Условия голоморфности функций многих комплексных переменных, связанных с группами преобразований области тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕЕЯ'НШ СССР С2ВИРСК0Й ОТДЕШ11Е ШШГГУТ MATEtiATKC!

lía правах руг.ош-сп

Сэгйноз Дзвкоштдр [¿вмйлозеч »

УДК 517.523:517.SES.&

услоаш голо'дмности шгаща вига шшввш

ПЕРЕМЙ21ШХ, СВЯЗАННЫЕ С ГРУШАМ!!

ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ШЛАСГН

01.01.01 - штег/:гякчосп.':Л гшалкз

Авторе фор а? дкссергацкп на соизшгаэ ученой степени кавдцяата фиопко-гатекатячэсшк паук

Нсвоспбнрск - 198Э

•'•олкена на кьфедре катеынтичееки ■ государственного университета им.-!»-. ....

ил л.

. ■ >учнь!й руководитель: доктор физико-математических

наук, .профессор С. С. КУТАТШ^ДЗЕ.

Официальные оппоненты: доктор физико-иатематических

тук, профессор С.Л. КРУШКМЬ, гсшушдат физнко-иатеиатичаских наук В.Ы. ГИЧЕЗ.

,-Ведущее учреадежге: Московский государсгветкш педагоп;-

чоскиц интгау? га.й.И. Лежна.

Зида-а диссертации состоится "_" ,_IS 89 г.

в__часоа на заседай«:! специализированного совета

К 032.23.02 по пр::су-вденк2 ученой сгепенп кавдздата фязико-иатецаткчосглк ¡;аук в Институте глтш) нки СО /Л СССР (630090, Новосибирск-ОО, УниверситегекШ пр., 4).

С диссертацией иоано ознаксактьсл а библиотеке Института штештнкл СО АН СССР.

Аоторефера? разослан " _" .__1989 г

Ученый секретарь ".пецталмзированного совета /У '1

кандидат фяэико-иатематическых Г | / /

наук J U-^-y f B-D- ШЛЮЗ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность .теш. Исследование голоморфных функций и юс граничных значений является классически! направлением з теории функций многих комплексных переменных. Истоки данного направления восходят к работам Пуанкаре (1907) и Гартогса (1906), а которых они обнаружили эффект продолнаемости функций. Пуанкаре, пользуясь разлояенкем функции ка сфере на сферические гармоники, показалг что все функция голоморфные з окрестности границы шара в С*, голоморфно продолжается внутрь этого шара, ""артогс получил аналогичный результат для ограниченных облаа-?ей в С" со связным дополнением* Дальнейшее развитие теории "оломорфных функций связано с работами А. Вейля, А. Картана» )ка, Лере и др.

Последние десятилетия отмечены бурным развитием многомер-ого комплексного анализа и в особенности теории граничных качений (достаточно упомянуть шогочисленныэ результата о го-оморфнси продолгенкп с многообразий Копш-Ркмана).

Многие ваяныэ классы комплексных областей обладает одно-эдной структурой (т.е. имеот транзитивную группу аналитическое автоморфизмов). Инвариантность пространств непрерывных в шыкании области функций, голоморфных внутри области и их [едов на границе, относительно действия группы аналитических 1томорфизмов области, дает предпосылки для применения к воп-саи голоморфного продолжения методов гармонического анализа теории представлений групп Ли. Плодотворность применения упповых методов убедительно продемонстрирована в классичес-х работах С.Бохнера, А.Картана, Хуа-Ло-кена, а в созремен -й период - Е.Стейна, Г.Вейсса, У.рудина, С.Хелгасона и др.

3

В настоящее время теория голоморфных функций и их граничных значений далека от завериения п активно развивается. Вопросы» связанные с ней, актуальны в комплексном анализе.

Нет тика исследований. Работа основана на применении методов гармонического анализа, ^штегральных представлений и теории представлений групп Ли.

пата -работа. Диссертационная работа посе чдена получении критериов голоморфности ж существования голоморфного продолжения фушздге!, классификации инвариантных относительно стационарной г'одгртшхк нулк группы аналитических автоморфизмов функциональных пространств на границах Шилова огпапиченнкх симметрических областей первого оша.

Иаутадя новизна таборы. Все результаты диссертации является новыми.

I. Нолучон кркторяй голоморфности Функции, заданной в шаровом слое из С" .

2С В терминах одномерного голоморфного продолжения найдены критерии существования голоморфного продолжения фупкщй о комплексной сферы.

