Когомологии дополнений к наборам координатных подпространств и интегральные представления голоморфных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

005060874

Элияшев Юрий Валерьевич

Когомологии дополнений к наборам координатных подпространств и интегральные представления голоморфных функций

01.01.01 — ВЕЩЕСТВЕННЫЙ, КОМПЛЕКСНЫЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

6 И'СН ¿013

Красноярск — 2013

005060874

Работа выполнена в Институте математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета.

Ведущая организация: ФГБУН «Институт математики

им. С.Л. Соболева» СО РАН, г. Новосибирск

Защита состоится 26 июня 2013 г. в 15.30 на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 в Сибирском федеральном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета.

Автореферат разослан "2-4" мая 2013 г.

Ученый секретарь

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Цих Август Карлович

Официальные оппоненты:

Панов Тарас Евгеньевич, доктор физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова», кафедра высшей геометрии и топологии, профессор

Царев Сергей Петрович,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет», кафедра прикладной математики и компьютерной безопасности, профессор

диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Топология наборов координатных подпространств представляет интерес в различных областях математики: в торической и комбинаторной топологии1, в теории торических многообразий, где дополнения к наборам координатных подпространств выступают в роли пространств однородных координат для таких многообразий2, в теории интегральных представлений голоморфных функций и вычетов в многомерном комплексном анализе, где наборы координатных подпространств выступают в роли сингулярных множеств ядер интегральных представлений3,4.

В книге М. Горески и Р. Макферсона5 был разработан универсальный комбинаторный метод вычисления когомологнй для дополнений к произвольным наборам плоскостей, однако этот метод трудно применим для реализации явных конструкций базисных элементов когомологий и часто ведет к довольно громоздким вычислениям. Исследования в области торической топологии, в частности работы В.М. Бухштабера и Т.Е. Панова1 и других авторов позволили найти методы вычисления групп когомологий дополнений к координатным наборам комплексных подпространств, которые в ряде случаев проще универсальных методов и позволяют получать некоторую дополнительную информацию. Надо заметить, что топологии дополнений к координатным наборам вещественных подпространств было уделено меньше внимания.

Теория многомерных вычетов, также как и теория интегральных представлений голоморфных функций, основана на некоторых модельных дифференциальных формах и двойственных контурах (циклах) интегрирования. Исторически первыми были многомерное ядро и интегральное представление Коши, доказанное А. Пуанкаре в 1887 году, а также ядро и интегральное представление Бохнера-Мартинелли, доказанное в 1938, 1943 годах. Эти интегральные представления явились эталонными, из них впоследствии на основе гомологических и когомологических процедур был построен ряд других интегральных представлений. А.К. Цих6 в

1Бухштабер В.М., Панов Т.Е., Торические действия в топологии и комбинаторике, M., MЦН-МО, 2004.

2Сох D.A. The homogeneous coordinate ring of toric variety // J. Algebraic Geometry, 1995, vol. 4, p. 17-50.

3Айзенберг Л.А., Южаков А.П., Интегральные представления и вычеты в многомерном ком-плексеом анализе, Новосибирск, Наука, 1979.

4Shchuplev A.V., Tsikh А.К., Yger A. Residual kernels with singularities on coordinate planes // Тр. МИАН, 2006, т. 253, c. 277-295.

5Goresky M., MacPherson R., Stratified Morse Theory, Berlin, Springer-Verlag, 1988.

6Tsikh A.K. Toriska residyer (Swedish) // Proc. Conf. "Nordan 3"/ Stockholm, 1999. - P.16.

1999 году предложил стратегию построения эталонных вычетов и интегральных представлений на основе ядер с сингулярностями на наборах координатных плоскостей. Его идея получила развитие в более поздних статьях7'8. Для реализации указанной стратегии, а также для решения названных выше задач многомерного комплексного анализа важным является изучение топологии дополнений к наборам координатных плоскостей, в частности, изучение групп гомологий и когомологий дополнений к таким наборам.

Задача построения ядер интегральных представлений голоморфных функций также связана с вычислением фильтрации Ходжа на когомоло-гиях. Фильтрация Ходжа - это одно из основных понятий теории Ходжа. Для компактных кэлеровых многообразий, в частности, для проективных многообразий теория Ходжа позволяет напрямую связать аналитические свойства пространства, выраженные его когомологиями Дольбо, с топологическим свойствами, выраженными когомологиями де Рама. Особенную эффективность и завершенность теория Ходжа получила для компактных кэлеровых многообразий. Для некомпактных многообразий эта связь устроена сложнее и изучена мало.

Для приложений в комплексном анализе, в частности, в теории многомерных вычетов, полезной оказывается двойственность Александера-Понтрягина9,10. На практике она позволяет заменять в интегралах от замкнутых форм циклы на гомологичные им циклы, по которым интеграл вычисляется проще. Поэтому явное описание двойственности Александера-Понрягина представляет определённый интерес для аналитических приложений.

Цель диссертации

Целью работы является изучение когомологий дополнений к наборам координатных подпространств (как комплексных, так и вещественных), а именно, вычисление кольца когомологий дополнения к набору вещественных координатных подпространств, явное описание двойственности Александера-Понтрягина, а также вычисление фильтрации Ходжа на дополнении к набору комплексных координатных подпространств и построение ядер интегральных представлений голоморфных функций.

7Shchuplev A.V., Tsikh А.К., Yger А., цит. выше.

8Кытманов A.A. Об аналоге представления Бохнера-Мартинелли в d-круговых полиэдрах пространства Cd // Изв. вузов. Матем., 2005, № 3, с. 52-58

9Южаков А.П. О вычетах функций многих комплексных переменных // Изв. вузов. Матем., 1964, № 5, с. 149-161

'"Айзенберг Л.А., Южаков А.П., цит. выше.

