Формула Айзенберга в псевдовыпуклых областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Ротксвич Александр Сергеевич

Формула Айзенберга в псевдовыпуклых областях

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 В СЕН 2013

Санкт-Петербург 2013

005533563

Работа выполнена на кафедре математического анализа математико-механического факультета ФГБОУ ВПО Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель:

Широков Николай Алексеевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа математико-механического факультета ФГБОУ ВПО Санкт-Петербургского государственного университета

Официальные оппоненты: Дубцов Евгений Сергеевич,

доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник лаборатории математического анализа ФГБУН Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук

Васин Андрей Васильевич,

кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики ФГБОУ ВПО Государственного университета морского и речного флота им. адмирала С.О. Макарова

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО Петрозаводский государственный университет

Защита диссертации состоится «/У » 2013 года в /6-Л О часов на

заседании диссертационного совета Д 002.202.01 в ФГБУН Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д.27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБУН Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В,А. Стеклова Российской академии наук.

Автореферат разослан « /2> » г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

А.Ю. Зайцев

1. Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Вопросы, связанные с интегральными представлениями голоморфных функций, являются существенной частью теории функций нескольких комплексных переменных. Диссертация посвящена изучению оператора, порожденного интегральной формулой Айзенберга (см. [1]), восстанавливающей значения голоморфных в линейно выпуклой области функций по их значениям на границе и являющейся наиболее близким обобщением формулы Коши на многомерный случай. Точнее, изучается оператор, задающийся формулой

где Я = {г 6 С1: р(г) < 0} - линейно выпуклая область с С2-гладкой границей, (1 > 2, а и>р - дифференциальная форма, выписываемая явно по функции р. Соотношение (др(£), £ — г) расписывается как

Интересно, что даже вопрос об ограниченности этого оператора в 1?(дП) оказывается открытым, при том что аналогичным задачам посвящено немало статей. Так для строго псевдовыпуклых областей (но, естественно, при другой реализации ядра) ограниченность оператора Кц в пространстве Ь2(д£1) доказана в 1978 году Н. Керзманом и Е.М. Стейном в статье [6]. Оценки на ядро Сёге и ограниченность соответствующего ему оператора изучались в совместной работе [8] 1997 года Дж. Д. МакНил и Е.М. Стейн для выпуклых областей конечного типа, в статье [9] 1989 года А. Нагель, Дж. П. Рози, Е.М. Стейн и С. Вэйнгер - для псевдовыпуклых областей конечного типа в С2, в статье [7] М. Македои 1988 года - для псевдовыпуклых областей с одним вырожденным собственным числом.

Значительная часть диссертации посвящена разработке метода псевдоаналитического продолжения и его применению к описанию пространств Бесова. Этот метод является обобщением подхода, предложенного Е.М. Дынькиным в ряде статей, посвящённых изучению свойств граничных значений голоморфных функций одной комплексной переменной. В частности, в 1981 году в работе [2] им была получена характеристика аналитических пространств Бесова ЛрЯ(Г1) в областях Радона через наилучшие приближения полиномами. Для гладких областей этот результат формулируется в виде следующей теоремы.

др_

з

Теорема А. Пусть ОсС-область с гладкой границей. Функция / € НР(П) принадлежит классу Бесова Ард(И), в > 0, 1 < р, q < сю, тогда и только тогда, когда

для некоторой положительной постоянной с, где En(f)p - наилучшее приближение функции / в пространстве аналитическими многочленами степени п.

Естественной задачей является обобщение этого результата на случай нескольких комплексных переменных. Одним из препятствий к решению этого вопроса является отсутствие универсального аналога оператора Коши, однако для строго выпуклых областей формула Айзенберга оказывается удачной альтернативой. Касаясь результатов, известных в многомерном случае, отметим, что аналогичная характеристика была получена H.A. Широковым в 1989 году для аналитических классов Гсльдера в строго псевдовынуклых областях в статье [11].

Цель работы. Целью диссертации является развитие метода псевдоаналитического продолжения в теории функций нескольких комплексных переменных и, в частности, применение этого метода к описанию пространств Бесова через глобальные полиномиальные приближения, получение характеристик пространств в духе теоремы А. Кроме того изучается регулярность оператора, порождённого формулой Айзенберга, в пространствах Лебега, пространствах Бесова и обобщённых пространствах Лебега.

Методы исследований. Одним из основных методов, используемых и разрабатываемых в диссертации, является обобщение метода псевдоаналитического продолжения, предложенного Е.М. Дынькиным для изучения пространств аналитических функций в областях комплексной плоскости (см. [2]), то есть такого продолжения функции /, заданной в некоторой ограниченной области Г2 С Cd, до функции f, определённой во всём пространстве Cd, такой, что невязка уравнений Коши-Римана

при 1 < q < оо, а при q = оо

En(f)P < спГ*,

убывает контролируемым образом при приближении к границе области П. Скорость этого убывания однозначно характеризует гладкость исходной функции.

