Томографические методы в квантовой механике и в квантовой оптике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Томографические методы в квантовой механике и в квантовой оптике

Специальность — 01.04.02 Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

АКОПЯН

Лоран Ваганович

Долгопрудный - 2010

1 2 ЛЕН 2010

004617485

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)» на кафедре «Теоретическая физика».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук Манько Владимир Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Амосов Григорий Генадьевич

кандидат физико-математических наук Андреев Владимир Андреевич

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт ядерной физики имени Д. В. Скобельцына

Защита состоится «17» декабря 2010 г. в 10°° часов на заседании диссертационного совета Д 212.156.07 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу:

141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института (государственного университета).

Автореферат разослан «_»_2010 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.156.07

к.ф.-м.н. Коршунов С.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Одной из важнейших задач современной науки является построение логически полной и математически строгой квантовой теории информации. В течение последнего десятилетия в мире ведутся как теоретические, так и экспериментальные исследования по разработке квантового компьютера. Существенно, что обе эти задачи, опираясь на квантовые явления, используют язык, заимствованный из классической теории информации К. Шеннона [1]. Классическая теория информации основана на теории вероятностей и статистике. Поскольку для считывания информации с квантового компьютера требуется классический прибор (источник классической информации), то становится ясным, что для успешного решения этих задач большую роль играет наличие удобного представления квантовой механики, способного одновременно описать классические и квантовые состояния системы на едином вероятностном языке.

Такой язык описания квантовой механики был предложен В. И. Манько и др. [2], [3], [4] в виде нового вероятностного представления квантовой механики. Этот язык состоит в том, что квантовым состояниям ставятся в соответствие определенные неотрицательные и нормированные функции распределения вероятностей - квантовые томограммы. Таким образом, возникает актуальная задача применения томографических методов исследования квантовых состояний к проблемам квантовой теории информации и, в частности, к проблеме запутанных состояний кубитов и кудитов.

Со стороны научного сообщества остается неизменно высоким интерес к экспериментальной проверке границ применимости самой квантовой механики. Более того, все еще остается открытым вопрос о критериях сепарабельности и запутанности квантовых состояний. Последнее, в свою очередь, играет ключевую роль при исследовании квантовых каналов передачи информации, причем особенно актуальным является вопрос об их пропускной способности.

Попытки прямого применения существующих стандартных квантомеханиче-ских рецептов к такому кругу задач приводят к затруднительным, а порой и ошибочным выводам, ввиду отсутствия каких бы то ни было классических аналогов, на которые должна базироваться квантовая теория. К указанному кругу задач также относится понимание большого числа известных неравенств вида неравенств Белла-Клаузера-Хорна-Шимони (далее БКХШ) [5], [6], [7] и нарушение некоторых энтропийных соотношений классической шенноновской теории информации в квантовой механике. Актуальной считается задача об экспериментальной точности проверки нарушения этих неравенств. Для ее решения необходимо понимать как именно происходит нарушение данных неравенств при перехо-

де от описания состояний кубитов и кудитов в классической теории информации к квантовой. Для экспериментальной проверки границ применимости квантовой механики очень важны значения конкретных параметров, которые могут быть как вычислены теоретически, так и измерены на опыте.

Поскольку энтропия является одним из основных понятий теории информации, важно исследовать свойства энтропии в квантовой томографии. В частности, для различных модельных систем из нескольких кубитов и кудитов важно сопоставить нарушения энтропийных неравенств с нарушениями неравенств Белла. В связи с этим разработка единого математического аппарата для описания и анализа различных мер запутанности представляет собой существенный интерес.

Другим актуальным направлением развития томографических методов в квантовой оптике является квантовая томография сжатых состояний [8] вакуума электромагнитного поля [9], [10]. Сжатые состояния света представляют существенный интерес в задаче детектирования гравитационных волн и имеют многочисленные другие применения (см. [11]) в технике. Наряду с состояниями Белла они являются источником запутанности, степень которой можно измерить экспериментально. Для использования сжатых состояний очень важно знание их вероятностных характеристик, например, статистики распределения фотонов в многомодовом сжатом вакууме электромагнитного поля.

Известно, что сжатые состояния света демонстрируют неклассическое поведение обусловленное квантовыми корреляциями между модами электромагнитного поля [12]. Поскольку квантовая томография позволяет, в принципе, вычислить любые вероятностные характеристики систем посредством усреднения по заданным томографическим распределениям вероятностей, интересна задача вычисления квантовых томограмм для многомодового сжатого вакуума электромагнитного поля.

В свете вышесказанного, представленные исследования являются актуальными.

Цели и задачи работы

В диссертации исследуются симплектические томограммы, томограммы центра масс и томограммы числа фотонов в квантовых системах с непрерывными и дискретными наблюдаемыми. Для дискретных квантовых динамических систем из общих принципов вероятностного представления квантовых состояний выводится общая схема построения неравенства вида БКХШ. Для непрерывных квантовых систем рассчитываются все три вида томограмм и с помощью распределения томографических вероятностей анализируются корреляционные свойства сжатых состояний вакуума электромагнитного поля.

Целью диссертации является приложение классической и квантовой томографии к различным задачам квантовой теории информации и квантовой оптики,

для которых стандартные способы решения задач квантовой механики не дают какого-нибудь значительного результата или даже приводят к сложным концептуальным проблемам. Поставленная цель предполагает решение ряда задач, а именно:

1. Определить общий вид неравенств БКХШ для многокудитных состояний на основании томографических методов представления квантовых состояний;

2. Вывести неравенства вида БКХШ для случая дискретных динамических систем в рамах вероятностного представления классической статистической механики;

3. Обобщить результаты задачи 2 для квантовых битов (кубитов) и кудитов -построить универсальный математический аппарат для вывода неравенств БКХШ и расчета их верхних границ, пригодный для классических и квантовых состояний;

4. Сравнить полученные значения для верхних границ классических и квантовых корреляций (верхние границы неравенств БКХШ) и определить области нарушения неравенств БКХШ в квантовой механике;

5. Развить понятие томографической энтропии для изолированных подсистем и составных систем до практических и окончательных расчетов для систем из нескольких кубитов и кутритов;

6. Убедится в нарушении энтропийных неравенств классической теории информации Шеннона для квантовых томографических энтропий. Определить области "классичности" и "квантовости" многокудитных систем по отношению к нарушению энтропийных неравенств;

7. Пользуясь результатами задач 4 и 6, выявить области, в которых нарушаются одновременно энтропийные неравенства и неравенства БКХШ. Численным моделированием состояний двух кубитов попробовать найти зависимость между параметрами (углами Эйлера), при которой нарушаются оба неравенства, т.е. выяснить, существует ли связь между этими двумя неравенствами;

8. Путем прямого расчета вычислить симплектическую томограмму, томограмму центра-масс и томограмму числа фотонов для одномодового и двух-модового сжатого состояния вакуума электромагнитного поля. Обобщить полученные выражения в случая п-модового сжатого вакуума поля. Вычислить средние и дисперсии томографических квадратур и установить связи между ними;

9. Найти интегральные преобразования, которые связывают между собой все три томограммы одного и того же состояния;

10. Получить новые интегральные соотношения между одномерными и двумерными полиномами Эрмита и полиномами Лагерра пользуясь результатами задачи 9.

