О задаче Коши для когомологий Дольбо

Шестаков, Иван Вениаминович

О задаче Коши для когомологий Дольбо тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Шестаков, Иван Вениаминович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Красноярск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «О задаче Коши для когомологий Дольбо»

Автореферат диссертации на тему "О задаче Коши для когомологий Дольбо"

л ! '

УДК 517.55 На правах рукописи

2 7 ЬВГ 2009

Шестаков Иван Вениаминович

О ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ КОГОМОЛОГИЙ ДОЛЬБО

01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск - 2009

003475805

Работа выполнена в Сибирском федеральном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

Шлапунов Александр Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Институт математики им. С. Л. Соболева

СО РАН, г. Новосибирск

Защита диссертации состоится 10 сентября 2009 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 при Сибирском федеральном университете по адресу: 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета.

Автореферат разослан 4 августа 2009 г.

старший научный сотрудник Киселев Олег Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор Кытманов Александр Мечиславович

Ученый секретарь диссертационного совета

Н. А. Бушуева

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Комплекс Дольбо являлся предметом изучения математиков на протяжении двадцатого века и продолжает по сей день притягивать внимание исследователей. Задача о разрешимости <9-уравне-ния часто воспринималась как «основная задача комплексного анализа»1.

Ее изучали такие известные ученые, как Дольбо, Грауэрт, Морри, Кон, Хермандер, Либ, Андреотти, Хилл, Хенкин.

Как и общая задача аналитического продолжения, многие задачи, связанные с комплексом Дольбо, оказались некорректными2, в том числе задача Коши. Развитие специальных методов, позволяющих работать с некорректными задачами Коши, стимулировалось запросами жизни. Такие задачи вставали в гидродинамике, в теории передачи сигнала, в томографии, в геологоразведке3. А. Н. Тихоновым, M. М. Лаврентьевым и др. была разработана концепция условно-корректных задач.

Типичным примером некорректной задачи является задача аналитического продолжения голоморфной функции с куска границы области в С" во всю область, которую можно толковать как однородную задачу Коши на первом шаге комплекса Дольбо. Исследования этой задачи протекали в двух основных руслах: поиск разумных условий разрешимости и вывод формул для решений. Первые результаты в направлении построения решений в середине прошлого века были получены Карлеманом4, дальнейшие продвижения сделаны Голузиным и Крыловым5, Лаврентьевым6. Моногра-

'Хепкип Г. М. Метод интегральных представлений в комплексном анализе, Итоги иауки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, М.:ВИНИТИ, Т. 7., 1985, С. 23124.

2Hadamard J. Le problème de Cauchy et les equations aux derivées partielles linéaires hyperboliques. Paris, Gauthier - Villars, 1932.

3 Лаврентьев M. M., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

4Carleman T. Les Fonctions Quasianalytiques, Paris, Gauthier-Villars, 1926.

5Голузин Г. M., Крылов В. И. Обобщенная формула Carleman'a и ее приложение к аналитическому продолжению функций// Матем. Сб. 1933. Т. 40, № 2. С. 144-149.

Лаврентьев M. М. О задаче Коши для уравнения Лапласа// Известия АН СССР. Сер. Мат. 1956. Т. 20. С. 819-842.

фия Айзенберга7 представляет собой достаточно полный на начало девяностых годов обзор по формулам Карлемана.

За последние годы опубликован ряд работ, обобщающих идеи Айзенберга и Кытманова8, реализованные ими для голоморфных функций (об этом, а также о других подходах к решению некорректной задачи Коши см. фундаментальный труд Тарханова об однородной задаче Коши для эллиптических уравнений9). Именно, результаты об условиях разрешимости неоднородной задачи Коши в терминах продолжимости некоторых потенциалов из меньшей области в большую получены для операторов с инъективным символом. Также движение шло в направлении расширения функциональных пространств: исследования этой задачи проводились в пространствах Соболева положительной гладкости, в пространстве Лебега и в пространствах Соболева отрицательной гладкости, что позволило существенно расширить класс правых частей и данных Коши ([2], [3], [4], [5]).

7Айзепберг Л. А. Формулы Карлемана в комплексном анализе. Первые приложения. Новосибирск: Наука, 1990.

8Айзенберг Л. А., Кытмапов А. М. О возмооюности голоморфного продолжения в область функций, заданных на куске ее границы// Матем. Сб. 1991. Т. 182, № 4. С. 490-507.

eTarkhanov N. N. The Cauchy Problem ¡or Solutions of Elliptic Equations. Berlin, Akademie Verlag, 1995.

I0Andrcotti A., Hill C. D. E. E. Levi convexity and the Hans Lewy problem. Part 1: Reduction to vanishing

и единственности сводились к тривиальности некоторых специальных ко-гомологий комплекса Дольбо. Также был разработан абстрактный метод построения формул Карлемана для решения задачи Коши для когомологий Дольбо11. Появление свежей работы, один из соавторов которой, Хилл12, является экспертом в этой области, свидетельствует о неугасающем интересе к такого рода задачам.

Цель работы. Целыо настоящей диссертации является изучение условий разрешимости задачи Коши для когомологий комплекса Дольбо в областях определенного вида в пространствах распределений и построение формул Карлемана для ее решения. Под задачей Коши в широком смысле понимается задача восстановления функции и в области по значениям ди в области и ее значениям на кусочке границы области.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

— найдены условия разрешимости системы Коши-Римана в шаровом слое в С" в терминах гармонического пространства;

— охарактеризованы первые £2-когомологии комплекса Дольбо в шаровом слое: при п = 2 в них построен ортогональный бесконечный базис, при п > 2 установлена их тривиальность;

— построена формула Карлемана для решения задачи Коши для когомологий Дольбо в областях, у которых дополнение к куску границы с данными Коши линейно вогнуто;

— доказана теорема единственности для задачи Коши для когомологий Дольбо в специальных областях;

— подобраны подходящие пространства Соболева отрицательной гладкости для постановки неоднородной задачи Коши для системы Коши-Римана и сформулированы условия разрешимости этой задачи;

theorems// Ann. Scuola Norm. Super. Pisa. 1972. V. 26, № 3. P. 325-363.

nNacinovich M., Schulze B.-W., Tarkhanov N. On Carleman formulas for the Dolbeault cohomology// Ann. Univ. Ferrara, Sez.VII, Sc. Mat. 1999. Suppl. Vol. XLV. P. 253-262.

12Brinkschulte J., Hill C. D. On the Cauchy problem for the д operator// Ark. Mat. 2008.

— выведена формула Карлемана для восстановления функции и, принадлежащей одному из отрицательных пространств Соболева в области, по значениям ди в области и по ее значениям на части границы области.

Точные формулировки основных результатов работы приведены ниже.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит, в основном, теоретический характер, однако просматривается и ее практическое применение. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании нелинейных задач Коши, линеаризация которых как раз приводит к неоднородной линейной задаче. Поскольку комплекс Дольбо является одним из модельных примеров эллиптического комплекса, то некоторые заключения могут быть перенесены на более общие комплексы. Кроме того, задача Коши для системы Коши-Римана естественно возникает на практике: в гидродинамике, в теории передачи сигнала и т.д. Принципиальным моментом является то, что выведены не только условия разрешимости, но и формулы для решения в виде ряда. Это позволяет строить удовлетворительные приближенные решения путем суммирования конечного числа членов ряда. Таким образом, представленные достижения могут быть полезными при решении конкретных физических задач. Более того, материал диссертации может служить основой для спецкурсов, предназначенных для специализирующихся в области анализа студентов и аспирантов.

