Формулы Грина в теории эллиптических комплексов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Шлапунов, Александр Анатольевич
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Красноярск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2004
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
ШЛАПУНОВ Александр Анатольевич
ФОРМУЛЫ ГРИНА В ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ
01.01.01 - математический анализ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Красноярск, 2004
Работа выполнена в Красноярском государственном университете.
Научный консультант - доктор физико-математических наук,
профессор A.M. Кытманов.
Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,
профессор С.К. Водопьянов
Ведущая организация - Институт математики с вычислительным
центром, Уфимский научный центр РАН
Защита состоится 10 сентября 2004 г. в 10°° часов на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 при Красноярском государственном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, проспект Свободный, 79.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государ -ственного университета.
доктор физико-математических наук, профессор B.C. Рабинович доктор физико-математических наук, профессор СП. Царев
лц
Автореферат разослан
июля 2004 г.
Ученый секретарь диссертационного сове кандидат физико-математических наук,
доцент
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. После интенсивного развития в 60-х - 80-х годах прошлого столетия, в теории дифференциальных комплексов остался целый ряд важных нерешенных проблем. В их число входят такие известные задачи теории дифференциальных операторов, как нахождение условий (локальной) ацикличности комплексов с гладкими коэффициентами, описание когомологий комплексов с вещественно аналитическими и постоянными коэффициентами в наперед заданных областях, а также задачи Коши и Неймана для эллиптических комплексов в различных постановках. Более или менее удовлетворительные ответы на эти вопросы были даны для таких классических комплексов, как комплексы де Рама и Дольбо (или, более общо, для так называемых комплексов Кошуля). Подробнее см. книгу [11].
Давно замечено, что существует глубокая взаимосвязь между теорией эллиптических комплексов линейных дифференциальных операторов и комплексным анализом. В частности, комплекс, Дольбо - это и важный пример эллиптического комплекса и, в то же время, инструмент для исследования свойств более общих комплексов. Хотя некоторые результаты из комплексного анализа не распространяются на произвольные эллиптические комплексы, имеет смысл проследить те идеи и методы, которые имеют подходящее толкование в общей теории.
Учитывая серьезные продвижения, сделанные при изучении комплекса Дольбо методом интегральных представлений, актуальность распространения этого метода на произвольные комплексы дифференциальных операторов не подлежит сомнению.
Цель работы. Цель настоящей работы - дальнейшее развитие теории эллиптических комплексов с помощью так называемых интегралов Грина в рамках методов теории гильбертовых пространств и метода регуляризации некорректных задач (об этих методах см., например, книги [6] и [12]). В частности планировалось:
1) описание слабых граничных значений
БИБЛИОТЕКА
систем;
• о» яа^муГрЗ !
2) нахождение условий ацикличности эллиптических комплексов;
3) исследование условий разрешимости задачи Коши для эллиптических комплексов и ее регуляризация;
4) изучение условий разрешимости одного класса смешанных задач для лапласианов эллиптического комплекса и выявление связей между разрешимостью задачи Коши и обобщенной задачи Зарембы;
5) идентификация сопряженного пространства для пространства решений эллиптического дифференциального оператора,
6) построение теории Ходжа задача Дирихле для лапласиана эллиптического комплекса на многообразиях с трещинами.
Кроме того, ставилась задача разработать такие методы, которые позволяют получать не только условия разрешимости таких задач, как задача Коши или обобщенная задача Зарембы, но и строить формулы для их решений, в том числе, приближенных.
Методика исследования. Разработанные в диссертации методы фактически сводят изучение задач из теории дифференциальных уравнений к некоторым задачам из анализа (например, к изучению свойств дифференциальных операторов на специально подобранных пространствах, как в главе 1, к изучению свойств потенциалов и к задаче об аналитическом продолжении, как в главе 2, или к изучению итераций потенциалов, как в главе 3). Итак, в исследовании применяются общие методы математического и функционального анализа. В частности, ключевую роль в нем играют спектральная теорема для ограниченных самосопряженных линейных операторов в пространствах Гильберта, теория пространств Гильберта с воспроизводящими ядрами, лемма об аннуляторе ядра и формула Стокса. Отметим также, что для изучения всех вышеупомянутых задач систематически используются пространства Соболева и пространства Харди.
Научная новизна. Все основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и снабжены строгими доказательствами.
Теоретическая и практическая ценность.
К результатам, имеющим практическую ценность, в первую очередь
относятся формулы для приближенных решений задачи Коши и смешанных задач для эллиптических систем. Это подтверждается результатами вычислительного эксперимента, проведенного Л.А. Айзенбергом при изучения задачи Коши для системы Коши-Римана (см. [1]). В частности, получены явные формулы Карлемаиа решения задач Коши для оператора обычного Лапласа и системы Ламе из линейной теории упругости.
Что же касается теоретической ценности, то с этой точки зрения очень интересны выявленные связи между задачей Дирихле для лапласианов комплекса на многообразиях с трещинами и задачей Коши, а также между задачей Коши и обобщенной задачей Зарембы для лапласианов.
Кроме того, теоретическую ценность представляет и предложенный в работе метод исследования сопряженного пространства для пространства решений эллиптических систем, который позволяет связать теоремы двойственности с такими основными задачами теории дифференциальных уравнений, как существование и регулярность решений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:
- Красноярском общегородском семинаре по многомерному комплексному анализу (КрасГУ) под руководством профессоров Л.А. Айзенберга и А.П. Южакова (1991 - 1994 гг.) и профессоров А.К. Циха и A.M. Кытманова (1995 - 2004 гг.);
- семинарах по геометрии и анализу в Высшей Нормалыюй Школе г. Пиза (Италия) под руководством профессора Е. Везентини (1993-1995 гг.);
- семинаре по геометрии и анализу в Пизанском университете под руководством профессора М. Начиновича (Пиза, Италия, 1995 г.);
- семинарах по анализу на многообразиях с особенностями в Потсдамском университете, под руководством профессора Б.-В. Шульце (Потсдам, Германия, 1997 - 2000 гг., 2003 г.);
- международных конференциях по дифференциальным уравнениям и анализу на многообразиях с особенностями (Потсдамский университет, Потсдам, Германия, 1997-2001 гг.);
- международной конференции по комплексному анализу (Математи-
ческий институт им. В.А. Стеклова РАН, Москва, 2001 г.);
- семинарах по геометрии и анализу под руководством академика РАН Ю.Г. Решетника (Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, 2001-2002 гг.);
- семинарах по дифференциальным уравнениям в частных производных под руководством проф. Ю.Я. Белова (КрасГУ, Красноярск, 2002 г.);
- международной конференции ."Некорректные и обратные задачи" (Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, 2002 г.);
- Сибирской школе по геометрии и анализу (Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, 2002 г.);
- семинаре по дифференциальным уравнениям в частных производных под руководством академика РАН В.Н. Монахова (Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 2002 г., 2004 г.);
- семинарах по геометрии и анализу под руководством проф. А. Бегера (Свободный университет, Берлин, 2003 г.);
- семинарах по геометрии и анализу под руководством проф. СП. Царева (Красноярский государственный педагогический университет, Красноярск, 2004 г.);
- семинаре "Дифференциальные уравнения математической физики" под руководством проф. Л.А. Калякина и проф. В.Ю. Новокшенова (Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, Уфа, 2004 г.).
