Эффекты нелинейного взаимодействия электромагнитного поля с атомом, лежащие в основе базовых элементов оптической и квантовой информатики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

00501260»

ТРИФАНОВ АЛЕКСАНДР ИГОРЕВИЧ

ЭФФЕКТЫ НЕЛИНЕЙНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ С АТОМОМ, ЛЕЖАЩИЕ В ОСНОВЕ БАЗОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ОПТИЧЕСКОЙ И КВАНТОВОЙ ИНФОРМАТИКИ

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

12 шр т

Санкт-Петербург - 2012

005012608

Работа выполнена па кафедре высшей математики естественнонаучного факультета Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики.

Мирошниченко Георгий Петрович,

доктор физико-математических наук, профессор, НИУ ИТМО, профессор

Трошин Александр Сергеевич, доктор физико-математических наук, профессор, РГПУ им. А.И. Герцена, профессор Трубилко Андрей Игоревич, кандидат физико-математических наук, доцент, СПб университет ГПС МЧС России, доцент

Казанский физико-технический институт им.Е.К.Завойского Казанского научного центра Российской Академии наук

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Защита состоится « /5~» ^су?**?^_2012 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.232.24 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, Средний пр., д. 41/43, ауд. 304.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт -Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан « » 2012 года.

Ученый секретарь п

диссертационного совета — Аксенова

^ Елена Валентиновна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Нелинейные процессы взаимодействия электромагнитного (ЭМ) поля с веществом находят применение в информационных технологиях для хранения, передачи и обработки данных. Привлечение современных достижений теории информации и квантовой физики дало толчок новому направлению - квантовым информационным технологиям. Использование свойств микро- и наносистем (фотоны, атомы и ионы в ловушках, квантовые точки и т.д. [1]) обеспечивает высокую эффективность работы с данными, закодированными в их квантовых состояниях.

Использование фотонов в качестве носителей информации обеспечивает устойчивость каналов передачи к шумам, однако требует реализации сильного нелинейного взаимодействия в процессах, включающих небольшое число фотонов. Для решения этой проблемы предложено несколько квантовых атомно-полевых интерфейсов (2), использующих обратную связь |3], электромагнитно-индуцированную прозрачность [4], резонаторное взаимодействие [5], и т.д. Экспериментальные успехи, достигнутые как в способах генерации однофотонных состояний, так и в области реализации оптической памяти и оптических квантовых вентилей, дали толчок теоретическим исследованиям, направленным на поиск оптимальных условий, обеспечивающих атомно-полевое взаимодействие. С этой точки зрения представленная работа, посвященная исследованию нелинейных полуклассичсских и квантовых оптических эффектов, актуальна.

Целью работы является исследование нелинейных квантовых эффектов взаимодействия ЭМ поля с атомом и моделирование на их основе логических устройств для оптических и квантовых информационных технологий. Научная новизна результатов, полученных в работе:

1. Исследован эффект оптической бистабильности (ОБ), возникающий при взаимодействии двух мод ЭМ поля с трехуровневым атомом Л - конфигурации. Обратная связь, включающая обе моды, реализуется использованием кольцевого резонатора. Найдены и исследованы решения системы нелинейных уравнений, полученных из стационарного уравнения Лиувилля и уравнений согласования. Построены и изучены кривые интенсивностей „вход - выход" для различных параметров взаимодействия атома и ЭМ поля. Двумерная область входных параметров, при которых наблюдается ОБ, построена и исследована впервые.

2. Исследованы эффекты нелинейного взаимодействия четырех мод ЭМ поля с М-схемой пяти атомных уровней. Найдены условия возникновения эффектов

когерентного пленения населенности (КПН) и электромагнитно - индуцированной прозрачности (ЭМИП) в стационарном режиме. Предложена полуклассическая модель операции контролируемого преобразования фазы на 7Г (КПФ^) поляризационных состояний мод ЭМ поля.

3. Исследована эволюция неклассического состояния квантовой моды ЭМ поля резонатора в процессе взаимодействия с неидеальным детектором. Для модели дискретного фотодетектора, в которой ЭМ поле взаимодействует с двухуровневым атомом-зондом, развит формализм операторов Крауса. Для учета разного рода неидеальностей детектора состояний атома, впервые вместо ортогональных проекторов введены операторы более общего вида. С их использованием исследовано влияние неидеальности на характеристики информативности фотодетектора, связанные с изменением энтропии системы.

4. Исследованы квантовые логические операции на основе условной эволюции квантовых систем. На примере квантовой логической операции КПФ^ фоков-ских состояний резонаторного ЭМ поля, предложен эффективный способ реализации многокубитовых логических вентилей, использующих редукцию при измерении. Впервые при моделировании квантовых логических устройств использован формализм операторов Крауса. С этой целью исследованы алгебраические свойства системы операторных уравнений для анализируемой ситуации.

Положения, выносимые на защиту:

1. Результаты теоретического исследования взаимодействия Л - атома и двумо-дового ЭМ поля с учетом обратной связи по обеим модам. Результаты, полученные численным решением системы нелинейных уравнений, и исследование свойств этих решений.

2. Исследование эффектов нелинейного взаимодействия четырех мод ЭМ поля с М-схемой пяти атомных уровней и их использование для реализации КПФ,. поляризационных состояний данных мод.

3. Теоретическое описание процесса детектирования квантовой моды ЭМ поля резонатора неидеальным фотодетектором. Алгебраические свойства системы уравнений для операторов, описывающих неидеальный детектор. Влияние неидеальности на изменение энтропии фон Неймана при детектировании.

4. Результаты теоретического исследования и численного моделирования операции КПФ„ квантовых состояний ЭМ поля. Использование условной эволюции квантовой системы, взаимодействующей с детектором, для реализации условных вероятностных квантовых вентилей с вероятностью, близкой к единице.