Методы исследования

В работе используются методы алгебраической топологии, многомерного комплексного анализа и торической геометрии. Большую роль играет техника построения изоморфизмов и квазиизоморфизмов между обычными и двойными комплексами.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность

Результаты представляют теоретический интерес и могут быть применены в многомерном комплексном анализе, алгебраической топологии и комплексной алгебраической геометрии.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на

1) Красноярских городских научных семинарах по комплексному анализу (под руководством проф. A.M. Кытманова и проф. А.К. Циха) и по алгебраической геометрии (под руководством проф. А.К. Циха) (20072013, СФУ);

2) Семинаре отдела геометрии и топологии МИАН "Геометрия, топология и математическая физика" (Москва, 2008);

3) Международной научной конференции "Аналитические функций многих комплексных переменных" (Красноярск, 2009);

4) IV российско-армянском совещании по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Красноярск, 2012).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 3-х статьях [1-3] ( все в журналах из перечня ВАК) и 2-х тезисах [4-5]. Статья [1] написана в соавторстве с A.B. Казановой, в диссертацию включены лишь те результаты статьи, которые принадлежат лично автору.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, главы предварительных сведений и трех глав основного текста. Список литературы содержит 28 наименований. Работа изложена на 107 страницах. Результаты второй главы опубликованы в работах [1], [2], [4]. Результаты третьей главы опубликованы в работах [3], [5]. Результаты четвертой главы опубликованы в работах [1], [2].

Содержание работы

Первая глава является вспомогательной и содержит различные математические конструкции, факты и теоремы, которые используются в основной части работы. Глава состоит из четырёх разделов. В первом разделе собраны различные факты из алгебраической топологии: приведены конструкция двойного комплекса и теоремы о его когомологи-ях, дано определение индекса пересечения и коэффициента зацепления, сформулирована теорема двойственности Александера-Понтрягина, описана конструкция умножения в когомологиях клеточного комплекса. Во втором разделе собраны основные факты из торической топологии и топологии дополнений к наборам координатных плоскостей: дано описание набора координатных плоскостей Z в терминах комбинаторики симпли-циального комплекса /С, определен момент-угол комплекс Я/с и алгебра Я/с его клеточных коцепей, сформулирована теорема об изоморофизме кольца когомологий и кольца когомологий В.^. В третьем разделе

собраны факты из комплексной геометрии и дифференциальной топологии: даётся определение двойного комплекса Чеха-де Рама, фильтрации Ходжа на когомологиях комплексного многообразия и конструкция резольвенты цикла. В четвертом разделе собраны основные известные факты об интегральных представлениях Коши, Бохнера-Мартинелли и ДР-

Вторая глава посвящена когомологиям дополнений к наборам координатных подпространств в С" и К". Такие наборы кодируются сим-плициальными комплексами К,. А именно, зафиксируем множество [п] = {1,... ,п}. Пусть 1С есть симплициальный комплекс на множестве вершин [п], т.е. вершинами симплексов из 1С служат элементы из [п]. Для подмножества а = {ц, -..,гд} С [п] будем писать а е 1С, если (д - 1)-мерный симплекс, натянутый на вершины {¿х,..., гд}, входит в 1С. В случае, когда симплекс с вершинами {¿х,..., гд} не лежит в 1С, будем писать

а $ 1С. Сопоставим комплексу 1С набор координатных подпространств

ZK := U

где для (7 = {¿i,..., im} С [п]

La = {zeCn :zh = --- = zim = 0}.

Отметим, что любой набор комплексных координатных подпространств в С" может быть задан с помощью подходящего симплициального комплекса 1С на множестве вершин [п].

В нашем исследовании важную роль играет следующее понятие. Определение. Кольцом Стенли-Райснера (или кольцом граней) симплициального комплекса 1С на множестве [п] называется факторколъ-цо

Щ1С] =Z[vi,...,vn]/2K,

где Tf¿ — однородный идеал, порожденный мономами vT = Пгет и»> для которых т £ 1С.

Рассмотрим дифференциальную биградуированную факторалгебру {R/c, полагая

RK :=A[uu...,un]®Z[lC}/J,

где A[ui,... ,ип] — внешняя алгебра, J — идеал, порождённый мономами vj, щ <S> Vi, i = 1,..., п. При этом образующим t>i, u¡ приписываются бистепени

bideg v¡ = (0, 2),bideg щ = (-1, 2), а дифференциал задан на образующих следующим образом:

5кщ = Vi,5RVi = 0.

Обозначим. I£f¿'2q - однородную компоненту алгебры R¡c бистепени (— р, 2q). Дифференциал <5д согласован с биградуировкой, т.е. С

V+1'2?- Рассмотрим комплекс

) д-р-1,27 ¿R ) о-Р+1.2? Дд)

1С 1С 1С ' '

его когомологии обозначим H~p'2q{R)¿). Когомологии R¡c изоморфны Hs{Rk)= е H-^{RK).

-p+2q=s

Значение алгебры R/ç в нашем контексте определяется следующим утверждением.

Теорема (Бухштабер-Панов). Имеет место изоморфизм колец когомологий

H*{Cn\Z,c) = H*{RK).

В диссертации строится аналог двойного комплекса Чеха-де Рама для алгебры Rk- В третьей главе этот комплекс связывается с комплексом Чеха-де Рама для покрытия Ык = {£4}<геК дополнения к набору подпространств С"' \ Zfz, где

г4 = сп\у{* = о}.

igcТ

Этот комплекс весьма схож с тем, который использовался в работе Данилова11 для вычисления когомологий произвольного торического многообразия.

Определение. К-коцепъю кратности t и степени s (бистепени (— р, 2q)) с коэффициентами в R* назовем альтернированную функцию со, которая сопоставляет набору симплексов сто,..., CTt 6 /С элемент в Дтоп-п<rt степени s (бистепени (—p,2q)).