Кроме того, уместно отметить, что основные результаты диссертации получены при поддержке следующих грантов:
- гранты РФФИ (96-01-00080, 994)1-00790 и 02-01-00167);
- гранты РФФИ поддержки ведущих научных школ (96-15-9626 и 0015-96140);
- грант научных школ НШ-1212.2003.1;
- гранты Красноярского краевого фонда, науки (6F0103, 8F0101, 10F032M, 1Ш03Ш).
Публикации. По теме диссертации опубликованы монография [49], и 40 научных работ [20] - [48], [50] - [60] (в том числе 22 - в ведущих российских
и зарубежных научных изданиях, из них 9 в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов докторских диссертаций). Из этих 40 работ 11 написано в соавторстве; во всех случаях вклад каждого из соавторов в работу равноценен.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 146 наименований, и занимает 294 страницы машинописного текста.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.
Эта диссертация посвящена, большей частью, интегральным представлениям. Они были введены и успешно использовались в многомерном комплексном анализе, например, для получения формулы гомотопии для комплекса Дольбо и для доказательства точных оценок для 0-задачи Неймана-Спенсера, для исследования свойств CR-функций и для получения теорем об аппроксимации и о стирании особенностей голоморфных функций, а также для исследований в комплексной интегральной геометрии и других областях (см., например, обзор [14]).
Формула Мартинелли-Бохнера (см., например, [5]) является одним из простейших интегральных представлений для голоморфных функций в ограниченной области Б из ^мерного комплексного пространства С. В указанной формуле значения голоморфной функции в области Б восстанавливаются с помощью интегрирования по границе Б области Б произведения этой функции и ядра, являющегося относительно простым и не зависящим от области. Это ядро совпадает с ядром Коши в случае одной комплексной переменной, но не является голоморфным по "внешним" переменным в С1 (п > 1): этот факт можно считать причиной глубокого различия между комплексным анализом одной и комплексным анализом нескольких переменных.
Как известно, формула Мартинелли-Бохнера использовалась при изучении свойств CR-функций и решения 3-задачи Неймана, при исследовании задачи Коши для системы Коши-Римана, и получении условий разрешимости и формул для решений неоднородной системы Коши-Римана. Ее
обобщение на дифференциальные формы (формула Мартинелли-Бохнера-Коппельмана) также успешно использовалась для исследования комплекса Дольбо (см., например обзор [40]).
В теории дифференциальных операторов метод интегральных представлений связан главным образом, с построением и использованием парамет-риксов. Формулы Грина, соответствующие этим параметр иксам, являются естественными аналогами формулы Мартинелли-Бохнера в комплексном анализе.
Более подробно, пусть X - открытое подмножество пространства Ип,
- линейный дифференциальный оператор порядка m > 1 на X, где ~ х Ь)-матрицы бесконечно дифференцируемых функций на X. Выражение а(А)(х,£) = ]С|а|=т Аа(х)Са (для х а X,
£ 6 С") называется главным символом дифференциального оператора А. Говорят, что оператор А эллиптический, если его главный символ является инъективным, т.е., если ранг матрицы <г(Л)(х,£) равен к для всех
(ж, С) еХх ег\{0}.
Важным классом операторов с инъективным символом является класс "квадратных" эллиптических операторов, соответствующий случаю I = к. Таковы, например, оператор Лапласа Д(п' в К" и оператор Коши-Римана на плоскости.
Классическим примером переопределенных эллиптических операторов (систем) являются оператор градиента в и система Коши-Римана в при п > 1. Как и в классических примерах, при не слишком ограничительных предположениях, оператор А индуцирует некоторый эллиптический комплекс (комплекс Де Рама для оператора градиента и комплекс Дольбо для системы Коши-Римана; в общем случае см., например, [10]) дифференциальных операторов
Для "квадратных" эллиптических операторов вышеупомянутый комплекс состоит только из одного ненулевого оператора
Кроме того, важным примером "квадратных" систем являются лапласианы Д, = + А1-\А*_1 эллиптического комплекса (здесь Л*
- формально сопряженный дифференциальный оператор для А). Они эллиптичны, если порядки операторов А1 и А-1 совпадают. Поскольку АА = О, то лапласиан Д'= А^Ао всегда эллиптичен.
Для " квадратных" эллиптических операторов существуют не только па-раметриксы, но и (по крайней мере, локально) двусторонние фундаментальные решения;
Я использую интегралы Грина, соответствующие этим параметриксам и фундаментальным решениям, для исследования следующего круга задач:
- регуляризация задачи Коши для эллиптических комплексов;
- регуляризация смешанных задач для лапласиана А* А;
- описание условий ацикличность эллиптических комплексов;
- задачи Неймана для комплекса {Л*}^;
- задача описания сопряженного пространства для пространства решений эллиптического дифференциального оператора;
- регуляризация задачи Дирихле для лапласиана А"А на многообразиях с трещинами.
Для-изучения всех вышеупомянутых задач систематически используются пространства Соболева и пространства Харди, Разработанные в диссертации методы позволяют не столько получать условия разрешимости этих задач (они слишком сложны для проверки), сколько строить формулы для их решений, в том числе, приближенных.
В главе 1 излагаются предварительные сведения и вспомогательные результаты, касающиеся эллиптических линейных дифференциальных операторов, эллиптических комплексов, их параметриксов, фундаментальных решений, интегралов и формул Грина, а также о функциональных пространств, которые систематически используются в главах 2, 3 и 4.
Так, например, для того, чтобы использовать интегральные представления при изучении разрешимости эллиптических систем и различных краевых задач для них, полезно иметь информацию о граничном поведении решений таких систем. Поэтому в главе исследуются слабые граничные значения решений класса Лебега ЬЯ(Б) на границе области Б С X. Эти
исследования во многом представляют собой несколько иной взгляд на результаты Я. А. Ройтберга [8].
Также в этой главе построена теория Ходжа задачи Дирихле для лапласиана А*А на многообразии X с трещиной Г, параметрикс которой играет ключевую роль в главе 3. Такие задачи известны довольно давно (см., например, [4] в случае когда X — С, а Г - отрезок действительной оси). В частности, в книге Гахова указано на связь задачи Дирихле для обычного оператора Лапласа на плоскости с разрезами и известной задачи Гильберта о восстановлении аналитической в некоторой-области Б функции по заданной на линейной комбинации ее мнимой и действительных частей.
В последнее время (см., например, [15]) задача Дирихле для эллиптического оператора на многообразии с разрезом обычно рассматривается в рамках анализа на многообразии с краем и ребрами коразмерности 1 в весовых пространствах Соболева {{"'^(Х, Г), где индекс я € К отвечает за "гладкость", а.7 £ К - за вес, определяющий поведение элементов пространства вблизи особенности (т.е., вблизи В диссертации речь идет об отыскании решений задачи Дирихле из обычного пространства Соболева Нт{у),„ где У = X \ Г, т - порядок оператора A, что соответствует очень: специальному случаю при этом используется метод обобщенных решений, получивший широкое распространение после работ С.Л. Соболева, М.И. Вишика, О.А. Ладыженской и др. (см., например, [3]). Кроме того, рассматриваемый в диссертации оператор (т.е., А*Л) формально самосопряжен. Эти обстоятельства позволяют получить гораздо больше информации о решении задачи Дирихле, чем в общей теории (см., например, [15], [7]).
