Вероятностные представления квантовой механики и неклассические состояния поля излучения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Учреждение Российской Академии Наук Физический Институт им. П. Н. Лебедева РАН

на правах рукописи УДК 530.145 + 535.14

Коренной Яков Александрович

Вероятностные представления квантовой механики и неклассические состояния поля излучения

01.04.02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 9 МАЙ 2011

Москва - 2011

4846755

Работа выполнена в Учреждении Российской Академии Наук Физическом Институте им. П. Н. Лебедева РАН

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор

Манько Владимир Иванович Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук

Кукушкин Александр Борисович; доктор физ.-мат. наук Соловьев Михаил Александрович Ведущая организация: Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)» (МФТИ)

Защита состоится « Зо > 2011 г. в часов на засе-

дании Диссертационного совета Д 002.023.02 при Физическом Институте им. П. Н. Лебедева РАН, расположенном по адресу: 117924, Москва, Ленинский проспект д. 53 .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской Академии Наук Физического Института им. П. Н. Лебедева РАН. Автореферат разослан « -2 3 » 2011 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеупомянутому адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

Истомин Я.Н.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Еще на заре создания квантовой механики принимались неоднократные попытки ее построения в форме динамической теории классических траекторий. [1, 2, 3, 4, 5]. Р. Фейнман предложил рассмотрение квантовой механики в терминах интегралов по траекториям [6].

При решении задачи нахождения адекватного вероятностного описания квантовых состояний, различными авторами было предложено множество функций квазивероятности, таких как функция Вигнера [7], функция Хусими [8], функция Глаубера-Сударшана [9, 10], которые позже были объединены в однопараметрическое семейство [И]. Но благодаря принципу неопределенностей Гейзенберга, в отличие от классической вероятности, все эти функции квазивероятности не описывают распределений измеримых переменных на фазовой плоскости.

Формулировка квантовой механики, похожая на классическую стохастическую механику, была предложена Мойалом [12], но введенное им уравнение эволюции было уравнением для функции квазивероятности (функции Вигнера), не являющейся распределением вероятности.

В 1987 году Дж. Бертраном и П. Бертраном [13] для применения в квантово-оптических измерениях была введена оптическая томограмма ги(Х,в), имеющая смысл функции распределения измеряемой квантово-оптическим балансным гомодинным детектором квадратурной компоненты Хд = + е~1°а3)/\/2, где в - фаза локального осциллятора и а3 - оператор уничтожения для моды сигнала. Эта томограмма, содержащая всю доступную информацию о квантовом состоянии, является результатом (в одномерном случае) обратного преобразования Радона [14] от функции Вигнера (см. [15]).

Оптическая томограмма и ее связь с функцией Вигнера были использованы в экспериментах по гомодинному детектированию квантовых состояний

фотонов [10] (см. обзорную статью [17]), в которых измерение оптической томограммы применялось в качестве технического инструментария для реконструкции функции Вигнера.

В работе [18] была введена функция распределения, позже названная сим-плектической томограммой [19]. Было показано, что симплектическая томограмма М(Х,/1:1/), являющаяся неотрицательной функцией распределения гомодинной квадратурной компоненты Х^, зависящей от внешних действительных параметров /¿иг/, связана с оптической томограммой и эта связь дает возможность реконструирования функции Вигнера из симплектической томограммы при помощи преобразования Фурье.

В работах [20], [21] предложена новая формулировка квантовой механики, названная вероятностным представлением квантовой механики (см. недавние обзоры [22], [23]). Вероятностное представление развивалось в ряде работ [24], [25], [26]. В вероятностном представлении квантовые состояния описываются непосредственно функциями распределения вероятности, называемыми квантовыми томограммами или томографическими распределениями вероятности. Томограммы содержат всю доступную информацию о квантовом состоянии и связаны с операторами плотности посредством обратимых преобразований. Вообще говоря, существует множество видов томограмм, связанных с операторами плотности различными обратимыми преобразованиями. Например, в работе [27] рассмотрена так называемая томография центра масс.

Развитое сяйчалё, ДлЯ йёпрёрывйШ йёремёйШх, 'гоМеэграфическоё представление затек была обобЩёнб на ёЛучай дискрётнМХ спиновых йёрёМённых (спиновая томография [28, §0]) й Йа случай Дйскрётной переменной числа фотонов (томография числа фотонов [31, 32]).

Неотрицательность томографической функции распределения вероятности является весьма привлекательным свойством для компьютерного моде-

лирования квантовых систем [33].

С другой стороны, в современных экспериментальных исследованиях широко применяется именно оптическая томография, и поэтому дальнейшее развитие представления оптической томографии является особенно актуальным.

Квантовая оптическая томография, реализуемая посредством балансного гомодинного детектирования, на сегодняшний день является основным инструментом экспериментальных исследований неклассических состояний поля излучения.

Такие состояния являются перспективными для создания новых устройств, обладающих чувствительностью, существенно превышающей стандартный квантовый предел [34], для оптической передачи информации [35], квантовой криптографии [36], и других применений. В связи с этим в последние два десятилетия исследовались различные виды неклассических фотонных состояний (см., например, обзор [37]).

Среди них - состояния с добавленными фотонами [38], являющиеся результатом элементарных процессов усиления квантового сигнала [39]. Некоторые из этого класса состояний были экспериментально реализованы в недавних работах [39], [40], [41], [42], [43], в частности, в связи с тестированием квантовых коммутационных соотношений бозонных операторов рождения и уничтожения.

Практическая значимость состояний с добавленными фотонами и недавние эксперименты по их реализации предопределяют актуальность их исследований.

Кроме того, по нашему мнению, особенно перспективным является распространение методов квантовой томографии и квантовой оптики классических и неклассических состояний на квантовые системы атомов в магнитных ловушках [44], являющиеся основой экспериментов по созданию так называе-

мых «атомных лазеров», прототипы которых реализованы в настоящее время во многих странах мира [45, 46].

Ввиду вышесказанного, исследование и развитие вероятностного подхода в его применении к квантовым системам, а также изучение неклассических состояний поля излучения, является актуальной задачей, представляющей научный и практический интерес.

Целью диссертационной работы является дальнейшее развитие вероятностного представления квантовой механики и исследование неклассических состояний поля излучения.

Основными задачами работы являются:

Развитие рассматриваемого ранее вероятностного представления квантовой механики в терминах оптической томографической функции распределения вероятности, имеющей равное с матрицей плотности число степеней свободы, и доказательство возможности вероятностного представления квантовой механики без увеличения мерности задачи, введения дополнительных переменных и скрытых параметров.

Получение явных выражений для операторов в представлении оптической томографии и их дуальных символов в виде регулярных обобщенных функций.

Вывод динамического уравнения и уравнения стационарных состояний квантовых систем в представлении оптической томографии для произвольных многомерных гамильтонианов; получение уравнения Лиувилля в представлении оптической томографии.

Получение уравнения для пропагатора оптической томограммы квантовой системы с произвольным гамильтонианом; нахождение интегральных выражений связи оптического пропагатора и квантового пропагатора для матрицы плотности; нахождение явного выражения пропагатора оптической томограммы произвольной квадратичной квантовой системы.

Исследование свойств неклассических состояний с добавленными фотонами для параметрической квантово-оптической системы; получение явных выражений для параметрически возбужденных когерентных состояний с добавленными фотонами, четных/нечетных состояний с добавленными фотонами, а также температурных состояний с добавленными фотонами; предложение дополнительных тестовых выражений для оценки точности получаемых в квантово-оптических экспериментах томограмм состояний.

Исследование оптических томограмм стационарных состояний водородо-подобных атомов и ионов.

Развитие обобщения вероятностного представления на случай релятивистских квантовых систем; нахождение релятивистского уравнения Лиувилля в представлении оптической томографии и динамического уравнения для оптической томограммы слабо-релятивистской безспиновой квантовой частицы в достаточно слабых полях.

Научная новизна результатов, представленных в настоящем исследовании, состоит в следующем:

1. Развито рассматриваемое ранее вероятностное представление квантовой механики в терминах оптической томографической функции распределения вероятности, имеющей равное с матрицей плотности число степеней свободы, и тем самым доказано, что возможно вероятностное представление квантовой механики без увеличения мерности задачи, введения дополнительных переменных и скрытых параметров. Проиллюстрировано применение разработанного формализма на примерах конкретных квантовых систем и состояний.

2. Получены явные выражения для операторов в представлении оптической томографии. Найдены дуальные символы операторов в представлении оптической томографии в виде регулярных обобщенных функций.

3. Выведены динамическое уравнение и уравнение стационарных состо-

яний квантовых систем в представлении оптической томографии для произвольных многомерных гамильтонианов. Получено уравнение Лиувилля в представлении оптической томографии.

4. Получено уравнение для пропагатора оптической томограммы квантовой системы с произвольным гамильтонианом. Найдены интегральные выражения связи пропагатора для оптической томограммы и квантового пропагатора для матрицы плотности. Найдено явное выражение для пропагатора оптической томограммы произвольной квадратичной квантовой системы.

5. Исследованы свойства неклассических состояний с добавленными фотонами для параметрической квантово-оптической системы. Получены явные выражения для параметрически возбужденных когерентных состояний с добавленными фотонами, четных/нечетных состояний с добавленными фотонами, а также температурных состояний с добавленными фотонами. Предложены дополнительные тестовые выражения для оценки точности получаемых в квантово-оптических экспериментах томограмм состояний.

6. Исследованы оптические томограммы стационарных состояний водоро-доподобных атомов и ионов.

7. Развито обобщение вероятностного представления на случай релятивистских квантовых систем. Найдено релятивистское уравнение Лиувилля в представлении оптической томографии и динамическое уравнение для оптической томограммы слабо-релятивистской безспиновой квантовой частицы в достаточно слабых полях.

Практическая значимость полученных результатов: Результаты диссертации вносят заметный вклад в работы по дальнейшему развитию квантовой механики и исследованию состояний квантовых систем.

В диссертации развито предложенное ранее вероятностное представление квантовой механики в терминах оптической томографической функции распределения вероятности (оптической томограммы). Важность такого пред-

ставления для теоретических и экспериментальных исследований обусловлена возможностью непосредственного экспериментального измерения оптической томограммы состояния квантовой системы.

Применение полученных в диссертации результатов при рассмотрении состояний квантовых систем (в частности, в квантовой оптике) в теоретических исследованиях и анализе получаемых в экспериментах оптических томограмм позволяет проводить дополнительные тесты оценки точности экспериментов, а также вычислять значения практически любых интересующих наблюдаемых физических величин квантовых состояний непосредственно из оптических томограмм с помощью найденных в работе символов операторов без использования представления квазивероятности или представления матрицы плотности.

Пропагатор и динамическое уравнение для оптической томограммы, найденные в диссертации, позволяют осуществлять мониторинг состояния квантовой системы в процессе эволюции. Динамическое уравнение для оптической томограммы и уравнение стационарных состояний в представлении оптической томографии допускают достаточно эффективное применение итерационных численных алгоритмов.