Здесь R*on...n<Tt обозначает алгебру R, соответствующую симплици-альному комплексу ст = СТоП- • -Пст^ т.е. некоторому симплексу из ст G 1С, который мы рассматриваем как отдельный симплициальный комплекс. Важно отметить, что мы рассматриваем ст, как симплициальный комплекс на множестве [п], и следовательно, в большинстве случаев у нас будут иметься призрачные вершины, т.е. такие t £ [и], что г ^ ст.

Группы /С-коцепей кратности t и степени s будем обозначать С1 {К, Rs), группы /С-коцепей кратности t и бистепени (—p,2q) — СЬ(1С, R~p'2q). На /С-коцепи естественным образом переносится оператор дифференцирования Ôr, а именно

6R : С\1С, R-p'2q) -> С\К, R-p+1'2").

На коцепях естественным образом определён оператор сужения

ё : Rh С\К, Rs) и оператор кограницы Чеха

S : Cl{)C,Rs) -» Ct+\K,RS).

11 Данилов В.И. Геометрия торических многообразий // УМН, 33:2(200) (1978), 85-134.

Для них имеем (<5)2 = бе = 0. Пусть а С [гг], рассмотрим

Л; = А*[щ : г <£о\,

т.е. внешнюю алгебру от образующих £ ст. Считаем, что с^гц = 1, Ыс^и* = (—1,2) и дифференциал 8 ц действует на Л* тривиально, т.е. бдщ — 0. Фактически Л* есть кольцо когомологий для В,а :

к = Н*(иа).

Обозначим С'1 (1С, Л4) группу 1С—коцепей кратности Ь и степени я с коэффициентами в Л*. Мы имеем естественное отображение вложения

е' = Л; - К

и индуцированное им отображение на коцепях е' : Сь{К,,к8) —► С1 (К,, Я'5). Понятно, что 5не' = 0. На группе коцепей с коэффициентами в Л* естественным образом определена кограница 5 : С((/С, Л8) —> С(+1(/С,Л8), действующая по формуле

ш

(^)<т0П-П<т4+1 = .....

Когомологии комплекса (СР(1С, А4), 5) обозначим Определим пол-

ный комплекс

и биградуированный полный комплекс

г—

Полный дифференциал на коцепях полной степени в (в смысле степени элемента на алгебре К) определен, как Од = 5п + (—1)"<5. Мы имеем разложение в прямую сумму

= 0 «г24-

Когомологии Кр- обозначим через Н^^К^), а когомологии К^2'' — через Н-^\К*к). Тогда

-р+2д=з

Теорема 2.1. Имеют место изоморфизмы когомологий

щат ^ HbR{к*к) L 0

p+q=s

Ä Hi-fiKi) L

Также в разделе 2.1 приводится явная конструкция для двойственности Александера-Понтрягина в терминах когомологий алгебры Rjc. Введем обозначение

uTvj := uh .. ,щд <S> vh .. .vjp,

где I = {¿1,... ,iq}, ч < ■ ■ ■ < iq, J = {ju... ,jp} и IП J = 0, /, J С [n], (полагаем = 1).

Разобьем Сп на клетки вида

Ми := {z£Cn:zi 6 М<0,г G I,Zj = 0 ,j 6 J,zk eC\R<0,k £ Iii J},

сопоставленных парам подмножеств I,J С [п], / П ,/ = 0.

Обозначим через Zfz замыкание Zfz в одноточечной (сферической) компактификации S2n = С™ U {оо}. Зададим линейное отображение Iр : R/c —> C*(S2n, Z/c), определённое на образующих Д/с по формуле tp(uivj) := ±Ми, где знак ± определяется из комбинаторики Inj.

Теорема 2.2. Отображение dp : Hs(Rtc) —> Hin-s-\{Z)c) корректно определено и является изоморфизмом двойственности Александера-Понтрягина.

Пусть Р С Ш.т — ш-мерный простой многогранник (т.е. в каждой вершине сходится ровно m-гиперграней), F\,...,Fn — его гиперграни. Будем использовать обозначения

FJ=\jFj, FJ = P\Fh

jeJ jeJ

где J С [п]. Полагаем F® = Р. Сопоставим многограннику Р симпли-циальный комплекс 1С(Р), состоящий из всех симплексов I С [гг], таких что F1 ф 0. Справедливо следующее

Предложение 2.1. Имеют место следующие изоморфизмы:

Н\С" \ ZK{P)) = 0 Fv),

VC[n]

Hs(Cn\ZK{P)) = 0 Hs_lvl(P,Fv).

VC[n] 10

Во втором разделе второй главы рассматриваются когомологии дополнений к вещественным наборам подпространств. Как и в комплексном случае, любой набор вещественных координатных подпространств может быть задан при помощи подходящего симплициального комплекса /С на множестве [п] :

Ук := и

а<£К.

где для о- = {¿1,..., гт} С [п] через Ьа обозначена плоскость

Ьа = {х е Мп : хи = ■ ■ ■ = Хгт = 0}.

Рассмотрим дифференциальную градуированную алгебру (С}', порождённую как свободный Х-модуль элементами

а/Ь/,/, ./С [тг], / П <7 = 0,

мы полагаем аф$ = 1. Степень элементов равна

йе^а^ = 17|,

дифференциал выражается суммой

¿дя/Ь./ = У^±адгЬ/иг, ¿6/

а умножение определено следующим образом

, Г ±аии')игЬш>, если 3 П 5' = 0, V П 3 = 0

а1Ь3 • агЬз. = | 0) еслн 3 п Т ф 0 или г п 3 ф 0

Рассмотрим дифференциальную градуированную подалгебру J¡c алгебры С^', аддитивно порожденную элементами а/^ такими, что множество 7 не образует симплекса в комплексе /С. Алгебра ^ является идеалом С}'. Введем факторалгебру

(Эк = ОЦЗ'к-

Теорема 2.3. Имеет место изоморфизм колец когомологий

Определим подгруппу в QqK р как аддитивную группу с образующими a,[bj, такими что |/| = р, | J\ = q — р. Имеет место разложение

0к= Ф Q~r-

q-p=s

Группы образуют подкомплекс в комплексе (Q4£P, 5q) :

5Q. n-p-l,q гО, Г>-Р'Ч 5q . n~P+l'1 5q ■

• • • ► ► 4tz * Чк. * ■ ■ ■

Следовательно, когомологии HS{Q¡¿) раскладываются в прямую сумму Н°т= 0 H-™(Qk;),

-p+q=s

где H~p'q(Qic) есть когомологии комплекса (Q*^, Sq).

