Метод квантовой томографии в проблемах квантовой оптики и неклассических состояний тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Министерство образования и науки Российской Федерации

Московский физико-технический институт (Государственный университет)

На правах рукописи

Базрафкан Махмуд» Мохаммадреза

Метод квантовой томог рафии в проблемах квантовой оптики и неклассических состояний

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва,2004

Работа выполнена в Московском физико-техническом институте (Государственном университете)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук профессор Манько Владимир Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор Быков Владимир Павлович

кандидат физико-математических наук доцент Амосов Григорий Геннадиевич

Ведущая Организация: Физический институт имени ГШ. Лебедева

Защита диссертации состоится декабря 2004 г. в 10 часов на

заседании Диссертационного совета К.212.156.05 при Московском физико-техническом институте (Государственный университет) по адресу: 141700 Московская область, г. Долгопрудный, Институтский пер.9 аудитория 119.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Московского физико-технического института (Государственного университета).

Автореферат разослан .Л октября 2004 года Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук С.М.Коршунов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

При появлении квантовой механики, несмотря на ее блестящие успехи в разных областях физики, понятие состояния квантовых систем оказалось непривычным. Попытки преодолеть эту проблему предпринимались по разным направлениям.

Математически они свелись к тому, чтобы найти новые представления матрицы плотности, способные облегчить решение задач квантовой динамики и квантовой оптики. К примеру, всем хорошо известны функции распределения квазивероятности разного типа в квантовой оптике такие, как функция Вигнера (Е. Wigner, 1932), Р-функция Глаубера-Сударшана (Е. С. G. Sudarshan, 1963) и Q- функция Хусими (К. Husimi, 1940).

Теоретически было желание сформулировать квантовую механику в классически-подобном виде. Формулировка с использованием звездочного произведения служит одним из примеров этих попыток.

В последние годы после появления разных экспериментальных способов измерения квантовых состояний некоторых квантовых систем таких, как одномодовое квантовое поле излучения (методом квантовой томографии), (D.T. Smithey, М. Beck, M.G. Raymer and A. Faridani, 1993 ) и ион в электромагнитной ловушке, интерес к этой теме резко повысился.

Уже не только доказано, что можно определить квантовое состояние обычной функцией распределения вероятности, но и доказано, что можно предложить новую формулировку квантовой механики, не использующую понятия волновой функции или матрицы плотности (S. Mancini, V.l. Man'ko and P. Tombesi, 1996). Такая формулировка интересна не только физикам-теоретикам, но и экспериментаторам, желающим, измерить или контролировать квантовые процессы, например, в области квантовых компьютеров и квантовой химии.

В этой работе исследованы свойств некоторых известных неклассических состояний фотонов в рамках новой вероятностной формулировки квантовой механики. Были изучены некоторые суперпозиции квантовых состояний в рамках нового томографического представления. Были рассмотрены примеры неклассических состояний, таких как суперпозиционные когерентные состояния, состояния, генерируемые в среде Керра и состояния кристаллизованных "котов Шредингера". Была изучена детально формула сложения томографических вероятностей для суперпозиции двух чистых состояний. Были изучены сжатые

РОС „ ИЛЬНАЯ

БЧ I КА

( ..^рг

9006

когерентные состояния с добавленным (и убранным) фотоном. Также были изучены сжатые фоковские состояния с добавленным (и убранным) фотоном и биномиальные состояния света,

являющиеся промежуточными между классическими состояниями и неклассическими состояниями. Было изучено соотношение между пропагаторами уравнения Мойала для функции Вигнера и уравнения временной эволюции томографического распределения вероятностей.

Цель диссертационной работы

Целью настоящей диссертационной работы является изучение новой вероятностной формулировки квантовой механики (и квантовой оптики), в которой квантовые состояния задаются обычной функцией распределения вероятности вместо волновой функции и матрицы плотности.

Предполагается также исследовать свойства некоторых семейств неклассических состояний фотонов в рамках данной вероятностной формулировки.

Научная новизна работы:

Впервые исследованы томографические распределения вероятностей для состояния кристаллизованных "котов Шредингера", сжатых фоковских состояний с добавленным (и убранным) фотоном, и для сжатых когерентных состояний с добавленным фотоном. При этом впервые объяснилось влияние неоднозначности отображения между функциями Вигнера и томографическими распределениями вероятностей на явное выражение для классического пропагатора.

Научная и практическая значимость работы

Работа актуальная и имеет научное и практическое значение, поскольку полученные в ней результаты могут быть применены в таких новых областях исследований, как создание квантовых компьютеров, квантовых коммуникационных систем и новых технологий.

Защищаемые положения

На защиту выносятся следующие оригинальные результаты автора диссертации;

1. Детальное изучение принципа суперпозиции на примере различных типов неклассических состояний фотонов в рамках вероятностного представления квантовой механики и квантовой оптики с использованием формализма звездочного

произведения. Впервые получены и изучены томографические функции распределения вероятностей для суперпозиционных состояний фотона, кристаллизованных "котов Шредингера " и состояний, возникающих в нелинейной среде Керра.