3. Получены критерии существования у функций голоморфного продолжения для сграпичетшх областей с границей кгасса Ск .

4. Полностью классифицированы инвариантные относительно с-таддонарной подгруппы пула группы аналитических автоморфизмов подпространства цроотранства интегрируемых с квадратом функций на границах Шилова двух основных серий ограниченных симметрических областей.

Практическое и те, этическое значение. Работа косит тео-

ретический характер и нонет найти применение э теории функций кяопас штлекскых перененньк.

Апробагстя работы. Результаты диссертации доккадцвались на ВсесоазноП шкоде-сеиинарз "Комплексной амалик к иателкги-ческая физика" (г.Красноярск, 1£67), на 1У пколе мол о,чих математиков Сибири и Дальнего Востока (г.Новооибирск, 198?; 0ка научно-исследовательских сеюзгарах Инс "нтуха цитенотякп СО /Л СССР, Института физики СО Ш СССР (г.Рраснояргх), Московского государственного университета и Омс?с-гс государственного университета.

, ПуО'гикаими. Основные реьульта-.-* дкссзрлщич с-п^яштппи в рзбитгх [Э-12].

Объзи работы. Диссергасяк излочена на 96 й слстоге га впеде.тал, трех глаз я списка яз'мг&туры кз 41 неииэнозптя.

обзор содазника р/Бога

Первая глава посвяцона изучения >тпг?*р«0~1швар!гшутае подпространств в ¿£( С") . Получен вря?е^пЯ гоясюрфлсч-яп фукюсрш о заданной э паровом сямз кз «

Первый параграф еодеркш? нес&год&я* спродешпгя а некоторые вспомогательные результаты.

Пусть Н'/ху) - с?-*зчпе па сдпнзпяуэ сфагу ги С" прострзлстяа псех гаргкжичосшх едвсродииж полгядагов, имещгж

пслиук степень } по переиетгнм г<.....г„ г? паяцу» степень ?

по переде,лин ,„.,?, . Чзрез е Н(р,у) обозначил с|ер!чес1^уп фуякцта, одкотнянно ведеядакуг) условен «жваркакг-иости относктелько стационарной подгруппа гчкгют ,0,... ,0) и нортровчой ЦК^Н^^п = КР1 (Ь) . Пусть - прост-

ранство, состоящее из всех линейных комбинаций функций вида с(г)-/¡(3) , где с(ъ) _ радиальная функция, ЬЦр.у)

и с(?.)-Ы&) « ¿? (Сп) . Ортогональный проектор £[С*) на Я(р^) обозначим через .

Пространство X с С) будем называть унитарно-инза-риантным, если для всех ^ е X и всех иеЩп) функция е X.

Пусть

¿РЧ^-Ь) = , 5 «в",

где

и /4 - нормированная мера Хаара на унитарной группе. Основным результатом первого параграфа является

ТЕОРЕМА 1.3. ¿.8 ( С") ~ замкнутая линейная оболочка функций , где гг.и е.\}(п) и О содер-

$ .

Иди, говоря на языке унитарно-инвариантных пространств, Щйзйнальное замкнутое унитарно-инвариантное подпространство в ¿.4{ С"), содержащее все функции , ^&

>, о, содержит ^ .

Пусть Я - аналитический диск в , т.е. Я = у ( &*) , *де В1 - единичный круг в С , у : В* С - голоморфное отображение класса С1 ( В') , и пусть А*" - аналитический , диск, параметризованный отображением

?Г> : В* —'.С" . Через ЭЛ обозначим границу Шилова диска Я . Пусть

результаты. Во втором п;ц- .графе для случал единичного шара доказана достаточность ряда семей-тв комплексных пряла. Приведши примеры довольно широких семейств прямых не являющихся достаточными.

Пусть Скт , т 4 п - группа всех унитарных прзобра зований з С" вкда

Теорем» 2.3 усиливает результат У. Рудина.

ТЕОРЕМ 2.3. Пусть - семейство кокпиекених прямых, не проходвдих через О „ которое 0-т - инвариантно для некоторого фиксированного /п и

Пусть W - произвольная окрестность единицы унитарной группы U(n) . СеыеЯстая комтиексных прямых определим ра -венетвоп

= U , , = f Ы(Л): Л е } •

-г«Гв V

Тогда достаточно для голоморфного продолжения.

Результат й. 1'лобеэннка елсдуез кз теоремы 2.3 (я = 2 и т =» I).