Достоверность результатов обеспечивается надежностью используемых теоретических методов, использованием современного вычислительного оборудования при проверке моделей, воспроизводимостью полученных результатов, хорошим согласием с теоретическими расчетами других авторов и многократной апробацией результатов на научных семинарах и конференциях. Научная и практическая значимость:

1. Результаты, полученные для оптической системы с двумодовой структурой обратной связи, могут быть использованы для реализации оптической ячейки памяти, а также оптического транзистора.

2. Теоретическое исследование эффектов КПН и ЭМИП позволяет реализовывать устройства, в которых имеет место сильное нелинейное взаимодействие между распространяющимися совместно модами ЭМ поля.

3. Результаты исследования условной эволюции могут быть использованы для описания любой квантовомеханической системы, взаимодействующей с детектором. В частности, это касается квантовых информационных систем, в которых детектор выполняет особую роль извлечения классической информации из состояний квантовых объектов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: международной конференции молодых ученых „КМУ" (Санкт-Петербург, 2008г., 2009г., 2010г., 2011г.); международной конференции „Days on Diffraction" (Санкт-Петербург, 2008г., 2009г.); международной конференции молодых ученых „Оптика" (Санкт-Петербург, 2007г., 2011г.); международной конференции „Фундаментальные проблемы опти-ки"(Санкт-Петербург, 2008г., 2010г.); международной конференции ICONO/Lat (Казань, 2010г.); международной научной школе„Когерентная оптика и оптическая спектроскопия" (Казань, 2010г., 2011г.); семинаре памяти Д.Н. Клышко (Москва, 2011г.). Личный вклад автора. В большинстве совместных работ автором диссертации выполнена основная часть исследований. Соавторам принадлежит постановка задач, обсуждение полученных результатов и участие в написании статей. Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 13 печатных изданиях, 7 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 6 - в сборниках трудов конференций.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 115 страниц с 32 рисунками. Список литературы содержит 127 наименований.

Рис. 1: Однонаправленный кольцевой резонатор с помещенной в него нелинейной средой и трехуровневый Л - атом, взаимодействующий с двумя модами ЭМ поля.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит анализ современных тенденций развития квантовых информационных технологий, обоснование актуальности темы исследования, формулировку цели работы, основные защищаемые положения и полученные результаты, их новизну и практическую значимость, структуру и содержание диссертации.

Первая глава является обзорной и содержит краткое описание рассматриваемых в работе эффектов нелинейного взаимодействия ЭМ поля с атомом. В первом параграфе обсуждается ОБ, возникающая при взаимодействии электромагнитного поля с двухуровневым атомом. Рассматриваются два типа ОБ: абсорбционная и дисперсионная, в основе которых лежат, соответственно, нелинейный закон поглощения света в среде и оптический эффект Керра. Во втором параграфе обсуждается теория эффектов КПН и ЭМИП, которые являются проявлениями квантовой интерференции. В третьем параграфе изложены основы квантовой теории детектирования. В частности, рассмотрено описание эволюции системы, взаимодействующей с детектором. На примере дискретной модели фотодетектирования рассмотрено непроекционное измерение квантовой системы и введены математические конструкции, использующиеся для описания этого типа измерений.

Вторая глава посвящена исследованию ОБ абсорбционного типа в стационарном режиме. Рассматриваются способы управления оптическим гистерезисом при взаимодействии двумодового электромагнитного поля с ячейкой паров Л - атомов (рис. 16). Обе моды после взаимодействия с атомными переходами при помощи зеркал снова попадают на вход ячейки (рис. 1а).

Первый параграф содержит введение, где перечислены последние теоретические и экспериментальные результаты, полученные в данной области.

Во втором параграфе выводится система нелинейных уравнений, описывающая взаимодействие Л - атома с двумя модами электромагнитного поля и вклю-

а)

б)

Рис. 2: а) Область стабильности: = Д2 = 0.6, £\ = —£2 = 0.7 б) перекрестная зависимость интенсивностей „вход-выход" /^"'(/Р); Д1 = = 0.6, £[ = — £2 = 0.7; единица частоты 108Гц.

ченными в обратную связь. Если щ = щ I™) ~ коэффициент поглощения ячейки для каждой моды, тогда = щ (1[п, /2™) Г" описывает связь интенсивности излучения на входе и на выходе 1°"' ячейки. Согласованием этих величин с 1°, получаются следующие два уравнения системы:

где Щ - коэффициенты отражения полупрозрачных зеркал, а 1° - начальные интенсивности каждой из мод. Коэффициенты поглощения щ (/", Щ1) находятся из решения стационарного уравнения Лиувилля [Н, р] + гвр = 0, где супероператор релаксации С вводится заданием продольных и поперечных скоростей радиационного затухания для неподвижных атомов.

В третьем параграфе при помощи численных методов находятся решения рассматриваемой системы уравнений и исследуется их устойчивость. Оценивается норма ||£|| матрицы, линеаризованной в окрестности некоторой точки системы. Устойчивые решения (/¡"Д") соответствуют точкам, в которых ||Ь|| < 1.

Множество точек 1%) плоскости, которым соответствуют несколько решений 11") системы, образует область ОБ абсорбционного типа (рис. 2а). В общем случае эта плоскость разбивается на три области: внутренняя Уа, собственно область ОБ, и область 14. В каждой из них имеет место свой закон поглощения. В области 14 наблюдается экспоненциальный закон Бугера, а в области закон линейный. Уа и У( отделены друг от друга областью ОБ, в которой происходит смена закона поглощения. Исследуются ее форма и размеры как функции отстроек £! и е2 частот падающих полей от атомных резонансов соответствующих переходов, ширин спонтанных распадов 72^, и скорости затухания когерентности между уровнями |1) и |3).

В четвертом параграфе обсуждаются зависимости интенсивностей „вход - выход" /{**' (/») и /|"4 (1°) для различных траекторий в плоскости (/о, В частности,

J

И)

т) у« I5)

Рис. 3: Система из пяти зеемановских подуровней 87ПЪ - "М-схсма".

