Методы комплексного анализа в теории переопределенных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

¿а 5 о в наук ссср

ОРДЕНА ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Ка праьах рукописи

с

Тарханов Николай Николаевич

удк 317.95 + 517.53

. МЕТОДЫ КОМПЛЫССКОГО АНАЛИЗА в ТЕОРИИ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ

01.01.0? дифференциальные уравнения

латора^зра? диссертации ка соиокашь ученой степени доктора физике -. математических наук

новосибирск •• 1991

/О' _ - - 7 .<? 7

г

и / - > ...о

, Работа Енаолийна л секторе тзсрии функций Института фи-• зяки им. Л.В. Киренсхого СО АН СССР

Официальные оплоненть.1:

доктор физико-матекатических наук, ведущий научный сотрудник

доктор физикс-иатематаческих наук, ведуший научный сотрудник

доктор фи?ико-ннт8мач'ических наук, водуций научкий сотрудник

Бедущол организация :

Московский государственный уни-версите1 иу. И.В. Ломоносова, мехаиико-математичесодЛ факультет

Защита состоятся "__"___1591 г- в___ часол

на заседали Специапиялроьельигс совета Д 002.23.02 по галете диссертаций на соискакие ученой степени доктора наук при Института м.гт-оиаткли СО АН СССР по адресу: "630090, г. Новосибирск. 90, З'ниверсктетский проспект, 4".

С диссертацией мог.,:у ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР.

Автореферат разослан "____1991 г.

УчеинП секретари

Сиз циализи р о-

иаг'/ого со£е?и.

до:«: с ¿хг.-мо".

^ ТГ ~ ^

, -- Ь.З. Вс-донссо»

Л.Р. ВолеЕич

С.Н. Сауборский Е.И. Кузьминоз

| OEiIIAfi ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

" Г0'.' Актуальность темы Переопределенные системы ли-

нейных д.у. возникают в различных разделах современного естествознания при моделировании процессов, характеризующихся сильно связанными между собой величинами. Развитие (формальной) теории переопределенных систем (С. Ли, 3. Картам, Л.К. Спенсер, С. Стернберг и др.) вывело теории уравнений с частными производными за классические рамки аначиза. и привнесло в эту теорию идеи и достижения целого ряда математических дисциплин: дифференциальной геометрии, алгебраической топологии, коммутативной алгебры и др.

Эвристическое определение переопределенной (неоднородной) системы д.у. Р u « t заключается б тем, что существует д.о. Р^ Ф О, для которого композиция Р^ Р (определена я) = 0. Тогда для разрешимости этой системы необходимо, чтобы P1 i =0. Л.К. Спенсер CI969) предлагает сразу называть переопределенной системой д.у. пару (Р, Р^) , где Р.. Р - о,

Из сказанного понятно, что теория переопределенных систем д.у. есть теория комплексов д.о., или дифференциальных комплексов,

С-(Х): О —* ¿°(Х) ~v g1 (X) ... Z. SN(X) —»• О, (Т)

где e^Ci-o, n) - (ко-) пучки-ростков сечений класса в некоторых векторных расслоений Н'-зд дифференцируемым многообразием X, а Р - дифференциал комплекса, определенный последовательностью а.о- Pi i (.к7- с по Формулfj I f ■■* ?i t для f-t За(Х) .

ТТ

• Л.у. - ди фф ер ен ци ал ьн оо уравнеш»», In.) д.о. - Uicei?;i,c-) дм¡'I'upeHu.iajbKui оператор.

Примером переопределенной системы д.у. является система Коши - Римана в Сп, где п>1. Тогда комплекс (I) суть комплекс Дольбо. Этот пример не случаен» поскольку комплексны!!анализ и теория переопределенных систем тесно связаны. С одной стороны, классические исследования К. Ока, К, Кодаиры, П. Дйль-бо, Е.-П. Серра, Дж.Дж. Кона, Л. Хермандера к др., посвященные аналитическим функциям многих переменных, дают богатую интуицию к зачастуе трактуются в контексте решений общих переопределенных систем д.у. С другой стороны, в начало 60-х годов ь работах Л. Эренпрайеа, Б. Мальгранжа, Е.П. Паламодова и др. была построена обцая теория переопределенных систем д.у. с постоянными коэффициентами (или комплексов Гильберта), в которой аналитические функции выступают и мощным средством исследования. В основе этой теории лежал "фундаментальный принцип" Л. Эренпрайеа (1960), согласно которому каждое решение системы д.у. с постоянными коэффициентами есть интеграл с подходящей мерой по множеству экспоненциальных реизкий системы. Отдельные фрагменты теории позднее были перенесены на переопределенные системы д.у, с весественно аналитическими (Б. Мальг-рани, Е.П. Лалэ.модов, Д.К. Спенсер и др.) или с периодическими коо4Фиш:ентами (теория ч>локе П.С. Кучм'ента).

Б методическом плане наиболее близкими к переопределенным системам д.у. с постоянны:« коэффициентами являются система д.у. с инъектилныг»: символом. Это пенлтие является естест-гекп'ым обобщением алгеОраическогс условие. :лл;:птичности на пе--оеопредг.'екни^ састсми и з^'.ячаетея -гн, что отображение сиььо.'а ость и.'-ъекииа. Построит ссв.лестностк

пеодкор.'дгь'. систе*-' I.) . г ккт -еклиыим с/.к! с/.ом прЕьошт к так назнюсччи .'.гтрсл;:" '.со мгле к с. у .: ., г.оторыо хар-чле-т тач/.^'Г"..!. ьа ус:>ы:с онш.олоь ч^.г.. Сг-енсео и др.). пх

имерами является классические комплексы до Рама и Дольбо, раюшие большую роль в геометрии. Н. де Рая б своей гшачени-й монографии (1955), изучая потеки на дифференцируемых мно-образиях, подсказал подход к эллиптическим комплексам, кото-й основан на понятии парамзтрккса. Эта подсказка оказалась еждевременной, поскольку не могла быть реализованной- до по-леиия современной теории п.д.о., которая требуется для-'поет*" ения и оперирования с параметриксамл общих эллиптических мплексов. Начиная с конца 60-х 7Эдов, метод . параметре.к-са нтегральных представлений) очень активно разрабатывался" в мплексном анализе, в основном, применительно к- (><-■ проблеме . Коппельман, Г.М. Хенкик, Е.М. Чирка, Р. Харви'Ч'Л- Дня Пол-нг, И. Либ и Р. Рэйндк и др.). Однако развитие языка и су-ственное упрощение технологии б таких областях математики, .к дифференциальная геометрия, алгебраическая топология, тео-я п.д.о. и др., открыли возможность для переосмысления под-да Ж. де Рама з^контексте общих эллиптических комплексов, рвым шагом здесь было построение глобальной теории (.Ходжа) я сллиптических комплексов на компактных многообразиях (М.Ф., ья и Р. Ботт, Т. Котаке и др.) и разработка основ теории эл-птичееккх дифференциально-граничных комплексов (В. Пиллат к -В. Шульце, С.Н. Самборский и др.).

Бместе с тем ряд актуальных задач теории уравнений с ча-нкии производными и оэ приложения привел к необходимости зработки метода параметрикса и других методов комплексного ализа для эллиптических комплексов на некомпактных многооб-яиях.

. Цзль исследования Целью диссертационной работы

является :

I) систематическая разработка методов комплексного ¿ша/и--- 3 -

•за, в основном, истода парамотрккса, в теории эллиптических комплексов на многообразиях;

2) установление связей теории эллиптических комплексов с гомологической алгеброй и другими разделами алгебраической топологии;

3) применение разработанных методов к исследованию пиро-кого спектра вопросов, связанных с когомологиями эллиптических комплексов, таких, как существование фундаментальных ре-сеннй, теория двойственности, краевые задачи, когомологик с носителем в точке, задачи аппроксимации, задача Коши с данными на куске границы области и др.

3°. Общая изтодыка Основная методика исследова-

ксследования , пая-синтез методов комплек-

сного анализа с: I) теорией распределений с векторными значениями Л. Шварца, в частности, аппаратом топологических тензорных произведений А.Гротендика;;-. 2) гомологической алгеброй и теорией пучков; 3) современной теорией п.д.о. и А) основными теоремами линейного функционального анализа.

4°. Научная новизна и Развиты: I) метод параметри-

практическал цен- кса (интегральных представ-

ность диссертации лений); 2) метод когомоло-

гий Чеха; 3} таблица скачков граничных интегралоЕ (формулы Сохоцкого -г Племеля); 4) ме-. тод разложэни.ч реиений е ряд Лорана; 5) аппарат специальных емкостей; 6) язиг. пространств Харди, - и др. методы комплексного анализа в .контексте решений общих переопределенных систем ¿.у. с кч-ьективны.ч символом. Получены многочисленные применения р?.зрабста.мных методов. Ьсе результаты диссертации является новыми.-Ь части, связанной с.эклиптическими комплекса-

о ■■

ми (гл. i-З), они могут бить использованы в геометрии а теоретической физике. Результаты, относящиеся к устрашмкм особенностям !i аппроксимации, жопт многочисленные п' чменетгип в основным проблемам уравнении с частными прсизгодними - краевым задачам. Наконец, результаты последней (6-й) главы, связанные с некорректными задачами, представляет ценность во многих вопросах естествознания.

5°. Апробация Материали диссертации несд-

<

нок.ратно докладывались на Всесоюзных конференциях по теории операторов з функциональных пространствах (Новосибирск, ¡985; Челябинск, J985), по теории функций и дифференциальным уравнениям (Черногсловка, 1933; 1987), по геометрии и анализу (Новосибирск, 1959), на Всесоюзных шчолах-семкнарах "Яокоррзктние задач:: математической физики и анализ«!11 (Красноярск, 1966), "Комплексный анализ и математическая физика" (Дивногсрск, 1987), "Актуальнее вопросы комплексного ана'/иза" (Ташкент, I9S9), а также на научно-исследовательских семинарах при Институте математики СО АН СССР (Новосибирск, 1903; 1935; 1983), Уральском государственном университете (Свердловск, 1933), Московском государственном университете (IS83; 1926; 1959) и Математическом-институте им. В.А. Стеклова АН СССР (Mockeü, 1969; Ленинград, 1989). Некоторые результаты диссертации включены в книги -5.А. Аягеь-берга "Формулы Кэрлемаиа в комплексном в"ализе., Первые приложения" (Новосибирск: Наука, 1990) и А.П. Копылова "Устойчивость в С-корме классов отображений" (.Новосибирск: Наука, 1990), а также б монографиях других авторов.