Изучение регулярности оператора К^ в пространствах Лебега проводится в рамках теории сингулярных интегральных операторов посредством Т1-теоремы (см. [3], [5]). Кроме того, затрагиваются вопросы, связанные с поведением оператора Кд в обобщённых пространствах Лебега с

переменным показателем (см. [4]).

Основные результаты. Для строго выпуклых областей разработан метод псевдоаналитического продолжения. Предложены две конструкции продолжения, основанные на локальных и глобальных полиномиальных приближениях. Получено описание аналитических функций, граничные значения которых лежат в классе Бесова, через их продолжение вне области. Благодаря этой характеризации аналитические пространства Бесова в выпуклых областях удаётся описать через глобальные полиномиальные приближения.

Пусть область Г2 С С, й > 1, с С2-гладкой границей строго линейно выпукла. Тогда оператор К,\ удовлетворяет следующим условиям регулярности:

• Операторы К& и К*й являются операторами Кальдерона—Зигмунда и ограничены в пространствах

• Оператор К* ограничен в обобщённом пространстве Лебега если показатель р(-) логарифмически гёльдеров.

• Если условие логарифмической гёльдеровости показателя р(-) обобщённого пространства Лебега нарушено, то оператор Кл может быть не ограниченным в пространстве Приведены примеры в случаях й — 1 и <1 = 2.

• оператор К а, (I > 2, ограничен в пространстве Гёльдера А3(дП) = В°жж(дП) при 0 < 5 < 1.

• Если область П с С, <1 > 2, с СМ+1-гладкой границей строго выпукла, то оператор К а ограничен в пространстве Бесова при 1 < р < оо, I<<7<0011O<s<I.

Научная новизна. Все основные результаты, представленные в диссертации, являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ценность результатов работы состоит в развитии метода псевдоаналитического продолжения в теории функций нескольких комплексных переменных, позволяющего описывать гладкость функции на

языке полиномиальных приближений. Методы, предложенные для проверки регулярности оператора Айзенберга, имеют широкое применение в теории интегральных представлений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались ira заседаниях городского семинара по теории операторов и теории функций (г. Санкт-Петербург), научном семинаре по теории функций комплексного переменного Петрозаводского государствнного университета (г. Петрозаводск), на конференции "XXII St. Petersburg Summer Meeting in Mathematical Analysis" (г. Санкт-Петербург).

Публикации. По теме диссертации опубликованы три печатные работы автора [Rl], [R2], [R3], приведённые в конце автореферата и вышедшие в журналах, входящих в список ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 10 глав, разбитых на пункты, заключения и списка литературы, содержащего 35 наименований. Объём диссертации - 83 страницы.

2. Содержание работы

В первой главе приводятся основные определения и обозначения, а также описываются классы рассматриваемых областей. Геометрия области играет существенную роль при получении оценок ядра оператора K¿.

Определение 1. Пусть íí = {z S Cd : p(z) < О} - область с С2-гладкой определяющей функцией р, причём dp ^ 0 на 0Q. Комплексно касательной гиперплоскостью называется (d — 1)-мерное комплексное аффинное подпространство касательной плоскости Т®. Это пространство единственно и задаётся следующим образом:

T( = {z€ С: (др(0, £-*)= 0} .

Определение 2. Область Í2 строго выпукла, если второй дифференциал порождает на касательной гиперплоскости строго положительно определённую форму, то есть

d2p(z)[z-w]>c\z-w\2, z € дй, w G Tf. Область П строго линейно выпукла, если второй дифференциал порождает на комплексной касательной гиперплоскости строго положительно определённую форму, то есть

d2p(z)[z -w}> c\z - w}2, z edil, we Tz,

fi

и комплексно касательная гиперплоскость не пересекает границу области, то есть (др(£), £ - г) ф 0, 2 € дП.

В этой главе также приводится классическое определение классов Бесова, использующее оператор взятия разности. Классы Бесова на границе области П обозначаем через В^(дП), где в > 0, 1 < р, д < оо, а пространство аналитических функций с граничными значениями в классе В®?(9Г2) через Л^(сЮ). Результаты, касающиеся классов Бесова, доказаны для строго выпуклых областей, а регулярность оператора Кд в пространствах 7У'(<ЭГ2), ВМО(дГ2), проверяется в большей общности, для строго линейно выпуклых

областей.

Во второй главе изучаются свойства ядра оператора Ка, в частности доказывается, что оно является "стандартным". Большая часть оценок, полученных в этой главе, верна для строго линейно выпуклых областей, однако некоторые утверждения выполнены только при условии строгой выпуклости. Кроме того, вводится понятие псевдоаналитичсского продолжения аналитической функции /, как функции Г 6 С^ДС* \ 12), для которой выполнено соотношение

Изучая различные способы продолжения функций вне области, можно получать характеристики классов аналитических функций через пссвдоанали-тическое продолжение (см. главу 6), а также получать соотношения между различными свойствами функции (см. главу 7).