Имеется (не сохраняющий градуировку и умножение) изоморфизм между H*{Rfz) и H*(Qic), и, соответственно, изоморфизм между Н*{С™\ Z)c) и Н*(Шп \ Y/c). Зададим линейное отображение р. : Q^p'4 —► :

p(aibj) = ±uivj,

где знак ±, определен исходя из комбинаторики I, J.

Теорема 2.4. Отображение р, устанавливает изоморфизм между цепными комплексами

• •' * Чк. * Ч к. > Чк у • • ■

и

<Sr г>-р-1>29 ^я r>-p,2q ¿я n-p+l,2q Sr

■ •' —> кк —^ кк —* нк —> • ■ ■ >

и, как следствие, р индуцирует изоморфизмы

и

Н*Ш= ф ф H'^{RK) = H*{RK).

p>0,q>0 p>0,q>0

Для простого то—мерного многогранника Р с множеством гиперграней Fi,..., Fn имеем

Предложение 2.3. Имеет место следующий изоморфизм

Н3(Шп \ Ук(р)) — ф HS(P,FV).

VC[n]

Аналогично комплексному случаю мы описываем двойственность Александера-Понтрягина в терминах алгебры Qk.-Разобьем R" на клетки вида

Gi+1-j ■■= {ж е Rn : Xi е R>0,i е l+,xk е R<0,ке r,Zj = о,je J},

здесь /+, J", J С [п] 1+ П Г = 7+ П J = Г П J = 0, I+ U Г U J = [тг]. Добавляя к данному клеточному разбиению одну 0-мерную клетку {оо}, получаем клеточное разбиение сферы Sn = М™ U {оо}.

Определим линейное отображение на образующих Q/с следующим образом:

I+Dl I'=[n]\{T+UJ)

Будем обозначать dtp(w) — границу tp(ui) в сферической компактифика-ции Sn = Mn U {оо}.

Теорема 2.5. Отображение dip : #s(Qjc) —> Hn-S-\(Y¡¿) корректно определено и является изоморфизмом двойственности Александера-Понтрягина.

В третьей главе мы вычисляем фильтрацию Ходжа на когомологи-ях дополнения к набору комплексных координатных подпространств и применяем этот результат для построения ядер интегральных представлений голоморфных функций. В первом разделе этой главы вычисляется фильтрация Ходжа на когомологиях С" \ Z^.

Обозначим £р — пучок С°°-дифференциальных форм степени р, £p'q — пучок С'00-дифференциальных форм бистепени (р, q), iV' — пучок голоморфных форма степени р.

Определение. Убывающая фильтрация на комплексе де Рама (£', d) вида

Fk£' =

р>к

называется фильтрацией Ходжа.

Фильтрация Ходжа индуцирует фильтрацию FkHs(X, С) на когомологиях де Рама, а именно

FkHs(Cn \ ZK,C) = Im(H°d(Fk£'(Cn \ ZK)) - Щ(£'(Сп \ ZK))),

где Had{£\Cn\ZK)) и Hsd{Fk£'{Cn\Z)c)) ~ s-тые когомологии комплекса де Рама на С" \ Zк и fc-ro члена его фильтрации Ходжа.

Возьмём в качестве покрытия С" \ набор ¿//с — где

г4 = сп\и^ = о}.

Рассмотрим для этого покрытия двойной голоморфный комплекс Чеха-де Рама (Сь(1Ак,, $1Р), й, (5). Определим в нём подкомплекс

состоящий из коциклов шрл вида

(щМ) V С1 —

|/|=р /с[п]\(<г0П-П<г,)

Здесь ^ есть |/| —форма

ск/ _ _ _ _

где I = и ¿1 < ••■ < гк- Когомологии Чеха этого подком-

плекса обозначим Нч(К>с, Тогда фильтрация Ходжа вычисляется

следующим образом.

Теорема 3.1. Имеют место изоморфизмы

\ гК, с) = ф пу,

р>к

Ня(Ык:, Пи>в) ~ #?~р'2р(#к ® С).

Комбинируя эти два изоморфизма, получаем

гкн3{сп \ гК, с) = ф яз-2р'2р(дк ® с). р>к

Во втором разделе третьей главы полученные результаты о фильтрации Ходжа применяются к изучению интегральных представлений голоморфных функций таких, что ядра этих представлений имеют сингулярности на наборах координатных плоскостей. Обозначим через [/ единичный поликруг в Сп :

1/ = {г = (ги ..., гп) € С" : < 1, г = 1,... ,гг}.

Заметим, что момент-угол комплекс лежит на границе ди поликруга.

Теорема 3.2. Для любого нетривиального элемента из РпН8{Сп \ И/с, С) существуют представитель в виде замкнутой (п,з -п)-формы и и в-мерный цикл Г в Сп \ 2/с с носителем в момент-угол комплексе Е/с такие, что для всякой голоморфной в окрестности II функции / имеет место интегральное представление

№) = I а с еи.