Более точно, обозначим через Е тривиальное векторное расслоение X х С*, а через .Н_т(У, Е) двойственное пространство к Нт{у,Е) относительно спаривания в Другими словами, это пополнение по норме
Для всех соответствие
гл-» (Аи,Аь)ьчх,Е)
задает непрерывный сопряженно линейный функционал на пространстве Нт{у,Е). Итак, лапласиан Д.= А*А продолжается до отображения Нт(У,Е) -» Н~т(У,Е). Пусть г = {ВЛ^О1 будет
какая-нибудь система Дирихле порядка (да—1)
в некоторой окрестности
Задача 1.2.3 (задача Дирихле). Для заданного ш 6 Н~т(У,Е), найти сечение и € Нт(Е) такое, что
Фактически изучение этой задачи сводится к исследованию свойств линейного оператора
Д :Нт(У,Е) -*Н-т{У,Е).
В дальнейшем обозначает подпространство в состоящее
из решений операторного уравнения и пусть состоит
из сечений удовлетворяющих
для всех
Теорема 1.2.6 (Разложение Ходжа). Найдутся линейные ограниченные операторы
П : Н~т(У,Е) -> П(У), 0 : Н~т(У,Е) ЯГ"(У,£) П ПХ(У)
такие, что
1) П есть Ь2(У, Е)-ортогональный проектор на пространство с
ядром Кп{х,у) = ® *в^з(у)> -некоторый
ортогональный базис в "Н(У);
^ А&ю = ю-II и; для всех м 6 Н~т(У, Е).
Данная теорема была получена в соавторстве с Н.Н. Тархановым и Б.-В. Шульце (см. [59]).
Отметим, что для случая, когда трещина Г отсутствует, теория Ходжа распространена на пространства распределений. Кроме того, с помощью ядра параметирикса 0 в данной главе строятся интегральные представления Грина и Пуассона в пространствах Соболева.
В главах 2, 3 и 4 содержатся основные результаты диссертации. В целом, они посвящены вышеупомянутым граничным задачам для эллиптических комплексов.
Кроме того, в начале каждой из этих глав коротко излагаются общие результаты из функционального анализа, которые затем реализуются в применении к эллиптическим комплексам.
Так, например, в §2.1 и §3.1 коротко излагаются хорошо известные результаты, касающиеся применения спектральной теоремы к изучению операторных уравнений первого рода в гильбертовых пространствах (ср. результаты, изложенные в [6])), а в §4.1 приводится довольно общая схема описания двойственных пространств с использованием воспроизводящих ядер и задачи Неймана.
Грубая формулировка задачи Коши для комплекса {Л,}, в некоторой относительно компактной области Б из X с достаточно гладкой границей 3Б и данными Коши на подмножестве Г С сШ, имеющем положительную (п — 1)-мерную меру Лебега, состоит в следующем.
Задача 0.0.1. Пусть / - заданная вектор функция в Б, удовлетворяющая условию совместности А,+1/ = 0 в И, иа (|а| < — 1) - заданные векторные функции на Г (здесь тх - порядок оператора Ах). Требуется найти решение и операторного уравнения Аи = / в Б, чьи производные Б?и до порядка (т, — 1) включительно имеют, в подходящем смысле, гра-
ничные значения (!)а,и)|г на Г, удовлетворяющие равенству (Д0^!!- = иа
В классе бесконечно дифференцируемых функций задача Кош и для эллиптических комплексов изучалась многими авторами. Подробнее см. [11], в частности там отмечалось, что разрешимость задачи эквивалентна исчезновению некоторого класса когомологий. Там же обсуждалась возможность сведения этой задачи Коши к дифференциально-граничным комплексам.
Особенного внимания заслуживает случай, когда i = О (т.е., когда Аi является эллиптическим). Со времен Адамара этот вариант задачи Коши известен как классический пример некорректно поставленной задачи. Однако, он естественно возникает в приложениях. Например, задача Коши для уравнения Лапласа возникает при интерпретации данных геологоразведки, задача Коши для системы Коши-Римана возникает при изучении установившегося плоско-параллельного движения жидкости и в теории восстановления сигнала, а задача Коши для системы Ламе возникает в линейной теории упругости.
Пожалуй самыми изученными являются задачи • Коши. для оператора Лапласа и системы Коши-Римана, которым посвящены десятки работ ведущих математиков только последних десятилетий (подробнее см. библиографию к книгам [1] и [18]).
Если А - "квадратный" эллиптический оператор и либо область D достаточно мала либо коэффициенты А вещественно аналитические, то задача Коши легко сводится к случаю, когда / = О (по крайней мере, если Г достаточно гладкая), В противном случае, для изучения задачи неизбежно приходится затрагивать вопросы ацикличности эллиптических комплексов линейных операторов.
С другой стороны, хорошо известно, что задача Коши для (формально) сопряженного комплекса {А*} в случае, когда Г = дИ тесно связана с описанием циклов комплекса {Л,} в области D. Напомним, что даже вопрос о локальной ацикличности эллиптических комплексов с гладкими коэффициентами до сих пор остается открытым, и, более того, это одна
из основных нерешенных проблем теории дифференциальных комплексом (см., например, [11]). Однако, для (необязательно эллиптических) комплексов совместности с постоянными коэффициентами, лемма Пуанкаре, т.е., локальная ацикличность, всегда выполняется; она также верна и для эллиптических комплексов с вещественно аналитическими коэффициентами. Как показывает пример Леви для не эллиптических комплексов с непостоянными коэффициентами С°°-лемма Пуанкаре, вообще говоря, не имеет место быть. Совсем недавно С°°-лемма Пуанкаре была доказана для эллиптических комплексов с гладкими коэффициентами в случае, когда размерность многообразия X равна двум (см. [16]).
Результаты, приведенные в главе 2. посвящены задаче Коши для локально разрешимых систем с инъективным символом (т.е., случаю, когда 1 — 0). Они представляют собой попытку использовать для исследования задачи Коши метод построения регуляризующих операторов, интегралы Грина и спектральную теорему для компактных самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах. Фактически задача Коши сводится к задаче об аналитическом продолжении, а для решения последней здесь используются базисы со свойством двойной ортогональности (ср. [6]) идея использования которых восходит еще к Стефану Бергману, а абстрактная теорема существования получена И.Ф. Красичковым. Отметим, что применительно к задаче Коши для "квадратных" систем этот метод был разработан в кандидатской диссертация автора.