Третья глава посвящена связи классического определения классов Бесова, основанного на понятии модуля гладкости, определяемого через оператор взятия разности, и более удобного в применении "к нашей задаче определения, основанного на локальных полиномиальных приближениях. Гладкость границы рассматриваемых областей позволяет нам установить эквивалентность этих двух определений. Обозначим наилучшее приближение функции / € ЬР(Р) в метрике многочленами, степень которых по каждой коор-

динате не превосходит т, через Ет(/, Р)р

Определение 3. Полиномиальный модуль гладкости функции / £ Ьр(д£1) порядка т > 0 при 1 < р < оо определим следующим образом:

(лг \

а при р = оо

Um{f,h)00 =sup max ^m-li/.-Fj)«,, j=l...N

где верхняя граница берётся по всем разбиениям {iv,}^ границы области П, таким что проекция множества Fj на касательную в некоторой точке гиперплоскость содержится (в этой гиперплоскости) в некотором кубе с длиной стороны h и содержит куб со стороной длины Л/2.

При дальнейшем изучении классов Бесова используется определение, основанное на следующей теореме.

Теорема 4. Функция f S ¡^(дП) лежит, в классе Бесова Bpq(d£l), 1 < p,q < оо, s > 0, в том и только том случае, если

^-(¡(^Ут)1"«-

при 1 < q < оо, а при q = оо

wm(/,i)p < ct~s

для некоторой положительной постоянной с.

В четвёртой главе строится проектор Vk, дающий почти наилучшее приближение на множестве К С Oil в пространстве многочленов, степень которых по каждой координате не превосходит фиксированного числа т. Точнее, для функции / G 17(д{1), 1 < р < оо,

\\1--Рк\\^к)<сЕт(/,К)р

для некоторой постоянной с > 0, не зависящей от функции / и множества К.

Эта конструкция позволяет строить кусочно-полиномиальное приближение функции на всей границе области.

В пятой главе приводятся две конструкции псевдоаналитического продолжения — с помощью локальных и с помощью глобальных приближений. Точнее, доказываются следующие теоремы.

Теорема 5. Пусть f € Я1(П), т - целое число и z g Cd \ П. Положим

E(f,z)=Em(f,J(z))u где, если обозначить ближайшую к точке z точку границы через z*,

J(z) = {£едП: е QP(Z),io(z*)}. (4)

Пусть при некотором q > 1

E(f,z)p(z)-2deL^(Cd\n).

Тогда / € Ьч(д£1) и существует псевдоаналитическое продолжение функции /, такое что

для некоторой положительной постоянной с.

Доказательство этой теоремы основывается на операторе, дающем почти наилучшее локальное приближение на множествах, определённых в тождестве (4). С некоторыми поправками значение продолжения Г функции / в точке гбС^!) полагается равным значению ^:>J^z)f(z*).

Теорема 6. Пусть функция / € приближается в ^(дП) последова-

тельностью многочленов Р^г), РгС-г),... степени 1,2,..., соответственно. Положим

Пусть А € Ь"(С*\П) при некотором р > 1. Тогда / 6 ^{дИ) и существует продолжение Г функции /, такое что

для некоторой положительной постоянной с.

Как видно, это универсальные теоремы, позволяющие изучать не только пространства Бесова, но и другие пространства, связанные с гладкостью функции.

В шестой главе первая конструкция используется для описания класса Бесова в терминах продолжения функции вне области. Пусть Г - псевдо-апалитическое продолжение функции /, и пусть 1 < р < оо. Рассмотрим следующую характеристику функции Г :

где daT - мера Лебега на поверхности di\ = {z € Cd: p(z) = г} .

Эта характеристика оказывается напрямую связанной с модулем гладкости функции /. Проверка этого утверждения приводит нас к следующей теореме.

Теорема 7. Пусть область fi строго выпукла, 1 < p,q < оо, s > 0 и f € Н1(П). Тогда f G в том и только том случае, когда существует

псевдоаналитическое продолжение f функции /, такое что

\df(z)\<cE(f,z)p(z)

-2 d

А(z) = p(z)-1 |P2n+.(z) - P2n(z)|, 2-" < p(z) < 2~n+1.

\di{z)\<c\{z), z€Cd\il,

Sp(f,r) = \\di(z)\\LHasir^r), r >0,

l

(5)

о

при q < оо, а при q = оо

В седьмой главе эта характеристика позволяет описать класс А3рч с помощью условия в духе теоремы А, причём требование гладкости области позволяет, в отличие от результата Е.М. Дынькина, использовать наилучшие приближения без веса и получить оценку для всех параметров 1 < р, д < оо, в > 0. Точнее / е в том и только том случае, когда

для некоторой постоянной с > 0, где Еп(/)р — наилучшее приближение функции / в пространстве 1?{д££) многочленами степени п по каждой переменной.