на рис. 26 изображена перекрестная зависимость I(1°). Можно видеть две области значений 7°, где нарушается единственность Низкому уровню выходного сигнала соответствует точка (Т^,/"), принадлежащая Уа. Начальные интенсивности, для которых значение велико, лежат в области прозрачности У^

В пятом параграфе производится проверка результатов на основе перехода к стандартной модели двухуровневого атома. Находятся приближенные аналитические выражения для величин 1т(р12) и 1т(рзг). Предполагая £1 и » П1 и е2 = О, можно получить:

Шестой параграф заключает вторую главу. В нем приводится набор параметров, для которого производились вычисления, а также обсуждаются полученные результаты.

Третья глава посвящена изучению эффектов атомной когерентности, возникающих при взаимодействии пятиуровневого атома 8711Ь с четырьмя модами ЭМ поля в классическом состоянии, действующих на его переходах (М-схема, рис. 3).

Первый параграф содержит обзор исследований эффекта ЭМИП, а также обсуждение его использования.

Второй параграф содержит постановку задачи и описание модели взаимодействия. В частности, выбирается система зеемановских подуровней, взаимодействующая с модами циркулярно поляризованного излучения с частотами и)^ и 1^4 (рис. 3). При обозначении е^, е^", ] = 1, ...,4 - векторов циркулярных (соответственно правых и левых) поляризаций мод излучения считается, что переход |1) <-> ]2) разрешен для моды с вектором поляризации |2) <-» |3) - для е^, |3) <-> |4) для 63, |4) |5) для . Эффекты ЭМИП и КПН исследуются в стационарном пределе, где они проявляются в виде увеличения пропускания ячейки с газом атомов заданной конфигурацией уровней.

П1721Г21

723 5 к

В третьем параграфе произведен вывод эффективного гамильтониана. В представлении взаимодействия и в резонансном приближении он имеет вид: Н =

4

(Д^+и-Н + + °Я-1 ./))> ГДе А/ " многофотонные отстройки, Ог] = |г)

]=1

г,^ = 1,2,3,4,5 - атомные операторы, и - частоты Раби действующих полей.

В четвертом параграфе для нахождения матрицы плотности системы, меняющейся на частотах действующих полей и на комбинациях этих частот, вводится стационарное уравнение Лиувилля [Н,р] + гбр = 0, где (? - супероператор релаксации, вводимый как и раньше посредством продольных и поперечных скоростей затухания. Это уравнение имеет простое решение для случаев (е+ (считается, что мода

с частотой Шз всегда имеет вектор поляризации е^): р'1' = р'2) = р'3' = р'4' = |1) (1|, а также в случае (е^е^.е^): р'5' = р'6' = |5) (5|. Нетривиальные случаи решения данной системы рассматриваются в следующих двух параграфах.

В пятом параграфе рассматривается стационарное решение для (е]", е^, е^). При малых значениях скорости „продольной" релаксации 751, а также при

к = 1... 4,

751 721 +723

где - скорости вынужденного радиационного перехода —> \к + 1), в стационарном решении р'7' атомные состояния |1) и |2) присутствуют с малой амплитудой вероятности и М-схема по оптическим свойствам близка к Л - схеме, построенной на состояниях |3), |4) и |5). Таким образом, задача сводится к известной о взаимодействии А - атома с двумя модами электромагнитного поля.

В шестом параграфе рассматриваются моды излучения с поляризациями (е~[ Отмечены разные режимы работы М-схемы:

• при Д[ = Д4 + в пРавом плече М-схемы (уровни |3), |4) и |5)) наблюдается ЭМИП;

• при Д3 = в левом плече М-схемы (уровни |1), |2) и |3)) наблюдается ЭМИП;

• при Д2 = Д4 = О ЭМИП наблюдается во всей М-схеме.

При большой однофотонной отстройке £1 3> , Г12 вдали от резонанса (в области прозрачности) М-схсма по оптическим свойствам близка к двухуровневой схеме, построенной на состояниях |1) и |2). Формула для матричного элемента р® в этом приближении будет справедлива, когда заселенность уровня |1) близка к единице. Это требование удовлетворяется при условии <§; 1, а переходы не насыщаются

соответствующими полями: И^ < Г21, Щг < Г2з, < Г43,И^ < Г45.

В седьмом параграфе обсуждается полуклассическая модель логической операции КПФ^ поляризационных состояний мод ЭМ ноля. При прохождении пучка света через вещество, поляризационные состояния приобретают фазовый множитель АфаЬс, зависящий от состояний поляризации. Результаты, полученные выше, можно использовать для нахождения полуклассической оценки суммарного набега фазы, кодируя логические состояния битов векторами (ef,ef,ef). В данном параграфе приводятся параметры системы, необходимые для реализации этой операции.

Восьмой параграф содержит обсуждение полученных результатов.

Четвертая глава посвящена исследованию условной эволюции квантовой моды резонатора при ее взаимодействии с неидеальным детектором. Рассматривается дискретная модель фотодетектирования.

Первый параграф содержит обзор работ, посвященных теории фотодетектирования, перечисление основных направлений исследований в данной области, а также обзор результатов, полученных за последние годы.

Во втором параграфе содержится описание процесса фотодетектирования в дискретной модели. Двухуровневый атом, приготовленный в некотором состоянии, пролетает сквозь резонатор, где он взаимодействует с квантовой модой, а затем попадает в селективный детектор (ионизационную камеру), в которой измеряется его состояние. Результат измерения позволяет делать заключения относительно состояния поля резонатора. Для учета влияния неидеальности ионизационной камеры производится ее параметризация. Вводится случайная величина характеризующая результат измерения атома: £ = 1 соответствует тому, что атом обнаружен первым детектором ионизационной камеры, настроенным на измерение состояния |р); £ = 2 -атом обнаружен вторым детектором, настроенным на измерение возбужденного состояния |е); ^ = 0 - атом пропущен из-за несовершенства измерительного устройства. Данной случайной величине, характеризующей процесс измерения, сопоставляется полный набор операторов П^, £ = 0,1,2: П0 + Щ + = 1а- Для них находятся следующие выражения:

По = (1-е,) 19) (Э| + (1-£е)|е)<е|, П1 = к9|219) <31 + К,е|2 \е) (е|, П2 = |а2,е|2 \е) {е\ + Ка|2 |д) (д\,

где Ед и ее - квантовые эффективности детекторов - вероятности обнаружить атом детектором, а |о;1е|2 = Р (£ = 1 |е), |а2,3|2 = Р (£ = 2 |д) - соответствующие условные вероятности, причем |о1,3|2 + |о2,3|2 = |а1,е|2 + |«2,в|2 = Используя разложение Крауса, операторы П^ можно записать в виде: П^ = ^ Каждый из операторов описывает определенный процесс внутри ионизационной каме-

ры: М^дд = а^дд\д) (д\ соответствует детектированию атома, находящегося в состоянии |д) детектором с номером £ (далее £ = 1,2 - номер детектора); аналогично Л/{|ве = а^ Ее \е) (е| соответствует детектированию атома, находящегося в состоянии |е); М^де = а^де |е) (<?| описывает скачок |д) -» |е), а М^ед = а^ед \д) (е| - скачок Iе) ~~* Физический смысл операторов в случае £ = О заключается в сле-

дующем: Л/о,95 ~ атом в основном состоянии пропущен, Л/о,ее - атом в возбужденном состоянии пропущен, Л/о,е9 и Мо,де - атом не детектируется, но под действием классических полей детекторов происходит скачок |р) —► |е) или |е) —> |р).

В третьем параграфе описывается непосредственно процесс фотодетектирования. В пространстве состояний полевых мод производится разложение единицы, определяются положительно определенные операторозначные меры и супероператоры 3{. Предполагается,что атом был приготовлен в основном состоянии = |д) (<?| и рассматривается унитарная эволюция UT атомно-полевой системы с произвольным начальным состоянием поля резонатора, описываемым матрицей плотности pp. Определяются операторы Крауса полевых состояний = (г]\M^JJT \д) и

супероператоры

= Е (11 v) М ит IО) = Е a^J^U^,

v£{s,e} veh.e)

= E I<^K¡^ = \a(,s\2UggU¡g + \aa2UegU¡3.

Четвертый параграф содержит иллюстрацию применения формализма, развитого в предыдущих разделах. Рассматривается переоценка гипотез о первоначально равномерно распределенной плотности вероятности суперпозиции вакуумного и однофотонного состояний [ф) = [ф{в)) = cos||0) + sin||l),0 € [0,7г]. Вычислена апостериорная вероятность гипотезы Р(0|£):

\ (|«;.я|2- ]^,e|2)sin2 (Пг)соз(й) " 2|ае,3|2 + (|о{,е|2-К,|2)8т2(Пт)]' где Q - однофотонная частота Раби, а г - время взаимодействия.

В пятом параграфе рассчитаны различные информационные характеристики фотодетектора: изменение энтропии системы, связанное с детектированием, информативность (по Шеннону), качество (fidelity) и обратимость детектирования.

Шестой параграф посвящен обсуждению результатов и их месту в ряде работ по данной тематике.

Пятая глава посвящена реализации трехкубитовой квантовой операции КПФ на 7г, в основе которой лежит взаимодействие ЭМ поля резонатора с детектором, структура которого описана в главе 4.

Рис. 4: Схема энергетических уровней ридберговского атома с действующими квантовыми и классическими полями. f!i% - частоты Раби классических полей, ga,(,iC -константы взаимодействия квантовых полей резонатора.

Первый параграф содержит обзор работ, посвященных реализации логических гейтов, где используется взаимодействие с атомом в высокодобротном резонаторе, а кубиты кодируются в фоковских состояниях резонаторных мод.

Во втором параграфе представлена модель взаимодействия шестиуровневого атома с тремя квантовыми модами резонатора и двумя вспомогательными модами в классическом состоянии (рис. 4). Предполагается, что атом влетает в резонатор в основном состоянии |1)л. Под действием квантовой моды (а) с константой связи да и частотой иа он может быть возбужден в состояние |2)л . Моды в классическом состоянии с частотами и\ и Wi действуют на переходах |2)л <-> |3)л и |2)л <-» |5)л. Переходы |3)л «-> |4)л и |5}л <-» |6)л взаимодействуют с квантовыми модами (Ь) и (с), частоты которых Шь и шс соответственно. Рассматривается резонансное приближение, в котором гамильтониан системы Я (i) = Яд + Нр — V (t) имеет вид:

6

я=£ А*«*** - 2iàa + 56(74306 + gca№âc + h.c.) - [Пкт2з + ^гь + b.c.].

к=1

В третьем параграфе из уравнения i&U (t) = HU (t), U (0) = I определяется

6

оператор эволюции в виде U (i) = M -^fcs (i), где К^ (t) - полевые операторы

s,k=l

Крауса, каждый из которых описывает преобразование состояния поля, когда атом, приготовленный в состоянии \к)А после взаимодействия, детектируется в состоянии |з)л, s, к = 1,2,..., 6. В рассматриваемой системе |к)А = |1)л. Подстановка данного разложения в исходное дифференциальное уравнение даст систему операторных дифференциальных уравнений г^К = M • К, где Mij = (г| Я |j)A , a Ks (t) = Кл (t) - компоненты операторного вектора К. Методом исключения (при Aj = 0) получено однородное дифференциальное уравнение шестого порядка для оператора К\ (t) и показано, что в фоковском базисе данный оператор диагонален в каждый момент времени. С использованием такой диагонализации найдено решение исследуемого

дифференциального уравнения в стандартной форме (i) = ^ Cncxp(—iAnt), где

П=1

Сп - независящие от времени операторные коэффициенты, коммутирующие с опера-торозначными корнями Лп характеристического многочлена. Для упрощения вычислений используется предположение, что все корни Л„ различны. Находятся явные аналитические выражения для элементов оператора Ki (t) в фоковском базисе, ограниченном числами фотонов 0 и 1 в каждой моде.