Более точно, в терминах базисов с двойной ортогональностью получены более конструктивные, простые и удобные для проверки условия разрешимости некорректной задачи Коши для эллиптических систем в пространствах Соболева, чем известные ранее. В основном эти условия состоят в сходимости ряда Фурье (относительно некоторого базиса со свойством двойной ортогональности) интеграла Грина, соответствующего данным Коши. Более того, получена конструктивная формула регуляризации (приближенного решения) задачи Коши для линейных эллиптических систем. Ранее было доказано существование таких регуляризации, но возможность кон-
структишюго подхода не выходила за рамки задачи Коши для системы Коши-Римана или систем, факторизующих оператор Лапласа (см., например, [18]).
Отметим, что всюду в главе 2 предполагается, что для оператора А* А справедливо так называемое свойство единственности в малом.
Свойство 1.1.1 (единственности в малом для А). Если для области О С. X мы имеем Аи = 0в0;аи = Она некотором непустом открытом подмножестве О С. О. то и = 0 в О.
В дальнейшем <и,У >г= ^«=1 и»(а0г,»(а0 для сечения и расслоения Е и сечения V сопряженного к Е расслоения Е*
Определение 1.3.1. Пусть - какая-нибудь система Дирихле
порядка т — 1 на ОБ. Будем говорить, что для и 6 Б(А,0) существуют слабые граничные значения выражений В^и = щ € Т>'{дО,Е^) (0 < ] < т— 1) на дИ, если
Обозначим через Б(А, И) множество слабых решений операторного-уравнения Аи = 0 в О, а через 5р(А,0) - подмножество в Б(Л,В), состоящее из решений конечного порядка роста. Тогда задача Коши 0.0.1 может быть уточнена следующим образом.
Задача 2.2.6 Пусть Г - открытое подмножество дБ, а / 6 Бр(А* + Л.1,.0) и И] €Е ТУ(Г,Е^) (0 < ] < т — 1) ~ заданные сечения. Требуется Найти сечение и 6 5г(Л*.|4)Х>) такое, что Аи — /, а слабые предельные значения выражений В]Ы\до совпадают с щ на Г.
Теорема 2.2.7. Если оператор А обладает свойством 1.1.1 то задача Коши 2.2.6 не может иметь более одного решения.
Лемма 2.2.9. Если задача 2.2.6 разрешима, то Аь(@щ) = Т\{/) (слабо) на Г, т.е.,
для всех д е С§°{80, (£<'>)*).
для всех и) € Т>(Етаких, что (эирри)) П дИ С Г.
Пусть п будет система Дирихле на сШ, сопряженная к системе Дирихле £ = относительно формулы Грина для оператора А.
'Теорема 12.2.17. Пусть комплекс является точным;на уров-
не пучков в положительных степенях в некоторой окрестности П. Предположим,- что операторы А и (Л* + А1) обладают свойством 1.1.1. Если и € / Е ^(А* + Ах, V), то Аи = / в области D тогда и только
тогда, когда
1) существуют область и С О с границей ди), содержащей непустое открытое подмножество ГхвГ, и сечен и е ,
что
Предположим, что Г - открытое связное множество, т.е., подобласть в Б. Такую ситуацию можно реализовать следующим образом. Имеется некоторая область О € X, а Г - гладкая замкнутая гиперповерхность в О, разбивающая область на две связные компоненты:
В формулировке следующей задачи участвуют так называемые пространства Соболева 2(Г,£^'>), определение которых может вызвать недоразумение. Мы делаем это так. В пространстве Соболева (определенном стандартным способом) рассматривается подпространство образованное всеми сечениями и, равными нулю в окрестности Г. Для это означает, что для всех д £ с suppg С Г. Ясно, что £ замкнуто. Соответствующее фактор-пространство, наделенное фактор-топологией, и обозначается через Г,Е^). Зафиксируем целые неотрицательные числа г и s, удовлетворяющие з < г+пг и положим 5* (А, £)) = Н"(0, Е)Г\3(А, И).
3адача-2.3.1 Пусть даны сечения £ (0 < 3 <
т — !),/€ 5Г(Л* + А1,Ю). Найти (если возможно) такое решение и О
5'{А*А,Б), что
В качестве левого фундаментального решения дифференциального оператора А возьмем ядро С(х,у) = А" Ф(г, у), где Ф - двустороннее фундаментальное решение лапласиана Д = А*А на X.
Обозначим через^ щ 6 (0 < 3 < т — 1) какой-нибудь
представитель и^ £ и пусть й = фи^-; для а; & дО положим
0(й)(х) = - Е < >у <Ь, (7Ь/)(*) = (ФА'хпГНг),
где XV -характеристическая функция области Б в X. Обозначим также через ((7(й)+7Ъ/)+ сужение сеч (£(ш)-й7Ъ/н а 0+. По построению +7Ъ/)+ € Б(А,0+). Следующая теорема сводит некорректную задачу Коши к задаче о "гармоническом" продолжении (в частности, если коэффициенты оператора А вещественно аналитичны, то речь идет о задаче аналитического продолжения).
Теорема 2.3.3. В предположениях следствия 2.2.17, если граница области Б является достаточно гладкой, то задача 2.3.1 разрешима в том и только том случае, когда выполнено условие (1) следствия 2.2.17,
на (© и сечение)
р'Продо@Ж1аетЩ)и§ Ъб-
ласти О+ на всю область О как решение из Зв(А,0).
Далее для исследования задачи Коши используем базисы с двойной ортогональностью.
Теорема 2.1.8. Если П (= О - открытое множество срегулярной границей, дополнение которого не имеет компактных связных компонент в О, то в пространстве 5*(Д,0) найдется такой ортонормированный базис сужение которого на П' является ортогональным базисом в
5р(д,п), 5 е ре
Для эта теорема приведена в кандидатской диссертации автора.
Для элемента обозначим через его
коэффициенты Фурье относительно ортонормированиой системы {Ь„} в £1, т.е., а для элемента через =
1,2,... ) - его коэффициенты Фурье относительно ортогональной системы
(6„,6„)£2 '
Теорема 2.3.5. В предположениях следствия 2.2.17, если граница области Б является достаточно гладкой, то задача 2.3.1 разрешима в том и только том случае, когда выполнено условие (1) следствия 2.2.17,
(1)
Уместно отметить, что для случая, когда Г = 0, все сформулированные выше утверждения из главы 2 получены в соавторстве с Н.Н. Тархановым (см. [47]).
Введем в рассмотрение следующие ядра определенные для
Теорема 2.3.10 (формула Карлемана). В предположениях следствия 2.2.17, если граница области D является достаточно гладкой, для всяких точки х 6 D и сечения и G S'(A,D), для которого Au Е Hr(D,F), справедлива формула:
и(х) = - \hn{ <€{n)(x,.),Au>vdy+ (3)
ЛГ-кю \JD
m—1
l> »» 1 1
JdD i=0 ,
Кроме того, в данной главе рассмотрены примеры задач Коши для оператора Лапласа, для системы Ламе и для операторов Дирака. Построены соответствующие базисы с двойной ортогональностью.
Глава 3 посвящена итерациям самосопряженных операторов (в частности, интегралов Грина) и их применениям в теории эллиптических комплексов.
