Голоморфная эквивалентность областей Рейнхарта и трубчатых областей в C2 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.55

Солдаткин Павел Александрович

Голоморфная эквивалентность областей Рейнхарта и трубчатых областей в С2

01.01.01- математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2004

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор А.Г.Сергеев, кандидат физико-математических наук Н-Г.Кружилин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук С.В.Знаменский, доктор физико-математических наук А.В.Лобода

Ведущая организация:

Институт математики с ВЦ Уральского научного центра РАН

Защита диссертации состоится «3 » » 2004 г. в 16 час. 15 мин.

на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119992, ГСП - 2, Москва, Ленинские горы, МГУ, ауд. 16-24. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан

¿ьтмЩм. » 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы

В данной работе исследуются биголоморфные отображения областей Рейнхарта в С2 и биголоморфные отображения гиперболических трубчатых областей в С2. Классификация таких специальных областей, как области Рейнхарта, Хартогса, круговые и трубчатые области, относительно биголоморфных отображений является классической задачей, которой занимался еще А.Пуанкаре1. Актуальность этой темы сохраняется до сих пор. Во-первых, кроме случая комплексной размерности 1 ни для одного класса вышеперечисленных специальных областей классификация окончательно не установлена. Во-вторых, именно такие области являются естественными областями определения степенных рядов и интегральных представлений, традиционно являются полигоном новых методов в комплексном анализе, поэтому любой новый результат относительно голоморфной классификации здесь особенно полезен.

Области Рейнхарта

Интенсивное исследование областей Рейнхарта было начато в 1930-х годах в работах А.Картана2, Туллена3. Туллен доказал, что две ограниченные области Рейнхарта в С2, содержащие начало координат, биголоморфно эквивалентны тогда и только тоща, когда они линейно эквивалентны. Сунада4 в 1978 доказал аналогичный результат в случае Сп с произвольным и, п > 1. Для этого он подробно исследовал алгебру Ли группы автоморфизмов таких областей, в

1 Poincare Н. Les fonctions analytiques de deux variables et la representation conforme //Rend.Circ.Math.Palerrao, 1907, P. 185-220.

2Cartan H. Les fonctions analytiques de deux variables variables complexes et le problerne de la representation analytique // J. Math. Pures Appl. 10,1931, P. 1 - 114

'Thullen P. Zu den Abbildungen durch analytische Funktionen mehrerer Veränderlichen // Math. Ann. 104,1931,244-259;373-376

4Sunada T. Holomorphic equivalence problem for bounded Reinhardt domains // Math. Ann. 1978. V.235, №2. P. 111-128

частности, заметил, что группа поворотов образует максимальный тор в группе автоморфизмов ограниченной области Рейнхарта. Это оказалось очень важным наблюдением. В 1988 году Шимицу5 для ограниченных, а Кружилин6 - для произвольных гиперболических областей Рейнхарта в С установили следующий факт: если между двумя такими областями есть

биголоморфное отображение

биголоморфное отображение вида

матрица с определителем ±l,ari — константы, i,j =1 ...п. Такое отображение далее будем называть мономиальным.

Отметим также работы Шимицзу 19917 и 19928 года, в которых доказаны аналогичные результаты для некоторых неограниченных областей Рейнхарта, являющихся областями голоморфности.

Трубчатые области

Классификация трубчатых областей менее изучена, чем классификация областей Рейнхарта. Аналогом мономиальных отображений здесь выступают отображения аффинные. Аффинными называем отображения вида <p(z) = A(z) + b, где А е GL{n, R), be С". Уже в 1-мерном случае голоморфная и аффинная классификация не совпадают. Полосу {0 <Im z<n} можно

биголоморфным отображением w = extAz) перевести в полуплоскость

5Shimizu S. Automorphisms and equivalence of bounded Reinhardt domains not containing the origin // Tohoku Math. J. 40,1988, P.I 19 - 152.

6Кружилин Н. Г. Автоморфизмы гиперболических областей Рейнхарта // Изв. АН СССР. 1988. Т. 52, №1. С. 16-40

7Shimizu S. Holomorphic equivalence problem for a certain class ofunbounded Reinhardt domains in C2// Osaka J. Math. 1991. V.28. P.609-621.

8Shtmizu S. Holomorphic equivalence problem for a certain class ofunbounded Reinhardt domains in C2, II// Kodai Math. J. 1992. V.I5. P.430-444.

{0 <Im w), а аффинным отображением этого сделать нельзя. В 1982 году Янг9 исследовал трубчатые области в Сп с ограниченными строго выпуклыми базами с гладкими границами. Голоморфная классификация совпала с аффинной.

Голоморфной классификацией трубчатых областей занимался Шимицзу. В 1999 году10 он доказал, что голоморфно эквивалентные трубчатые области с ограниченными базисами в Сп аффинно эквивалентны. В 2000 году11 были рассмотрены трубчатые области в С2, базисы которых представляют собой выпуклые области в R2, не содержащие полных прямых и была получена голоморфная классификация таких областей - найден список исключений. Заметим, что такие трубчатые области являются заведомо гиперболическими областями голоморфности, но не исчерпывают весь класс гиперболических областей.

Цель работы

В диссертации исследуются задачи голоморфной классификации для областей Рейнхарта и для гиперболических трубчатых областей в С2. Доказывается, что две голоморфно эквивалентные области Рейнхарта в С2 мономиально эквивалентны. Найден полный список голоморфно, но не аффинно эквивалентных гиперболических трубчатых областей в С2.

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Установлено, что две произвольные связные биголоморфно эквивалентные области Рейнхарта в С2 являются мономиально эквивалентными.

2 Установлено, что две гиперболические трубчатые биголоморфно

'Yang Р.С. Automorphisms oftube domains//Amer. J. of Math. 1982. V.104, №5. P.1005-1024.

10Shimizu S. Automorphisms and equivalence oftube domains with bounded base// Math. Ann. 1999.V.315, P. 295-320.

11 Shimizu S. A classification oftwo-dimensional tube domains //Amer. J. of Math. 2000. V. 122. P. 1289-1308.

эквивалентные области в С2, размерность группы автоморфизмов которых не равна 4, почти всегда аффинно эквивалентны. А именно, найден полный список

исключений - голоморфно эквивалентных, но аффинно неэквивалентных

гиперболических трубчатых областей.

