Интегрирование представлений бесконечномерных алгебр ли и некоммутативная проблема моментов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

ГЛАВА. I. Интегрирование представлений бесконечномерных алгебр Ли

§ I.I. АЕ-алгебры Ли. Интегрирование представлений

АЕ-алгебр Ли

§ 1.2. Алгебры и группы Ли гладких токов.

§ 1.3. Бесконечномерные разрешимые и нилъпотентные алгебры Ли

ГЛАВА П. Некоммутативна',Щ)облекла моментов.

§ 2.1. Конечномерная некоммутативная проблема моментов

§ 2.2. Некоммутативная проблема моментов на АЕ-алгебрах

§ 2.3. Пример. Проблема моментов для представлений канонических коммутационных соотношений

ГЛАВА Ш. Гауссовские представления канонических коммутационных соотношений в форме Гординга

Вайтмана

§ 3.1. Представление группы сдвигов ядерного пространства

§ 3.2. Представление ядерного пространства операторами сдвигов с гауссовским коциклом

§ 3.3. Критерий эквивалентности гауссовских представлений канонических коммутационных соотношений

Источником интереса к задачам, связанным сю локально компактными группами Ли, являются с одной стороны, приложения: изучение математических моделей физических систем с бесконечным числом степеней свободы, в частности, систем квантовой статистической физики и теории поля, а так же теория точных решений нелинейных уравнений, и, с другой стороны, внутренняя логика развития теории представлений. Многочисленные работы посвящены как развитию теории таких "болыпих,,груш (работы Де ла Харпа I 69 ], Омори [ 81J , Босека, Чеховского, Рудольфа [67 ] и др.), так и изучению их представлений (А.М.Вершик, И.М.Гельфанд, М.И. Граев {12 - 16 ] , Р.С .Исмагилов [28 - 34 ] , А.А.Кириллов

35 - 40 ] , Г.И.Ольшанский [ 48 - 51 ] , Араки {б4 ~ 66 ] , Хегерфельд [ 77, 78 ] , Леповский, Вильсон { 79 ] и др.).

Большую роль в исследовании представлений коммутативных групп играют методы теории меры (см., напр., монографии И.М. Гельфанда, Н.Я.Виленкина {19 ] и Ю.М.Березанского { 4, 5 ] ). Естественным является развитие возникающих при этом вероятностных аналогий в некоммутативной ситуации. Например, как и вероятностная мера, представление может быть задано с помощью положительно определенной функции (И.М.Гельфанд, М.А.Наймарк [ 20 | И.Сигал { 85 ] ), конструктивно - с помощью меры и коцикла (Гординг, Вайтман { 74 J , Араки [б4,66 ], Войкулеску, С тратила \ 90 ] , И.М.Гельфанд, Н.Я.Виленкин \ 19 ] и др.), и с помощью некоммутативного аналога моментов (Воронович \ 91 ] ,

Пауэре I 82 ] , Рихтер [ 84 1 , Шмюдген [ 87 j ).

Основная тема диссертации - некоммутативный аналог проблемы моментов и возникающие при этом задачи интегрирования представлений алгебр Ли. Теория интегрирования представлений конечномерных алгебр Ли построена Нельсоном [ 80 ] и развита Фла-то, Симоном, Снеллманом и Стернгеймером [ 71, 72, 86 ] .В диссертационной работе дается обобщение этой теории на случай некоторых бесконечномерных алгебр Ли.

Кроме того, в работе рассматриваются гауссовские представления канонических коммутационных соотношений (см. работы А.С. Холево [ 60 - 62 ] , Араки[60,66] , Ван Даэле(80, 89] ) с бесконечным числом степеней свободы - некоммутативный аналог гауссовой меры - в форме Гординга-Вайтмана. Конструктивная форма задания (с помощью меры и коцикла) позволяет использовать при их изучении свойства гауссовых мер в бесконечномерных пространствах.

Перейдем к более подробному изложению результатов работы. Первая глава посвящена вопросам интегрируемости некоторых бесконечномерных алгебр Ли.

Существует взаимнооднозначное соответствие между связными одноевязными локально компактными группами Ли и конечномерными алгебрами Ли (см.,напр., [35, 52, 93 ] )• Действительно, каждой такой группе можно поставить в соответствие алгебру Ли -ее касательное пространство в единице, определив скобку Ли как коммутатор векторных полей. Наоборот, по алгебре Ли <f можно построить группу с помощью ряда Кэмпбела-Хаусдорфа K&ff), рассматривая окрестность нуля в У такую, в которой ряд сходится равномерно и абсолютно, как локальную группу Ли с групповой операцией х - Я (ж, у^) , и расширяя ее до связной односвязной грушш Ли. Алгебра и груша Ли оказываются связанными локальным аналитическим диффеоморфизмом еяр.

Существует также связь между унитарными представлениями вещественных групп Ли и представлениями вещественных алгебр Ли ко-сосимметричными, вообще говоря, неограниченными операторами в сепарабельном гильбертовом пространстве. Напомним, что представлением алгебры Ли называется линейное отображение э я: —* Т(ас) е о€(Н) алгебры Ли }f в множество линейных операторов в гильбертовом пространстве Я такое, что:

1) существует общая инвариантная область определения <£) операторов ТС^О, ос е: % , плотная в Н ;

2) на ЯЭ имеют место коммутационные соотношения

3) для любого it g: Ю отображение за Тфс) k е: Н непрерывно.