Дуальные символы операторов в виде регулярных обобщенных функций наряду с динамическим уравнением и уравнением стационарных состояний и другими результатами диссертации в представлении оптической томографической функции распределения вероятности, когда в функции распределения содержится вся доступная информация о квантовом состоянии, причем без всяких дополнительных «скрытых» параметров и другого рода переопределений (увеличений размерности задачи), предоставляют современной физике эффективный новый инструментарий для активного использования во многих приложениях.

По мнению автора, полученные результаты, несомненно, найдут примене-

нис, в частности, в прецизионных исследованиях фундаментальных аспектов квантовой механики.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Вероятностное представление квантовой механики в терминах оптической томографической функции распределения вероятности, имеющей равное с матрицей плотности число степеней свободы, доказывающее, что возможно вероятностное представление квантовой механики без увеличения мерности задачи, введения дополнительных переменных и скрытых параметров. Иллюстрация применения разработанного формализма на примерах конкретных квантовых систем и состояний.

2. Аналитические явные выражения для операторов в представлении оптической томографии, дуальные символы операторов в представлении оптической томографии в виде регулярных обобщенных функций.

3. Динамическое уравнение и уравнение стационарных состояний квантовых систем в представлении оптической томографии для произвольных многомерных гамильтонианов; уравнение Лиувилля в представлении оптической томографии.

4. Уравнение для пропагатора оптической томограммы квантовой системы с произвольным гамильтонианом; интегральные выражения связи пропагатора для оптической томограммы и квантового пропагатора для матрицы плотности; явное выражение для пропагатора оптической томограммы произвольной квадратичной квантовой системы.

5. Результаты исследования свойств неклассических состояний с добавленными фотонами для параметрической квантово-оптической системы, явные выражения для параметрически возбужденных когерентных состояний с добавленными фотонами, четных/нечетных когерентных состояний с добавленными фотонами, а также температурных состояний с добавленными

фотонами, дополнительные тестовые выражения для оценки точности получаемых в квантово-оптических экспериментах томограмм состояний.

6. Оптические томограммы стационарных состояний водородоподобных атомов и ионов.

7. Результаты обобщения вероятностного представления на случай релятивистских квантовых систем; релятивистское уравнение Лиувилля в представлении оптической томографии и динамическое уравнение для оптической томограммы слабо-релятивистской безспиновой квантовой частицы в достаточно слабых полях.

Эти результаты являются новыми и достоверными.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинаре отделения теоретической физики Физического института имени П.Н.Лебедева по квантовой теории поля, на общепредметном семинаре кафедры теоретической физики Московского физико-технического института.

Кроме того, результаты диссертации направлены и будут докладываться методом заочного содоклада на 12-й международной конференции по сжатым состояниям и соотношениям неопределенностей ICSSUR 2011, Foz do Iguagu, Brazil, May 02-06, (2011).

Публикации. Результаты диссертационного исследования были опубликованы в 7 научных работах (см. Список публикаций). Из приведенного перечня 5 статей опубликовано в рецензируемых научных журналах [Al, А2, A3, А4, А6], две статьи опубликованы в архиве Лос-Аламоса [А5, А7]. Кроме того, статья [А5] принята 15 апреля 2011 года к публикации в журнале Physical Review А.

Личный вклад автора состоял в нахождении представленных аналитических результатов, построении графиков, написании программных кодов, необходимых для численного исследования полученных аналитических результатов, в предложениях методологического характера по существу выпол-

няемых работ. Вклад соискателя в получение результатов является определяющим.

Структура и объем диссертации. Представленная диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа включает в себя более 120 страниц, более 10 иллюстраций и более 110 цитирований литературы. В конце каждой главы содержатся выводы, в которых сформулированы основные результаты исследований.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, а также представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе вводятся основные понятия и определения оптического томографического представления. Оптическая томограмма для многомерной квантовой системы определяется через функцию Вигнера следующим образом:

W(X, в, t) = [ W(q, р, t) f[ó(xa- qa cos 0a - p^-^A (1)

J v¡ \ mauiaJ (2тгñ)n

где ma иш„- размерные постоянные для сг—й степени свободы. Постоянные та и ша выбираются из соображений удобства исходя из гамильтониана системы и являются характерными массовыми и частотными параметрами задачи. Матрица плотности, функция Вигнера и, соответственно, оптическая томограмма состояния предполагаются нормированными.

Далее, чтобы не загромождать формулы, в ряде случаев, где размерные постоянные очевидным образом могут быть восстановлены, мы будем их опускать, используя соответствующие системы единиц измерения.

В диссертации показано, что оптическая томограмма удовлетворяет условию симметрии

&вги(Х,в,Ь) = д1)У)((-1)кХ1в+пк, г), к = 0, ±1, ±2, • • •, / = 0, 1, 2, - - - (2)

Решается задача нахождения явного вида наиболее интересных с физической точки зрения операторов в представлении оптической томографии. Если А - оператор, действующий на матрицу плотности р состояния квантовой системы, то преобразование Радона результата такого действия Д[Лр](Х, б) может быть представлено в виде действия этого оператора в томографическом представлении Н[А](Х, в) на оптическую томограмму ш(Х,0).

Так, в частности, в представлении оптической томографии для г—х компонент операторов р, ц2, р2, с(р явные выражения выглядят следующим

образом:

щ = БШ

дХ{

Рг = I — сое в{

д „ г Л . Л д

— + соэ Ог 4- --эш 01—\

001 2 тщи>ог дХг

дХ{

1 д ТГ • Л 1 ^ Л 9

Ш + Ъ«пО< -усоз^—;

-2 • 2 / <?, = Б1П (

ЭХг

+

2 л Л Г . 2л д яп2вг л ^ д

тп{шы до, 2 V ) \

1 К2

4 тп?и>2-

'"("И

Б!!!2

$ = < соэ2 £

дХ2' д

Х{

д

дх, гЙтп^ог

^ип 2в~ + а»2 + X2 шп2 в{ |

Г 2п д &\п2в{ / „ 9 М *

£ < СОЗ2 0;—---—- 1 + — Н - -

гдо,

д2

1дхЛ 4С03 "'ах2

QiPi

2 2 / sin20i д у2 (д* л

+ Xi

dXi

-î

sin 26i

-cosWé)+x<

2 Sill2 6i

JX' 9 " Л\ТЩ

9. sin20i д . о. I ч, . ,

cos 0; + „ — - sin 0 ( '

| n2 iff d2

8гщшт 'dX2'

2 d9i

Оператор момента импульса для матрицы плотности в координатном представлении I = —ih[q, V,-], или ¿1 = q2p3 — Р2?з-В представлении оптической томографии

h = -г | M sin

+ i I sin 02

дХо

-i

д

д

-+X2œse2 œs03—

дХ2

-i

— + X2cos02 I ( cos 0з

дХ3

д93

+ Х3 sin в3

i . п д „ д sin 02 д . л

+ Г1пв2Щсозвздх3 + -2~дх2[соввз

дХ3

дв3

Х3 sin в3

4- г

а компоненты и 13 получаются из выражения для 1\ циклической перестановкой индексов.

Операторы рождения и уничтожения, действующие на матрицу плотности, в координатном представлении имеют форму

В представлении оптической томографии этим операторам соответствуют операторы, действующие на оптическую томограмму

ехр(гб,) i 19

dXi

де{

Для оператора числа частиц Л', = в г—й моде п—мерного осциллятора имеем:

1 Г 1

а в представлении оптической томографии

-2

в) = а\а^(Х, в) = \

д

дХг

а1

дх{

Оператор Л^ действует на оптические томограммы и;п(Х, в) стационарных состояний гармонического осциллятора в соответствии с формулой

где щ - число квантов в г—й моде.

Отметим, что при выводе правил соответствия фактически использовалась принадлежность функции IV(/¡, р) пространству [47] основных функций на котором может быть построено пространство обобщенных функций медленного роста ¿>/2п.

Далее в диссертации решается задача нахождения явного вида символов операторов в виде сингулярных и регулярных обобщенных функций.

Соотношение между матрицей плотности и оптической томограммой может быть представлено в следующей форме:

ш(х,в) = Тт{р&(х,в)}, р = ! ™{х,е)г>(х,е)&х &в,

где операторы

й(Х,в) = 5{Х\-Ъсс&0-р&те), 14

Ь(х,в) = — [Ы Мх ~р®^(1т]

2тг ]

- деквантайзер и квантайзер соответственно. Эти операторы удовлетворяют соотношениям ортогональности и полноты

Тг{й{Х,в)Ь{Х',&)} = ¿(Хсоз(9 - 9') - - 6»')),

У ДУР{Х, 9Щр(Х, в) (IX ¿9 = 5{д - д')6(р - 0). (3)

Среднее значение оператора А, действующего на матрицу плотности, равно

Тг{До}= I ги{Х,е)Ъ{АГ)(Х,9)}<1Х <19 = I у)(х,9)и){?\х,9)<1х <19, (4)

где введено определение дуального символа оператора А

го®(Х,0)=Ъ{АЬ{Х,в)}. (5)

С помощью соотношения полноты (3) оператор А может быть найден из его дуального символа:

А = I 9)0(Х,9)<1Х <19.

Из определения дуального символа (5) для операторов 1, д, р и др после вычислений находим явные выражения их дуальных символов в форме сингулярных обобщенных функций:

9) = 5(в\п(9 - 90)), 9о 6 [0, тг];

■ш(У{Х,в) = Хсозб^тб»);

■ш¥)(Х,9)=Х6{9-Ъ/2У,

го$(Х, 9) = ХЧ{9 - тг,/4) - - ±Х26(9 - тг/2) +

В соответствии с формулой (4) символ ш^(Х,9) оператора А задает линейный непрерывный функционал на множестве функций распределения

и)(Х,в), принадлежащих пространству 52" основных функций, т.е. множество ьи^(Х, в) фактически задает множество обобщенных функций на52п. Очевидно, что для оператора А существует, вообще говоря, множество символов, равных в смысле функционального равенства обобщенных функций

(4).

Сингулярный вид символов операторов является, вообще говоря, более удобным для теоретических расчетов, чем регулярный, однако для машинных расчетов и обработки экспериментальных данных более предпочтительно иметь символы операторов в виде регулярных обобщенных функций (в виде гладких непрерывных функций, имеющих не более чем конечно-степенной рост на бесконечности по переменным X и регулярных на границах области интегрирования по переменным в).

Если А - некоторый произвольный оператор в вигнеровском представлении, среднее значение которого существует, то интеграл

I ИИ \У(д,р)}(^,д)АпХ = (А)

не зависит от в. Принимая во внимание определение символа оператора имеем:

(А) = J ы{^{Х,0)ш{Х,&)Апх<1пв

= ¿У щД^ййкад^ха-в^ у КИМ^ЙКХ^ХС™.

Таким образом, линейные непрерывные функционалы (обобщенные функции) вида

действующие на множестве оптических томограмм и)(Х, в соответствии с найденными в диссертации правилами могут быть представлены в виде регулярных обобщенных функций.