Теоретическая и практическая ценность работы

Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы специалистами, работающими в многомерном комплексном анализе.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории функций многих комплексных переменных в МГУ (руководители - акад. А.Г. Витушкин, В.К. Белошапка) в 2001 и 2003 гг. и на семинаре в МИРАН под руководством А.Г. Сергеева в 2003г.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 2 статьях, 1 из которых написана в соавторстве с Н.Г. Кружилиным. Из работы [2] в диссертацию включены лишь результаты, доказанные автором. Список публикаций приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 69 страниц. Диссертация содержит 13 рисунков. Список литературы включает 26 наименований

Содержание работы

Во введении отражена история вопросов, рассмотренных в диссертации, приведен обзор результатов, связанных с темой исследования и введены некоторые условные обозначения. Также кратко излагается содержание работы и основные результаты.

В первой главе для областей голоморфности доказывается один из главных результатов диссертации -

Теорема 1.1 Пусть Dl и Dz- две произвольные связные биголоморфно эквивалентные области Рейнхарта в С2. Тогда они мономиально эквивалентны, то есть между D\uDi существует биголоморфное отображение специального вида:

R(r „ Ч _ Ь = СЛ'*2 R-l,w w Ч _ J2> =

|w2 = C2z, z2 1*2 =C>f4

A:, /, /и, n, p, q,r,se Z, C|, C2, C3, C4 e R.

В §1.1 приведены доказательства трех важных технических результатов, необходимых как в первой, так и во второй главе - теорем 1.2,1.3 и 1.4. ТЕОРЕМА 1.2. Если в условиях теоремы 1.1 D\ (а тогда и Di) гиперболична, то D\ и Dz мономиально эквивалентны.

Доказательство (см. Кружилин6) основано на использовании свойства сопряженности максимальных торов в группе Ли. Гиперболичность областей как раз позволяет ввести структуру групп Ли, а подгруппы вращений оказываются при этом максимальными торами.

Если в в доказательстве теоремы 1.2 использовать теорему Ямабе12 и перейти от подгрупп Ли к виртуальным подгруппам Ли, то можно ослабить условия на области Рейнхарта и получить следующий результат:

Теорема 1.3. Пусть F - биголоморфное отображение между областями Рейнхарта D\ и D-ъ и пусть F (или его голоморфное продолжениеF) осуществляет также биголоморфное отображение некоторых гиперболических областей Рейнхарта D[<z £>, uD'1<z.Dl. Тогда Di uD2 мономиально эквивалентны.

Теорема 1.4 является аналогом теоремы 1.3, в которой гиперболические области Рейнхарта заменены на Леви-выпуклые рейнхартовы гиперповерхности

l2Yamabe Н. On an arcwise connected subgroups of a Lie groups // Osaka Math.J.,V.2,1950, 13-14.

- их автоморфизмы тоже образуют группы Ли. Множество в С2 мы называем рейнхартовым, по аналогии с областями Рейнхарта, если оно инвариантно относительно поворотов (г, и») н» (ехр(1&, ехр(/#2 )уу). Условимся обозначать рейнхартово множество символом [Х\, если Х- его изображение на диаграмме Рейнхарта, а изображение рейнхартова множества Ус С2 на диаграмме Рейнхарта будем обозначать |К|.

ТЕОРЕМА 1.4. Пусть Р - биголоморфное отображение между областями Рейнхарта и £>2, и пусть Р (возможно, Р ) осуществляет также биголоморфное отображение некоторых Леви-выпукпых рейнхартовых гиперповерхностей [Ь{\ с £>, и [¿2] с£>2- Тогда Их и Иг мономиально эквивалентны.

В §1.2 все области голоморфности Рейнхарта поделены на 12 классов (введены координаты (г, >у)):

1). класс, состоящий из области С2,

2). класс, состоящий из областей С2\{г= 0} и С2\{и>= 0},

3). класс, состоящий из области С2\{ги> = 0},

4). класс, состоящий из областей, которые на логарифмической диаграмме изображаются выпуклой фигурой, находящейся внутри острого угла - т.н. класс Б2,

5). класс, состоящий из областей, которые на логарифмической диаграмме изображаются полуплоскостью или полосой, имеющей граничные прямые с иррациональным коэффициентом наклона относительно координат (1п|г|,1п|и^)-т.н. класс Б1И,

6). класс областей, голоморфно эквивалентных области < |и'|р} или {|г|<1,И>0}, р,Че\Ч,

7). класс областей, голоморфно эквивалентных области {|г|<1},

8). класс областей, голоморфно эквивалентных области {0<|г|<1},

9). класс областей, голоморфно эквивалентных области {0<|г|<1, М>0},

10). класс областей, голоморфно эквивалентных области },р,деN.

И), класс областей, голоморфно эквивалентных области {0<c<|z|<l},

12). класс областей, голоморфно эквивалентных области {0<A:<[z|<l, |w|>0}.

Области, фигурирующие в списке, называются стандартными. В диссертации показано, что любая область голоморфности Рейнхарта мономиально эквивалентна какой-либо стандартной области, а области из разных классов не могут быть голоморфно эквивалентны. Поэтому доказательство теоремы 1.1 можно проводить для каждого класса в отдельности, рассматривая при этом только стандартные области. Кроме того, для некоторых стандартных областей найдены группы автоморфизмов (лемма 1.4).

В §1.3 теорема 1.1 доказывается отдельно для каждого из 12 полученных выше классов. Опишем кратко наиболее интересные моменты.

Все области из класса 4 (Б2) оказываются либо гиперболическими, либо «почти гиперболическими», то есть содержат одну или две целые кривые (координатные плоскости), после выбрасывания которых остается гиперболическая область. Здесь для доказательства теоремы 1.1 используется теорема 1.2 или 1.3.

Области из класса 5 (Б1И) содержат семейства целых кривых, не являющихся аналитическими множествами и переходящими друг в друга при биголоморфном отображении. Пересечение такой кривой с тором {|z| = const), |w|= const2} оказывается иррациональной всюду плотной обмоткой этого тора. При биголоморфном отображении эта обмотка переходит в аналогичную, как следствие - тор переходит в тор. Далее в диссертации показано, что индуцированное биголоморфным отображением отображение торов является изоморфизмом их групповой структуры, как следствие - отображение обязано быть мономиальным.

В классах 6) -12) области расслаиваются на однопараметрические семейства целых кривых, являющихся аналитическими множествами, эти семейства были найдены в § 1.2. При биголоморфном отображении такое семейство кривых

переходит в аналогичное. Записывая эти факты в виде равенств разложений Лорана, получаем все необходимое. При этом используется описание групп автоморфизмов таких областей, полученное в том же §1.2. Один из классов (10), как выясняется, вообще не допускает никаких биголоморфных отображений на области Рейнхарта, кроме линейных.