В целом работа развивает вероятностное представление квантовой механики и квантовой оптики. При этом предметом исследования являются составные дискретные и непрерывные квантовые системы. Основная цель работы — установить количественные характеристики для описания квантовых корреляций в этих системах.

Выбор объекта и предмета исследования, в частности, систем содержащих небольшое количество кубитов и кутритов, обусловлен перспективностью использования в области квантовой теории информации аналитических и численных результатов, полученных при работе над диссертацией.

Научная новизна диссертации заключается, во-первых, в обобщении ранее рассмотренных неравенств БКХШ на случай произвольных многокудитных систем с общим видом квантовых корреляций. В частности, разработан новый математический аппарат для расчета верхних границ неравенств БКХШ для классических и квантовых систем. Впервые приводится последовательный вывод обобщенных неравенств БКХШ в вероятностном представлении квантовых состояний. Выведена универсальная для классической и квантовой теорий формула, позволяющая рассчитать числа БКХШ по определенной стохастической матрице, ассоциированной с данной системой. Одно из главных достоинств данного подхода в том, что он применим и к классическим, и к квантовым состояниям. Для описания квантовых состояний, таких как сжатые состояния света или многоспиновые состояния кудитов, разработаны универсальные и хорошо адаптированные для решения задач квантовой теории информации математические методы.

В работе впервые исследовался вопрос о связи верхних границ томографических энтропий с верхними границами обобщенных неравенств БКХШ для запутанных состояний составных систем. В работе показано, что такой связи в общем случае не существует и для исследования систем на предмет запутанности или сепарабельности состояний необходимо (но не достаточно) рассматривать верхние границы обоих видов неравенств. В качестве иллюстраций данного вывода рассмотрены некоторые простые системы с несколькими кубитами и кутритами. Дано непосредственное обобщение понятия совместной томографической энтропии для произвольных многокудитных состояний. В работе содержится ряд конкретных приложений обобщенной классической шенноновской энтропии в квантовой томографии.

Томографические методы исследования состояний в диссертации приобрели важное значение в связи с подробным анализом квантовой томографии актуальных квантовых состояний, известных как сжатые вакуумные состояния электро-

магнитного поля. Сжатый вакуум играет особо важную роль при попытках детектирования гравитационных волн. Одномодовые состояния сжатого вакуума хорошо известны, тогда как двухмодовые состояния значительно менее исследованы.

Научная новизна в применении томографических методов в квантовой оптике заключается, во-первых, в прямом расчете трех плотностей распределения томографических вероятностей двухмодового сжатого вакуума. Во-вторых, в диссертации дается в явном виде закон преобразования симплектической томограммы в томограмму числа фотонов. В связи с этим пересмотрено выражение для томограммы числа фотонов и установлено новое интегральное соотношение между двумерными полиномами Эрмита и полиномами Лагерра. В работе впервые были рассчитаны средние значения и дисперсии двух действительных квадратур электромагнитного поля на основании полученного выражения для симплектической томограммы. Таким же образом получено значение квантовых корреляций между двумя квадратурами поля. Новизна диссертационной работы также проявлена в расчете точного выражения для томограммы центра масс. На основании только общих формул квантовой томографии удалось рассчитать также среднее и дисперсию действительной квадратуры поля. Таким образом, помимо основных новых результатов диссертация содержит также ряд методик расчетов, имеющих практическую важность в квантовой оптике и в квантовой теории информации.

Теоретическая и практическая значимость работы

Как известно, в последние годы назревает технологический прорыв в реализации процессов квантовой передачи информации и квантовых вычислений. Попытки экспериментальной реализации первых квантовых компьютеров требуют новых теоретических методов расчета вероятностных характеристик динамических квантовых систем. В этом ключе развитый в настоящей диссертации метод изучения состояний посредством симплектических томограмм (спиновые томограммы в случае дискретных систем и симплектические или томограммы центра масс сжатых состояний для непрерывных систем) позволяет изучать свойства квантовых состояний (в частности, представляющих большой интерес запутанных состояний) непосредственно по значениям томографических параметров эксперимента. Вывод неравенств Белла и расчет их верхних границ делает диссертацию ценной в теоретическом плане, поскольку вывод содержит механизм нарушения этих неравенств, а также их связь с явлением запутанности в системах из нескольких кубитов и кудитов. Отметим, что каждое новое неравенство, напоминающее неравенство Белла, имеет уже само по себе научную ценность. Поэтому разработанный общий аппарат для расчета верхних границ неравенств БКХШ в случае любых многокудитных систем представляет собой существенный результат.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. "Полугруппы и вероятностное представление квантовой механики", Ежегодная научная конференция МФТИ, г. Долгопрудный (2009).

2. "Неравенства Белла и квантовая томография", Летняя школа ПМФ, Секция "Теоретическая Математическая Физика", г. Долгопрудный (2010).

3. "Bell-type inequalities and Upper bounds of raulti-qudit states", Poster présentation in XIII International Conférence on Quantum Optics and Quantum Information, Kyiv, Ukraine (2010).

4. "Quantum Tomography of Multi-mode Squeezed Vacuum States of Light", Poster présentation in Laser Physies 2010 International Conférence, Ashtarak, Armenia (2010).

5. Результаты работы были представлены на общепредметном семинаре кафедры теоретической физики Московского физико-технического института.

6. Результаты работы докладывались на семинаре Отделения теоретической физики НИИЯФ МГУ имени Д.В. Скобельцына.

Публикации

По теме диссертации опубликовано семь статьей и два препринта. Из них пять — в журналах, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией для публикации результатов кандидатских диссертаций и две публикации в трудах научных конференций. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Вклад автора в совместных работах

Диссертационная работа отражает личный вклад автора в проведенные исследования. Научным руководителем, д. ф.-м. н., профессором В. И. Манько, была определена область исследований, осуществлялось общее руководство, оказывалась методологическая помощь, проводилось обсуждение полученных результатов.

Структура и объем диссертации

Диссертация включает в себя оглавление, введение, четыре главы, заключение, приложение и список цитируемой литературы. Каждая глава имеет выводы, в которых сформулированы основные результаты по данной главе. Полный объем диссертации составляет 150 страниц, в том числе 15 рисунков и 8 таблиц. Список литературы включает 150 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждаются основные направления исследования квантовой томографии и формулируются проблемы, решению которых посвящена диссертация.

В первой главе дается краткий обзор основных из существующих квазираспределений, описывающих состояния в квантовой механике и в квантовой оптике. На примере схемы квантования Вигнера-Вейля вводятся функция Вигнера, функция Глаубера-Сударшана, функция Хусими-Кано и квантовая томограмма состояния. Далее вводится понятие симплектической томограммы, как положительного нормированного распределения вероятностей, описывающее состояние с оператором плотности р. Симплектическая томограмма определяется как прямое преобразование Радона оператора плотности

ш,{Х,ц,и) = Тгр6{Х-м-ир). (1)

Здесь д, р — операторы вещественных квадратур поля, X — собственное значение преобразованного оператора квадратур = [¿д + ир в сжатой и повернутой системе отсчета, параметры р,, V — вещественные числа, которые задают повернутую и сжатую систему координат на фазовой плоскости г/, р, в которой измеряются значения величины X. С учетом того, что в следующих главах исследуются вполне определенные системы, в первой главе значительное место уделено обзору вопросов суперпозиции квантовых томограмм и экспериментальным способам проверки соотношений неопределенностей Шредингера-Робертсона. Полученные томограммы проверялись по общим формулам суперпозиции и соотношении неопределенностей.