Так, в частности, для компонент операторов д и рв диссертации найдены выражения их дуальных символов в следующем виде : 2 ., „ и,.-; я 2

я,

в) = ^(1 + 2 соб 20,); в) = ^(1 - 2 соз 2е,)-

(<0

ТУ« л У-'1 ^ / — -л* ОИ1 ¿.и» -г "г-.

Ч.РЛ ' > 27Гп

Дуальные символы компонент оператора момента импульса в виде регулярных обобщенных функций могут быть выражены следующим образом:

«^(Хь Ха, вив2, в3) = —вт(в3 - в2)-

V. Д. ДЛ —

г2п

№(ХЬ Х2, 02, в3) = ^¿ВД яп (01 - б3); >Р{Хи Хг, Х3; ви0ъ въ) = - 01).

'3 7Г

Для дуальных символов операторов рождения и уничтожения мы можем записать следующие выражения:

= — Х{(сов0{ + (ятО,); т^'МЯ, в) = —Х1(сояв1 - гятвЛ;

Во второй главе исследуется динамика оптических томограмм состояний квантовых систем с произвольным многомерным гамильтонианом; выводится ур&Ёнеййё ЗволюЦМ ййтйЧёскбЙ тбкбГракММ ДйЙ $1ййх £аййльтбйиа-нов.

Так; Для гамйЛьтбкйайов 1шда

+ 9 = (6)

<7=1 ^

автором получено динамическое уравнение

д_ dt

w(X,9,t)

.17=1

"Г 9 1 Г

cos2 ва— - - sin 2öa |

+ cos 0a + i

.hsinöff д

2m„Lüa dX„

w(X,e,t),

(7)

соответствующее уравнениям Шредингера-Робертсона и фон-Неймана в представлении волновой функции и матрицы плотности.

Для классической функции распределения в фазовом пространстве f(q,p) оптическая томограмма wci(X,6,t) может быть введена по аналогии со случаем квантовой системы:

wd(X,9,t) = [ f(g,p,t)f[6 (ха - dnq dnp. (8)

J ^ V rnauaJ

Тогда из n—мерного уравнения Лиувилля для потенциала V{q) в фазовом пространстве

df(q, P,t) | ул ра df(q, р, t) dV(q, t) df(q, p,t) __ ^ .g.

dt ma dqa ¿-t dq„ dpa

(7=1 <7=1

мы можем вывести уравнение Лиувилля в томографической форме:

iMXAt) = I> [cos^A - isin2^ {l + Xa-JL}

+

п ö I д

дХа

-1

+ Ха cos в0

дХ,

sin в а д

wcl(X,9,t)

таша дХа

wd(X,e,t). (10)

Уравнение (7) переходит в уравнение (10) при Н -> 0.

Для стационарных гамильтонианов, когда потенциал не зависит от времени, в диссертации получено уравнение на стационарные состояния кван-

товой системы в томографической форме:

£

L<7=1

тпш;

д

дХа

№

2

дхв

-1

д \ X2 cos2 6>0 + sin j + -у- sin21

а2

ветшай

-1

+ cos + г

}]

(И)

Условие стационарности оптической томограммы гив^Х, ¿Г) получается из уравнения эволюции (7), принимая во внимание, что = 0. Таким образом, оптические томограммы стационарных состояний квантовых систем удовлетворяют одновременно двум уравнениям: (11) и условию стационарности.

Эволюцию оптической томограммы ш(Х,в) можно представить в виде следующего интегрального соотношения :

7Г ОО

ъо(Х,0,$ =:JdeJ йХ Я'/), (12)

0 -оо

где П(Х, в, Ь, Х\ в1, V) - функция Грина уравнения (7). Мы называем эту функцию оптическим пропагатором. Благодаря (2), оптический пропагатор удовлетворяет условию симметрии

и(х,в,1-,х',в',е) = и((-1)кх,в + тгк,^х',в',1'), (13)

По физическому смыслу, пропагатор удовлетворяет нелинейному интеграль-

ному соотношению для N последовательных моментов времени tk (к = 1, N) между ti = Un and tf = tN

. (N-1 1 JV-l

щхк,ех,1Г,хьвъип) = J Щп(1н1,eM,tM-xk,ek,tk) [ IJ dxkdek.

fc=l

k=2

Если принять в этом выражении — == Ыт, = ип + кт, то в пределе г —> О, N —>■ оо, можно получить выражение для оптического попагатора в виде функционального интеграла.

В диссертации найдена связь между оптическим пропагатором и квантовым пропагатором (функцией Грина) для матрицы плотности р(д, г/, {). Для чистого состояния с волновой функцией Ф(д, <) имеем:

Так как волновая функция в момент времени £ связана с волновой функцией в момент времени функцией Грина (?(<?, </, £, для уравнения Шредингера

Ш 0 = / 9, ф(д, 1')(1д, í > то можно записать :

/»(«, 9', 0 = У * («/. в'. я. ч\ Орй. *') < ^

где К(д,<],Цд,д1,?) = (7(д,9,I,<1,1,И) - квантовый пропагатор для матрицы плотности. Очевидно, что квантовый пропагатор удовлетворяет начальному условию

К(д, д', 9, д', И) = 6(д - д)6(я' ~ 9"'), (15)

и обычно он принимается равным нулю при £ < I'.

Зная соотношение между матрицей плотности и оптической томограммой, было получено соотношение между соответствующими пропагаторами:

К(д,д',г-,д,д',1') = щ? У П ¿(9 + 9') созв' +р'зтб',<?',/)

хе-»1/(9-«')е1ч[х-ив+!(')со59)/2]|7г|5(9 _ ^ _ т,&\пв)<1т1<1р' йХйвйв'. (16)

Таким образом, если известен пропагатор для оптической томограммыю(Х, в), мы можем найти квантовый пропагатор для матрицы плотности квантового состояния.

Формула (16) может быть обращена:

/се квтв . .„1,1 Н---—,9---—+Т]5т№,д ^

= 2 „ 2

к ехр ^Х' — ^ + С08^ ехр {—гк(Х — дсоэб)} |»у| ¿к(1г)¿д¿с/.

(17)

После подстановки начального условия (15) для квантового пропагатора в выражение (17), можно получить начальное условие для оптического пропагатора, а именно:

П(Х,6,И;Х',0,1Г)=б(Хсо&(в-#)-Х')6{1&11{0-0)). (18)

Очевидно, это условие удовлетворяет свойству симметрии (13).

В силу (12), с учетом начального условия (18), а также определяя

ЩХ,0,ЪХ',в',1?)=О, при К г',

из (7) получается динамическое уравнение для оптического пропагатора

т -2

д

ЭХ

сое -1

щх^лх'^.е)

+ X соб в + г

.бтв д

ЩХ^ЛХ^в1,?)

2 ЭХ

= 8{Х со5(в - 9') - *')5(ап(0 - в'))6(1 - Г). (19)

Далее в диссертации рассмотрены кинетические уравнения в классической релятивистской кинетике, динамическое уравнение для функции Виг-нера безспиновой релятивистской квантовой частицы в электро-магнитном и скалярном полях, а также, развивая подходы работ [48], [49], предпринята попытка распространения вероятностного томографического представления на релятивистские системы.

Так, в диссертации найдено релятивистское уравнение Лиувилля в представлении оптической томографии:

о

—«а (X, в, г) =

n

7=1

д 1

со^вц-^.--1 + X

}'двц 2'

\

т2с2 + т2и2 ^^ I соей

дХ,

+

n 3

^■=1 ¿=1 I

д 1 V- /.I ътвн д

Тттг- + ХаС05ва >-

оХа I т^Ш] аХу,

(20)

где - г—я компонента силы, действующей на] —ю частицу.

Также в диссертации найдено динамическое уравнение для оптической томограммы слабо-релятивистской безспиновой квантовой частицы в достаточно слабом поле: д

ь* 1

,2 3

= <1 +

7=1 3 1=1

дХ,

з 31 Г ^ \ ■

и соэ2 ва—-- 8ш 29а | 1 + Ха вш ва— I

,с=1 а а ) -

дХ„

+ Ха сое 9а + г

Лзт0о д 2тш дХ,

ъи(Х,6,£).

(21)

Мь1 вндйМ; что при с -ч оо это уравнение пёрёхйдит в соответствующее урав-нёниё (7), а йри к -4 0 оно переходит в уравнений (2(3); ё котйром учтены только релятивистские поправки с точностью до с"2 включительно.

В третьей главе в вероятностном представлении исследуется динамика произвольной квантовой системы с квадратичным гамильтонианом

где Ц = (р, с[) - векторный оператор, В - симметричная 2x2 матрица, и С - действительный 2-вектор, зависящие от времени. Как известно [50, 51], система имеет линейные интегралы движения:

!(0 = Л(«)$ + Д(0, (22)

где действительная симплектическая 2x2 матрица А(<) и действительный вектор Д(£) удовлетворяют уравнениям

А = гАВо-у, А = гАсГу С,

с начальными условиями Л(0) = 1 и Д(0) = 0. Интегралы движения определяются из следующего уравнения:

д1Щ)+г[Н,Щ} = 0. (23)

Для рассматриваемых квадратичных систем любые интегралы движения могут быть выражены как функции двух операторов: А(¿) = (/Ш^1 и = ОаЮ-1, где и - оператор эволюции и

А{1) = ±(е(Ь)р-ёт+т, = (24)

где е удовлетворяют классическим уравнениям

ё + 0?(г)е = 0, ¿£* - е'е = 2г, (25)

с начальными условиями г(0) = 1 и ¿(0) = г. Функция /3(¿) определяется из (23) следующим образом:

I

ДО) = -^/<1^(0/(0. (26)

о

и интегралы движения (22) выражаются из А и А* как:

-©"(?)■ (27)

23

Матрица Л и вектор Д равны, соответственно,

I/ е + е* -(¿ + е')\ А = ±№~Р)\ 2\Де-е*) -Цё-ё*))' +

Знание интегралов движения (27) позволяет найти функцию Грина (или квантовый пропагатор) для уравнения Шредингера квантовой системы (см. [50]).

В диссертации найден оптический пропагатор для рассматриваемой системы:

П(Х,0; X',в',г) = ¿[X совв1 - Х'фпв{ё' + ё) + совв{е" - ё))/2 + со8 0,(яп0(ё*^ + ¿0) + сов в{е*Р + е£*))/л/2]

хб

.,sin 9{é" -е) + cos 9(e' - e) . i cos 9 -—-Ь----7-- - sin 0

sin 9(é* + é) + cos 9(e* + e) ..........^

Таким образом, если интегралы движения известны, т.е. известны матрица Л(í) и вектор Д(í), то, согласно формуле (28), известен и оптический пропагатор. В частном случае свободного движения (с гамильтонианом Н = р2/2), имеем [50, 51]:

Po(t)=p, 4o{t) = q-pt, A(í) = о, Щ^), и пропагатор свободного движения записывается в форме П i(X,9-,X',9',t) = 5(Х COS91 - X' cose)S(cos9,(t + taTi9) -sm9')e(t). (29)

Для гармонического осциллятора с гамильтонианом Н = р2/2 + q1 ¡2 имеем:

... /'cos t sin í Л A(í) = .