Отметим, что в статье Шимицзу7 исследован класс 10, а в статье8 частично исследован класс 5 (Б1И). Методы исследования отличаются от методов, использованных в диссертации.

Вторая глава посвящена доказательству теоремы 1.1 для областей Рейнхарта, не являющихся областями голоморфности. В этом случае биголоморфное отображение ¥ между областями продолжается до

биголоморфного отображения

также являющимися областями Рейнхарта. Все области Рейнхарта можно снова разбить на 12 классов (область относится к тому классу, к которому принадлежит его оболочка голоморфности) и каждый класс рассматривать отдельно. Если области голоморфности £>| И й2 принадлежат классу 5 или 10, то, как установлено в первой главе, F - мономиальное отображение, поэтому и

Если Я, и £>2 принадлежат классу 4 (Б2), то так как подобласть гиперболической области - гиперболична, к областям применима

теорема 1.3.

Для остальных 9 классов задача не сводится к результатам первой главы и требует другого подхода. Главная идея такова: при биголоморфном отображении Р эквивалентными оказываются не только области , но и их дополнения до оболочек голоморфности и £>2 \02.Есляъ01 \01 и

можно выделить эквивалентные гиперболические области Рейнхарта или эквивалентные невырожденные рейнхартовы гиперповерхности, то применение теоремы 1.3 или 1.4 сразу завершает доказательство теоремы 1.1. Эту процедуру удается провести во всех случаях, кроме самых простых, когда

теорема 1.1 очевидна. Коротко опишем основные этапы этой процедуры. При этом рейнхартово множество, которое под действием отображения F переходит снова в рейнхартово, будем называть инвариантным.

Рассматриваются инвариантные множества Х{ = (Д \ Их) \ (Д, \01)° и

Хг =(02 \£>2)\(£>2 \02)°. Если Х и Х2 содержат простые замкнутые кривые (гомеоморфные образы окружности), то они по теореме Жордана являются изображениями границ ограниченных инвариантных областей Рейнхарта и можно применить теорему 1.3. В противном случае рассмотрим некоторый тор [Е] ={|г| = соп!й|Н = сошу, принадлежащий множеству Х Считаем этот тор 2-мерным - это наиболее важный случай.

Образ этого тора под действием - некоторый компакт в Х2. В лемме 2.3 доказывается, что изображение этого компакта на диаграмме Рейнхарта (обозначим его Е) является дендритом - локально связным континуумом, не содержащим простых замкнутых кривых (о дендритах см. Куратовский13).

В §2.1 показано, что под действием рейнхартово множество [Е] перейдет в множество, изображаемое на диаграмме некоторым дендритом и так далее. Мы получаем две последовательности вложенных дендритов - в Х и в Х.

В §2.2 доказан важный технический результат - теорема 2.1. Она утверждает, что дендрит делит некоторую достаточно малую окрестность точки ветвления конечного порядка п на п частей. Несмотря на это, дендриты, вообще говоря, могут иметь довольно сложное устройство, например, иметь точки ветвления счетного порядка.

В §2.3 доказаны две ключевые теоремы - 2.2 и 2.3. Из них следует, что 2-мерный тор, соответствующий точке ветвления - инвариантен, так как под действием отображения F перейдет в двумерный тор, также соответствующий точке ветвления. Следствием этого является лемма 2.15, которая утверждает, что изображение образа тора на диаграмме не может иметь точек ветвления, то

|3Куратовский К. Топология, Т.2. М.: Мир, 1969.

и

есть является либо точкой, либо дугой. В первом случае тор будет инвариантным, второй случай - неинвариантного двумерного тора - исследован в §2.4. Заметим, что оба случая - инвариантного и неинвариантного тора -действительно реализуются, а не являются лишь гипотетическими возможностями. Для инвариантного тора это очевидно, для неивариантного рассмотрим в качестве с вырезанными единичными

шарами с центрами в начале_координат. В качестве ¥ возьмем унитарное отображение, не являющееся поворотом вида (г, >с) |-> (ехрС/^ ехр(/вг Зм»). На границах шаров возникают неивариантные торы.

В §2.4 показано, что в случае наличия неинвариантного тора расширяющиеся семейства вложенных дендритов, полученные в §2.1, представляют собой расширяющиеся семейства вложенных дуг (лемма 2.17), образующих вещественно-аналитические кривые. Эти аналитические кривые являются образами на диаграмме вещественно-аналитических гиперповерхностей. Окончательный результат сформулирован в теореме 2.4:

ТЕОРЕМА 2.4. Если Х и Хг не содержат простых замкнутых кривых, то рейнхартовы Щн&ЖЬртЩ )\(Pj \DjУ можно разложить на

объединениянепересекающихсярейнхартовыхмножеств^ ~ InVj^.X^jUPj^JIj, где 1т)у - множество, состоящее из инвариантных торов различных размерностей, состоит из инвариантных 3-мерныхЛеви-выпуклых гиперповерхностей, состоит из 3-мерных инвариантныхЛеви-плоских гиперповерхностей и состоит из плоских инвариантных областей. Некоторые из этих составляющихмогут оказаться пустыми множествами.

После выяснения строения множеств дендриты уже не нужны. Они

были необходимы, чтобы в множествах вообще говоря, сколь угодно

сложных, выделить простые подмножества - торы, гиперповерхности.

В §2.5 проводится завершение доказательства теоремы 1.1, отдельное для каждого класса. Оно основано на элементарных идеях, одна из которых изложена в лемме 2.18:

ЛЕММА 2.18. Пусть F - биголоморфное отображение областей Рейнхарта •D, и D2, которое переводит двумерные торы [а] и[Ь]в торы [с] и[d]. Тогда множество в С которое налогарифмической диаграмме изображается отрезком, соединяющим , перейдет в отрезок, соединяющий In с и Ind.

Так, три инвариантных тора, лежащих в общем положении, позволяют выделить инвариантную ограниченную область Рейнхарта и применить теорему 1.3. Другие случаи требуют применения теоремы 1.4 или знания группы автоморфизмов оболочки голоморфности области.

В третьей главе доказана теорема 3.1.