2. Получены и изучены оптические и симплектические томограммы специального типа неклассических состояний фотонов, а именно сжатых и коррелированных когерентных состояний с добавленными фотонами и состояний с убранными фотонами. Также получены в явном виде томографические функции распределения вероятностей сжатых фоковских состояний с добавленными и убранными фотонами, реализуемые в задаче о параметрическом возбуждении осциллятора электромагнитного поля.

3. Изучена природа многозначности связи между симплектическими томограммами и функциями Вигнера квантовых состояний. Проведен анализ влияния этой многозначности на соотношение между функциями Грина эволюционного уравнения Мойала для функции Вигнера и эволюционного уравнения для томограммы состояния.

4. Подробно изучены биномиальные (неклассические) состояния электромагнитного поля и получены явные выражения для томографических функций распределения вероятностей. При этом получены в явном виде как симплектические томограммы, так и томограммы по числу фотонов. Изучены асимптотические выражения для полученных томограмм при предельных значениях параметров биномиального состояния фотонов.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы представлялись на конференциях: 10th Iranian Researchers Conference in Europe (Birmingham, England) July2002, 12th Iranian Researchers Conference in Europe (Manchester, England) July2004, и на семинарах (I.L.C.) в МГУ, и представлены на конференцию в МФТИ.

Публикации

Основные результаты диссертационной работы изложены в четырех печатных работах и на конференциях, список которых приведен выше и в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Полный объем работы: 138 страниц, включая 13 рисунков. Библиография содержит 95 наименований, в том числе и работы автора.

Личный вклад

Все использованные в диссертации результаты получены автором лично или при его определяющем участии.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность темы работы, формулируются цели диссертации, кратко характеризованы основные полученные результаты, их научная новизна и практическая ценность. Дана краткая аннотация каждой главы диссертации.

В первой главе диссертации, представляющей собой литературный обзор, рассматривается исторический ход всех попыток дать более ясное физическое описание состояния квантовой системы. Из-за принципа неопределенности в квантовой механике, понятие траектории в пространстве - времени теряет свой смысл. В результате этого основателям квантовой механики понадобилось описать квантовое состояние непривычными понятиями такими, как волновая функция или матрица плотности. Благодаря тому, что при рождении квантовой механики математический аппарат, касающийся волновой функции или матрицы плотности, был достаточно знаком физикам, квантовая механика развивалась на основе этих понятий.

Однако, потом начали появляться другие эквивалентные описания квантового состояния. Основная идея была получить описание квантового состояния функцией "распределения вероятностей" в фазовом пространстве системы. Такие функции не являются истинными вероятностями, поэтому их называют квазивероятностями. Были введены функции распределения квазивероятностей такие, как функция Вигнера, функция Глаубера-Сударшана, функция Хусими, и многие другие. Семейство этих распределений квазивероятностей было определено как

б

P(a,a,s) = Tr[pS(a-ä-,s)], J = 0,±1,

где ¿(a-ä;s)=i- fäifee'"<"'e'lif/1exfaä'-fa),

и a=-\={q+ip) точка в фазовом пространстве системы и а - оператор

v2

уничтожения фотонов. Здесь P(a,a',s) всегда действительная функция и формально она похожа на распределение вероятностей в фазовом пространстве. Все эти функции обратимым преобразованием связаны с матрицей плотности и несут ту же информацию, что и матрица плотности. Они, как некие замены ^ переменных, дали большое удобство в решении задач, в основном, в

области квантовой оптики и квантовой механики.

Поскольку, из-за принципа неопределенности совместная функция распределения вероятностей не существует, проблема представления квантового состояния настоявшей функцией распределения вероятностей не была решена до недавних пор. В 1996-1997 г. итало-российской группой исследователей были опубликованы первые работы, в которых показано, что квантовое состояние может быть полностью задано положительной (и настоящей) плотностью вероятности. Томографическое распределение было определено как следующее представление матрицы плотности

w{X,^V) = ~\W{q,p)S{X-m-vp)dqdp , (Й=1)

где W(q,p) = ^P(a,a,s = 0) есть функция Вигнера оператор плотности. Обратное соотношение выглядит так

f(X-pq-vp)

fV(q, р) = -w(X, ц, v)dXdftdv.

* 1к

Томографическое распределение является обычной вероятностью и полностью описывает квантовое состояние, поскольку оно задает функцию Вигнера. В дальнейшем развитии было доказано, что этим методом можно пользоваться как для конечномерного (спин) (V. V. Dodonov and V.l. Man'ko ,1997) так и бесконечномерного (система частиц) гильбертова пространства состояний. Была предложена новая формулировка квантовой механики, которую можно называть "вероятностное представление квантовой механики".

