Энтропийные характеристики бесконечномерных гибридных вероятностных систем

Кузнецова, Анна Александровна

Энтропийные характеристики бесконечномерных гибридных вероятностных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Кузнецова, Анна Александровна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2014 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Энтропийные характеристики бесконечномерных гибридных вероятностных систем»

Автореферат диссертации на тему "Энтропийные характеристики бесконечномерных гибридных вероятностных систем"

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана

На правах рукописи

Кузнецова Анна Александровна

Энтропийные характеристики бесконечномерных гибридных вероятностных систем

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 и АПР 2014

Москва. 2014 г.

005546825

Работа выполнена на кафедре высшей математики факультета Фундаментальные Науки ФГБОУ ВПО «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана».

Научный руководитель: Холево Александр Семенович —

д.ф.-м.н., профессор,

заведующий отделом теории вероятностей и математической статистики Математического института им. В.А. Стеклова РАН

Официальные оппоненты: Смолянов Олег Георгиевич —

д.ф.-м.н., профессор кафедры теории функций и функционального анализа механи ко- математическогоф акул ьтета ФБГОУ ВПО «Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова»

Булинский Андрей Вадимович — к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт» (государственный университет)»

Ведущая организация: Институт проблем передачи информации

им. A.A. Харкевича

Российской Академии Наук (ИППИ РАН)

Защита диссертации состоится 29 мая 2014 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 002.022.01 при ФГБУН Математический институт им. В.А. Стеклова РАН по адресу: 119991, Москва, ул. Губкина, д. 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИАН и по адресу http://www.mi.ras.ru/dis/ref14/kuznetsova_diss.pdf.

Автореферат разослан_¿P^S _2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.022.01 при МИАН. доктор физико-математических наук, профессор

В. А. Ватутин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Одним из центральных результатов классической теории информации является теорема кодирования Шеннона, характеризующая пропускную способность классического канала связи, то есть предельную скорость асимптотически безошибочной передачи данных при длине сообщения, стремящейся к бесконечности. За последние десятилетия появилась и стала актуальной квантовая теория информации - научная дисциплина, изучающая общие закономерности передачи, хранения и преобразования информации в системах, подчиняющихся законам квантовой механики. Квантовая теория информации использует математические модели для исследования потенциальных возможностей таких систем, опираясь на методы некоммутативной теории вероятностей. Развитие математической теории квантовых каналов передачи информации является актуальной фундаментальной проблемой, связанной с новыми эффективными приложениями в области информационных технологий. Основополагающие результаты были получены в работах Шора, Холево, Шумахера, Винтера, Рускаи, Пар-тасарати и др. К настоящему времени существует обширный список литературы, из которого упомянем здесь лишь монографии, дающие систематическое изложение основ этой дисциплины1 2 3 4 5.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию энтропийных характеристик бесконечномерных гибридных (классически-квантовых) вероятностных систем и пропускных способностей соответствующих гибридных каналов передачи информации. Такой канал характеризуется несколькими пропускными способностями, в зависимости от рода передаваемой информации (классической либо квантовой) и дополнительных используемых ресурсов. В диссертационной работе рассматриваются классическая пропускная способность, классическая пропускная способность

1Nielsen M.A., Chuang I.I. Quantum Computation and Quantum Information. — Cambridge University Press, 2000

'Hayashi M. Quantum information: an Introduction. — Berlin, Springer, 2006

3Petz D. Quantum information theory and quantum statistics. — Berlin: Springer, 2008

4Холево „4.С.Квантовые системы, каналы, информация. — Москва: МЦНМО, 2010

5 Wilde M. Quantum Information Theory. — Cambridge University Press, 2013

с использованием сцепленного состояния и квантовая пропускная способность для специальных классов гибридных каналов.

Постановка задачи.

Основной характеристикой канала является его классическая пропускная способность С(Ф), которая определяет предельную скорость асимптотически безошибочной передачи классической информации. Протокол передачи классической информации предполагает кодирование классического сигнала состояниями на входе канала и декодирование (квантовое измерение) на выходе, по которым производится оптимизация. Имеет место теорема6 7, которая дает выражение для классической пропускной способности квантового канала Ф, действующего в конечномерных гильбертовых пространствах:

С(Ф) - lim -СХ(Ф®"), (1)

п-юо п

где

Сх( Ф) = sup НА}

Я(£) — энтропия фон Неймана., а точная верхняя грань берется по всевозможным конечным входным ансамблям 7Г = {тт^, 5*}, где {51,} — состояния, {тг,} — соответствующие вероятности. Доказательство прямого утверждения теоремы (неравенство > в формуле (1)) основано на теореме кодирования для классически-квантового (с-ч) канала. Более подробно, с-д канал предполагает наличие классического параметра х, пробегающего входной (конечный или бесконечный) алфавит X и отображение х —> Бх в квантовые состояния на выходе канала. Классическая пропускная способность С такого канала Т дается величиной

С(Т) = 8ирХ(7г)1 (2)

7Г

где

Х(тг) = Я - ^тггЯ(5х)

\ х ) X

6 Holevo A.S. The capacity of quantum communication channel with general signal states. // IEEE Trans, inform. Theory.- 1998. — Vol.44, P.269-272

7 Schumacher B., Westmoreland M.D. Sending classical information via noisy quantum channel. // Phys. Rev. A.- 1997.- Vol. 56, P. 131-138

и 7Г = {7ГЖ} — распределение вероятностей на X.