Обозначим Та трубчатую область с базой П, то есть Тп = Rn + iíl. Подгруппу вещественных сдвигов, содержащуюся в группе автоморфизмов трубчатой области Aut(7h), обозначим Е(ГП). Эта подгруппа изоморфна R".

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть Тп и ТЕ - голоморфно эквивалентные гиперболические трубчатые области в С2. Кроме того, пусть либо dimAut (Гп) = dimAut (Г=) * 4, либо (в случае — 4) изоморфизм групп Aut (Гп) и Aut (Tz) связывает некоторые 3 -мерные подгруппы, включающие в себя сдвиги ЦГП) и Ц7"2). Тогда области Тп и Г2 либо аффинно эквивалентны, либо обе могут быть включены (после некоторых аффинных преобразований) в один из следующих четырех списков голоморфно эквивалентных, но аффинно неэквивалентных трубчатых областей:

Список А:

Список В:

Список С:

а область , где 12, = {0 < у(, 0 < у2}, b область Тп>ь, где П)ь = {0 < yi < п, 0 < у2 < <»}, с область , где Qic = {0 <yt < п, 0 < у2 < я}; а область ТПг, где = {0 < yi < тс, - ln(sinjvi) <J>2}, b область , где П2Ь = {ехр(уО <у2}; а область где fl. = {0 <yi <к,у2<-ln(siny,)}.

Ь область Гп+, где = {0 <уг< ехр(у|)};

Список Б: а область Та<, где = {0<у1< я, - 1п(зт^|)<у2 < - 1п(зту|) + я,

Ь область ТЛн, где = { ехр(у|)<у2< АехрСуО, Л = ехр 5}.

Эта теорема классифицирует 2-мерные гиперболические трубчатые области с некоторыми ограничениями на группы автоморфизмов (заметим, что в совместной с Н.Г. Кружилиным статье [2] случай сНтАШ (Гп) = 4 рассмотрен полностью, новых исключений (кроме уже найденных) при этом не обнаруживается).

В §3.1 рассматриваются группы Ли автоморфизмов трубчатых областей Аш(7Ь) и соответствующие алгебры Ли. Их размерность ^ 8. Если ШтАЩ; (7д) > 4, то область оказывается однородной, и как следствие - областью голоморфности. В этом случае используется классификация Шимицу". Если (ИтАш (7Ь)=2, то группа сдвигов переводится сопряжением в группу сдвигов и тогда отображение является аффинным. Это следует из леммы 3.1:

Лемма 3.1 Пусть (р: Та - биголоморфное отображение двух трубчатых областей в С". Если (рИ(Тп)фА - £( ГЕ), то <р-аффинное отображение.

В случае сПтАш (7Ь) =3 или 4 дополнительно предполагается, что в Аш (Гп) существует 3-мерная подгруппа, включающая в себя сдвиги и под действием индуцированного биголоморфным отображением изоморфизма она переходит в аналогичную подгруппу в АШ (ГЕ). Таким образом, случай сИтАШ (7Ь) =3 рассмотрен полностью, а в случае сНтАЩ (Тп) = 4 найдены примеры голоморфно, но не аффинно эквивалентных областей.

В §3.2 рассматриваются соответствующие этим подгруппам трехмерные подалгебры Ли. Всего существует 9 типов трехмерных алгебр Ли. Три из них вообще не могут реализоваться как подалгебры Ли группы автоморфизмов

гиперболической области - это алгебры с 3-мерным и 0-мерным коммутантом

дг = [д»д]-

В §3.3 рассмотрены две алгебры с 1-мерным коммутантом. Именно они дают все исключительные случаи (в которых на самом деле всегда сИтАш (Гп) >3). Эта алгебры рассматриваются как алгебры полных векторных полей на

д 3

трубчатых областях. Два линейно независимых поля Ц = — и 12 =-

соответствуют сдвигам. Третье линейно независимое от них поле можно найти в явном виде интегрированием. Условие его полноты даст нам ограничения на возможный вид трубчатой области.

В §3.4 разобран случай 2-мерного коммутанта. Такие алгебры обладают единственными 2-мерными коммутативными подалгебрами. Естественно, эти подалгебры соответствуют подгруппам вещественных сдвигов. Отсюда сразу следует, что эти подгруппы сопряжены при биголоморфном отображении, и значит, по лемме 3.1 существует аффинное отображение между областями.

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям кандидату физико-математических наук Н.Г.Кружилину и доктору физико-математических наук, профессору А.Г. Сергееву.

Публикации автора по теме диссертации

[1]. Солдаткин П.А. Голоморфная эквивалентность областей Рейнхарта в С2// Изв.РАН, Сер. Мат., 66, 6,2002,187-222.

[2]. Кружилин Н.Г., Солдаткин П.А. Аффинная и голоморфная эквивалентность трубчатых областей в С2// Мат.заметки, 2004, т. 75, вып.5, 670682 ( П.А. Солдаткину принадлежит доказательство теоремы 1 в §§ 1 - 4, Н.Г.Кружилину - доказательство теоремы 1 в §5).

щ2404 1

Издательство ЦДИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать 15.09.04

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059,

от 20.02.2001г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета и Франко-русского центра

им. А.М.Ляпунова.

Формат 60 х 90 1 /16 . Тираж 100 экз.

Усл. печ. л. 1,0 Заказ 31

ВВЕДЕНИЕ

Обозначения и терминология

Основные результаты диссертации

ГЛАВА 1. Рейнхартовы области голоморфности в С

§1.1. Максимальные торы и группы автоморфизмов гиперболических областей Рейнхарта

§1.2. Классификация областей Рейнхарта и их группы автоморфизмов

§1.3. Доказательство теоремы 1.1.

1.3.1. Класс Б

1.3.2. Класс Б1И

1.3.3. Классе

1.3.4. Класс лиг

1.3.5. Классы д,з и C2\{z,z2=0}

1.3.6. Оставшиеся классы

ГЛАВА 2. Области Рейнхарта общего вида в С

§ 2.1. Торы и дендриты

§2.2. Свойства дендритов

§2.3. Ден дриты и дуги

§2.4. Дуги и гиперповерхности

§2.5. Доказательство теоремы 1.1.