Во второй главе диссертации рассмотрены разные

представления оператора плотности. Рассмотрены представления оператора плотности в разных базисах, например, в энергетическом базисе и базисе когерентных состояний. Дан детальный обзор функции Вигнера и ее свойств. Также дан обзор семейств функций распределения квазиверояностей и некоторых их свойств.

Обсуждены проблемы построения оптических и симплектических томограмм. Также обсуждалась томограмма по числу фотонов для описания квантовых состояний. Дан обзор новой формулировки квантовой механики, как для систем с непрерывными координатами, так и для дискретных систем, таких как спин. Дано описание формулировки квантовой механики с помощью звездочного произведения для функции Вигнера и томографических распределений вероятности.

Третья глава диссертации посвящена представлению некоторых неклассических состояний фотонов таких как, четные и нечетные когерентные состояния, и биномиальные состояния света. Также дан короткий обзор метода интегралов движения в квантовой механике и обсуждена проблема квантово-механического квадратичного гамильтониана. Также эта проблема рассмотрена в формулировке Вигнера квантовой механики.

Четвертая глава диссертации посвящена, в основном, оригинальным результатам работы автора.

В разделе 4.1 в рамках томографического распределения, детально изучены суперпозиционные когерентные состояния, и состояния, генерируемые в среде Керра, а также состояния кристаллизованных "котов Шредингера", представляющие собой неклассические квантовые состояния. В (V.l. Man'ко,G. Магшо, E.C.G. Sudarshan and F.Zaccaria, 1999) была предложена формула сложения двух томографическых распределений вероятностей для суперпозиции двух чистых состояний. В диссертации детально проанализирована эта формула.

В разделе 4.2 а) получены и изучены томографические распределения вероятности для когерентных состояний с добавленным фотоном. Эти состояния определены как

\а,+т) = ЛГа'" |а), где и а' оператор рождения и N нормировочный множитель. В результате их эволюции при параметрическом

возбуждении, описываемом переменным гамильтонианом

я = £1 + й)г(,)£1 для

2 2

квадратичным

(1)

из них можно получить сжатые когерентные состояния с добавленным фотоном. Найдена явная формула для томографических распределений вероятности этих состояний

ехр -

е а 2е

ехр

М

{еХ+1-~[2\>а}

2 ЫеХ

1-

Я.

2 VI

е\

Х-ссХЧЛ

где функция е(0 удовлетворяет уравнение +©'(/)£ = 0, с

с(0) = 1 и с( 0) = /,

Х = /ле + УВ ,

начальными условиями

б) Получены и изучены томографические распределения вероятности для сжатых фоковских состояний с добавленными и убранными фотонами. Эти состояния определены как

\п,1,+т) = М,а*"й(1)\п) , и |п,/,-«) = ЛГа"{/(/)|л),

где |и) фоковские состояния, Н1" нормировочные множители и 0(1) оператор эволюции (реализующий процесс сжатыя), соответствующий гамильтониану (1). Явная форма томографического распределения вероятностей для этих состояний выглядит так

К

^я!|Д|еХР[|Я|2 ; ......{МНУ

где Н1„{у>\,уг) двухмерный полином Эрмита и квадратичные 2x2 матрицы, элементы которых зависят от е(г),ё(г). Также были получены оптические томограммы и производящая функция для моментов томографических распределений вероятности этих состояний. Главным инструментом в расчетах был метод, построения производящей функции.

я;

Рис. 1. Оптическая томограмма сжатого фоковского состояния с добавленным фотоном

В разделе 4.3 было изучено соотношение между пропагатором уравнения Мойала для функции Вигнера, т.е. О, и

пропагатором уравнения эволюции для томографического распределения вероятностей т.е. Для того,

чтобы найти это соотношение была изучена природа многозначности связи между томографическим распределением вероятностей и функцей Вигнера. Если обозначим соотношения между функцией Вигнера и томографическим распределением вероятностей буквами ф и ф в следующим порядке

тогда, хотя фф = 1, но фф*\. Это так потому что томографическое распределение вероятностей содержит лишнюю информацию о квантовом состоянии, и любой ф использует только часть этой информации. Было доказано, что можно построить много разных отображений ф.

Найдено одно множество левых обратных отображения фк с действительным индексом к, Ой к

и= ¡к2ехр(гк[Хv)dXdfldv.

АУТ *

Следовательно, существует класс пропагаторов, удовлетворяющих соотношению

я, V, 0 = ¡ЩХ, ц, V, X \ ц \ У1МХц \ V \ 0)<МГ \ Лр

и только один из них (называемый классическим пропагатором) в начальным моменте времени принимает форму дельта-функции Дирака. Классический, пропагатор можно выписать через томограмму уравнения Мойла в виде

Г(д, р,я',р¡)с1дс1р(1д '¿р'сИс

В диссертации рассмотрено нескольких задач с применением этой формулой.

Разделе 4.4 посвящен вычислению и изучению томографических распределений вероятности для биномиальных состояний света. Эти состояния определены соотношением

= где ВГ-J р'<1 -р)»-.