В диссертации выделено достаточное место для проверки замкнутости томографической теории. Пусть адДХ, и) — симплектическая томограмма чистого состояния с неизвестной волновой функцией ф{х). Волновую функцию можно восстановить по формуле:

¡щ(У,ц,х)ехр1 (V- ^АвУйц

ф(х) =--4 ■ е'", (2)

где <р — произвольная фаза. В диссертации эта формула проверяется на примере состояний кота Шредингера, состояний Белла и многомодового сжатого вакуума электромагнитного поля.

Во второй главе строится томографическое представление многокудитных состояний и исследуются нелокальные квантовые корреляции, приводящие к нарушениям неравенств БКХШ в квантовой механике. Пусть из соображения простоты имеется система из двух кубитов, и пусть удвоенные проекции спинов обоих

кубитов на заданные оси квантования равные т, т' = ±1. Тогда из всевозможных вероятностей исходов измерения проекций каждого из кубитов можно составить стохастическую матрицу

/ «л!3,

М2® 2 =

ы

V

++

13 „13

и>\\ 4+ щ+

\

IV.

14

+-

.14

(3)

/

Здесь верхние индексы г = 1,2, к = 3,4 обозначают пары углов измерений (1,2) и (3,4) над первым и вторым кубитами соответственно.

В диссертации используется следующее представление среднего значения квантовых корреляций в системе из двух кубитов:

(гтт2) = т1т2ютт2 = Тг {Е2ШМ2Ш) • (4)

ТП1 ,ТП2

Матрица #2®2 здесь имеет вид

/ 1 -1

£-2®2 =

1 -1 1 -1 -1 1

1\ 1 1

1 -1

(5)

В общем случае для системы из двух кудитов размерностей jl и ]2 в состоянии с матрицей плотности р вводится квантовая томограмма как вектор вероятности

ш(тп1, тп2, &и Щ = (тп1т2\и1 ® й2ри\ ® й1\тут2), (6)

с элементами ггц = ...,^,¿ = 1,2, которые составляют стохастическую матрицу аналогичную (3).

Поскольку в томографическом представлении усреднение производится по стандартной формуле теории вероятностей

(7)

(т1т2...т<г)пьп2г..п^ = = ы (т1,т2,... та, щ,п2,...пс1)гг11гп2... т,1,

т1т2...т<1

то классические статистические корреляции можно также записать в виде формулы (4), т.е.

¿?(х,у) = Тг(Мх,уС) =

= С!(Х1 ® У1) + С2(Х! ® у2) + С3(х2 ® Ух) + С4(х2 ® у2),

где матрица С обобщает найденную ранее для системы из двух кубитов матрицу Е. Векторы С; с i = 1,2,3,4 обозначают четыре столбца матрицы С. Стохастическая матрица М(х, у) для сепарабельного случая имеет вид

Мху = Mx<g) Му = ( Xl /2 W/* /2 V (9) ,у у V 1 - 1 - ®2 J V 1 - г/1 1 - 2/2 у w

Здесь Xi, г/j, где i,j — 1,2, — вероятности случайного исхода 1 или 2 в двух различных подсистемах и введены векторы х = (xi,X2)T и у = (у\, у2)т.

Поскольку функция (8) всюду гармоническая, легко найти все ее верхние границы. На этом основании мы можем обобщить полученные результаты на любую дискретную квантовую или классическую динамическую системы. Так для системы из трех кубитов получаем

#2®2®г(х, у, z) = -6 + 8x22/1 zi + 8xiy2z2 + 8x2y2zr - 8x2y2z2-—&x\Z\ + 8x2y\z2 - 8yxz2 - Sy^i + 8xiy2zi - 8x2zx--8x!Z2 - 8x2yi - 8х\у2 + 8xi + 4x2 + 8yi + 4y2+ +8zi + 4z2 - 8yixx + 8iij/izi + 8xxyxz2 - 8y2zx.

Вычислив все верхние границы функции (10) и выбрав наибольшую из них, получаем верхнюю границу равной 6. Соответствующая квантовая функция корреляций исходов измерений проекции спинов кудитов намного сложнее. Выпишем для справки первый из восьми членов суммы входящий в функцию БКХШ для трех кубитов

B2®2®2{9i, 03, 03, 04, 05: 06, Vl> У2, Уз., V4, ¥>5, <Рб) = = 8 cos(-¡р2 -ipi- <Рб) х

Билинейная форма В2®з(х, у, ъ, <;), описывающая классические статистические корреляции между битом и тритом, имеет вид

^2®з(х,у,г,1) = 4 + 4^121 - 2Х2«2 + 4Х1У1 + 2х1у2+

+4Х2.21 +4х2г/1 + 2х2г2 + 2X122 + 2X^2+ (11) +4 х^1 - 6 XI - 2 х2 - 4 2/1 - 4 гх - 2 у2 - 2 г2 + 2 х21/2 - 4 х241.

Выбирая три направления для измерения кутрита и два направления для измерения кубита, по аналогичной формуле получаем билинейную форму -В2®з(#ъ 02,0з, 04,0б), описывающую квантовые нелокальные корреляции:

В2®з(^1, 02, #3, 04, 05.) = соэ(01) соб(0з) + соз(01) соз(04) + соз(02) соэ(0з) + (12)

соз(01) соз(0б) + соб(02) соз(04) - соз(02) соз(05).

Таблица 1 показывает одно из нарушений неравенств БКХШ для системы кубит-кутрит. Нарушение неравенства было обнаружено в результате численного расчета всевозможных верхних пределов выражения (12) при выборе направлений 1 и 2 для кубита и трех направлений 1', 2', 3' для кутрита.

Углы измерений Направления кубита и кутрита

1 2 1' 2' 3',

Ч> 0.0004 3.1450 0 0 0

в 0.2368 0.2538 3.1471 3.1292 1.6024

Число Белла 52®з = 4.0612

Таблица 1 - Нарушение неравенства БКХШ для системы кубит-кутрит

Из рисунков 1 и 2 можно получить наглядное представление о нарушении неравенств БКХШ в рамках разработанной томографической модели в случае системы двух кубитов.

Рисунок 1 - Билинейная функция Дгвг^ъУъ ^з, У'з, #4, ^4) в

окрестности границы Цирельсона как функция от в\.

Третья глава посвящена аналитическому описанию томографических энтро-пий и исследованию эффектов, связанных с нарушением энтропийных неравенств классической теории информации Шеннона и в квантовой томографии.

Рисунок 2 - Билинейная форма Вгвг^ъ </?ъ О2, фъ, Рз, 04, ум) как

функция 62 и 64

Пусть составная система состоит из двух подсистем. В классической теории информации справедливы неравенства:

Я(1,2)<Я(1) + Я(2), Я(1)<Я(1,2), Я(2)<Я(1,2) (13)

Второе и третье неравенства (13) показывают неотрицательность относительных энтропий в классической теории информации и нарушаются в квантовой теории информации.