Пусть G - локально компактная вещественная группа Ли, (j U-(fy) - ее унитарное представление. Алгебру Ли ^ грушш G можно отождествить с множеством ее однопараметри-чееких подгрупп. Рассмотрим генераторы соответствующих однопа-раметрических групп унитарных операторов {d тесраж Оку®. гежратор однопараметрической группы dtl - кососамосопряженный оператор; см., напр., [ 53 ] )• Отображение ^э ас является представлением алгебры Ли $ с плотной инвариантной областью определения Ю , на которой все операторы dt^(oc) в существенном кососамосопряжены (И.М.Гельфанд 117 ] , Гординг [73]).

Это представление называется дифференциалом представления И . Более того, область Т) можно выбрать состоящей из совместных аналитических векторов для представителей базиса алгебры Ли % (Нельсон [ 80 ] ; см.также [ 3 ] ). Напомним, что вектор iv называется аналитическим для оператора А , если на нем определены все степени А и ряд

IU ^И сходится при некотором в Q , и совместным аналитическим для набора операторов Аг,., А^ , если на 1ъ определены все произведения этих операторов и при gft- 171 некотором г >0 сходится ряд ZZТП \А; k\\ .

Пространства аналитических и совместных аналитических векторов обозначаются соответственно

ИГШ и Н (А;,., А^).

Пространство аналитических векторов, для которых соответствующий ряд сходится цри фиксированном 6 > 0 , будем обозначать и; (А).

Представление ^ ^ ос. > Т(зс) называется интегрируемым, если оно является дифференциалом некоторого унитарного представления It группы (у .

Заметим, что так как построение по представлению его дифференциала проводится локально, то вместо ZC достаточно рассматривать его сужение на любую окрестность единицы в G , т.е. представление локальной группы

Существование плотной инвариантной области оцределенжя

О - НШ(Т(Х<),., Т(Х„)) является не только необходимым, но и достаточным условием однозначной (с точностью до унитарной эквивалентности) интегрируемости представления Т (теорема Нельсона [ 80 ] , см. также [ 3 J ). Однако даже в коммутативном случае $ = Ж2 это требование уже не сводится к существенной самосопряженности операторов Aj -7(1,0) и А& = 7(0,1) (пример Нельсона [80 ] ; см. также 153 ] ).

Более просто проверяемое условие интегрируемости представления Т дает теория, построенная Флато, Симоном, Снеллманом и Стернгеймером ( [71, 72. 86 ] ); для однозначной интегрируемости представления Т достаточно, чтобы существовала плотная инвариантная область определения

С с П П"(7(Хк)).

Более того, достаточно, чтобы область Ю состояла из аналитических векторов для операторов представления образующих алгебры Ли % .

Пусть теперь ^ - бесконечномерная вещественная алгебра Ли (т.е. бесконечномерное вещественное линейное топологическое пространство с непрерывной по обеим переменным скобкой Ли). В этом случае, вообще говоря, нет хорошего соответствия между алгебрами Ли и группами Лее или хотя бы локальными группами Ли. Такое соответствие можно установить для отдельных классов алгебр Ли: например, банаховых,индуктивных пределов конечномерных, нильпотентных. Более общо это делается в [ 67 ] .В этой работе определяется класс полных локально выпуклых алгебр, топология которых обеспечивает хорошие свойства сходимости степенных рядов: для каждого степенного ряда определяется его радиус сходимости^ ряд с ненулевым радиусом, сходимости в некоторой окрестности нуля сходится равномерно и абсолютно. Такие алгебры носят название АЕ-алгебр (алгебры с асимптотической оценкой). Вследствие того, что ряд Кэмпбела-Хаусдорфа является степенным рядом с ненулевым радиусом сходимости, построение по АЕ-алгебре Ли локальной группы Ли вполне аналогично конечномерному случаю. Расширение же локальной группы до настоящей группы Ли не всегда возможно.

Класс АЕ-алгебр достаточно широк: в него входят, например, конечномерные и банаховы алгебры Ли, их индуктивные пределы, алгебры Ли быстроубывающих и финитных токов, нильпотентные и квазинильпотентные алгебры Ли.

Будем называть представление алгебры Ли интегрируемым, если оно является дифференциалом некоторого представления соответствующей локальной группы Ли.

Основным результатом §1.1 является достаточное условие интегрируемости представлений АЕ-алгебр Ли.

Теорема I.I.2. Пусть X •—>- Т(^) - представление АЕ-алгебры Ли % кососимметричными операторами в гильбертовом пространстве Я с областью определения £) , - плотное множество в % . Для однозначной интегрируемости представления достаточно, чтобы все операторы представления были в существенном кососамосопряжены на Ю, и для любого ос. е &С множество Л^ТСх)) П © было плотно в Н .

В § 1.2 рассматриваются алгебры Ли 564,5^7*) гладких токов - функций на открытом множестве A cEw со значениями в конечномерной вещественной алгебре Ли % , топология в которых вводится с помощью системы весовых функций Г (см.[18, 67 ] ), а скобка Ли определяется поточечно. Алгебра S(A,#,Т) отождествляется с алгеброй % ® S(.A, Т) со скобкой

Ли Хгв$г0)] (£■&)(•).