Вторая часть посвящена изучению регулярности оператора Кд в строго линейно выпуклых областях.

Восьмая глава посвящена проверке ограниченности оператора К а в пространстве Ьр(дП). Задачу удаётся решить в рамках теории сингулярных интегралов и Т1-теоремы, адаптированных для нашего контекста в пункте 8.1. Оказывается, что оператор Ка является оператором Кальдерона-Зигмунда и, следовательно, ограничен в Ьр(д£1). Рассмотрим следующее определение класса ВМО(дП).

Определение 8. Функция Ь € ^(дП) лежит в классе ВМО(еЮ), если следующее выражение конечно:

ВеЫ

где Ьвс(г0) = |д (2о)| / Ь(г)с13(г) - среднее значение функции Ь на шаре вс(ь)

Вс(г0) = {гедП:\г-г0\<£}.

Оказывается, что при таком определении оператор Кд ограничен также в пространстве ВМО(сШ).

Характеристизация пространств Бесова через псевдоаналитическое

продолжение, изложенная в оценках (5)-(6), оказывается верной и для пространств -О^(сЮ) при 0 < в < 1, что позволяет в девятой главе проверить ограниченность оператора Кл в пространствах Бесова В^(дО) (в случае строго выпуклой области), когда 1 < р < оо, 0 < в < 1, 1 < <7 < оо.

Третья часть, изложенная в десятой главе, также посвящена регулярности оператора Коши-Лере-Фантаппье, но в пространствах Лебега ¿»«(дП) с переменным показателем.

при 1 < <7 < оо, а при д = оо

Еп(1)р < сп

—9

Определение 9. Пусть Г2 - ограниченная область в 6, € 14, с СЯ-гладкой границей. Рассмотрим измеримую по поверхностной мере а на дП функцию р со значениями в луче [1, оо]. Эта функция определяет обобщённое пространство Лебега следующим образом:

Ь^\дП) = {/ g Ь\дП) : í \\f(z)\"^da<oo 1 Jan

для некоторого значения А > о|,

которое вместе с нормой Люксембурга

рМ

ПЛ1£»<->(зп) является банаховым пространством

inf /а > 0 : Г Ш ^ Jan I л

da(z) < 1

В случае, когда показатель логарифмически гёльдеров, т.е. для некоторой положительной постоянной с удовлетворяет условию

\p{z) - р(и>)| < -—^-г, z,we díl, (7)

| log ¡z —

многие результаты, связанные с классическими пространствами Лебега, переносятся на эти обобщённые пространства. В частности, операторы Каль-дерона-Зигмунда оказываются ограниченными в пространствах V^(dQ) при условии (7). Следовательно, этим свойством обладает и оператор K¿. Естественной задачей, возникающей при этом, является возможность ослабить условие логарифмической гёльдеровости. Оказывается, что если показатель р(-) в некоторой точке нарушает условие (7), то оператор K,¡ может оказаться не ограниченным в пространстве Идейно конструкция этой главы

восходит к примеру, описанному в [10] и решающему аналогичную задачу для максимального оператора Харди-Литтлвуда.

В заключении перечисляются основные результаты диссертации с учётом случая одной комплексной переменной.

список литературы

[1] Л. А. Айзенберг, А. П. Южаков, Интегральные представления и вычеты в комплексном анализе // Наука, Москва, (1979).

[2] Е. М. Дынькин, Конструктивная характеристика классов С. Л. Соболева и О. В. Бесова // Спектральная теория функций и операторов II, Тр. МИАН СССР, т. 155 (1981), 41-76.

[3] G. David, J. L. Journe, S. Semmes, Opémteurs de Calderón-Zygmund, fonctions para-accrétives et interpolation // Rev. Mat. Iberoamericana, vol. 1, № 4, (1985), 1-56.

íi

[4] L. Diening, P. Harjulehto, P. Hästö, M. Ruzicka, Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponents // Lecture Notes in Math., vol. 2017, Springer-Verlag, Heidelberg (2011).

[5] T. Hansson, On Hardy spaces in complex ellipsoids j/ Ann. Inst. Fourier, vol. 49, № 5 (1999), 1477-1501.

[6] N. Kerzman, E. M. Stein, The Szegö kernel in terms of Cauchy-Fantappie kernels // Duke Math. J., vol. 45, № 2 (1978), 197-224.

[7] M. Machedon, Szegö kernels on pseudoconvex domains with one degenerate eigenvalue // Ann. Math., vol. 128, № 3 (1988), 619-640.

[8] J. D. McNeal, E.M. Stein, The Szegö projection on convex domains // Mathematische Zeitschrift, vol. 224, № 4 (1997), 519-553.

[9] A. Nagel, J. P. Rosay, E. M. Stein, S. Wainger, Estimates for the Bergman and Szego kernels in C2 // Ann. Math., vol. 129 (1989), 113-149.