Пусть заданы четыре направления измерения кубитов гц, щ, определяемые парами углов Эйлера п¿(у?г, и п?г(<рк,вк)- Каждое из этих направлений определяет некоторое преобразование (поворот 5[/(2)) состояния кубита. По четырем унитарным матрицам поворота ¿7(п;), г = 1,2, 3,4, построим стохастическую матрицу М2®2(^1, ^21 ^з, ^4), столбцы которой представляют собой дискретное распределение вероятностей тех или иных значений проекции суммарного спина составной системы из двух кубитов. Обозначим ради краткости операторы поворота 1/(щ) символами [/¿, г = 1,2,3,4. Для матриц операторов поворота будем использовать те же обозначения, но без шляпок.

Основной результат третьей главы содержится в новом определении энтропии

составной системы кубитов в вероятностном представлении:

Я(ПЬП2,ПЗ,П4) =

4

~ -Х^(пьпА)1пги(п{,гЦ;) =• (14)

%,к

= -Тг (М202({/ь и2, и3, и4) 1п М2а2(£/Ь и2) и3, Щ))

Томографическая энтропия двух кубитов (см. рисунок 3) становится таким образом функцией восьми углов. Пользуясь формулой (14) можно провести анализ сепарабельных и запутанных состояний системы, а также установить верхние границы для нарушения энтропийных соотношений (13). На рисунке 4 изображены области квантовости и классичности состояний двух кубитов по энтропийному признаку сепарабельности.

Рисунок з - Взаимная энтропия Я2®г(^х) как функция от угла первого измерения первого кубита в\

В шестой части третьей главы исследуется вопрос о возможной взаимосвязи между неравенствами БКХШ и энтропийными неравенствами теории информации. Для этого численно моделировались состояния кубит-кубит, кубит-кутрит, кутрит-кутрит и кубит-кубит-кубит; выделялись те области, в которых одновременно нарушаются оба неравенства, и выделялись систематические совпадения параметров областей углов Эйлера, нарушающих эти неравенства. Численный анализ показывает взаимную независимость этих неравенств.

8

4

е.

2

Рисунок 4 - Взаимная энтропия //202.(^2. $4) как функция от углов

измерений и

В четвертой главе исследуются квантовые томограммы двухмодового сжатого вакуума электромагнитного поля. Волновая функция одномодового сжатого вакуума электромагнитного поля дается гауссовским пакетом:

где введены обозначения Rea = а\, Reb = bi, Ima = а^ и Imb = 62 Для параметров сжатия и сдвига вакуума поля.

Волновая функция чистого состояния двухмодового сжатого вакуума электромагнитного поля записывается в виде гауссиана

1/4

х ехр —

фв(х) = NexTAx+bxT, 1 (Ai E¡ - Ct А Ex + Вг Dj) (i6) 4 AlBl- \C\

Здесь введены следующие обозначения:

Волновая функция двухмодового сжатого вакуума (16) представляет собой прямое обобщение одномодового сжатого вакуума (15). Двухмодовый сжатый вакуум (16) описывается пятью комплексными параметрами А, В, С, О, Е или десятью действительными ЯеА = Ах, ЯеВ = В\, ЯеС = С\, ДеО = 11еЕ = Е\, 1тА = А2,1тВ = В2, 1тС = С2,1тБ = £>2, 1тЕ = Е2.

Томограмма счета фотонов для ордой моды электромагнитного поля была введена в [13]:

ад7(п,а) = (п\Г>\а)р£)(а)\п), (18)

здесь £>{а) - оператор сдвига, а - величина сдвига на фазовой плоскости, а п задает число фотонов в одной моде поля. В работе проводится вычисление томограмм (1) и (18) и затем, используя связь между ними [4], получатся новое соотношение между полиномами Эрмита и Лагерра:

/л ^ е ЬМа° Л + 4а1 + 4а2 + 4а1 \ "/2

'0) V1 + 4 4 + 4 4 - 4ец) Х

„ [2Ь+у/2а(2а-1) + у/2а*(2а+1)>

Пп --— -

1

•-(а-ао)М(а-ао) _ (19)

2\Л - 4а2

и2 + и2 (х- (X))2

= / -е 4 ¿„К ) , е ¿ХЛиЛи.

] 2тг 4 2 ) *

Здесь ,ш7(0,0) обозначает вероятность не обнаружить ни одного фотона

Г(0,0): 1 _8а1

4а? - 4а! + 4а| + 1'

А? + + 4а^ - (2Ь? + БааЬА +! Х 6ХР I 201 (4а? - 4а1 + 4а* + 1)

(20)

а Нп и Ьп — полиномы Эрмита и Лагерра.

Вектор ао и матрица М были рассчитаны и приведены в Приложении А к диссертации. Среднее (X) и дисперсия ахх выражаются через параметры волновой функции сжатого вакуума и также приведены в Приложении А.

В третьей части четвертой главы диссертации исследуется симплектическая томограмма двухмодового сжатого вакуума электромагнитного поля. Рассмотрим двухмодовый сжатый вакуум электромагнитного поля, описываемый операторами обобщенных координат и импульсов (гомодинные квадратуры поля) <?х, рь <?2, р2 первой и второй мод, соответственно.

Положим с[ = (91,92)т И р = {у\,рг)т. Пусть д = {ц1,Ц2)т и и = (щ, и2)т — два действительных вектора, содержащих информацию о сжатиях и поворотах квадратур поля. Обозначим через Х\, X2 вещественные амплитуды первой и второй мод сжатого вакуума поля. Томограмма двухмодового поля определяется формулой:

и>8(Хи цищ, Х2, м,1>2) = Тгр5(Х 1 - нт - 1>1Р1)<5(Х2 - №92 - ^Рг)- (21)

В диссертации проводится вычисление томограммы (21) с волновой функцией (16), которое приводит к результату:

1

, 1 --(х-х0)^'(х-х„)

т8(Х,ц,1у)= е 2 . (22)

2лу/аеЬ сгхх

Расчет вектора Хо, обозначающего средние томографические наблюдаемые X{ и дисперсии ах, приводится в Приложении А.