Четвертый параграф представляет исследование зависимости элементов оператора Ki (t) от времени, которая затем используется для реализации операции КПФ». Предположение | = |П2| = |П| » Ы = \дь\ = \дс\ = |д| дает оценку tint = ^Pl (1 + 2k) ,k = 0,1,2,... необходимого времени взаимодействия во втором порядке по параметру \д\ / |П]. С использованием данной оценки далее вычисляется вероятность Р (i;n() детектировать атом в состоянии |1)л и условное качество (fidelity) F (tint) данной операции для начального состояния рр (0):

В пятом параграфе обсуждается еще одно свойство рассматриваемой системы. Именно, если имеет место следующее соотношение между частотами Раби действующих полей: = |Г2г| = |9а| = |й| = |3с| = |^|, то рассматриваемую систему можно использовать как генератор перепутанных пар фотонов, когда исходное состояние поля резонатора [ф)р = |1)0 ® (|0}ь + ¡1)6) 0 ^ (|0)с + \\)с). Действительно, реализуя взаимодействие в течение времени <;п1 = ■щ^-, сопровождающееся детектированием состояния |2}л, получим следующий результат условной эволюции полевого состояния: \ЕРВ)р. — |0)а Оценка вероятности и качества операции в этом

случае дают соответственно Р кз 0.2, Р г» 0.99.

Шестой параграф содержит обсуждение результатов и сравнение используемого формализма с другими. Отмечено, что нетривиальной задачей является моделирование операций, при которых энергия в подсистеме квантовых мод ЭМ поля не сохраняется.

Основные результаты работы

1. В стационарном пределе исследована ОБ абсорбционного типа при взаимодействии двух мод ЭМ поля с Л - атомами. Рассмотрена обратная связь с дву-модовой структурой. Для всех значений входных интенсивностей мод найдены значения выходных интенсивностей и построены кривые зависимости интенсивностей полей „вход - выход". Изучены способы управления ОБ.

2. В стационарном режиме исследованы нелинейные оптические свойства атомной подсистемы, состоящей из пяти уровней, взаимодействующей с четырьмя модами ЭМ моля (М-схема). Получены приближения двух- и трехуровневой схем. Исследованы эффекты КПН и ЭМИП в подсистемах М-схемы. На основе полученных результатов предложена операция КПФ^.

3. Для описания взаимодействия квантовой резонаторной моды с неидеальным фотодетектором исследована условная эволюция и развит математический аппарат параметризации, учитывающей различного рода неидеальности.

4. На основе условной эволюции квантовой системы, взаимодействующей с детектором, предложен способ реализации квантовых логических устройств, использующий редукцию состояния при детектировании. Предложен алгоритм решения операторной системы уравнений для определения операторов Крауса, характеризующих измерительное устройство.

5. Предложена вероятностная (Р = 0.2) модель генератора перепутанных пар резонаторных фотонов (heralded entanglement) с качеством, близким к единице.

Публикации по теме диссертации

[А1 ] Трифанов А.И. Реализация квантового логического вентиля CCNOT на основе зеемановской структуры уровней в атомах рубидия / А.И.Трифанов // Научно-Технический Вестник ИТМО. -2008. -Т.51. -С.390-398.

[А2 ] Trifanov A.I. Optical CCNOT quantum gate/ G.P.Miroshnichenko, I.Yu.Popov, A.I.Trifanov // Сборник трудов конференции „Фундаментальные проблемы оптики" в рамках международного оптического конгресса „ОПТИКА - XXI век". Санкт-Петербург. -2008. С.123-125.

[A3 j Trifanov A.I., Quantum gate implementation based on nonlinear optical phenomena / G.Miroshnichenko, I.Popov, A.Trifanov // Proc. of the conference "Days on Diffraction 2008". Saint-Petersburg. -2009. -P.177-181.

[A4 ] Trifanov A.I., Possible implementations of CNOT and CCNOT gates / G.P.Miroshnichenko, I.Yu.Popov , A.I.Trifanov // Physics of Particles and Nuclei Letters. -2009. -V.6(7). -P.589-593.

[A5 ] Trifanov A.I., Three qubit operation in the five level optical medium / G.P.Miroshnichenko, I.Yu.Popov , A.I.Trifanov // Proc. of the conference "Days on Diffraction 2009". Saint-Petersburg. -2010. -P.185-191.

[A6 ] Трифанов А.И., Нелинейные оптические свойства среды с М - конфигурацией атомных уровней / Г.П.Мирошниченко, И.Ю.Попов, А.И.Трифанов // Оптика и Спектроскопия. -2010. -Т.109(3). -С.456-462.

[А7 j Trifanov A.I., Optical bistability in nonlinear system with two loops of feedback / G.P.Miroshnichenko, A.I.Trifanov // ICONO 2010 Proc. of SPIE. -2011. -V.7993.

[A8 ] Трифанов А.И., Модель оптического транзистора и оптической системы с управляемым гистерезисом / Г.П.Мирошниченко, А.И.Трифанов // Сборник трудов конференции "Фундаментальные проблемы оптики". -2010. -С.81-84.

[А9 j Трифанов А.И., Оценка условного фазового набега для квантовой оптической операции CCNOT / Г.П.Мирошниченко, А.И.Трифанов // Сборник трудов XIV международной молодежной научной школы "Когерентная оптика и оптическая спектроскопия". -2010. -С.142-145.

[А10 ] Трифанов А.И., Реализация элементной базы оптических информационных технологий на основе нелинейных оптических свойств атомных газов / Г.П.Мирошниченко, А.И.Трифанов // Наноснстемы: физика, химия, математика. -2011. -Т.2(1). -С.64-81.

[All ] Трифанов А.И., Условное контролируемое фазовое преобразование квантовых состояний электромагнитного поля / Г.П.Мирошниченко, А.И.Трифанов // Научно-Технический Вестник ИТМО. -2011. -V.71(l). -С.29-33.

[А12 ] Трифанов А.И., Управляемый гистерезис в оптических системах, охваченных двумя петлями обратной связи / Г.П.Мирошниченко, А.И.Трифанов // Оптика и Спектроскопия. -2011. -V.lll(5). -С.837-844.