В четвертой главе подробно рассматриваются конфигурации плоскостей, соответствующие многоугольникам. А именно, пусть Р есть п-угольник, тогда ему соответствует набор плоскостей

яР = и = ^ =

l<\i-j\<n-l

в СП. Для С" \ ИР мы явно вычисляем базисные циклы в гомологиях, двойственные им по Александеру-Понтрягину циклы в гомологиях Ир, а также формы, являющиеся базисом в когомологиях де Рама для Сп \Ир.

Обозначим Р\,...,Рп грани многоугольника Р. Всякому множеству I С [п] можно однозначно сопоставить набор граней Р[ — Р,. Будем говорить,что 7 С I является связной компонентой I, если ^ является связной компонентой Для любого множества I С [п] зафиксируем некоторую его связную компоненту и обозначим ее /о С I. Обозначим через С/ — множество всех связных компонент 7 С 7, а через С/т/0 — множество всех связных компонент 7 С /, кроме /о.

Рассмотрим (|/| -I- 1)-мерные циклы

ту = (М2 + = 1, к|2 = 1,гк = ё /\ к,з},к £ /},

где ¿,.7 € I. Эти циклы лежат в дополнении к Ир и они диффеоморфны 5<3 х (51)1/1"2. Выберем произвольные индексы I 6 /о^ 6 7 из соответствующих связных компонент и обозначим через Г/ класс гомологий цикла Ту (мы покажем, что он корректно определен, т.е. не зависит от выбора г £ 10)] £ 7).

Зададим следующие формы бистепени (|/|, 1)

]Г П £ П

(27ггЖПЫ2+ П к,12)2

(здесь ск/ = Д ¿г/), 7 С 1С [п]. ш

Теорема 4.2. Пусть 3 < я < п — 1. Тогда следующие наборы циклов и форм

(Г/}|/|=л-1,7еСЛ7о - {^1}\Ц=з-иеС,,Го I

образуют двойственные по де Раму базы групп Н3(Сп \ Zp) и Н3(Сп \ Zp), т.е.

г/;

где 5р/ = 1 при У = 3 и I' = I, в остальных случаях £/,/ = 0.

Также в четвертой главе мы доказываем аналогичное утверждение для базы групп гомологий На(Сп^р) и двойственной ей по Александеру-Понтрягину базы групп гомологий Н2П-8-1{%р) ■ Это доказательство основано на применение теоремы 2.2 для Сп \ Zp.

Основные результаты

• Вычислено кольцо когомологий дополнения к набору вещественных координатных подпространств в К" в терминах алгебры клеточных коцепей вещественного аналога момент-угол комплекса. Построен изоморфизм между когомологиями дополнения к набору вещественных координатных подпространств и когомологиями дополнения к комплексификации этого набора.

• Получена конструктивная реализация двойственности Александера-Понтрягина для дополнений к наборам вещественных и комплексных координатных подпространств.

• Вычислена фильтрация Ходжа на дополнении к набору комплексных координатных подпространств.

• Доказана теорема существования интегральных представлений голоморфных функций в поликруге, ядра которых имеют сингулярности на заданном наборе комплексных координатных плоскостей.

• Построен явный базис в группах сингулярных гомологий и когомологий де Рама для дополнений к набору комплексных координатных подпространств, заданных многоугольником.

Публикации автора по теме диссертации

1. Казанова А.В., Элняшев Ю.В. О гомологиях наборов комплексных плоскостей коразмерности два // Изв. вузов. Матем., 2009, № 10, с. 33-39.

2. Элияшев Ю.В. Гомологии и когомологии дополнения к некоторым наборам комплексных плоскостей коразмерности два // Сиб. матем. журн., 2011, т.52, №3, с. 702-712.

3. Eliyashev Yu.V. The Hodge filtration on complements of complex subspace arrangements and integral representations of holomorphic functions //

J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2013, т.6, №2, с. 174-185.

4. Элияшев Ю.В. Гомологии дополнения к набору комплексных координатных плоскостей, заданных простым многогранником // Тезисы международной конференции "Аналитические функций многих комплексных переменных", 2009, Красноярск, С. 17.

5. Элияшев Ю.В. Смешанные структуры Ходжа на дополнениях к наборам координатных подпространств и интегральные представления // Тезисы IV российско-армянского совещания по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам, 2012, Красноярск, С. 85.

Подписано в печать 21.05.2013. Печать плоская. Формат 60x84/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 2050

Отпечатано полиграфическим центром Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а Тел./факс: 8(391)206-26-67,206-26-49 E-mail: print_sfu@mail.ru; http://lib.sfu-kras.ru

Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

042013602**

На правах рукописи

Элияшев Юрий Валерьевич

КОГОМОЛОГИИ ДОПОЛНЕНИЙ К НАБОРАМ КООРДИНАТНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математи ческих наук

Научный руководитель доктор физ.-мат. на.ук, профессор Цих Август Карлович

Красноярск - 2013

Оглавление

Введение 4

Основные обозначения..........................................18

1 Предварительные сведения 21

1.1 Общие факты из алгебраической топологии .... 21

1.2 Известные факты о топологии дополнений

к наборам координатных подпространств............27

1.3 Когомлогии Чеха, фильтрации и коцепи............34

1.4 Интегральные представления голоморфных функций ..........................................................38

2 Топология конфигураций координатных подпространств 42

2.1 Когомологии дополнения к набору комплексных координатных подпространств..........................42

2.2 Когомологии дополнения к набору вещественных координатных подпространств..........................58

3 Фильтрации Ходжа и интегральные представле-

ния голоморфных функций 74

3.1 Фильтрации Ходжа на когомологиях дополнений

к наборам координатных подпространств...... 76

3.2 Интегральные представления голоморфных функций............................ 91

4 Топология конфигураций плоскостей заданных

простым многоугольником 95

4.1 Группы гомологий ДЧ(С" \ Zp) и двойственность Александера-Понтрягина.................. 95

4.2 База группы когомологий Нэ{С77, \ Zp) .......100

Список литературы 104

Введение

Топология наборов координатных подпространств представляет интерес в различных областях математики: в торической и комбинаторной топологии |5, 7|, в теории торических многообразий, где дополнения к наборам координатных подпространств выступают в роли пространств однородных координат для таких многообразий [16, 17], в теории интегральных представлений голоморфных функций и вычетов в многомерном комплексном анализе, где наборы координатных подпространств выступают в роли сингулярных множеств ядер интегральных представлений [1, 21].