\ - sm t eos tj

и из (28) получаем

Uos(X, в; X', в1, t) = 6 (X cos (9 -# + t)-X') <5(sin(0 -& + t))Q{t). (30) Уравнение эволюции в этом случае имеет особенно простую форму:

(dt - 9\ X', в', t) = 6(t)6(X cos{9 - 9') - X')ó(sm{9 - 9')), (31)

или для оптической томограммы

Физический смысл этих выражений состоит в следующем: сдвиг по времени для рассматриваемой системы эквивалентен сдвигу по фазе.

Далее исследуются состояния с добавленными фотонами для одномодо-вого параметрического осциллятора с гамильтонианом

Я = § + (32)

в котором безразмерные единицы выбраны так, что О(О) = 1.

Для стационарного гамильтониана (когда £1(1) = 1) состояния с добавленными фотонами определяются формулами

¡1/;,т) = Мта)т\ф), рт = ^трат, (33)

где или р - может быть произвольным квантовым состоянием, ¿И - бозон-ный оператор рождения, т - положительное целое число — число добавленных фотонов (фононов), Ят - нормировочная постоянная (которая зависит от базового состояния | ф) или р). Если базовое состояние \ф) — суперпозиция фоковских состояний

оо

I ф)=^сп\п), а+а|п)=п|п), (34)

п=0

то вероятность рп"1^ нахождения п квантов (фотонов) в состоянии \~ф, т) может быть выражена через с янии следующим образом:

жет быть выражена через соответствующие вероятности в базовом состо-

= _^_р(0) (35)

Если в качестве базового состояния взять когерентное состояние |а), то получается когерентное состояние с добавленными фотонами, явное выраже-

ние для которого в координатном представлении найдено в работах [А2,АЗ]:

(д\а, т) = (2тт1Ьт(-\а\2))-1'2 Нт(д - а/у/2)(д | а).

(36)

где Ьт{£) и Нт{£) - полиномы Лаггера и Эрмита [52, 53].

Зависящие от времени когерентные состояния с добавленными фотонами \а,т, {) определяются по формуле

|а,тМ)= 0{{)\а,т,Ъ)= [}(*)|а,т), (7(0)= 1, (37)

где и(¿) - унитарный оператор эволюции.

Показано [А2,АЗ], что явное выражение для состояния |а, тп, ¿) в координатном представлении имеет вид

(д\а,т,г) = (т!1т(-|а|2))

'Г'"¿ц-Щы-Ь <»)

где (д\а, £) - зависящее от времени когерентное состояние

гед2 \/2ад а2е*

1Г + —е 2Г

2

(39)

которое рассматривалось, например, в [54], с-числовая функция е(£) удовлетворяет уравнениям (25).

Функция Вигнера состояния (д\а, Ь) имеет вид:

№т(д,р\а,г) =

2(-1)тЬт(|22-а|2)

ьт{-\*\2)

Симплектическая томограмма для этого состояния Мат(Х,11,1;,Ц = л-----------

ехр(-2|г-а|2),

(40)

Н„

фг2т\еи 4- ец\

Хе + гУйаи ^ ^ /|-12 \Е\{ц£ + 1>£)

\а\2 X2

* \ / и2(^ + //ё)У/24 2 £а I \£2(/г£' + !/£*))

ехр < —

уДаХ аУ 2е

2 2\/хе + 1/ё|2 цЕ + иё 26

+ ■

IV а

(/!£ + у£)

.(41)

Подстановка ц = cos 9 и v = sin б в (41) дает выражение для оптической томограммы wam(X,e,t). В случае стационарного гамильтониана (fi(i) = 1,

е = elt) имеем:

|2\W

(Y О *0 П (™!-М-Н2)) wam{X,9,t,n = 1) = -

|2

х exp {-X2 - [a|2 + 2v^XRe(ae_i'i+fl') - Re(a2e-2i(t+i,>)} . (42)

Четные/нечетные когерентные состояния с добавленными фотонами |а±, т) были введены в [55] следующим образом:

а*"Ча±)

|Q±'m) = ((a±|â^lQ±))'/2' (43)

где |»±) - четные/нечетные когерентные состояния [56], [57] и m - натуральное число, а нормированные состояния |а±) определяются как

eW72

Эти состояния выражаются через когерентные состояния с добавленными фотонами |а,т) [55]:

|а±'Ш> = (2(eN^mH'QnL"^PLm(|Q|2))) (I«'-) ± !-«."»>)■ (44)

Последняя формула, принимая во внимание (37), позволяет нам получить выражение для симплектической томограммы

еК-М-М2)

Ma±m(X,H,V,t) =

2(eN2Lm(-|Qp)±eH«l2Lm(|Qp)) х {Mam{X,n,v,t) + M-arn{X, fi, и, t)

± 2Re [(X,ii,v\a, m,£)(-a,ra,i|X, /i, v)}} . (45) 27

Для оптической томограммы имеем: и>п±т(Х,в,1) = Ма±т(Х,ц = сон в, V — втб,^, что для стационарного гамильтониана = 1 даст тп±т{Х,в, 4) = и>а±т{Х,г + в).

Температурные состояния являются наиболее классическими состояниями поля излучения, представляя собой статистическую сумму когерентных состояний. Матрица плотности для температурных состояний имеет вид РГ = г-1е-й'Т, г = Ъ{е-Й'т}.

Матрица плотности температурного состояния с добавленными фотонами в представлении фоковских состояний |п, I) дается выражением (к, п > т):

(Л _ р-1/Т\т+1 „|

(М1/ЫМ) = ¿т|М> = О т! (п-тув~{П~т)/Т-

(46)

Симплектическая томограмма этого состояния может быть записана в форме

оо

МТт(Х, ц, v, ¿) = ]Г(п + т, ЦрттЬг + т, ¿) |(Х, ц, и\п + т, ¿)|2. (47)

п=0

Принимая во внимание, что |(ЛГ,//, 1/|п,<)|2 = ма=о,п(х, д, v, £), с помощью уравнения (41) находим

у/тг т! 2т + 1/£|

^ п! 2"

п=0

(48)

Для стационарного гамильтониана оптическая томограмма может быть представлена в виде

1тК > уРИ т\ дгГ\ у/Г^ / ^ '

Заключение

Таким образом, в диссертационном исследовании решены все поставленные задачи, и тем самым достигнута его основная цель.

Развито вероятностное представление квантовой механики в терминах оптической томографической функции распределения вероятности, имеющей столько же степеней свободы, сколько и матрица плотности, и тем самым доказано, что возможно вероятностное представление квантовой механики без всяких дополнительных переменных и скрытых параметров, а также проиллюстрировано применение разработанного формализма на примерах конкретных квантовых систем и состояний.

Исследованы свойства оптических томограмм, найдены явные выражения для операторов и их дуальных символов в представлении оптической томографии, выведены динамическое уравнение и уравнение стационарных состояний в представлении оптической томографии, представлено уравнение для пропагатора оптической томограммы и найдена связь оптического про-пагатора с квантовым пропагатором для матрицы плотности.

Исследованы оптические томограммы стационарных состояний водородо-подобных атомов и ионов.

Исследованы свойства параметрически возбужденных когерентных состояний с добавленными фотонами, четных/нечетных состояний с добавленными фотонами, а также температурных состояний с добавленными фотонами; предложены дополнительные тестовые выражения для оценки точности получаемых в квантово-оптических экспериментах томограмм состояний.

Развито обобщение вероятностного представления на случай релятивистских квантовых систем. Найдено релятивистское уравнение Лиувилля в представлении оптической томографии и динамическое уравнение для оптической томограммы слабо-релятивистской безспиновой квантовой частицы в достаточно слабых полях.

Список публикаций

[А1] Я. А. Коренной, В. И. Манько, Динамическое уравнение для марги-

налъного распределения произвольной n-мерной квантовой системы и маргинальные распределения стационарных состояний атома водорода// Краткие сообщения по физике, 10, 35-40 (1998).

[А2] V. V. Dodonov, М.А. Marchiolli, Ya. A. Korennoy, V. I. Man'ko, Y. A. Moukhin, Dynamic squeezing of photon-added coherent states // Phys. Rev. A, 58, 4087-4094 (1998).

[A3] V. V. Dodonov, M.A. Marchiolli, Ya. A. Korennoy, V. I. Man'ko, Y. A. Moukhin, Parametric excitation of photon-added coherent states // Phys. Scripta, 58, 469-480 (1998).

[A4] Ya. A. Korennoy, V. I. Man'ko, Probability representation of quantum evolution and energy level equations for optical tomograms //J. Russ. Laser Res., 32, 74-85 (2011).

[A5] Ya. A. Korennoy, V. I. Man'ko, Optical tomography of photon-added coherent states, even/odd coherent states and thermal states // Los Alamos arhiv, arXiv:1102.1067, [quant-ph] (2011).

[A6] Ya. A. Korennoy, V. I. Man'ko, Optical propagator of quantum system, in probability representation // J. Russ. Laser Res., 32, 122-131 (2011) (submitted).

[A7] G. G. Amosov, Ya. A. Korennoy, V. I. Man'ko, Operators and their symbols in the optical probabilistic representation of quantum mechanics // Los Alamos arhiv, arXiv:1104 [quant-ph] (2011).

Список литературы

[1] L. De Broglie, Compt. Rend., 183, 447 (1926).

[2] L. De Broglie, Compt. Rend., 184, 273 (1927).

[3] L. De Broglie, Compt. Rend., 185, 380 (1927).

[4] D. Bohm, Phys. Rev., 85, 166 (1952).

[5] D. Bohm, Phys. Rev., 85, 180 (1952).

[6] P. Фейнман, А Хибс, Квантовая механика и интегралы по траекториям, Москва: Мир, (1968).

[7] Е. Wigner, Phys. Rev., 40, 749 (1932).

[8] К. Husimi, Proc. Phys. Math. Soc. Jpn, 23, 264 (1940).

[9] R. J. Glauber, Phys. Rev. Lett., 10, 84 (1963).

[10] E. C. G. Sudarshan, Phys. Rev. Lett., 10, 277 (1963).

[11] К. E. Cahill and R. J. Glauber, Phys. Rev., 177, 1882 (1969).

[12] J. E. Moyal, Proc. Cambridge Philos. Soc., 45, 99 (1949).

[13] J. Bertrand and P. Bertrand, Found. Phys., 17, 397 (1987) .

[14] J. Radon, Ber. Verh. Sachs. Akad., 69, 262 (1917).

[15] K. Vogel and H. Risken, Phys. Rev. A, 40, 2847 (1989).

[16] D. T. Smithey, M. Beck, M. G. Raymer, A. Faridani, Phys. Rev. Lett., 70, 1244 (1993).

[17] A. I. Lvovsky and M. G. Raymer, Rev. Mod. Phys., 81, 299 (2009).

