = (1,0,..., 0) е 1%(Щ. Система Габора {М1Ткд}, с А = образует нормированный жесткий фрейм с фреймовой границей N. Любые Ж2 - 1 векторов из системы Габора образуют фрейм с фреймовыми границами А = N — \ и В = N.

Теорема 3.4 позволяет вывести следующее утверждение:

Следствие 3.1. Если из каждого блока теоремы 3.4 удалить т векторов, 1 < гтг < N - 1, то оставшиеся вектора образуют жесткий нормированный фрейм из ЛГ2 - mN элементов в пространстве £д,(Е) с границей, равной N — т.

Теорема 3.5. Пусть д = (1,1,..., 1) е 1%(Щ. Система Габора {М1Ткд}, с Л = Ъ2х образует равномерный жесткий фрейм с фреймовой границей N. Любые N — т блоков из системы Габора, где 1 < т < N - 1, образуют жесткий фрейм в 1%(Щ с фреймовой границей Л^ЛГ - т).

В начале четвертой главы дастся описание связи между фреймом и классическим понятием базисом Рисса. Известно, что каждый базис Рисса является фреймом. Построен пример фрейма, который не является базисом Рисса.

Далее вводится понятие блочного фрейма в бесконечномерном гильберто-

бол пространстве £2. Приведена схема построения таких фреймов с использованием блочно-диагональных матриц. Данная конструкция позволяет строить фреймы Парсеваля — Стеклова с одинаковыми нормами в £2, отличные от ортонормировапных базисов. Описаны условия на набор положительных чисел, которые являются нормами фреймов в пространстве £2.

Определение 4.3. Набор элементов {^Льа из ^ называется фреймом для пространства I2, если существуют положительные числа АиВ такие, что

оо

Л||х||2<^|<х,^>|2<В||1||2 (4)

к=1

для всех х из I2.

Числа А и В называются соответственно нижней и верхней границами фрейма. Если А = В, то фрейм называется жестким. Жесткий фрейм, у которого А = 1 называется фреймом Парсеваля — Стеклова.

Рассмотрим финитные векторы пространства £2, координаты которых запишем в строки бесконечной матрицы. Эта матрица имеет следующий блочно-диагональпый вид:

{ фмЛ 0 ... О О Фм2ъ ■■■ О

ф =

О

о

ФмъЪ

(5)

где

Фм„кк

V11

921

912 922

9Шк 92^

/ \

91

92

(6)

У <РМк1 4>мк2 ■ ■ ■ у \ <Рмк )

причем Мк, £ £%к и Мк > Л^.

В теореме 4.1 показано как из фреймов в конечномерных пространствах можно построить фрейм в бесконечномерном пространстве.

Теорема 4.1. 1) Пусть для каждого k = 1,2,... построен фрейм Фмкхк в пространстве (%к с границами Ак и Вк. Если А = inf Ак> 0 для чиоговой последовательности {Ак}, ограниченной снизу и В = sup Вк < оо для числовой последовательности {Вк}, ограниченной сверху, причем А < В, то строки матрицы тр образуют фрейм в пространстве Р с границами А и В.

2) Если строки матрицы ф образуют фрейм в пространстве Р с границами А и В, то строки матрицы фмккк образуют фрейм в пространстве i2Nk для всех к с границами А и В.

Определение 4.4. Пусть Мк > Nk) к = 1,2,... - две последовательности натуральных чисел; строки Mk х Nk матрицы ФMkNk (6) образуют фрейм с границами Ак и Вк в пространстве £щ. Фрейм, образованный строками матрицы Ф (5), будем называть блочным фреймом.

Согдасно теореме 4.1, определенный выше блочный фрейм имеет границы

А = inf Ak п В = sup Вк. к к

Теорема 4.1 позволяет вывести следующее утверждение:

Следствие 4.1. Для каждого рационального числа q, q < 1 в бесконечномерном гильбертовом пространстве существует равномерный фрейм Пар-севаля — Стеклова с нормами, равными q.