Методы исследования достаточно разнообразны. При работе с областями типа шарового слоя основным приемом является разложение элементов подходящего пространства в ряд по однородным гармоническим функциям, образующим базис на сфере. При этом важна специфичность области, гарантирующая наличие упомянутого базиса. Лежащим в основе построения формул Карлемана в главе 2 можно назвать метод Мергеляна и Лаврентьева, состоящий в приближении ядра интегрального представления на части границы, если необходимо восстановить функцию в области

по ее значениям на дополнении этого множества границы. В основе глат вы 3 лежат идеи и методы, разработанные Айзенбергом и Кытмановым8 для задачи аналитического продолжения голоморфной функции в область с кусочка ее границы. При работе на произвольных шагах комплекса Доль-бо неоценимой оказалась формула Коппельмана, которая в частном случае также превращается в формулу Мартинелли-Бохнера. Таким образом, в данном исследовании на сцену выходит метод интегральных представлений. Более того, привлечен мощный аппарат функционального анализа, в частности, теория гильбертовых пространств, а также техника базисов со свойством двойной ортогональности для построения формул для решения.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на студенческой конференции (Красноярск, апрель 2005), на конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, апрель 2006), на Международной конференции «Анализ и геометрия на комплексных многообразиях» (Красноярск, август 2007), на Международной конференции «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященной 75-летию академика М. М. Лаврентьева (Новосибирск, август 2007), на Международной конференции «Анализ, уравнения в частных производных и приложения», посвященной семидесятилетию В. Г. Мазьи (Рим, Италия, июль 2008), на Международной конференции «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», посвященной 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева (Новосибирск, октябрь 2008), на семинаре профессора Н. Тарханова «Нелинейный анализ» (Потсдам, Германия, 2008-2009), на городском семинаре по многомерному комплексному анализу под руководством А. М. Кытманова и А. К. Циха (Красноярск, 2005-2009).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти статьях и в пяти тезисах международных конференций. Их список приведен в конце автореферата. Работы [1], [4], [5] входят в перечень ведущих научных изданий, определенный Высшей аттестационной комиссией, а ста-

тья [4] написана без соавторов. Все совместные работы написаны в нераздельном соавторстве; вклад соавторов в них равноценен.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, разделенных на параграфы, и заключения. Она снабжена оглавлением и списком литературы из 60 наименований. Общий объем диссертации составляет 99 страниц.

Содержание диссертации

Во введении дается краткое изложение содержания диссертации, формулируются ее основные результаты, а также определяется и оценивается их место среди уже известных фактов.

В главе 1 исследуется разрешимость (^-уравнения на первом шаге комплекса Дольбо в шаровом слое, причем правая часть берется из пространства Лебега L2. Как уже отмечено, в двадцатом столетии основная деятельность вокруг этого уравнения была направлена на выделение условий, при которых когомологии Дольбо тривиальны (или, по крайней мере, конечномерны).

Один из способов исследования d-уравнения принадлежит специалистам по дифференциальным уравнениям Морри13, Кону14'15, Хермандеру16. Путем получения априорных £2-оценок они доказали существование решения Э-уравнения, ортогонального подпространству 0-замкнутых форм, в классе L2 в произвольной ограниченной псевдовыпуклой области, если правая часть также из L2. Для строго псевдовыпуклых областей имеются явные формулы для решения этих уравнений, позволяющие получить оценки ре-

13Моггсу С. В., Jr. The analytic embedding of abstract reanalytic manifolds// Ann. Math. 1958. V. 68, № 1. P. 159-201.

14Kohn J. J. Harmonics integrals on strongly pseudo-convex manifolds. /// Ann. Math. 1963. V. 78, № 1. P. 112-148.

15Kohn J. J. Harmonics integrals on strongly pseudo-convex manifolds. //// Ann. Math. 1964. V. 79, № 3. P. 450-472.

16Hörmander L. L2-estimates and existence theorems for the ä operator// Acta Math, 1965. V. 113, № 1-2. P. 89-152.

шения в равномерной и некоторых других метриках17,18.

Еще одним подходом к исследованию разрешимости 9-уравнения можно назвать использование вспомогательной З-задачи Неймана-Спенсера. Реализуя эту идею, Кон в семидесятых годах прошлого века получил результаты о разрешимости ö-уравнения в строго псевдовыпуклых областях с гладкой границей и в слабо псевдовыпуклых областях с вещественно аналитической границей в n-мерном комплексном пространстве19'20.

Таким образом, успешное изучение когомологий Дольбо, как правило, достигалось наложением некоторых геометрических требований на выпуклость области. Разрешимость d-уравнения в более общих областях при этом практически не исследовалась, поскольку их рассмотрение открывало дорогу для появления бесконечномерных и даже неотделимых когомологий. Так как шаровой слой не является псевдовыпуклой областью, то результаты первой главы можно интерпретировать как продвижение в данном направлении.

Как известно, комплекс Дольбо субэллиптичен, поэтому не приходится надеяться на разрешимость системы Коши-Римана в пространстве Соболева Hl(D) для всех лебеговских правых частей21. Мы определяем пространство D(d) для решений как пополнение Hl(D) по норме графика (ср. с работой Хермандера22). В качестве убедительных аргументов, объясняющих такой выбор, можно назвать возможность его характеризации и непрерывность оператора д в таких пространствах, что немаловажно при

17Хеикин Г. М. Интегральное представление функций в строго псевдовыпуклых областях и приложения д-задаче// Матсм. Сб. 1970. Т. 82, № 2. С. 300-308.

18Grauert Н., Lieb I. Das Ramirersche Integral und die Lösung der Gleichung df = a im Bereich der beschränkten Formen// Rice Univ. Stad. 1970. V. 56, № 2. P. 29-50.

IS>Folland G. В., Kohn J. J. The Neumann problem for the Cauchy-Riemann complex. Princeton, Princeton University Press, 1972.

20Kohn J. J. Subellipticity of the Ъ-Nmman problem on pseudoconvex domains: sufficient conditions// Acta Math. 1979. V. 142, № 1-2. P. 79-122.

21Kerzman N. Holder and Lp-estimates for solutions of du = /// Comin.Pure and Appl. Math. 1971. V. 24, № 3. P. 301-379.

22ffirmander L. L2-estimates and existence theorems for the!) operator// Acta Math. 1965. V. 113. № 1-2. P. 89-152.

исследовании23. Пусть AP,q - расслоение дифференциальных форм бистепе-ни (р, q), a &(D,Ap'q) - пространство дифференциальных форм бистепени (р, q) с коэффициентами класса 6 в области D с С С™. Итак, основная задача первой главы такова.

Задача 1.2.1. Пусть / £ L2(D, Л0'1). Найти решение уравнения du — f в классе D(d).

Обозначим через д* формально сопряженный к д оператор. Введем гармоническое пространство Hl(D), состоящее из всех дифференциальных форм g 6 L2(D, Л0'1), для которых dig = 0 в D, д*g = 0 в D (в смысле распределений) и комплексная нормальная часть g равна нулю на 3D. Фактически это пространство характеризует ортогональное дополнение образа оператора д, представляя первые когомологии комплекса Дольбо. Сформулируем условие разрешимости задачи 1.2.1, полученное в главе 1. Теорема 1.5.1. Пусть D - шаровой слой в С". Задача 1.2.1 разрешима тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

1) öi/ = 0;

2) ÎLU\D).

Эрмитова структура используемых пространств позволяет применять методы теории гильбертовых пространств, а специфика области дает возможность работать с разложениями в ряды Лорана по однородным гармоническим функциям. Полученный результат на самом деле означает нормальную разрешимость задачи 1.2.1. Отметим, что при доказательстве упомянутой теоремы также построено решение d-уравнения в виде ряда, что может быть использовано для получения приближенного решения в прикладных задачах.