2.5.1. Классы Б2,Б1И,е

2.5.2. Класс a\Je

2.5.3. Классы д,зи C2\{z\z2 = 0}

2.5.4. Классы в, ж

2.5.5. Класс б

2.5.6. Класс С

2.5.7. Класс С2\ {z,= 0},C2\ {z2= 0}

ГЛАВА 3. Гиперболические трубчатые области в С

§3.1. Голоморфная классификация трубчатых областей

§3.2. Трехмерная группа автоморфизмов

§3.3. Трехмерная группа с одномерным коммутантом

§3.4. Трехмерная группа с двумерным коммутантом

В этой диссертации исследуются задачи о голоморфной эквивалентности для областей Рейнхарта и для трубчатых областей в С . Доказывается, что две голоморфно эквивалентные области Рейнхарта мономиально эквивалентны (теорема 1.1, стр.13), а две голоморфно эквивалентные гиперболические трубчатые области аффинно эквивалентны (здесь есть исключения, все они описаны) - теорема 3.1, стр.58. Эти результаты позволяют для двух таких областей вопрос о голоморфной эквивалентности свести к вопросу об аффинной эквивалентности некоторых двух областей на плоскости

R2.

Напомним, что область Рейнхарта в Сп - это область, инвариантная относительно поворотов (z,,. zn) I-» (ехр(7<9, )z,,. exp(/<9n )zn), а трубчатая область - это область, инвариантная относительно вещественных сдвигов (z,,. zn ) i—> (z, + 9X,. zn +&„), где в\,.вп e R - произвольные числа. Область Рейнхарта однозначно определяется своей проекцией на координаты (|z,|,.|zn|)- так называемой диаграммой Рейнхарта, а трубчатая область определяется своей проекцией на координаты (Imz,,. .Imzn) -базой трубчатой области. Между областями Рейнхарта и трубчатыми областями имеется связь - голоморфное накрытие (z,,. zn) t—> (exp(iz,),.exp(iz())) переводит трубчатые области в области Рейнхарта. Это не взаимно-однозначное отображение, поэтому, собственно, трубчатые области и области Рейнхарта - разные объекты, хоть и во многом схожие. Эта тесная связь породила метод исследования по аналогии. Но у такого подхода есть серьезный недостаток - не любая область Рейнхарта является образом трубчатой (если область Рейнхарта содержит точки, принадлежащие координатным осям). Мы будем исследовать области Рейнхарта и трубчатые области отдельно.

Интерес к этим областям неслучаен - они являются естественными областями определения степенных рядов и интегральных представлений, часто возникают в анализе как классические примеры, а трубчатые области над конусами возникают в физике. Давно известны результаты, описывающие голоморфную оболочку таких областей, причем в самом общем случае. Изучались их автоморфизмы. Без сомнения, это наиболее исследованные области в многомерном комплексном анализе ([Ф]). При всем этом задача их голоморфной классификации не была окончательно решена.

В одномерном случае области Рейнхарта - это круги, кольца (с центрами в 0) и вся комплексная плоскость. Одномерный аналог задачи, рассматриваемой в диссертации, выглядит так: пусть D\ и £>2 — голоморфно эквивалентные области Рейнхарта в С. Тогда D\ можно перевести в Dj с помощью линейного отображения z ь-> Az или инверсии z i—> Az4 , то есть алгебраического отображения. Это - простая задача на принцип симметрии. Трубчатые области в одномерном случае - это полосы, полуплоскости (параллельные вешественной оси) и вся комплексная плоскость. Одномерный аналог задачи, рассматриваемой в диссертации, для трубчатых областей тривиален: пусть D\ и Дг - голоморфно эквивалентные трубчатые области в С. Тогда D\ можно перевести в Dj с помощью аффинного отображения z i—> Az + b, AeR, he С. Исключением является пара полоса - полуплоскость, когда экспоненциальное отображение нельзя заменить аффинным.

Диссертация посвящена двумерному случаю, когда задача становится намного сложней. Уже в одной из первых работ по многомерному анализу Пуанкаре [Poi] отметил, что бидиск и шар в С голоморфно неэквивалентны, потому что обладают неизоморфными группами автоморфизмов - у шара она 8-мерна, у бидиска - 6-мерна. Заметим, что и шар, и бидиск - это области Рейнхарта. Далее исследование задачи голоморфной эквивалентности (если такую общую задачу вообще разумно выделять) пошло двумя путями. Основной (и более поздний по происхождению) инициирован Э.Картаном, когда вводились ограничения на группу автоморфизмов области, по сути эти исследования относятся к теории групп и алгебр Ли.

Другой путь - вводить ограничения на области и решать задачу эквивалентности в С (Рейнхарт, Туллен, А.Картан). Обобщения на более высокие размерности приводили бы к очень серьезным техническим трудностям. Тем не менее, это тоже продуктивный путь - он дает конструктивные результаты. Диссертация находится в этом же ряду. Для областей Рейнхарта получен окончательный результат. Теперь ясно, что ограничения на области, которые вводились до сих пор (ограниченность, гиперболичность, ограничения на топологию областей), несущественны и объясняются только техническими причинами. Это же должно быть верно и для случая С", п> 2.

Работ, посвященных задаче классификации областей Рейнхарта, достаточно много. Трубчатыми областями занимались меньше. Кратко опишем те работы, которые сыграли ключевую роль при написании диссертации.

В 1978 г. Сунада ([Sun]) исследовал голоморфную эквивалентность ограниченных областей Рейнхарта в С", содержащих начало координат. Он доказал, что в этом случае между D\ и D2 существует линейное отображение вида xv. = , где г, константы, а а(г) - некоторая перестановка индексов г ~ 1 .п. Для этого он рассмотрел алгебру Ли группы автоморфизмов таких областей. Кружилин ([Кр]) и Шимицу ([S1]) заметили, что группа поворотов образует максимальный тор в группе автоморфизмов гиперболической (например, любой ограниченной) области Рейнхарта. Этот факт оказался очень важным. Было доказано ([Кр]), что если D\ и Di - гиперболические области Рейнхарта, между которыми есть биголоморфное отображение F, то между D\ и Dj существует также биголоморфное отображение вида xv = rz"'1 . .z"1", где (аи) - целочисленная матрица с определителем ± 1, a rt — константы, i,j = 1 .п. Такое отображение мы далее будем называть мономиальным.

Близко к теме диссертации примыкают работы Шимицзу [S2], [S3]. О них подробно рассказано на стр. 8.

Отметим наиболее важные работы о трубчатых областях. В 1982 году Янг в своей работе [Yang] получил следующий результат - если биголоморфно эквивалентные трубчатые области в С" имеют ограниченные гладкие строго выпуклые базы, то такие области аффинно эквивалентны. Голоморфной классификацией трубчатых областей занимался Шимицзу - [S4], [S5]. В [S4] он доказал, что голоморфно эквивалентные трубчатые области с ограниченными базисами аффинно эквивалентны. В [S5] были рассмотрены трубчатые области в С , базисы которых представляют собой выпуклые области в r , не содержащие полных прямых и была получена голоморфная классификация таких областей.