[18] S. Mancini, V. I. Man'ko and P. Tombesi, J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt., 7, 615 (1995).

[19] G. M. D'Ariano, S. Mancini, V. I. Man'ko and P. Tombesi, J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt., 8, 1017 (1996).

[20] S. Mancini, V. I. Man'ko and P. Tombesi, Phys. Lett. A, 213, 1 (1996).

[21] S. Mancini, V. I. Man'ko, and P. Tombesi, Found. Phys., 27, 801 (1997).

[22] A. Ibort, V. I. Man'ko, G. Marmo, A. Simoni, and F. Ventriglia, Phys. Scг., 79, 065013 (2009).

[23] M. A. Man'ko and V. I. Man'ko, Found. Phys., 41, 330 (2011).

[24] О. В. Манько, Динамика и статистические свойства квантовых систем в представлении фазового пространства, дис. д-ра физ.-мат. наук (2006).

[25] Г. Г. Амосов, Вероятностные и когомологические характеристики квантовых динамических систем, дис. д-ра физ.-мат. наук (2008).

[26] О. В. Пилявец, Некоторые вопросы применения вероятностного представления в квантовой механике и теории бозонных квантовых каналов с памятью, дис. канд. физ.-мат. наук (2009).

[27] A. S. Arkhipov, Yu. Е. Lozovik and V. I. Man'ko, Phys. Lett. A, 328, 419 (2004).

[28] V.V.Dodonov, V.I.Man'ko, Phys. Lett. A., 229, 335 (1997).

[29] В.И.Манько, О.В.Манько, ЖЭТФ, 112, 796 (1997).

[30] S. Weigert, Phys. Rev. Lett., 84, 802 (2000).

[31] S. Mancini, V. I. Man'ko, and P. Tombesi, J. Mod. Opt., 44, 2281 (1997).

[32] S. Mancini, P. Tombesi and V. I. Man'ko, Europhys. Lett., 37, 79 (1997).

[33] Yu. E. Lozovik, V. A. Sharapov, A. S. Arkhipov., Phys. Rev. A., 69, 022116 (2004).

[34] М.О.Скалли, М.С.Зубайри, Квантовая оптика, Москва: Физматлит, (2003).

[35] G. M. D' Ariano, F. M. Zacchi, Optics communications, 149, 152 (1998).

[36] M. Hillery, Phys. Rev. A, 61, 022309 (2000).

[37] V. V. Dodonov, J. Opt. В: Quantum Semiclass. Opt., 4, RI (2002).

[38] G.S.Agarwal, K.Tara, Phys. Rev. A, 43, 492 (1991).

[39] A.Zavatta, S. Vicinai, M. Bellini, Science, 306, 660 (2004).

[40] V.Parigi, A.Zavatta, M. Kim, S. Vieinai, M. Bellini, Science, 317, 1890 (2007).

[41] M. Barbieri, N. Spagnolo, M. G. Genoni, F. Ferreyrol, R. Blandino, M. G. A. Paris, P. Grangier, R. Tualle-Brouri, Phys. Rev. A, 82, 063833 (1-5) (2010).

[42] A.Zavatta, V. Parigi, M. S. Kim, M. Bellini, Phys. Rev. Lett., 103, 140406 (2009).

[43] T. Kiesel, W. Vogel, M.Bellini, A. Zavatta, Los Alamos arhiv, arXiv:1101.1741vl [quant-ph] (2011).

[44] W. Ketterle, Rev. Mod. Phys., 74, 1131 (2002).

[45] M. О. Mewes, M. R. Andrews, D. M. Kurn, D. S. Durfee, C. G. Townsend, W. Ketterle, Phys. Rev. Lett., 78, 582 (1997).

[46] I. Bloch, T. W. Hansch, T. Eslinger, Phys. Rev. Lett., 82, 3008 (1999).

[47] И. M. Гельфанд, Г. Е. Шилов, Обобщенные функции и действия над ними. Выпуск первый, Москва: Добросвет (2007).

[48] V. N. Chernega, V. I. Man'ko, J. Russ. Laser Res., 29, 43 (2008).

[49] A. S. Arkhipov, V. I. Man'ko, J. Russ. Laser Res., 25, 468 (2004).

[50] V. V. Dodonov and V. I. Man'ko, Invariants and the Evolution of Nonstationary Quantum Systems, Proceedings of the Lebedev Physical Institute, 183, Nova Science, Nev York (1989).

[51] I. A. Malkin and V. I. Man'ko, Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем, Москва: Наука (1979).

[52] Bateman Manuscript Project: Higher Transcendental Functions, edited by A. Erddyi, McGraw-Hill, New York (1953).

[53] G. Szegö, Orthogonal Polynomials, American Mathematical Society, Providence, RI, (1959).

[54] I.A. Malkin and V.l. Man'ko, Phys. Lett. A, 31, 243 (1970).

[55] V. V. Dodonov, Ya. A. Korennoy, V.l. Man'ko, E. A. Moukhin, J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt., 8, 413 (1996).

[56] V.V.Dodonov, I.A.Malkin, V.I.Man'ko, Physica, 72, 597 (1974).

[57] N. A. Ansari, V. I. Manko, Phys. Rev. A, 50, 1942 (1994).

Подписано в печать 27.04.2011 г. Формат 60x84/16. Заказ №31 Тираж 50 экз. П.л 2.25. Отпечатано в РИИС ФИАН с оригинал-макета заказчика 119991 Москва, Ленинский проспект, 53. Тел. 499 783 3640

1 ВВЕДЕНИЕ

2 ОСНОВЫ ВЕРОЯТНОСТНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ. ОПЕРАТОРЫ И ИХ СИМВОЛЫ В ВЕРОЯТНОСТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ

2.1 Томограммы состояний квантовой системы и их связь с функцией Вигнера и матрицей плотности.

2.2 Операторы в томографическом представлении

2.3 Символы операторов в томографическом представлении.

2.4 Дуальные символы операторов в виде регулярных обобщенных функций

2.5 Критерий чистоты состояния квантовой системы в представлении оптической томографии

2.6 Соотношение неопределенностей в томографической форме.

2.7 Вероятности квантовых переходов в томографическом представлении

Актуальность работы. Еще на заре создания квантовой механики принимались неоднократные попытки ее построения в форме динамической теории классических траекторий. [1, 2, 3, 4]. Р. Фейнман предложил рассмотрение квантовой механики в терминах интегралов по траекториям [5].

При решении задачи нахождения адекватного вероятностного описания квантовых "состояний, различными авторами было предложено множество функций квазивероятности, таких как функция Вигнера [6], функция Хусими [7], функция Глаубера-Сударшана [8, 9], которые позже были объединены в однопараметрическое семейство [10]. Но благодаря принципу неопределенностей Гейзенберга, в отличие от классической вероятности, все эти функции квазивероятности не описывают распределений измеримых переменных на фазовой плоскости.

В квантовой механике объекты всегда имеют квантовые флуктуации, поэтому невозможно описать квантовую систему распределением вероятности координаты и сопряженного ей импульса, так как этого не позволяет принцип неопределенности Гейзенберга — основной принцип квантовой механики, содержащий в себе постоянную Планка. Таким образом, принцип описания состояния квантовой системы кардинально отличается от принятого в классической механике и классической статистической механике, где функция распределения вероятности в фазовом пространстве является универсальным инструментом описания состояния частицы.

Формулировка квантовой механики, похожая на классическую стохастическую механику, была предложена Мойалом [11], но введенное им уравнение эволюции было уравнением для функции квазивероятности (функции Вигнера), не являющейся распределением вероятности.

В 1987 году Дж. Бертраном и П. Бертраном [12] для применения в квантово-оптических измерениях была введена оптическая томограмма ю(Х,в), имеющая смысл функции распределения измеряемой квантово-оптическим балансным гомодинным детектором квадратурной компоненты Хо = + в~гва3)/у/2, где в - фаза локального осциллятора и ая - оператор уничтожения для моды сигнала. Эта томограмма, содержащая всю доступную информацию о квантовом состоянии, является результатом (в одномерном случае) преобразования Радона [13] от функции Вигнера (см. [14]).

Оптическая томограмма и ее связь с функцией Вигнера были использованы в экспериментах по гомодинному детектированию квантовых состояний фотонов [15] (см. обзорную статью [16]), в которых измерение оптической томограммы применялось в качестве технического инструментария для реконструкции функции Вигнера.

В работе [20] была введена функция распределения, позже названная симплектиче-ской томограммой [21]. Было показано, что симплектическая томограмма М(Х, ц, и), являющаяся неотрицательной функцией распределения гомодинной квадратурной компоненты Х^, зависящей от внешних действительных параметров //иг/, связана с оптической томограммой, и эта связь дает возможность реконструирования функции Вигнера из симплектической томограммы при помощи преобразования Фурье.

Полученный результат обусловлен рассмотрением квантовой системы наряду с фиксированной системой отсчета также и в различных других координатных системах. В квантовом случае, дополнительные параметры, определяющие различные системы отсчета, кодируют информацию, содержащуюся в матрице плотности или волновой функции.

В работах [22], [23] предложена новая формулировка квантовой механики, названная вероятностным представлением квантовой механики (см. недавние обзоры [24], [25]). Уровни энергии квантового гармонического осциллятора были описаны в рамках симплектической томографии в работах [26, 27]. Вероятностное представление развивалось в ряде работ [28], [29], [30]. В вероятностном представлении квантовые состояния описываются непосредственно функциями распределения вероятности, называемыми квантовыми томограммами или томографическими распределениями вероятности. Томограммы содержат всю доступную информацию о квантовом состоянии и связаны с операторами плотности посредством обратимых преобразований. Вообще говоря, существует множество видов томограмм, связанных с операторами плотности различными обратимыми преобразованиями. Например, в работе [31] рассмотрена так называемая томография центра масс.

Развитое сначала для непрерывных переменных, томографическое представление затем было обобщено на случай дискретных спиновых переменных (спиновая томография [32, 33, 34]) и на случай дискретной переменной числа фотонов (томография числа фотонов [35, 36]).

Неотрицательность томографической функции распределения вероятности является весьма привлекательным свойством для компьютерного моделирования квантовых систем [37].

С другой стороны, в современных экспериментальных исследованиях широко применяется именно оптическая томография, и поэтому дальнейшее развитие представления оптической томографии является особенно актуальным.

Квантовая оптическая томография, реализуемая посредством балансного гомодин-ного детектирования, на сегодняшний день является основным инструментом экспериментальных исследований неклассических состояний поля излучения.

Такие состояния являются перспективными для создания новых устройств, обладающих чувствительностью, существенно превышающей стандартный квантовый предел [38], для оптической передачи информации [39], квантовой криптографии [40] и других применений. В связи с этим в последние два десятилетия исследовались различные виды неклассических фотонных состояний (см., например, обзор [41]).

Наиболее распространенные примеры включают сжатые состояния [42], коррелированные состояния [43], четные и нечетные когерентные состояния [44, 45] или шредин-геровские коты [46]. Все эти состояния имеют как субпуассоновскую, так и суперпуас-соновскую статистику фотонов, в отличии от статистики когерентных фотонов [8], [9], [47], которая описывается функцией распределения Пуассона. Когерентные состояния считаются классическими.