В четвертой части четвертой главы исследована симплектическая томограмма центра масс двухмодового сжатого вакуума электромагнитного поля. Томограмма центра масс определяется формулой [15]:

ис(Х,ц,и) = Тгр5(Х-/щ-и р), (23)

где аЬ — скалярное произведение векторов. Соответствующий расчет дает

К*- РОс)2

= 1 , е (24)

л/2тгаХсхЛИ, V)

Среднее и дисперсия равны

(Х)с = /XI (91) + МРг) + МЯ2) + ^(рг),

&хсхс = + + + + (25)

+ г/2(7Р2Р2 + + + 2и1Ц2<Гр1д2 +

Здесь средние и дисперсии исходных квадратур поля (<7,р) даны в Приложении А. По полученным выражениям (22)-(24) была проверена справедливость общего соотношения между симплектической томограммой и томограммой центра масс:

Щ

I п,(У1,У2,ции1,ц2,ъЩХ-У1-У2)<1У1<1У2. (26)

В пятой части четвертой главы диссертации исследуется томограмма числа фотонов двухмодового сжатого вакуума. В случае двухмодового сжатого вакуума было получено соотношение аналогичное (20):

1 1 ••

2п.+П2П! ' » (2тг)3у^ЗеГстхх

"I

(27)

где н1Е\у) представляют собой полиномы Эрмита двух переменных из [16]. Ради удобства записи введен вектор = (дь^РьРг)- В диссертации проводилось вычисление средних Хо- Функции Ьщ, г = 1,2 — полиномы Лагерра. Вероятность не обнаружить ни одного фотона ни в одной из мод дается выражением:

1 \1/2 2 [ Афг - -С1

(ПП\ 4 У 1 (А1Е^-С1Р1Е1 + В1Р1) „

гадО, 0) = —т—;-. , ,, ехр-----=-- х

\АеЬА-1ТгА+\\ 2 А^-^С*

(28)

( 1(А-рЕ2 + {В-±)Р2 + СРЕ\ еХРП {А-\){В-\)-% )

Величины С^о, сод и матрица Я вычислены и приведены в Приложении А.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертации.

Основные результаты диссертации

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Построена нелокальная томографическая теория-модель, позволяющая вывести для системы из произвольного количества кудитов классические и квантовые неравенства БКХШ и вычислить их верхние границы. В рамках данной модели рассмотрены неравенства БКХШ и установлены параметры их нарушения в области квантовой механики в системах из одного кубита и одного кутрита и трех кубитов и двух кутритов. Модель апробирована на известных результатах запутанных состояний Белла и состояний Вер-нера [14]. Одно из основных достоинств модели в том, что она позволяет вычислить квантовые корреляции по заданным параметрическим распределениями вероятностей. Построенная модель реализовывает идею томогра-

фического способа описания квантовых состояний посредством специальных стохастических матриц, которые ассоциируются с данным состоянием и могут быть измерены непосредственно на опыте. Таким образом, предложенная модель позволяет вычислить квантовые корреляции по параметрам измерений наблюдаемых, например по измерениям значения проекции спинов на различные оси квантования. Пользуясь построенной томографической моделью описания квантовых и классических состояний составных многокудитных систем получены новые неравенства обобщающие неравенства БКХШ. Данные результаты отражены в публикациях [1], [2].

2. Для системы из кубит-кутрита, двух кутритов и трех кубитов были рассчитаны значения классических и квантовых верхних границ неравенства БКХШ. Для системы кубит-кутрит численно оценен аналог границы Ци-рельсона. Для остальных систем приведен расчет для классических верхних границ. Для тех же систем определены совместные и относительные томографические энтропии. Численным расчетом показано нарушение энтропийных неравенств классической теории информации Шеннона в квантовой области. Исследован вопрос совместимости неравенств БКХШ с энтропийными неравенствами и их возможной общей связи. Установлен отрицательный результат: несмотря то, что нарушения неравенств БКХШ и энтропийных неравенств обусловлены одним и тем же квантовым эффектом - квантовыми корреляциями между подсистемами, эти неравенства описывают разные аспекты таких корреляций и не могут быть объединены в единое неравенство. Численный расчет перекрытия областей значений параметров (углов измерений) приводящих к нарушению обоих неравенств показал, что эти неравенства независимы. Результаты опубликованы в работе [3].

3. Построена модель описания двухмодового сжатого вакуума электромагнитного поля в вероятностном представлении квантовой оптики. Получены сим-плектические томограммы двухмодового сжатого вакуума электромагнитного поля в виде симплектической томограммы и томограммы центра масс. Вычислены средние и дисперсии томографических амплитуд Х2 и Хс, а также установлены соотношения между ними. Получено явное выражение для ядра перехода от симплектической томограммы гп8(Х) к томограмме числа фотонов и>у(а, п) в одномерном случае. Получено явное выражение для томограммы числа фотонов для двухмодового сжатого вакуума. Результат перехода от симплектической томограммы к томограмме числа фотонов в случае одной моды обобщен на двухмодовый и многомодовые случае. Получено соотношение между полиномами Эрмита двух переменных и полиномами Лагерра. Общий результат проведенных исследований состоит в построении томографической модели квантовых корреляций между раз-

личными модами сжатого вакуума электромагнитного поля. Эти результаты опубликованы в работах [4], [5].

Список публикаций по теме диссертации

1. Loran V. Akopyan and Vladimir I. Man'ko, Journal of Russian Laser Research, 30, 1 (2009).

2. Loran V. Akopyan, Vladimir I. Man'ko, Journal of Russian Laser Research, 30, 4 (2009).

3. L. V. Akopyan, V. I. Man'ko, D. K. Udumyan, Journal of Russian Laser Research, 31, 1 (2010).

4. Loran V. Akopyan and Vladimir I. Man'ko, Journal of Russian Laser Research, 40, 6 (2010).

5. Loran V. Akopyan and Vladimir I. Man'ko, Journal of Optics and Spectroscopy, (2010), готовится к печати.

6. Акопян Л.В., Манько В.И., Вероятностное представление квантовых состояний, Учебное пособие, МФТИ (2010), готовится к печати.

Цитированная литература

1. Shannon С.Е., Bell System Tech. J., 27, 379 (1948).

2. S. Mancini, V. I. Man'ko, and P. Tombesi, Quantum Semiclass. Opt. 7, 615-624 (1995).

3. S. Mancini, V. I. Man'ko and P. Tombesi, Phys. Lett. A, 213, 1-2, 1-6 (1996).

4. A. Ibort, V.I. Man'ko, G. Marmo, A. Simoni, F. Ventriglia, Phys. Scr., 79, 065013 (2009), DOI: 10.1088/0031-8949/79/06/065013.

5. Bell J.S., Physics, 1, 195 (1964).

6. Clauser J. F., Home M. A., Shimony A. and Holt R. A., Phys. Rev. Lett., 23, 880 (1969).

7. B.S. Cirel'son, Lett. Math. Phys., 4, 93, (1980).

8. V. V. Dodonov,V. Opt B: Quantum Semiclass. Opt., 4 R1 (2002) DOI: 10.1088/1464-4266/4/1/201.

9. G. Schrade, V. M. Akulin, V. I. Man'ko, and W. P. Schleich, Phys. Rev. A, 48, 2398-2406 (1993).

10. O.V. Man'ko and G. Schrade, Phys. Scr., 58, 228 (1998).

11. W. P. Schleich, "Quantum Optics in Phase Space", Wiley (2001).

12. R. J. Glauber, "Quantum Theory of Optical Coherence, Selected Papers and Lectures", WILEY-VCH Verlag GmbH and Co. KGaA, Weinheim, ISBN: 978-3527-40687-6, (2007).

13. S. Mancini, P. Tornbesi and V. I. Man'ko, Europhys. Lett., 37, 2, 79-83 (1997).

14. R.F. Werner, Phys. Rev. A, 40, 4277 (1989).

15. A.S. Arkhipova, Yu.E. Lozovik and V.I. Man'ko, Physics Letters /1,328, 6, 419431 (2004) D01:10.1016/j.physleta.2004.06.039.