Другим типом классической пропускной способности является пропускная способность с использованием сцепленного состояния (entanglement-assisted classical capacity). Впервые протокол передачи информации с использованием сцепленности был рассмотрен в работе Шора с соавторам^. Этот протокол предполагает, что системы А (передатчик) и В (приемник) имеют общее сцепленное состояние Sab в качестве дополнительного ресурса. По сравнению с обычной пропускной способностью, использование сцепленности может дать возможность многократного увеличения скорости передачи для квантовых каналов с шумом. В частности, имеет место подобный выигрыш для ряда так называемых измерительных каналов10, представляющих интерес для приложений (квантовая томография в конечномерном пространстве, оптическое гетеродинирование с ограничением на энергию входного сигнала и др.)

Опишем этот протокол более подробно. Пусть На и Нв ~ гильбертовы пространства, соответствующие квантовым системам А и В. Передатчик А и приемник В находятся в чистом сцепленном состоянии Sab• Участник А кодирует классический сигнал г, появляющийся с вероятностью щ, в кодирующий канал £г-, действующий в У.а- Далее £i применяется к соответствующей части состояния Sab, и совместное состояние систем А и В можно описать как SlAB = (£,; <g) M^Sab-

После передачи по каналу Ф составная система описывается операторами плотности

<л = (Ф о £i ® Ub)Sab-

8 Холево А.С Некоторые оценки для количества информации, передаваемого квантовым каналом связи. // Пробл. передачи информ. — 1973. — Т.9, ДОЗ, С.3-11

sBennett С.Н., Shor P.W., Smolin J.A., Thaplyal A.V. Entanglement-assisted capacity and the reverse Shannon theorem. // IEEE Trans. Inform. Theory — 2002. — Vol. 48, P. 2637-2655

10Холево А.С. Информационная емкость квантовой наблюдаемой. // Проблемы передачи информации — 2012. — Т. 48, вып. 1, С. 3-13

Предполагается, что участник В может производить измерения наблюдаемых в системе А'В, извлекая, таким образом, информацию о сигнале х.

Возможно применение блочного кодирования, что означает применение описанного выше протокола к тензорной степени Ф®" канала Ф.

Пропускная способность с использованием сцепленности определяете^ как классическая пропускная способность описанного выше протокола, в котором производится оптимизация по всевозможным сцепленным состояниям и кодирующим каналам.

Из теоремы о классической пропускной способности следует, что величина Сеа(Ф) дается формулой

Сеа(Ф) = lim Ф®"),

П-¥0С П

где

sup

СД5(Ф) =

щ(ф О S\ ® Мв)5лв) - J2 ° ^ ®

и точная верхняя грань берется по всевозможным конечным распределениям вероятностей {я^} и соответствующим кодированиям в пространстве На-

В конечномерном случае в работе9 было получено явное выражение для классической пропускной способности с использованием сцепленности через квантовую взаимную информацию I(S, Ф), а именно

Сеа(Ф) = max/(5, Ф),

где

I(S, Ф) - H(S) + Я(Ф(5)) - #(Ф ® ШШШ)), IV'sKV'sI — очищение состояния S.

В последние годы возрастает интерес к бесконечномерным квантовым системах и каналам (к которым относятся и квантовые гауссовские каналы). Для бесконечномерных квантовых систем были сформулированы и доказаны теоремы о классических.пропускных способностях с учетом

ограничений на входные ансамбли состояний11. Переход к бесконечномерному случаю связан с рядом усложнений. Первой особенностью является то, что энтропийные характеристики, участвующие в выражениях для пропускных способностей, могут принимать бесконечные значения. Вследствие этого пропускные способности могут быть бесконечны, возможно и возникновение неопределенностей. Это приводит к необходимости введения ограничений на входные ансамбли состояний (например, ограничение на среднюю энергию в случае гауссовских каналов), которые исключают такие патологии. В бесконечномерном случае происходят и другие изменения свойств энтропийных характеристик. В частности, энтропия фон Неймана, непрерывная в конечномерных пространствах, в бесконечномерном случае является лишь полунепрерывной снизу.

Важное значение имеет изучение пропускных способностей измерительных (квантово-классических) каналов. Простейшим примером может служить канал Л4, соответствующий измерению наблюдаемой М = {Му, у 6 У}-, где У — дискретный выходной алфавит. В этом случае канал представляет собой аффинное отображение выпуклого множества квантовых состояний S в множество дискретных распределение вероятностей {TrSMy, у £ Л- Описанный выше канал можно "вложить" в квантовый, используя представление

M(S) = Y^^SMyley)(ey\, (3)

где {еу} — ортонормированный базис. В этом случае к нему применимы известные теоремы кодирования в случае конечного У, либо их бесконечномерное обобщение в случае счетного [У11.