Сначала в этой главе доказывается сходимость предела в пространстве Соболева Нт(И) (т - порядок оператора А) итераций интегралов Грина, построенных с помощью параметрикса Ходжа задачи Дирихле для лапласиана А*А на гладком компактном многообразии X с границей дХ и трещиной Г, которая либо есть компактное подмножество в Б либо является частью дИ, где Б область в X (при этом формально допускаются случаи, когда
Обозначим через Нт((0,Т),Е{) замкнутое подпространство в пространстве Нт(П,Е), состоящее из сечений и, для.которых В/и = 0 на Г для всех С помощью оператора А на этом пространстве
вводится специальное скалярное произведение (-,-)> определяющее топологию, эквивалентную стандартной. Для заданного замкнутого подпространства будем писать для ортогональной проекции из Нт((0,Т), Е{) на £ относительно /¿^(•, •). В следующем утверждении И^о^ — QiA¡XD1 где Q¿ суть параметрикс Ходжа из теоремы 1.2.6, соответствующий лапласиану комплекса пространство линейных непрерывных операторов на
Следствие 3.2.11. В сильной операторной топологии пространства £(Ят((1>,Г),.Е,)) мы имеем
а в сильной операторной топологии пространства С{1?(Р,Ех+\)) мы имеем
Использование этого результата и метода последовательных приближений для построения регуляризующего оператора легко приводит к условиям разрешимости и формулам для соболевских решений задачи Коши в
Б с данными на Г для оператора Л с инъективным символом и гладкими коэффициентами, если только решения этой задачи существуют:
В применении к эллиптическим комплексам одного порядка этот метод ведет к условиям разрешимости и формулам для Соболевских решений задачи; Коши для комплекса. При этом соответствующие интегралы Грина строятся с помощью параметрикса Ходжа задачи Дирихле для лапласиана Д* на гладком компактном многообразии X с границей дХ и трещиной Г.
Вышеупомянутые формулы представляют собой суммы ряда, слагаемые которого суть итерации псевдодифференциальных операторов (в частности, интегралов Грина), в то время как условия разрешимости задачи Коши эквивалентны сходимости ряда вместе с некоторыми тривиальными условиями (ортогональностью специальному "гармоническому" пространству).
Более точно, определим пространство данных Коши на Г как фактор -пространство
Нт(Р,Е{) Яга((£>,Г)1Я>)'
где к - фактор-отображение
и: Нт(0,ЕЛ
Ят (£>,£)
(4)
Я™((£>,Г),£;<)"
Тогда гильбертова структура на Нт(0,Ех) дает возможность построить непрерывный правый обратный для
Если граница множества Г на 9£> достаточно гладкая, то фактор-пространство в формуле (4) может быть отождествлено с пространством
Легко понять, что использование оператора Ходжа из теоремы 1.2.6 (примененной к лапласианам позволяет свести задачу Коши для комплекса {А} к случаю, когда данные Коши на Г равны нулю. Поэтому мы
рассмотрим следующую задачу.
Задача 3.3.2. Для данного / € 50(Л,-(-1,.О), найти (если это возможно)
сечение и С Нт((0,Г),Е$ такое, что Л»и = / в £).
Пусть и(д) - данные Коши для д относительно комплекса {Л*}, а П'+1(В,Г) = {д е +Л4+ь£») : = 0 на сШ\ Г}.
Теорема 3.3.4. Задача,3.3.2 разрешима тогда и только тогда, когда / А. Н'+1(Г>,Г) иряд-п^0)/ = Г сходится в
Нт((В,г)Д21). Более того, если эти условия.выполнены, то есть
решение задачи 3.3.2.
В случае Г = 0 мы получаем условия разрешимости системы (1 > 0) в пространствах Соболева и формулы для таких решений: Для комплекса Дольбо соответствующие псевдодифференциальные операторы связаны с интегралом Мартинелли-Бохнера. В этом частном случае при X = С* (п > 1), I = 0 и Г = 0 похожие формулы были получены в работе [9].
Данный метод позволяет получить и условия локальной разрешимости задачи Коши, (и при локальной ацикличности) для эллиптических
комплексов.
Подобным образом в главе 3 изучается разрешимость и регуляризация одного класса смешанных задач для лапласиана Д. .Более точно, рассматривается обобщенная задача Зарембы в области Б с данными Дирихле на Г и данными Неймана (относительно формулы Грина для оператора Л) на Как и задача Дирихле, эта задача обычно рассматривается в рамках анализа на многообразии с краем и ребрами коразмерности 1 в весовых пространствах Соболева. В диссертации речь идет об отыскании решений смешанной задачи из обычного пространства Соболева - порядок оператора А, что соответствует очень специальному случаю Нт,т(Р,Г) .В отличие от задачи Дирихле, обобщенная задача Зарембы не является, вообще говоря, фредгольмовой в такой постановке, если а ее разрешимость тесно связана с разрешимостью задачи Коши.
Случай Г = 0 соответствует Л-задаче Неймана (задаче Неймана для комплекса в степени 0), а случай Г = - задаче Дирихле для лапласиана в области Б. Отметим также, что разрешимость Л-задачи
Неймана тесно связана с описанием когомологий комплекса над соответствующими функциональными пространствами.
Уместно отметить, что для некоторых частных случаев все сформулированные выше утверждения из главы 3 получены в соавторстве (с М. Начиновичем [52] для и операторов, удовлетворяющих усло-
вию единственности-1.1.1; с Н.Н. Тархановым и Б.-В. Шульце [59], [58] для
В главе 4 рассмотрены вопросы описания сопряженных пространств для различных пространств решений эллиптических систем. Так, например, получено описание сильного сопряженного пространства для пространства $(Л,Б) решений системы Аи = 0 в области £) С X, снабженного стандартной топологией Фреше-Шварца (здесь, как и выше, А - эллиптический дифференциальный оператор на X).
В качестве мотивации данного исследования отметим ту роль, которую сыграла теорема Рисса об общем виде непрерывного линейного функционала на пространстве Гильберта в развитии теории уравнений в частых производных и, в частности, при решении различных краевых задач. Кроме того, любая удачная характеризация двойственного пространства дает дополнительную информацию о решениях системы Аи = 0 (ряды Го-лубева, теоремы о разделении особенностей; и-т.д., см, например, [13]).
Существует несколько классических представлений сопряженного пространства для как, например; двойственность Гротендика или двойственность Пуанкаре (см., например, [11]).
В данной главе рассмотрена некоторая общая схема для описания двойственности в пространствах решений эллиптических систем, включающая в себя, например, двойственность Гротендика для 5(Д, И). Одним из преимуществ этой схемы является то, что она позволяет связать теоремы двойственности с такими основными задачами теории дифференциальных уравнений, как существование и регулярность решений.
Опишем коротко содержание главы 4. Предположим, что коэффициенты оператора А и граница области Б вещественно аналитические, а сама
область D обладает некоторыми свойствами выпуклости относительно А. Тогда, используя воспроизводящие ядра Бергмана, соответствующие различным скалярным произведениям на подпространствах в S(A,D), пространство, сопряженное к S(A,D), представлено как пространство S(A,D) решений системы Аи = О в окрестности замыкания области D, снабженное стандартной топологией индуктивного предела относительно некоторой убывающей последовательности окрестностей
В частности, в этой главе доказаны следующие утверждения.