Публикации Основные результаты диссер-

тации опубликованы в работах _'.J - [30] ч отрг.иэнй в монографиях [31] ,[32],

,7°. Структура и объ- Диссертация состоит из введе

ем диссертации ния, § 0 предварительных све

дений и б глав. Главы разде лены на 24 параграфа, параграфы разбиты на пункты с самостоя тельными названиями. Объем диссертации 330 машинописных стра ниц, список цитированной литературы содержит 243 наименования

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТУ

Глава I посвящена парометриксам и

фундаментальным решениям гл

.'.оптических ксмплзксов,

В § I строится дифференциальный комплекс ф'* (X * х) на I , коциклами в степени (-1) которого по модулю гладких се чений являются г.араметриксы. Чтобы описать этот комплекс, тре Оуется понятие транспонированного к комплексу Е". В дальней ¡¡ем удобно под дифференциальным комплексом на X понимать не (.только) последовательность (Л), а Си) семейство Е' = {е3', так что в каждом из классов 3 Б, 5)', с' и т.п. ему отвеча ет комплекс (1-). Тогда транспонированным к комплексу Е" назы ьается дифференциальный комплекс Е* «={е±'', Р^} , где

Е1'- Нот (Е1 -» Ап) - дуальное расслоении Е1, а Р^Ор (Е1+1'-»Е1Л транспонированный д.о. Р^ Термин "транспонированный комплекс опрашивается тем, что если обозначить через (.ко-) пучок росткоп сечений класса С расслоения В1 над X , то комплекс

С.'(*>: О— «¿тХ ... X «н(Х) «— О (2}

является транспонироьанным в топологическом смысле к компле> су (]). Т-злорь , а соответствие мы

ду с^чыии.»» К(;-,г) е .9'Г(У >• <) и.операторами К: £\х)-»£>'л+г(> ,сб?-спсчи;-ется •»еоромой Л. Ьъариа о цр^. ь ез глобелыюй фо] КГ.% ГО!/»; (. !9>'0. • ... 4

- в - 1

Основной результат о существовании псовдодиффаренцчал'ьне-го парамегрикса для эллиптических комплексов на компактном многообразии принадлежит М.Ф. Атье и Р. Ботту (1967). Небольшая модификация их рассуждений дает аналогичное утверждение и для некомпактных многообразий л . Этого достаточно* для многих приложений, однако иногда удобно иметь параметрикс, кривизна которого является сглаживающим оператором. Конструкция такого параметрикса приводится в теореме 1.5. Зафиксируем гладкий положительный объем V на Х<:1 ермитову метрику , ),, в кавдом из расслоений ото позволяет определить сопряжэн-но-лкнейный изоморфизм расслоений к ! в3" нг1"' через х е » (.,о)ху(з:), а для д.о. Р внестэ с транспонированным р' рассматривать д.с. Р » л . Р к , формально сопряженный к Р относительно предгильбертовой структуры на Ф1(х) . Тогда дифференциальный комплекс В* 2?', Р^} называется присоединенным к, п*, если для в^ех ±«0, N д,о. являются эллиптическими порядка 2р. Если порядки зсэх д.о. Р^ одинаковы Си = р ), то в качестве присоединенного мокно взять сам комплекс Е\ Б этом случае суть лапласианы комплекса Е* . В общем случае существование присоединенного комплекса равносильно эллиптичности Е\ а при подходящих соглашениях может быть принято за обобщение эллиптичности. Обозначим через р;1о_рр(Е1 ->• т?-г) собственный парамзтрикс д.о. й^ , а И , так чтг. П.^ Рйо_р суть собственные п.д.о. степени (-1) по отновени:: к. гргдуировке 5". ^то-бн избежать многочисленных индексов, мы будем пользоваться градуированной записью для операторов, оприделйчнчя на сечениях каждого из расслоений например, Р, А, П и т.п.

ТЕОРЕМА 1.5. Существуют собственные сп&жизЕэчие операторы Нг е ^¿о (ХГ такие, ».тс.

1 —ПО

П р г 4 ряг = г - иг для бсох лФ'-Чх). (3)

Для классических комплексов де Рама и Дольбо или, более общо, для локально сочных комплексов Е' известна процедура "склеивания" глобального параметрикса из локальных (I. де Рам (1955), Д. Толедо и Я. Тонг (1376), Е.М. Чирка 11979) . и др.).

СЛЕДСТВИЕ 1.7. Вложение Ф'1® индуцирует топо-

логические изоморфизмы

к1(£-(х)) ™П' нЧш'Чх)),

Е (©' (X)) » Нха ЧХ)).

Первый из эъих изоморфизмов лыр&хает так называемое свойство гипойллилтичкссти эллиптических комплексов. Если комплекс Е* точек в положительных степенях на уровне пучков, то оно вытекает из абстрактной теоремы де Рама и гипоэллиптичнос-ти д.о. Именно так сеойстес гипоэллиптичности доказывается для эллиптических комплексов Гильберта в Нп (В.П.Паламодов (1957)). Несложные рассуждения с привлечением лапласианов Д.^ позволяют установить также свойство аналитической гипоэллиптичности эллиптических комплексов при условии, что многообразие X и ьсе объекты (е^) вещественно аналитичны (предложение

1.6).

Ьсли отказаться от собственности операторов {п^} в равенствах (3), то при подходящих условиях с помощью теоремы А. Грстендпка о топологическом тензорном произведении (1953) их можно подправить сглакиьасЕими операторами так, что эндоморфизм Я будпт иметь нулевую составляющую в степени д , т.е.

И - О.

Ч

0ПКг,3£:£НйЬ: 2 А. Иараметрикс 1'Ь * Гйо г, (Е1 к1 )}ком------ . . „ -р^^

п^едса Е" нг-эыьпотсг. идам и ч таль ним рэвопием этого комплекса я степени з.'зсги -

ФРГ + г ф f = Г для всех

Кз теории Ходка вытекает, чго на компактном многообразии X комплекс имеет Фундаментальное решение в степени q тогда и только тогда, когда HqCS*(X)) = о. В общем случае условие тривиальности группы когомологий не является необходимым. Что же касается достаточности, то в § 2 доказывается следуа-щий результат. Будем называть многообразие X q- выпуклым по отноие.чкв к если комплекс "о * [л) ацикличен ъ степенях >- о.

ТЕОРЕМА?.?. Пусть для некоторого 5 ¿ N многообразие X q - выпукло по отношению л комплексу 2*. Тогда зтот комплекс инзет фундаментальное решение в степенях ^ ч .

Применение теоренк 2.7 к транспонированному комплексу дает такое утвервдеиие.

СЛЕДСТВИЕ 2.6. Если многообразие X. Т-з^пукло по отноже-íhb х комплексу Е' Н^СЕ. (X)) = о, то К* имеет фундаментальное решение.

Чтобы продемонстрировать следствие 2.3, отметим, что из iero по теореме 3 Карт&па вктекает один из осноноиолагавних юзультатов метода интзгра-тьных представлений в комплексном 1нализе, что комплекс Лольбо на мчогоойразии Етей^д всегда ¡меет фундаментальное решение (У. Кояпельман (1967), Г.М. Хен-,кн и И. ЛаРтерер (198ч) и др.).

Условие О связано с разрешимостью система

• у. с епрьектиЕНУм символом-Eq v = з . Э.от,вопрос пасо.чатри--ается в теореме 2.II. Следуя Б. Мальгракиу ''.1!355) ЛДерман-вру (1963), будем называть многообразие £ - выпуклым для эситедей, если для каждого компакта к с х «аг.дется компакт с х т-зксй, что из условий ССХ) [- ar.rp fíe " зытека-г- supp 1с i . Чер^з Зр обозначаете«. (но-)' пучок решений гасса <?> системы Р í С ма V.

ТЕОРЕМА 2.11. Н0("Е.(Х})»0 в том и только том случае, когда Ф-р^(Х) - о и многообразие X Р0 - выпукло для носителей.

Для .определенных д.о. Р0 с постоянными коэффициентами на открытом множестве X с н11 теорему 2.11 доказал Б. Мальг-ранк (1955). Он такие заметил, что если д.о. Р0 удовлетворяет так называемому условию единственности задачи Ноши в малом на X , именно:

(иУ, если 1 * (с) для области е-сх и на

. 0

непустом открытом подмножестве (У, то ^ в О в -9;-

то многообразие X Р0 - выпукло для носителей. Б этом случае основное препятствие к разрешимости уравнения Р^- в такое же. как и для компактных мкогообразий X, т.е. пространство

©р (X) . -

О

СЛЕДСТВИЕ 2.13. Если многообразие X. не имеет компактных связных компонент, а д.о. Р0 удовлетворяет условие (и)3 на X, то комплекс Е" обладает фундаментальным решением, в степени 0.

Для эллиптических д.о. Р0 этот результат доказан Б. Мальгранжем (1955). Уместно сказать несколько слов о фундаментальных ресенкях комплексов д.о. с постоянными коэффициентами. Л. Зренпрайс (1954) и Б. Мальгранж (1955) независимо установили, что каждый скалярный д.о. с постоянными коэффициентами ь имеет фундаментальное решение в классе распределений. Следующая теорема обобщает ото утгерждение.

ТЕОРЕМА 2.17. Всякий невырожденный комплекс Е" д.о. с посюяьньми коэффициентами в Л11 имеет фундаментальное решение сьорточного типа.

Кьв^Ьгдонност.ь »-Г-лплокса Е-, озкачазт, что соответствуй пая ric.-cioirf.-TW¿кость голных символов точна хотя бы на од~ ¡:с.ч коиасагс-льком' 1 .екхо'рв«;Тцлоъи• наприлор; эллиптические

комплексы или комплексы Гильберта з Нп, ассоциированные с определенными СР-модулями М - оокег Е^С?.)* » где У- кольцо многочленов от г 6 Сп. Условие определенности м является также необходимым (следствие 2.18). Утверждение теоремы 2.17 было известно ранее только для комплексов де Рама Норго (1974)). и Дольбо (У. Коипельман (1957)).

Уже простейшие применения формулы гомотопки (3) приводят к необходимости вычислять коммутаторы [? ,^,'хГ^] , где характеристическая функция открытого множества о* с х . При зтом появлпится так называемые полидифференциальнне операторы со значениями в пространстве дифреренцггльних форм, которые рассматриваются в § Для дифференцируемых векторные расслоений в^ ( 3 = 1, е ) и в над X через «!о ((в,р...,в0)-»в) обозначается пространство всех е- дифференциальных операторов типа (ВВе) -»в порядка е на X. Особенно интересны случаи В - Л1 ( где - расслоение внешних форм степени 1 над X. Если о £ до ((в.],...,ве) Д1 } го композиция <5 с оператором внешней производной 1 дает оператор с1 а € ао ^((в^,...^) *Л1+'Ч причем аСЛО) = о. Та-сим образом, мы приходим к комплексу

о - ¿ое.п((в1,... ,ве) ♦ Д. ¿оЕ_п+1((в1,... Л1) Д .

* (.4)

•2» ЙО£( (в^,...,ве) * дп) — о.

. .Гротендик ч1952) анонсировал и привел схему доказатеаьст-д., . _

а, что в случае В.. ч Д ^ (.0= 1,в) последовательность (4) очна в степенях 3-<п, и описал к01'раницы в степени п. В эсстанавливается доказательство А. Гротендика," причем для Зжих расслоений ,

ТЕОРЕМА ЗЛ.

I) Комплекс (4) ацикличен в степенях 1< п, причем - 13 -

2) 'ае йо,...,зл) |\п) является дифференциалом в том л только ток случае, когда

] « о для всех £.,е5)(в.) ( 1, с).

X и а

Один из аспектов использования теоремы 3.1 - рецепт для "размножения" законов сохранения для решений переопределенных систем (теорема 3.5). Ироствйпее рассуждение такого типа заовчается з том, чтобы зафиксировать в первообразной вр.(в.г)- -<г/е, г>х) &«1ор ^((е^еЫ^-1)),

называемой оператором Грина д.о. в качестве е какое-нибудь решение системы е = О. Следующий результат можно рассматривать как вариант формулы многократного и'тегрирования по частям, отвечавшей комплексу £*.

СЛЕДСТВИЕ 3.7. Существуют последовательности бидифферен-аиалышх операторов йо0 +...+р._(1+-1)((е1+'1>:е0)-> Л11-1-1)и

такие, что:

1) в0 - &р и

о , _

2) а « + для всех

е«-Е1+1(х) и 1 е "В°(х).