Однако подобный прием не работает в случае непрерывного алфавита и наблюдаемой М, которая задается произвольной вероятностной операторно-значной мерой M(dw), так как в этом случае не существует аналога формулы (З)10. В этом случае формулировка протокола передачи информации с использованием сцепленности, а также доказательство

иХолево A.C. Классические пропускные способности квантового канала с ограничением на входе. // Теория вероятностей и ее применения — 2003. — Т. 48, N'2, С. 359-374

соответствующей теоремы кодирования, требуют рассмотрения так называемых гибридных (классически-квантовых) вероятностных систем12 13.

В настоящей диссертационной работе исследованы бесконечномерные измерительные каналы с произвольным измеримым алфавитом Í2. Для них доказаны теоремы кодирования, дающие энтропийные выражения для классической пропускной способности и классической пропускной способности с использованием сцепленности.

Принципиально другой характеристикой канала является его квантовая пропускная способность. Квантовое состояние само по себе является информационным ресурсом, и понятие квантовой пропускной способности связано с задачей асимптотически безошибочной передачи квантовых состояний по каналу с шумом. Соответствующий протокол предполагает использование кодирования на входе канала и декодирования на выходе. Имеет место теорема кодирования, дающая следующее выражение для квантовой пропускной способности конечномерного канала <2(Ф):

ф(Ф)= lim -тах/сС^Ф®"), (4)

п-юо rt S

где

IC(S, Ф) = Я(Ф(5)) - Я(Ф ® ldR№s)№s\)) (5)

- когерентная информация. Неравенство <, соответствующее обратному утверждению теоремы кодирования, доказано в14 15. Доказательство прямого утверждения было получено позднее в работе16.

12Barchielli A., Lupieri G. Instruments and channels in quantum information theory. // Optics and Spectroscopy - 2005. - Vol. 99, P. 425-432

13Barchielli A., Lupieri G. Instruments and mutual entropies in quantum information. // Banach Center Publications — 2006. — Vol. 73, P. 65-80

14Barnum H., Nielsen M., Schumacher B. Information transmission through a noisy quantum channel // Fhys. Rev. A. -1998. - Vol. 57. P.1317-1329

lbBarnum H., Knill E., Nielsen M. On quantum fidelities and channel capacities // IEEE Trans. Inform. Theory. - 1998 - Vol. 46. P.4153-4175

l6Devetak I. The private classical capacity and quantum capacity of a quantum channel // IEEE Trans. Inform. Theory — 2005. - Vol. 51, .VI, P.44-55

определения когерентной информации 1С для бесконечномерного квантового канала. Такое определение для состояний с конечной энтропией было предложено в работе17. Опираясь на это определение, в диссертационной работе получена оценка верхней границы, из которой вытекает обратное утверждение теоремы кодирования.

Цели работы. Целью работы является доказательство теорем кодирования о классической пропускной способности и классической пропускной способности с использованием сцепленности для гибридных каналов в бесконечномерном случае, а также получение верхней оценю! для квантовой пропускной способности произвольного бесконечномерного квантового канала.

Научная новизна. Все полученные результаты являются новыми. Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Доказана теорема, дающая выражение для классической пропускной способности канала с квантовым входом и с гибридным выходом в случае бесконечных размерностей.

2. Доказаны теоремы кодирования для бесконечномерного квантово-классического (измерительного) канала с произвольным измеримым алфавитом, дающие энтропийные выражения для классической пропускной способности с использованием и без использования сцепленности.

3. Получена верхняя оценка для квантовой пропускной способности, из которой вытекает обратная теорема кодирования для квантовой пропускной способности бесконечномерного квантового канала.

Методы исследования. В диссертации используются методы некоммутативной теории вероятностей, теории меры и функционального анализа.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть применены в исследованиях по квантовой теории информации.

17Холево A.C., Широков М.Е. Взаимная и когерентная информация для бесконечномерных квантовых каналов. // Проблемы передачи информации — 2010. — Т. 46, вып. 3, С.3-21

Апробация работы. Результаты работы докладывались автором на следующих научных конференциях и семинарах:

1. Конференция «Ломоносов-2011», Москва, 11-15 апреля 2011 г. Тема доклада: Обратная теорема кодирования для бесконечномерных квантовых каналов.

2. Конференция «Ломоносов-2013». Москва, 8-12 апреля 2013 г. Тема доклада: Теорема о классической пропускной способности измерительного канала с использованием сцепленности.

3. Научный семинар «Квантовая вероятность, статистика, информация» Отдела теории вероятностей и математической статистики Математического института им. В.А. Стеклова РАН, несколько докладов в 2010 - 2013 гг.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав. В первой главе вводятся основные понятия квантовой теории информации, используемые в работе. Вторая глава посвящена теоремам кодирования для классических пропускных способностей, третья глава -теоремам кодирования для классической пропускной способности с использованием сцепленности. четвертая глава — результатам, связанным с квантовой пропускной способностью. Объем диссертации 102 страницы. Список литературы содержит 49 наименований.