В книге Горески и Макферсона [19] (см. также |8]) был разработан универсальный комбинаторный метод вычисления когомологий для дополнений к произвольным наборам плоскостей, однако этот метод трудно применим для реализации явных конструкций базисных элементов когомологий и часто ведет к довольно громоздким вычислениям. Исследования в области торической топологии, в частности работы Бухштабера и Панова и других авторов [2, 3, 5, б, 7] позволили найти методы вычисления групп когомологий дополнений к координатным, наборам комплексных подпространств, которые в ряде случа.ев проще универсальных методов и позволяют получать некоторую дополнительную информацию. Надо заметить, что топологии дополнении к координатным наборам вещественных подпространств было уделено меньше внимания.

Теория многомерных вычетов, также как и теория интегральных представлений голоморфных функций, основана па некоторых модельных дифференциальных формах и двойственных контурах (циклах) интегрирования [1, 21]. Исторически, первыми были многомерное ядро и интегральное представление Коши, доказанное Пуанкаре в 1887 году, а также ядро и интегральное представление Бохнера-Мартинелли, доказанное в 1938, 1943 годах. Эти интегральные представления явились эталонными, из них впоследствии на основе гомологических и когомологических процедур был построен ряд других интегральных представлений. Цих [23] в 1999 году предложил стратегию построения вычетов для ядер с сингулярностями на наборах координатных плоскостей. Идея заметки [23] получила развитие в более поздних статьях [11] и [21]. Для решения названных выше задач многомерного комплексного анализа важным является изучение топологии дополнений к наборам координатных плоскостей, в частности, изучение групп гомологий и когомологий дополнений к таким наборам.

Задача построения ядер интегральных представлений голоморфных функций также связана с вычислением фильтрации Ходжа на когомо-логиях. Фильтрация Ходжа - это одно из основных понятий теории Ходжа [9, 20]. Для компактных кэлеровых многообразий, в частности, для проективных многообразий теория Ходжа [9, 20] позволяет напрямую связать аналитические свойства пространства, выраженные его когомо-логиями Дольбо, с топологическим свойствами, выраженными когомо-логиями де Ра.ма. Особенную эффективность и завершенность теория Ходжа, получила, для компактных кэлеровых многообразий. Для некомпактных многообразий эта связь устроена сложнее и изучена мало.

Для приложений в комплексном анализе, в частности, в теории мно-

гомерных вычетов, полезной оказывается двойственность Александера-Поитрягииа [1|, [4], [13|. На практике она позволяет заменять в интегралах от замкнутых форм циклы на, гомологичные им циклы, по которым интеграл вычисляется проще. Поэтому явное описание двойственности Александера-Понрягина представляет определённый интерес для аналитических приложений.

Целью работы является: изучение когомологий дополнений к наборам координатных подпространств (как комплексных, так и вещественных), а именно, вычисление кольца когомологий дополнения к набору вещественных координатных подпространств, явное описание двойственности Александера-Понтрягина, а. также вычисление фильтрации Ходжа на дополнении к набору комплексных координатных подпространств и построение ядер интегральных представлений голоморфных функций.

В работе используются методы алгебраической топологии, комплексной алгебраической геометрии и многомерного комплексного анализа.

Основные результаты

• Вычислено кольцо когомологий дополнения к набору вещественных координатных подпространств в Построен изоморфизм между группой когомологий для дополнения к набору вещественных координатных подпространств и группой когомологий дополнения к комплексифика.ции этого набора (Теоремы 2.3 и 2.4).

• Получена конструктивная реализация двойственности Александера-Понтрягина для дополнений к наборам вещественных и комплексных координатных подпространств (Теоремы 2.2 и 2.5).

• Вычислена фильтрация Ходжа на дополнении к набору комплекс-

ных координатных подпространств (Теорема 3.1).

• Доказана теорема существования интегральных представлений голоморфных функций в поликруге, ядра которых имеют сингулярности на заданном наборе комплексных координатных плоскостей (Теорема 3.2).

• Построен явный базис в группах сингулярных гомологий и когомо-логий де Рама для дополнений к набору комплексных координатных подпространств, заданных многоугольником (Теорема 4.2).

Содержание работы

Первая глава является вспомогательной и содержит различные математические конструкции, факты и теоремы, которые используются в основной части работы. Глава состоит из четырёх разделов. В первом разделе собраны различные факты из алгебраической топологии: описаны конструкция двойного комплекса и различные теоремы, касающиеся их когомологий. дано определение индекса пресечения и коэффициента зацепления, сформулирована теорема двойственности Александера-Понтрягина, описана конструкция умножения в когомологиях клеточного комплекса. Во втором разделе собраны основные факты из торической топологии и топологии дополнений к наборам координатных плоскостей: дано описание набора координатных плоскостей 2 в терминах комбина.-торикм симплициального комплекса /С, определен момент-угол комплекс и алгебра его клеточных коцепей, сформулирована теорема о том, что кольцо когомологий С'1 \ изоморфно кольцу когомологий Як. В третьем разделе собраны факты из комплексной геометрии и дифференциальной топологии: даётся определение двойного комплекса Чеха-де

Рама, фильтрации Ходжа на когомологиях комплексного многообразия и конструкция резольвенты цикла. В четвертом разделе собраны основные известные факты об интегральных представлениях Коши, Бохнера-Мартинелли и др.