Следствие 4.3.14 Для всяких решений и S(A,D) и v 6 S(A,D) существует предел.
ho{u,v) = (U' v)b2(D-e,E) ■
Спаривание ho(•,•) раздельно непрерывно на S(A,D) х S(A,D), и ho(u,v) = (u,v)L2^E) для всех и 6 S°(A,D) и v е S(A,D).
Пусть Яо обозначает проектора Бергмана, т.е., ортогональный проектор из L2(D,E) h&S0(A,D).
Следствие 4.3.17. Для того; чтобы отображение'Zq. : S(A,D) —>
S(A,D)', индуцированное спариванием Ло(.,.), было топологическим изоморфизмом между пространствами S(A,D) uS(A,D)' необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия:
1) S(A,D) плотно S(A,D);
2) по отображает S(A,D) непрерывно в8(А,0).
Теорема 4.3.18. Пусть А суть "квадратный" эллиптический оператор. Тогда отображение 0о> индуцированное спариванием ho(.,.), есть топологический изоморфизм между пространствами S(A,D) и S(A,D).
В данной главе указаны и другие классы операторов и областей, для которых условия следствия 4.3.17 выполнены.
Для пространств голоморфных функций в односвязных областях в С и (р, д)-круговых областях в С2 похожие результаты были в [2], Цорн [19] по-
лучил похожие результаты для пространств голоморфных функций в строго псевдовыпуклых областях в С"; Стаут [17] получил похожие результаты для пространств гармонических и голоморфных функций, используя скалярное произведение в пространствах Харди.
В диссертации рассмотрены и другие варианты двойственности. В частности, двойственность, индуцированная пространством Харди, получена совместно с Н.Н. Тархановым (см. [60]), а двойственность, индуцированная спариванием Лд^(т) из главы 3, получена совместно с Н.Н. Тархановым и М. Начиновичем (см. [54]).
Также с помощью этого метода дано описание и сопряженного пространства к подпространству пространства 5^^), состоящему из решений конечного порядка роста вблизи дО. Именно, доказывается, что пространство, сопряженное к может быть представлено как П С°°(0), при условии, что коэффициенты оператора А и граница области Б являются бесконечно гладкими, а сама область Б обладает некоторыми свойствами выпуклости относительно А.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На основании проведенных исследований получены следующие результаты:
1) описаны слабые граничные значения для решений эллиптических систем;
2) найдены некоторые условия ацикличности эллиптических комплексов;
3) получены условия разрешимости задачи Коши для эллиптических комплексов и ее регуляризация (включая некорректную задачу Коши для систем с инъективиым символом);
4) изучены условия разрешимости одного класса смешанных задач для лапласианов эллиптического комплекса и выявлены связи между разрешимостью задачи Коши и обобщенной задачи Зарембы для лапласианов;
5) проведена идентификация сопряженного пространства для пространства решений эллиптического дифференциального оператора;
6) построена-теория Ходжа задачи Дирихле для лапласианов эллиптического комплекса на многообразиях с трещинами.
Литература
[1] АЙЗЕНБЕРГ Л.А. Формулы Карлемана в комплексном анализе. Первые приложения. - Новосибирск: Наука. - 1990. - 248 с.
[2] АЙЗЕНБЕРГ Л .А., Гиндикин С.Г. Об общем виде линейного непрерывного функционала на пространствах голоморфных функций // Ученые зап. Моск. обл. пед. инст. - 1964. - Т. 137. - С. 7-15.
[3] Вишик М.И. О строго эллиптических системах дифференциальных уравнений// Мат. сб. - 1951. - Т. 29 (71), N 3.
[4] Глхов Ф.Д. Краевые задачи. - М: Наука. - 1977. - 640 с.
[5] КЫТМАНОВ A.M.. Интеграл Бохнера-Мартинелли и его приложения.
- Новосибирск: Наука. - 1992. - 240 с.
[6] ЛАВРЕНТЬЕВ М.М., САВЕЛЬЕВ Л.Я. Линейные операторы и некорректные задачи. - М.: Наука. - 1991. - 322 с.
[7] НАЗАРОВ С .А., ПЛАМЕНЕВСКИЙ Б .А. Эллиптические краевые задачи в областях с кусочно гладкой границей. - М: Наука. - 1991.
[8] РойТБЕРГ Я.А. О значениях на границе области обобщенных решений эллиптических уравнений // Мат. сб. - 1971.— Т. 86 (128), N. 2.
- С. 248-267.
[9] РОМАНОВ А.В. Сходимость итераций оператора Мартинелли-Бохнера и уравнение Коши-Римана // Докл. АН СССР - 1978. - Т. 242, N. 4. -С. 780-783.
[10] САМБОРСКИЙ С.Н. Коэрцитивные граничные задачи для переопределенных эллиптических систем (эллиптические задачи) // Укр. мат. журн. - 1984. - Т. 36, N. 3. - С. 340-346.
[11] ТАРХАНОВ Н.Н. Метод параметрикса в теории дифференциальных комплексов. - Новосибирск: Наука. - 1990. -248 с.
[12] Тихонов А.Н., АРСЕНИН В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука. - 1986. - 288 с.
[13] ХАВИН В.П. Пространства аналитических функций // Математический анализ. М:. ВИНИТИ АН СССР. - 1966. - С. 76-164.
[14] ХЕНКИН Г.М. Метод интегральных представлений в комплексном анализе // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. - М:. ВИНИТИ АН СССР. - 1985. - Т. 7. - С. 23-124.
[15] Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. - М.: Наука. - 1973. - 232 с.
[16] KUNIO KAKID. Existence of smooth solutions of overdetermined elliptic differential equations in two independent variables. // Commentarii Mathematici Universitatis Sancti Pauli. - 1999. - V. 48, N. 2. - C. 181209.
[17] STOUT E.L. Harmonic duality, hyperfunctions and removable singularities. // Известия РАН, Серия матем. - 1995. - Т. 59, N 6. - С. 133-170.
[18] TARKHANOV N.N. The Cauchy Problem for Solutions of Elliptic Equations. - Berlin: Akademie-Verlag. - 1995. - 478 pp.
[19] ZORN P. M. Analytic Functional and Bergman spaces // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. - 1982. - V. IX. - P. 365-404.
Работы автора по теме диссертации
[20] ШЛАПУНОВ А.А. О задаче Коши для уравнения Лапласа // Сиб. ма-тем. журнал. - 1992. - Т. 33, N 3. - С. 205-215.
[21] ШЛЛПУНОВ А.А., ТАРХАНОВ Н.Н. О задаче Коши для голоморфных функций класса Лебега L2 в области // Сиб. матем. жури. - 1992. -Т. 33,N. 5. - С. 914-922.
[22] ШЛЛПУНОВ А.А., ТАРХАНОВ Н.Н. Базисы с двойной ортогональностью в задаче Коши для систем с инъективным символом // Докл. РАН. - 1992. - Т. 326, N. 1. - С. 45-49.