Связующим звеном в применениях формулы (3) к краевым за-I чам для эллиптических комплексов является формула гомото-пии на многообразии с краем. Пусть В - ориентированная замкнутая (локально) спрямляемая гиперповерхность в X. Тогда каждому сечению ? € с (Б3-1мы можем сопоставить сечение [в]р г е , определенное через

*

<Е, [в]рг>х-] с^.Се, г) для ееФ1+1(х) . (5)

6 X

ТВСРЕМЛ 3.9. Каково 5ы ни было открытое мкоже'^во О"с х с кусочно.-глйдксй границей, мл всех сечений 1 е с\оЬ опрагедлиьа формула

- 1-1 -

- П([э!Ярг ) + пСХо-Р^) + РП^г) = (б)

В крайнем случае ^ " 0, т.е. для д.о. Р0 с ийъе.чтиьним символом, формула (б) хорошо известна. Обычно ее называют формулой Грина-. Впервые формула вида (6) появилась для комплекса Дольбо в Сп з работе У. Коппелькана (1967). Для комплекса де Рама аналогичная формула была написана позднее в спе1 .урсе Норге (1974).

СЛЕДСТВИЕ 3.11. Если Ф - фундаментальное решение комплекса Е' в степени ч, то класс когомологий внч (©'•(<>•)) сечения П полностью определяется его составляющей Ф СиЭ0^11 зависит только от ( р -1 )- струи Г на границе 3 О'.

В § 4 показывается, что развитой техники достаточно, чтобы получить новыэ результаты по обобщенной проблеме Лишена для эллиптических комплексов. В теореме 4.1 дг-ется заражение числа Лефшеца геометрической) эндоморфизма комплекса "Е " (X ), индуцированного отображение- ш: "С -»X, .в терминах параметрик-_са П . Если множество неподвижных точек и состоит из конечного числа компонент меры нуль, то это позволяет ыразлть число Лефшеца в виде суммы индексов компонент (еледстзио 4.2). В теореме 4.3 вводится индекс изолированной компоненты нулевой меры множества Их а и доказывается его единственность. Наконец, в следствии 4.4 указана когомологическая формула для индекса. Эти результаты дополняя? исследования М.Ф. Атьи и Р. Ботта (1967), Д. Толедо (1973) и др. математиков в этом направлении.

Глава 2 посвящена теории двойственно-

сти для когомологий эллиптически" комплексов. Хотя ? не« не рассматриваются прямо вопросу глобальной разрёаихойти урэг'.екия = изучаггея. сяязи '■

- хэ

.мехиу различными случаями разрешимости отого и транспонированного уравнений.

В § 5 приводятся обобщения на эллиптичёские комплексы некоторых замечательных теорем алгебраической топологии: формул Кеннета (теорема 5.1), двойственности Пуанкаре (теорема 5.3) и двойственности Александера- Понтряхина (следствие 5.4). Отметим также следствие 5.2, касающееся разрешимое.и переопределенных систем д.у. с параметром.

Одним из способов вычисления когомологий с коэффициентами в пучках являются когомологии Чеха. Они играют важную роль б комплексном анализе 4. естественно возникают в таких задачах, хак первая и вторая проблемы Кузена. А. Вейль (1952) обратил внимание на перспективность этого подхода в общей теории дифференциальных комплексов. Б.П. Паламодов" (1967) применил кого-холог/ч Чеха для изучения комплексов Гильберта. В § б этот подход развивается применительно к эллиптическим комплексам на многообразиях. Пусть а - открытое покрытие • X,

а Сд(и, Б) - пространство всех д- коцепей покрытия и со значениями в пучке В. Имеется комплекс ЧехаС'(и,8)«{сЯ(и,8) где 2 - пограничный оператор. Его когомологии -Нч(и, й) называются когомологилми Чеха для покрытия , и с коэффициентами в пучче В. Рассмотрим бикомплеке Чеха СЧи,"Е') »(с^Си,^1)} „

с- . ' *

с взаимно коммутирующими дифференциалами Ь и Р, и соответствующий окаймленный комплекс

о Х'(х) с-си, "е- )

\

с-(и,Вр) (7)

т О

о

Пзс.'ол! у пучки "Е1 тонкие, строки в (7) стягиваемы. Опера-'•ср го*~то-у.И ьг с"(и,"е"г) -» с4-1''!),^1) ".троится с помощью

какого-нибудь гладкого локально коночного разбиения единкцы на-Х, подчиненного покрнтич U. Определим "косое" отображение [p,h]s С^и,^1) -» C^CU.-e1^), где Гз?, h] » Р h .- h?, и положим wq » J. 3aiv:e4&te-/ibhce СВОЙСТВО

отображения и, называемого гомоморфизмом Зэллл, вырауается

в следующей теор ie.

TBC РЕМ А 6.1. W: -> суть коцъп-

о

ное отображе1:ие комплексов степени 0, индуцирующее гомоморфизм Wy s ") -> НЧС£ *(К)) не зависящий от разбиения единица {^j} и естественный в том.смысле, что если V - измельчение покрытия U , так что определена транзитивные отображения Mvu : Hq(U, "йр ) Я^Г/.-е^ ), то • Kvu - '/ц.

Описанная конструкция гомоморфизма была указана для комплекса до Рама А. Вейлем (1952), за тем изменением, что он исходил из отображения (_1)<»(<1+'0/2 (Р а)4 на коциклах с коэффициентами г пучках 'Ер . Дальнейшие усовершенствования конструкции к. Бейля. были сделаны А. Глисоном (1963) и Р. Харви (1970). Приводится ^акке двойственное к теореме 6.1 ут-. воркдение о действии транспонированного к гомоморфизму W в пространствах гомологи'' (теорема б.З). В практически интересных случаях ато действие реализуется как форму.па многократного интегрирования по частям (теорема 6.5).

Остановимся'на приложениях этих результатов. .Будем считать, что X ке имеет компактных связных, компонент, а д.о. Р0 удовлетворяет условии.'(ü)а на X Тогда , по следствие

2.13 комплекс ■'£* имеет фундаментальное решение $ - в степе-

Л о

ни 0. Б чястнсстп, компоьемта (К -» К ) дает ле~

' ро

вое фундаментальное ресочие д.о. Пусть .К - произвольны!1 компакт на х, а ü - -/> - открытой покрытие «чокества

Т- г ч к. 1)сгс-льзух}»?оя зродетше? Р.' Хчртда ч.1970) ноуяти* О00 .

полиодра в общем положении относительно поурытия. и . Предположим, что П (§ X - открытое множество, и пусть для всех строго возрастающих мультииндексов ХеЛ"'^ (j ■= 1,п) на "ЭП заданы попарно непересекающиеся ориентированные С00 многообразия С"ЭП)-j- с Uj размерности С г. - так, что С"ЭП)Х t f> лишь для конечного числа I и Ш :: ¡J (fllDj-. Распространим обозначение Сап)-,; по кососимметричности на все мулыииндексы I . Если при зтом выполняются условия: 1)\П, U (ЭП),} - ориенти-

■ИЛ v

рованное Сне обязательно замкнутое!) многообразие с краем -и

2) lOlOj, U (-ЭП),х } - ориентированные Сне обязательно зам. $tAf оо кнутыеО многообразия с краем,- то П называется С полиэдром в общем положении относительно покрытия и. Ниже через обозначается бидифференциальный оператор из следствия 3.7, а через Wy - оператор из Hq(u,"£p,) в ЕЦСЕ.Со-)) , построенный . в соответствии с теоремой 6.1 для комплекса!?*, ^qljlj^z на О', где Р1-Ед"1+1'|0, при i = 0,q и F1 = о для остальных i.'

ТЕОРЕМА б.6. Пусть при любом о - имеем Hj (t.CUj)) -О для всех , а П Сё х- некоторый С® полиэдр в общем положении относительно и, содержащий К. Тог_

да для всякого сечения ft'Ер (П ) справедлива формула д(д-И) / 0

f(*)—(-1)' !>' I affw-J1 ^Cx.y^j.fW), Х€К.С8)

В частности, сечение f в к полностью определяется еноея С р0+-.. .-»р - q - 1 )-струей на С n-q-1 )-мерном остове полиэдра П . Ото эЦокт пероопродсленности системы PQ f « о, за С1С:ПЫ!Ь которой |1 уСЛОЬИЯХ TCOpCMH MOKliO взять ЧИСЛО 1 . Таким сбрызом, систина ?0 f» С тем более переопределена, чем дллннс-о '1наи:лънг" построенный по ней комплекс (i). Теорема {".(.' Mi.tciHi C-iaroifitnyh гючьу для применений в комплексах Гиль-И:пн, когда ириь&лышс <у эгри.гтичмекону рагсуждонив удается

придать точный >;мысл. Именно, степенью лерэопредсленности д.о. Р0(Ю) называется число q»n-'S-1, где 5 - размерность алгебраического многообразия {2 е сп: гаШсд Р0(я)<гапк Е° } , а условию теоремы 6.6 удовлетворяют произвольные выпуклые покрытия и. Мы получаем усиление известного результата В.П.Паламо-дова (1967), согласно которому решение переопределенной система д.у. с постоянными коэффициентами Р £ » О в окрестности многогранника II с я11 непрерывно зависит от своих значений в окрестности ( п - 13-1)-мерного остова П. Для голоморфных функций многих переменных теорема 6.6 доказана Р. Харви (1970) который показал также, что частным случаем (8) является классическая формула А, Вейля (1935).

В § 7 рассматриваются классы когомологий комплекса (I), регулярные з бесконечности. Хорошо известно, что всякая голоморфная функция во тесности компакта на плоскости единственным образом представляется в виде суммы целой функции и функции, равной нуля в jecкoнeчнo удаленной точке. Понятие регулярного в бесконечности гласса когомологий комплекса Ф'"(Х\К), где к - компактное подмножество является абстрагированием от этой ситуации. Оно тесно связано с фигсирог.ятшн фундаментальным ресением Ф комплекса В* о степени и яря пап." ходящих условиях эквивалентно тому, '¡то некоторый представитель класса з окрестности йзеаижечно удаленной точки совпадает с потенциалом вида где Н е ' (X). Далее, оказыва-

1+1

ется. что в целом пространство регулярных в бесконечности глас-сов «»гомологи* из л'к'З'" (Х'\К)), обозначаемое через Н^Сй'ЧХМО), не заврскт от Ф.

ТЬЮРЕ'ИА 7.6. Ее ля пространство П^СЕ^Х-)) отделимо, а Ф-фундаментальнзе решена комплекса Е- д степенях <! и то

топ.

Для эллиптических д.о. этот результат доказан А. Гротец-диксм (1952).

Теорема 7.6 используется в § 8 для формулировки двойственности Гротендика для эллиптических комплексов. Речь идет об изложении в контексте эллиптических комплексов известной теоремы А. Гротендика (1953) и др., давщей описание топологического сопряженного к пространству голоморфных функций в обл

ласти С с о . Различные варианты этой двойственности для решений систем д.у. частного вида рассматривались в дальнейшем А, Гротендиком (1952), К.О. Кисельманом (1967), Б.П.Паламодо-вым (1967), П. !£апира (1972) и др. Пусть Ф - фундаментальное реьение в степени ( 1+1 ) комплехса Е*, а О" - относительно компактное открытое подмножество X . Обозначим через

(X) подпространство (0->, образованное пределами пос-ледовательносаей{*,}с'Ер-оЬ вида f,*$(H}) (mod p-E^"1(X\K(s^))

зз дополнении подходящего компакта к^'сх, где Н4е Ер (X),

5 q+1

стабилизирующихся на лвбом компакте К<=СУ. Если пространство Н^СЕ "(X)) отделимо, а § является фундаментальным решением Е* в степенях q и (q+1 ). то P~£q~1(0") плотно, в (X).