Вторая глава посвящена когомологиям дополнений к наборам координатных подпространств в С" и Мп. Сформулируем результаты первого раздела второй главы и необходимые для их формулировки факты из первой главы.

Зафиксируем множество [п] = {1,...,п}. Пусть /С есть симплици-альный комплекс на множестве вершин [тт.], т.е. вершинами симплексов из /С служат элементы из [п]. Пусть дано некоторое подмножество а = {{],... , ц} С [п], будем писать а € /С, если (д — 1)-мерный симплекс натянутый на вершины {¿ь . .. , ?,(у} лежит /С, в случае когда симплекс па вершинах {¿1,... ,г9} не лежит в /С, будем писать о ^ /С. Любой набор комплексных координатных подпространств в С'г может быть задан с помощью подходящего спмплициального комплекса /С на множестве вершин [п]. А именно, рассмотрим конфигурацию плоскостей

где для а = {гь . .. ,гт} С [п\

К = {г е С" : = г||П = 0}.

В нашем исследовании важную роль будет играть следующее понятие.

Определение. Кольцом, Стенли-Райснера (или кольцом граней) спмплициального комплекса 1С па мноэюестве [/¿] называется факторколь-

цо

ЦК ] = Щиъ...,упух^

где Т/с ~ однородный идеал, порожденный мономами ит — П?ет для которых т ^ 1С.

В терминах кольца, Z[/C] Бухштабер и Панов [7] (см. также Теорему 1.5) доказали, что имеет место изоморфизм колец когомологий

где Як, — есть дифференциальная градуированная алгебра

Як: - к{иъ...Л1п]®Ъ{К]и.

Здесь ...

^/г] — внешняя алгебра, — кольцом Стенли-Ра,иснера, 3 — подходящий идеал, (точное определение см. в разделе 1.2).

Мы начинаем раздел 2.1 с того, что строим аналог двойного комплекса Чеха-де Рама для алгебры Як;. В разделе 3.1 этот комплекс связывается с комплексом Чеха,-де Рама для подходящего покрытия С" \ Этот комплекс весьма схож с тем. который использовался в работе Данилова [10, параграф 12] для вычисления когомологий произвольного торического многообразия.

Также в разделе 2.1 строится явная конструкция для двойственности Александера.-Понтрягина в терминах когомологий алгебры Я/с. Разобьем С"' на клетки вида

Ми := {г е С" : 2г € М<0, г е I, = 0, ] е 3, гк еС\Е<0, к I и 3},

сопоставленных парам подмножеств I. 3 С [п], I П 3 = 0.

Обозначим через замыкание Zк; в одноточечной (сферической) компактификацпи 52п = С'г и {оо}. Зададим линейное отображение

р : Ric —> C*(S2n, Zfc), определённое на образующих R^ следующим образом:

<p{ujvj) := ±Ми,

знак ± определяется из комбинаторики / и J, точное определение дано в разделе 2.1.

Теорема 2.2. Отображение dp : HS(R>с) —> Н2П-ь-\{%к) корректно определено и является из ом,орфизмом двойственности Александера-Понтрягина.

Пусть Р С Мш — m-мерный простой многогранник, F-\,. .. , Fn — его гиперграни. Будем использовать обозначения

з e.i jeJ

где ^ KI- полагаем i7^ = Р. Сопоставим многограннику Р симплици-альный комплекс /С(Р), состоящий из всех симплексов / С [п] таких, что F1 ф 0. Справедливо следующее

Предложение 2.1. Имеют место следующие из ом,орфизмы:

Я* (С" \ZK(p)) — 0 H*~W{P,Fv),

VC[n]

H,(C»\ZK{F])= 0 Hs_{vl(P,Fv).

VC [„]

Во втором разделе второй главы рассматриваются когомологии дополнений к вещественным наборам подпространств. Как и в комплексном случае, любой набор вещественных координатных подпространств может быть задан при помощи подходящего симплицпального комплекса /С :

Ук. ■= U ь°>

crg/C

где для а = {гь . . . ,г.,„} С [п]

Ьа = {х е Мп : х{1 = ■■■ = х1т = 0}.

Рассмотрим дифференциальную градуированную алгебру , порождённую как свободный Ж-модуль элементами

а>]Ьи:1, 3 С [тф/П 3 = 0, мы полагаем а.060 = 1. Степень элементов равна

degarbJ = \3\, дифференциал выражается суммой

а умножение определено следующим образом

( если 3 П 3' = 0, /' П 3 = 0

а/0.7 ■ = <

0: если 3 П 3' Ф 0 или ГПЗ ^ 0.

Рассмотрим дифференциальную градуированную подалгебру J¡c алгебры С}', аддитивно порожденную элементами а/6.; такими, что множество 3 не образует симплекса в комплексе /С. Алгебра, Jj(i является идеалом С/. Введем фактора л гебр.у

Я 1С = Я'и К,■

Теорема 2.3. Имеет место изоморфизм, колец когомолоаий

#*(МП\ Ук) =

Определим подгруппу С}кр'м в Ср, как аддитивную группу с образующими а/бл такими, что \1\ = = Я V• Имеет место разложение

% = 0

д-р=в

Группы образуют подкомплекс в комплексе <5д) '■

... А, д-Р-1-? А, д-м д-Р+1.9 ...

Следовательно, когомологии Н*(С}к;) раскладываются в прямую сумму

-Р+Ч=N

где Н~рл,{С}]с) есть когомологии комплекса,

Оказывается, имеется не сохраняющий градуировку и умножение изоморфизм между Н*(11к) и Н*(С>1с), и, соответственно, изоморфизм между Н*(С"' \ Z¡c) и Я~*(МП \ Ук). Зададим линейное отображение /л •' —> по формуле

хде знак ±, определен исходя из комбинаторики /.,/.