Исходя из теоремы 1.5.1, для овладения исчерпывающей информацией о разрешимости ö-уравнения в шаровом слое остается охарактеризовать гар-

23Eïiedrichs К. The identity of weak and strong extensions of differential operators// TVans. Amer. Math. Soc. 1944. V. 55, № 1. P. 132-151.

ионическое пространство Л1 (О). Пусть ль..., гп - координаты в п-мерном комплексном пространстве Сп. В данной работе получен следующий результат.

Теорема 1.6.1. Пусть В — В л \ Вг - шаровой слой в С2. Тогда гармоническое пространство Л1 (Б) бесконечномерно и дифференциальные формы вида

|г|2|/3|+2' Ри № 6

образуют в нем Ь2-ортогональный базис.

Отметим, что первые когомологии комплекса де Рама в области с выколотым нулем одномерны, их базис образует известная форма Пуанкаре. Можно усмотреть также сходство обсуждаемых комплексов: размерность первых когомологий и пространства решений исходного оператора совпадают для каждого из этих комплексов. Для комплекса де Рама она одномерна, а для комплекса Дольбо - бесконечномерна. Комплекс Дольбо не такой простой, как комплекс де Рама, на нем можно проследить некоторые интересные эффекты, в то же время он не так сложен, как общие системы.

Используемые нами методы также помогают извлечь тривиальность рассматриваемых когомологий при п > 3.

Теорема 1.6.2. Пусть О - шаровой слой в С", п > 3. Тогда гармоническое пространство Н1 (.0) тривиально.

Подобные результаты о тривиальности когомологий Дольбо в областях, полученных удалением из выпуклой области выпуклой подобласти, в пространстве функций, бесконечно гладких вплоть до границы, представлены Ранге24.

24Range R. M. Holomorphic functions and integral representations in several complex variables. New York, Springer-Verlag, 1986.

сти и выбор части границы, на которой заданы данные Коши. Поскольку формулы Карлемана имеют также прикладное значение, то необходимо стремиться к их конструктивности и простоте.

Итак, обсуждается задача восстановления класса когомологий 5-замк-нутой (р, д)-формы в области по определяемому ей классу когомологий на части границы области. Абстрактная схема построения формулы Карлемана для этого случая предложена Начиновичем и др.11 Хотелось получить конкретные примеры таких формул. Далеко не всегда наличие общей теории в том или ином направлении закрывает все вопросы. Часто рассмотрение примеров требует больших усилий и преодоления многих деталей, а теория может лишь подсказать направление дальнейшего пути, затмевая все тонкости.

Основным итогом главы 2 является формула Карлемана, восстанавливающая по модулю точной формы значения 5-замкнутой (р, <?)-формы в области по ее классу когомологий на части границы области, дополнение к которой линейно вогнуто. Приведем полученный результат в несколько частном случае, тем не менее отражающим суть этой формулы. Обозначим через Г открытое связное подмножество границы области В С С Сп с кусочно-гладкой границей.

Теорема 2.4.1. Пусть часть границы £Ш\Г области Б С С Сп является частью сферы {г е С" : \г\ = Д}, причем сама И не заходит внутрь шара {г 6 С" : \г\ < Я}. Тогда для д-замкнутой в О дифференциальной формы и е С1(0,Ар'4) справедлива формула

Нт и Л

(

+ дг

I + + У и А

геБ.

\ ЭО\Г

В этой формулировке

С"?

■Щ = -Г> VI =

К-гГ

Щ{о{) - ядро Коппельмана, Щ(у) - ядро, определяемое над кольцом функ-

ций аналогично ядру Коппельмана11, а 1д (и) = (—£

В фундаментальной книге Айзенберга7 по формулам Карлемана не нашлось настолько простой формулы для рассматриваемого случая.

Кроме того, доказана теорема единственности для когомологий Дольбо, которая может быть сформулирована следующим образом. Теорема 2.3.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.4.1. Если д-замк-нутая в В дифференциальная форма и € С1 (О, Лр'9) является дь-точиой на Г, то она д-тпочна в П.

Из полученной формулы Карлемана можно извлечь интересные сведения. При д ф п — 1 предел в формуле исчезает и изучаемая задача Коши становится устойчивой. Этот факт немного неожиданный. Как правило, если данные Коши заданы на всей границе, то задача нормально разрешима, если же данные заданы лишь на части границы, то приходит неустойчивость. Возникновение устойчивости в нашем случае обусловлено переопределенностью системы Коши-Римана и наложенными геометрическими условиями на область.

Hl(D) обладают следами класса Лебега L2(dD) (и даже более узкого класса H^(dD)) на границе. При использовании более широких пространств трудность возникает уже при определении значений на границе области функций, заданных в области. В этом случае приходится задействовать технику слабых предельных значений и концепцию слабого решения. Поэтому даже выбор подходящих пространств является достижением и надеждой на успешное дальнейшее исследование. Отметим, что привлечение более общих пространств существенно увеличивает класс правых частей и данных Коши рассматриваемой задачи.

Пусть H(D, || • ||_g) обозначает пространство Соболева отрицательной гладкости25, a H^(D,\\ ■ ||_s) - множество всех функций и из пространства Я(Д || • ||_s) таких, что du € Я(Д А0'1, || • ||-s-i)- Доказывается что, функции из H%j(D, || • ||_s) имеют слабые граничные значения на Г С сШ. Мы положим H(D, Аод) = и~1Я(1),Л0'1, || • ||_s). Обозначим объединение \J%iH^{D, || • ||_s) через H-g(D). Введем пространство H~s(Г) как фактор-пространство пространства H~s(dD) по подпространству сечений, исчезающих в окрестности Г. Под п{д) понимается комплексная нормальная часть (0,1)-формы д.

Теперь мы можем сформулировать задачу Коши, которая рассматривается в последней главе.

Задача 3.4.1. По заданным / £ Я(1),Л0'1) и и о G и^Я^Г) найти функцию и £ Hq(D) такую, что

(и, д*ф) = (/, ф) - (щ, п(ф)) для всех ф g C™np(D U Г, Л0'1).

Это есть не что иное, как слабая постановка задачи Коши на основе формулы Грина.

Пусть F = Мщ + Tof, где М есть преобразование Мартинелли-Бох-нера26, Td - объемный потенциал, а щ 6 H~s~l^(dD) - некоторый пред-

25Schechter М. Negative norms and boundary problems// Ann. Math. 1960. V. 72, № 3. P. 581-593.

26Кытманов A. M. Интеграл Мартинелли-Бохнера и его приложения. Новосибирск: Наука, 1992.

ставитель класса эквивалентности, содержащего элемент щ € #~5_1/2(Г). Выберем область Б+ так, чтобы множество П = Б и Г и было ограниченной областью с бесконечно гладкой границей. Основной результат завершающей главы дает условия разрешимости задачи Коши для неоднородной системы Коши-Римана в терминах гармонической продолжимости функции ¿^ из меньшей области Ю+ в большую область В следующей теореме и Г) обозначает пространство бесконечно дифференциру-

емых функций с компактным носителем в В и Г.

Теорема 3.4.2. Задана Коши 3.4.1 разрешима тогда и только тогда, когда выполнено условие согласования

(щ, п(д*!3)) = (/, а*/?) для всех р е с^р и г, л0'2)

и существует гармоническая в Г2 функция Т конечного порядка роста вблизи <9П, совпадающая с Р в £>+.