Примерами таких алгебр Ли являются алгебры быстроубывающих и финитных токов S(R') и 9 * , где S(MО и £) (Rj ) - пространства Шварца.

Алгебры 5 (А,являются АЕ-алгебрами, более того, соответствуюпще им локальные группы расширяются до настоящих групп Ли, являющихся группами токов.

Пусть {Xd,,.,, Хп] - базис в % , <§ - плотное множество в 3(АЖ,Т).

Рассмотрим представление ос. Т(х) алгебры Ли S(A,%,T) кососимметричными операторами в гильбертовом пространстве Я с областью определения © . Следующий результат является усилением теоремы I.I.2 в применении к алгебре

Теорема 1.2.4. Для однозначной интегрируемости представления Т достаточно, чтобы:

1) все операторы представления были в существенном кососа-мосопряжены на © ;

2) множества ©^(76*0) = Ha(T0*O) (] <2> были плотны в Я для всех X = Xj, ® <?('), <р е (S.

Приводимые в начале § I.I и 1.2 определения и свойства АЕ-алгебр Ли и алгебр Ли токов даются в удобной для дальнейшего изложения форме, следуя \ 67 ] .

Заметим, что доказательство некоторых промежуточных результатов этих параграфов непосредственно обобщается с конечномерной ситуацией. Однако эти доказательства приводятся для полноты изложения.

§ 1.3 посвящен изучению бесконечномерных разрешимых алгебр Ли. Напомним, что конечномерная алгебра Ли ¥ называется разрешимой, если существует последовательность вложенных подалгебр

0} = Ус. . С Vя-'а ?т - 7 таких, что для любого к « 0,1,., nt-i идеал в if^** и факторалгебра коммутативна.

Выбирая в <f* базис, дополняя его до базиса в и т.д., получим базис Х*} в % такой, что для любого к = I,."* л - i f > Хы ] с: Л.О. {X, Xfr ] .

Такой базис будем называть допустимым.

В работе под бесконечномерной разрешимой алгеброй Ли понимается полная локально выпуклая алгебра, удовлетворяющая приведенному определению, однако подалгебры могут быть бесконечномерными. Далее дается определение допустимого тотального множества в <Х , аналогичное определению допустимого базиса, но с дополнительными ограничениями на количество и рост ненулевых структурных констант (в конечномерном случае эти ограничения выполняются автоматически). Разрешимыми алгебрами с допустимым тотальным множеством являются, например, алгебры токов со значениями в разрешимой конечномерной алгебре Ли (как рассмотренные выше алгебры S(ArTfld, Г *) , так и другие, например, алгебра тригонометрических токов if ® C(~L, , где ^ *) - пространство полиномов Лорана от i. ).

Примеры разрешимых алгебр Ли, являющихся также АЕ-алгебра-ми - это разрешимые алгебры jf ® S(A,]R*T) и нильпотентные алгебры Ли, в частности, алгебра тригонометрических токов со значениями в нильпотентной конечномерной алгебре Ли и алгебра Гейзенберга канонических коммутационных соотношений с бесконеч-ныь'1 числом степеней свободы.

Рассмотрим теперь вещественную разрешимую АЕ-алгебру Ли ^ с допустимым тотальным множеством £ . Для представлений таких алгебр справедлив результат, являющийся усилением теоремы I.I.2.

Теорема 1.3.3. Для однозначной интегрируемости представления # э ос Т(ос) косоеимметричными операторами в гильбертовом пространстве Я с областью определения СО достаточно выполнения одного из следующих условий:

1) все операторы представления в существенном кососамосо-пряжены на Я , и множество плотно в И ;

2) # - £, и множество /О*5* плотно в И ;

3) множество .Е является базисом в , ряд из координат любого элемента У абсолютно сходится и для некоторого € > О множество = Л (ТС*)) П © плотно в .

Кроме вопроса об интегрируемости представлений, в параграфе рассматривается связь между раздельной и совместной аналитичностью. Вообще говоря, даже в конечномерной ситуации неизвестно, является ж вектор, аналитический для всех представителей произвольного базиса алгебры Ли, их совместным аналитическим вектором (ом. [ 71 ] ). Однако для представителей допустимого базиса разрешимой алгебры Ли эти понятия совпадают. Для интегрируемых представлений конечномерных алгебр Ли это доказано Р.Гудманом [ 75 ] . Развивая его технику, получим следующий результат:

Теорема 1.3.2. Пусть -х »—»- Т(эс) - представление вещественной разрешимой алгебры Ли ^ с допустимым тотальным множеством JE кососимметричными операторами в гильбертовом пространстве Н с областью определения Ю , <р е 2) -аналитический вектор для всех представителей Ж . Тогда:

1) если Ed - конечное подмножество Е , то у - совместный аналитический вектор для представителей 'Е1 ;

2) если ос. е л. о. £ , то ср - аналитический вектор для оператора Т(х) ;

3) если множество Е является базисом в $ , ряд из координат любого элемента ^ абсолютно сходится , и ср е: JD ** при некотором е ^ О , то <р - аналитический вектор для всех операторов представления.

Заметим, что полученные в этой главе достаточные условия интегрируемости представлений для некоторых классов алгебр Ли являются и необходимыми ( [ 43 - 46] ).