Далее введем понятие е-почтп фрейма Парсеваля — Стеклова в бесконечномерном пространстве. Зафиксируем £ на интервале [0,1).

Определение 4.5. Набор элементов {Vk}kLi из £2(R) называется е-почти фреймом Парсеваля — Стеклова в пространстве £2(К), если существуют константы Л=1-г«5 = 1+г такие, что

00

(1 - е)Ы|2 < 1 < X, vk > I2 < (1 + OINI2 (7)

к=\

для любого х G £2(К).

Итоговой теоремой, описывающей нормы фреймов в бесконечномерном пространстве, является

Теорема 4.2. Пусть {ajJ^Lj — последовательность положительных чи-

ос

сел такая, что ak < 1 для к — 1,2,... и^2а\ = оо.

к=\

Тогда

1) существует е-почти фрейм Парсеваля — Стеклова в пространстве £2(К) и Ц^Ц2 = а\ для к = 1,2,... и некоторого 0 < £ < 1;

2) существует фрейм Парсеваля — Стеклова в пространстве £2(М) с нормами \\<Рк\\2 = £к, для некоторых 0 < £к < 1, к = 1,2,....

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю С.Я. Новикову за постановку задач, внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Лапшина (Лихобабенко) М.А. Фреймы Парсеваля в1*с одинаковыми нормами / М.А. Ланшина (Лихобабенко) // Материалы Пятой молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения — 2006" : тр. Математического центра им. Н.И. Лобачевского. — Казань : Изд-во Казанского математического общества. — 2006. — Т. 34. — С. 153.

[2] Лапшина (Лихобабенко) М.А. Фреймы в конечномерном пространстве / М.А. Лапшина (Лихобабенко) // XXXVIII научная конференция студентов : тез. докл. — Самара: Изд-во Самарский ун-т. — 2007. — С. 25.

[3] Лапшина (Лихобабенко) М.А. Равномерные фреймы в пространстве / М.А. Лапшина (Лихобабенко) // Вестник Самарского государственного университета. Сер. Естественнонаучная. — 2008. — № 6(65). — С. 112-122.

[4] Лаишипа (Лихобабенко) М.А. Выравнивание норм в строках ортогональной матрицы и равномерные фреймы / М.А. Лапшина (Лихобабенко) // Вестник Самарского государственного университета. Сер. Естественнонаучная. — 2009. - № 2(68). - С. 51-59.

[5] Ланшина (Лихобабенко) М.А. Построение фрейма Стеклова-Парсеваля и фреймы Грассмана в пространстве К^ / М.А. Лапшина (Лихобабенко) // Современные методы теории функций и смежные проблемы : материалы конференции Воронежской зимней математической школы. — Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-т. - 2009. - С. 100-101.

[6] Лапшина (Лнхобабенко) М.А. Фреймы Габора в конечномерных пространствах / М.А. Лапшина (Лнхобабенко) // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы : материалы Девятой международной Казанской летней научной школы-конференции ; тр. Математического центра им. Н.И. Лобачевского. — Казань : Изд-во Казанского математического общества. — 2009. — Т. 38. - С. 165-166.

[7] Лапшина (Лнхобабенко) М.А. Фреймы Габора в С^ и их границы / М.А. Лапшина (Лнхобабенко) // СамДиф-2009. Дифференциальные уравнения и ее приложения : тез. докл. — Самара : Изд-во "Уииверс групп". — 2009. — С. 35-36.

[8] Лнхобабенко М.А. Нормы равномерных фреймов Парсеваля — Стскло-ва / М.А. Лнхобабенко // Материалы Восьмой молодежной научной школы-конференцин "Лобачевские чтения — 2009" : тр. Математического центра им. Н.И. Лобачевского. — Казань : Изд-во Казанского математического общества. - 2009. - Т. 39. - С. 285-287.