„.о у n'.(M-n)\

Здесь U целое число и Ospál, действительные

параметры.

Эти состояния являются промежуточными между классическими состояниями (т.е. когерентными состояниями) и неклассическими состояниями. Мы нашли явную формулу для томографических распределений вероятности этих состояний. Она выглядит следующим образом

V*Cí/2+>'2) yjnlm\2m"(jt1 + v1)m

\т+п

/

х

Н.

WM2+Sj

где Я„(х) полиномы Эрмита. Более того, вычислялись в явном виде томографические распределения по числу фотонов для биномиальных состояний света

если т>п если т <. л

Здесь ¿(а) оператор сдвига Глаубера и Ст(х) полиномы Лагерра. Во всех случаях было изучено предельное поведение полученных томографических распределений вероятности для биномиальных состояний при разных значениях параметров р,М ,0„.

где

(и|5(а)|я>-

•^Н'ГтН).

Рис.2. Оптическая томограмма, биномиальное состояния фотона при р = 0.5, М = 2, и в, = 0.

07238904

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1) Впервые, получены и изучены томографические функции распределения вероятностей для суперпозиционных состояний фотона, кристаллизованных "котов Шредингера" и состояний, возникающих в нелинейной среде Керра.

2) Получены и изучены оптические и симплектические томограммы сжатых и коррелированных когерентных состояний с добавленными фотонами и состояний с убранными фотонами. Также получены в явном виде томографические функции распределения вероятностей сжатых фоковских состояний с добавленными и убранными фотонами.

3) Изучена природа многозначности связи между симплектическими томограммами и функциями Вигнера квантовых состояний. Проведен анализ влияния этой многозначности на соотношение между функциями Грина эволюционного уравнения Мойала для функции Вигнера и эволюционного уравнения для томограммы состояния.

4) Подробно изучены биномиальные состояния электромагнитного поля и получены явные выражения для томографических функций распределения вероятностей. При этом получены в явном виде как симплектические томограммы, так и томограммы по числу фотонов. Изучены асимптотические выражения для полученных томограмм при предельных значениях параметров биномиального состояния фотонов

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Tomography of nonclassical states, M. R. Bazrafkan, V. I. Man'ko , Journal of Russian Laser Research, Vol. 24, No. 1 , p.80-94 (2003).

2. Tomography of photon-added and photon-subtracted states, M. R. Bazrafkan, V. I. Man'ko , J.Opt B: Quantum Semiclas.l

>

Opt , Vol. 5, p.357-363 (2003).

3. Propagators in the Moyal and tomographic representation of states , M. R. Bazrafkan, V. I. Man'ko , Journal of Russian Laser Research, Vol. 25, No. 2 , p.123-137 (2004)

4. Tomography of binomial states of the radiation field , M. R. Bazrafkan, V. I. Man'ko , Journal of Russian Laser Research, Vol. 25, No. 5 , p.453-467 (2004).

5. M.R.Bazrafkan, V.I. Man'ko, 10th Iranian Researchers Conference in Europe (Birmingham, England, July2002).

6. M.R.Bazrafkan, V.I. Man'ko, 12th Iranian Researchers Conference in Europe (Manchester, England, July2004).

7. На семинарах (I.L.C.) в МГУ.

Г

•4

г

О/. Г/

РНБ Русский фонд

2006-4 12593

Базрафкан Махмуд и Моламмадреза

Метод квантовой томографии и проблемах квантовой оптики и неклассических сосюяиии

Подписано в печать 21.10.2004 формат 60x84 1/16. печать офсетная. Усл. Печ.л. 1. Тираж 70 экз. Заказ Ыо ¥.306

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский физико-технический институт (государственный университет) Отдел автоматизированных издательских систем "физтех-полиграф" 141700, Моск. Обл., г. Долгопрудный, Инсштутский пер. 9

0 9 НОЯ 2004

Введение

1 Обзор литературы

2 Представления квантовых состояний

2.1 Вектор состояния и оператор плотности.

2.2 Некоторые представления оператора плотности

2.3 Функция Вигнера.

2.4 Другие распределения в фазовом пространстве

2.5 Гомодинное измерение квантового состояния света.

2.6 Оптическая томография.

2.7 Симплектичесая томография квантовоых состояний и новая формулировка квантовой механики

2.7.1 Определение симплектической томографии.

2.7.2 Реконструкция оператора плотности с помощью симплектеческой томограммы

2.7.3 Общая идея томографии квантовых состояний.

2.7.4 Уравнение Шредингера-фон Неймана в томографическом представлении

2.8 Томография по числу фотонов

2.9 Формализм звездочного произведения в квантовой механике.

2.10 Томография состояний спина.

3 Неклассические состояния света

3.1 Четные и нечетные когерентные состояния.

3.2 Биномиальные состояния.

3.3 Представление биномиальних состояний в фазовом пространстве.

3.4 Квантовый интеграл движения.

3.5 Системы с квадратичными гамильтонианами.