Вторая глава посвящена некоммутативному аналогу проблемы моментов. Если одним из аспектов классической теории вероятностей является изучение мер, или, что то же самое, положительно определенных функций на линейных пространствах, то некоммутативная теория вероятностей изучает положительно определенные функции (состояния) на С* -алгебрах, или (в случае групповой С*-алгебры) на группах. Вследствие конструкции Гельфанда-Наймарка-Сигала (ГНС) каждая непрерывная положительно определенная функция на группе Ли G имеет вид = f где ^ I—»- Щ) - циклическое унитарное представление G в гильбертовом пространстве Я с фиксированным циклическим вектором Q . Пару будем называть "некоммутативной мерой" на G , а функцию pC(f) - ее характеристической функцией.

Проводя эту аналогию дальше, будем говорить, что "некоммутативная мера" на локально компактной вещественной группе Ли G имеет все моменты, если Q принадлежит области определения дифференциала представления ZC ,и функционал на комплексной универсальной обертывающей алгебре ее алгебры Ли называть моментным функционалом пары .

Если {^Xi , Хп } - базис в У , функционал S можно задать набором чисел

ЧК - •. • моментами пары

Классическая степенная проблема моментов Гамбургера (см., напр., [1,4] ) состоит в определении условий, при которых заданная последовательность комплексных чисел {^„„лЗТ k о является набором моментов некоторой вероятностной борелевской меры ft на Л*0 :

Ч.к. - 5 ^

Ж*

Аналогично, некоммутативная проблема моментов ( - проблема моментов) состоит в отыскании условий, при которых числа Sh и являются моментами некоторой "некоммутативной ме

К1,,,, , НЦ, ры" на группе Ли (т , им, эквивалентно, функционал на обертывающей алгебре , заданный соотношениями

S(Xd ' Хц, ) = $L L имеет вид 5 (ос) - Q)^ .

Существуют различные подходы к решению классической проблемы моментов. Выделим два из них.

Первый принадлежит М.Риссу и основан на следующем факте: линейный функционал, заданный на подпространстве оС линейного пространства /ШС и положительный на конусе 1R. , можно продолжить на все /ЖС с сохранением -положительности.

Пусть теперь аС - алгебра полиномов -tv вещественных переменных с комплексными коэффициентами. Зададим на бС линейный функционал £> , положив ,S(х*1 - - = ? ki,. 7 = 0, i7 2-, ,. . Выбрав в качестве конуса ffL множество всех положительных полиномов, а в качестве ffit- пространство непрерывных функций, получим следующий результат см. ,напр., [ I J ): проблема моментов разрешима тогда и только тогда, когда функционал £ № -положителен.

Условие ^ -положительности функционала 5 , вообще говоря, трудно проверяемо. Заметим, что конус № содержит все полиномы вида "Р*Р Р£ <£ (здесь * - комплексное сопряжение), так что необходимым условием -положительности функционала 5 является его положительная определенность: 0 для всех ~Р е бС или, что то же самое, для любого конечного набора чисел

Положительная определенность 5 уже не является достаточным условием разрешимости проблемы моментов, однако операторный подход к этой задаче позволяет доказать, что если кроме того имеют место аналитические (или, более общо, квазианалитические) оценки на рост моментов, то проблема моментов однозначно разрешима (см.,напр. Д4, 54] ).

Впервые некоммутативная проблема моментов рассматривалась на алгебре Гейзенберга канонических коммутационных соотношений с конечным числом степеней свободы (квантовая проблема моментов; см. \ 82, 91 ] ). В этих работах обобщался метод Рисса. В качестве оС выбиралась алгебра дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами в пространстве Шварца быстро-убывающих функций, и критерием разрешимости проблемы моментов оказывается положительность функционала £ на положительных операторах.

Дальнейшее развитие метода Рисса и применение его к некому мутативной проблеме моментов на произвольной вещественной конеч номерной алгебре Ли было проведено в работах [84, 87] .

В некоммутативной ситуации,возможно применение и второго подхода к проблеме моментов, позволяющего получить достаточные условия ее однозначной разрешимости (Ю.С.Самойленко ^ 55 ] ). Использование ГНС-конструкции и теории интегрирования представлений конечномерных алгебр Ли (§ 2.1) приводит к следующему результату.

Теорема 2,1,1. Пусть G - локально компактная вещественная группа Ли, - ее алгебра Ли, {X/ ,., - набор образующих ^ , Для однозначной разрешимости ^ -проблемы моментов достаточно, чтобы:

1) функционал 5 был положительно определен на -алгебре ;

2) имели место оценки

5(х£)| ^ СМ*к! к* 0,1,2,. - т, где С и Ai - некоторые постоянные.

Следующим естественным шагом является рассмотрение некоммутативной проблемы моментов на АЕ-алгебрах Ли. Постановка задачи, в сущности, аналогична конечномерной. Для вещественной АЕ-алгебры ^ определим * -алгебру о^ как множество полиномов от элементов % с комплексными коэффициентами, про-факторизованное по идеалу, порожденному элементами вида и считая элементы ^ кососамосопряженными. Задача заключается в следующем: при каких условиях функционал 5 на оС^ имеет вид 3 (ос) = ( dtCCoc)^, Q , где

- циклическое унитарное представление соответствующей локальной группы (теос , Q - его фиксированный циклический вектор.