Обозначения и терминология л

Рассматриваются две области Рейнхарта Д и Дг в С . Между ними по условию существует биголоморфное отображение, будем обозначать его F— (f\,fi)- Известно ([Ф]), что биголоморфное отображение любых областей продолжается до биголоморфного отображения F : D^ —> D2 их оболочек голоморфности. Так как это продолжение единственно, то чаще всего мы не будем различать F и F, используя обозначение F.

Назовем рейнхартовым мноэюеством X (с центром в 0) такое множество в с2, что для любой точки z = (zi, Z2)e Хи любого в = (в i,6>2)e R2 точка е,в -z = (e'ff< zve'fflz2) тоже принадлежит X. В частности, область Рейнхарта - это рейнхартово множество.

Группу {е в : в е R} обозначим через Т, ее квадрат {е1 в : в е R2} - через Т2.

Пусть (х,у) = (\z)\, |z2|). Множество I ={(х,у)е R2: х,>'>0} (диаграмму Рейнхарта) будем называть диаграммой, логарифмическую диаграмму Рейнхарта - 1пдиаграммой. Множество точек {(х,у) el. ху = 0}будем обозначать через Io- Топология 2 в I - индуцированная из R . Если множество Y cz I, то изображение множества Yr\ (I \ 10) на In-диаграмме будем обозначать через 1пУ.

Пусть множество (не обязательно рейнхартово) с С2. Тогда множество точек вида e'e-z , принадлежащих I, где z пробегает все множество X, будем обозначать \Х\ cz I и называть изображением множества X на диаграмме.

Пусть множество Tel. Тогда рейнхартово множество ХаС2, такое что |X\=Y, мы будем обозначать черезХ= [У].

Пусть множество X (не обязательно рейнхартово) принадлежит с2. Тогда рейнхартово множество будем называть рейнхартовой оболочкой X и обозначать просто [X]. Это не противоречит предыдущему определению, ведь можно считать, что i d с2.

Если точка z<=C2, то множество [z] будем называть тором. При этом в зависимости от z множество [z] может представлять собой вещественно двумерный тор, когда z g [Io], окружность, когда z е [Io] \{0}, и точку 0, когда z = 0.

В § 1.1 будут встречаться и другие торы - коммутативные связные компактные подгруппы групп автоморфизмов. Максимальный тор - максимальная коммутативная связная компактная подгруппа ([В-О]).

Инвариантным множеством мы назовем такое рейнхартово множество X, образ которого F(X) (или F "'(А)) - также рейнхартово множество. Чаще всего будут встречаться инвариантные области Рейнхарта, инвариантные рейнхартовы гиперповерхности и инвариантные двумерные торы.

В первой главе часто используются понятия класс и стандартная область класса. Сейчас их трудно определить, поэтому отсылаем к §1.2, где они выделены.

Для трубчатых областей будут использованы традиционные обозначения - если базу трубчатой области обозначить Q, то соответствующую трубчатую область обозначим Тп = Rn + id. Биголоморфно эквивалентные области назовем 7Ь и Г.

Оболочка голоморфности трубчатой области TQ - это трубчатая область , база которой Qc является выпуклой оболочкой базы Q.

Подгруппу вещественных сдвигов, содержащуюся в группе автоморфизмов трубчатой области Aut(7n), мы обозначим Ц7п). Эта подгруппа изоморфна R".

Преобразования z ~ <p(z) вида <p(z) = A(z) + b , где А е GL(n,R) , be С" мы будем называть аффинными. Легко видеть, что эти преобразования переводят трубчатые области в трубчатые. Соответствующие трубчатые области мы будем называть аффинно эквивалентными. Аффинная эквивалентность трубчатых областей равносильна аффинной эквивалентности их баз в R".

Основные результаты диссертации В первой главе изложены результаты, относящиеся к областям голоморфности Рейнхарта. В совокупности они доказывают для таких областей теорему 1.1 (стр.13).

В §1.1 приведены доказательства теорем 1.2, 1.3 и 1.4. Оригинальными являются теоремы 1.3 и 1.4. Теорема 1.2 не является новой, но приводится с доказательством, так как именно к доказательству этой теоремы приходится впоследствии обращаться. Теорема 1.2 утверждает, что результат теоремы 1.1 верен для гиперболических областей Рейнхарта. Доказательство основано на использовании свойства сопряженности максимальных торов в группе Ли (эту идею при изучении областей Рейнхарта впервые применили Кружилин и Шимицзу). Гиперболичность областей как раз позволяет ввести структуру групп Ли, а подгруппы вращений оказываются при этом максимальными торами. Теорема 1.3 развивает идеи, заложенные в теореме 1.2. Оказывается, что если перейти в доказательстве от подгрупп Ли к виртуальным подгруппам Ли, можно ослабить условия на области Рейнхарта. Не обязательно, чтобы они сами были гиперболическими. Нужно, чтобы связывающее их биголоморфное отображение одновременно связывало какие-нибудь гиперболические области Рейнхарта в этих же пространствах. Так как доказательство гиперболичности конкретной области может оказаться сложной задачей, эта теорема очень сильно помогает в дальнейшем. Теорема 1.4 является аналогом теоремы 1.3, только гиперболические области Рейнхарта заменены на Леви-выпуклые рейнхартовы гиперповерхности - их автоморфизмы тоже образуют группы Ли. Теоремы 1.3 и 1.4 используются в главе 1 эпизодически. В основном они будут использованы в главе 2.

Далее в § 1.2 приводится классификация областей голоморфности Рейнхарта. Напомним ([Ш]), что область Рейнхарта D а С", являющаяся областью голоморфности, обладает двумя характерными свойствами - изображение D на логарифмической диаграмме (в нашей терминологии - ln|Z)| ) - выпуклое множество, а сама область D относительно полна, то есть при каждом i — 1п область D либо не пересекается с гиперплоскостью z,- = 0, либо вместе с каждой точкой z° содержит и все точки z, для которых |z.| < |z(°|, а остальные координаты те же, что у z°. Благодаря этому в §1.2 мы опишем все области Рейнхарта, являющиеся областями голоморфности и разобьем их на 12 классов так, что области из разных классов не могут быть биголоморфно эквивалентны друг другу. Это делается для того, чтобы исследовать каждый класс в отдельности в §1.3 - трудно представить себе метод доказательства, одинаковый для всех типов областей голоморфности - они слишком сильно отличаются друг от друга. Охарактеризуем коротко получившиеся классы и особенности доказательств теоремы 1.1 для них, приведенных в §1.3.