4 Томография и неклассические состояния

4.1 Интерференция квантовых состояний

4.1.1 Формулировка принципа суперпозиции оператором плотности.

4.1.2 Томография и интерференция.

4.1.3 Томограммы некоторых суперпозиционных состояний.

4.2 Томография состояний с добавленным и убранным фотоном.

4.2.1 Томографическое распределение когерентного состояния с добавленным фотоном

4.2.2 Сжатое фоковское состояние с добавленным и убранным фотоном

4.2.3 Томографические символы сжатых фоковских состояний с добавленным фотоном и с убранным фотоном

4.2.4 Математическое дополнение.

4.3 Функции Грина.

4.3.1 Функция Грина уравнения Шредингера-фон Неймана и Мойла.

4.3.2 Функция Грина для томографического распределения

4.3.3 Класс формул для реконструкции функции Вигнера через томограмму

4.3.4 Соотношение между классическим пропагатором и пропагатором уравнения Мойала.

4.3.5 Некоторые примеры.

4.4 Томография биномальних состояний.

4.4.1 Симплектическая томография биномальних состояний.

4.4.2 Томография по числу фотонов для биномиальных состояний.

4.4.3 Неклассичность биномиальных состяний.

Актуальность темы

При появлении квантовой механики, несмотря на ее блестящие успехи в разных областях физики, понятие состояния квантовых систем оказалось непривычным. Из-за принципа неопределенности в квантовой механике, понятие траектории в пространстве - времени теряет свой смысл. В результате этого основателям квантовой механики понадобилось описать квантовое состояние непривычными понятиями такими, как волновая функция или матрица плотности. Благодаря тому, что при рождении квантовой механики математический аппарат, касающийся волновой функции или матрицы плотности, был достаточно знаком физикам, квантовая механика развивалась на основе этих понятий. Однако, потом начали появляеться другие эквивалентные описания квантового состояния. Основная идея была получить описание квантового состояния функцией "распределения вероятностей" в фазовом пространстве системы.

Попытки преодолеть эту проблему предпринимались по разным направлениям. Математически они свелись к тому, чтобы найти новые представления матрицы плотности, способные облегчить решение задач квантовой динамики и квантовой оптики. К примеру, всем хорошо известны функции распределения квазивероятности разного типа в квантовой оптике такие, как функция Вигнера [9], Р-функция Глаубера-Сударшана [17] и Q- функция Хусими [15]. Теоретически было желание сформулировать квантовую механику в классически-подобном виде. Формулировка с использованием звездочного произведения служит одним из примеров этих попыток.

В последние годы после появления разных экспериментальных способов измерения квантовых состояний некоторых квантовых систем таких, как одномодовое квантовое поле излучения (методом квантовой томографии),[24] и ион в электромагнитной ловушке, интерес к этой теме резко повысился.

Уже не только доказано, что можно определить квантовое состояние обычной функцией распределения вероятности, но и доказано, что можно предложить новую формулировку квантовой механики, не использующую понятия волновой функции или матрицы плотности [31]. Такая формулировка интересна не только физикам-теоретикам, но и экспериментаторам, желающим, измерить или контролировать квантовые процессы, например, в области квантовых компьютеров и квантовой химии.

В этой работе исследованы свойств некоторых известных неклассических состояний фотонов в рамках новой вероятностной формулировки квантовой механики. Были изучены некоторые суперпозиции квантовых состояний в рамках нового томографического представления. Были рассмотрены примеры неклассических состояний, таких как суперпозиционные когерентные состояния, состояния, генерируемые в среде Керра и состояния кристаллизованных "котов Шредингера". Была изучена детально формула сложения томографических вероятностей для суперпозиции двух чистых состояний. Были изучены сжатые когерентные состояния с добавленным (и убранным) фотоном. Также были изучены сжатые фоковские состояния с добавленным (и убранным) фотоном и биномиальные состояния света, являющиеся промежуточными между классическими состояниями и неклассическими состояниями. Было изучено соотношение между про-пагаторами уравнения Мойала для функции Вигнера и уравнения временной эволюции томографического распределения вероятностей.

Цель диссертационной работы

Целью настоящей диссертационной работы является изучение новой вероятностной формулировки квантовой механики (и квантовой оптики), в которой квантовые состояния задаются обычной функцией распределения вероятности вместо волновой функции й матрицы плотности.

Предполагается также исследовать свойства некоторых семейств неклассических состояний фотонов в рамках данной вероятностной формулировки.

Научная новизна работы

Впервые исследованы томографические распределения вероятностей для состояния кристаллизованных "котов Шредингера", сжатых фоковских состояний с добавленным (и убранным) фотоном, и для сжатых когерентных состояний с добавленным фотоном. При этом впервые объяснилось влияние неоднозначности отображения между функциями Вигнера и томографическими распределениями вероятностей на явное выражение для классического пропагатора.

Научная и практическая значимость работы

Работа актуальная и имеет научное и практическое значение, поскольку полученные в ней результаты могут быть применены в таких новых областях исследований, как создание квантовых компьютеров, квантовых коммуникационных систем и новых технологий.