Бесконечномерное обобщение классической проблемы моментов было рассмотрено Ю.М.Березанским и С.Н.Шифриным [ 7 J . Ставилась следующая задача. Пусть Ф - сепарабельное ядерное пространство, = I ~ набор линейных непрерывных симметричных функционалов на тензорных степенях Ф^ пространства Ф При каких условиях эти функционалы задаются интегралами

- ® = j (ъЛУ-. • ф' где ju - некоторая борелевская вероятностная мера на Ф , < •, • > - спаривание между Ш и W' ?

Одним из результатов этой работы является достаточное условие однозначной разрешимости Ф -проблемы моментов: I) положительная определенность последовательности 1 для любого набора { А*и любых и п. = л ■ - т J в

22 h A; s.® ) > 0 ;

2) квазианалитическая оценка на рост моментов: для любого ze W ®sc)| ^ С* , л ж- 0,1, I где EZ *Гт= = с» .

VW

Заметим, что задание последовательности [s^.}^^ эквивалентно заданию жнейного функционала 5 на комплексной обертывающей алгебре С * СРе > фге * . хф^х .

- комплексификация Ф ) коммутативной алгебры Ли fl? , и условие I) означает его положительную определенность.

В § 2.2 диссертации доказываются достаточные условия однозначной разрешимости некоммутативной проблемы моментов на вещественной сепарабельной АЕ-алгебре Ли. Если для решения этой задачи в конечномерном случае использовалась классическая теория интегрируемости представлений, то в этом случае используем условия интегрируемости представлений АЕ-алгебр Ли, доказанные в главе I.

Итак, пусть - вещественная сепарабельная АЕ-алгебра

Ли, S - линейный функционал на , удовлетворяющий условиям:

1) функционал £> положительно определен;

2) функционалы непрерывны по .

Пусть, кроме того, выполняется одно из следующих требовании:

3.1) для любого х е VC , где &С - плотное множество в ^ » имеет место оценка lS(x*)|* (0.D где и М - некоторые постоянные, и для любого ос. е: одномерная проблема моментов, порожденная последовательностью однозначно разрешима;

3.2) SСА,Г) - алгебра токов со значениями в конечномерной вещественной алгебре Ли Ж , Хп } - баг-зис в 'R. , d - тотальное множество в ©=5(А,КЛ,Г)» Для любого , fe= i,., Я; имеет место оценка (0.1),и для любого x=Tir(<)Xk, ye.Ф однозначно разрепшма одномерная проблема моментов (0.2);

3.3) ? - разрешимая АЕ-алгебра, £ - допустимое тотальное множество, $ = л.о, TL , и на "Е имеет место оценка (0.1);

3.4) % - разрешимая АЕ-алгебра, К - допустимый базис такой, что ряд из координат любого элемента абсолютно сходится, и оценка (0.1) выполняется на Ж равномерно.

Теорема. Для однозначной разрешимости # -проблемы моментов достаточно, чтобы выполнялись условия I), 2) и одно из условий 3.1), 3.2), 3.3), 3.4).

Заметим, что для однозначной разрешимости одномерной проблемы моментов (0.2) достаточны квазианалитические оценки на последовательность , более слабые, чем оценка (0.1).

В § 2.3. рассматривается пример "некоммутативной меры", однозначно восстанавливаемой по своим моментам - гауссовское представление канонических коммутационных соотношений (ССВ), некоммутативный аналог гауссовой меры.

Пусть & - группа Гейзенберга-Вейля с конечным числом степеней свободы: G = Z * К 1 , где 2 = ]Rzmf ос-<х'+ (о.з) где Ъ - косо симметричная невырожденная билинейная форма на 2» . Пусть (z,ос) I—*- унитарное представление

G такое, что 1 . Такое представление и называется представлением CCR. Иными словами, представление ССВ - это сильнонепрерывное семейство операторов \ V(&), Z£ Zj, удовлетворяющих коммутационному соотношению

V(*)V(z') = e|B(X,Z,> V(z<-z').

Циклическое представление CCR У с циклическим вектором Q будем называть гауссовским, есж его характеристическая функция pcfo-CVfc) ca,Q) =е"|А(г,2), (0.4) где А - невырожденная билинейная форма на Z .

В § 2.3 вычисляются моменты таких представлений. Пусть <р2м } - базис в Z такой, в котором кососимметрич-ная форма 3 имеет канонический вид

Справедливы следующие формулы для моментов: ос. *<■!-кг> R3 f-}KZtt~ 2п< и, следовательно,

Таким образом, по теореме 2.I.I гауссовское представление CCR однозначно восстанавливаются по своим моментам.

В третьей главе рассматриваются гауссовские представления ССЕ с бесконечным числом степеней свободы в форме Гординга-Вайтмана.

Пусть Сг = Z * К - ядерная группа Гейзенберга-Вейля, т.е. Z» - (Р* Ф , где Ф - ядерное пространство; предположим, что форма 3 в соотношении (0.2) имеет вид в((<р,у), <у,у)) = V) - в/«р», где - симметричная билинейная форма на ф (в конечномерном случае этого всегда можно добиться выбором соответствующего базиса). Тогда можно построить оснащенное гильбертово пространство фсН С Ш' такое, что В(<р,^/)= <<р,у> спаривание между ДО и Q?' » совпадающее со скалярным произведением в Я).