Благодарность. Автор выражает благодарность научному руководителю профессору A.C. Холево за постановку задачи, обсуждение и помощь в работе.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается краткий исторический обзор по тематике работы, перечислены цели исследования и изложены основные результаты.

В первой главе вводятся основные понятия и результаты, используемые в работе.

Вторая глава посвящена рассмотрению классической пропускной способности измерительных каналов с произвольным алфавитом и с ограничением на входные состояния.

Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство, — стан-

дартное измеримое пространство. Пусть также М{<ко) — вероятностная операторно-значная мера (ВОЗМ) на П ВОЗМ задает квантовую наблюдаемую со значениями в П, распределение вероятностей которой в состоянии 5 дается формулой

Р5(Л) = Тг5М(Л),

Рассмотрим измерительный канал Л4, т.е. аффинное отображение 5 —> Р5 (¿а;) выпуклого множества квантовых состояний 6(%) в множество распределений вероятностей на пространстве исходов измерения (Г2, .7-"), которое для краткости будем называть алфавитом.

В разделах 2.1 — 2.2 рассмотрена классическая пропускная способность измерительного канала с произвольным измеримым алфавитом в бесконечномерном случае. Заметим, что если ВОЗМ М{скл) определяется плотностью Р(оо) относительно скалярной сг-конечной меры /х, где Р(и>) — равномерно ограниченная (по операторной норме) слабо измеримая операторно-значная функция, то распределение вероятностей имеет плотность = Тг Б Р(ш) относительно меры /х. Доказывается существование плотности рз{ш) распределения вероятностей Р5(¿со) в общем случае. Доказательство опирается на обобщение теоремы Радона-Никодима для

ВОЗМ18.

Как уже было отмечено, в бесконечномерном случае вводятся ограничения на входные состояния канала. Пусть Р — самосопряженный, положительный, вообще говоря, неограниченный оператор в пространстве "Н. Введем подмножество состояний

ЛЕ = {5 е 6(П) : ТтЯР < Е], (б)

где Е — некоторая положительная постоянная. След в левой части (б) для оператора плотности 5 со спектральным разложением 5 = ^«1е«)(е«| понимается как сумма "Мл/^^Ц2, считая ||-ч/^Ре^|| = +оо, если е,- не принадлежит области определения у/Ё.

1аХолево А.С Каналы, разрушающие сцепленность, в бесконечных размерностях. // Пробл. передачи информ. — 2008. — Т. 44, выи. 3, С. 3-18

Для канала Л4®п соответствующее ограничение задается оператором = F®7(8)---®7 +----hi <8> I <8>---<8>F. Обозначим

л(п) = G . Xr5(n)F(n) < ^

Будем рассматривать конечные ансамбли 7Г = {/Т^. 5г}, обозначая среднее состояние ансамбля Sn = Ylx ^xSx• Доказана следующая теорема, дающее выражение для классической пропускной способности измерительного канала М. через информацию Шеннона /(

Теорема 1. Классическая пропускная способность измерительного канала Л4 с ограничением (7) дается соотношением

С(М, Ле) = sup 1(тт,М),

где

/(7Г, М) = Jр(ш\х) log P^rtdu), х п

p{uS), р{ш\х)— плотности распределения вероятностей P(du) = rTrS7!M{djj) и Px(du>) = TrSxM(duj), соответственно, относительно меры ц.

Доказательство использует представление величины 1{тг,ЛЛ) в виде супремума по конечным разбиениям измеримого пространства Г219.

В разделах 2.3 — 2.5 рассматриваются гибридные (классически-квантовые) системы и гибридные каналы. Основным результатом является теорема кодирования для каналов с квантовым входом и гибридным выходом (q-cq каналов) с ограничением вида (7) на входные состояния, которая используется далее при рассмотрении классической пропускной способности с использованием сцепленности.

Гибридная система описывается алгеброй фон Неймана £ = £°°(Q, Т, fi\ 35(H)), где (О, J7, д) — стандарное измеримое пространство с <7-конечной мерой, 03(H) — алгебра всех ограниченных операторов в Н20.

19 Добру шин P. JI. Общая формулировка теоремы Шеннона в теории информации. — УМН — 1959. - Т. 14, вып. 6(90), С. 3-104.

20 Брателли У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. — Пер.с англ. М.: Мир, 1982

Элементами предсопряженного пространства = £1(fi, яв-

ляются измеримые функции 5" = {5(ш)} со значениями в пространстве ядерных операторов Т('Н), интегрируемые по мере ц. Состоянием на алгебре С (cq-состоянием) называется элемент S = (S'(w)} £ такой что

S{lj) > 0 (mod ц), J TrS{u)~p{duj) = 1. п

Множество всех cq-состояний обозначается 6(Г2, %).