[А13 ] Trifanov A.I., Conditional Phase Shift for Quantum CCNOT Operation / G.P.Miroshnichenko, A.I.Trifanov // Quantum Inf. Proc. -2011. 30 November (online first).

Список литературы

[1 ] O'Brien, J. Quantum computers / J.O'Brien // Nature. -2010. -V.464. -P.45-53.

[2 ] Hammerer, K. Quantum interface between light and atomic ensembles / K.Hammerer, A.S.Sorensen, E.S.Polzik // Rev. Mod. Phys. -2010. -V.82. -P.1041 - 1093. -V.53. -P.1812-1817.

[3 ] Joshi, A. Controlling optical bistability in a three-level atomic system / A.Joshi, A.Brown, H.Wang, M.Xiao // Phys. Rev. A. -2003. -V.67. -P.041801(4).

[4 j Fleischhauer, M. Electromagnetically induced transparency: Optics in coherent media / M.Fleischhauer, A.Imamoglu, J.P.Marangos // Rev. of Mod. Phys. -2005. -V.77. -P.633-673.

[5 ] Raimond, J. M. Colloquium: Manipulating quantum entanglement with atoms and photons in a cavity / J. M. Raimond, M. Brune, and S. Haroche // Rev. Mod. Phys. -2001. -V.73. -P.565-582.

сУ)

С/

Подписано в печать 08.02.12 Формат 60х841/1б Цифровая Печ. л. 1.0 Уч.-изд.л. 1.0 Тираж 100 Заказ 06/02 печать

Отпечатано в типографии «Фапкон Принт» (197101, г. Санкт-Петербург, ул. Большая Пушкарская, д. 54, офис 2)

61 12-1/746

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

ТРИФАНОВ АЛЕКСАНДР ИГОРЕВИЧ

ЭФФЕКТЫ НЕЛИНЕЙНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ С АТОМОМ, ЛЕЖАЩИЕ В ОСНОВЕ БАЗОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ОПТИЧЕСКОЙ И КВАНТОВОЙ ИНФОРМАТИКИ

На правах рукописи

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Мирошниченко Г.П.

Санкт-Петербург - 2012

Оглавление

Введение 5

1 Нелинейные эффекты, лежащие в основе оптических и квантовых информационных технологий 19

1.1 Оптическая бистабильность и оптический гистерезис .... 19

1.1.1 Абсорбционная бистабильность..........................20

1.1.2 Дисперсионная бистабильность..........................23

1.2 Квантовая интерференция и эффекты атомной когерентности 26

1.2.1 Когерентное пленение населенности....................27

1.2.2 Электромагнитно-индуцированная прозрачность ... 29

1.3 Эффекты взаимодействия квантовой системы с детектором 33

1.3.1 Детектирование квантовых состояний..................33

1.3.2 Дискретная модель фотодетектирования..............36

1.3.3 Наблюдение и детектирование..........................38

1.3.4 Характеристики информативности детектора..........40

2 Оптическая бистабильность в случае двумодовой структуры обратной связи 43

2.1 Исследование оптической бистабильности......................43

2.2 Уравнение Лиувилля и уравнения согласования..............45

2.3 Устойчивость решений и область ОБ абсорбционного типа . 48

2.4 Зависимости интенсивностей „вход - выход"....................51

2.5 Приближение двухуровневого атома............................53

2.6 Обсуждение........................................................54

3 Эффекты атомной когерентности в М-схеме атомных уровней, взаимодействующей с электромагнитным полем 56

3.1 Оптические свойства среды с наведенной когерентностью . . 56

3.2 Модель взаимодействия. М-схема................................58

3.3 Стационарный гамильтониан М-схемы..........................60

3.4 Стационарная матрица плотности М-схемы ...............61

3.5 Приближение Л - схемы..........................................62

3.6 Режимы ЭМИП и приближение двухуровневой системы . . 64

3.7 Фазовое преобразование поляризационных состояний мод . . 67

3.8 Обсуждение........................................................69

4 Условная эволюция квантовой системы, взаимодействующей с неидеальным детектором 71

4.1 Детектирование квантовых состояний электромагнитного поля 71

4.2 Параметризация неидеального детектора......................72

4.3 Дискретная модель неидеального фотодетектора..............75

4.4 Теорема Байеса и переоценка гипотез...................77

4.5 Информативность неидеального измерения....................79

4.6 Обсуждение........................................................83

5 Контролируемое преобразование фазы состояний квантовых мод электромагнитного поля 84

5.1 Реализация квантовых вентилей в резонаторе ................84

5.2 Гамильтониан в представлении взаимодействия................87

5.3 Условная эволюция состояний квантовых мод ................89

5.4 Условное контролируемое преобразование фазы..............93

5.5 Дополнение. Генерация перепутанных пар фотонов..........96

5.6 Обсуждение и заключение........................................98

Заключение 100

Литература 102

Введение

Одним из основных направлений, в которых находит свое приложение современная физика, являются информационные технологии. В данной области решаются задачи хранения, передачи и обработки информации. В настоящее время для этого успешно используются различные оптические и оптоэлектронные системы, реализующие аналоги элементов электронных логических устройств: трансфазеры (оптические транзисторы), разветви-тели, коммутаторы, переключатели [1] и др. В связи с этим находит широкое распространение использование света для управления оптическими свойствами среды. В основе этих методов лежит нелинейный оптический эффект Керра [2], [3], [4], [5], [6] и связанные с ним эффекты взаимовлияния оптических полей [7]. Они дают возможность при помощи света управлять оптическими свойствами среды, изменяя ее отклик в определенном диапазоне частот. В качестве примера можно привести использование эффектов кросс-фазовой модуляции и самомодуляции [8] для компенсации уширения и получения сверхкоротких импульсов в волоконных линиях связи.