[10] L. Pick, M. Ruzicka, An example of a space on wich the Hardy-Littlewood Maximal operator is not bounded // Expositiones Mathematicae, vol. 19, № 4 (2001), 369-371.

[11] N. A. Shirokov, Jackson-Bernstein theorem in strictly pseudoconvex domains in C" // Constr. Approx., vol. 5, № 1 (1989), 455-461.

Работы автора по теме диссертации, опубликованные в журналах, рекомендованных ВАК:

[R1] А. С. Роткевич, Формула Айзенберга в невыпуклых областях и некоторые её приложения // Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 389 (2011), 206-231.

[R2] А. С. Роткевич, Интеграл Коши-Лере-Фантаппъе в линейно выпуклых областях // Зап. научн. семин. ПОМИ, т. 401 (2012), 172-188.

[R3] А. С. Роткевич, Конструктивное описание классов Бесова в выпуклых областях Cd // Зап. паучн. семин. ПОМИ, т. 416 (2013), 136-174.

Подписано в печать 29.08.2013 Формат 60x90/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,0 Тираж 100 экз. Заказ 402

Отпечатано в типографии «Адмирал» 199178, Санкт-Петербург, В.О., 7-я линия, д. 84 А

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Санкт-Петербургский государственный университет

04201362146 На правах РУК0ПИСИ

Роткевич Александр Сергеевич

Формула Айзенберга в псевдовыпуклых областях

01.01.01 — Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор Н. А. Широков

Санкт-Петербург — 2013

Содержание

Введение 4

I

1 Основные определения 10

1.1 Основные обозначения............................................10

1.2 Класс рассматриваемых областей ..............................11

1.3 Пространства Харди и Бесова ..................................12

1.4 Неравенство Харди................................................15

2 Формула Коши-Лере-Фантаппье и оценки её ядра 16

2.1 Теорема Лере. Формула Айзенберга..............................16

2.2 Точечные оценки ядра............................................18

I

2.3 Интегральные оценки ядра......................................22

2.4 Приближение ядра Коши-Лере-Фантаппье....................26

3 Локальные приближения и пространства В^(}(дО,) 28

4 Построение почти наилучшего локального приближения 34

5 Два способа псевдоаналитического продолжения 38

5.1 Продолжение с помощью локальных приближений ..........38

5.2 Продолжение с помощью глобальных приближений..........41

I

6 Псевдоаналитическое продолжение функций из классов Бесова 43

7 Конструктивная характеристика классов Бесова 48

8 Ограниченность оператора Коши-Лере-Фантаппье в про-

А,

странстве 54

8.1 Сингулярные интегральные операторы и Т1-теорема .... 55

8.2 Доказательство ограниченности оператора Коши-Лере-Фан-таппье в Ьр{дП) ..................................................57

8.3 Ограниченность оператора Коши-Лере-Фантаппье в пространстве ВМО(<9Г2) ....................................................61

9 Ограниченность оператора Коши-Лере-Фантаппье в пространствах Бесова 65

10 Действие оператора Коши-Лере-Фантаппье в пространствах^)^) 67

10.1 Ограниченность оператора Коши и оператора Коши-Лере-Фантаппье в пространствах 1^^(60.) в случае логарифмически гёльдерового показателя.................. 68

10.2 Пример, когда оператор Коши не ограничен в пространстве !/')(Т) .............................. 70

10.3 Пример, когда оператор Коши-Лере-Фантаппье не ограничен в пространстве ¿/^(¿Шг).................. 72

Заключение. Основные результаты 78

Список литературы 80

Введение

Диссертация посвящена изучению свойств и применений интегрального оператора, порождённого интегральным представлением Айзенберга аналитических функций в линейно выпуклых областях.

В анализе функций одной комплексной переменной одним из основных инструментов и предметов изучения является формула Коши. Существенное отличие многомерного случая с этой точки зрения состоит в отсутствии подобной универсальной формулы, восстанавливающей голоморфную функцию по её граничным значениям. Как один из универсальных подходов к этому вопросу можно рассматривать проектор Сегё 5, определяемый как ортогональный проектор пространства Ь2(дО,) на замкнутое подпространство Я2(Г2), порождённое граничными значениями голоморфных функций. Недостаток такого подхода заключается в том, что, за исключением небольшого числа специальных областей, оператор Б выписать в явном виде не удаётся, и получение оценок для этого оператора, как и его применение к конкретным задачам, затруднительно.

Зачастую удобнее рассматривать операторы, порождённые формулами вытекающими из теоремы Лере. Преимущество этих операторов состоит в относительно явной формуле для ядра, часто легко выписываемого по функции задающей область. В 1979 году Л.А. Айзенберг применил теорему Лере к линейно выпуклым областям, получив при этом явную формулу. Точнее, для любой функции /, голоморфной в линейно выпуклой области О = {г € С^ : р(г) < 0} с С2- гладкой границей выполнено соотношение

где сор - дифференциальная форма, выписываемая явно по функции р (по-

(0.1)

дробнее см. в главе 2 или в [1], [8], [11], [30], [31]).