Для состояний гибридной системы вводится понятие cq-энтропии, a. именно

Яс,(5) = - J TcS{u)\ogS(u)n(du>).

Получен следующий результат для классической пропускной способности канала с квантовым входом и гибридным выходом.

Теорема 2. Пусть "На^Ив — гильбертовы пространства, Ф — канал, действующий из 6(На) в ö(fi, и удовлетворяющий условию

sup ЯЧ(Ф(5)) < оо. (8)

s:tvsf<e

Пусть входные состояния канала удовлетворяют ограничению

Tr5(n)F(n) < - (9)

Классическая пропускная способность канала Ф с ограничением (Э) конечна и равна

С(Ф) = lim - sup

{7га: Sa }: Sjt G .A^ ^

Доказательство теоремы существенно опирается на теорему о пропускной способности канала с классическим входом и гибридным выходом (также доказанную в диссертационной работе).

При доказательстве теорем кодирования попутно получен ряд результатов для энтропий гибридных систем, представляющих самостоятельный интерес (введено определение условной энтропии для классически-квантовых систем, установлены свойства монотонности и субаддитивности условной энтропии). .

(10)

Рассмотрена пропускная способность с использованием сцепленности для измерительного канала с ограничением. Формулировка протокола передачи информации с использованием сцепленного состояния обобщена на случай классически-квантовой выходной системы. Вводится определение пропускной способности с использованием спепленности для измерительного канала с ограничением Сеа(Л4, Ае), опирающееся на теорему 2 (поскольку Сеа(Л4, Ае) можно рассматривать как пропускную способность канала М. <Э Id с квантовым входом и гибридным выходом).

Вводится понятие редукции энтропии21 в случае измерения наблюдаемой М. Более подробно, согласно обобщению теоремы Радона-Никодима для ВОЗМ найдется счетное семейство борелевских функций ы —> ak(u>), таких что для почти всех из. являются линейными функционалами

на "D, удовлетворяющими условиям

f Y, IMoOMPAW = феъ, (11)

а к

(Ф\М(А)Ф) = [J2\(ak(uM\2Kdu), ipev.

A k

причем в качестве Т> можно взять линейную оболочку фиксированного ор-тонормированного базиса {<^г-}.

Рассмотрим квантовое состояние S со спектральным разложением S = SSi В силу условия (11), в фиксированном ортонормированом

базисе {ei}^! соотношение

оо

5И = (12)

7=1 j,k

где

ос

¿=1 j,k

для почти всех из задает состояние, называемое апостериорным состоянием. Смысл этого термина в том, что S(uj) описывает состояние квантовой

21 Shirokov М.Е. Entropy reduction of quantum measurement. // Journal of Mathematical Physics — 2011. - Vol. 52, №5, 052202

системы после измерения наблюдаемой М. которое завершилось исходом ш.

Определим редукцию энтропии соотношением

ER(S, М) = H{S) - Jp(u)H(S(u))n{du), (13)

которое корректно, если H(S) < оо.

В работе доказана следующая теорема, дающая выражение для классической пропускной способности с использованием сцепленности, в случае измерительного канала с ограничением.

Теорема 3. Пусть М — измерительный канал с ограничением TtSaF < Е на входные состояния. Предположим, что оператор F удовлетворяет условию

Tr exp(—(3F) < со для всех /3 > 0, (14)

а канал М дополнительно удовлетворяет условию

sup h{psA) < оо, (15)

SA:TtSAF<E

где h(psA) — классическая дифференциальная энтропия плотности выходного распределения вероятностей канала М.. Тогда классическая пропускная способность с использованием сцепленного состояния дается выражением

Сеа{М,АЕ)= sup ER(Sa,M). (16)

SA: TrSaF<E

ER(S, M) = H(S) - J p{L0)H(S(uj))n(du), n

В главе 4 рассматриваются результаты, связанные с квантовой пропускной способностью бесконечномерного квантового канала.

В разделе 4.1 изучены свойства квант,овой условной энтропии. Для конечномерных систем условная энтропия определяется как разность эн-тропий фон Неймана Н(А\В) = Н(АВ) — Н(В). В бесконечномерном случае возможно возникновение неопределенности, если оба члена в правой

части бесконечны. В диссертации вводится определение условной энтропии, корректное при условии конечности энтропии Н(А). Показано, что определенная таким образом условная энтропия может принимать только конечные значения и обладает свойствами монотонности, вогнутости, субаддитивности. Отметим, что известное доказательство вогнутости22 существенно использует конечномерность пространства, поэтому в диссертации предложен новый подход.

В разделе 4.2 получена верхняя оценка для квантовой пропускной способности в бесконечномерном случае.

Предложение 1. Пусть Ф - произвольный квантовый канал с сепа-рабелъными гильбертовыми пространствами входа и выхода. Тогда для квантовой пропускной способности канала Ф имеет место неравенство

Q(<P)<lim- sup Ie(S, Ф®п),

п~*°° 71 S:H(S)<оо

где IC(S, Ф) — бесконечномерное обобщение когерентной информации17, определенной формулой (5), а верхняя грань берется по всевозможным состояниям S с конечной энтропией во входном пространстве

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Кузнецова A.A. Условная энтропия бесконечномерных квантовых систем // Теория вероятностей и ее применения. — 2010. — Т.55, ЛМ. — С. 782-790.

