Об условиях нелокального по времени существования решений параболических уравнений на многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1. О существовании нелокальных по времени решений дифференциальных уравнений на конечномерных многообразиях

1.1. О глобальной продолжимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений

1.2. Феллеровские эволюционные семейства на многообразии. Постановка задачи и обсуждение.

1.3. Необходимые и достаточные условия существования полного феллеровского эволюционного семейства

1.4. Случай уравнения теплопроводности.^-стохастическая полнота многообразия.^.

2. О вложении многообразий в стохастически полные многообразия 55 2.1. Вложение полного риманова многообразия как вполне геодезического подмногообразия в RN.

2.2. О вложении полных конечномерных многообразий в стохастически полные римановы многообразия

3. О существовании феллеровских эволюционных семейств на бесконечных произведениях многообразий

3.1. Постановка задачи.

3.2. Основная конструкция для компактных сомножителей

3.3. Случай некомпактных многообразий.

Условия нелокального (глобального) по времени существования решений различных дифференциальных уравнений представляют большой интерес, в частности, для математической физики в связи с проблемой адекватности описания реальных физических процессов указанными уравнениями. Эти условия изучались многими математиками. Для обыкновенных дифференциальных уравнений на конечномерных линейных пространствах укажем классические работы А. Уитнера (A. Witner), К. Кука (K.L. Cooke), Р.В. Петропавловской, Ж. Леллон-Ферран (J. Lellong-Ferrand), М.А. Красносельского, В.М. Матросова и многих других. В этих работах были получены достаточные условия существования на ( — оо, + оо) (т.е. полноты) всех решений обыкновенного дифференциального уравнения. В работах Ю.Е. Гликлиха [6], [8], [35] было получено необходимое и достаточное условие полноты на гладком многообразии в терминах ограниченности правой части относительно полных ри-мановых метрик на расширенном фазовом пространстве.

Для конечномерного параболического уравнения задача Коши обычно преобразуется к так называемой абстрактной задаче

Коши, т.е. к обыкновенному линейному дифференциальному уравнению в бесконечномерном пространстве, чьи решения называются обобщенными решениями классической задачи. Таким образом, возникает вопрос о перенесении конечномерных условий полноты для обыкновенных дифференциальных уравнений на случай абстрактных задач Коши.

Продуктивным методом исследования абстрактных задач Коши для параболических уравнений является переход к стохастическим дифференциальным уравнениям в конечномерных пространствах, обоснованный для широкого класса задач. Важной особенностью этого приема является тот факт, что возникающие при этом эволюционные семейства (в автономном случае - полугруппы), задающие решения абстрактной задачи Коши, обладают дополнительными свойствами. Это так называемые феллеровские эволюционные семейства (полугруппы) - сжимающие и переводящие множество положительных непрерывных ограниченных функций в себя. Поэтому вопрос о нелокальном по времени существовании фелле-ровских эволюционных семейств (ФЭС) напрямую связан с проблемой нелокального существования решений стохастических дифференциальных уравнений.

Для стохастических дифференциальных уравнений в конечномерных линейных пространствах и на многообразиях достаточные условия нелокального по времени существования решений были описаны К. Ито (К. Ito), Р. Хасьминским, С.-Т. Яо (S.-T. Yau),

А. Григорьяном и многими другими. Особо выделим очень общее достаточное условие, полученное К.Д. Элворти (K.D. Elwor-thy) [33]. Отметим, что необходимые и достаточные условия для полноты решений стохастических дифференциальных уравнений или для абстрактных задач Коши не были известны.

Важной задачей математической физики является задача построения ФЭС, дающих решения параболических уравнений на бесконечном произведении конечномерных римановых многообразий. Эти произведения возникают при описании решеточных систем. Все произведение при этом является пространством состояний системы, а каждый сомножитель является одночастичным (спиновым) пространством и в различных моделях может быть конечномерным линейным пространством, компактным или некомпактным гладким многообразием и даже бесконечномерным пространством. Особенностью указанных бесконечных произведений является тот факт, что на них структура бесконечномерного гладкого многообразия вводится с использованием некоторых вспомогательных конструкций (т.е., можно сказать, не является естественной). Это создает при исследовании дополнительные трудности.

В цикле работ С. Альбеверио (S. Albeverio), А.Ю. Далецкого и Ю.Г. Кондратьева [24] - [28] исследовался случай стохастических дифференциальных уравнений в форме Стратоновича на бесконечном произведении компактных многообразий. Случай уравнений

Ито (более просто связанный с параболическими уравнениями и не сводящийся к уравнению Стратоновича в случае негладких коэффициентов) ранее не рассматривался. Из произведений некомпактных сомножителей, по-видимому, рассматривался только случай произведения бесконечного числа евклидовых линейных пространств. Случай, когда сомножители являются некомпактными гладкими многообразиями, подробно не изучался.