Удобной для теоретического исследования эффектов нелинейного взаимодействия электромагнитного (ЭМ) поля с материальной средой является модель трехуровневого атома, в котором два нижних метастабиль-ных уровня связаны с верхним излучающим уровнем двумя модами ЭМ поля. Эта модель получила название А - схемы [7], [9], [10], [11]. Кван-

товая интерференция двух каналов возбуждения в Л - атоме позволяет создавать атомно-полевые состояния, обладающие рядом нетривиальных свойств. Например, существует когерентная суперпозиция, в которой отсутствует возбужденный флюоресцирующий уровень. В этом - „темновом" (dark state) - состоянии минимизируются радиационные потери. Его наличие объясняет эффект когерентного пленения населенности (КПН) [9], наблюдаемый по исчезновению сигнала флуоресценции [12]. Другое проявление „темновых" состояний - эффект электромагнитно-индуцированной прозрачности (ЭМИП) [7], [13] наблюдается в стационарном режиме по увеличению пропускания среды [14] ив импульсном режиме по изменению групповой скорости „темновых" поляритонов [15], [16], [17].

В настоящее время исследованы оптические свойства большого количества схем с различными конфигурациями и числом атомных уровней (схемы типа V, N, „лестница", каскадные схемы и т.д. [9]). Рассмотрены случаи взаимодействия с излучением разного спектрального состава. На основе полученных результатов выявлены новые эффекты и предложены новые техники: лазерная генерация без инверсии [18], контроль поглощения света атомами в присутствии магнитного поля [19], спектроскопия сверхвысокого разрешения [20], стабилизация частоты [21], лазерное охлаждение нейтральных атомов [22] и пр.

Исследование эффекта оптической бистабильности (ОБ) [23] в Л - атоме [24] выявило несколько интересных возможностей управления оптическим гистерезисом [25], что может найти применение в реализации оптической памяти и оптического транзистора, а также некоторых протоколах, основанных на безусловных логических операциях.

Изучение взаимодействия ЭМ поля с Л - атомом в настоящее время стимулируется разработкой алгоритмов запоминания квантовых состояний ЭМ поля в ансамблях атомов [26], исследованиями в области квантовой теории обратной связи [27], [28], а также реализацией алгоритмов с автокоррекцией [29].

Новым этапом развития является совместное использование в информационных технологиях современных достижений квантовой теории информации [30] и квантовой физики [11], [31]. Исследования в этой области [32] вылились в новое направление - квантовые информационные технологии [33]. Использование квантовых свойств микро- и наносистем позволяет увеличивать скорость, безопасность и эффективность передачи, хранения и обработки информации. В связи со специфическими свойствами основного носителя квантовой информации - кубита, - который кодируется в состоянии квантовой системы, становится возможным реализовать новые алгоритмы [34] и протоколы [35], недоступные в информационных системах, построенных на классических принципах [36]. Отметим наиболее известные протоколы квантовой криптографии, телепортации и плотного кодирования, алгоритмы факторизации и поиска в базе данных, преобразования Фурье, и т. д. Использование квантового компьютера позволяет эффективно моделировать динамику открытых квантовых систем [37]. В зависимости от системы, в состоянии которой кодируется кубит, в квантовых информационных технологиях обозначились различные направления: фотонные технологии, атомы и ионы в ловушках, технологии ядерного магнитного резонанса, сверхпроводимость, квантовые точки, и т.д. [38], каждое из которых удовлетворительно решает определенный набор задач.

В квантовых оптических информационных [39], [40] технологиях в качестве носителей информации (кубитов) используются фотоны. На принципах квантовой оптики уже реализованы основные протоколы квантовых коммуникаций: криптография [41], квантовая телепортация и плотное кодирование [32]. Предложены и частично реализованы масштабируемые схемы оптических квантовых вычислений [42], [43]. Разработаны архитектуры масштабируемых квантовых оптических сетей, использующих приборы, работающие по законам линейной оптики [42], [44], [45]. Исследованы методы запоминания и воспроизведения квантовой информации, закодированной в состояниях фотонов, локализованных в высокодобротных резонаторах [46], [47], в интерферометрах, волноводах и линиях задержки [48], [49], [50]. Изучены методы записи квантовой информации, закодированной в состоянии поляризации фотонов [51], на квантовые состояния одиночных атомов или на коллективные квантовые состояния атомного ансамбля [52], и ее последующего считывания [53]. Обсуждается возможность реализации квантового процессора и высокоэффективной квантовой памяти на ансамблях атомов в высокодобротном резонаторе [54].

Для решения задачи получения единичных фотонов предлагаются способы генерирования неклассического антигруппированного света, из которого можно извлечь фотоны в виде гауссовских временных пакетов в заданном временном интервале [55], [56]. Изучаются способы создания неклассических состояний моды электромагнитного поля, в частности, фоковских состояний в высокодобротном резонаторе [57], [58]. Одним из наиболее перспективных источников единичных фотонов является параметрический генератор света [59], в основе функционирования которого лежит процесс

спонтанного параметрического рассеяния [2].

Использование фотонов в качестве носителей информации обеспечивает устойчивость каналов передачи к шумам, однако требует реализации сильного нелинейного взаимодействия в процессах, включающих небольшое число фотонов. Существуют два подхода к решению этой проблемы. Первым из них является использование информационных технологий, работающих по протоколам линейных оптических квантовых вычислений и коммуникаций [42], [43]. Здесь преобразование информации, закодированной в состояниях одиночных фотонов, осуществляется с помощью линейных оптических элементов - светоделителей (СД), поляризационных светоделителей (ПСД), фазовых пластинок, зеркал и других элементов. Второй подход использует нелинейные оптические процессы взаимодействия с единичными атомами или их ансамблями. Для этого используется взаимодействие в высокодобротном резонаторе [60], [61], режим ЭМИП [62], [63] в газах и твердотельных образцах, эффект фотонного эха и пр.