2. Кузнецова A.A. Обратная теорема кодирования для бесконечномерных квантовых каналов // Вестник Московского Университета, сер. 1. Математика. Механика. - 2013. - №1. - С. 32 - 37.

3. Кузнецова A.A., Холево A.C. Теоремы кодирования для гибридных каналов // Теория вероятностей и ее применения. — 2013. — том 58. №2. — С. 298-324.

4. Кузнецова A.A., Холево A.C. Теоремы кодирования для гибридных каналов II // Теория вероятностей и ее применения. — 2014. — том 59, №1. — С. 73-88.

22 Wehrt А. General Properties of entropy. // Reviews oj Modern Physics— 1978.— V.50, №2, P. 221-260

Подписано в печать 13.03.2014 Тираж 100 экз.

Отпечатано в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН Москва, 119991, ул. Губкина, 8

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Кузнецова, Анна Александровна, Москва

Московский государственный технический университет

им. Н. Э. Баумана

На правах рукописи

04201457750

Кузнецова Анна Александровна

Энтропийные характеристики бесконечномерных гибридных вероятностных систем

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор А.С.Холево

Москва, 2014 г.

Оглавление

Введение................................................................................2

0.1 Общая характеристика работы..................................................2

0.2 Содержание работы ............................................................11

1 Основные понятия 18

2 Классическая пропускная способность 26

2.1 Определение измерительного канала..........................................27

2.2 Классическая пропускная способность измерительного канала............33

2.3 Классически-квантовые системы и условная энтропия в гибридной системе 36

2.4 Классическая пропускная способность каналов с классическим входом и гибридным выходом ............................................................42

2.5 Классическая пропускная способность каналов с квантовым входом и гибридным выходом ............................................................51

3 Классическая пропускная способность измерительного канала с использованием сцепленности 56

3.1 Протокол передачи информации с использованием сцепленности .... 56

3.2 Классическая пропускная способность с использованием сцепленности

для измерительного канала......................................................59

3.3 Примеры пропускных способностей измерительных каналов..............73

4 Передача квантовой информации 77

4.1 Когерентная информация и условная энтропия..............................77

4.2 Верхняя граница для квантовой пропускной способности..................88

Список литературы 96

Введение

0.1 Общая характеристика работы

Актуальность темы

Одним из центральных результатов классической теории информации является теорема кодирования Шеннона, характеризующая пропускную способность классического канала связи, то есть предельную скорость асимптотически безошибочной передачи данных при длине сообщения, стремящейся к бесконечности. За последние десятилетия появилась и стала актуальной квантовая теория информации - научная дисциплина, изучающая общие закономерности передачи, хранения и преобразования информации в системах, подчиняющихся законам квантовой механики. Квантовая теория информации использует математические модели для исследования потенциальных возможностей таких систем, опираясь на методы некоммутативной теории вероятностей. Основополагающие результаты были получены в работах Шора, Холево, Шумахера, Винтера, Рускаи, Партасарати и др. Развитие математической теории квантовых каналов передачи информации является актуальной фундаментальной проблемой, связанной с новыми эффективными приложениями в области информационных технологий. К настоящему времени существует обширный список литературы, из которого упомянем здесь лишь монографии, дающие систематическое

изложение основ этой дисциплины, например, [1], [2], [3], [4], [6].

Постановка задачи

Основной характеристикой квантового канала является его классическая пропускная способность С(Ф), которая определяет предельную скорость асимптотически безошибочной передачи классической информации. Протокол передачи классической информации предполагает кодирование классического сигнала состояниями на входе канала и декодирование (квантовое измерение) на выходе по которым производится оптимизация. Имеет место теорема [7], [8], которая дает выражение для классической пропускной способности квантового канала Ф, действующего в конечномерных гильбертовых пространствах:

С(Ф) = lim ФП (1)

n->oo tl

где

г г

H(S) — энтропия фон Неймана, а точная верхняя грань берется по всевоз-

СХ(Ф) = sup

{л-,,5,}

можным конечным входным ансамблям 7г = {тг^, где {¿'г} — состояния, {-7Гг} — соответствующие вероятности. Доказательство прямого утверждения теоремы (неравенство > в формуле (1)) основано на теореме кодирования для классически-квантового (с^) канала. Более подробно, с-д канал предполагает наличие классического параметра х, пробегающего входной (конечный или бесконечный) алфавит X и отображение х -л в квантовые состояния на выходе канала. Классическая пропускная способность С такого канала Т дается величиной

и 7г = {7гх} — распределение вероятностей на X.