[23] АЙЗЕНБЕРГ Л.А., КАРЕПОВ О.В., ШЛАПУНОВ А.А. О свойстве единственности и существовании предела в формулах Карлемана // Труды МИРАН. - 1994. - Т. 203. - С. 3-12.
[24] ШЛАПУНОВ А.А. Об условиях разрешимости в пространствах Соболева переопределенных эллиптических систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных // Тезисы международной конференции "Математические модели и методы их исследования". - Красноярск: КрасГУ. - 1997. - С. 194-195.
[25] ШЛАПУНОВ А.А. Сходимость итераций интегралов Грина и формулы для решений эллиптических систем с постоянными коэффициентами // Тезисы международной конференции "Симметрия в естественных науках". - Красноярск: ИВМ СО РАН. - 1998. - С. 152-153.
[26] ШЛАПУНОВ А.А. О глобальной разрешимости переопределенных линейных эллиптических систем // Сб. "Комплексный анализ.и математическая физика". - Красноярск: КрасГУ. - 1998. - С. 246-255.
[27] ШЛАПУНОВ А.А. О задаче Коши в классах Харди для эллиптических систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных // Ред. Сиб. мат. журн. - Сиб. отд-ние РАН. Новосибирск. - 1998. - Деп. ВИНИТИ. 20.04.98, N 1177-В98. - 28 с.
[28] ШЛЛПУНОВ' Л.А. О регуляризации одной смешанной задачи для оператора Лапласа // Тезисы международной научной конференции "Математические модели и методы их исследования". - Красноярск: КрасГУ. - 1999. - С. 213-214.
[29] ШЛАПУНОВ А. А. О регуляризации одной смешанной задачи для эллиптических систем //Сб. "Комплексный анализ и дифференциальные операторы". - Красноярск: КрасГУ. - 2000. - С. 175-182.
[30] ШЛАПУНОВ А.А. О сопряженном пространстве для решений оператора Дирака в шаре // Труды международной научной конференции "Симметрия в естествознании." - Красноярск: ИВМ СО РАН. - 2000. - С. 262-266.
[31] ШЛАПУНОВ-А.А. Об одном условии разрешимости систем с инъек-тивным символом в терминах итераций потенциалов двойного слоя// Сиб. матем. журнал. - 2001. - Т. 42, N 4. - С. 952-963/
[32] ШЛАПУНОВ А.А. Замечание о неоднородной задаче Коши для эллиптических систем // Труды международной научной конференции "Математические модели и методы их исследования." - Красноярск: ИВМ СО РАН. - 2001. - Т.2. - С. 285-290.
[33] ШЛАПУНОВ А.А. О двойственности в пространствах решений эллиптических систем // Сиб. матем. журнал. - 2002. - Т, 43, N 4. -- С. 948-958.
[34] ШЛАПУНОВ А.А. О двойственности в пространствах полигармонических функций // Известия ВУЗов. Математика. - 2002. - N. 8 (483). -С. 79-81.
[35] ШЛАПУНОВ А.А. О регуляризации задачи Коши для комплекса Дольбо //Сб. "Многомерный комплексный анализ". - Красноярск: КрасГУ. -2002. - С. 178-191.
[36] SilLAPUNOV A.A. Regularization of the Ill-posed Cauchy problem for elliptic systems with the use of iterations of Green's integrals // Тезисы международной конференции "Некорректные и обратные задачи". -Институт математики СО РАН, Новосибирск. - 2002. - С. 152.
[37] SHLAPUNOV A. A. Duality by reproducing kernels // Тезисы международной конференции "Сибирская школа по геометрии и анализу". -Институт математики СО РАН, Новосибирск. - 2002. - С. 81.
[38] ШЛАПУНОВ А.А. О задаче Коши для комплекса Дольбо // Тезисы международной;конференции "Многомерный комплексный анализ". - Красноярск: КрасГУ. - 2002. - С. 54-55.
[39] ШЛАПУНОВ А.А. О задаче Коши для системы линейной теории упругости // Тезисы международной конференции "Математические методы в механике естественных сред и экологии". - Алтайский государственный университет, Барнаул. - 2002. - С. 35-36.
[40] ТАРХАНОВ Н.Н., ШЛАПУНОВ А. А. Формулы Грина в комплексном анализе // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. - М:. ВИНИТИ РАН. - 2003. - Т. 97. Английский пер. в Journ. of Math. Sciences. - 2004. - V. 120 (6). - P. 1868-1900.
[41] ШЛАПУНОВ А.А. О некоторых свойствах интеграла Мартинелли-Бохнера-Коппельмана // Сб. "Вопросы математического анализа". -Красноярск: КГТУ. - 2003. - С. 280-287.
[42] ШЛАПУНОВ А.А. Абстрактная теорема о двойственности // Труды по геометрии и анализу. - Новосибирск: Институт математики СО РАН. - 2003. - С. 417-428.
[43] ШЛАПУИОВ А.А. О задаче Коши для некоторых эллиптических комплексов с постоянными коэффициентами // Вестник КрасГУ. - Красноярск: КрасГУ. - 2003. - Сер. Физ.-Мат. науки, Вып. 1. - С. 62-72.
[44] ШЛАПУНОВ А.А. Ругуляризация задачи Коши для эллиптических комплексов // Вестник Крас ГУ. - Красноярск: Крас ГУ. - 2004. - Сер. Физ.-хМат. науки, Вып. 1. - С. 163-170.
[45] ШЛЛПУНОВ А.А. Разложение в пространствах Соболева с помощью касательной и нормальной составляющих сечения// Тезисы международной конференции "Сибирская школа по геометрии и анализу".
- Институт математики СО РАН, Новосибирск. - 2004.
[46] SHLAPUNOV A.A. On iterations of Green type integrals for matrix factorizations of the Laplace operator // Rend. Mat. Ace. Line. - 1994.
- S.9, V.5, N. 2. - P. 103-116.
[47] SHLAPUNOV A.A., TARKHANOV N.N. Bases with double orthogonality in the Cauchy problem for systems with injective symbols // Proc. London Math. Soc. - 1995. - V. 71, N. 3. - P. 1-52.
[48] SHLAPUNOV A.A., TARKHANOV N.N. A stability set in the Cauchy problem for elliptic systems // Operator Theory : Advances and Applications. - Basel: Birkhauser. - 1995. - V. 78. - P. 353-355.
[49] SHLAPUNOV A.A. Green's integrals and their applications to elliptic systems. - Tesi di perfezionamento (ed. E. Vesentini), Pisa, Scuola Normale Superiore. - 1996. - 162 c.
[50] SHLAPUNOV A.A. On the Cauchy problem for the Lame system // Zeitschrift Angew. Math, und Mech. - 1996. - V. 76, N. 2. - P. 215-221.
[51] SHLAPUNOV A.A. Spectral decomposition of Green's integrals and existence of W'2-solutions of matrix factorizations of the Laplace operator in a ball // Rend. Sera. Mat. Univ. Padova. - 1996. - V. 96. -P. 237-256.
[52] NACINOVICH M., SHLAPUNOV A. A. On iterations of the Green integrals and their applications to elliptic differential complexes // Math. Nachr.
- 1996. - V.180. - P. 243-286.