Используя касательный оператор Коши-Римана дь на границе, можно переписать условие согласования в виде

<9/ = 0 в Д дьщ = т(/) на Г,

где т(/) - касательная часть / на дБ.

С помощью базисов с двойной ортогональностью представляющих собой систему функций, которые ортогональны на паре областей, одна из которых содержит замыкание другой, полученные условия разрешимости могут быть представлены в виде условия сходимости числового ряда. Кроме того, с применением этой методики построена формула Карлемана для решений задачи 3.4.1, позволяющая отыскивать приближенные решения, представляющие практический интерес. Пусть 11(С, г) обозначает ядро Мартинелли-Бохнера в С". Рассмотрим ядра Карлемана

= ЖС, г) - •))<ш

1/=1

для N б М, 2 е Г2, г ф С

Следствие 3.5.2. Для всякой функции v € Hg{D, || • ||_s) справедлива формула Карлемана

\imjv - = О,

где

vW{z) = - f v0(C)<£*(., z)ds(С) + [ dv(C) А Слг(., z)dC, JdD JD

ащ - какое-нибудь продолжение v с Г на 8D в классе H~s~1/2(dD).

При работе над диссертацией автор поддержан грантом Краевого фонда науки для молодых ученых 17G-102, грантом Сибирского федерального университета по научно-методическому проекту № 45.2007, грантом Президента РФ НШ-2427.2008.1, стипендией Президента Российской Федерации для обучения за рубежом, Deutsche Forschungsgemeinschaft в рамках проекта «Нелинейные дифференциальные уравнения с малым параметром» (GZ ТА 289/4-1).

Автор глубоко признателен научному руководителю Шлапунову Александру Анатольевичу за грамотное руководство работой, за помощь и содействие в блуждании моего разума по лабиринтам математики. Также выражаю сердечную благодарность Николаю Тарханову, подарившему мне упоительные минуты, проведенные в плодотворных дискуссиях на математические и общечеловеческие темы, безгранично отдающемуся работе и разделившему со мной долю своего бесценного педагогического и научного опыта.

Работы автора по теме диссертации

1. Шестаков И. В., Шлапунов А. А. О разрешимости неоднородной системы Коши-Римана в шаровом слое// Вестник Красноярского государственного университета. Физико-математические науки. 2006. № 1. С. 102-111.

2. Shestakov I. V., Shlapunov A. A. On the Cauchy problem for operators with injective symbols in Sobolev spaces// Журнал СФУ. Математика и физика. 2008. № 1. С. 52-62.

3. Shestakov I. V., Shlapunov A. A. Negative Sobolev Spaces in the Cauchy Problem for the Cauchy-Riemann Operator// Журнал СФУ. Математика и физика. 2009. № 1. С. 17-30.

4. Шестаков И. В. О задаче Коши в пространствах Соболева для операторов Дирака// Изв. вузов. Математика. 2009. № 7. С. 51-64.

5. Шестаков И. В., Шлапунов А. А. О задаче Коши для операторов с инъективным символом в пространстве Лебега L2 в области// Сиб. Мат. Журн. 2009. Т. 50, № 3. С. 687-702.

Тезисы конференций

6. Шестаков И. В. О разрешимости неоднородной системы Коши-Римана в шаровом слое// Материалы XLIV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск, НГУ, 2006. С. 31.

7. Shestakov I. V. On the solvability of the Cauchy problem for Dirac operators in Sobolev spaces// Тезисы докладов международной конференции «Геометрия и анализ на комплексных многообразиях», Красноярск, СФУ, 2007.

8. Шестаков И. В., Шлапунов А. А. О разрешимости задачи Коши для операторов с инъективным символом в пространствах Соболева//

Тезисы докладов международной конференции «Обратные и некорректные задачи», Новосибирск, ИМ СО РАН, 2007.

9. Shestakov I. Asymptotic behaviour of solutions to elliptic equations on manifolds with cuspidal points// Analysis, PDEs and Applications, Rom, 2008. P. 44.

10. Шестаков И. В. A uniqueness theorem for the Dolbeault cohomology// Тезисы докладов международной конференции «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», Новосибирск, ИМ СО РАН, 2008. С. 405.

Шестаков Иван Вениаминович О задаче Коши для когомологий Дольбо

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Подписано в печать 31.07.2009 Заказ № 2/420

Формат 60x90 1/16 Усл. печ. л. 1,0 Тираж 100 экз. Отпечатано в издательско-полиграфическом комплексе Сибирского федерального университета 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 28

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Шестаков, Иван Вениаминович

Введение

1 Первые £2-когомологии комплекса Дольбо в шаровом слое

1.1 Комплекс Дольбо над пространствами распределений

1.2 Постановка О-задачи.

1.3 Гармоническое пространство и образ оператора д.

1.4 Эквивалентные задачи.

1.5 Об условиях разрешимости неоднородного уравнения Ко-ши-Римана в шаровом слое.

1.6 Идентификация гармонического пространства для шарового слоя в С".

2 Формулы Карлемана для когомологий Дольбо в областях с вогнутой частью границы

2.1 Ядро и формула Коппельмана.

2.2 Абстрактная схема построения формул Карлемана

2.3 Теорема единственности для когомологий Дольбо.

2.4 Примеры формул Карлемана.

2.5 Следствия формулы Карлемана.

3 Задача Коши в пространствах Соболева для оператора Коши-Римана

3.1 Функциональные пространства.

3.2 Слабые граничные значения соболевских функций.

3.3 Интегральные операторы.

3.4 Критерий разрешимости задачи Коши.

3.5 Формула Карлемана.

Введение диссертация по математике, на тему "О задаче Коши для когомологий Дольбо"

Как правило, в каждом разделе математики существуют ключевые проблемы, обуславливающие его развитие. Это могут быть задачи, пришедшие из практики или чисто теоретические вопросы, возбуждающие любопытство человеческого разума. В многомерном комплексном анализе к таким проблемам можно причислить задачу решения уравнения ди — /, или ^-уравнения. В двадцатом столетии она часто воспринималась как «основная задача комплексного анализа». Это связано с тем, что многие задачи комплексного анализа сводятся к решению ^-уравнения. Например, для построения голоморфной функции с заданными свойствами сначала отыскивают гладкую функцию с нужными свойствами, а затем разлагают ее в сумму двух функций, первая из которых голоморфна, а вторая - в каком-то смысле мала (см. [19]). В этом случае первая функция может оказаться искомой, второе слагаемое ищется в виде решения уравнения Коши-Римана. Интерес к ^-уравнению вызван также тем, что имеется широкий класс дифференциальных уравнений, которые заменой сводятся к нему. В ряде случаев это дает возможность в той или иной мере охарактеризовать решения исходного уравнения.

Известно, что решение ^-уравнения в ограниченной области комплексной плоскости задается интегралом Коши-Грина. При п > 1 ситуация не столь очевидна (см. обзоры [19], [18]). Во-первых, необходимым условием разрешимости уравнения ди = / является ^-замкнутость правой части, т.е. условие df = 0. Во-вторых, в условия разрешимости «вмешивается» геометрия области, в которой ищется решение. Основные результаты о разрешимости ^-уравнения получены в областях, обладающих некоторыми условиями выпуклости. Классический путь для решения многомерного ^-уравнения, проложенный в основном Ока ([41]), состоит в том, что сначала оно решается более или менее явно для полидисков. Затем с помощью специальной теоремы результат распространяется на аналитические полиэдры. Наконец, разрешимость ^-уравнения в псевдовыпуклой области получается с помощью аппроксимации такой области аналитическими полиэдрами. На таком пути практически невозможно получить важные в приложениях оценки решения, v

Другой подход принадлежит специалистам по дифференциальным уравнениям Морри [39], Кону [35], [36], Хермандеру [32]. Путем получения априорных Ь2-оценок они доказали существование решения д-уравнения, ортогонального подпространству ^-замкнутых форм, в классе L2 в произвольной ограниченной псевдовыпуклой области, если правая часть также из Lr. Для строго псевдовыпуклых областей имеются явные формулы для решения этих уравнений, позволяющие получить оценки решения в равномерной и некоторых других метриках ([17], [29]).