Основной целью работы является исследование условий нелокального по времени существования решений обыкновенных дифференциальных уравнений на гладких многообразиях и нелокального по времени существования обобщенных решений параболических уравнений в терминах ФЭС на конечномерных гладких многообразиях и бесконечных произведениях конечномерных гладких многообразий.

Перечислим основные новые результаты, полученные в работе.

1. Найдено необходимое и достаточное условие существования глобального по времени решения обыкновенного дифференциального уравнения на конечномерном гладком многообразии в терминах так называемых собственных функций на расширенном фазовом пространстве.

2. Введено новое понятие полного ФЭС и доказан ряд теорем, содержащих необходимые и достаточные условия нелокального по времени существования полных ФЭС, приводящих к обобщенным решениям параболических уравнений на конечномерном гладком многообразии.

3. Доказана теорема о возможности изометрического вложения любого полного конечномерного риманова многообразия как вполне геодезического подмногообразия в некоторое риманово многообразие, на котором уравнение теплопроводности имеет глобальное по времени обобщенное решение.

4. Получены достаточные условия нелокального по времени существования ФЭС на бесконечном произведении конечномерных гладких многообразий для случая компактных и для случая некомпактных сомножителей.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на девять параграфов, и списка литературы.

1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд; Москва: НАУКА, 1975.- 239 с.

2. Бишоп Р. Геометрия многообразий / Р. Бишоп, Р. Криттен-ден; М: Мир, 1967. 335 с.

3. Вентцель А.Д. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений / А.Д. Вентцель, М.И. Фрейдлин; Москва: НАУКА, 1979. 424 с.

4. Владимиров B.C. Уравнения математической физики / B.C. Владимиров; Москва: НАУКА, 1976. 528 с.

5. Гихман И.И. Введение в теорию случайных процессов / И.И. Гихман, А.В. Скороход; Москва: НАУКА, 1977. 567 с.

6. Гликлих Ю.Е. Об условиях нелокальной продолжимости интегральных кривых векторных полей / Ю.Е. Гликлих // Дифференциальные уравнения, 1977.- Т. 12, N 4.- С. 743-744.

7. Гликлих Ю.Е. О римановых метриках, обладающих римановым равномерным атласом / Ю.Е. Гликлих // Дифференциальная геометрия многообразий фигур Калининград. - 1985. -Вып 16. - С. 17-19.

8. Гликлих Ю.Е. Анализ на римановых многообразиях и задачи математической физики / Ю.Е. Гликлих; Воронеж: Изд-во ВГУ, 1989. 192 с.

9. Гликлих Ю.Е. О стохастических дифференциальных уравнениях Ито на бесконечных произведениях римановых многообразий / Ю.Е. Гликлих, JI.A. Морозова // Известия РАЕН МММИУ. 1998. - Т. 2, N 1. - С. 71-79.

10. Гликлих Ю.Е. О решениях стохастических дифференциальных уравнений Ито на продакт-многообразиях / Ю.Е. Гликлих, JI.A. Морозова // Вестник Воронежского университета, серия Физика Математика. 2000.- вып. 1. - С. 116-118.

11. Гликлих Ю.Е. Необходимые и достаточные условия L1-полноты стохастического потока / Ю.Е. Гликлих, JI.A. Морозова // Воронежская зимняя математическая школа-2002. Тезисы докладов. Воронеж: ВГУ, 2002. - С. 16-17.

12. Далецкий Ю.Л. Стохастические уравнения и дифференциальная геометрия / Ю.Л. Далецкий, Я.И. Белопольская; Киев: Вьнца школа, 1989. 295 с.

13. Дынкин Е.Б. Марковские процессы/ Е.Б. Дынкин; М.: Физ-матгиз, 1963. 860 с.

14. Морозова Л.А. Замечание о нелокальной продолжимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений/ Л.А. Морозова // Стохастический и глобальный анализ. Тезисы. Воронеж: ВГУ, 1996. - С. 86-87.

15. Морозова Л.А. Об условиях существования решения стохастического дифференциального уравнения Ито на бесконечном произведении некомпактных римановых многообразий / Л.А. Морозова // Понтрягинские чтения X. Тезисы докладов. - Воронеж, ВГУ, 1999. - С. 172.

16. Морозова JI.A. О вложениях многообразий в стохастически полные римановы многообразия / JI.A. Морозова // Тезисы докладов международной школы-семинара по геометрии и анализу, посвященной 90-летию Н.В. Ефимова. Ростов-на-Дону, 2000. - С. 233-234.