В сжатых состояниях дисперсия одной из двух квадратурных компонент имеет меньшее значение, чем в когерентном состоянии, и обычно удовлетворяется соотношение неопределенности Гейзенберга [48]. Коррелированные состояния [43] минимизируют соотношение неопределенности Шредингера - Робертсона [49], которое содержит дополнительный физический параметр, характеризующий состояние осциллятора электромагнитного поля, — коэффициент корреляции между квадратурными компонентами. Для большого сжатия, как в одномодовом [50], так и в многомодовом [51] случае, функция распределения фотонов имеет осциллирующий характер. Похожие осцилляции функции распределения наблюдаются для коррелированного света [52], а также для четного и нечетного состояния [45].

С математической точки зрения, когерентные состояния получаются действием так называемого оператора сдвига [8] на основное состояние осциллятора, а сжатые (коррелированные) состояния получаются действием оператора со/сатия на когерентное состояние. Представляют определенный интерес результаты воздействия этих операторов на состояния, отличные от основного. Действие оператора сдвига на состояние с не равным нулю числом фотонов приводит к смещенным фоковским остояниям, свойства которых исследованы в [53]. Их дальнейшее обобщение — это сэ/сатые фоковские состояния и смещенные и сжатые фоковские состояния [54]. В работе [55] рассмотрен другой класс неклассических состояний, являющихся континуальной суперпозицией когерентных состояний. Функции распределения фотонов всех этих состояний также являются осциилирующими для некоторых значений параметров.

Еще один интересный класс неклассических состояний - состояния с добавленными фотонами [56], являющиеся результатом элементарных процессов усиления квантового сигнала [57]. Некоторые из этого класса состояний были экспериментально реализованы в недавних работах [57[, [58], [59], [60], [61], в частности, в связи с тестированием квантовых коммутационных соотношений бозонных операторов рождения и уничтожения.

Состояния с добавленными фотонами зависят от дополнительного дискретного параметра - числа добавленных фотонов т, который влияет на статистику фотонов и коэффициент сжатия.

Практическая значимость состояний с добавленными фотонами и недавние эксперименты по их реализации предопределяют актуальность их исследований.

Кроме того, по нашему мнению, особенно перспективным является распространение методов квантовой томографии и квантовой оптики классических и пеклассических состояний на квантовые системы атомов и ионов в ловушках [62], являющиеся основой экспериментов по созданию так называемых «атомных лазеров», прототипы которых реализованы в настоящее время во многих странах мира [63, 64].

Ввиду вышесказанного, исследование и развитие вероятностного подхода в его применении к квантовым системам, а также изучение неклассических состояний поля излучения, является актуальной задачей, представляющей научный и практический интерес.

Целью диссертационной работы является дальнейшее развитие вероятностного представления квантовой механики и исследование неклассических состояний поля излучения.

Основными задачами работы являются:

Развитие рассматриваемого ранее вероятностного представления квантовой механики в терминах оптической томографической функции распределения вероятности, имеющей равное с матрицей плотности число степеней свободы, и доказательство возможности вероятностного представления квантовой механики без увеличения мерности задачи, введения дополнительных переменных и скрытых параметров.

Получение явных выражений для операторов в представлении оптической томографии и их дуальных символов в виде регулярных обобщенных функций.

Вывод динамического уравнения и уравнения стационарных состояний квантовых систем в представлении оптической томографии для произвольных многомерных гамильтонианов; получение уравнения Лиувилля в представлении оптической томографии.

Получение уравнения для пропагатора оптической томограммы квантовой системы с произвольным гамильтонианом; нахождение интегральных выражений связи оптического пропагатора и квантового пропагатора для матрицы плотности; нахождение явного выражения пропагатора оптической томограммы произвольной квадратичной квантовой системы.

Исследование свойств неклассических состояний с добавленными фотонами для параметрической квантово-оптической системы; получение явных выражений для параметрически возбужденных когерентных состояний с добавленными фотонами, четных/нечетных состояний с добавленными фотонами, а также температурных состояний с добавленными фотонами; предложение дополнительных тестовых выражений для оценки точности получаемых в квантово-оптических экспериментах томограмм состояний.

Исследование оптических томограмм стационарных состояний водородоподобных атомов и ионов.

Развитие обобщения вероятностного представления на случай релятивистских квантовых систем; нахождение релятивистского уравнения Лиувилля в представлении оптической томографии и динамического уравнения для оптической томограммы слаборелятивистской бесспиновой квантовой частицы в достаточно слабых полях.

Научная новизна результатов, представленных в настоящем исследовании, состоит в следующем:

1. Развито рассматриваемое ранее вероятностное представление квантовой механики в терминах оптической томографической функции распределения вероятности, имеющей равное с матрицей плотности число степеней свободы, и тем самым доказано, что возможно вероятностное представление квантовой механики без увеличения мерности задачи, введения дополнительных переменных и скрытых параметров. Проиллюстрировано применение разработанного формализма на примерах конкретных квантовых систем и состояний.

2. Получены явные выражения для операторов в представлении оптической томографии. Найдены дуальные символы операторов в представлении оптической томографии в виде регулярных обобщенных функций.

3. Выведены динамическое уравнение и уравнение стационарных состояний квантовых систем в представлении оптической томографии для произвольных многомерных гамильтонианов. Получено уравнение Лиувилля в представлении оптической томографии.

4. Получено уравнение для пропагатора оптической томограммы квантовой системы с произвольным гамильтонианом. Найдены интегральные выражения связи пропагатора для оптической томограммы и квантового пропагатора для матрицы плотности. Найдено явное выражение для пропагатора оптической томограммы произвольной квадратичной квантовой системы.

5. Исследованы свойства неклассических состояний с добавленными фотонами для параметрической квантово-оптической системы. Получены явные выражения для параметрически возбужденных когерентных состояний с добавленными фотонами, четных/нечетных состояний с добавленными фотонами, а также температурных состояний с добавленными фотонами. Предложены дополнительные тестовые выражения для оценки точности получаемых в квантово-оптических экспериментах томограмм состояний.

6. Исследованы оптические томограммы стационарных состояний водородоподобных атомов и ионов.

7. Развито обобщение вероятностного представления на случай релятивистских квантовых систем. Найдено релятивистское уравнение Лиувилля в представлении оптической томографии и динамическое уравнение для оптической томограммы слабо-релятивистской бесспиновой квантовой частицы в достаточно слабых полях.

Практическая значимость полученных результатов: Результаты диссертации вносят заметный вклад в работы по дальнейшему развитию квантовой механики и исследованию состояний квантовых систем.

В диссертации развито предложенное ранее вероятностное представление квантовой механики в терминах оптической томографической функции распределения вероятности (оптической томограммы). Важность такого представления для теоретических и экспериментальных исследований обусловлена возможностью непосредственного экспериментального измерения оптической томограммы состояния квантовой системы.

Применение полученных в диссертации результатов при рассмотрении состояний квантовых систем (в частности, в квантовой оптике) в теоретических исследованиях и анализе получаемых в экспериментах оптических томограмм, позволяет проводить дополнительные тесты оценки точности экспериментов, а также вычислять значения практически любых интересующих наблюдаемых физических величин квантовых состояний непосредственно из оптических томограмм с помощью найденных в работе символов операторов без использования представления квазивероятности или представления матрицы плотности.

Пропагатор и динамическое уравнение для оптической томограммы, найденные в диссертации, позволяют осуществлять мониторинг состояния квантовой системы в процессе эволюции. Динамическое уравнение для оптической томограммы и уравнение стационарных состояний в представлении оптической томографии допускают достаточно эффективное применение итерационных численных алгоритмов.

Дуальные символы операторов в виде регулярных обобщенных функций наряду с динамическим уравнением и уравнением стационарных состояний и другими результатами диссертации в представлении оптической томографической функции распределения вероятности, когда в функции распределения содержится вся доступная информация о квантовом состоянии, причем без всяких дополнительных «скрытых» параметров и другого рода переопределений (увеличений размерности задачи), предоставляют современной физике эффективный новый инструментарий для активного использования во многих приложениях.

По мнению автора, полученные результаты, несомненно, найдут применение, в частности, в прецизионных исследованиях фундаментальных аспектов квантовой механики.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Вероятностное представление квантовой механики в терминах оптической томографической функции распределения вероятности, имеющей равное с матрицей плотности число степеней свободы, доказывающее, что возможно вероятностное представление квантовой механики без увеличения мерности задачи, введения дополнительных переменных и скрытых параметров. Иллюстрация применения разработанного формализма на примерах конкретных квантовых систем и состояний.

2. Аналитические явные выражения для операторов в представлении оптической томографии, дуальные символы операторов в представлении оптической томографии в виде регулярных обобщенных функций.

3. Динамическое уравнение и уравнение стационарных состояний квантовых систем в представлении оптической томографии для произвольных многомерных гамильтонианов; уравнение Лиувилля в представлении оптической томографии.

4. Уравнение для пропагатора оптической томограммы квантовой системы с произвольным гамильтонианом; интегральные выражения связи пропагатора для оптической томограммы и квантового пропагатора для матрицы плотности; явное выражение для пропагатора оптической томограммы произвольной квадратичной квантовой системы.

5. Результаты исследования свойств неклассических состояний с добавленными фотонами для параметрической квантово-оптической системы; явные выражения для параметрически возбужденных когерентных состояний с добавленными фотонами, четных/нечетных когерентных состояний с добавленными фотонами, а также температурных состояний с добавленными фотонами; дополнительные тестовые выражения для оценки точности получаемых в квантово-оптических экспериментах томограмм состояний.

6. Оптические томограммы стационарных состояний водородоподобных атомов и ионов.

7. Результаты обобщения вероятностного представления на случай релятивистских квантовых систем; релятивистское уравнение Лиувилля в представлении оптической томографии и динамическое уравнение для оптической томограммы слабо-релятивистской бесспиновой квантовой частицы в достаточно слабых полях.

Эти результаты являются новыми и достоверными.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинаре отделения теоретической физики Физического института имени П.Н.Лебедева по квантовой теории поля, на общепредметном семинаре кафедры теоретической физики Московского физико-технического института.

Кроме того, результаты диссертации направлены и будут докладываться методом заочного содоклада на 12-й международной конференции по союатым состояниям и соотношениям неопределенностей ICSSUR 2011, Foz do Iguagu, Brazil, May 02-06, (2011).

Публикации. Результаты диссертационного исследования были опубликованы в 7 научных работах (см. Список публикаций). Из приведенного перечня 5 статей опубликовано в рецензируемых научных журналах [Al, А2, A3, А4, А6], две статьи опубликованы в архиве Лос-Аламоса [А5, А7]. Кроме того, статья [А5] принята 15 апреля 2011 года к публикации в журнале Physical Review А.