Рассмотрим представление CCR с бесконечным числом степеней свободы

G эСс^.оО — V0,v,°0, V(0,0,<*)« е'к2 ,

Коммутативные семейства операторов t(C<p) - V((p,0,0) и WCt") - У? (?) , в предположении простоты спектра одного из них, например W , реализуются в пространстве Где ^ " некоторая борелевская вероятностная W -квазиинвариантная мера на Ф , следующим образом (см. работы \ 19, 74 ] ):

W(Y)fK*) = ^<v,ae>

Здесь р<рО) - плотность, соответствующая сдвигу на (р , ос^О) - измеримая,равная по модулю 1 функция, удовлетворяющая уравнению

V<p2(x) = + коцикл.

Таким образом, представление CCR можно задать с помощью меры и коцикла; эквивалентные меры и коциклы порождают унитарно эквивалентные представления. Существование в бесконечномерном случае не эквивалентных коциклов (примеры коциклов см. в [ 41, 55 ] ) и не эквивалентных Ш -квазиинвариантных мер приводит к существованию не эквивалентных представлений CCR (в конечномерном случае имеет место теорема единственности Стоуна-фон Неймана; см., напр. [ 55 ] ).

Если представление CCR V гауссовское (см. соотношение (0.4)), то JU- гауссова мера в (В , а в качестве коцикла можно рассматривать функцию с 41 2<CV7oc>+ € у где С 5 Ф »—ф' - симметричный линейный оператор (всякий ли коцикл гауссовского представления CCR имеет такой вид, неизвестно). Коцикл оС^СО будем называть гауссовским.

Описанная конструктивная форма задания гауссовских представлений CCRпозволяет использовать при их исследовании свойства гауссовых мер в бесконечномерных пространствах (свойства гауссовых мер см., напр., в работах I 27, 59, 92 ] ).

Первые два параграфа главы посвящены изучению коммутативного семейства . В § 3.1 рассматривается случай о^(зс)= {. Первым результатом параграфа является признак Ш -квазиинвариантности гауссовой меры на с корреляционным оператором В : Ш •—Ш' , выраженный в терминах несимметричного корня из оператора "В , действующего в цепочке пространств А А*

V CL ФаН cijp' О. F' в где J* - некоторое жнейное топологическое пространство. Представим сужение оператора Б на F в виде

Btr - кк, где A'"F И И А*Н »—* F' - непрерывные невырожденные операторы.

Пространство J* и оператор А можно выбирать по-разному. Можно, например, ограничиться цепочкой Ш а И а Ш ', и, рассматривая 3 как непрерывный оператор из некоторого гильбертового пространства Н+ в Я , положить А = Vtf'B^T # , где СГ - изометрия между Н и Я+ . В случае, когда ф - ядерное пространство с базисом, можно, ортогонализуя этот базис в И , рассмотреть цепочку к7 <=• Ф с 4 с W «= и матрицу Bf-poe представить в виде Ъ f тооо = А*А » гДе

Л имеет верхнетреугольную форму, А* - транспонированная матрица.

Теорема 3.I.I. ТоГо, ™бн мера fc «няа W -квазиинвариантна, необходимо и достаточно, чтобы ф с: АХИ).

В этом случае отображение Щ э ср и-»- ^р^ (ос) е. Lz(fP[ (dxj) непрерывно в нуле.

Если условие (0.5) выполнено, то можно рассматривать представление пространства Ф операторами вида - <р* ® действующими в Z*2 ( (б/х)) .

Рассмотрим оператор 5 = (А*) * 0 '• Ш 1—Я , где 0 - вложение Ш в Г*' • Если выполнено условие (0.5), оператор S непрерывен.

Спектральные свойства представления бс^ описывает следующая теорема.

Теорема 3.1.2. Если множество плотно в И , представление имеет простой спектр. В противном случае спектр #® счетнократен. Спектральная мера представления, построенная по вектору максимального спектрального типа является гауссовской мерой в ©' , характеристическая функция которой имеет вид , . . где 3 i = 5*5 .

В § 3.2 рассматривается семейство с гауссовским коциклом. В начале параграфа показано, что функция ос ^ :

Ф С1 измерима, и отображение 5?эср »—) е е ^в(с/х)) непрерывно в нуле тогда и только тогда, когда С(Ш) с: КА , где Ид - пополнение пространства Т в норме [ • |(д = | А' || н и оператор С: ф •—К^ непрерывен. Если эти условия выполнены, можно рассматривать представление пространства W операторами в Lz JB Сс/хУ) . В этом случае рассмотрим оператор

АСА* • К4 •—- Я , где 5(0?).

Теорема 3.2.1. Если плотно в Ц , и оператор

АСА* в существенном самосопряжен, представление ZC имеет простой спектр. В этом случае его спектральная мера является гауссовской мерой в Ш , характеристическая функция которой имеет вид хор) е

-£<(В +С*ВС)ср,ф>

В § 3.3 даются условия эквивалентности гауссовских представлений CCR. V и Vi , порожденных коциклами

Ci и t fy^j соответственно, в терминах операторов в,Б i,c,cl

Теорема 3.3.1. Представления V и Y^ эквивалентны тогда и только тогда,когда:

D BJT-A*(bK)A, где К - оператор Гильберта-Шмидта в Н ;

2) оператор A(C-Ci)A* • 5( <р) «—Н является оператором Гильберта-Шмидта ( SOP)- замыкание множества в Н ).