[9] Лнхобабенко М.А. Фреймы и свертка в конечномерных пространствах / М.А. Лнхобабенко // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 15-й Сарат. зимней математической школы, иосвящ. 125-летию со дня рождения В.В. Голубсва и 100-летию СГУ. — Саратов : Изд-во Саратов, ун-та. - 2010. - С. 100-101.

[10] Лнхобабенко М.А. Фреймы Парссваля — Стеклова в ^(К) и их нормы / М.А. Лнхобабенко // Современные методы теории функций и смежные проблемы : материалы Воронежской зимней математической школы. — Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-т. — 2011. — С. 198-199.

[11] Лнхобабенко М.А. Фреймы и матрица Грама / М.А. Лнхобабенко // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы : материалы Десятой международной Казанской летней научной школы-конференции ; тр. Математического центра им. Н.И. Лобачевского. — Казань : Изд-во Казанского математического общества. — 2011. — Т. 43. — С. 227-229.

[12] Лнхобабенко М.А. Ортогональные фреймы Парссваля — Стеклова / М.А. Лнхобабенко // Студент и научно-технический прогресс : материалы Х1ЛХ

международной научной студенческой конференции. Сер. Математика. — Новосибирск : Новосиб. гос. ун-т. — 2011. — С. 105.

(13] Лихобабенко М.А. Блочные фреймы в пространстве I2 / М.А. Лихобабен-ко // Вестник Самарского государственного университета. Сер. Естественнонаучная. - 2011. - № 2(83). - С. 38-45.

Работы [3], [4] и [13] опубликованы в издании, соответствующим^' списку

ВАК РФ.

Подписано в печать 10.11.11. Формат 60*84 '/„,. Усл. псч. л. 0.93. Тираж 100 экз. Заказ 1392.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издатсльско-нолиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Введение

1 Фреймы в конечномерных пространствах

1.1 Определения и основное свойство фреймов.

1.2 Критерий фреймовости самосопряженного оператора.

1.3 Оператор Грама.

1.4 Фреймы и операция свертки

2 Конструкция фреймов Парсеваля — Стеклова в конечномерных пространствах

2.1 Конструкция равномерных фреймов Парсеваля — Стеклова

2.2 Конструкция фреймов Парсеваля — Стеклова с заданными нормами

2.3 е-почти фреймы Парсеваля — Стеклова.

3 Фреймы Грассмана и фреймы Габора

3.1 Фреймы Грассмана.

3.2 Фреймы Габора.

4 Фреймы Парсеваля — Стеклова в ё

4.1 Связь между базисом Рисса и фреймом.

4.2 Блочные фреймы.

4.3 Нормы фреймов и е-почти фреймов Парсеваля — Стеклова

Актуальность работы. Впервые понятие фрейма было введено в работе R.J. Duffin и A.C. Schaeffer [52]. Бурное развитие теории фреймов началось в конце 80-х годов прошлого века в связи с возникновением и развитием теории вейвлетов.

Интерес к фреймам связан с тем, что в отличие от классического базиса в определении фрейма отсутствует требование линейной независимости, что позволяет строить фреймы сколь угодно большого объема. Тем не менее, оказалось верным то, что любой элемент гильбертова пространства можно разложить по фрейму, причем не единственным образом. Такие представления имеют определенную ценность для многих прикладных вопросов, так как свойство избыточности фрейма позволяет восстановить исходный сигнал, даже если при передаче по сети некоторые из его коэффициентов разложения по фрейму были потеряны. В монографии С. Малла [24] подробно описано применение фреймов для уменьшения шума при обработке сигнала, а также для анализа изображений. Кроме того, фреймы находят широкое применение в цифровой обработке сигналов, сжатии информации, удалении помех, сжатом зондировании, дискретизации непрерывного сигнала и др. В каждой из перечисленных областей уделяется особое внимание фреймам специального вида, в том числе и равномерным фреймам, т.е фреймам с одинаковыми нормами. Использование таких фреймов упрощает многие вычислительные процедуры.