Защищаемые положения

На защиту выносятся следующие оригинальные результаты автора диссертации;

1. Детальное изучение принципа суперпозиции на примере различных типов неклассических состояний фотонов в рамках вероятностного представления квантовой механики и квантовой оптики с использованием формализма звездочного произведения. Впервые получены и изучены томографические функции распределения вероятностей для суперпозиционных состояний фотона, кристаллизованных "котов Шредингера " и состояний, возникающих в нелинейной среде Керра.

2. Получены и изучены оптические и симплектические томограммы специального типа неклассических состояний фотонов, а именно сжатых и коррелированных когерентных состояний с добавленными фотонами и состояний с убранными фотонами. Также получены в явном виде томографические функции распределения вероятностей сжатых фоковских состояний с добавленными и убранными фотонами, реализуемые в задаче о параметрическом возбуждении осциллятора электромагнитного поля.

3. Изучена природа многозначности связи между симплектическими томограммами и функциями Вигнера квантовых состояний. Проведен анализ влияния этой многозначности на соотношение между функциями Грина эволюционного уравнения Мойала для функции Вигнера и эволюционного уравнения для томограммы состояния.

4. Подробно изучены биномиальные (неклассические) состояния электромагнитного поля и получены явные выражения для томографических функций распределения вероятностей. При этом получены в явном виде как симплектические томограммы, так и томограммы по числу фотонов. Изучены асимптотические выражения для полученных томограмм при предельных значениях параметров биномиального состояния фотонов.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы представлялись на конференциях: 10th Iranian Researchers Conference in Europe (Birmingham, England) July2002, 12th Iranian Researchers Conference in Europe (Manchester, England) July2004, и на семинарах (I.L.C.) в МГУ.

Публикации

Основные результаты диссертационной работы изложены в четырех печатных работах и на конференциях, список которых приведен в [90] - [93].

Личный вклад

Все использованные в диссертации результаты получены автором лично или при его определяющем участии.

Структура и содержание рвботы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Полный объем работы: 138 страниц, включая 13 рисунков. Библиография содержит 95 наименований, в том числе и работы автора.

Заключение

1. Впервые, получены и изучены томографические функции распределения вероятностей для суперпозиционных состояний фотона, кристаллизованных "котов Шредингера" и состояний, возникающих в нелинейной среде Керра.

2. Получены и изучены оптические и симплектические томограммы сжатых и коррелированных когерентных состояний с добавленными фотонами и состояний с убранными фотонами. Также получены в явном виде томографические функции распределения вероятностей сжатых фоковских состояний с добавленными и убранными фотонами.

3. Изучена природа многозначности связи между симплектическими томограммами и функциями Вигнера квантовых состояний. Проведен анализ влияния этой многозначности на соотношение между функциями Грина эволюционного уравнения Мойала для функции Вигнера и эволюционного уравнения для томограммы состояния.

4. Подробно изучены биномиальные состояния электромагнитного поля и получены явные выражения для томографических функций распределения вероятностей. При этом получены в явном виде как симплектические томограммы, так и томограммы по числу фотонов. Изучены асимптотические выражения для полученных томограмм при предельных значениях параметров биномиального состояния фотонов

1. W. Heisenberg, Uber den anschaulichen Inhalt der quanten teoretischen Kinematik und Mechanik , Ztschr. Phys. Bd.43.S p.172-198 (1927)

2. E. Schrodinger , Sitzungsber. Preuss Acad. Wiss (1930) p.296

3. H. P. Robertson , Phys. Rev. 35 (1930) p.667 ; 46 (1934)p.794

4. E. schrodinger , Ann. Physik, 79 ,489 (1926)

5. P. A. M. Dirac , The Principles of quantum Mechanics, 4th edition, Pergamon,Oxford (1958)

6. J. von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantummechanik, Springer ,Berlin (1932)

7. L.D.Landau, Z. Physik , 45, 430, (1930)

8. D.F. Styer et al. Amer. J. Phys. Vol.70, p.288-295 (2002)

9. E. Wigner , Phys. Rev. ,77, 711 (1932)

10. H. Weyl, Z. Phys. 46, 1 (1927).

11. Feynman R. 1987 Quantum Implications ed B. J. Hiley and F. D. Peats (London: Routledge and Kegan)

12. J. E. Moyal , Proc. Cambridge Philos. Soc. Vol. 45 , p.99-124 (1949)

13. С. Zachos , In. J. Mod. Phys. A17(3) , p.297-316 (2002)

14. F. Bayen , M. Flato , C. Fronsdal, A.Lichnerowicz , D. Sternheimer, Ann. Phys. (N.Y.) Ill, 61, 111 (1978)

15. K. Husimi, Proc. Phys. Mat. Soc. Japan, 23 , 264 (1940)

16. Y. Kano , J. Math. Phys. ,6, 1913 (1965)

17. E. C. G. Sudarshan , Phys. Rev. Lett. ,10, 277, (1965); C. L. Mehta and E. C. G. Sudarshan , Phys. Rev. В , 138, 274(1965)