Основные результаты работы докладывались на семинарах по гармоническому анализу, операторам математической физики и теории случайных процессов в Институте математики АН УССР, в ХУТ Воронежской зимней математической школе (1982 г.), на Координационных совещаниях по теории многокомпонентных случайных систем (Тюмень, 1980 г.; Ташкент, 1982 г.), на конференции по дифференциальных уравнениям и комплексному анализу (Черноголовка, 1985 г.) и опубликованы в [ 24 - 27 ].

Автор выражает глубокую благодарность своему учителю Юрию Стефановичу Самойленко за постоянное внимание и помощь в работе.

1. Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею.- М.: Физматгиз, 1961.- 310 с.

2. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.- Вшца школа, 1978, т.2.- 288 с.

3. Барут А., Рончка Р. Теория представлений и ее приложения.- М.: Мир, 1980,- т.1.- 455 е.; т.2.- 395 с.

4. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов.- Киев: Наук.думка, 1965.- 800 с.

5. Березанский Ю.М. Самосопряженные операторы в пространствах функций бесконечного числа переменных.- Киев: Наук.думка, 1978.- 360 с.

6. Березанский Ю.М. Проекционная спектральная теорема.-УМН, 1984, 39, вып.4 (238), с.3-52.

7. Березанский Ю.М., Шифрин С.Н. Обобщенная степенная симметрическая проблема моментов.- Укр.мат.журн., 1971, 23, № 3, с.291-306.

8. Булдыгин В.В. Сходимость случайных элементов в топологических пространствах.- Киев: Наук.думка, 1980.- 240 с.

9. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства.- М.: Изд-во иностр. литер., 1958.- 410 с.

10. Вахания Н.Н., Тариеладзе В.И., Чобанян С.А. Вероятностные распределения в банаховых пространствах.- М.: Наука, 1985.368 с.

11. Вершик A.M. Метагональная и метапликтическая бесконечномерные группы.- В кн.: Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. У- М.: Наука, 1983, с.3-35.

12. Вершик A.M., Гельфанд И.М., Граев М.И. Представление группы > гДе ^ " кольцо функций.- УМН, 1973, 28, вып.5, с.83-128.

13. Вершик A.M., Гельфанд И.М., Граев М.И. Неприводимые представления группы икогомологии.- Функц. анализ и его прил., 1974, 8, вы.2, с.67-69.

14. Вершик A.M., Гельфанд И.М., Граев М.И. Замечания о представлениях группы функций со значениями в компактной группе Ли.-М.:1975.- 36 с. (Препринт/АН СССР. Ин—т прикл.математики17).

15. Вершик A.M., Гельфанд И.М., Граев М.И. Представления группы диффеоморфизмов.- Успехи мат.наук, 1975, 30, вып.6,с.3-50.

16. Вершик A.M., Гельфанд И.М., Граев М.И. Коммутативная модель представления группы токов 5/, (2,Я)х , связанных с унипотентной подгруппой.- Функц. анализ и его прилож., 1981, 15, вып. 4, с.16-27.

17. Гельфанд И.М. Об однопараметрических группах операторов в нормированном пространстве.- Докл.АН СССР, 1939 , 25, В 9, с.711-716.

18. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции. Вып.2,3.-М.: Физматгиз, 1958.- 308 е.; 1959.- 472 с.

19. Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я. Обобщенные функции.Вып.4.-М.:Физматгиз, 1961.- 472 с.

20. Гельфанд И.М., Наймарк М.А. Нормированные кольца с инволюцией и их представления.- Изв.АН СССР. Сер.мат., 1948, 12, № 5, с.445-480.

21. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. T.I.- М.: Наука, 1971.- 664 с.

22. Далецкий А.Ю. Представление группы финитных сдвигов в пространстве функций счетного числа переменных.- В кн.: Математические модели статистической физики.- Тюмень, I982,c.I48-I5I.

23. Далецкий А.Ю. Представление группы сдвигов ядерного пространства.- Докл.АН УССР, 1982, II 12, с.9-11.

24. Далецкий А.Ю. Проблема моментов на конечномерных алгебрах Ли.- В кн.: Спектральная теория операторов в задачах математической .физики. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983,с.93-97.

25. Далецкий А.Ю. О квантовой проблеме моментов.- Теория вероятностей и мат.статистика, 1984, & 31.

26. Далецкий А.Ю. Интегрирование представлений ядерных алгебр Ли гладких токов.- В кн.: Спектральная теория операторови бесконечномерный анализ. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984, с.77-92.

27. Далецкий Ю.Л., Фомин С.В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных линейных пространствах.- М.: Наука, 1983.- 384 с.

28. Исмагилов Р.С. Об унитарных представлениях группы диффеоморфизмов окружности.- Функц. анализ и его прилож., 1971, 5, вньЗ, с.45-53.

29. Исмагилов Р.С. Об унитарных представлениях группы диффеоморфизмов компактного многообразия.- Функц.анализ и его прилож., 1972, 6, выт1, с.79-80.

30. Исмагилов Р.С. Об унитарных представлениях группы диффеоморфизмов компактного многообразия.- Изв.АН СССР. Сер.мат., 1972, 36, № I, с. 180-208.