16. V. V. Dodonov and V. I. Man'ko, J. Math. Phys., 35, 4277 (1994).

Акопян Лоран Ваганович

Томографические методы в квантовой механике и в квантовой оптике

Подписано в печать 12.11.2010 г. Формат 60 х 84 1/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1.0. Уч.-изд. л. 1.0. Тираж 70 экз. Заказ № ф-175.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Московский физико-технический институт (государственный университет) Отдел автоматизированных издательских систем «ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ» 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9

Обозначения и сокращения

Введение

Глава 1. Вероятностное представление квантовых состояний

1.1. Квантовая механика и оптика на фазовой плоскости.

1.2. Томо1рафия классических непрерывных систем.

1.3. Томография квантовых непрерывных систем.

1.4. Принцип суперпозиции в вероятностном представлении

1.5. Соотношения неопределенностей в квантовой томографии.

Актуальность работы. Идея о квантовых компьютерах и квантовых вычислениях восходит к Р. Фейнману [1]. Ожидается, что создание завершенной квантовой теории информации (КВТИ) [2] совершит вторую квантовую революцию в науке и технике. Многочисленные потенциальные приложения КВТИ охватывают квантовые алгоритмы вычислений [2], квантовую телепортацию [3], квантовую криптографию [4], измерения квантовых состояний [5], [6], квантовые технологии хранения и обработки информации, а также передача данных по квантовым каналам связи [7].

Многие представления КВТИ основаны на новых оптических опытах и технологиях, ставших возможными за последние несколько десятилетий [8], [9], [10], [11]. КВТИ оперирует понятиями классической теории информации Шеннона [12], основанной на теории вероятностей и математической статистике [13]. Поскольку для считывания информации с квантового компьютера необходим классический прибор, то становится ясно, что большую роль в успешном решении поставленных задач играет наличие удобного представления квантовой механики, которое способно на едином вероятностном языке описывать классические и квантовые состояния системы.

Адекватный язык описания квантовых состояний для КВТИ был предложен в начале 90-х годов В. И. Манько и др. [14], [15], [16], [17], [18], [19] в виде нового вероятностного представления квантовой механики. Квантовым состояниям ставятся в соответствие определенные неотрицательные и нормированные функции распределения вероятностей — квантовые томограммы (КВТ) [20], [21].

Математический формализм КВТ основан на методе квантования посредством звездочного произведения, обобщающего метод Вигнера-Вейля для квантования посредством фазового пространства [22], [23]. Наблюдаемые А представлены томографическими символами /д(х) квантомеханических операторов [24].

Методы КВТ обобщаются на область релятивистских квантовых полей [25], в частности, известна томография кварковских полей [26].

Поскольку КВТ является физической наблюдаемой, она может быть измерена на опыте со сколь угодно высокой точностью [27], [28]. В частности, томограмма позволяет исследовать свойства запутанных состояний [29], [30] но корреляциям наблюдаемых величин.

Связь между стандартной формулировкой квантовой механики [31], [32], [33] и квантовой статистики [34], [35] с КВТ была установлена в работах [36], [37], [38], [39]. Томограммы связаны с матрицей плотности и волновой функцией непрерывными и обратимыми интегральными преобразованиями [40]. Таким образом, томограммы состояния несут ту же информацию, что и оператор плотности.

В КВТ многочастичные состояния могут быть исследованы сор.местными распределениями случайных величин. Для многоспиновых состояний томографические распределения вероятностей введены в работах [36], [37], [38], [41]. Так возникла актуальная теоретическая задача применения томографических методов исследования квантовых состояний к проблемам КВТИ. Одна из самых актуальных задач квантовой механики и квантовой оптики заключается в понимании большого количества известных неравенств вида неравенств Белла-Клаузера-Хорна-Шимо-ни (ВКХШ) [42], [43], [44], [45], [46] и понимании нарушения ряда энтропийных неравенств классической теории информации в КВТИ (см., например, [47], [48]).

Данные неравенства являются частичными мерами запутанности [49] мно-гокудигных состояний [50], [51]. Поскольку энтроппя является основным понятием теории информации, важно исследовать поведение томографической энтропии мультикудитных состояний для выяснения природы нарушений энтропийных неравенств, а также установления связи нарушения энтропийных неравенств с нарушениями неравенств ВКХШ.

Другим актуальным направлением развития томографических методов в квантовой оптике является КВТ сжатых состояний [52] вакуума электромагнитного поля (ЭМП) [53], [54]. Сжатые состояния света представляют существенный интерес в задаче детектирования гравитационных волн и имеют многочисленные другие применения в технике [55], [56]. Наряду с состояниями Белла сжатые состояния также являются источником запутанности, которую можно измерить экспериментально. Для использования сжатых состояний очень важно знание их вероятностных характеристик [57].

Сжатые многомодовые состояния света [58] демонстрируют неклассическое поведение, обусловленное квантовыми корреляциями между модами ЭМП [59], [60]. Поскольку КВТ позволяет вычислить любые вероятностные характеристики систем посредством усреднения по заданным томографическим распределениям вероятностей, возникает задача вычисления квантовых томограм для многомодово-го сжатого вакуума ЭМП. В свете вышесказанного представленные исследования являются актуальными.

Цель диссертационной работы заключается в установке количественных вероятностных характеристик описания квантовых корреляций в составных кван- • товых системах с дискретными и непрерывными наблюдаемыми. Для достижения целей работы были поставлены следующие задачи:

1. Определить общий вид неравенств БКХШ для многокудитных состояний в спиновой томографии;

2. Вывести новые неравенства вида БКХШ для случая дискретных динамических систем в классической статистической механике;

3. Обобщить результаты задачи 2 для квантовых битов (кубитов) и кудитов и г построить математический аппарат вывода неравенств БКХШ и расчета их верхних границ, пригодный для классических и квантовых состояний;

4. Сравнить полученные значения для верхних границ классических и квантовых неравенств БКХШ и определить области нарушения новых неравенств;

5. Ввести томографические энтропии для многокудитных систем до окончательных расчетов для систем из нескольких кубитов и кутритов;

6. Убедится в нарушении энтропийных неравенств классической теории информации для квантовых томографических энтропий. Определить области "классичности" и "кваытовости" многокудитных систем по отношению к нарушению энтропийных неравенств;

7. Используя результаты задач 4 и 6, выявить области, в которых нарушаются одновременно энтропийные неравенства и неравенства БКХШ. Численным моделированием состояний двух кубитов найти зависимость параметров, при которой нарушаются оба неравенства и выяснить, существует ли У связь между этими двумя неравенствами;

8. Вычислить спиновые томограммы (СПТ), томограмму центра масс (ТЦМ) и томограмму счета фотонов (ТСФ) для одномодового и двухмодового сжатого состояния вакуума электромагнитного поля. Обобщить полученные выражения для Лг-модового сжатого вакуума поля. Вычислить средние и дисперсии томографических квадратур и установить связи между ними;

9. Найти интегральные преобразования, которые связывают между собой СПТ, ТЦМ и ТСФ сжатого многомодового состояния; I

10. Получить новые интегральные соотношения между одномерными и двумерными полиномами Эрмита и полиномами Лагерра.

Научная новизна диссертации заключается в обобщении неравенства БКХШ на случай произвольных многокудитных систем с общим видом квантовых корреляций. Автором получена универсальная для классической и квантовой томографии формула, позволяющая рассчитать значения функции БКХШ по определенной стохастической матрице, ассоциированной с исследуемой системой.