Личный вклад автора состоял в нахождении представленных аналитических результатов, построении графиков, написании программных кодов, необходимых для численного исследования полученных аналитических результатов, в предложениях методологического характера по существу выполняемых работ. Вклад соискателя в получение результатов является определяющим.

Структура и объем диссертации. Представленная диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа включает в себя более 120 страниц, более 10 иллюстраций и более 110 цитирований литературы. В конце каждой главы содержатся выводы, в которых сформулированы основные результаты исследований.

5 заключение

Таким образом, в диссертационном исследовании решены все поставленные задачи, а именно:

Развито вероятностное представление квантовой механики в терминах оптической томографической функции распределения вероятности, имеющей столько же переменных, сколько и матрица плотности, и тем самым доказано, что возможно вероятностное представление квантовой механики без всяких дополнительных переменных и скрытых параметров, а также проиллюстрировано применение разработанного формализма на примерах конкретных квантовых систем и состояний.

Исследованы свойства оптических томограмм, найдены явные выражения для операторов и их дуальных символов в представлении оптической томографии, выведены динамическое уравнение и уравнение стационарных состояний в представлении оптической томографии, представлено уравнение для пропагатора оптической томограммы и найдена связь оптического пропагатора с квантовым пропагатором для матрицы плотности.

Исследованы оптические томограммы стационарных состояний водородоподобных атомов и ионов.

Исследованы свойства параметрически возбужденных когерентных состояний с добавленными фотонами, четных/нечетных состояний с добавленными фотонами, а также температурных состояний с добавленными фотонами; предложены дополнительные тестовые выражения для оценки точности получаемых в квантово-оптических экспериментах томограмм состояний.

Развито обобщение вероятностного представления на случай релятивистских квантовых систем. Найдено релятивистское уравнение Лиувилля в представлении оптической томографии и динамическое уравнение для оптической томограммы слабо-релятивистской бесспиновой квантовой частицы в достаточно слабых полях.

Решением указанных задач достигнута основная цель диссертационного исследования: развитие вероятностного представления квантовой механики и исследование неклассических состояний поля излучения.

В заключении хочу выразить глубокую благодарность своему научному руководителю Манько Владимиру Ивановичу за руководство работой, постоянное внимание и полезные обсуждения. Также хочу выразить глубокую благодарность всем своим коллегам из научного сообщества за ценные замечания и конструктивную критику.

1. L. De Broglie, Compt. Rend., 183, 447 (1926).

2. L. De Broglie, Compt. Rend., 184, 273 (1927).

3. L. De Broglie, Compt. Rend., 185, 380 (1927).

4. D. Bohm, Phys. Rev., 85, 166 (1952); Phys. Rev., 85, 180 (1952).

5. Р. Фейнман, А Хибс, Квантовая механика и интегралы по траекториям, Москва: Мир, (1968).

6. Е. Wigner, Phys. Rev., 40, 749 (1932).

7. К. Husimi, Ptoc. Phys. Math. Soc. Jpn, 23, 264 (1940).

8. R. J. Glauber, Phys. Rev. Lett, 10, 84 (1963).

9. E. C. G. Sudarshan, Phys. Rev. Lett., 10, 277 (1963).

10. К. E. Cahill and R. J. Glauber, Phys. Rev., 177, 1882 (1969).

11. J. E. Moyal, Ptoc. Cambridge Philos. Soc., 45, 99 (1949).

12. J. Bertrand and P. Bertrand, Found. Phys., 17, 397 (1987) .

13. J. Radon, Ber. Verh. Sachs. Akad., 69, 262 (1917).

14. K. Vogel and H. Risken, Phys. Rev. A, 40, 2847 (1989).

15. D. T. Smithey, M. Beck, M. G. Raymer, A. Faridani, Phys. Rev. Lett., 70, 1244 (1993).

16. A. I. Lvovsky and M. G. Raymer, Rev. Mod. Phys., 81, 299 (2009).

17. D. Kalamidas, С. C. Gerry and A. Benmoussa, Phys. Lett. A 372, 1937 (2008).

18. M. Aspelmeyer, S. Groblacher, K. Hammerer and N. Kiesel, J. Opt. Soc. Am. В 27, A189 (2010).

19. S. Sivakumar, e-print arXiv:quant-ph/1101.3855vl.

20. S. Mancini, V. I. Man'ko and P. Tombesi, J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt., 7, 615 (1995).

21. G. M. D'Ariano, S. Mancini, V. I. Man'ko and P. Tombesi, J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt., 8, 1017 (1996).

22. S. Mancini, V. I. Man'ko and P. Tombesi, Phys. Lett. A, 213, 1 (1996).

23. S. Mancini, V. I. Man'ko, and P. Tombesi, Found. Phys., 27, 801 (1997).

24. A. Ibort, V. I. Man'ko, G. Marmo, A. Simoni, and F. Ventriglia, Phys. Scr., 79, 065013 (2009).

25. M. A. Man'ko and V. I. Man'ko, Found. Phys., 41, 330 (2011).

26. V. I. Man'ko, J. Russ. Laser Research, 17, 579 (1997).

27. О. В. Маиько, Динамика и статистические свойства квантовых систем в представлении фазового пространства, дис. д-ра физ.-мат. наук (2006).

28. Г. Г. Амосов, Вероятностные и когомологические характеристики квантовых динамических систем, дис. д-ра физ.-мат. наук (2008).

29. О. В. Пилявец, Некоторые вопросы применения вероятностного представления в квантовой механике и теории бозонных квантовых каналов с памятью, дис. канд. физ.-мат. наук (2009).

30. A. S. Arkhipov, Yu. Е. Lozovik and V. I. Man'ko, Phys. Lett. A, 328, 419 (2004).

31. V. V. Dodonov, V. I. Man'ko, Phys. Lett. A., 229, 335 (1997).

32. В. И. Манько, О. В. Манько, ЖЭТФ, 112, 796 (1997).

33. S. Weigert, Phys. Rev. Lett., 84, 802 (2000).

34. S. Mancini, V. I. Man'ko, and P. Tombesi, J. Mod. Opt., 44, 2281 (1997).

35. S. Mancini, P. Tombesi and V. I. Man'ko, Europhys. Lett., 37, 79 (1997).

36. Yu. E. Lozovik, V. A. Sharapov, A. S. Arkhipov., Phys. Rev. A., 69, 022116 (2004).

37. M. О. Скалли, M. С. Зубайри, Квантовая оптика, Москва: Физматлит, (2003).

38. G. M. D' Ariano, F. M. Zacchi, Optics communications, 149, 152 (1998).

39. M. Hillery, Phys. Rev. A, 61, 022309 (2000).

40. V. V. Dodonov, J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt., 4, RI (2002).

41. D. Stoler, Phys. Rev. D 4, 1925 (1971); J. N. Hollenhorst, Phys. Rev. D 19, 1669 (1979); M. M. Nieto and D. R. Truax, Phys. Rev. Lett. 71, 2843 (1993).

42. V. V. Dodonov, E. V. Kurmyshev, and V." I. Man'ko, Phys. Lett. A 79, 150 (1980).

43. V. V. Dodonov, I. A. Malkin, and V. I. Man'ko, Physica 72, 597 (1974).

44. V. V. Dodonov, V. I. Man'ko, and D.E.Nikonov, Phys. Rev. A 51, 3328 (1995).

45. B. Yurke and D. Stoler, Phys. Rev. Lett. 57, 13 (1986).

46. J. R. Klauder, J. Math. Phys. 5, 177 (1964).

47. W. Heisenberg, Z. Phys. 43, 172 (1927).

48. E. Schrodinger, Ber. Kgl. Akad. Wiss. Berlin 24, 296 (1930); H. P. Robertson, Phys. Rev. 35, 667 (1930).

49. W. Schleich and J. A. Wheeler, JOSA B 4, 1715 (1987); A. Vourdas and R. M. Weiner, Phys. Rev. A 36, 5866 (1987).

50. C. M. Caves, Chang Zhu, G. J. Milburn, and W. Schleich, Phys. Rev. A 43, 3854 (1991); M. Artoni, U. P. Ortiz, and J. L. Birman, Phys. Rev. A 43, 3954 (1991); G. Schrade, V. M. Akulin, V. I. Man'ko, and W. Schleich, Phys. Rev. A 48, 2398 (1993).

51. V. V. Dodonov, A. B. Klimov, and V. I. Man'ko, Phys. Lett. A 134, 211 (1989); V. V. Dodonov, O. V. Man'ko, V. I. Man'ko, and L. Rosa, Phys. Lett. A 185, 231 (1994).

52. M. Boiteux and A. Levelut, J. Phys. A 6, 589 (1973); S. M. Roy and Virendra Singh, Phys. Rev. D 25, 3413 (1982); M. Venkata Satyanarayana, Phys. Rev. D 32, 400 (1985).

53. H. P. Yuen, Phys. Rev. A 13, 2226 (1976); M. S. Kim, F. A. M. de Oliveira, and P. L. Knight, Phys. Rev. A 40, 2494 (1989); C. F. Lo, Phys. Rev. A 43, 404 (1991).

54. J. Janszky and An. V. Vinogradov, Phys. Rev. Lett. 64, 2771 (1990).

55. G. S. Agarwal, K. Tara, Phys. Rev. A, 43, 492 (1991).

56. A. Zavatta, S. Vicinai, M. Bellini, Science, 306, 660 (2004).

57. V. Parigi, A. Zavatta, M. Kim, S. Vicinai, M. Bellini, Science, 317, 1890 (2007).

58. M. Barbieri, N. Spagnolo, M. G. Genoni, F. Ferreyrol, R. Blandino, M. G. A. Paris, P. Grangier, R. Tualle-Brouri, Phys. Rev. A, 82, 063833 (1-5) (2010).

59. A. Zavatta, V. Parigi, M. S. Kim, M. Bellini, Phys. Rev. Lett., 103, 140406 (2009).

60. T. Kiesel, W. Vogel, M. Bellini, A. Zavatta, Los Alamos arhiv, arXiv:1101.1741vl quant-ph] (2011).

61. W. Ketterle, Rev. Mod. Phys., 74, 1131 (2002).

62. M. O. Mewes, M. R. Andrews, D. M. Kurn, D. S. Durfee, C. G. Townsend, W. Ketterle, Phys. Rev. Lett., 78, 582 (1997).

63. I. Bloch, T. W. Hansch, T. Eslinger, Phys. Rev. Lett., 82, 3008 (1999).

64. S. Bose, K. Jacobs, P. L. Knight, Phys. Rev. A 56, 4175 (1997).

65. S. Haroche, Nuovo Cim. B 110, 545 (1995).

66. Z. Zhang, H. Fan, Phys. Lett. A 165, 14 (1992).

67. V. V. Dodonov, V. I. Man'ko, Invariants and Evolution of Nonstationary Quantum Systems, Proceedings of the Lebedev Physics Institute Vol. 183, edited by M. A. Markov (Nova Science, Commack, NY, 1989).

68. V. V. Dodonov, V. I. Man'ko, in Modern Nonlinear Optics, Advances in Chemical Physics Series Vol. LXXXV, edited by M.Evans and S. Kielich (Wiley, New York, 1994), Part 3, p.499.