Оператор д порождает комплекс Дольбо. Широта групп когомоло-гий этого комплекса характеризует разрешимость «^-уравнения. Известно (Дольбо, 1953), что на областях голоморфности когомологии комплекса Дольбо тривиальны, т.е. ^-уравнение разрешимо при выполнении условий согласования для правой части.

Еще одним подходом к исследованию разрешимости «^-уравнения можно назвать использование вспомогательной ^-задачи Неймана-Спенсера. Реализуя эту идею, Кон в семидесятых годах прошлого века получил результаты о разрешимости «^-уравнения в строго псевдовыпуклых областях с,гладкой границей и в слабо псевдовыпуклых областях с вещественно аналитической границей в Сп ([27], [37]).

Таким образом, мы видим, что математики, исследовавшие <9-уравнение, старались оставаться в рамках условий на геометрию области, обеспечивающих исчезновение (или, по крайней мере, конечномерность) когомологий Дольбо.

Наряду с задачами решения уравнений в математике часто возникают задачи отыскания решения уравнения в области, удовлетворяющего на границе области краевым условиям. Отметим, что такие задачи, как правило, естественно появляются на практике. Предположим, физические характеристики некоторого тела связаны системой уравнений, а искомую величину можно измерить лишь на поверхности тела. Тогда определение ее значения в любой точке внутри требует решения краевой задачи.

В начале двадцатого века на конгрессе швейцарского математического общества в Цюрихе Адамар заявил, что все аналитические задачи, допускающие механическую или физическую интерпретацию, являются хорошо поставленными ([30]). В то же время на примере задачи Коши для уравнения Лапласа он показал, что малые изменения начальных данных могут приводить к катастрофическому изменению решения, что послужило основой понятия корректности. Так как начальные данные задачи часто получаются с помощью измерений, не исключающих некоторую погрешность, то люди старались всячески избегать некорректных задач, боялись иметь дело с ними, считали такие постановки неестественными и даже готовы были жертвовать адекватностью моделей для получения хорошо поставленных задач. Однако развитие математических методов в естествознании привело к необходимости переосмысления замечания Адамара, поскольку некорректная задача Коши для уравнения Лапласа непрестанно возникала в приложениях. В качестве примера можно указать задачу продолжения гравитационного потенциала, наблюдаемого на поверхности, в направлении гравитационой массы.

Типичным примером некорректной задачи является задача аналитического продолжения голоморфной функции с куска границы области в С" во всю область, которую можно трактовать как однородную задачу Коши на первом шаге комплекса Дольбо. Исследования этой задачи протекали в двух основных руслах: поиск разумных условий разрешимости и вывод формул для решений. Первый результат в направлении построения решений получил Т. Карлеман в 1926 г. ([26]) для области специального вида в С. В связи с этим формулы такого вида получили название формулы Карлемана. Г. М. Голузин и В. И. Крылов подхватили идею введения «гасящей» функции в интегральную формулу Коши и предъявили в 1933 году формулу для восстановления голоморфной функции в односвязной области в С1 по ее значениям на части границы ([4]). В 1956 году М. М. Лаврентьев предложил метод, основанный на аппроксимации ядра интегрального представления, который был применим также для многосвязных областей в С1 и для областей в Сп ([7]).

Развитие специальных методов, позволяющих работать с некорректными задачами Коши, стимулировалось запросами жизни. Такие задачи вставали в гидродинамике, в теории передачи сигнала, в томографии, в геологоразведке. А. Н. Тихоновым, М. М. Лаврентьевым и др. была разработана концепция условно корректных задач. Идея состояла в приближении исходной некорректной задачи семейством «хороших» задач, которые поддавались удовлетворительному исследованию. Не случайно простейшая формула Карлемана, являющаяся частным случаем формулы Голузина-Крылова, независимо была построена физиками-теоретиками В. А. Фоком и Ф. М. Куни ([16]). Хочется отметить также книгу [8], посвященную некорректным задачам анализа и математической физики и монографию [1], представляющую собой достаточно полный на начало девяностых годов обзор по формулам Карлемана.

Заметим, что, ввиду некорректности задачи аналитического продолжения голоморфной функции с куска границы области во всю область, условия ее разрешимости не могут быть описаны в терминах обращения в нуль некоторого семейства линейных непрерывных функционалов (

3]). Поэтому получение разумных условий разрешимости также является нетривиальной задачей. В [3] они представлены в виде гармонической продолжимости некоторых потенциалов из большей области в меньшую, а использование базисов со свойством двойной ортогональности сводит разрешимость к сходимости числового ряда. Эти идеи были развиты и обобщены па случай более широких пространств pi операторов с инъективным символом в ряде работ последних лет. В [22] рассмотрена возможность аналитического продолжения голомофных функций класса Лебега L2. в [46] эта задача обсуждается касательно общих дифференциальных операторов с инъективным символом. В [54] представлена неоднородная задача Коши для операторов Дирака в пространствах Соболева положительной гладкости. В статьях [15] и [53] исследуется разрешимость неоднородной системы Коши-Римана в пространстве Лебега и в пространствах Соболева отрицательной гладкости соответственно. Задача Коши для общих систем с инъективным символом в пространствах Соболева положительной гладкости и в пространстве Лебега предстала в [52] и [55]. Легко понять, что неоднородная задача Коши не сводится к однородной задаче в произвольных областях, это возможно лишь при наличии информации о разрешимости самого уравнения в области, т.е., например, в псевдовыпуклых областях для оператора д. Одной из фундаментальных книг о задаче Коши для однородных эллиптических уравнений является труд Тарханова [49].

Обобщения задачи аналитического продолжения голоморфной функции с куска границы области как однородной задачи Коши на первом шаге комплекса Дольбо возможны не только в направлениях неоднородности задачи, рассмотрения класса операторов с инъективным символом и использования более широких пространств, но и путем ее постановки на других шагах, т.е. рассмотрения задачи восстановления ^-замкнутой (р, q)-дифференциальной формы в области по ее значениям на части границы этой области. Для достижения единственности разумно искать решение по модулю точной формы, другими словами, ставить задачу Коши для когомологий Дольбо. Голоморфные функции есть не что иное, как когомологии комплекса Дольбо на нулевом шаге. Рассмотрение таких задач восходит к работе [24], в которой вопросы существования и единственности сводились к тривиальности некоторых специальных когомологий комплекса Дольбо. Начинович и др. в [40] предложили абстрактный метод построения формул Карлемана для решения задачи Коши для когомологий Дольбо. Появление свежей работы [25], один из соавторов которой, Хилл, является экспертом в этой области, свидетельствует о неугасающем интересе к такого рода задачам.

Целью настоящей работы является изучение условий разрешимости задачи Коши для когомологий комплекса Дольбо в областях опредеi ленного вида в пространствах распределений и построение формул Карлемана для ее решения.

В проделанных исследованиях использованы методы гармонического анализа, метод интегральных представлений. Более того, привлечен мощный аппарат функционального анализа, в частности, теория гильбертовых пространств, а также техника базисов со свойством двойной ортогональности для построения формул для решения.

Перейдем к описанию структуры диссертации.