ТЕОРЕМА 2.5. Зафиксируем £ е (О, I). Пусть Г - подпространство в С" размерности я-* п ^ - паровой слой э Г :

$1 = { г « Г ; ¿-г л-г}-

f А О

S

и (Ans4) г 5 Л « J-,

Обозначим через множество всех комплексных пргагых, пе-ресекащих SL . Семейство достаточно для голонорф -

кого продолжения со сфзры S" в cap Вп .

И: ?{;ресно, что 'Jq не является достаточный для :ln<i} (призер 2.4).

ТЕОРШ 2.6. Пусть fd! = H//z/ проекция <С"\ { 0} на 5" и множество М с <с" {О } удовлетворяет условиям:

1) если 2« М , то и fг е М для всех t , ¡Ц = I ;

2) зад;» какие J5(A?J шеет подоготелькую лебегову меру на о

Тогда сеиейстЕО всех кошпексных пря'-лег, пересекводих

М достаточно доя голоморфного продолжения со сферы vSn .

3 третьей параграфе второй главы рассматриваются ограниченные области в С" с граищей класса Сг . Теорещ 3.2 и 3.3 усиливают результат Е. Стаута [73 . Их доказательства используют идеи A.M. Кытианова [1, с.264J

у а ¡¡ценно»

получедио теоремы об одномерном голоморфном продоляешш с помощью проективной версии формулы Mr тгинелли-Еохнера.

I'EOPEMA 3.2. Допустим, что область 9. со^эпа . Пусть V - произвольное открытое подмножество в SI и 3-у -семейство осех комдаеклных прямых» пересекающих V . Тогда Зу достаточно ддя голоморфного продолжения с границы dSi . ТЕОРЕМА 3.3. Пусть с" \ {SIи22J связно. Пусть U - огкригое лодмяояеетво единичной сфоры -S" . Обозначай через семейство коыплексных прямых, пересекающих

, вида | а + i- s , где a е SL , & е U .

Тогда 3-v достаточно для голоморфного продолжения с ^SL , Большинство результатов первой и второй главы получены

о

= / з < : тп /глГ/ < /г/ < /л«* ¡ь/(Х

и /- « С( ) . Будем говорить, что е Н^ , если любого к. « УС"] сужение / "Э^^ <4.) , где - образ

аналитического диска К. при унитарном преобразовании и. допускает непрерывное продолжение о и. ( Я и Ъ я) г голо-мсрйпос! о и- К ,

Гю втором параграфе первой главы изучаогся унитарно-инвариантные пространства , Н^ . Доказаны:

ТЕ0РЕ2>1А 2.1. Пусть в £ Я ид К. . Зафиксируем натуральное чксао У , и пусть для всех наборов целых неотрицательных чисел к-!,---, ><п , таких, что «1 + к,, - // , функции • ...■ € .Тогда « Нд .

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть либо ^ « Яд п С *(.£,.) , либо / & Ня Л Н;.» . Тогда, если функция ^ зависит только от |г[ , то постоянна в 52.^ .

В третьем параграфе первой главм доказан критерий голоморфности функции, заданной в шаровом слое из С" . Р&сгаот-рены об обтекла этого крит&рия- н приведены яесбходгшые примеры. Основной результат сформулирован в теореме 3.1.

ТЕОРЕМ 3.1. Предположим, что аналлтггсесгкй диск Я удовлетворяет условиям: I) О / Я и а!\ , II) "ЭК не содержится на в какой кокпнаксяой правой

в С" , проходящей через О » Пусть либо £ е Нд А С1(51я) , либо $ & Нп п Н. Тогда фуиютия $ голоморфна з .

Другпж сяовагз, вкпоакеняэ условия 'Ч и в"?чэт вкяшенпя Ня п с а '<я п Нк* ^ Н(--я) .

7

Зторая глава посвяцена изучении услозий при которых непрерывная функция допускает гсломг-фное продолжение с границ." сбльсти з область. Центральное место в этой главе ьокимает свойство одномерного голоморфного продолжения.