Три класса из 12 - это с2 и с2 без одной или двух координатных осей (общее название - класс а). Эти области содержат целые кривые и не являются гиперболическими. Их группы автоморфизмов очень велики и для них нет описания, но благодаря уникальности этих областей доказательство теоремы 1.1 для них тривиально.

Семь классов из 12 объединены под общим названием Б1Р. Это значит, что на логарифмической диаграмме Рейнхарта их образы - выпуклые фигуры, имеющие лишь одну (с точностью до параллельного переноса) опорную прямую, и эта прямая имеет рациональный коэффициент наклона относительно координат (ln|z, |, ln|z21). Такие области выглядят на логарифмической диаграмме как полуплоскости или полосы. Эти области расслаиваются на однопараметрические семейства целых кривых, являющихся аналитическими множествами, эти семейства найдены в §1.2. При биголоморфном отображении такое семейство кривых переходит в аналогичное. Записывая эти факты в виде равенств разложений Лорана, получаем все необходимое, и даже сверх того. При этом используется описание групп автоморфизмов таких областей, полученное в том же §1.2.

Класс Б1И отличается от Б1Р только тем, что коэффициент наклона опорной прямой является иррациональным. В этом случае тоже можно найти семейства целых кривых, но эти кривые уже не будут аналитическими множествами. В доказательстве используются хорошо известный пример иррациональной обмотки тора.

Класс Б2 состоит из областей, имеющих по крайней мере 2 непараллельные опорные прямые. В §1.2 установлено, что такие области либо гиперболичны, либо «почти гиперболичны» - после выбрасывания одной или двух целых кривых остается гиперболическая область. Здесь, в единственном месте первой главы, используется теорема 1.3.

Уже после публикации [Сол] автору стало известно о работах Шимицзу [S2], [S3], близких к тому, что изложено в первой главе. Оказалось, что в §1.2, а также пунктах 1.3.3, 1.3.5, 1.3.6 (обозначения диссертации) доказаны среди прочего результаты статьи [S2], а в 1.3.2 - результаты статьи [S3]. Шимицзу не ставил целью доказать результат о голоморфной эквивалентности для областей голоморфности и оставил неисследованными несколько классов областей, среди которых есть нетривиальные Б2 и а и г, часть класса Б1И. В первой главе диссертации голоморфная эквивалентность для областей голоморфности рассмотрена полностью, для всех классов. Методы доказательства различны. В случае §1.2, 1.3.3, 1.3.5, 1.3.6 они близки к методам работы [S2], в пункте 1.3.2 (по сравнению с работой [S3]) метод совершенно другой.

Во второй главе изложены результаты, относящиеся к общим областям Рейнхарта. Все они новые и вместе с результатами первой главы дают доказательство теоремы 1.1 в общем случае.

Если D\ и D2 не являются областями голоморфности, то их биголоморфное отображение F продолжается до биголоморфного отображения F между оболочками голоморфности Dl и D2. Поэтому разбиение на классы, полученное в § 1.2, автоматически продолжится на все области Рейнхарта (область относится к тому классу, к которому принадлежит его оболочка голоморфности). Внутри каждой из 12 получившихся задач мы выделяем по 2 подзадачи - случай областей голоморфности, исследованный в первой главе, и общий случай. В классах Б1И и е (1.3.2, 1.3.3) области голоморфности Рейнхарта вообще не допускают биголоморфных отображений, отличных от мономиальных, поэтому и в общем случае это тоже верно по теореме единственности (2.5.1). Если биголоморфное отображение F продолжается до отображения областей из класса Б2, то можно применить теорему 1.3 (2.5.1).

Но в остальных 9 классах группы автоморфизмов областей голоморфности оказываются слишком велики и общий случай уже принципиально отличается от случая областей голоморфности. Главная идея, на которой основано решение в общем случае, такова: при биголоморфном отображении F : D, —> D2 эквивалентными оказываются не только области, но и их дополнения до оболочек голоморфности. Если не удается применить теорему 1.2 к самим областям D\ и D2, надо попробовать найти в дополнении эквивалентные гиперболические области Рейнхарта, чтобы можно было применить теорему 1.3, или эквивалентные невырожденные рейнхартовы гиперповерхности, чтобы применить теорему 1.4. Это идеальные случаи, но легко себе представить и другие, например, когда в дополнении нет в явном виде ни гладких гиперповерхностей, ни каких-либо областей, тем более гиперболических. Поэтому применение теорем 1.3 или 1.4 является финальным этапом доказательства, и чтобы дойти до этого этапа необходима большая техническая подготовка. Она заключается в следующем. Назовем рейнхартово множество инвариантным, если его образ под действием отображения F тоже является рейнхартовым множеством. Самыми очевидными примерами инвариантных множеств являются D\ и Dl и D2, а наиболее важными длянас- X, =(Д\Dl)\(D]\D,)° и = (D2\D2)\(D2\D2)°. Они важны потому что всегда непусты. На диаграмме Рейнхарта они выглядят как множества без внутренних точек. Рассмотрим некоторое множество (|zi| = const], \zj\ = const2), принадлежащее X\. Топологически это тор, 2-мерный, 1 -мерный или 0-мерный, в зависимости от значений констант (почти всегда можно считать тор 2-мерным, если же таких нет, то задача становится простой). Образ этого тора под действием F -некоторый компакт вХ2. В лемме 2.3 доказывается, что изображение этого компакта на диаграмме Рейнхарта либо содержит замкнутую кривую, либо является дендритом (напомним, что дендрит - это локально связный плоский континуум, не содержащий замкнутых кривых). В первом случае можно сразу применить теорему 1.2 или 1.3, как это показано в §2.1. Во втором случае потребовалось более глубокое исследованиеДалее в §2.1 показано, что образ множества, изображаемого на диаграмме дендритом, под действием F1 на диаграмме будет выглядеть снова как дендрит, и так далее. Мы получаем две последовательности вложенных дендритов -в \Х] \ и 1^21. О дендритах довольно много известно (§2.2). Основными источниками по топологии плоскости были книги Куратовского [Кур] и Урысона [Ур]. Тем не менее один технический результат из 2-мерной топологии пришлось доказывать -теорема 2.1 утверждает, что дендрит делит некоторую достаточно малую окрестность точки ветвления конечного порядка инап частей. Столь простая формулировка обманчива - дендриты могут быть довольно сложно устроены. Далее в §2.3 доказаны две ключевые теоремы - 2.2 и 2.3. Из них следует, что 2-мерный тор, соответствующий точке ветвления - инвариантен, так как под действием отображения F перейдет в двумерный тор, также соответствующий точке ветвления. Следствием этого является лемма 2.15, которая утверждает, что изображение образа тора на диаграмме не может иметь точек ветвления, то есть является либо точкой, либо дугой. В первом случае тор будет инвариантным, второй случай (неинвариантного двумерного тора) исследован в §2.4. Показано, что тогда семейства вложенных дендритов, получающиеся в \Х\ \ и \X2\f представляют собой семейства вложенных дуг (лемма 2.17), образующих вещественно-аналитические кривые. Эти аналитические кривые являются образами на диаграмме вещественно-аналитических гиперповерхностей. Окончательный результат использования дендритов сформулирован в теореме 2.4 - множества Х\ и Xj состоят из находящихся во взаимно-однозначном соответствии торов, 3-мерных рейнхартовых гиперповерхностей и 2-мерных областей (кругов, колец и т.д.). После выяснения строения множеств Х\ и Хг дендриты уже не нужны. Они были необходимы, чтобы в множествах Х\ и Xi, вообще говоря, сколь угодно сложных, выделить простые подмножества - торы, гиперповерхности. Дальнейшее доказательство, отдельное для каждого класса, приводится в §2.5. Оно основано на элементарных идеях, одна из которых изложена в лемме 2.18: если двумерные торы, изображенные на логарифмической диаграмме точками lna и Inb, переходят в торы, изображенные точками 1пс и lnd, то множество, изображаемое отрезком [lnar, In/?], перейдет в множество, изображаемое отрезком [lnc, Ind\. Так, три инвариантных тора, лежащих в общем положении, позволяют выделить инвариантную ограниченную область Рейнхарта и применить теорему 1.3. Другие случаи требуют применения теоремы 1.4 или знания группы автоморфизмов оболочки голоморфности области.