В главе 1 исследуется разрешимость ^-уравнения на первом шаге комплекса Дольбо в шаровом слое, причем правая часть берется из пространства Лебега L2. Как уже отмечено, в двадцатом столетии основная деятельность вокруг этого уравнения была направлена на выделение условий, при которых когомологии Дольбо тривиальны (или, по крайней мере, конечномерны). Как правило, это достигалось наложением некоторых геометрических требований на выпуклость области. Разрешимость ^-уравнения в более общих областях при этом практически не исследовалась, поскольку их рассмотрение открывало дорогу для появления бесконечномерных и даже неотделимых когомологий. Математики старались обходить такие явления стороной. В связи с этим вопрос об условиях разрешимости «^-уравнения в произвольных областях до сих пор остается открытым. Так как шаровой слой не является псевдовыпуклой областью, то результаты первой главы можно интерпретировать как продвижение в данном направлении.

Как известно, комплекс Дольбо субэллиптичен, поэтому не приходится надеяться на разрешимость системы Коши-Римана в пространстве Соболева iiT1(D) для всех лебеговских правых частей ([34]). Мы определяем пространство D(d) для решений как пополнение по норме графика (ср. с работой Хермандера [32]). Аргументацией такого выбора служит возможность его характеризации и непрерывность оператора д в таких пространствах ([28]). Пусть Ap>q - расслоение дифференциальных форм бистепени (p,q), a <5(D,Ap>q) - пространство дифференциальных форм бистепени (р, q) с коэффициентами класса © в области D С С С". Итак, основная задача первой главы такова.

Задача 1.2.1. Пусть / € L2(D, А0'1). Найти решение уравнения ди — f в классе D(d).

Обозначим через д* формально сопряженный к д оператор. Введем гармоническое пространство 7i}(D), состоящее из дифференциальных форм g е L2(D, А0'1), для которых dig = 0 в Z), д*g ~ 0 в D (в смысле распределений) и комплексная нормальная часть g равна нулю на 3D. Фактически это пространство характеризует ортогональное дополнение образа оператора д, представляя первые когомологии комплекса Дольбо. Условие разрешимости задачи 1.2.1, полученное в главе 1, формулируется следующим образом.

Теорема 1.5.1. Пусть D - шаровой слой в Сп. Задача 1.2.1 разрешима тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

1) dif = 0;

2) f±H\D).

Эрмитова структура используемых пространств позволяет применять методы теории гильбертовых пространств, а специфика области дает возможность работать с разложениями в ряды Лорана по однородным гармоническим функциям. Полученный результат на самом деле означает нормальную разрешимость задачи 1.2.1. Отметим, что при доказательстве упомянутой теоремы также построено решение ^-уравнения в виде ряда, что может быть использовано для получения приближенного решения в прикладных задачах.

Исходя из теоремы 1.5.1, для овладения исчерпывающей информацией о разрешимости ^-уравнения в шаровом слое остается охарактеризовать гармоническое пространство T0~(D). Пусть zi, .zn - координаты в n-мерном комплексном пространстве Сп. В данной работе получен следующий результат.

Теорема 1.6.1. Пусть D — Br \ВГ - шаровой слой в С2. Тогда гармоническое пространство ТС1 (D) бесконечномерно и дифференциальные формы вида

-ztdzt + zvtztzbzh

И2 \z\W\+2' образуют в нем L2-ортогональный базис.

Таким образом, демонстрируется возможность работы с бесконечномерными когомологиями, чего избегали классики. Отметим, что первые когомологии комплекса де Рама в области с выколотым нулем одномерны, их базис образует известная форма Пуанкаре. Здесь перед нами предстало разительное различие комплексов де Рама и Дольбо. Можно усмотреть также сходство обсуждаемых комплексов: размерность первых ко-гомологий и пространства решений исходного оператора совпадают для каждого из этих комплексов. Для комплекса де Рама она одномерна, а для комплекса Дольбо - бесконечномерна. Комплекс Дольбо не такой простой, как комплекс де Рама, на нем можно проследить некоторые интересные эффекты, в то же время он не так сложен, как общие системы.

Используемые нами методы также помогают извлечь тривиальность рассматриваемых когомологий при п > 3.

Теорема 1.6.2. Пусть D - шаровой слой в Сп, п > 3. Тогда гармоническое пространство Ti1 (D) тривиально.

Результаты последней теоремы коррелируют с заключениями Ранге, несмотря на различие рассматриваемых функциональных пространств. Именно, в [42, глава IV, §3.5] утверждается тривиальность когомологий Дольбо при д^О, 77 — 1,д- соответствующий шаг комплекса, в областях, полученных удалением из выпуклой области выпуклой подобласти, в пространстве функций, бесконечно гладких вплоть до границы.

Глава 2 посвящена формулам Карлемана для когомологий Дольбо в областях с вогнутой частью границы. Как упоминалось, формулы Карлемана позволяют восстанавливать значения функции в области по ее значениям на части границы. При этом важную роль часто играет геометрия области и выбор части границы, на которой заданы данные Коши. Поскольку формулы Карлемана имеют также прикладное значение, то необходимо стремиться к их конструктивности и простоте.

Итак, обсуждается задача восстановления d-замкнутой (р, д)-формы в области по определяемому ей классу когомологий на части границы области по модулю точной формы. Абстрактная схема построения формулы Карлемана для этого случая предложена в [40]. Хотелось получить конкретные примеры таких формул. Не стоит думать, что наличие общей теории в том или ином направлении закрывает все вопросы. Часто рассмотрение примеров требует больших усилий и преодоления многих деталей, а теория может лишь подсказать направление дальнейшего пути, затмевая все тонкости.

Основным итогом главы 2 является формула Карлемана, восстанавливающая по модулю точной формы значения 5-замкнутой (р, д)-формы в. области по определяемому ей классу когомологий на части границы области, дополнение к которой линейно вогнуто. Приведем полученный результат в несколько частном случае, тем не менее отражающим суть этой формулы. Обозначим через Г открытое связное подмножество границы области D С С Сп с кусочно-гладкой границей.

Теорема 2.4.1. Пусть часть границы 3D \ Г области D С С Сп является частью сферы {z Е Cn : \z\ = R}, причем сама D не заходит внутрь шара {z Е Сп : \z\ < R}. Тогда для д-замкнутой в D дифференциальной формы и Е Cl{D,l\P,q) справедлива формула u(z) = - J т{и) A ll%(( 1 - t)vО + tvi) аг

- Hm I и А \ К^Ы д

Р) л. л С"1)'

I и, / \ I 1 \

N—>00 J г

- J uAl^1{(l-t)v0 + tv1) +JuAK^M I , ZED. OD\T D

В этой формулировке v0 = = ~ ЯДР° Коп" пельмана, Щ(у) - ядро, определяемое над кольцом функций аналогично ядру Коппельмана, а = (-l)p+<?1 / f JK^p\(v)dt (см. [40]). о В фундаментальной книге по формулам Карлемана [1] не нашлось настолько простой формулы для рассматриваемого случая.

Кроме того, доказана теорема единственности для когомологий Дольбо, которая может быть сформулирована следующим образом. Теорема 2.3.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.4.1. Если д-замкнутая в D дифференциальная форма и Е C1(D,Ap'q) является дъ-точ-ной на Г, то она д-точна в D.

Из полученной формулы Карлемана можно извлечь интересные сведения. При q п — 1 предел в формуле исчезает и изучаемая задача Коши становится устойчивой. Этот факт немного неожиданный. Как правило, если данные Коши заданы на всей границе, то задача нормально разрешима, если же данные заданы лишь на части границы, то, приходит неустойчивость. Возникновение устойчивости в нашем случае обусловлено переопределенностыо системы Коши-Римана и наложенными геометрическими условиями на область.