В книгах О. Christensen [50], И. Добеши [4], К. Чуй [37], К. Блаттера [1] описана общая теория фреймов в конечномерных и бесконечномерных пространствах. В диссертации основное внимание уделяется равномерным фреймам и более общей задаче построения фреймов с заданными нормами.

Теория фреймов далека от завершения. Большие группы исследователей разных стран активно работают в этой области [38]-[51]. На сайте Исследовательского фрейм-центра (США, www.frc.org) постоянно обновляется список нерешенных проблем теории фреймов.

Цель работы. Исследовать устойчивость фреймов по отношению к действию операции свертки в конечномерных пространствах; построить равномерные фреймы Парсеваля — Стеклова в конечномерных пространствах над полем вещественных чисел; найти алгоритмы для конструкции фреймов Парсеваля — Стеклова с заданными нормами в конечномерных пространствах; доказать возможность построения и построить фреймы Парсеваля — Стеклова с одинаковыми нормами в бесконечномерных пространствах, отличных от ортонормированных базисов; описать наборы положительных чисел, которые являются нормами фреймов в бесконечномерных пространствах.

Методика исследований. Использовались методы теории функций и функционального анализа, теории матриц, абстрактной теории операторов, анализа Фурье и геометрии гильбертовых пространств.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные.

1. Доказана устойчивость фреймов по отношению к действию операции свертки в конечномерных пространствах.

2. Построены равномерные фреймы Парсеваля — Стеклова в конечномерных евклидовых пространствах.

3. Описан алгоритм построения фреймов Парсеваля — Стеклова с заданными нормами в конечномерных пространствах.

4. Введено понятие блочного фрейма и описано построние равномерных фреймов Парсеваля — Стеклова в бесконечномерных пространствах.

5. Найдены условия на наборы положительных чисел, которые являются нормами фреймов Парсеваля — Стеклова и е-почти фреймов Парсеваля — Стеклова в бесконечномерных пространствах.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения теории фреймов в конечномерных и бесконечномерных пространствах, для построения фреймов с заданными свойствами. Возможны примененения в цифровой обработке сигналов.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались на семинарах Самарского государственного университета; на Всероссийской молодежной школе-конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Лобачевские чтения" в г. Казань, 2006, 2009 гг.; на международной Казанской летней научной школе-конференции в г. Казань, 2009, 2011 гг.; на Саратовской зимней математической школе, посвященной 125-летию со дня рождения В.В. Голубева и 100-летию СГУ в г. Саратов, 2010 г.; на зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" в г. Воронеж, 2009, 2011 гг.; на международной научной студенческой конференции в г. Новосибирск, 2011 г.

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в работав автора [10]—[22]. Статьи [11], [13] и [22] опубликованы в изданиях, соот-ветсвующих списку ВАК РФ.

Структура и объем дисертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав и списка литературы. Объем диссертации 96 страниц. Библиографический список содержит 57 наименований.

1. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории / К. Блаттер. — М. : Техносфера, 2004. - 280 с.

2. Глазман И.М. Конечномерный линейный анализ / И.М. Глазман, Ю.И. Любич. — М. : Наука, 1969.

3. Голубов Б.И. Об аппроксимации свертками и базисах из сдвигов функций / Б.И. Голубов // Analysis Mathematica. — 2008. — № 34. — С. 9-28.

4. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши. — М.-Ижевск : РХД, 2004. 464 с.

5. Драбкова Е.С. Объем фрейма Парсеваля / Е.С. Драбкова, С.Я. Новиков // Вестник Самарского государственного университета. Сер. Естественнонаучная. — 2007. — № 9/1(59). — С. 91-107.

6. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като ; под ред. В.П. Степина. — М. : Мир, 1972. 740 с.