Дано непосредственное обобщение понятия совместной томографической энтропии для произвольных многокудитных состояний. В работе впервые исследован вопрос о связи верхних границ томографических энтрогшй с верхними границами обобщенных неравенств БКХШ для запутанных состояний составных систем. В работе показано, что такой связи в общем случае не существует, и для исследования систем на предмет запутанности или сепарабельности их состояний необходимо (но не достаточно) рассмотреть верхние границы обеих видов неравенств. В работе содержится ряд конкретных приложений обобщенной классиче ской шенноновской энтропии к КВТ.

Научная новизна в применении томографичских методов в квантовой оптике заключается в прямом расчете трех плотностей распределения томографических вероятностей двухмодового сжатого вакуума. В работе автором найден закон преобразования СПТ и ТЦМ в ТСФ. В связи с этим, пересмотрено выражение для ТСФ и установлено новое интегральное соотношение между двухмерными полиномами Эрмита и функциями Лагерра. На основании полученного выражения для СПТ рассчитаны средние значения и дисперсии двух действительных квадратур ЭМП. Таким же образом получено значение квантовой корреляций между двумя квадратурами поля. Помимо основных результатов диссертация содержит ■ ряд практических методик расчетов в квантовой оптике и КВТИ.

Теоретическая и практическая значимость работы. Экспериментальная реализация квантовых компьютеров требует новых теоретических методов расчета вероятностных характеристик квантовых систем. Вывод неравенств БКХШ и расчет их верхних границ делает диссертацию ценной в теоретическом и практическом плане поскольку содержит механизм нарушения этих неравенств, а также их связь с явлением запутанности в системах из нескольких кубитов и кудитов.

Апробация работы. Результаты докладывались на конференциях:

1. "Полугруппы и вероятностное представление квантовой механики", Ежегодная научная конференция МФТИ, г. Долгопрудный, (2009).

2. "Неравенства Белла и КВТ", Летняя школа ПМФ, Секция "Теоретическая Математическая Физика", г. Долгопрудный, (2010).

3. "Bell-type inequalities and Upper bounds of multi-qudit states", Poster présentation in XIII International Conférence on Quantum Optics and Quantum Information, , Kyiv, Ukraine, (2010).

4. "'Quantum Tomography of Multi-mode Squeezed Vacuuin States of Light", Poster présentation in Laser Physics Conférence, Ashtarak, Armenia, (2010).

5. Результаты работы представлены на общепредметном семинаре кафедры теоретической физики МФТИ.

6. Результаты работы докладывались на семинаре Отделения теоретической физики НИИЯФ МГУ имени Д. В. Скобельцына.

Публикации. По теме диссертации опубликовано восемь статьей и два препринта. Из них шесть в журналах, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией для публикации результатов кандидатских диссертаций, и две — в трудах научных конференций. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация включает в себя содержание, введение, четыре главы, заключение, приложение и список цитируемой литературы. Каждая глава имеет выводы, в которых сформулированы основные результаты. В первой главе вводятся симплектическая (СТ) и оптические (ОТ) томограммы и томограмма счета фотонов (ТСФ), описывается общие методы исследования квантовых состояний в КВТ. Во второй главе вводится спиновая (СПТ) и унитарная томограмма для представления многокудитных состояний. Многокудитным состояниям ставятся в соответствие определенные стохастические матрицы, непрерывно зависящие от параметров измерений состояний, и

4.6. Основные выводы и результаты

В четвертой главе построена томографической модель квантовых корреляций между различными модами сжатого вакуума ЭМП. Получены СТ, ТЦМ и ТСФ двухмодового сжатого вакуума ЭМП. Вычислены средние и дисперсии томографических амплитуд А*!, Х2 и Хс, а также установлены соотношения между ними. Получено явное выражение для ядра перехода от СП и>8(Х) к ТСФ гоДск, п) в одномерном случае. Ядро перехода от СП к ТСФ в случае одной моды обобщено на двухмодовый и многомодовые случае. Получено соотношение между полиномами Эрмита двух переменных и полиномами Лагерра. Эти результаты опубликованы в работах [143], [144] и докладывались на конференции [150]. '

Заключение т

В диссертации исследуются симплектические (СТ) и оптические томограммы (ОТ), томограммы центра масс (ТЦМ), томограммы счета фотонов (ТСФ) и спиновые томограммы в квантовых системах с непрерывными и дискретными наблюдаемыми. Для систем с дискретными наблюдаемыми задается общая схема построения неравенства вида БКХШ. Для систем с непрерывными наблюдаемыми рассчитаны СТ, ОТ, ТЦМ и ТСФ. С помощью полученных томографических распределений вероятностей проводился анализ корреляционных свойств много-кудитных состояний и сжатых состояний вакуума ЭМП.

В диссертации получены следующие результаты:

1. Построена полная нелокальная томографическая модель неравенств БКХШ и вычислены их верхние границы для многокудитных состояний. В рамках данной модели рассмотрены неравенства БКХШ и установлены параметры их нарушения в области квантовой механики в системах кубит-кубит, кубит-кутрит, кубит-кубит-кубит и кутрит-кутрит. Предложенная модель позволяет вычислить квантовые корреляции параметров измерений наблюдаемых, например, по измерениям значения проекции спинов на различные оси квантования. С помощью построенной томографической модели описаг ния квантовых и классических состояний составных многокудитных систем ' получены новые неравенства, обобщающие неравенства БКХШ. Данные результаты отражены в публикациях [140] и [141].

2. Для многокудитных состояний определены совместные и относительные томографические энтропии. Численным расчетом показано нарушение энтропийных неравенств классической теории информации в квантовой области. Исследован вопрос совместимости неравенств БКХШ с энтропийными неравенствами и возможность их взаимосвязи. Несмотря на то, что нарушения неравенств БКХШ и энтропийных неравенств обусловлены одним и тем же квантовым эффектом — квантовыми корреляциями между подсистемами — эти неравенства описывают разные аспекты таких корреляций и не могут быть объединены в единое неравенство. Численный расчет перекрытия областей значений параметров (углов измерений), приводящих к нарушению обоих неравенств показал, что эти неравенства независимы. Эти результаты опубликованы в работе [142]. г

3. Построена томографической модель квантовых корреляций между различными модами сжатого вакуума ЭМП. Получены СТ, ТЦМ и ТСФ двухмо-дового сжатого вакуума ЭМП. Вычислены средние и дисперсии томографических амплитуд Хх, Х2 и Хс, а также установлены соотношения между ними. Получено явное выражение для ядра перехода от СП и)3(Х) к ТСФ ги7(а, п) в одномерном случае. Ядро перехода от СП к ТСФ в случае одной моды обобщено на двухмодовый и многомодовые случаи. Получено соотношение между полиномами Эрмита двух переменных и полиномами Лагерра. Эти результаты опубликованы в работах [143], [144], [14£].

Развитые в диссертации томографические методы исследования квантовых состояний снабжают КВТИ инструментами для понимания и расчета корреляционных свойств многокудитных состояний. Полученные результаты для расчета квантовых корреляций и взаимных энтропий составных систем могут применяться в экспериментальной реализации квантовых вычислительных машин. При этом практические результаты диссертации дают конкретные рецепты построения электронных квантовых компьютеров с небольшим числом кубитов и кутритов.