Будем говорить, что функция $ е С(о-Й.) дмгускает го-ясморфясз предодаение вдоль комплексной прямой Л , если для сужшия т'л-5! 352 Л А существует функция РЛ непрерывная в (Л иЪЯ)П Л и голоморфная в АлЛ 9 такая, что г 5 I Э32 л Л • Скаяем, что семейство комплексна прямых

Л Л

достаточно для голоморфного продолжения, еачи всякая фунздчя / г С ( ЗЛ ) , допус1саэдая голоморфное продолжение вдоль всех пряьак из даш: зго семейства» принадлежит пространству А(ЭЛ) , т.е. имеет продолжение непрерывное с Л и Ъ51 л голоморфное в

Первый результат в данном направлении пр;шадлегит Ы.Л. Аграновскому и Р.З. Оальскому. В работе [ 2] доказано, что множество всех прямых, пересекающих едкличний вар в Сп, достаточно для голоморфного продояжек^я со сферы 5" . Затем Е. С?г.уу С 7] распространил этот результат на произвольные области с границей класса С* . Дальнейшие исследования "или направлены на поиск более узких достаточных семейств прямых. Отметим результаты У. 1удина ( [6] , теорема £2.3.11), М.1. Аграновского [3] , Я. Глобев;.,пса . [4} , Е. Гринберга [5] . У. .удин доказал, что в случае единичного лара достаточна является семейство всех касательных прямых к сфере фиксированного радиуса г < * с центром в нуле. й. Ляобев-ник в случае п = 2 указал довольно узкие подмножества этого семейства также являющиеся достаточными.

Первый параграф второй главы еодергкт вспомогательные 8

У

£ = Л .

1- i где

- 2 Ма.....

1 1т.

= 0,1 ; « к, ¡г. ; ¿г * > "¿г * л-* •

Здесь М(!,■■■, , , 4г ) - определитель минора матрицы 2 , подученного пересечением первых ¿г стслЗцов и строк, соотсетствугщнх элементам мнозествн 1, < ¿о••

} I , ""иг-^г),) - определитель ий-

нора матрицы Т. , полученного пересечение'« последних столбцов и строк, соответстзувщих элементом гзюяества ^ ,"-0*-^),..., л-*

ТЕОРЕМА 2.7. Пусть К) = 2. Тогда регулярное 1!редс?авле-.ние ;з«еет простой спектр* Пространство р.-кяадывае?ся

в прямуп сущу неприаодажз /\ - инвариантных подпространств

где суммирование ведется по всем представлениям , сигнатуры которых имеет вид

{5 ~г. ;< -• • • -^' ^ )

и X принимает значения 0, £1 . .. 1 /тип ( , -Т„ ] Старший весовой вектор £ ^ из пространства Н£ равен

Теоремы 2.Х и 2«7 дшот описание всех /< - инвариантных псщлроетрг !стз в ('Э) и ) . Любое такое

подпространство есть ¿г - замыкание алгебраической сум?.£ы некоторого набора пространств » где £ принадлежит спектру ]регулярного представления.

Пространства состоят из К^ - гармонических полн-ноиов, т.е. общих решений исех уравнений О(I) - О, где В - произвольный 1''% - инвариантный дифференциальный оператор с пэстоянныш коэффициентами, аннулирующий константы.

ТЕОРРЖ 2.9. Спектр регулярного представления простой только при т = 5,2,, , '7 .

Теорема 2.9 покагываст, что при 2<т <п-£ разлоаение пространства 12(Ъ} на неприводимые ортогональные К -инвариантные подпространства существенно неоднозначно.

В третьем параграфе третьей главы изучаются некоторые представления эквивалентные регулярюму. Найдены диффереюда-альше операторы, действующие в пространстве старших векго -роа.

3 заключение автор выравает искреннюю признательность саоьму научному руководителя профессору С.С. Цутателедзе за всесторонним поддереву, а также доктору фнзико-матеым'ичес-ких наук И.Л. Аграновскому за плсдотворныо оО'сувдення тте~ риала диссертаций.

с использованием гармонического анализа функций на сфере 5" (граница. Шилова единичного шара б" ). Третья глава посвящена вопросам гармонического анализа на границах Шилова ограниченных симметричес- ес областей перзога типа.

Пусть ОД (»кп) _ ограниченная симметрическая сбл&зть первого типа,

ОД = | г * rtai(mxh> С) : Г(м)- 7. г* > О } .

Условие больээ нуля сзна^чет, что прмитов& матрица полаш-тельно определена. Б частности, О" -■ В" . Границу Шялоза области будем обозначать через

3 первом параграфе даются необходим определения, приводятся известные теоремы и получены аспомогагельиь,- результаты.