18. R. J. Glauber , Phys. Rev. ,131, 2766 (1963)

19. R. J. Glauber , Phys. Rev. Lett. ,10, 84 (1963)

20. L. Mandel and E. Wolf Optical Coherence and Quantum Optics Cambridge University Press (1995)

21. M. O. Scully and M. S. Zubairy Quantum Optics Cambridge University Press (1997)

22. R. L. Stratonovich (1956) Zh. Eksp. Teor. Fiz. 31, pl012 (Engl. Transl. 1957 Sov. Phys. JETP 4 ,p891)

23. K. Vogel and H. Risken, Phys. Rev. A, 40, 2847 (1989)

24. D. T. Smithey , M. Beck, M.G. Raymer, and A. Faridani, Phys. Rev. Lett. , 70 ,1244 (1993)

25. J. Bertrand and P. Bertrand (1987) Found. Phys. 17 , 397

26. S. Schiller, G. Breitenbach, S. F. Pereira, T. Mikker and J. Mlynek, Phys. Rev. Lett., 77, 2933 (1996).

27. S Mancini, V. I. Man'ko and P. Tombesi ,(1997), J.Mod. Opt. 44 2281

28. J. Radon, Berichte iiber die Verhandlungen der Koniglich-Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Klasse, 69, 262 (1917).

29. F. Nattarer, The Mathematics of Computerized Tomography (Wiley,Stuttgart, 1986).

30. Pauli W. 1958 ,Encyclopedia of physics vol 5 (Berlin: Springer) p 17

31. S. Mancini , V. I. Man'ko , and P. Tombesi (1996) Phys. Lett. A 213 pi

32. S. Mancini, V. I. Man'ko and P. Tombesi, Quantum Semiclass. Opt., 7,615 (1995).

33. G. M. D'Ariano, S. Mancini, V. I. Man'ko and P. Tombesi, Quantum Semiclass. Opt., 8, 1017 (1996).

34. A. Wunsche, J. Mod. Opt., 47, 33 (2000).

35. G. G. Amosov and V. I. Man'ko, J. Russ. Laser Res. 25 No.3 (2004)

36. S. Mancini , O.V. Man'ko, V. I. Man'ko and P. Tombesi, J. Phys.A: Math. Gen. 34 p.3461-3476 (2001)

37. S. Wallentowitz and W. Vogel, Phys. Rev. A, 53, 4528 (1996).

38. K. Banaszeck and K. Wodkiewicz, Phys. Rev. Lett., 76, 4344 (1996).

39. S. Mancini, V. I. Man'ko and P. Tombesi, Europhys. Lett., 37, 79 (1997).

40. V. V. Dodonov and V.I. Man'ko , Phys. Lett. A , 229 , p.335 (1997)

41. V. I. Man'ko and О. V. Man'ko, JETP, 85, p.430 (1997).

42. V. A. Andreev, О. V. Man'ko, V. I. Man'ko and S. S. Safonov, J. Russ. Laser Res., 19, 340(1998)

43. V. A. Andreev, V. I. Man'ko, JEPT, 87,239(1998)

44. U. Leonhardt , Phys. Rev. A , 53 , p.2998 (1996)

45. A. B. Klimov, О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, Yu. F. Smirnov and V. N.Tolstoy, J. Phys. A: Math. Gen., 35, 6101 (2002).

46. O. Castanos, R. L6pez-Pena, M. A. Man'ko and V. I. Man'ko, J. Phys. A: Math. Gen., 36, 4677 (2003); J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt.,5, 227 (2003).

47. S. Mancini, V.I. Man'ko ,and P. Tombesi, "Classical-like description of quantum dynamics by means of symplectic tomography", Found. Phys. , 27, p801 (1997)

48. V. I. Man'ko, J. Russ. Laser Research, 17, p.579 (1996).

49. V.I. Man'ko /'Classical description of quantum states and tomography" , talk at the Fifth International Conference "Squeezed States and Uncertainty Relations" (Balatonfured, Hungary, May 1997), (published in NASA Conference Publication, 1998).

50. О. V. Man'ko , and V. I. Man'ko , J. Russ. Laser Res. , 18, 407 (1997)

51. О. V. Man'ko , Teor. Mat. Fiz. , 121 ,285 (1999)

52. V. I. Manko, G. Marmo , E. C. G. Sudarshan and F. Zaccaria, J. Phys.A: Math. Gen. 35 p.7137-7157 (2002)

53. О. V. Man'ko , V. I. Manko and G. Marmo,Phys. Scr. , 62 ,446 (2000)

54. О. V. Man'ko , V. I. Manko and G. Marmo, J. Phys. A,

55. V. I. Man'ko, V. A. Sharapov, E. V. Shchukin, quant-ph/0305119

56. V.V. Dodonov , I. A. Malkin , and V. I. Man'ko , Physica, 72, p597 (1974)59. "even and odd coherent states" R. L. de Matos Filho and W. Vogel, Phys. Rev. Lett. ,76, p608 (1996)