В заключительной главе 3 рассматривается неоднородная задача Коши для оператора Коши-Римана в отрицательных пространствах Соболева. В то время как изложение второй главы было направлено на получение формул решения задачи Коши для когомологий Дольбо на произвольном шаге комплекса, содержание последней главы нацелено на работу в более общих пространствах на первом шаге комплекса. Как известно, функции из пространства Соболева Нl(D) обладают следами класса L2(dD) (и даже более узкого класса НЦдБ)) на границе. При использовании более широких пространств трудность возникает уже при определении значений на границе области функций, заданных в области. В этом случае приходится задействовать технику слабых предельных значений и концепцию слабого решения ([43]). Поэтому даже выбор подходящих пространств является достижением и надеждой на успешное дальнейшее исследование. Отметим, что привлечение более общих пространств существенно увеличивает класс правых частей и данных Коши рассматриваемой задачи.

Пусть H(D, || • ||-s) обозначает пространство Соболева отрицательной гладкости (см., например, [43]), a || • ||s) - множество всех функций и из H{D, || • ||s) таких, что ди 6 H(D, А0,1, || • ||-s-i)- Доказывается что, функции из || • ||s) имеют слабые граничные значения на

Г С 3D. Положим tf^A0'1) = U~ !#(£>, А0'1, || • ||а). Объединение || • ||s) обозначим через Hg(D). Введем пространство H~s(Г) как фактор-пространство пространства H~s{dD) по подпространству сечений, исчезающих в окрестности Г. Под п(д) понимается комплексная нормальная часть (0,1)-формы д.

Теперь мы можем сформулировать задачу Коши, которая рассматривается в последней главе.

Задача 3.4.1. По заданным f £ Я(ДЛод) и щ £ Ц^Я^Г) найти функцию и Е Hq(D) такую, что щ Жф) = (/, ф) - (щ, п(ф)) для всех ф Е C~mp(D U Г, Л0'1).

Это есть не что иное, как слабая постановка задачи Коши на основе формулы Грина.

Пусть F = MiiQ + Tjjf, где М - преобразование Мартинелли-Бохнера, То - объемный потенциал, а щ £ H~s~1/2(dD) - некоторый представитель класса эквивалентности, содержащего элемент щ Е H~s~l!2(T). Выберем область D+ так, чтобы множество Q — D U Г U D+ было ограниченной областью с бесконечно гладкой границей. Основной результат завершающей главы дает условия разрешимости задачи Коши для неоднородной системы Коши-Римана в терминах гармонической продолжимости функции F из меньшей области D+ в большую область Г2. В следующей теореме C^mp(D U Г) обозначает пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в D U Г. Теорема 3.4.2. Задача Коши 3.4.1 разрешима тогда и только тогда, когда выполнено условие согласования и0,п(д*(3)) = (ffip) для всех (3 Е C™mp(D U Г, А0'2) и существует гармоническая в Q функция Т конечного порядка роста вблизи д£1, совпадающая с F в D+.

Используя касательный оператор Коши-Римана дъ на границе, можно переписать условие согласования в виде df = 0 в D, дьи0 = r(f) на Г, где т(/) - касательная часть / на 3D.

С помощью базисов с двойной ортогональностью {Ьи}, представляющих собой систему функций, которые ортогональны на паре областей, одна из которых содержит замыкание другой, полученные условия разрешимости могут быть представлены в виде условия сходимости числового ряда. Кроме того, с применением этой*методики построена формула Карлемана для решений задачи 3.4.1, позволяющая отыскивать приближенные решения, представляющие практический интерес. Пусть z) обозначает ядро Мартинелли-Бохнера в Сп. Рассмотрим ядра Карлемана n

С, z) = я(с, z)-Y, -))ЬМ для

Следствие 3.5.2. Для всякой функции v G Hq(D, || • ||s) справедлива формула Карлемана где

V{N\z) = ~ [ V0(Q£N(;Z)ds(O+ [

J dD JD a vо - какое-нибудь продолжение v с Г на dD в классе

Международной конференции «Анализ и геометрия на комплексных мно гообразиях» (Красноярск, август 2007), на Международной конференции «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященной 75-летию академика М. М. Лаврентьева (Новосибирск, август 2007), на Международной конференции «Анализ, уравнения в частных производных и приложения», посвященной семидесятилетию В. Г. Мазьи (Рим, Италия, июль 2008), на Международной конференции «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», посвященной 100-летию со дня рождения С. J1. Соболева (Новосибирск, октябрь 2008), на семинаре профессора Н. Тарханова «Нелинейный анализ» (Потсдам, Германия, 2008-2009), на городском семинаре по многомерному комплексному анализу под руководством А. М. Кытманова и А. К. Циха (Красноярск, 2005-2009).

Заключение диссертации по теме "Математический анализ"

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

- найдены условия разрешимости системы Коши-Римана в шаровом слое вС"в терминах гармонического пространства;

- охарактеризованы первые L2 -когомологии комплекса Дольбо в шаровом слое: при п = 2 в них построен ортогональный бесконечный базис, при п > 2 установлена их тривиальность;

- построена формула Карлемана для решения задачи Коши для ко-гомологий Дольбо в областях, у которых дополнение к куску границы с данными Коши линейно вогнуто;

- доказана теорема единственности для задачи Коши для когомологий Дольбо в специальных областях;

- подобраны подходящие пространства Соболева отрицательной гладкости для постановки неоднородной задачи Коши для системы Коши-Римана;

- сформулированы условия разрешимости задачи Коши для уравнения Коши-Римана в отрицательных пространствах Соболева;

- установлена формула Карлемана для восстановления функции и, принадлежащей одному из отрицательных пространств Соболева в области, по значениям ди в области и по ее значениям на части границы области.

Заключение

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Шестаков, Иван Вениаминович, Красноярск

1. Айзенберг J1. А. Формулы Карлемана в комплексном анализе. Первые приложения. Новосибирск: Наука, 1990.

2. Айзенберг Л. А., Даутов Ш. А. Дифференциальные формы, ортогональные голоморфным функцияль или формам, и их свойства. Новосибирск: Наука, 1975.

3. Айзенберг JI. А., Кытманов А. М. О возможности голоморфного продолжения в область функций, заданных на куске ее границы// Матем. Сб. 1991. Т. 182, № 4. С. 490507.

4. Голузин Г. М., Крылов В. И. Обобщенная формула Carleman'a и ее приложение к аналитическому продолжению функций// Матем. Сб. 1933. Т. 40, № 2. С. 144-149.

5. Егоров Ю. В., Шубин М. А. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Основы классической теории. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, М.:ВИНИТИ, Т. 30. 1988.

6. Кытманов А. М. Интеграл Мартинелли-Бохнера и его приложения. Новосибирск: Наука, 1992.

7. Лаврентьев М. М. О задаче Коши для уравнения Лапласа// Известия АН СССР. Сер. Мат. 1956. Т. 20. С. 819-842.

8. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

9. Ладыженская О. А. Краевые задачи для уравнений математической физики. М.: Наука, 1973.

10. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.:Наука, 1976.

11. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурпых формул. М.:Наука, 1974.

12. Соболев С. Л. Уравнения математической физики. М.: Физматгиз, 1954.

13. Тарханов Н. Н. Метод параметрикса в теории дифференциальных комплексов. Новосибирск: Наука, 1990.

14. Тарханов Н. Н. Ряд Лорана для решений эллиптических систем. Новосибирск: Наука, 1991.