Так ч;о ъ этом случае топологические сопряженные к фактор-

пространствам "Ер (0-)/"Ер 00 и Hq("E"(o-» совпадают. Далее, ^ q

оператор Ф дает фундаментальное решение транспонированного комплекса Е*' в размерности (q+l), относительно которого определяется пространство Н ^("Е .(X \ гомологий, регулярных в бесконечности Излагается в контексте эллиптических комплексов "уело*. ..тэксимации" А. Гротенди^ ;32), а затем доказывается

ТЕОРЬУ.А В.?. Пусть O'fg х является об-ьедине-

i-o jpacTacioi'. ;юс.;одо^ательности ( о +1) - ныл)к-" ' относительно Kovrvx■:<*а С* тк^нти» хноасстъ, причем выпол-

- '-.и —

няется условие аппроксимации на СУ в степени д . Тогда

——, топ. „ -» сер (о-)/-ер (х)) г ь ^(-е.(х\о)). ч я

Вот ситуации, когда выполняются условия теоремы 8.2: I) д.о. Рд'^ удовлетворяет условию (и)а на (связном некомпактном многообразии) X , д^Л-Ч , а О-® X - любое открытое множество (следствие 8.4); 2) Е* - комплекс Дольбо на многообразии Штейна X , д«О , а (У<Ш X - голоморфно выпуклое открытое множество (следствие 8.5).

Глава 3 посвядена некоторым краевым

задачам для эллиптических

комплексов. -

Пусть В - замкнутая гиперповерхность класса С00 в X,

> +

разбивавшая X на 2 открытых непересекающихся множества X", причем Б ориентирована как граница Х-. Основу исследования составляют то^чые формулы скачков при переходе через э интеграла П([з]рг), которые приведены в § 9. Ввиду теоремы 3.9 это является далеким обобщением формул Сохоцкого-Племеля для интеграла типа Коти. Изучение скачкового повеления интеграла П([о]^ £) представляет трудности хотя бы потому, что для него обнчнце формулы типа Сохоцкого-Племеля перестают быть верными. Для комплекса Дольбо наиболее законченные результаты в этом направлении получили Р. Харви и Дж. Полкинг (1979), Адекватное описание скачкового поведения интеграла П([б]р Г ) удается получить благодаря привлечению понятия

данных Коши на В относительно д.о. Р. Именно, будем говоР-- -1 £

рить, что сечение ГбС{ос;(Е имеет пулевые данные Ка-

ши на В относительно д.п. Р^ , и писать Ь( Г ) = О , если

г 1р г ^

I Б] г ^ о 1см. (5)). В случя'з 1 = 0 это равное 15.':ьно

1

тому,

:то (п - -I )-струя ^ на Б ьулегпя.. Есл/. обозначить через

et (Xх) подпространство j.), состоящее из всех сечений

с нулевыми данными Кош на S относительно д.о, - ,Pi( то фактор-пространства öj-o. -J(S) ^/с^. (х2) естественно трактовать как пространства данных Коти на S относительно соответствующего класса. Поскольку дифференциал F инвариантно

—задействует на • т0 пространства Crt_j(S) собираются в

фактор-комплекс » который А. Андреотти и др. (1976)

предложили называть касательным комплексом на S, индуцированным комплексом ß'(X).

TB0PSMA 9.2. Соответствие f -*• [s]P f определяет инъек-тивное коцепное отображение комплексов "^[t.] Ф'"00 сте-

пени I.

Аналогично, будем писать n( f ) = о для . . сечений -

f «с (baj—^) с нулевыми данными Коии на Е. относитель-'.-; но д.о. . Для струи fe с 1toc (Е*|а) полагается fi«=n([s]Pf), '.'.а через fj обозначается сужение потенциала © (X) на Г,/'

ТЕОРЕМА 9.5. Если С^СЕ1^) , где sjspj-1 , а 0<А<1,- '. то , причем

. t( íj- fj) - t(f), n( fj - fj) O, ^

te?* fj - pH fj)-- o , n(p íj - p fj)v o.'

При i =0, т.е. для д.о. pq с инъективным символом, первая из Формул (9) дает обычное соотношение скачков типа Сохоц-кого-Племеля, а последняя обобщает теорему Ляпунова о скачке нормальней производной потенциала двойного слоя. Вторая и третья из формул (9) нетривиальны только при i^í В случае комплекса лольбо в Сп (и • s - со) теорема 9.5 доказана Р. Харви и Ду.. Полккнгом (1979). Приводится также вариант формулы скач-ксо для П'.чечцаялг f-j. с плотностью f е сР^ос (Е1|3)(теорема9.7).

Ъ 30 C/Cv.v.arTCR ближа?*ис следствия теоремы 9.5: выяс-- -

няется структура данных Коши на з для лапласиана Д^р^р+ррч (теорема ЮЛ); рассматривался разложения в пространствах струй на в , ассоциированные с эллиптическим комплексом Е' (теорема 10.2); дается описание касательного комплекса на 3, индуцированного комплексом в"(Х) (теорема 10.4); доказывается вариант теоремы Картана - Кэлера для эллиптических комплексов (теорема 10.5). Остановимся подробнее на конструкции касательного комплекса. Пусть С = "3 или .ф . Для а е обозначим через д) пространство с- струй на в сечений из; (ГЧх). Для фактор-отображения С^Ор е*-^ (Е*| используется символ Введем оператор -Ь: С,.1 1 (Е1) 3), полагая/-¿(Г) - З^д - гр . Из теоремч 9.5 следует. что

это отображение непрерывно и t2 = t , т.е. £ является про-

• ■ ■ (Р«-1) 1 .

ектором. Следовательно, пространство е ■" (Е | разлагается в топологическую прямую сумму образа отображения -с , обоз-(Рч-Ч)

начаемого через 0 гт , (8), и его ядра, обозначаемого через ч „ СРГ1) г >

в I, (3) Если Р^Р^, то в

так что в этом случае t и п«-(1-Ю являются непрерывными СР4-1) ,

проекторами на С (Е |в) , взаимно ортогональными и разлагающими тождественный оператор. Для комплексов Дольбо и де Рама ьа) и п(£) даст соответственно (комплексные) касательную и нормальную части дифференциальной формы г на а. Это дает, в частности, ответ на один из вопросов Дж.Дж. Нона

и Л. Биренберга (1965), связанный с (Р-) задачей Неймана для

. Со.-'О

решений уравнения йи - £ . иоберем пространства и гт (э)

СР.-1) / ^

б комплекс С ^ 1 (Б) на Э , определяя его дифференциал Рь

из равенства ^ = I; Р . Несложный анализ показывает, что

это определение корректно и Р^ = о. Таким образом, мы приходим к комплексу ' .

(г--'О Ср.,-1) (ту-"-) Гк'СРм-!-1)

ТЕОРЕМА 10.4. Пусть S е С , а в или £) . Тогда топ.

В § II рассматривается одно очень далекое обобщение "аддитивной задачи Римана - Гильберта" для голоморфных функций: точная последовательность Найера-Биеторнса пространств ко-гомологий эллиптического комплекса. Она вскрывает глубокую связь между 'когомологиями комплексов С (Х-) и G^^-j ^(8). Для комплекса Дальбо последовательность Майера- Виеториса придумали А.Андреотти и К.Д. Хилл (1972). В конце 70-х годов поязился ряд работ А. Андреотти и математиков, близких к нему, в которых такая последовательность была построена для произвольных дифференциальных-комплексов EJ при условии, что гиперповерхность В (формально) нехарактеристична .относительно S"(X) . Однако в этих работах не било удовлетворительного описания как касательного комплекса, так и связывавшего гомоморфизма. В следующей теореме эти недостатки устраняются.

ТЕОРЕМА II.3. Пусть С - "Н или Ф . Тогда следующая последовательность пространств когомологий является- точной: i S i ~ i — S ' i Гп 11 E*MP

L (II)

-> Hi+1(e-(x))-> ....

Гомоморфизм S в первом фрагменте (II) индуцирован су-

—т- _

нгнием сечений с X на X", а гомоморфизм Ь во втором фрагменте (II) индуцирован отображением

ни сечениях. Ключевой момент доказательство теоремы - проверка точности последовательности III) в члене \ lí-op:-K!!. lhb 6l'L труда позволяет построить обратное отображении г- i ^ i-торо.ч +рагкен,:,('! UI). А именно, таговим является

- -

П-[з]р 4 1 :г>[8"11'). Ь частности, если комплекс Е* имеет

Г

фундаментальное решение в степени (я + 1), а гиперповерхность в компактна, то отображение. Н^СС'а^еН^СЕ* н'се^Г^б? сюрьективно. Этот результат нельзя получить из теоремы Л.Анд-, реоттч и др. (1976). . . •■ ;

Б § 12 рассматривается следующая (переопределенная) задача Ноши для эллиптических комплексов.

ЗАДАЧА 12.1. Дана сечение ■ Г "^ОО и струя и Р1"'1 '11 „"X удовлетворяющие Р{ = о и Р.,-!; (и ) =. \ ■:Найти сечение-иеТ (X )такое, что Ри«Г и 3 е (и) :

■ Для.-'комплекса Дольбо задача Комг изучалась Лх.Дк. Коном ■ иХ.'.Росси (1965), А. Андреотти и'К'.Д. Хиллом (1972) и др. . Наша схема исследования задачи 12.1 такова. Сначала выявляют- ■• ся основные препятствия.к разрешимости задачи 12.1, которыми у оказываются ненулевые'"элементы пространства н3-^- (Х-)) (тео~-рема 12.2). Затем в предположении, что Н^СЕ'ОО) - О, задача . 12.1 редуцируется к задаче Кош для классов когомологий, воп-' • росы единственности или существования решений которой отраже- ,. нк в коммутативной диаграмме с точными строками определенных пространств когомологий комплекса Е* (теорема.12.4). Наконец, указан способ, представления-'классов когомологий из Н1^ СО) , элементами гармонического пространства в (Р-) задаче Дирихле для ресений уравнения Д^ и. = Г (теорема 12.9). Этс приводит к обобщению теоремы Дж.Дж. Кона и X. Розси (теорема 12.11).

При 1=0 оти результаты связаны е принудительным' про- -' должением решений переопределенной системы Р0 Г = О из окре- ■■ сгности 8 в X". В 19'|3 г. С. Бохнер. й 3. Мартинелли .независимо кашли строгое доказательство так называемой теоремы ,. Гартогса,' утверждающей, что если функция £ голоморфна в об--ласти С Г1>1), за исключением компакта к с. ¡у , не раз-

бивасзего с, та i галсшзрфна продолжается на бсь область с. Более того, из доказательства С. Еохкера следовал и более сильный результат, что от f достаточно требовать только, чтобы она удовлетворяла касательным уравнениям Коши-Рима-на на (гладкой) границе к. 1. Эронпрайс (1961) дач доказательство теоремы Гартогса, годное и в контексте переопределенных систем д.у. с постоянными коэффициентами. Именно, пусть Ь" - комплекс Гильберта в ассоциированный с 'У-ьо-дулом к » ookor ?0(а) Л. Эренпрайс показал, что если д.о". Г'рСИ) является переопределенным (т.е. Ъ о), то всякое (дифференцируемое или обобщенное) решение системы F0 £ = о i дополнении выпуклого компакта К с О имеет единственное продолжение на всю область О" (с Rn), также удовлетворяющее системе. 7итя эллиптических комплексов Гильберта частного вида было показано также, «то условие выпуклости к можно ослабить, потребовав, чтобы к имел связное дополнение в С (П. оекка (1961) и др.). Следующая теорема усиливает зги результаты в духа теоремы Бохнера.

ТЕОРЕМА 12. ГЗ. Предположим, что д.о. Р0 удовлетворяет

условию (и), ка x к Н1(®*(Х)) =0. Тогда если frig х - отк-

IV

рытое множество с границей класса С причем X \ О* не имеет комлак'хныл связных компонент, то для всякой ctdvh

i С (Е°|.эс,), удовлетворяющей f0"°# найдется единст-Р ■ 0

ценное сечение l i с 0 (та |-гу) такое, что i f • о в о- и

Глава 4 иосвяьена исследованию прос-

тейших особенностей решений сиг«кк f.. ■? п о - компактьых осооеьностей. Их количестьои-йам-^П'Ркнцн лэнорь^исч служит разложение реыепий в

ряд

- sb ■■

В § 13 рассматриваются когомологии комплекса Е* в пространствах сечаний с носителем на компакте Кс х . Относительно комплекса Е* предполагается, что он и^еет продолжимое фундаментально« решение в степени (з-ь*1). Через "^'(Х) обозначается подкомплекс В'"(Х) пространств всех (обобщенных) со-чений с носителем в К, Тогда имеет место следующий результат.