Обратные теоремы кодирования для классических пропускных способностей (соответствующие неравенствам < в формулах (1) и (2)) опираются на квантовую энтропийную границу, дающую оценку сверху для информации Шеннона величиной х(7Г)> т-е- оценку для количества классической информации, которую можно передать по квантовому каналу [14]. Другим типом классической пропускной способности является пропускная способность с использованием сцепленного состояния (entanglement-assisted classical capacity). Впервые протокол передачи информации с использованием сцепленности был рассмотрен в работе Шора с соавторами [10]. Этот протокол предполагает, что системы А (передатчик) и В (приемник) имеют общее сцепленное состояние Sab в качестве дополнительного ресурса. По сравнению с обычной пропускной способностью, использование сцепленности может дать возможность многократного увеличения скорости передачи для квантовых каналов с шумом. В частности, имеет место подобный вы-

C(T) = supxM

(2)

7Г

где

игрыш для ряда так называемых измерительных каналов [11], представляющих интерес для приложений (квантовая томография в конечномерном пространстве, оптическое гетеродинирование с ограничением на энергию входного сигнала и др.)

Опишем этот протокол более подробно. Пусть Л а и Hb ~ гильбертовы пространства, соответствующие квантовым системам А и В. Передатчик А и приемник В находятся в чистом сцепленном состоянии Sab■ Участник А кодирует классический сигнал г, появляющийся с вероятностью щ, в кодирующий канал действующий в На- Далее <?j применяется к соответствующей части состояния Sab, и совместное состояние систем А и В можно описать как SlAB = (£{ ® Idв) Sab-

После передачи по каналу Ф составная система описывается операторами плотности

Vi = (Ф о £г ® Ыя)5лв.

Возможно применение блочного кодирования, что означает применение описанного выше протокола к тензорной степени Ф®п канала Ф.

Из теоремы о классической пропускной способности следует, что величина Сеа(Ф) дается формулой

Сеа( Ф) = lim —С^(Ф®П),

п—»oo п

где

СЙ'(Ф) =

эир

и точная верхняя грань берется по всевозможным конечным распределениям вероятностей {тг^} и соответствующим кодированиям {£\} в пространстве На-

В конечномерном случае в работе [10] было получено явное выражение для классической пропускной способности с использованием сцепленности через квантовую взаимную информацию /(б", Ф), а именно

Сеа(Ф) = тах/(5, Ф), $

где

/(£, Ф) = Н(Б) + Я(Ф(5)) - Я(Ф <8>

1^5) ~~ очищение состояния

В последние годы возрастает интерес к бесконечномерным квантовым системах и каналам (к которым относятся и квантовые гауссовские каналы). Для бесконечномерных систем были сформулированы и доказаны теоремы о классических пропускных способностях с учетом ограничений на входные ансамбли состояний[13]. Переход к бесконечномерному случаю связан с рядом усложнений. Первой особенностью является то, что энтропийные характеристики, участвующие в выражениях для пропускных способностей, могут принимать бесконечные значения. Вследствие этого пропускные способности могут быть бесконечны, возможно и возникновение неопределенностей. Это приводит к необходимости введения ограничений на входные ансамбли состояний (например, ограничение на среднюю энергию в случае гауссовских каналов), которые исключают такие патологии. В

бесконечномерном случае происходят и другие изменения свойств энтропийных характеристик. В частности, энтропия фон Неймана, непрерывная в конечномерных пространствах, в бесконечномерном случае является лишь полунепрерывной снизу.

Важное значение имеет изучение пропускных способностей измерительных (квантово-классических) каналов. Простейшим примером может служить канал М, соответствующий измерению наблюдаемой М = {Му,у £ ^У}, где У — дискретный выходной алфавит. В этом случае канал представляет собой аффинное отображение выпуклого множества квантовых состояний ¿> в множество дискретных распределение вероятностей {ТгБМУ, у Е У}. Описанный выше канал можно "вложить" в квантовый, используя представление

Х(5) = ^Тг5М2/|еу)(еу|, (3)

где {еу} — ортонормированный базис. В этом случае к нему применимы известные теоремы кодирования в случае конечного У, либо их бесконечномерное обобщение в случае счетного У [10], [13].

Однако подобный прием не работает в случае непрерывного алфавита ^ и наблюдаемой М, которая задается произвольной вероятностной операторно-значной мерой М(ски), так как в этом случае не существует аналога формулы (3) [11]. В этом случае формулировка протокола передачи информации с использованием сцепленности, а также доказательство соответствующей теоремы кодирования, требуют рассмотрения так называемых гибридных (классически-квантовых) вероятностных систем [29], [30].

В настоящей диссертационной работе исследованы бесконечномерные измерительные каналы с произвольным измеримым алфавитом О,. Для них доказаны теоремы кодирования, дающие энтропийные выражения для

классической пропускной способности и классической пропускной способности с использованием сцепленности.

<2(Ф) = lim — max/c(5, Ф®п), (4)

n-юо п s

где

/с(5, Ф) = Я(Ф(5)) - Я(Ф ® ЫпШШ)) (5)

- когерентная информация. Неравенство <, соответствующее обратному утверждению теоремы кодирования, доказано в [26], [20]. Доказательство прямого утверждения было получено позднее в работе [21].