В общей схеме реализации взаимодействия между кубитами используется вспомогательная система (апсШа) (атом, моды ЭМ поля, и пр.), состояние которой в процессе вычислений перепутывается с состоянием системы кубитов [64], [65]. Чтобы получить результат вычислений, необходимо определить состояние вспомогательной системы. Для этого используется измерение [66], [67], [68], [64] и как следствие недетерминистическая эволюция квантовых состояний ЭМ поля [69], [70], результатом которой является условная вероятностная процедура или протокол. Реализовать безусловную операцию в этом случае можно при помощи обратной связи. Другим способом служит организация только фазовых многокубитовых

операций [71], [72] сопровождающихся однокубитовыми преобразованиями поворота. В этом случае можно показать [73], что алгоритмы построенные с использованием этих операций (они образуют логический базис [28]) можно сделать безусловными.

Существенная часть настоящей работы (главы 3 и 5) посвящена моделированию операции контролируемого преобразования фазы (КПФ) состояний ЭМ поля, которая может быть положена в основу реализации логических устройств оптических и квантовых вычислений. Опишем подробнее данную операцию, и то как она используется в квантовых вычислениях для создания универсальной логики [74]. КПФ - это преобразование, при котором каждая компонента многокубитового состояния приобретает фазовый множитель, зависящий от состояний отдельных кубитов:

Я{п) К)! \а2)2 ■ ■ ■ к>п = ехр • • • О 1а1>1 1а2>2 • • • К)п ■

Здесь а.^ £ {0,1}, ] = 1,...,п - квантовые состояния кубитов в вычислительном базисе, - дельта символ Кронекера и ^ра1,а2,...,ап ~ суммарный фазовый набег амплитуд многокубитовых состояний. Запишем данную операцию для трехкубитового случая \1)а\т)ь\п)с, 1,тп,п — 0,1, о котором пойдет речь в дальнейшем:

<2(3) 10а Iт)ъ \П)с = ехР (~гф1тп) 11)а \т)ъ IП)с ■

Среди трехкубитовых фазовых преобразований наибольший интерес представляет КПФ на 7г (будем обозначать КПФя-), при которой набег фазы удовлетворяет следующему условию:

Афып = 7г, 1-т-п = 1, Ьфып = 0, 1-т-п = 0.

Чтобы отмечать это требование оператор КПФ^ будем обозначать Эта операция лежит в основе трехкубитового универсального гейта CCNOT (вентиль Тоффоли [75]), который осуществляет преобразование:

\1)а I т)ъ И с 11)а I т)ь 0 г П т)с, т, п = 0, 1,

где ф - прямая сумма по модулю 2 и П - конъюнкция. Гейт CCNOT используется для создания перепутанных трехкубитовых состояний (типа |GHZ) = 1/\/2(|000) + |111))), нашедших применение в помехоустойчивом кодировании. Его связь с трехкубитовой операцией КПФ^:

CCNOT = (I 0 / 0 Н) Q^ (/ <g) I 0 Я),

содержит единичные операторы I и однокубитовый оператор Адамара матрица которого в вычислительном базисе имеет следующий вид:

Я = 1/2[|0> (0| + |1> (0| — |0) (1| + |1> (1|].

Реализации многокубитовых фазовых преобразований для универсальных квантовых гейтов посвящено большое количество работ. Можно найти как получение полуклассических оценки [62], [76], так и работы в которых проводится полностью квантовый анализ [64], [71], [73].

Настоящая работа организована следующим образом: первая глава является обзорной и содержит краткое описание рассматриваемых в работе эффектов нелинейного взаимодействия ЭМ поля с атомом; вторая глава содержит исследование ОБ абсорбционного типа в стационарном пределе. Рассматриваются способы управления оптическим гистерезисом при взаимодействии двумодового ЭМ поля с ячейкой паров А - атомов в случае, когда обе моды после взаимодействия с атомными переходами при

помощи зеркал снова попадают на вход ячейки. Третья глава посвящена изучению эффектов атомной когерентности, возникающих при взаимодействии пятиуровневого атома с четырьмя модами классического ЭМ поля, действующих на его переходах (М-схема). В четвертой главе исследуется условная эволюция квантованной моды резонатора при ее взаимодействии с неидеальным детектором. Рассматривается дискретная модель фотодетектирования. Пятая глава посвящена реализации трехкубитовой квантовой операции КПФ на 7Г, в основе которой лежит взаимодействие ЭМ поля резонатора с детектором, структура которого описана в главе 4. В заключении перечислены основные результаты работы. Таким образом, тема диссертационной работы отвечает современным проблемам рассматриваемой области науки и поэтому является актуальной.

Цель работы - исследование нелинейных квантовых эффектов взаимодействия ЭМ поля с атомом и моделирование на их основе логических устройств для оптических и квантовых информационных технологий.

Научная новизна результатов, полученных в работе:

1. Исследован эффект оптической бистабильности (ОБ), возникающий при взаимодействии двух мод ЭМ поля с трехуровневым атомом А -конфигурации. Обратная связь, включающая обе моды, реализуется использованием кольцевого резонатора. Найдены и исследованы решения системы нелинейных уравнений, полученных из стационарного уравнения Лиувилля и уравнений согласования. Построены и изучены кривые интенсивностей „вход - выход" для различных параметров взаимодействия атома и ЭМ поля. Двумерная область входных

параметров, при которых наблюдается ОБ, построена и исследована впервые.

2. Исследованы эффекты нелинейного взаимодействия четырех мод ЭМ поля с М-схемой пяти атомных уровней. Найдены условия возникновения эффектов когерентного пленения населенности (КПН) и электромагнитно - индуцированной прозрачности (ЭМИП) в стационарном режиме. Предложена полу классическая модель операции контролируемого преобразования фазы на 7г (КПФ^) поляризационных состояний мод ЭМ поля.

3. Исследована эволюция неклассического состояния квантовой моды ЭМ поля резонатора в процессе взаимодействия с неидеальным детектором. Для модели дискретного фотодетектора, в которой ЭМ поле взаимодействует с двухуровневым атомом-зондом, развит формализм операторов Крауса. Для учета разного рода неидеальностей детектора состояний атома, впервые вместо ортогональных проекторов введены операторы более общего вида. С их использованием исследовано влияние неидеальности на характеристики информативности фотодетектора, связанные с изменением энтропии системы.

4. Исследованы квантовые логические операции на основе усл