31. Исмагилов Р.С. Об унитарных представлениях группы диффеоморфизмов пространства К* , к. ^ 2 .- Функц.анализ и его прилож., 1975, 9, вып.2, с.71-72.

32. Исмагилов Р.С. Об унитарных представлениях группы (X, (?) Мат.сб., 1976, 100, А I, с.117-131.

33. Исмагилов Р.С. Унитарные представления групп диффеоморфизмов, сохраняющих меру.- Функц.анализ и его прилож., 1977, II, вып.З, с.80-81.-по

34. Исмагилов Р.С. О представлениях группы глудких отображений отрезка в компактную группу Ли.- Фунвд. анажз и его при-лож., 1981, 15, вып.2, с.73-74.

35. Кириллов А.А. Элементы теории представлений.- М. :Наука, 1972.- 336 с.

36. Кириллов А.А. Представления бесконечномерной унитарной группы.- Докл.АН СССР, 1973, 212, № 2, с.228-290.

37. Кириллов А.А. Унитарные представления группы диффеоморфизмов и некоторых ее подгрупп. М., 1974.- 40 с. (Препринт/ АН СССР. Ин-т прикладной математики; В 82).

38. Кириллов А.А. Представления некоторых бесконечномерных групп Ли.- Вестн. Моск. ун-та, 1974, № I, с.75-83.

39. Кириллов А.А. Метод орбит и представления бесконечномерных групп Ли.- В кн.: Геометрия и топология в глобальных нелинейных задачах. Воронеж: Гос.университет, 1984, с.49-68.

40. Кириллов А.А. 0 тождествах в алгебре Ли гамильтоновых векторных полей на плоскости.- Препринт Ин-та прикл.математ. АН СССР, 1983, В 121.- 20 с.

41. Коломыцев В.И., Самойленко 10.С. 0 счетном наборе коммутирующих самосопряженных операторов и канонических коммутационных соотношениях.- В кн.: Методы функционального анализа в задачах математической физики. Киев, 1978, с.115-128.

42. Коломыцев В.И., Самойленко Ю.С.О счетном наборе коммутирующих самосопряженных операторов и алгебре локальных наблюдаемых.- Укр.мат.журн., 1979, 31, № 4, с.365-371.

43. Косяк А.В. Область Гординга для представлений канонических коммутационных соотношений.- Укр.мат.журн., 1984, 36, J6 6, с.709-715.

44. Косяк А.В.Продолжение унитарных представлений грушш финитных верхнетреугольных матриц бесконечного порядка.- В кн.:-IllСпектральная теория операторов и бесконечномерный анализ. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984, с.102-111.

45. Косяк А.В., Самойленко Ю.С. О семействах коммутирующих самосопряженных операторов.- Укр.мат.журн., 1979, 31, Л 5,с.555-558.

46. Косяк А.В., Самойленко Ю.С. Область Гординга и целые векторы для индуктивных пределов локально компактных групп. -Укр.мат.журн., 1982, 35, №4, с.427-434.

47. Любич Ю.И. О спектре представления топологических абеле-вых групп.- Докл.АН УССР, 1971, 200, В 4, с.777-779.

48. Ольшанский Г.И. Унитарные представления бесконечномерных классических групп UL feoo) , S0o(p,<x>), $р(р, и соответствующих групп движений.- Докл.АН СССР, 1978 , 238, $ 6, с.1295-1298.

49. Ольшанский Г.И. Унитарные представления бесконечномерных классических групп %0о(р, 5о© ) и соответствующих групп движений.- Функц. анализ и его прилож., 1978, 12, вып.З, с.32-44.

50. Ольшанский Г.И. Конструкция унитарных представлений бесконечномерных классических групп.- Докл.АН СССР, 1980, 250, Л 2, с.284-288.

51. Ольшанский Г.И. Описание унитарных представлений со старшим весом для групп ИСр,^) Функц. анализ и его прилож., 1980, 14, вып.З, с.32-44.

52. Постников М.М. Группы и алгебры Ли.- М.: наука, 1982.447 с.

53. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. I. Функциональный анализ.- М.: Мир, 1977.- 357 с.

54. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 2. Гармонический анализ. Самосопряженность.- М.: Мир,1978.-395 с.

55. Самойленко Ю.С. Спектральная теория наборов самосопряженных операторов.- Киев: Наук.думка, 1984.- 232 с.

56. Самойленко Ю.С. О счетных семействах самосопряженных операторов.- В кн.: Спектральная теория операторов и бесконечномерный анализ. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984,с. 132-137.

57. Скороход А.В. Конструктивные методы задания случайных процессов.- УМН, 1965, 20, вып.З, с.67-87.

58. Скороход А.В. О допустимых сдвигах мер в гильбертовом пространстве.- Теория вероятн.и ее примен., 1970, 15, вып.4, с.577-598.

59. Скороход А.В. Интегрирование в гильбертовом пространстве.- М.: наука, 1975.- 231 с.

60. Холево А.С. О квантовых характеристических функциях.-Проблемы передачи информации, 1970, 6, вып.4, с.42-48.

61. Холево А.С. Обобщенно свободные состояния С*-алгебры соотношений коммутации. I, П,- Те орет. мат. физика, 1971, 6, 1 I, с.3-20; 1971, 6, №2, с.145-150.

62. Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории.- М.: Наука, 1980.- 320 с.