Во всех работах, упомянутых выше, равенство (4) доказано в случае конечномерных пространств. В бесконечномерном случае до недавнего времени соответствующая гипотеза о квантовой пропускной способности не могла даже быть корректно сформулирована, поскольку не было подходящего определения когерентной информации 1С для бесконечномерного квантового канала. Такое определение для состояний с конечной энтропией было предложено в работе [18]. Опираясь на это определение, в диссертационной работе получена оценка верхней границы, из которой вытекает обратное утверждение теоремы кодирования.

Цели работы

Целью работы является доказательство теорем кодирования о классической пропускной способности и классической пропускной способности с использованием сцепленности для гибридных каналов в бесконечномерном случае, а также получение верхней оценки для квантовой пропускной способности произвольного бесконечномерного квантового канала.

Научная новизна

Все полученные результаты являются новыми. Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Доказана теорема, дающая выражение для классической пропускной способности канала с квантовым входом и гибридным выходом в случае бесконечных размерностей входных и выходных пространств.

2. Доказаны теоремы кодирования для бесконечномерного измерительного (квантово-классического) канала с произвольным измеримым алфавитом, дающие энтропийные выражения для классической пропускной способности с использованием и без использования сцепленности.

Методы исследования

В диссертации используются методы некоммутативной теории вероятностей, теории меры и функционального анализа.

Теоретическая и практическая ценность

Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть применены в исследованиях по квантовой теории информации.

Апробация работы

Результаты работы докладывались автором на следующих научных конференциях и семинарах:

1. Конференция "Ломоносов-2011 Москва, 11-15 апреля 2011 г. Тема доклада: Обратная теорема кодирования для бесконечномерных квантовых каналов.

2. Конференция "Ломоносов-2013 Москва, 8-12 апреля 2013 г. Тема доклада: Теорема о классической пропускной способности измерительного канала с использованием сцепленности.

3. Научный семинар "Квантовая вероятность, статистика, информация" Отдела теории вероятностей и математической статистики Математического института им. В.А. Стеклова РАН, несколько докладов в 2010 - 2013 гг.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах:

1. Кузнецова A.A. Условная энтропия бесконечномерных квантовых систем — Теория вероятностей и ее применения, 2010, том 55, выпуск 4, с. 782 - 790;

2. Кузнецова A.A. Обратная теорема кодирования для бесконечномерных квантовых каналов, — Вестник Московского университета, сер. Математика. Механика, 2013, выпуск 1, с. 32 - 37;

3. Кузнецова A.A., Холево A.C. Теоремы кодирования для гибридных каналов, — Теория вероятностей и ее применения, 2013, том 58, выпуск 2, с. 298-324;

4. Кузнецова A.A., Холево A.C. Теоремы кодирования для гибридных каналов II, — Теория вероятностей и ее применения, 2014, том 59, выпуск 1.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения и четырех глав. В первой главе вводятся основные понятия квантовой теории информации, используемые в работе. Вторая глава посвящена теоремам кодирования для классических пропускных способностей, третья глава - теоремам кодирования для классической пропускной способности с использованием сцепленности, четвертая глава — результатам, связанным с квантовой пропускной способностью. Объем диссертации 101 страница. Список литературы содержит 48 наименований.

0.2 Содержание работы

Пусть % — сепарабельное гильбертово пространство, (Г2, Т) — стандартное измеримое пространство. Пусть также M{dw) — вероятностная операторно-значная мера (ВОЗМ) на Q. ВОЗМ задает квантовую наблюдаемую со значениями в Г2, распределение вероятностей которой в состоянии S дается формулой

РS{Ä) = TrSM(A), AeT.

Рассмотрим измерительный канал Л4, т.е. аффинное отображение S —> Рs(dcu) выпуклого множества квантовых состояний ©(%) в множество распределений вероятностей на пространстве исходов измерения (Г2, J7), которое для краткости будем называть алфавитом.

Будем рассматривать классическую пропускную способность измерительного канала с произвольным измеримым алфавитом в бесконечномерном случае. В диссертационной работе доказано существование плотности Ps(и) распределения вероятностей Рs (du) в общем случае (лемма 4). Заметим, что если ВОЗМ M (du) определяется плотностью Р(ш) относительно скалярной сг-конечной меры /х, где Р(и) — равномерно ограниченная (по операторной норме) слабо измеримая операторно-значная функция, то распределение вероятностей имеет плотность ps(u) = TrSP(u>) относительно меры fi. В случае произвольной ВОЗМ доказательство существования плотности ps(u) опирается на обобщение теоремы Радона-Никодима для ВОЗМ [36].

Как уже было отмечено, в бесконечномерном случае вводятся ограничения на входные состояния канала. Пусть F — самосопряженный, положительный, вообще говоря, неограниченный оператор в пространстве Введем подмножество состояний

где Е — некоторая положительная постоянная, причем для оператора плотности S £ &(Н) со спектральным представлением S = Wej){ej \ след в (6) п