Пусть К = игл?)* !/(*) _ группа действующая на по правилу к{7.) - к^Т. к'^ , Л = ^ , > е К . Группу К можно представить в виде /<А- Кд , где /<д - 1/(т)* 1{п> .я К^ - Г"^ £/(".) подгруппы левых и правых "нятарик сдвигов. Огч-оделвл представление группы К в ) По

правилу: = , А е К . Представление 7Г* бу-

дем называть регулярным.

Ео втором параграфе третьей главы дана полная хяассифя-аацяя К - инвариантных подпространств в пространства*. иСдй"^) и Эо " ) . Исследсвей вопрос о простоте спектра Регулярного представления.

2 л

Ззктор J е ) называется Кд - ф'лнитнка,

есяя векторное пространство ^ ^ , натянутое на орбиту » вектора ^ конечномерно. Вектор ^

II

называется - финитным типа 5 > если представление группы на {^ , порожденное представлением

7Г , разлагается е конечное vиcлo копий, эквивалентных: предстаялеииэ В . Обозначим через подпространство

в //( ) , состоящее из всех К - финитна. векторов типа ♦ Пусть Кд - множество классов эквивалентности коьечномеркш унитарных неприводимых представлений группы Кд , для каждого из которых пространство непусто. Известно [8, с.4403 , что

¿?(Ъ0пт) * э Нг .

Зафиксируем ¿Г е К™ .

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть т-п-1 . Тогда регулярное представление илеет простой спектр. Пространство И".'1 рас-

ь

кладывается в пряцув сумму неприводимых К - инвариантных подпространств И£ ,

н;' = 9 и£ , д £

где суммирование ведется по всем представлениям £6 К 0 сигнатура («!,... , ; , ... , ) которых удовлетворяем' условиям:

а) Г» * «1 V ... * С* * «/>-< * /

б) + «, + •= ____+ .

В каадш пространстве Я содержится единственный ем,рюий весовой вектор , ныевднй вид

ЛИТЕРАТУРА

{. Айзенберг Л.А., йааков А.П. Интегральные представле-imjf ^ рычеты в многомерном комплексном анализе. - Новосибирск: Наущ{ 1979. - 368 с.

2. Аграновский М.Л., Вальскяй Р.З, Максимальность инва-ршфт|шх алгебр функций // Си б. мат. гурн. - 1971. - T.I2,

9 I; Г С.3-12.

3. Аграновский М.Л. (^вариантные пространства функций gg ЩТШ Гейзекберга // Сйб. мат. яурн. - 1987. - Т.28,

О " С.6-27.

4. Ct-loéevnik Т. Оп hdomoiphic ех^ел^.олз £т.от sphezes Íf¡ £*// Pw. Roy. Soe. BJlnh. - 1Э83. - Vel.MA.-P. iil-iio.

5. G-ítn&ng £. Qouncfazg. vctíues of httwiphit fuflc-tio/ti ÜaJty> tzahifb-im "£»/»(/ ihe. one dimensional Gxíeniton piopttt^ . - 1ЭЁ6. ( Px^tink )

6. Гудки У. Теория функций в единичном шаре яэ С" . -М.: Мир, 1984. - 456 с,

7. Stouí E.L, The $очпе(а1£ -valnes oj- htiwtfhi'-fnnt,t¿Q*$ of sevoia£ irtttiaSies j¡ Duhe. M»tk. J. - Í99*. - Vbl.Hti. - P. IOS - IOS.

8. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. - I!.: Мир, 1987. - 736 с.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕНВ ДИССЕРТАЦИИ

9. Аграновский М.Л., Семенов А.М. Голоморфность на унитарно-инвариантном семействе кривых в С' // Скб. мат. - • пуря. ~ 1988. - Т.29» » I. - C.I92-I96.

10. Семенов А.М. Голоморфное продолаениа со сфер в €■"

15

// Сиб. мод. жур-1. - 1989. - Т.ЗО, В 3. - С. 124-130.

11. Аграновский У.Л., Семенов A.M. Замечание об одномерном голоморфом иродолаенин // Комплексный анализ к математическая физика; Тез« докл. / Всесовэ. шкаяы-свшнара, Красноярск, ишь 1987 г. - Красноярск» 1987. - С.6.

12. Семенов АГоломорфное продолжение со сфер в С" // Комплексная анализ н математическая фдаика: Тез. до1й.

/ Всесооз. школы-сешшара5 Красноярск, шшь 1987 г. - Красноярск, 19ЕУ7. - С.9В.

(Ее^е-исб