С точки зрения дальнейшего развития томографических методов в квантовой оптике очень перспективными являются различные томографические представления сжатых состояний ЭМП. Во-первых, можно легко объединить квантовые томографии для дискретных и непрерывных систем для полного описания состояний ЭМП. Это позволит сделать значительный шаг вперед в построении фотонных квантовых компьютеров. Во-вторых, пользуясь результатами диссертации для КВТ состояний сжатого вакуума ЭМП, можно рассчитать верхние пределы неравенств БКХШ для многомодовых состояний ЭМП.

Теоретическим направлением развития полученных результатов будет есте- ' ственное обобщение построенной нерелятивистской томографической картины состояний ЭМП в область квантовой теории поля. Весьма привлекательно также построение теории информации для квантованных полей. Этот путь дальнейших перспективных исследований открыт благодаря определению взаимной томографической энтропии составных систем. I f

Благодарности

Я выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю, Владимиру Ивановичу Манько, за постановку задач и внимательное и заботливое руководство моими исследованиями. Эта работа во многом результат доброй и вдохновляющей атмосфере, которой Владимир Иванович окружал и поощрял мои идеи и усилия. Я также выражаю благодарность кафедре теоретической физики Московского физико-технического института, одного из лучших научных школ России, за поддержку оригинальных теоретических исследований.

1. Richard Feynman, International Journal of Theoretical Physics, 21, 467, (1982), DOI: 10.1007/BF02650179.

2. Gregg Jaeger, "Quantum Information: An Overview", Springer, Berlin, (2007), ISBN 978-0-387-35725-6.

3. L. Vaidman, Phys. Rev. A, 49, 1473-1476, (1994).

4. С. H. Bennett, Phys. Rev. Lett., 68, 3121, (1992).

5. John A. Wheeler and Wojciech Hubert Zurek (eds), "Quantum Theory and MeasurementPrinceton University Press, (1983), ISBN 0-691-08316-9.

6. Paul Busch, Pckka Johannes Lahti, Peter Mittelstaedt, "The Quantum Theory of Measurement", Springer, New York, (1991), ISBN 3-540-54334-1.

7. A. S. Holevo, 'Probabilistic and statistical aspects of quantum theoryNorth-Holland Series in Statistics and Probability, Vol. 1, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, (1982), ISBN 0-444-86333-8.

8. Y.-H. Kim, S. P. Kulik and Y. Shili, Phys. Rev. Lett., 86, 1370, (2001).

9. M. D. Barrett, J. Chiaverini, T. Schaetz, J. Britton, W. M. Itano, J. D. Jost, E. Knill, C. Langer, D. Leibfried, R. Ozeri, D. J. Wineland, Nature, 429, 737, (2004).

10. A. Aspect, P. Grangier and G. Roger, Phys. Rev. Lett., 47, 460-463, (1981).

11. A. Aspect, J. Dalibard and G. Roger, Phys. Rev. Lett., 49,-1804, (1982).

12. С. E. Shannon, Bell System Tech. J., 27, (1948).

13. William Feller, "An Introduction to Probability Theory and Its Applications Vol. 1, 3rd Ed., John Wiley and Sons, Inc., (1968), ISBN: 978-0-471-25708-0.

14. S. Mancini, V. I. Man'ko and P. Tombesi, Quantum Semiclass. Opt., 7, 615-624 (1995).

15. S. Mancini, V. I. Man'ko and P. Tombesi, Phys. Lett. A, 213, 1-2 1-6, (1996).

16. O. V. Manko, J. Russ. Laser Res., 17, 5, 439-448, (1996).

17. S. Mancini, V. I. Man'ko and P. Tombesi, Found. Phys., 27, 801-824, (1997).18. 0. V. Man'ko and V. I. Man'ko, J. Rass. Laser Res., 18, 5, 407-444, (1997).

18. M. A. Man'ko, V. I. Man'ko and R. Vilela Mendes; J. Phys. A: Math. Gen., 34, Number 40, 8321, (2001), DOI: 10.1088/0305-4470/34/40/309.T

19. V. I. Man'ko, G. Marmo, A. Simoni, F. Ventriglia, Phys.Lett.A, 372, 6490-6497, ' (2008), DOI: doi:10.1016/j.physleta.2008.07.085.

20. A. Ibort, V. I. Man'ko, G. Marmo, A. Simoni, F. Ventriglia, Phys. Scr., 79, 065013, (2009), DOI: 10.1088/0031-8949/79/06/065013.

21. E. Wigner, Phys. Rev., 40, 749, (1932).

22. H. Weyl, "The Theory of Groups and Quantum Mechanics", Dover Publications, Inc., New York, (1931), ISBN 486-60289-9.

23. M. A. Man'ko, V.I. Man'ko and R.V. Mendes, J. Rass. Laser Res. 27, 507-532, * (2006).

24. V. I. Man'ko, L. Rosa, P. Vitale, Phys.Lett. B, 439, 328-336, (1998).

25. A. B. Klimov, O. V. Man'ko, V. I. Man'ko, Yu. F. Smirnov and V. N. Tolstoy, J. Phys. A: Math. Gen., 35, 6101, (2002), DOI: 10.1088/0305-4470/35/29/312.139

26. S. Mancini, P. Tombesi, V. I. Man'ko, P. Kasperkovitz, D. Grau (eds.), "Proceedings of the 5th Wigner Symposium(Vienna, 25-29 August 1997), 410-412, World ' Scientific, Singapore, (1998).

27. V. I. Man'ko, G. Marmo, A. Simoni, A. Stern, E. C. G. Sudarshan, F. Ventriglia, Phys. Lett. A, 351, 1-2, 1-12, (2006).

28. E. Schrödinger, Naturwissenschaften, 23, 48, 807-812; 49, 823-828; 50, 844-849 (1935), DOI: 10.1007/BF01491891.

29. E. Schrödinger, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 31: 555-563, (1935), 32: 446-451, (1936).

30. JI. Д. Ландау, E. M. Лифшиц, "Квантовая механика: Нерелятивистская теорияМ.: Наука, (1989).

31. Paul А. М. Dirac, 'Principles of Quantum Mechanics', 4th Ed., Oxford University Press, (1958).

32. J. J. Sakurai, 'Modern Quantum Mechanics', Addison-Wesley Publishing Company, Inc., (1994).

33. N. N. Bogoliubov, N. N. Bogoliubov, Jr., "Introduction to Quantum Statistical Mechanics", World Scientific, (1982).

34. Л. Д. Ландау, E. M. Лифшиц, "Статистическая Физика. Часть 1", М.: Наука, (1989).

35. V. V. Dodonov and V. I. Man'ko, Phys. Lett. A, 229, 335, (1997), D01:10.1016/S0375-9601(97)00199-0.

36. V. I. Man'ko, S. S. Safonov, Teor. Mat Fiz., 112:3, 467-478, (1997).

37. V. I. Man'ko and О. V. Man'ko, Zh. Eksp. Teor. Fiz., 112, JETP 1, (1997).14039.