69. S. Mancini, V. I. Man'ko and P. Tombesi, Los Alamos arhiv, arXiv: 9609026 quant-ph], (1996).

70. Bateman Manuscript Project: Higher Transcendental Functions, edited by A. Erdelyi (McGraw-Hill, New York, 1953).

71. G. Szego, Orthogonal Polynomials (American Mathematical Society, Providence, RI,---- 1959). --------------------- - — - —---- ---

72. I. A. Malkin, V. I. Man'ko, Phys. Lett. A 31, 243 (1970).

73. И. А. Малкин, В. И. Манько, Динамические Симметрии и Когерентные Состояния Квантовых Систем (Наука, Москва, 1979).

74. V. V. Dodonov, I. A. Malkin, V. I. Man'ko, Int. J. Theor. Phys. 14, 37 (1975).

75. V. V. Dodonov, V. I. Man'ko, P. G. Polynkin, Phys. Lett. A 188, 232 (1994).

76. L. Mandel, Opt. Lett. 4, 205 (1979).

77. P. Appel, J. Kampe de Feriet, Fonetions Hypergeometriques and Hyperspheriques. Polynomes d'Hermite (Gauthier-Villars, Paris, 1926).

78. V. V. Dodonov, V. I. Man'ko, J. Math. Phys. 35, 4277 (1994).

79. V. V. Dodonov, V. I. Man'ko, V. V. Semjonov, Nuovo Cimento В 83, 145 (1984).

80. G. S. Agarwal, S. Arun Kumar, Phys. Rev. Lett. 67, 3665 (1991); V. V. Dodonov, V. I. Man'ko, D. V. Zhivotchenko, J. Sov. Laser Research 14, 127 (1993).

81. V. V. Dodonov, at al, J. Math. Phys. 34, 2742 (1993).

82. Н. P. Yuen, Phys. Rev. Lett. 56, 2176 (1986); G. Bjork, Y. Yamamoto, Phys. Rev. A 37, 4229 (1988); G. S. Agarwal, Quantum Opt. 2,1 (1990).

83. M. N. Mahran, A. -S. F. Obada, Phys. Rev. A 42, 1718, (1990).

84. V. V. Dodonov, A. B. Klimov, D. E. Nikonov, Phys. Rev. A 47, 4422 (1993).

85. V. V. Dodonov, A. B. Klimov, Phys. Rev. A 53, 2664 (1996).

86. V. V. Dodonov, I. A. Malkin, V. I. Man'ko, Physica A 82, 113 (1976); J. Stat. Phys. 16, 357 (1977); V. V. Dodonov, V. I. Man'ko, Physica A 94, 403 (1978); Phys. Rev. A 20, 550 (1979).

87. G. Schrade, V. I. Man'ko, W. P. Schleich and R. J. Glauber, Quantum Semiclass. Opt. 7, 307 (1995).

88. M. Brune, J. M. Raimond, P. Goy, L. Davidivich and S. Haroche, Phys. Rev. Lett. 59, 1899 (1987).

89. G. Rempe, F. Schmidt-Kaler and H. Walther, Phys. Rev. Lett. 64, 2783 (1990).

90. V. V. Dodonov, Ya. A. Korennoy, V.I. Man'ko, E. A. Moukhin, J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt. 8, 413 (1996).

91. V. V. Dodonov, I. A. Malkin, V. I. Man'ko, Physica 72, 597 (1974).

92. N. A. Ansari, V. I. Manko, Phys. Rev. A 50, 1942 (1994).

93. E. T. Jaynse, F. W. Cummings, Proc. IEEE 51, 89 (1963).

94. B. W. Shore, P. L. Knight, J. Mod. Opt. 40, 1195 (1993).

95. H. Ghosh, C. C. Gerry, J. Opt. Soc. Am. B 14, 2782 (1997).

96. D. G. Welsch, M. Dakna, L. Knöll, T. Opartny Los Alamos arhiv, quant-ph/9708018 (1997).

97. M. Band, J. Mod. Opt. 43, 1281 (1996).

98. M. Dakna, T. Anhut, T. Opartny, L. Knöll, D. G. Welsch, Phys. Rev. A 55, 3184 (1997).

99. M. Dakna, L. Knöll, D. G. Welsch, Opt. Comm. 145, 309 (1998).

100. W. Vogel, R. L. de Matros Filho, Phys. Rev. A 52, 4214 (1995).

101. R. L. de Matros Filho, W. Vogel, Phys. Rev. Lett. 76, 608 (1996).

102. D. M. Meekhof, G. Monroe, B. E. King, W. M. Itano, D. J. Wineland, Phys. Rev. Lett. 76, 1796 (1996).

103. G. Monroe, D. M. Meekhof, B. E. King, D. J. Wineland, Science 272, 1131 (1996).

104. J. F. Poyatos, J. I. Cirac, P. Zoller, Phys. Rev. Lett. 77, 4728 (1996).

105. S. Mancini, V. I. Man'ko, P. Tombesi, "Classical-like description of symplectic tomography,"Los Alamos Repot No. quant-ph/9609026.

106. S. Mancini, V. I. Man'ko, P. Tombesi, Europhys. Lett., 37, 79 (1997);

107. V. I. Man'ko and O. V. Man'ko, "Tomography of spin states," Zh. Eksp. Theor. Fiz. (1997, to appare).

108. V. I. Man'ko, "Quantum mechanics and classical probability theory," in: B. Gruber and M. Ramek (eds.), Symmetries in Science IX, Plenum Press, New York (1997), p. 215.

109. E. Schrödinger, Ann. d. Physik, 79, 489 (1926).

110. E. Madelung, Zeits. f. Physik, 40, 332 (1926).

111. Ya. P. Terletskii and A. A. Gusev (eds.), Problems of Causality in Quantum Mechanics, Inostrannaya Literatura, Moscow (1995).

112. S. Wallentowitzand W. Vogel, Phys. Rev. A, 55, 4438 (1997).

113. A. Wünsche, J. Mod. Opt. (1997).

114. L. D. Landau, Z. Physik, 45, 430 (1927).

115. J. von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Springer, Berlin (1932).

116. U. Leonhardt, Phys. Rev. A, 53, 2998 (1996).

117. О. V. Man'ko, "Symplectic tomography of nonclassical states of trapped ion," Preprint IC/96/39, ICYP, Trieste (1996); Los Alamos Report No. quant-ph/9604018; J. Russ. Laser Res., 17, 439 (1996).

118. M. M. Nieto, Phys. Lett. A, 219, 180 (1996).

119. О. V. Man'ko, Phys. Lett. A, 228, 29 (1997).

120. JI. Д. Ландау, E. M. Лифшиц, Квантовая механика, Москва, "НАУКА" (1989).

121. И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов, Обобщенные функции и действия над ними. Выпуск первый, Москва: Добросвет (2007).

122. V. V. Dodonov, О. V. Man'ko, and V. I. Man'ko, Phys. Rev. A, 50, 813 (1994).

123. V. I. Man'ko, G. Marno, E. C. G. Sudarshan, and F. Zaccaria, Phys. Scr., 55, 528 (1997).

124. О. V. Man'ko, Phys. Lett. A, 228, 29 (1997).

125. R. L. de Matos Filho and W. Vogel, Phys. Rev. A, 54, 4560 (1996).

126. Olga Man'ko, V. I. Man'ko, J. Russ. Laser Research, 18, 407 (1997).

127. В. V. Gnedenko, The theory of Probability, Chelsea Publishing Company, New York (1962).

128. C. W. Gardiner, Handbook of Stochastic Methods, Springer, Heidelberg (1985).

129. C. Wetterich, Phys. Rev. E, 56, 2687 (1997).

130. В. В. Додонов, E. В. Курмышев, В. И. Манько, Уточненное соотношение неопределенности и коррелированные когерентные состояния, Теоретико-групповые методы в физике: Тр. Междунар. семинара, Звенигород, 1979. М.:Наука, Т. 1, С.227-232 (1979).

131. С. Е. Shannon, A mathematikal theory of communication, Bell Syst. Techn. J., Vol. 27, N 3. P.379-423; N 4. P.623-656 (1948).

132. JI. Бриллюэн, Наука и теория информации, М.: Физматгиз, 392 (1960).

133. I. I. Hirschman, Amer. J. Math., 79, 152 (1957).

134. Д. А. Бочвар, И. В. Станкевич, А. Л. Чистяков, ДАН СССР, 149, 68 (1963).

135. V. V. Dodonov, Phys. Scr., 82, 038105 (2010).

136. А. А. Власов, Теория многих частиц (1950).

137. С. Т. Беляев, Г. И. Будкер, ДАН СССР, 107, 806 (1956).

138. Ю. Л. Климонтович, ДАН СССР, 87, 927 (1952); Тр. Московского авиационного технологического института, 26 (1955).

139. Ю. Л. Климонтович, ЖЭТФ, 37, 735 (1959).

140. Н. Н. Боголюбов, Проблемы динамической теории в статистической физике, Го-стехиздат (1946).

141. Р. С. Clemmov, A. J. Willson, Proc. Roy. Soc. A 237, 117, (1956); Proc. Cambr. Phil. Soc., 53, 222 (1957).

142. Ю. Jl. Климонтович, ЖЭТФ, 38, 1212 (1960).

143. N. Cufaro-Petroni, C. Dewdney, P. Holland, T. Kyprianidis and J. P. Vigier, Phys. Lett. A 106, 368 (1984).

144. S. de Groot, La transformée de Weyl et la fonction de Wigner: une forme alternative de la mecanique quantique (Les press de l'universite de Montreal), (1974).

145. S. de Groot, W. A. van Leenwen and C. G. Van Weert, Relativistic kinetic theory (Noth Holland, Amsterdam), (1980).

146. P. R. Holland, A. Kyprianidis, Z. Marie and J. P. Vigier, Phys. Rev. A 33, 4380 (1986).

147. О. I. Zavialov, A. M. Malokostov, Los Alam. arXiv: hep-th/9812054, (1998).

148. J. Mourad, Los Alam. arXiv: hep-th/9307135, (1993).

149. C. Dewdney, P. R. Holland, A. Kyprianidis, Z. Marie and J. P. Vigier, Phys. Lett. A 113, 359 (1986).

150. B. M. Галицкий, Б. M. Карнаков, В. И. Коган, Задачи по квантовой механике, Москва (1981).

151. S. Mancini, V. I. Man'ko and P. Tombesi, Los Alam. arXiv: quant-ph/9806035, (1998).

152. Л. Д. Ландау, E. M. Лифшиц, Теоретическая физика T II, Москва, «Наука» (1988).

153. V. N. Chernega, V. I. Man'ko, J. Russ. Laser Res., 29, 43 (2008).

154. A. S. Arkhipov, V. I. Man'ko, J. Russ. Laser Res., 25, 468 (2004).

155. В. Б. Берестецкий, E. M. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Теоретическая физика Т IV, Москва, «Наука» (1989).