57. O. Castanos, R. Lopez, M. A. Man'ko, V. I. Man'ko, quant-ph/0408110

58. О. V. Man'ko , V. I. Manko , quant-ph/0401131

59. A. S. Arkhipov, Yu. E. Lozovik, V. I. Manko , quant-ph/0310028

60. R. J. Glauber, Phys. Rev. 130, 2529 (1963).

61. R.J. Glauber, in Quantum Optics and Electronics, eds. C. DeWitt, A. Blandin and C. Cohen-Tannoudji (Gordon and Breach, New York, 1965).

62. M. Freyberger, P. Bardroff, C. Leichtle, G. Schrade, and W. Schleich, The art of measuring quantum, states, Phys. World 10(11), 14 (1997).

63. Т. J. Dunn, I, A. Walmsley, and S. Mukamel, Experimental determination of the quantummechanicalstate of a molecular vibrational mode using fluorescence tomography, Phys. Rev. Lett. 74, 884 (1995).

64. G. Breitenbach, S. Schiller, and J. Mlynek, Measurement of the quantum states of squeezed light, Nature 387, 471 (1997).

65. D. Leibfried, D. M. Meekhof, В. E. King, C. Monroe, W. M. Itano, and D. J. Wineland, Experimental determination of the motional quantum state of a trapped atom, Phys. Rev. Lett. 77, 4281 (1996).

66. C. Kurtsiefer, T. Pfau, and J. Mlynek, Measurement of the Wigner function of an ensemble of helium atoms, Nature 386, 150 (1997).

67. W. H. Louisell , Radiation and Noise in Quantum Electronics, McGraw-Hill Book company (1964)

68. R.Loudon , The Quantum Theory of Light, Clarendon, Oxford, (1973).

69. A. Wunsche , App. Phys. B, 60, Si 19 (1995).

70. V.V. Dodonov, О. V. Man'ko, V. I. Man'ko and A. Wunsche, J. Mod. Opt., 47, 633(2000).

71. V.V. Dodonov, О. V. Man'ko, V. I. Man'ko and A. Wiinsche, Los Alamos ArXiv, quant-ph/9810085.

72. B. Yurke and D. Stoler, Phys. Rev. Lett. , 57, 13 (1986)

73. V. V. Dodonov and V. I. Manko, Invariants and Evalution on Nonstationary Quantum System, Proc. Lebedev Physics Institute vol.183 (New York : Nova Science 1989).

74. I. A. Malkin, V. I. Manko, Invariants and coherent states of arbitrary quantum systems, Prepr. P. N. Lebedev Phys. Inst. N 15. M. , (1971).

75. V. I. Mank'o , G. Marmo, E. C. G. Sudarshan, and F. Zaccaria, J. Russ. Laser Res., 20, 421(1999).

76. V. I. Mank'o , G. Marmo, E. C. G. Sudarshan, and F. Zaccaria, Phys. Lett. A, 273, 31, (2000).

77. C. Brif and A. Mann , Phys. Rev. A, 59, 971 (1999).

78. O. Castanos and R. L6pez-Pena, J. Phys. A: Math. Gen., 25 6685 (1999).

79. V. V. Dodonov, A. B. Klimov and V. I. Man'ko ,J. Sov. Laser Res. 12 439 (1991).

80. G. S. Agarwal and К. Тага , Phys. Rev. A 43, 492 (1991).

81. I. A. Malkin and V. I. Man'ko , Phys. Lett. A 32, 243 (1970)

82. В. П. Быков, УФН, T.161 ,10, 145(1991)

83. V. V. Dodonov and A. B. Klimov , Phys. Rev. A 53, 2664 (1996).

84. H. Bateman and A. Erdelyi Higher Transcendental functions vol.2 (New York: McGraw-Hill) (1953).

85. A. V. Barranco and J. Roversi, Phys. Rev. A, 50,5233(1994)

86. M. R. Bazrafkan, V. I. Man'ko , J. Russ. Laser Res. , Vol. 24, No. 1 , p.80-94 (2003).

87. M. R. Bazrafkan, V. I. Man'ko , J.Opt. B: Quantum Semiclas.l Opt. , Vol. 5, p.357-363 (2003).

88. M. R. Bazrafkan, V. I. Man'ko , J. Russ. Laser Res., Vol. 25, No. 2 , p.123-137 (2004)

89. M. R. Bazrafkan, V. I. Man'ko , J. Russ. Laser Res. Vol. 25, No. 5 , p.453-467 (2004).

90. M.R.Bazrafkan, V.I. Man'ko, 10th Iranian Researchers Conference in Europe (Birmingham, England, July2002).

91. M.R.Bazrafkan, V.I. Man'ko, 12th Iranian Researchers Conference in Europe (Manchester, England, July2004).