В англоязычной литературе эту формулу часто называют формулой Ко-ши-Лере-Фантаппье (см. [16], [22], [23]), но используют несколько другое выражение для формы В зависимости от контекста будут использоваться оба термина.

Несмотря на простой вид оператора Kd, его свойства до сих пор мало изучены. При этом оказывается, что представление (0.1) можно удачно применить к обобщению одномерных результатов, касающихся аппроксимации голоморфных функций, на многомерный случай.

Первая часть работы посвящена обобщению результата Е.М. Дынькина, полученного в работе [5], в которой, в частности, дана конструктивная характеристика пространств Бесова в областях Радона на комплексной плоскости через глобальные полиномиальные приближения.

Изучение характеристик функциональных пространств на языке аппро-ксимационных процедур — классическая задача, проистекающая из замечания, сделанного Джексоном в 1911 году, о том, что гладкость функции можно характеризовать с помощью её приближений в различных пространствах. Одним из первых результатов в этой области является результат Джексона-Бернштейна, описывающий периодический класс Гёльдера As[—7Г, 7г] при 0 < s < 1 как класс функций, наилучшие приближения которых тригонометрическими многочленами степени п убывают с ростом п как n~s. Касаясь результатов, известных в многомерном случае, отметим, что аналогичная характеристика была получена H.A. Широковым в работе [33] для аналитических классов Гёльдера в строго псевдовыпуклых областях (см. также [9], [10]). Интересно, что предложенный нами результат оказывается схожим со следующей классической теоремой для периодиче-

ских классов Бесова Щя[~тг,7г].

Теорема А. Функция / на [—7г, 7г] принадлежит классу Бесова В3рч[—тг, 7г], 5>0, 1 < р, <? < оо, тогда и только тогда, когда

1/9

< оо (0.2)

при 1 < д < оо, а при д = оо

Вп(Пр<гГ8, п = 1,...,оо, (0.3)

/ 7Г \ 1/Р

где Еп(/)р = т£ I </ !/(#) — Тп(а;)(рб?аг ] — наилучшее приближение функ-тп \_п )

ции / в пространстве 7г,7г] тригонометрическими многочленами степени п.

Метод изучения классов Бесова основан на обобщении понятия псевдоаналитического продолжения, то есть продолжения функции /, заданной в некоторой ограниченной области С С°\ до такой функции Г, определённой во всём пространстве О*, что невязка уравнений Коши-Римана

д{ д{

+ • . +

убывает контролируемым образом при приближении к границе области Скорость этого убывания однозначно характеризует гладкость исходной функции и, например, так же, как и в одномерном случае, / € 1 <

р < оо тогда и только тогда, когда возможно её продолжение с оценкой

J < оо. (0.4)

Основная идея состоит в том, что к оценкам вида (0.4) приводят совершенно различные конструкции псевдоаналитического продолжения. В

ОО 1

настоящей работе приводятся две конструкции продолжения, одна строится по локальным полиномиальным приближениям, другая по глобальным. Таким образом удаётся связать модуль гладкости функции с её глобальными приближениями многочленами, что приводит утверждению в духе теоремы А.

Работа разбита на 10 глав. В главе 1 приводятся основные обозначения, предварительные определения и свойства классов изучаемых функций. Глава 2 посвящена изучению свойств формулы Коши-Лере-Фантаппье, являющейся аналогом формулы Коши. Большая часть оценок, приведённых в этой главе, верна для строго линейно выпуклых областей, однако некоторые пункты выполнены только при условии строгой выпуклости. Как уже сказано выше, гладкость функций мы будем изучать с помощью локальных приближений, поэтому главе 3 устанавливается связь классического определения пространств Бесова, основанного на понятии модуля гладкости, определяемого посредством оператора разности, с полиномиальным модулем гладкости, определяемым с помощью локальных приближений многочленами. Заметим, что результаты этой главы верны для произвольной гладкой области в К/. Особенность аналитических пространств заключается в том, что наилучшее приближение можно искать только среди аналитических многочленов, и в главе 4 строится оператор, дающий локальное наилучшее приближение в пространстве многочленов с ограниченной степенью. В главе 5 приводятся две конструкции псевдоаналитического продолжения — с помощью локальных и глобальных полиномиальных приближений. В главе 6 первая конструкция используется для описания классов Бесова в терминах псевдоаналитического продолжения. А именно, доказывается, что при 1 < р, д < оо (и, естественном обобщении условия

А

на случаи, когда р = оо или д = со) аналитические классы Бесова А* ($1) в выпуклой области = [г 6 О*: р{г) < 0} описываются как классы функций, допускающих продолжение с оценкой

Кг \ф

/ / |дф)|*йаг(г) г-^-^-Чг < оо, (0.5)

о \эпг /

где дПг = {г Е : р(г) = г].