В третьей главе доказана теорема 3.1 (см. стр. 58)

Эта теорема классифицирует 2-мерные гиперболические трубчатые области с некоторыми ограничениями на группы автоморфизмов. Доказательство основано на рассмотрении групп автоморфизмов трубчатых областей Aut(7a), которые будут группами Ли, и соответствующих алгебр Ли. Их размерность < 8. Если dimAut (Тп) > 4, то область оказывается однородной, и как следствие - областью голоморфности. В этом случае можно использовать классификацию Шимицу, полученную в статье [S5], Если dimAut (Tq)=2, то группа сдвигов переводится сопряжением в группу сдвигов и тогда лемма 3.1 гарантирует, что отображение является аффинным. В случае dimAut (7q) =3 или 4 дополнительно предполагается, что в Aut (7Ь) существует 3-мерная подгруппа, включающая в себя сдвиги и под действием индуцированного биголоморфным отображением изоморфизма она переходит в аналогичную подгруппу в Aut (71). Таким образом, случай dimAut (Та) =3 рассмотрен полностью, а в случае dimAut (Та) = 4 найдены примеры голоморфно, но не аффинно эквивалентных областей. Далее рассматриваются соответствующие этим подгруппам трехмерные подалгебры Ли. Всего существует 9 типов трехмерных алгебр Ли. Три из них вообще не могут реализоваться как подалгебры Ли группы автоморфизмов гиперболической области - это алгебры с 3-мерным и 0-мерным коммутантом д2 = [д, д]. Случай 2-мерного коммутанта разобран в §3.4. Такие алгебры обладают единственными 2-мерными коммутативными подалгебрами. Естественно, эти подалгебры соответствуют подгруппам вещественных сдвигов. Отсюда сразу следует, что эти подгруппы сопряжены - можно применить лемму 3.1. В §3.3 рассмотрены две алгебры с 1-мерным коммутантом. Именно они дают все исключительные случаи (причем все имеют dimAut (Та) >3). Эти алгебры рассматриваются как алгебры полных векторных полей. Два линейно независимых д г д поля L. =- и Lj =- соответствуют сдвигам. 1 ретье линеино независимое от dz{ dz2 них поле можно найти в явном виде интегрированием. Условие его полноты даст нам ограничения на возможный вид трубчатой области.

Заметим, что в совместной с Н.Г. Кружилиным статье [К-С] случай dimAut (Та) = 4 исследован полностью. Новых исключений (кроме уже найденных) при этом не обнаруживается.

В диссертацию вошли материалы 2 статей, вторая из которых написана в соавторстве с Н.Г. Кружилиным - [Сол] и [К-С]. Результаты диссертации докладывались на семинарах в Московском Государственном Университете и Математическом институте РАН.

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям доктору физико-математических наук, профессору Армену Глебовичу Сергееву и кандидату физико-математических наук, старшему научному сотруднику МИР АН Николаю Георгиевичу Кружилину за постановку задач, помощь и постоянное внимание к работе.

1. . С-М. Chern S. S., MoserJ.K. Real hypersurfaces in comlex manifolds // Acta Math.,

2. V.133, №3-4,1974, 219-271.2.. Eas. Eastwood A. A propos des variet'es hyperboliques compfetes //

3. C.R.Acad.Sc.Paris, 280, 1975, 1071-1074.3.. Каир. Каир W. Reele Transformationgruppen und invariante Metriken auf komplexen

4. Reinhardt domains in C^// Osaka J. Math. 1991. V.28. R609-621.9.. S3. Shimizu S. Holomorphic equivalence problem for a certain class of unbounded

5. Reinhardt domains in C^, II// Kodai Math. J. 1992. V.15. R430-444.10.. S4. Shimizu S. Automorphisms and equivalence of tube domains with bounded base//

6. Math. Ann. 1999. V.315, P 295-320.11.. S5. Shimizu S. A classification of two-dimensional tube domains //Amer. J. of Math. 2000.V.122.P.1289-1308. 12.. Sun. Sunada T. Но1отофЫс equivalence problem for bounded Reinhardt domains //

7. Работы автора по теме диссертации25.. Сол. Солдаткин П.А Голоморфная эквивалентность областей Рейнхарта в С //