Теорема 2.4. Отобраглсение /л устанавливает, изоморфизм между цепными комплексами

■ • ■ д-р-1»' ...,

и

6К-. г>-р-1;2</ ¿я, п-Р,2ц <5 я, о-р+1,2г/ ¿я

• • • > /С ' ' ' '

и как следствие /.а индуцирует изоморфизмы

и

н*ш= 0 н-^шй 0 =

р>0,д>0 р>0.д>0

Для простого т—мерного многогранника Р с множеством гиперграней Г\,.... имеем

Предложение 2.3. Имеет место следующий изоморфизм

УС[п]

Аналогично комплексному случаю мы описываем двойственность Александера-Понтрягина в терминах алгебры (^¡с. Разобьем Мп на клетки вида

С/+У-.У := {.г € М" : х, е Ж>(). г е 1 + • хк € М<0, к € zJ = 0,э е 3],

здесь /+, /", 3 С [я] /+ П /" = /+ П 3 = Г П 3 = 0, /+ и Г и 3 = [га]. Добавляя к данному клеточному разбиению одну 0-мерную клетку {оо}, получаем клеточное разбиение сферы = Ж,г и {оо}.

Определим линейное отображение па образующих следующим образом:

c/Kar&j) := ^ ±G,

/+/-J-

/+D7 /- = [7г]\(/ + и,У)

Будем обозначать дц>{и) — границу </?(и;) в сферической компактифика-ции S'1 = R" и {оо}.

Теорема 2.5. Отображение dtp : Hs(Q/c) Hn-s-i(Y/c), корректно определено и является изоморф'азмом двойственности Александера-Понтрягина.

1 о 1 о

В третьей главе мы вычисляем фильтрацию Ходжа на когомологи-ях дополнения к набору комплексных координатных подпространств и применяем этот результат для построения ядер интегральных представлений голоморфных функций.

В первом разделе этой главы вычисляется фильтрация Ходжа на ко-гомологиях Сп \

Обозначим Ер — пучок С^-дифференциальных форм степени р, — пучок С^-дифференциальных форм бистепени (р, д), О,1' — пучок голоморфных форма степени р.

Определение. Убивающая фгыьтрация па комплексе де Рама {£', с1) вида

р>к

называется фильтрацией Ходэюа.

Фильтрация Ходжа индуцирует фильтрацию ЕкН*(Х,<С) на когомо-логиях де Рама, а именно

Ffctfi'(С" \ С) = 1т(Щ(Ек£'(Сп \ ЗД) Щ(Г(Сп \ ЗД)),

где Щ{£9{Сп \ гК)) и Щ[Рк£'{Сп \ г^)), соответственно, з-тые кого-мологии комплекса, де Рама на Сп \ Z/c и А;-го члена его фильтрации Ходжа,

Возьмём в качестве покрытия Сд \ набор Ы^ = {иа}а€К.-, где

Ыо = сп \ 1){гг = 0}.

г^ст

Рассмотрим двойной голоморфный комплекс Чеха-де Рама, для этого покрытия

(С1(иц:,С1р),с1,6). Определим в нём подкомплекс

состоящий из коциклов ир,(> следующего вида

с1г!

,<гч = Е

1Л=р

/с[п]\(сг0П Па„)

Когомологии Чеха этого подкомплекса обозначим Нч{Ы)с^1{0ГТ). Тогда фильтрация Ходжа вычисляется следующим образом. Теорема 3.1. Имеют место изоморфизмы

р+ц=ь р>к

Комбинируя эти два изоморфизма, получаем,

Также в этом разделе мы объясняем взаимосвязь между двойным комплексом для алгебры В ¡с и двойным комплексом Чеха-де Рама для покрытия Ык.

Во втором разделе третьей главы мы занимаемся применением результатов о фильтрации Ходжа для изучения интегральных представлений голоморфных функций таких, что ядра этих представлений имеют сингулярности на наборах координатных плоскостей Обозначим и единичный поликруг в С" :

и = {г = .... гп) € С" : \г,\ < 1, г = 1,. . . , д}. .

Заметим, что момент-угол комплекс 2^ лежит на границе ди поликруга.

Теорема 3.2. Для, любого нетривиального элемента из ЕпНь(С1 \ 2¡с, С) существуют представитель в виде замкнутой (п. 5 — п)-формы

со и в-мерный цикл Г е С \ ^ с носителем в момент-угол комплексе такие; что для всякой голоморфной в окрестности 13 функции f имеет место интегральное представление

В четвертой главе подробно рассматриваются конфигурации плоскостей, соответствующие многоугольникам. А именно, пусть Р есть п-угольник, тогда ему соответствует набор плоскостей

гР = и = ^ =

в С"'. Для С" \ Zp мы явно вычисляем базисные циклы в гомологиях, двойственные им по Александеру-Понтрягину циклы в гомологиях Z ¡>, а также формы, являющиеся базисом в когомологиях де Рама для (Cn\Zp.

Обозначим .....Рп грани многоугольника Р. Всякому множеству

/ С [п] можно однозначно сопоставить иа.бор граней Р[ = {_)1еГ Рг- Будем говорить, что 3 С I является связной компонентой I, если pJ является связной компонентой Р[. Для любого множества 7 С [п] зафиксируем некоторую его связную компоненту и обозначим ее /у С 7. Обозначим через С/ — множество всех связных компонент 3 С 7. а через Си0 — множество всех связных компонент 3 С I. кроме /о-Рассмотрим (|7| -I- 1)-мерные циклы

Г/ - {\zг\'¿ + Ы2 = 1. \гч\2 = 1, ^ = 1; <7 € 7 \ {г, к $ /},

где г, 7 € 7. Эти циклы лежат в дополнении к Z\-> и они диффеоморфны 53 х (51)'7'"2. Выберем произвольные индексы г Е 7о,7 € 7 из соответствующих связных компонент и обозначим через Г'/ класс гомологий

цик