В главе 7 изучается конструктивная характеристика аналитических классов Бесова, в частности доказано, что пространство АрЯ(£1) характеризуется следующим условием при 1 < р, д < оо

ОО 1

]Г - (п"Еп(/)р)я < оо, (0.6)

д= 1 71

( \1/р где Еп(/)р = ( / — Тп(г)\р(1а{г) I — наилучшее приближение /

в Ьр{дО) многочленами степени п по каждой переменной.

Вторая часть посвящена изучению регулярности оператора К^ в строго линейно выпуклых областях. Интересно, что здесь даже вопрос об ограниченности оператора в 1?{дЧь1) оказывается нерешённым при том, что аналогичным задачам посвящено немало статей. Так для строго псевдовыпуклых областей (но, естественно, при другой реализации ядра) ограниченность оператора Кл в пространстве Ь2(дО) доказана в работе [18]. Оценки на ядро Сегё и ограниченность оператора в изучались в [27] для выпуклых областей конечного типа, в [28] для псевдовыпуклых областей конечного типа в С2, в [25] для псевдовыпуклых областей с одним вырожденным собственным числом. Также стоит отметить статьи [22], [23], [26], изучающие проектор Бергмана, и работу [20], как одну из первых статей, затрагивающих вопрос регулярности оператора КЗадачу удаётся решить

в рамках теории сингулярных интегралов и Т1-теоремы, адаптированных для нашего контекста в пункте 8.1. Оказывается, что оператор Ка является оператором Кальдерона-Зигмунда и, следовательно, ограничен в Ьр(дО,), кроме того, оказывается, что он ограничен также в пространстве ВМО(<9Г2) с несколько исправленной нормой.

Характеристика пространств Бесова АрЯ(0,) через псевдоаналитическое продолжение оказывается верной и для пространств ВрЯ(д£1) при 0 < в < 1, что позволяет проверить ограниченность оператора К в пространствах Бесова, когда 1 < р < оо.

Третья часть, изложенная в главе 10, также посвящена регулярности оператора Коши-Лсре-Фантаппье, но в пространствах Лебега Ьр^(дП) с переменным показателем. В случае, когда показатель логарифмически гёль-деров, многие результаты, связанные с классическими пространствами Лебега, переносятся на эти обобщённые пространства. В частности, операторы Кальдерона-Зигмунда оказываются ограниченными в пространствах Следовательно, этим свойством обладает и оператор Ка- Естественной задачей, возникающей при рассмотрении этих результатов, является вопрос о возможности ослабить условие логарифмической гёльдеровости. Оказывается, что если показатель р(-) в некоторой точке нарушает условие логарифмической гёльдеровости, то оператор К<1 может оказаться не ограниченным в пространстве

В заключении перечисляются основные результаты диссертации с учётом случая одной комплексной переменной.

Автор выражает признательность своему научному руководителю Николаю Алексеевичу Широкову за постановку интересных задач, советы и внимание к моей работе.

1 Основные определения

1.1 Основные обозначения

Пусть С^ - пространство с1 комплексных переменных, с1> 2

д/

Ё1 - Р - I (К

' дЩ 2 \дх3

й

В пространстве С^ введём внутреннее произведение (-г, т) = ^ -г^г^,

Ь=1

соответственно |г| = уЧ2, г). Аналогично будем обозначать действие дифференциальных форм д/ и д/ на вектор ш е С^ :

Учитывая это, мы также будем часто отождествлять форму <9/ с соответствующим в( Щ-) • Отметим, что если функция р веще-

Обозначим расстояние от точки 2 € С^ до множества И С С^ через

с^ф, -О) = т£{|2 - : ги е £>}•

Для краткой записи неравенств введём символы <, х, и будем говорить, что / < д, если / < сд для некоторой постоянной с > 0, не зависящей от основных аргументов положительных величин / и д. Так же / х <7, если с"1 д < / < сд для некоторой постоянной с > 1.

(<9/, го) =

ственнозначна,

1.2 Класс рассматриваемых областей

Пусть О = {г е С'7 : р(г) < 0} - область с гладкой границей, причём невырожденная, то есть др т^ 0 на Мы будем рассматривать строго линейно выпуклые и строго выпуклые области (см. определения 1.1 ниже), кроме того из гладкости р мы можем считать, что р(г) > 0 вне области и соответствующие свойства выпуклости и невырожденности выполнены равномерно для областей £1Г = {г € Сй : р(г) < г} при — 2 < г < 2.

Пусть £ € дО,г, тогда касательная гиперплоскость к д£1г в точке £ записывается следующим образом

Т1={ге&:Ъе{др(£), £ - г) = 0} .

Это (2(1— 1)-мериое вещественное аффинное подпространство С'1 содержит единственное комплексное аффинное подпространство размерности сЛ — 1, которое называют комплексной касательной гиперплоскостью, и в наших обозначениях

2> = {* е С1 : (др(0, £-*>=0}.