7. Кашин Б.С. Замечание об описании фреймов общего вида / Б.С. Кашин,' Т.Ю. Куликова // Матем. заметки. — 2002. — Т. 72, вып. 6. С. 941-945.

8. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. — М. : Наука, 1976. — 544 с.

9. Колмогоров А.Н. К обоснованию метода наименьших квадратов / А.Н. Колмогоров // Успехи математических наук. — 1946. — Т. 1, вып. 1. С. 57-70.

10. Лапшина (Лихобабенко) М.А. Равномерные фреймы в пространстве М^ / М.А. Лапшина (Лихобабенко) // Вестник Самарского государственного университета. Сер. Естественнонаучная. — 2008. — № 6(65). — С. 112-122.

11. Лапшина (Лихобабенко) М.А. Фреймы в конечномерном пространстве / М.А. Лапшина (Лихобабенко) // XXXVIII научная конференция студентов : тез. докл. — Самара: Изд-во Самарский ун-т. — 2007. — С. 25.

12. Лапшина (Лихобабенко) М.А. Выравнивание норм в строках ортогональной матрицы и равномерные фреймы / М.А. Лапшина (Лихобабенко) // Вестник Самарского государственного университета. Сер. Естественнонаучная. 2009. - № 2(68). - С. 51-59.

13. Лапшина (Лихобабенко) М.А. Фреймы Габора в С^ и их границы / М.А. Лапшина (Лихобабенко) // СамДиф-2009. Дифференциальныеуравнения и ее приложения : тез. докл. — Самара : Изд-во "Универс групп". — 2009. — С. 35-36.

14. Лихобабенко М.А. Фреймы Парсеваля — Стеклова в £%(Щ и их нормы / М.А. Лихобабенко // Современные методы теории функций и смежные проблемы : материалы Воронежской зимней математической школы. — Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-т. — 2011. — С. 198-199.

15. Лихобабенко М.А. Блочные фреймы в пространстве £2 / М.А. Лихобабенко // Вестник Самарского государственного университета. Сер. Естественнонаучная. — 2011. № 2(83). - С. 38-45.

16. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов / Ю.В. Линник. М. : Физ-матгиз, 1962. — С. 352.

17. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов / С. Малла. — М. : Мир, 2005. — 671 с.

18. Малоземов В.Н. Равноугольные жесткие фреймы / В.Н. Малозе-мов, A.B. Певный // Проблемы математического анализа. — 2009. — Вып. 39. С. 3-25.

19. Избранные главы дискретного гармонического анализа и геометрического моделирования / под. ред В.Н. Малоземова. — Санкт-Петербург, 2009. 584 с.

20. Наймарк М.А. Спектральные функции симметрического оператора / М.А. Наймарк // Изв. АН СССР. Сер. Математика. — 1940. — Т. 4, № 3. С. 277-318.

21. Новиков С.Я. Бесселевы последовательности как проекции ортогональных систем / С.Я. Новиков // Математические заметки. — 2007. — Т. 81, вып. 6. С. 893-903.

22. Прэтт У. Цифровая обработка изображений / У. Прэтт ; пер. с англ. Д.С. Лебедев. М. Мир, 1982.

23. Садовничий В.А. Теория операторов : учеб. для вузов с углубленным изучением математики / В.А. Садовничий. — М : Дрофа, 2004. — 384 с.

24. Седлецкий A.M. Аппроксимация свертками и первообразными / A.M. Седлецкий // Математические заметки. — 2006. — Т. 79, вып. 5. — С. 756-766.

25. Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB / Н.К. Смоленцев. М. : ДМК Пресс, 2005. - 304 с.

26. Терехин П.А. Системы представления и проекции базисов / П.А. Тере-хин // Математические заметки. — 2004. — Т. 75, вып. 6. — С. 944-947.

27. Терехин П.А. Проекционные характеристики бесселевых систем / П.А. Терехин // Изв. Сарат. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2009. ~№- 9:1. — С. 44-51.