ТЕОРЕМА 13.1. Отображение Р : Ф'Ч(Х) (X) опускает-

ся до изоморфизма

Эр (хмс) П ©'Ч(х) топ.

--«о

<г

Теорема 13.1 показывает, что когомологии комплекса^'¿(Х) в степени ( ) измеряют неустранимые особенности на К решений системы Р £ •» О, про которые заранее известно, что они продолжаются в окрестность К как распределения. В силу теоремы 2.17 это утверждение применимо к невырожденным комплексам д.о. с постоянными коэффициентами на открытом множестве X с н11. При этом в случав, когда точка, пространства (X)) описываются на чисто алгебраическом языке. Именно, комплекс Вд(х) изоморфен комплексу полных сккеолов

-> О,

где - ото ранг К1, а ?,(г) - (")-матрица многочленов, которая получается из заменой Бя. Таких образок, ) г н^С?*') . Б частности, если комплекс Гильберта, ассоциированный с определенным 'У- модулем м, то = Ел<1И(М.'Я) . В 01 ок случае теорема 13.1 доказана В.П. Паламодовым (1967).'

Разложение 1орана для решений системы Р^ г • с г X \ к является реализацией изоморфизма (12) (теорема 13.5), попто-

му отсутствие таких разложения говорит.о переопределенности : этой системы.

Б § 14 строится ряд Лорана для решений эллиптических систем. Принципиальная возможность разложения, решений эллипти-

- *

ческих систем с вещественно аналитическими коэффициентами в ряд по производным фундаментального решения в особой точке (ряд Лорана)' вытекает из теоремы И. Г. Петровского (1937). об аналитичности решений однородной системы и была реализована еще б работах Я.Б. Лопатинского (.1351). Проблема заключается . в той, что коэффициенты разложений определяются неоднозначно, что затрудняет применение таких рядов. Для различных обобще- . ниа голоморфных функций одного переменного имеется естествен- • ный выбор коэффициентов (?. Фуэтер (1936),. Ф, .Срммон ..{1$51) 4 др.). Для обких систем д.у. этот вопрос исследовался Р.Хар-^ "ви и Дж.Полкингом (1973), Т. Бэгби (1934) и др., однако ре- ' зультата не были доведены до явных формульных выражений для , коэффициентов, как обстоит дело в случае голоморфных функция. Такая конструкция приводится з теореме 14.7«Предположим, что ' Р; д.ор(йг «■ ок — на-*Ск) _ однородный эллиптический д.о. с постоянными коэффициентами в к", а Ф(х) - его . стандартное фундаментальное решение типа сЕертки. Пространство наделяется одной из предгильбертовых структур, называемых допустимыми, у. через обозначается ортогональное дополнение подпространства РСО'Т'.^р. в где пространство однородных многочленов степен»1 ;}. Далее, для каждого мультиин-декса £ с ! Л I ■ .1 рассматривается (к * Ю-матрииа 1-Я сюлоьц которой есть проекция элемента я6 1 <-. (Р* , гдо

и

1, - орт оси х,, ча подпространство Н1(Р) , и полагается - Н-1 Я ^/П.^ -са/й1 , где/Пй<! - ¡соэдоциент'ПрСг ) при Мыр/ц«:' 'У. (») и!ран- ;.ачьуп роль 1. основном благо-

даря тому, что в подходящем конусе нз-.я; * н" слргаыу'лизо - .разложение ФСх-у,1 - Л т>"' <ьх) '^-¿(у), причем р' -т* « о.

с г

.. Пусть теперь X - открытое множество в а К - компактное подмножество X . Длк-рекзния''! еТ^Схч?) и ■ пшссчроваиисй

' точки Х° с x положим '■'.'•

CJ.'f,x0) - ] Gpf^Cy-x0), i(y)) с А € Z»), d'i)

г

с. •

где с - какой-либо кусочно-гладкий (п-1 )-мер;;ый цикл. в Х\к , язлявдийся границей некоторой окрестности к в X. По теореме 7.6, £ единственным образом представляется в виде £ ш + , гдз ге«"Бр(х),-а решение у ср(ки\ к) регулярно в бесконечности. С этой точки зрения в следующей теореме дается подходящее разложение составляющей ^ ТЕОРЕМА 14.7. Вели £ е ВрСХЧ к) , то в дополне-

где Г" sup |у-х0!, 1 ЭК

:(*) " *,<х) + У- DJ с, , (1ч)

, нии пара в<х ,х> г), где г « sup |у-х0!, справедливо равенство ' ЭК

где ряд сходится абсолютно и равномерно вместе со все о-.'изводными на замкнутых подмножествах дополнения, а коз^>и.inen-

"., ты " I (i«U "d) однозначно споеделявтся условием 5 '"fln.c,,' с,

' . IfiUd и- j х

и даются формулами (13).

Теорема 14.7 существенно используется при исследовании задачи аппроксимации ка компактах решениями систем д.у. с сюрьехтиЕним символом (гл. 5). '

В § 15 описывается структура решений с компактным множеством особенностей эллиптических систем. Предположим, что Р 6 '!ор(Х х X " Gh) - эллиптический д.о. с . вещественно аналитическими коэффициентами на открытом множестве X с я" л Ф - фундаментальное реаениэ д. о. Р. Согласно теорема Петровского, матрица 1чх,у)с- ¡.'О (X. v-X)i" " " построена ¡13 l'ecu- г У -

ственно аналитических вне диагонали Х~<Х функций. Пусть к - компактное подмножество X, а и ~ некоторая существенная мера на к , т.е. подмножества к нулевой т- меры не могут иметь внутренних точек. Такие меры всегда имеются. Б.П. Хавин (1934) выделил класс компактов Кс-сп, называемых регулярными. Грубо говоря, они определяются условием, чтобы голоморфные функции на к, ростки которых имеют радиусы сходимости рядов Тейлора, не меньшие фиксированного числа г>0 , продолжались до однозначных аналитических функций ъ окрестности К , зависящей только от г . В частности, есяки'Л лока.гмю связный компакт з с" является регулярным (В.М. Трутнев (197?.)).

ТЕОРЕМА Т.5.1. Если К.с X - регулярный компакт, то пространство ~£р(Х\Ю совпадает с множество»: вектор-функций, имэедих вид

Г(т) - t <х) i Ф (х,у) с (у) dm(y) (х 6 X \ К) , (15)

где iei~Bp(x) , а вектор-Функции ci £ [l>2(rn)j'c удовлетворя-

, ют условий lim А.1 с, 1 "Ч1'1"' = О .

UUco l2(q)

Ряды вида (15) для голоморфных функций одного перемелкого называются рядами Голубева. В этом случае теорема 15.1 установлена В.IT. Хавиным (1961). Формулу (15) можно рассматривать так;г.е как обобщение ряда Лорана (14), если отказаться от предположения о конечности множества особенностей слагаемых. Указаны приложения теоремы 15.I в качественной теории решений эллиптических систем. Во-первых, она позволяет получить представление граничным интегралом решений системы Pf =0 на открытом множестве оех с регулярней границей, которые, вообще говоря, не имеют граничных значений в обычном смысле и даже не имеют коночного порядка роста при подходе к О 'У '(;:ле;.ствие 15.6). Во-вторых, она открывает возможность раздо-

- J.0 -

лен л я компактных особечнесгеЯ ресежгЛ* эллиптических-- ;летек на точечные (атомарные) особенности (следствие 15.7). В-третьих, найдены условия, при которых реиение f t ср(Х\К) допускает представление вида (15) с конечным числом слагаемых (следствие 15.9). Это аналоги решений, для которых особые точки суть полисы. Лю^^пытно отметить, -что теорема 15.1 нова даже для гармонических функций.

§ 16 посвящен описанию устранимых особенностей решений системы Р £ о к терминах емкостей. Относительно д.о. Р б dopíR предполагается, что он имеет правое фундаментальное решение Ф s pelo (У Е). Согласно следствию 2.13, это моиет быть д.о. из комплекса "-5*, если X не имеет ком-

пактных связных компонент, а д.о. Р^ удовлетворяет условию (J)s- Пусть сг - открытое множество на X, а С - (относительно) замкнутое подмножество с. Понятие устранимых особенностей решений системы Р£ = о выкристаллизовывалось в работах 0. Бохнера (1956), У. Литтаана (1967), Р. Харви и Дж. Полкннга (1970) и заключается в следующем. Для данного класса 3 с ©'(ujjy) множество С называется устранимым относительно Р, зелл всякое сечение íС- <5, удовлетворявшее Р f » О в ОЛ о' , удовлетворяет этой системе и Ескду в О". Ка;с правиле, устранимые множества но удается охарактеризовать в метрических терминах. Классические результаты М. Брело (1934) для гармонических функций и Л. Альфорса (1947) для аналитических подсказывает, что это можно сделать на языке подходящих емкостей. Для (скалярных) эллиптических д.о. р эту программу реализовали Р. Харви и Дж. Полкинг (1972), описаиме в терминах емкостей устранимые особеннее! и для намбслоо часто :.-стре-чавщихся классов вс1ос(0-> и . Однако в

г.аадояеииах -¡элто гезд'ияэ*««? ícr.pcc-j оли.-.г.ник уч'гучнуих ¡«.не-

жеств относительно д.о. Р более общей природы, например, для ~Ъ- замкнутых дифференциальных форм бистепени (р,п-1) е Сп-. В теореме 16.й пр/ЕОдится полное роа'екис гтсй задачи, прячем б форме, усиливающей 'результаты Р. Х&рки к Лж. Нолкикга (1972 ) в кх частном случае.'Зафиксируем некоторое сечение ь (р ).

0П£ВДЕШ1КК 1б.?.. Для нормированного пространства ь, содержащегося в . Ю'(Е), назовзм , Ь - емкость« компакта к с: X относительно Р . (и ь ) норму Ъ - сррй (к) линейного функционала Г (Р1',ь)х на подпространстве ь регулярных в бесконечности роиеиий системы -РГ* о в Х\Х ; •;>■.'■ .

Если п"''~ произвольное подмножество' X , • то полагается Ь-.сврь(с) * 8 1р Ь - свр^'К,; где .точная верхняя грапа берется по всем компактам к с а" .. Когда 4, - двухс-тороинзе фукдемзн--тельное решение д.о. Р, имеем Ь-с&р^СС) вир I (Н; п)^ | , где

. супремум берется по исек сечениям ; н , для-которых

I1 , , м * . • .

. ¡1 )!; х, « 1 • Обсу«иа»тся связи емкостей Ь-огц^СсОс концепциями Б. Фугледе (1956), Ю.Г, Рвиетяяка 41969), V Н.Г, Кейсрса (1970), В.Г. Мазь и и £.п. Хавкна-(1972), Р. Харви и Дж.Пол.скн-га (1972) и др. Далее, е предположении, что (Р к) § определены на некотором большем многообразии х' причем X С£ х', доказывается следу.ппглй результат. . Т2СРЕМА 16.С. .Пусть Ь - одно из банаховых пространств (э « 2 + , ), С®(Б)" ( з<=2|>/ кик Сс;*05) (ве^ о< Тогда всякое сечэние г е (о^Хсг ") Г| СЬ'цД^с УДов-лзтг.орлот Ь^Р. Г-« о велду б О" в .том и только тон■ .случае, когда Ъ - оао^.(о') "О. '•■' '

Чтобы получить отсюда • описп ¡че устранимых множеств для (1'|(Г)-1сооткосиг£ЛЬгЮ Р, достаточно варьировать 11 в семействе сечений, значения которых в некоторой .окрестности многие- ■■ • ствы ,'с" образуют полкузо-систему в каждом' из слоов Р. Вдсы-а

частники случаями теор<гиа--16.Й является. результат-• :'!. Еру.тс (1934) и Л. Альфорса (1947).