17. Морозова JI.A. О вложении риманова многообразия в стохастически полное многообразие / JI.A. Морозова // Труды молодых ученых физико-математического факультета. Курск: КГПУ, 2001. - С. 44-49.

18. Фрейдлин М.И. О факторизации неотрицательно определенных матриц / М.И. Фрейдлин // Теория вероятностей и ее применения, 1968, 13, N 2.- С. 375-378.

19. Ширяев А.Н. Вероятность / А.Н. Ширяев; Москва: Наука, 1980. 576 с.

20. Эизенхарт Л.П. Риманова геометрия / Л.П. Эйзенхарт; М.: Физматгиз, 1948.-256 с.

21. Albeverio S. A stochastic differential equation approach to some lattice models on compact Lie groups / S. Albeverio, A. Daletskii, Yu. Kondratiev // Random Operators and Stochastic equations, 1996, V. 4, N 3, 227-237.

22. Albeverio S. Infinite systems of stochastic differential equations and some lattice models on compact Riemannian manifolds / S. Albeverio, A. Daletskii, Yu. Kondratiev // Украинский математический журнал, 1997, V.49, N 3, 326-338.

23. Albeverio S. Stochastic evolution on product manifolds / S. Albeverio, A. Daletskii, Yu. Kondratiev; Preprint Univ. Bonn, 1998.

24. Albeverio S. Stochastic equations and Dirichlet operators on product manifolds / S. Albeverio, A. Daletskii, Yu. Kondratiev; Preprint SFB 256 Univ. Bonn, 1999. 39 p.

25. Albeverio S. Stochastic analysis on product manifolds: Dirichlet operators on differential forms / S. Albeverio, A. Daletskii, Yu. Kondratiev; Preprint SFB 256 No.598, Universitat Bonn, 1999. -38 p.

26. Baxendale P. Measures and Markov processes on function spaces / P. Baxendale // Bull. Soc. Math. France. 1976. - Memoir 46. -P. 131-141.

27. Belleni-Morante A. Applied Nonlinear Semigroups / A. Belleni-Morante, A.C. McBride; Jhon Wiley & Sons Ltd, 1998. 283 p.

28. Casteren Jan A. Van Feynman-Kac semigroups, martingales and wave operators / Jan A. Van Casteren // Journal of the Korean Mathematical Society. Vol.38, No.2, 227-274

29. Casteren Jan A. Van On the Korovkin property and Feller semigroups / Jan A. Van Casteren // Stochastic Analysis and Mathematical Physics ANESTOC'98(R. Rebolledo, ed.), Birkhauser, 2000, Proceedings of Third International Workshop, pp. 123-154

30. Elworthy K.D. Stochastic differential equations on manifolds / K.D. Elworthy; Lect. Notes of London Math. Soc., vol. 70, Cambridge University Press, Cambridge 1982 342 p.

31. Gliklikh Yu.E. Ordinary and Stochastic Differential Geometry as a Tool for Mathematical Physics / Yu.E. Gliklikh; Dordrecht: Kluwer, 1996. 205 p.

32. Gliklikh Yu.E. Global Analysis in Mathematical Physics. Geometric and Stochastic Methods / Yu.E. Gliklikh; N.Y.: Springer-Verlag, 1997. 229 p.

33. Gliklikh Yu.E. The notion of /^-completeness of a stochastic flow and /^-completeness of a Riemannian manifold / Yu.E. Gliklikh, L.A. Morozova; Warwick preprint: 29/2002, August 2002. 9 p.

34. Gliklikh Yu.E. On the notion of /^-completeness of a stochastic flow on a manifold / Yu.E. Gliklikh, L.A. Morozova // Abstract and Applied Analysis.- 2002. V. 7. - N 12. - P. 627-635.

35. Grigor'yan A. Analitic and Geometric Background of Recurrence and Non-explosion of Brownian Motion on Riemannian Manifolds / A. Grigor'yan // Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society, 1999, V. 36, N 2.-P. 135-249.

36. Hsu E.P. Stochastic Analysis on Manifolds / E.P. Hsu.- Graduate Studies in Mathematics, Volume 38, American Mathematical Society, Providens, Rhode Island, 2002. 295 p.

37. Morozova L.A. On conditions for global prolongation of solutions of stochastic differential equations / L.A. Morozova // International conference Stochastic Analysis and Related Topics. Abstracts. St. Peterburg, 2001. - P. 56-57.

38. Morozova L.A. On the notion of /^-completeness of a stochastic flow on a manifold / L.A. Morozova // International Gnedenko Conference, Kyiv June 3-7 2002. Abstracts. Kyiv, 2002. - P. 168.

39. Nash J. CMsometric imbeddings / J. Nash // Annals of Mathematics Vol. 60, No. 3, November, 1954. P. 383-395.