15. Федченко Д. П., Шлапунов А. А. О задаче Коши для многомерного оператора Коши-Римана в пространстве Лебега L2 в области// Матем. сб. 2008. Т. 199, № 11. С. 141160.

16. Фок В. А., Куни Ф. М. О введении „гасяш,ей" функции в дисперсионные соотношения// Докл. АН СССР. Т. 127, № 6. С. 1195-1198.

17. Хенкин Г. М. Интегральное представление функций в строго псевдовыпуклых областях и приложения к д-задаче// Матем. Сб. 1970. Т. 82, № 2. С. 300-308.

18. Хенкин Г. М. Метод интегральных представлений в комплексном анализе// Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, М.:ВИНИТИ, Т. 7., 1985, С. 23-124.

19. Хенкин Г. М., Чирка Е. М. Граничные свойства голоморфных функций нескольких комплексных переменных// Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, М.:ВИНИТИ, Т. 4, 1975, С. 13-142.

20. Чирка Е. М. Аналитическое представление CR-функций// Матем. сб. 1975. Т. 98, № 4. С. 591-623.

21. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ,ч.2. М.:Наука, 1976.

22. Шлапунов А. А., Тарханов Н. Н. О задаче Коши для голоморфных функций класса Лебега L2 в области// Сиб. Мат. Журн. 1992. Т. 33, № 5. С. 914-922.

23. Adams R. A. Sobolev Spaces. Academic Press. Inc., Boston et al., 1978.

24. Andreotti A., Hill C. D. E. E. Levi convexity and the Hans Lewy problem. Part 1: Reduction to vanishing theorems// Ann. Scuola Norm. Super. Pisa. 1972. V. 26, № 3. P. 325-363.

25. Brinkschulte J., Hill C. D. On the Cauchy problem for the д operator// 2008. Ark. Mat.

26. Carleman T. Les Fonctions Quasianalytiques, Paris, Gauthier-Villars, 1926.

27. Folland G. В., Kohn J. J. The Neumann problem for the Cauchy-Riemann complex. Princeton, Princeton University Press, 1972.

28. Friedrichs K. The identity of tueak and strong extensions of differential operators// Trans. Amer. Math. Soc. 1944. V. 55. P. 132-151.

29. Grauert H., Lieb I. Das Ramirersche Integral und die Losung der Gleichung df = a im Bereich der beschrankten Forrnen// Rice Univ. Stad. 1970. V. 56, № 2. P. 29-50.

30. Hadamard J. Le probleme de Cauchy et les equations aux derivees partielles lineaires hyperboliques. Paris, Gauthier Villars, 1932.

31. Hakim M., Sibony N. Frontiere de Shilov et spectre de A{D) pour des domaines faiblement pseudoconvexes// C. R. Acad. Sci. Paris Sflr. A-B. 1975. V. 281, № 22. P. A959-A962.

32. Hormander L. L2-estimates and existense theorems for the д operator// Acta Math. 1965. V. 113, № 1-2. P. 89-152.

33. Hormander L., Notions of Convexity. Berlin, Birkhauser Verlag, 1994.

34. Kerzman N. Holder and LP-estimates for solutions of du = /// Comm.Pure and Appl. Math. 1971. V. 24, № 3. P. 301-379.

35. Kohn J. J. Harmonics integrals on strongly pseudo-convex manifolds. I// Ann. Math. 1963. V. 78, № 1. P. 112-148.

36. Kohn J. J. Harmonics integrals on strongly -pseudo-convex manifolds. II// Ann. Math. 1964. V. 79, № 3. P. 450-472.

37. Kohn J. J. Subellipticity of the д-Neuman problem on pseudoconvex domains: sufficient conditions// Acta Math. 1979. V. 142, № 1-2 P. 79-122.

38. Koppelman W. The Cauchy integral for differential forms// Bull. Amer. Math. Soc. 1967. V. 73, № 4. P. 554-556.

39. Morrey С. В., Jr. The analytic embedding of abstract reanalytic manifolds// Ann. Math. 1958. V. 68, № 1. P. 159-201.

40. Nacinovich M., Schulze B.-W., Tarkhanov N. On Carleman formulas for the Dolbeault cohomology// Ann. Univ. Ferraia, Sez.VII, Sc. Mat. 1999. Suppl. Vol. XLV. P. 253-262.

41. Oka K. Sur les fonctions de plusieurs variables. II. Domaines d'holomorphie// J. Sci. Hiroshima Univ. 1937. № 7. P. 115-130.

42. Range R. M. Holomorphic functions and integral representations in several complex variables. New York, Springer-Verlag, 1986.

43. Schechter M. Negative norms and boundary problems// Ann. Math. 1960. V. 72, № 3. P. 581-593.

44. Shapiro H. S. Stefan Bergman's theory of doubly-orthogonal functions. An operator-theoretic approach, Proc. Roy. Irish Ac. Sect. A. 1979, V. 79, № 6. P. 49-56.

45. Shlapunov A. On the Cauchy Problem for the Cauchy-Riemann Operator in Sobolev Spaces// Contemporary Mathematics. 2008. V. 455. P. 333-347

46. Shlapunov A. A., Tarkhanov N. N. Bases with double orthogonality in the Cauchy problem for systems with injectwe symbols// Proc. London Math. Soc. 1995. V. 71, № 1. P. 1-52.

47. Shlapunov A. A., Tarkhanov N. N. Duality by reproducing kernels// International Jour, of Math, and Math. Sc. 2003. V. 2003, № 6. P. 327-395.

48. Straube E. J. Harmonic and analytic functions admitting a distribution boundary value// Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, CI. Sci. 1984. V. 11, № 4. P. 559-591.

49. Tarkhanov N. N. The Cauchy Problem for Solutions of Elliptic Equations. Berlin, Akademie Verlag, 1995. •

50. Tarkhanov N., An explicit Carleman formula for the Dolbeault cohomology// в печати

51. Работы автора по теме диссертации

52. Шестаков И. В., Шлапунов А. А. О разрешимости неоднородной системы Коши-Римана в шаровом слое/j Вестник Красноярского государственного университета. Физико-математические науки. 2006. № 1. С. 102-111.

53. Shestakov I. V., Shlapunov A. A. On the Cauchy problem for operators with injective symbols in Sobolev spaces// Журнал СФУ. Математика и физика. 2008. № 1. С. 52

54. Shestakov I. V., Shlapunov A. A. Negative Sobolev Spaces in the Cauchy Problem for the Cauchy-Riemann Operator// Журнал СФУ. Математика и физика. 2009. № 1. С. 17-30.

55. Шестаков И. В. О задаче Коши в пространствах Соболева для операторов Дирака// Изв. вузов. Математика. 2009. № 7. С. 51-64.

56. Шестаков II. В., Шлапунов А. А. О задаче Коши для операторов с инъективным символом в пространстве Лебега L2 в области// Сиб. Мат. Журн. 2009. Т. 50, № 3.

57. Шестаков И. В. О разрешимости неоднородной системы Коши-Римана в шаровом слое// Материалы XLIV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск, НГУ, 2006. С. 31.

58. Shestakov I. V. On the solvability of the Cauchy problem for Dirac operators in Sobolev spaces// Тезисы докладов международной конференции «Геометрия и анализ на комплексных многообразиях», Красноярск, СФУ, 2007.

59. Шестаков И. В., Шлапунов А. А. О разрешимости задачи Коши для операторов с инъективным символом в пространствах Соболева// Тезисы докладов международной конференции «Обратные и некорректные задачи», Новосибирск, ИМ СО РАН,

60. Shestakov I. V. Asymptotic behaviour of solutions to elliptic equations on manifolds with cuspidal points// Analysis, PDEs and Applications, Rom, 2008. P. 44.