Глава 5 посвящена вопросам аппрокси-

мации на компактах решениями систему Pf = 0 , где F) - д.о. с сюрьективкым символом на X. Точнее, в качестве Р берется д.о. PN_1 из комплекса Е". Предполагается, что X не имеет компактных связных компонент, а д.о. Р' удовлетворяет условию (и) . Пусть К - компактное подмножество X, а L - некоторое нормированное пространство сечений "Е над к с непрерывным вложением (sjjj) <5 L. Тогда в широком смысле под задачей аппроксимации в пространстве Ь решениями системы Р f=о понимается следующая

ЗАДАЧА 17.1-, -Описать замыкание подпространства ~£р(Х) в

L

Б качестве L выбирается одно из банаховых пространств CS(E|K) (siZ+), Cs'"-(EjK) ( s€Z+, О < Ä.S1) „ Ws'q(E|K) (sC'z+, Все эти пространства определяйся как мно-

жества s_ струй на К сечений s соответствующего класса в' окрестности к (или на X), снабженные фактор - топологиями. Начиная с пионерской работы Н.В. Келдыша (1941), посвященной разрешимости и устойчивости задачи Дирихле, теоремы аппроксимации являются одним из центральных технических средств теории уравнений с частными прспзЕОДшши. Весьма далеко продвинута теория рациональней аппроксимации на плоскости (К.Рунге (1885), Дн. Уоля (1926). Ф. Гартогс и А. Розенталь (1931), М.А. Лаврентьев (1934), М.В. Келдца (1945), С.Н. 1'ергелян (1952), A.A. Гончар (1963), Л.Г. Еитускин (1967), В.II. Хакин (1968) и др.).

Первый саг в исследовании задачи 17.1 состоит а уст;з и;е-- 33 -

нии топологических препятствий, т.е. описании тех компактов К'с х , для которых всякое сечение f t можно приблизить

в топологии с(К'|Х) сечениями из"£р(Х) . Утверждения такого типа называются теоремами Рунге. Замечательной особенностью теорем Рунге является то, что условия на компакт к в них чисто топологические: дополнение к не должно иметь относительно компактных связных компонент в X . В § 17 доказывается теорема Рунге для реиекий системы ' Р f » с (теорема 17.2). Д.о. с сюрьективным символом не обязательно гипозллиптичны, поэтому возникает вопрос, сохраняется ли в условиях теоремы Рунге полнота ^рОО в пространствах решений системы Р f о в окрестности К конечной гладкости. Ответ положительный, как вытекает из одного общего результата, относящегося ко ' всем эллиптическим комплексам. Грубо говоря, он замечается в том, что бесконечно дифференцируемйе решения системы i^f-o плотна в пространствах решений конечной гладкости • ' (теорема 17.3). Это утверждение хороио дополняет свойство гипоэллипти-чности эллиптических комплексов. Далее, .в теореме 17.5 выясняются условия на множество <*еХ\к, при которых линейные комбинации сечений Е вида Я а . где С, с^е F у

и Ъ, плотны з Вр(К) в топологии "6(В|к) . Этот резуль-

тат может рассматриваться как теорема сб аппроксимации "рациональными" решениями с фиксированным множеством особенностей. Наконец, в теореме 17.6 устанавливается свойство локальности замыкания "ср(Ю в L длл каждого из пространств L«* cs(EjK ) CreK^'.cS'-CE^) (s::Z+, 0<?>1)и W3'q(EjK) (se7v 1qüоэ). Результаты § 17 позволяют редуцировать задачу 17.1 к следующей.

ЗАДАЧА 17.4. Описать замыкание подпространства "Ер00 в

L . ,

_ ■

ланс-ви- нсобходиаге, ;&з<шпя> для* тяга,, чтабц-. сечение- ге и приближалось с любой стененья точности по норме этого пространства элементами £р(К) ? Наиболее прозрачными из них является следующие. Прежде всего, г должно принадлежать замыка-

' с -

иига~£(Е|к) в ъ . В частности, если ь = с0-1' №|к) или | к), то производные от г до порядка ¡з обязаны быть непрет ,- ч на к . В этих случаях задача аппроксимации сразу ст.1-, . в пространстве с3(в|к). Далее, если Ь Э'(Е|р } как обстоит дело для нашего выбора т> , то ? должно удовлетворять Р 1' - о в смысле распэеделений во внутренности К,

/ 0 А

т.е. £ е Фр(к ). Более того, если ь ^ и3' СЕ|К) , где з % р, •то сечение Р £ обязано обращаться в нуль вместе с производными до порядка (я - р) почти всюду на К, или, как говорят еще, быть С э - р) - плоским на К. Задача 17.4 г, своих основных и, вместе с тем, наиболее грубых аспектах связана с описанием тех компактов^ к с х, для которых названных необходимых условий на £ « Ь и достаточно для того, чтобы это сечение принад-—*

'лежало замыканию ~£р(К) в Ь .

В § 18 исследуется с этой точки зрения задача аппроксимации в пространстве Ь ■ С3(Е|к) решениями системы РГ» о. Она носит исключительный характер, поскольку п.д.о. не ограничены в пространствах гладких функций, что затрудняет их применение в задаче. Эвристическое наблюдение здесь заключается в том, что при 0?н<р для полноты "Ер 00 в ФрОО П °3(Е|К) По норме С3(Е{К) необходимо и достаточно, чтобы множества к

О - ,

и х\к в окрестности каждой точки хеЭК были соизмеримы в смысле Са(Е)_ емкости относительно р . Таковы, например: I) замыкания открытых множеств X с сильным условием конуса (теорема 10.4); 2) компакты К«=Х - лебеговой меры гуль (теорема 16.5); 3) при е < р'-п компакты К = X о пул о г.

- :з5 -

внутренностью. Первое из этих утверждений обобщает известную

теорему Ф. Ераудера (1962), второе - классическую теорему

Ф. Гартогса и А. Розенталя (.1931). Наконец, в теореме 18.6

дается полное описание в терминах емкостей тех компактов ко: (

—» о

для которых "Ер(К) плотно в ££(K)f|cs(EjK) по норме С^е[к).

По формулировке и доказательству этот критерий имеет много общего с теоремой А.Г. Витушкина (1967).

В § 19 рассматривается задача аппроксимации в пространствах гельдеровских сечений L = es,/4EjK) (s«Z+ , 0< А.<1) решениями системы Pf« о . Разработаны методы решения этой задачи, достаточно универсальные для того, чтобы провести параллельные исследования е пространствах сэболевских сечений vr,,q(EjK) (s€Z+, 1 q< со ) или» .более общо, пространствах Ь , в которых ограничены п.д.о. Схема заключается в следующем. Прежде всего, удается адекватным образом описать ан-кулятор подпространства "Ёр(К) в . (следствие

19.2). Из этого описания сразу следует, что, каков бы ни был компакт кс х, при si р грубых необходимых условий на сечение f€Cs,?l(EjK) и достаточно для того, чтобы оно принадлежало замыкании подпространства ~Ёр(Ю в cs,ä-(e)k) (теорема

19.3). Далее, оказывается, что при 0^з<р задача 17.4 эк~

о

вилалонтна некоторой задаче о полноте финитных функций в к в подходящих пространствах распределений на х с носителем js к, зависящих только ст (p-s) , т.е. безотносительно к д.с. Р (теорема 19.5). Ото позволяет заменить оператор р однородным эллиптическим д.о. того же порядка с постоянными коэффициентами в кг". В этом частном случае указываотоя емкостный критерий типа теоремы А.Г. Витушкина (1967) для компак-

1 —ь

tob КсХ, обладающих тем свойством, что'замыкание С"''г(Е|г) (ойс-р) полностью огисывается грубыми неооходи-

■ - 3-.S - '

о

_мыми условиями (теорег-iä ¡9.6). Но ответ годится тогда : для общих д.о. Р того1 жв порядка.

Остановимся подробнее на задаче аппроксимации в прострел стЬах Соболева ws'q(E|K), где s 6 z , а 1 < q< со , решениями системы Pf» О. Она изучаотся в § 20.

ТЕОРЕМА 20.3. Пусть säp.a 1 < q < со . Тогда сечение fеWs'q(e|k) принадлежит замыкании подпространства "Ер(к) в w3'q(E|K) и том и тслькг том случае, когда BA(Pi) »0 почти всвду на К для всех W ^ s-p.

_ р

В случае Р » (Э/ Эй) теорема 20.3 доказана Дж. Вердерой (1984). Есл: же 05s<p , то грубых необходимых условий на

f, вообще говоря, недостаточно для того, чтобы это сечение —>

принадлежало замыханив *tp(K) в Ws'q(BjK) (Дж. Полкинг (1972)). Однако имеет место следувций результат, подытоживающий пионерские исследования В.П.Хавина (1968; 1975), Дж. Полкинга (1972), Д. Хедборга (1972) и др. в этом направлении.

ТЕОРЕМА 20.5. При 0^s<p и 1<д<оэ следующие условия на компакт Ксх эквивалентны:

1)^р(Ю плотно П и3,ч(е|к) по норме ws'q(e|k);

2) ®(К) плотно в wp"°'q'(x)0tif(x)no норме v/P-^'ca где 1/q + 1/q' » 1 . .

Еопросы полноты финитных функций в пространствах Соболева активно изучались в 70-е годы з работах Дж. Полкинга (1972), Ji. Хедберга (1972- 1978), В.й. Буренкова (1972), Л. Хедберга и Т. Вольфа (1983) и др. математиков." Как правило, условия на к формулировались на языхо так называемой (s,q)~ емкости С q(<0 , введенной в работах нескольких авторов: Б. фугледе (1968), П. Г. Реиетняка (1969), Н.Г.^ейерса (1970), Е.Г. Мазьк и В. . Хавина (1972\ Теорема 20.5 позеоллст применить эти результаты к задаче I7.'i. На зтом пути получается

■полное описание в терминах (р-в^' )-емкости тех нигде не

плотных компактов Ксх , для которых "£р(к) плотно в у8,ч(е|к)

(следствия 20.6 и 20.7). Кроме того, для показателя б = р-1

удается получить следующее обобщение критерия Н.Винера(1924)

г

регулярной граничной точки в задаче Дирихле.

СЛЕДСТВИЕ 20.9. При р-п<в<ри п/(п-р+в) «: q < сх> условия 2) и 3) ниже эквивалентна и вытекают из I), причем для в « р-1 имеет место и обратная импликация:

О^рОО плотно в ФрОО И У3,<1СЕ|К> по норме *8'ч(е|к;>

2) каково бы ни было открытое множество (У с йп , имеем

СР-8,д'^к> - 'г

3) для всех точек х € ЭК, за исклочением, может быть, множества нулевой (р-в, q')-eмкocти,

р-а.д' к> а--1 ^

..Чтобы получить решение задачи 17.4 в общем случае (при в<р), в качестве Р выбирается однородный эллиптический д.о. порядка р . с постоянными коэффициентами в н11. Пусть Ф(х) -стандартное фундаментальное решение д.о. Р . Для каждого элемента йеН^(Р) 'введем емкости V3*-сар^Сс) как функции множеств а'с х следующим образом. Полагается у^'^Се^) - сарь(б') в вир |(Н,ЮХ1 , где точная верхняя грань берется по всем распределениям таким, что

Ф(н) = я, Ф(Ь(Л)?)+ о(!х1р~п-;з ) при I х | -».оо для некоторого с кат яра $(н)е и ( 1 Г Ь^ФЫ!4 йх)"1' % 1.