Обозначим проекцию точки г £ О* на касательную гиперплоскость через рг^(г) € а проекцию на комплексную касательную гиперплоскость обозначим через Е

Второй дифференциал функции р обозначим через сРр. Поскольку функция р вещественнозначна, то действие с12р(г) на вектор V £ С* записывается в следующем виде

2ае £ (Ш^ + ЩЦ , „ е С.

Определение 1.1. Область О строго выпукла, если второй дифференциал порождает на касательной гиперплоскости строго положительно определённую форму, т.е.

сРр{г)[г - го] > ф - ги\2, г е дП, т е ГгЕ.

Область П строго линейно выпукла, если второй дифференциал порождает на комплексной касательной гиперплоскости строго положительно определённую форму, т.е.

(Рр{г)[г - ад] > ф - уо\2, х б ги е Тг,

и комплексно касательная гиперплоскость не пересекает границу области, то есть (др(£), С ~ г) ф 0, г € дП.

Большая часть результатов, излагаемых далее, выполнена для строго линейно выпуклых областей, однако ключевые оценки, используемые для характеристики пространств Бесова, оказываются неверными и требуют строгой выпуклости области Г2 (например, лемма 2.3, пункт 5 леммы 2.4 и т.п.). По умолчанию область будем считать строго линейно выпуклой, выделяя моменты, где используется строгая выпуклость области.

1.3 Пространства Харди и Бесова

Основным объектом дальнейшего изучения являются классы Бесова и их аналитические аналоги в выпуклых областях. Для определения этих пространств необходимо ввести понятие интегрального модуля гладкости и связанные с ним операторы взятия разности. Отметим, что данное в этом параграфе определение оказывается неудобным в применении к изучению

полиномиальных приближений, и в главе 3 мы даём эквивалентное опре-

деление класса Бесова на языке наилучших локальных полиномиальных приближений.

Итак, пространства Ьр(дО,г) = 1/(0^, с1аг), 1 < р < оо, вводятся относительно меры Лебега с1аг на поверхности дО,г. Пространство аналитических в области О, функций обозначим через #(!Г2), а пространство Харди (см. [15], [34]) определим следующим образом

Напомним, что функция / € Нр($2) почти всюду имеет некасательные граничные значения. Продолжив функцию на границу, получаем

11/Ня*(П) - У/Цьр^п)-

Пусть / е ^(В!), 1<р<оо, I' Е N и I > 0. Определим оператор взятия к—й разности по координате е^ = (0,..., 1,..., 0)

А],</(*•) = Пх + Щ) - /(*•), АУ(х) = А),(Ак^/)(х). (1.1)

Н*(П) = (/ е Я(П) : ||/||№(п) = вир \\Л\ЬРтг) < ОО 1

г<0 )

Пусть теперь а = (а^, ..., а{) — мультииндекс и Л € Ег. Положим

(1.2)

Соответственно определим интегральный а—модуль гладкости

(1.3)

при 1 < р < оо, а при р = оо

о/*(/, Л)р = идг/ь^«) = е88 8ир |Д£/(я;)|.

хеЕг

(1.4)

В дальнейшем чаще всего а = (т,..., т) и Н = (£,..., ;£), в этом случае будем использовать более краткое обозначение о/т(/, ¿)р = (¿,..., ¿))г

Определение 1.2. Пусть 0<s<ooh1<]?, д< оо, тогда класс Бесова В® (К') состоит из всех таких функций, что при 1 < д < оо

оо \ V?

Си(/)= /(

Н* ) И

,0

а при д = оо

Л>0

Сроо(/)=8иР^^<00, (1.6)

где а — произвольный мультииндекс, удовлетворяющий условию а^ > б. Определение не зависит от мультииндекса а и норма ||/||д* (к/) = ||/||/>(к/)+ сР9(/) вводит на структуру банахова пространства. Пространство

Врр(ш}) будем сокращённо обозначать, как #р(Ег).

Перенесём теперь определение класса Бесова на границу области Для

этого рассмотрим открытый атлас и связанное с ним разбиение единицы. N

Пусть дО, = У К] и заданы гладкие диффеоморфизмы ф^ : К] —)■ <5ь где 2=1

N

1 = [0,1]2ег-1, кроме того задано гладкое разбиение единицы ^ Xj{z) = 1, 2 £ сЮ, причём вирр С К}. Диффеоморфизм, обратный к 'фj обозначим через = ф~1.

Определение 1.3. Пусть 0<5<оои1<р, д < оо, тогда множество

В8М№) = {/ € ЩдП) : Ш) ° ^ € ^(Е2*-1)}

N

вместе с нормой ||/||^ (оп) — X) \\iXjf) в* (н2^-1) является банаховым

рч ря

пространством.

Отметим, что разные атласы и разбиения единицы порождают разные, но попарно эквивалентные нормы. Подробнее о пространствами Бесова и связанных с ними понятиями и методами можно ознакомиться в монографии [35].

Основным объектом нашего изучения бу