28. Фейзер М. Введение в вэйвлеты в свете линейной алгебры / М. Фейзер. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. — 487 с.

29. Хорн Р. Матричный анализ / Р. Хорн, Ч. Джонсон. — М. : Мир, 1989. — С. 655.

30. Чуй К. Введение в вейвлеты / К. Чуй. — М. : Мир, 2001.

31. Excess of Parseval Frames / R. Balan et al.] // SPIE Wavelets Applications in Signal and Image Processing XI. — 2005. — Vol. 5914.

32. Benedetto J.J. Geometric properties of Grassmannian frames for M2 and M3 / J.J. Benedetto, J. Kolesar // EURASIP J. Applied Signal Processing 2006.

33. Benedetto J.J. Finite normalized tight frames / J.J. Benedetto, M.C. Fickus // Advances in Computational Mathematics, Frames. — 2003. — Vol. 18. P. 357-385.

34. Bodmann B.G. When are frames close to equal-norm Parseval frames? / B.G. Bodmann, P.G. Casazza // Wavelets XIII, Proceedings of the SPIE. — 2009. Vol. 7446.

35. Bodmann B.G. The road to equal-norm Parseval frames / B.G. Bodmann, P.G. Casazza // Journal of Functional Analysis. — 2010. — Vol. 258. — P. 397-420.

36. Casazza P.G. Frames with a given frame operator / P.G. Casazza, M. Leon. — www.math.missouri.edu/~pete/

37. Casazza P.G. The art of frame theory / P.G. Casazza // Taiwanese Journal on Mathematics. 2000. -Vol. 4, № 2. - P. 129-202.

38. Casazza P.G. Existence and construction of finite tight frames /P.G. Casazza, M. Leon // J. Concr. Appl. Math. 2006. - Vol. 4. - P. 277-289.

39. Casazza P.G. Classes of Finite Equal Norm Parseval Frames / P.G. Casazza, N. Leonhard // Contemp. Math. — 2008. — Vol. 451. — P. 11-31.

40. Casazza P.G. Custom Building Finite Frames / P.G. Casazza // Contemporary Math. — 2004. — Vol. 345. — P. 61-86.

41. Casazza P.G. The known equal norm Parseval frames as of 2005 / P.G. Casazza, N. Leonhard // Technical Report, University of Missouri. — 2005.

42. Constructing infinite tight frames / P.G. Casazza et al.]. — www.math.missouri.edu/~pete/

43. Christensen O. An Introduction to Frames and Riesz Bases /' O. Christensen. — Boston : Birkhäuser, 2002.

44. Designing structured tight frames via an alternating projection method / J.A. Tropp et al.] // IEEE transactions on information theory. — 2005. — Vol. 51, № 1. P. 188-209.

45. Duffin R.J. A class of nonharmonic Fourier serues / R.J. DufRn, A.C. Schaeffer // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. - Vol. 72. - P. 341366.

46. Holmes R.B. Optimal frames for erasures / R.B. Holmes, V.l. Paulsen // Linear Algebra and its Applications. — 2004. — Vol. 377. — P. 31-51.

47. Kornelson K.A. Rank-one decomposition of operators and construction of frames. Wavelets, frames and operator theory / K.A. Kornelson, D.R. Larson // Contemp. Math., Amer. Math. Soc. — Providence, RI. — 2004. Vol. 345. - P. 203-214.

48. Kovacevic J. An Introduction to frames / J. Kovacevic, A. Chebira // Foundations and trends in signal processing. — 2008. — Vol. 2, № 1. — P. 1-94.

49. Lawrence J. Linear independence of Gabor systems in finite dimensional vector spaces / J. Lawrence, G. Pfander, D. Walnut //J. Four. Anal. Appl. — 2005. № 11. - P. 715-726.

50. Strohmer T. Grassmannian frames with applications to coding and communication / T. Strohmer, Jr. Heaep // Appl. Comput. Harmon. Anal. — 2003. № 14. - P. 257-275.