ТЕОРЕМА 20.10. Пусть 0£в<р, а 1<ч<

со. Тогда следующие условия на компакт к <= я11 эквивалентна:

1)Х?(К) плотно в ФрСК) !1 \г",с'(Е|к) по норме;

2) каковы, оа ни-бь.'ЛИ. аигаи.ты» мнояестяа. 7.<;~ . ^л-всех И Н^О?)

-саРьС^ЧЮ - -сар^ОЛК);

3) какова бы ни была точка для всех У н.(Р)

Пт у8"1(в1всх.25)>^СВ(х,5)\К) > о ^

£~Гоо -^(ВСх.«) \ Ю

Условие 2), давшее наиболее сильный необходимый признак полноты "£р(Ю в ®р(к) И по норме И3'ч(е|к) , оз-

начает, что это возможно только тогда, когда множества С\К,

в точхах которого могут иметь полосы приближающие "рациональ-о

ные" решения, и с\ к, где расположены особенности приближаемых решений, одинаково вместительны в смысле У3,Ч(Е|Х)- емкости относительно Р. С другой стороны, условие 3), в силу теоремы эквивалентное 2), обеспечивает наиболее слабый достаточный признак полноты "ер(к) в ©р(к) (1и3,<3(е|к) по норме . Таким образом, теорема 20.10 по своему характеру имеет много общего с результатами а.г. Витушкина (1967) по равномерному приближению рациональными функциями. В частном случае э - о более слабое утверждение получено Т. Бэгби

(198'0.

Глава б посвящена вопросам регуляри-

зации и разрешимости задачи Коси для решений система д.у.Р г - где р£с1ор(е * Ю - д.о. с мнъзктивннм символом иг x . Точнее, в качеетге р берется д.о. из комплекса Е- и дополнительно предполагается, что р удоглетворяет условия ( и),, на X'.

В 3 21 разрабатывается концепция /оло'рмои ь •лор.члюетя обвду ^линейных) зада ч для рокени» сис! ¡и Р Г « О, голплы1Ч-

... "у) ..

ми примерами которых являются краевые' или внутренние задачи. Предположим, что СУ - область в X , a S - подмножество 0-, на котором зафиксирована некоторая существенная мера ш , полувидимая в обозначениях. Пусть, далее, L - какое-либо нормированное подпространство ®Р(0") с непрерывным вложением Lei SD'CeJ^.), а В: Ъ-+ Xq(Gjs) (láqóoo) _ некоторое непрерывное линейное отображение, заданное композицией д.о. .с последующим сужением на ^ , где G - дифференцируемое векторное расслоение в окрестности и множества В. Потребуем априори, чтобы отображение в было инъективным, и рассмотрим следующую задачу.

ЗАДАЧА 21.1. Для данного сечения íQeb4(G|s) найти решение £ с Ъ такое, что Bf« f0.

Определение условно устойчивой задачи 21.I заключается в том, что ограниченные подмножества ь являются классами устойчивости этой задачи. Однако д>:я успешной реализации численных алгоритмов нахождения решения задачи 21Л существенно только то, чтобы значение £ в Сданной) точке х t о* непрерывно зависело от Bf. Зтс наводит на мысль локализовать понятие устойчивости следующим образом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 21.2. Задача 21.I называется условно устойчивой в точке х í О, если для всякой ограниченной последоза-

г ч п

тельности t f j / с ь из того, что в ft о б Iiq(G¡s) , вытекает, что -» О (в слое Ех !)•

При некотором более-жестком условии.на свойство инъек-тивкости D оказывается, что всякая вн"тренкяя (т.е. se o-) задача 21.1 условно устойчива в каждой точке х (. (У (теорема 21.3). Вообще, концепция условной устойчивости '..' (в точке) представляется но чертворокденлой благо ,?ря ее тесной связи глппхер ■ так напиваемых нроотран.ч-т-'; двухнорке^а oxoüjmo-— чО - ' .

стьп," активно разрабатшвагсейся Л. Адексягзиче!* и 3. Самаденц в 50-е годы, а затем надолго забытой. С привлечением этой терли доказывается, что условная устойчивость в точке х е у/ за-дачи'21.1 эквивалентная тому, что решения этой задачи в точке . х допускают специальные регуляризации, называемые формулами Карлемана (теорема 21.4).

Реализация формулы Карлемана применительно к задаче Коей с данными на куске границы С для' решений системы ? г» О приводит к плодотворному понятий матрицы Карлемана .акой задачи. Этому посвящается § 22. Предположим, что 0"<§ X _ область с границей класса Ср, а В^ е ¿о^ (о=о,р-1) - систе-

ма Дирихле порядка (р-1 ) на Здесь й. - векторные расслоения в окрестности и границы Э С, относительно которых предполагается, что их ранги одинакова и равны рангу в. Определим функцию р(х) через - &1аъ(-х,ЭО), где знак "+" или "-" берется в зависимости от того, лежит ли точка х ^ Х\о- или в С. Тогда если окрестность и достаточно мала,-то л ( ср(и) и 1 в и. Следовательно, для малых е> О области

0„ =|х€0': <-е)1 имеют границы класса Ср и аппроксимируют С изнутри. Далее, свертка дает форму объем . на каждой из поверхностей ЗО^, индуцированную объемом V на X. Система .раничных операторов{3д}д«,о,р-1' используется, чтобы определить обобщенные пространства Харди решений система д.у. РГ= о в с.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ¿£.1, Пусть 1 д « ос-. . Пространство Харди Нр^СО-) состоит ;., всех реиений гб'ёрО."), для которых выражения В^. 1 ( ,1=о,р-1 ) имеют слабые пределы зг^ £ т,<1(0д|до"' ма-ЗО" в том смысле, что

11м 1 йрКв.З^Х - Г с!р для гсех ъ'ЛЛ-)..

е +о ?ое х ^ д<У 0 х

Ч] -

С нормой II £ ¡ь» г1Ч(3б) пространства Нр^в(0-)

являится банаховыми. В случае, когда Р - оператор Коши-Рима-на в Сп, а во ■ 1, они совпадают с классическими пространствами Харди голоморфных функций в области о-сс11. Рассмотрим с"вдувший вариант задачи 21.1 в аспекте регуляризации.

ЗАДАЧА 22.2. Пусть В - измеримое множество положительной м ры на ЗО; Найти сечение £€НрЯц((У) пд известным значениям В.. '¡е^Ь4^^ Со-о,р-1 ).

Мы называем этот класс краевых задач задачей Коши с данными на з для решений системы Р£ = О , поскольку у транспонированной задачи краевые условия на 3 свободные. Вообще говоря, задача 22.2 поставлена некорректно. Однако если множество 3 имеет хотя бы одну внутреннюю точку Сна "дСУ), то всякое решение геНр^С»), для которого В^ £ |Б « О (а »0, р-1), равно нули всюду в О" (теорема 22.3\ В теореме 22.4 приводится вариант формулы Грина для решений задачи 22.2 в случае, когда Б^ЬО"- вся граница,

ТЕОРЕМА 22.4. Если окрестность и ' достаточно мала, то найдется такой оператор Грина д.о. Р, который в и записывается в виде

5-1 О-о

Ор(Б,£) - ^ «С^в.Вд^ + 4р .1 вп(в,г),

где с- йор_1_ь (г'1и * ) (3 " 0,р-1 ) _ некоторая систома Дирихле порядка (р-1 ) на Ъ<У, а <1о ^сср'.е)^ ->■ &п~2|г 1 Один из способов регуляризации и доказательства ус ювной устойчивости задачи 22.2 - использование функции Карлемана. Это перспективное понятие б задаче Коши для уравнения Лапласа, близкое по характеру концепции функции Грина, ввел в 50 - х годах М.М. Лаврентьев. В дальнейшем оно эффе г'ибно . использовалось в ряде работ С.Н. МерГеляна (1956). '->,Г. Мазьи и В.П. Ха-

вкпа (1974), Е. Яраухаквдаза «глр-* к ■

мин "функция Карлемана" является дань» трздяппа, па отняла ке содержанию.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 22.6. Функцией Карлемана задачи 22.2 в точки s £ (У называется сечение Cg (х,у) расслоения Е ^ й j о» представимое в виде 6g(x,y)= ф(х,у)- 1^(х,у)для (S,y)«(0 ,?>]>< О; где сечение Bg (х,у) обладает следующими свойствами:

1) при фиксированном St (0,SJ Eg(x,у) принадлежит классу "£(ВХ © по у и удовлетворяет P'(y)Rg(x,y) «• О в о; причем

т)-1 г I , s 1/q'

2) (1 ] I С .(у)8г-(х,у) ds) const(x) s(S) ДЛЯ

d»o 0O-\S 3 0 всех b t (°>50] » где a(S) О при £ -> О .

С понощьв теоремы Рунге для решений транспонированной ,» о

системы Р g = о доказывается, что если В ф р , то функция

Карлемана задачи 22.2 существует в каждой точке х€0" (теорема 22.7). Более того, если 1<qi оо , то это все еще верно и при более слабом, хотя и более абстрактном условии, что задача 22.2 имеет не более одного ресения. Обратно, из существования в каждой точке х € У функции Карлемаь- задачи 22.2 вытекает однозначная разрешимость этой задачи. Таким образом, это эквивалентные утверждения.

ТЕОРЕМА 2218. Пусть Sg(x,y) - функция Карлемана задачи 22.2. Тогда, какого би ки было сзчение f € Ер^С©) , имеем

£(х) « - lim j dpjP5<C (y)GsCx,y)tB,fCy)> (x€0"), (16) b +o 8 0

где сходимость понимается в том смысле, что для всякого е> О найдется такое число&» L(z,-x)~> О, что при Z<h

sup I-J сЗр^Р2<С//)в5(х,у),Е.Г(у)> - f(/.)|< е.

f€Hp4 (О)' В ¿to " Ь d У '

- Ц-> -

Гэнечно, (16) - это вариант абстрактной формулы Карлема-

о

на из теоремы 21.4. Поэтому если 8 * ¡¿, то задача 22.2 условно устойчива в каждой точке х € О-. Приводится таклее гру~ бая оценка услозной устойчивости задачи 22.2 в духе теоремы о двух константах (теорема 22.9).

Значительно более трудным является аспект задачи 21.1, связ: дный с нахождением условий разрешимости, т.е. с описани ем образа отображения" Б: ь-» Грубо говоря, устойчивость задачи 21.1 эквивалентна тому, что образ отображения в описывается на языке непрерывных линейных функционалов на пространстве Ьд(0|в). По крайней мере, это так, если £-пространство Фреше. Тогда 1т В состоит из таких сечений

, что Е(£0) » о для всех е € кег в' . В устойчивых краевых задача* для решений эллиптических и более общих систем с помощью формулы Грика зачастую удается реализовать кег в' как множество решений транспонированной систекл, удо-влетворяющк: однородным транспонированным граничным условиям. В неустойчивых задачах 21.1 обычно не существует эффективных критериев, позволяющих установ"ть принадлежность элемента £0 <.-1.д(0г|6) образу отображения В . Это приходится предполагать известным априорц. Более того, для таких 'задач з-т в не может быть описан в терминах ортогональности некоторому семейству непрерывных линейных функционалов на Ь • Та-

ким образом, уол^ия разрешимости неустойчивых задач 21.1 естественно искать на языке неограниченных функционален на 1Л(0}В). Для условно устойчивых задач, по-видимому, достаточно ограничиться линейными функционалами на д) непрерывными относительно некоторой двухнормовой сходимости на э:ом пр этранстве. Рассмотрим с отей точки зрения задачу Коши с данными и"* 8 для решений системы 2 1*0 в аспекте р- зреии-мости.

- - .

ЗАДАЧА 23.1. Пусть в - изкеримоо множество положительной меры на 3 О", а £i t lq(Ci. i ,,) (д~о,р-1 ) - заданные сече-

u J • О

ния на 8. Пси каких условиях на {--•} найдется сечение f*HpqB(o-) такое, что Bjf|s ' для зсех З-0»?-"1?

3 § 23 эта задача изучается для голоморфных функций, т.е. в случае Р-3 , а в0 '' . В определенном смысле это модельный пример. Она рассматривалась f.LI. Тумаркиним (.1950), Дж. Дзынсм (1953), В.А. Фоком и В.М. Куни (1959), А. Штейне-ром (1970), 'Д. Патилом (1972), М.Г.Крейном и П.Я.Нудельманом (1973), Е.М. Чиркой (1975), JI.A. Айзенбергом (1989) и др. математиками. В теореме 23.2 дается описакиэ следов голоморфных функций класса Харди Н5(сг) на подмножестве положительной меры границы области Ляпунова с11 . Л.Н. Знаменской (1989) удалось распространить этот результат на случай подмножеств положительной меры границы Шилова области О".

В §24 приводится решение задачи 23.1 в общем случае. Ответ сформулирован в следующей теореме. .

ТЕОРЕМА 24.2. Для разрешимости задачи 23.1 необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

. I dP J ^Е ■\c-!E<>>f-!/,',r для всякой последовательности

s J je0 а у> о х ^ _» _

\ (О), удовлетворяющей

(р:> Г lc.E}KdS)W_0.

d=o BO-4S J 1

- (17)

Уместно отметить, что если дополнительно к условиям тео-p-1-b, J (

ремы 24.2 мы имеем .£^60 а(0^|о)для о=0,р-1, то необходимо £ * (ЕI о), так что равенства В . £ ! 0 » £. ео 10с 10- Ц 3 . О I ь з

внутренних точках 6 понимаются в обычном смысле. Транспопи-- . рованной к задаче 23.1 является задача отыскания ло заданным сечениям ^ о.р.и) сечения г £ Пр.^с(0-) та-

кого, что ^ Е | яо- \ 8 " для всех 3-0,р-1 . Лоследняя' ?.а-

дача плотно разрекпма ъ том и только том случае, когда задача 23.1 однозначно разрешима. Основное содержание теоремы 2й.?. составляет ее частный случай, соответствующий 8 = <Э0'(те-орема 24.1). Доказательство теоремы в общем случае получается отсюда с помоцья одной конструкции функционального анализа, основанной на теореме Хана-Банаха. При а = 2 теорему Хана - Банаха можно заменить конструктивной техникой рядов- Фурье. На этом пути условие \±7) можно переформулировать следующим образом. Имеется много способов указать такую пос.т.-дова-

Г— ч' — ' - . )

телькссть \ система С^ ¡д^! полка в

подпространстве I/"(о С\. • образованном элементами вида

э 03е|всу , где е ^ Ер/(СУ). Зачастую таковы последовательности: I) ■!1_Ф|Схг, у)}, где {х5} - какал-нибудь последовательность точзк" 3 \ сР,;, плотная в некотором шаре каждой связной компоненты ХЧСУ, или Ф^Сх^, у)где \Xjj- - лабсе

множество точек из Х\0, пересекающееся с каждой связной компонентой X \ о-.'Тогда если задача 23.1 однозначно разре-

Г _ 1

зима, то система С.. | ■зддд)" полна в пространстве

О ' ]

1г(в Ст'^ |д(з.\ц). Применяя к ней ортогонализациа Грамма-Ёмид-та, подучим новув последовательность ^^Ер'СоО, обладав-пуп тем свойством, что система-^ а б} Г'Б-Т1ЯЭ'ГСЯ орто-

нормкрозап.-шм базисом в ■ 12( э а) . Положим теперь

<4-- 1 Ф] ...). Тогда при

условие (17) эквивалентно следующим более прозрачным условиям:

оо , I о

и,!2 < со и (13х)

% -О

Г Р""1 ^ N

^ йр] .>-о для всех % ^ таких, , ?

з л н=0 о о х г _

что С, Е| о "С ( 3= 0,р-1 ) .

Тем самим сходимости ряда Цв'-) дает условие устойчивости за- 46 -

дачи 23.1. При этом условие разрешимостч задачи 23.1 формулируется в терминах ортогональности ращениям однородной транспонированной краевой задачи, т.е. на язчке непрерывных линейных функционал об на lq(©(r4|a) (см. 'Лб^)). о,о последнее

и 1 ^

условие, обобщающее касательное уравнений р f = о , исчезает, например, если 3Cr\S плотно на der или когда д.о. р эллиптический.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании проведенных исследований получены следующие основные результаты:

1) найдены условия разрешимости систем д.у. с сюрьектив-1Шм символом и получены теоремы существования фундаментальных решений эллиптических комплексов;

2) развита теория двойственности для когомологий эллиптических комплексов, построены интегральные представления по многообразиям малых размерностей для рессний переопределенных систем;

3) построена точная последовательность Майсра-Виеториса для когомологий эллиптических комплексов,'найдены тонкие теоремы о стирании компактных особенностей решениями переопределенных систем;

4) разработана концепция ряда Лорана для эллиптических комплексов, в частности, описаны решения с компактным множеством особенностей эллиптических систем;

5) получены законченные результаты об аппроксимации в пространствах гладких, гельдеровых или соболевских сечений на компактах решениями систем д.у. с сюрьективным символом v

6) изучены вопросы регуляризации и разрешимости зад;.чи Нови с данными на куске границы для реась/й систем д.у. с инъективным символом.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Тарханов К.Н. Формула и оценки для решений уравненияd и» £

в области к на границе области /У Изв. вузов. Математика.-1980. - J 5. - С.'56-66.

2. Тарханов II.Н. Аналог формулы логарифмического Еычета для решений эллиптических систем первого порядка и весовые оценки решений d - задачи // Сиб. мат. журн. - 1962.-- Т. 23. № 3. - С. 188- 197.

3. ТогкЬапот И.Grochc-ndicck' я duality theorer. for -,llip-tic complexes // Abstracts of Conf. on analytic functions, ElazejJewko, August 19-2?, 1932.- Lodz: Un-t of Lodz, 1982.-P. 51.

4. Тарханов H.K. Теоремы о скачке к вьзшиее умножение потоков из 2,с\'м) с помочью их гармонических представлений// Сиб. мат. курн. - IS83. - Т. 24. № 2. - С. 203-204.

5. Тарханов Н.Н. Фундаментальные решения эллиптических комплексов и их нриложьния // Из в. вузов. Математика. - 1983.-№ 6. - С. 33-'.2.

6. Тарханов К.К. Об ядерном подходе к рекенив уравнения Pu^-.f для эллиптического'.чомплекса Р // Сиб. . мат. журн.- 1934.Т. 25. К 4. С. 179-- Ш.

7. Тарханов U.K. Об одной задаче Кона-Ниренберга // Сиб. мат. журн. - 1984. - Т. 23, ft 5. - С. 200-203. ' '

8. 'icrkhenov К.II. On approxirate properties of solutions of systems Transposed to the elliptic ones // Corupiox analysis nnd its appl. to partial differ, eqaat.- Halle (Scale): Martin Luther TJr.-t, 198'l.- P. 3-r.

9. Тарханов K.H. 0 вычислении индекса Пуанкаре // Изв. вузов. Математика. - 198ч. - £ 9. - С. V/- 50.

- чЭ -

10. Тарханов Н.Н. О двойственности Пуанкаре для эллиптических

комплексов// Многомерный комплексный анализ. - Красноярск:

нзд-во К? СО АН СССР, 1985. - С. 173- 165.

- • t

11. Тарханов Н.Н. Аналог теоремы Пенлеве для эллиптических'систем//' Мат. заметки.- 1985. ~ Т. 37, JM.-'c. 554- 560.

12. Тарханов Н.Н. 06 устойчивости решений эллиптических сис-. тем// Функц. а; лиз и его прил.- 1985.- Т. 19, К З.-Г.

93,

13. Tai'khanov N.N. То a theorem of Б. KalKrange // Summaries of Intern, conf. on complex analysis and appl. - ' Vorna, 1985.- P. 171.

14. Тарханов Н.Н. 0 матрице Карлемана для эллиптических систем// Докл. АН СССР. - 1985. - Т. 2S4, К 2. - С. 294- 297.

15. Тарханов Н.Н. 0 двойственности Александера для эллилткчес-ких комплексов// Мат. сб. - 1986. - Т. 130, К I. - С. 6285.

16. Тарханов Н.Н. Аппроксимация в среднем решениями эллиптических систем// Тез. XI Всесоюз. школы по теории операторов в функц. пространствах. Ч. 11!. - Челябинск: изд-во Политехи, ин-та, 1986. - С. 122.

17. Тарханов Н.Н. Замечание о системе Мойсила-ТеодбрёСкВ//Сиб. мат. курн. - ISBY-. - Т; 28, & 3: - Й; ¿08-213.

18. Тарханов H.Hi Разложение Лорана для эллиптических комплексов// Докл. АН СССР.-1986. - Т. 291, № I. - С. 40-44.

19. Tarkhanov Н.Н. Metric properties of capasity which characterizes removable singularities of Solder solutions of elliptic- sjsteus // Summaries of Intern, conf. on complex analysis and nppl. - Varna, 1987. - P. 84.

20. Тарханов Н.Н. Ра1вн0мерная 'аппроксимация- решениями,эллиптических систем.// Мат. сб. - 1987; - Г. I33. it 3. - С. 356-

•21. Тарханов H.H. Разложение Лорана и равномерная аппроксимаг ция решениями эллиптических систем ¡/ Успехи яат. наук.-1988. - Т. 43, Ji-'U. - С. 195- 196.

22. Айзенберг Л.А., Тарханов H.H. Абстрактная формула Карле-мана И Докл. АН СССР. - 1988. - Т. 298, £ б. - С. 12921296.

23. Тарханов H.H. Разложение Лорана и локальные свойства решений эллиптических систем Н Сиб. мат. журн. - 1988. - Т. 29, К 6. - С. 123-131.

24. Тарханов H.H. О когомологиях дифференциальных комплексов/ Дохл. АН СССР. - 1988. - Т. 302, № - С. 267 - 270.

25. Тарханов H.H. Семейство емкостей, характеризующих устранимые особенности //' Мат. заметки. - 1988. - Т. 43, К' 5,-С. 651-656.,,

26. Пренов Б.Е., Тарханов H.H. Замечание о скачке интеграла Мартинелли - Бохнера Ц Сиб. мат. журн. - 1989. - Т. 30, К I. - С. 193-tdI.

27. Тарханов U.K. Устранимые особенности гельдеровых решений эллиптических систем Н Диф. уравнения. - 1989. - Т. 25, К ?.. - С. 341-342.

28. Тарханов H.H. Аппроксимация на компактах решениями систем с объективным символом. - Красноярск,: изд-eo Ш> СО АН СССР, 1989. - 56 с. - (Прелр./ AH СССР, Сиб. отд-ние, Ин-т физики им. Л.В. Киренсхого; № 43 М).

29. Тарханов H.H. Критерий разрешимости некорректной задачи Киши для эллиптических систем // Докл. АК СССР. - 1989.Т. 308,' № 3. - С. 531 - 534.

30. Тарханов H.Ii. Структура регсений эллиптических систем с компактным множеством особенностей// Изв. вузоБ. Математика. - 1939. - ft 12. - С..VT-56.

<31. Тарханов H.H. Метод параметрикса в теории дифференциальных комплексов. - Новосибирск: Наука, 1969. - 15 а.л. 32. Тарханов H.H. Ряд Лорача для рекений эллиптических систем. - Новосибирск: Наука, 1990. - 25 а.л.

/

U ' г