[53] SHLAPUNOV A.A. On the Cauchy problem for some elliptic systems in a spherical shell in Rn // Zeitschrift Angew. Math, und Mech. - 1997. -V. 77, N. 11. - P. 849-859.
[54] NACINOVICH M., SHLAPUNOV A.A., TARKHANOV N.N. Duality in the spaces of solutions of elliptic systems // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, Cl. Sci. - 1998. - Ser. IV, Vol. XXVI, N. 2. - P. 207-232
[55] SHLAPUNOV A.A. Iterations of self-adjoint operators and their applications to elliptic systems // Math. Nachrichten. - 2000. - N. 218. - P. 165-174.
[56] SHLAPUNOV A.A. Regularisation of mixed boundary problems // Abstracts of the conference "Operator Algebras and Index theory on manifolds with singularities", University of Potsdam, Potsdam. - 2000. -P. 25.
[57] SHLAPUNOV A.A. Green integrals on manifolds with cracks // Abstracts of the conference "Partial Differential Equations", University of Potsdam, Potsdam. - 2001. - P. 32.
[58] SCHULZE B.-W., SHLAPUNOV A.A., TARKHANOV N.N. Regularisation of mixed boundary problems // Mathematical Physics Studies. -Dordrecht, NL: Kluwer Academic Publishers. - 2003. - V. 24. - P. 121147.
[59] SCHULZE B.-W., SHLAPUNOV A.A., TARKHANOV N.N. Green integrals on manifolds with cracks // Annals of Global Analysis and Geometry. -2003. - V. 24. - P. 131-160.
[60] SHLAPUNOV A.A., TARKHANOV N.N. Duality by reproducing kernels. // International Journ. of Math, and Math. Sc. - 2003. - V. 2003, N. 6. - P. 327-395.
Подписано в печать Бумага офсетная N 1 Усл. печ. л. 2 Тираж 100 экз.
60 х 84/16 Печать офсетная Усл. изд. л. 2 Заказ N 205
Издательский центр
Красноярского государственного университета 660041 Красноярск, пр. Свободный, 79
«1336$
Введение
1. Формулы Грина и Пуассона
1.1. Предварительные сведения
1.1.1. Функциональные пространства.
1.1.2. Эллиптические комплексы и их параметриксы
1.1.3. Формула Грина для эллиптических операторов
1.1.4. Формула Грина для эллиптических комплексов
1.2. Формулы Грина и Пуассона на многообразиях с трещинами
1.2.1. Пространства Соболева на многообразиях с трещинами
1.2.2. Теория Ходжа задачи Дирихле на многообразиях с трещинами.
1.2.3. Формулы Грина на многообразиях с трещинами
1.2.4. Следствия для эллиптических комплексов . 68 1.3. Формулы Грина и Пуассона в пространствах распределений
1.3.1. Формулы Грина и слабые граничные значения решений конечного порядка роста.
1.3.2. Формула Пуассона в пространствах распределений
1.3.3. Пространства Харди.
1.3.4. Слабые граничные значения касательной и нормальной составляющих сечения.
2. О задаче Коши для эллиптических систем
2.1. Базисы с двойной ортогональностью
2.1.1. Операторные уравнения I рода.
2.1.2. Задача об "аналитическом" продолжении.
2.2. Задача Коши в пространствах распределений
2.2.1. Теорема единственности.
2.2.2. Сведение к "квадратным" системам.
2.2.3. Сведение к задаче об "аналитическом" продолжении
2.3. Задача Коши в пространствах Соболева.
2.3.1. Условия разрешимости.
2.3.2. Формула Карлемана.
2.3.3. Замечание о "квадратных" системах.
2.4. Примеры.
2.4.1. Примеры для оператора Лапласа.
2.4.2. Примеры для системы типа Ламе.
2.4.3. Операторы Дирака.
3. Итерации интегралов Грина и их приложения
3.1. Итерации самосопряженных операторов и их применение
3.2. Об итерациях интегралов Грина в пространствах Соболева
3.2.1. Об итерациях интегралов Грина для эллиптических операторов.
3.2.2. Замечание об операторах с постоянными коэффициентами
3.2.3. Следствия для эллиптических комплексов
3.2.4. Об итерациях интегралов Грина в других пространствах
3.3. Задача Коши для эллиптических комплексов.
3.4. Смешанные задачи для лапласианов.
3.5. Примеры для операторов Дирака.
4. Двойственность в пространствах решений
4.1. Двойственность и воспроизводящие ядра.
4.2. Двойственность для решений конечного порядка роста
4.2.1. Спаривание в пространствах Харди.
4.2.2. Спаривание в пространствах Лебега.
4.2.3. Двойственность Гротендика.
4.2.4. Об одном очень специальном спаривании в пространствах Соболева.
4.3. Двойственность для решений произвольного порядка роста
4.3.1. Спаривание в пространствах Харди.
4.3.2. Спаривание в пространствах Лебега.
4.3.3. Двойственность Гротендика.
4.3.4. Об одном очень специальном спаривании в пространствах Соболева.
После интенсивного развития в 60-х - 80-х годах прошлого столетия, в теории дифференциальных комплексов остался целый ряд важных нерешенных проблем. В их число входят такие известные задачи теории дифференциальных операторов, как нахождение условий (локальной) ацикличности комплексов с гладкими коэффициентами, описание ко-гомологий комплексов с вещественно аналитическими и постоянными коэффициентами в наперед заданных областях, а также задачи Коши и Неймана для эллиптических комплексов в различных постановках. Более или менее удовлетворительные ответы на эти вопросы были даны для таких классических комплексов, как комплексы де Рама и Дольбо (или, более общо, для комплексов Кошуля; подробнее см. книгу [60]).
Давно замечено, что существует глубокая взаимосвязь между теорией эллиптических комплексов линейных дифференциальных операторов и комплексным анализом. В частности, комплекс Дольбо - это и важный пример эллиптического комплекса и, в то же время, инструмент для исследования свойств более общих комплексов. Хотя некоторые результаты из комплексного анализа не распространяются на произвольные эллиптические комплексы, имеет смысл проследить те идеи и методы, которые имеют подходящее толкование в общей теории.
Учитывая серьезные продвижения, сделанные при изучении комплекса Дольбо методом интегральных представлений, актуальность распространения этого метода на произвольные комплексы дифференциальных операторов не подлежит сомнению. Именно по этой причине данная диссертация посвящена, большей частью, интегральным представлениям, или, более точно, одному их важному классу - формулам Грина.
В целом можно сказать, что формула Грина есть одно из проявлений формулы Стокса для дифференциальных форм, или, другими словами, она суть далекое обобщение формулы интегрирования по частям.
В теории дифференциальных операторов в частных производных метод интегральных представлений связан, главным образом, с построением и использованием параметриксов. Формулы Грина, соответствующие этим параметриксам (см., например, [60]), являются естественными аналогами одной из самых известных конструкций такого типа - формулы Грина для гармонических функций.
В качестве примера в комплексном анализе отметим формулу Мартинелли-Бохнера (см., например, [11], [35]). Она является одним из простейших интегральных представлений для голоморфных функций в ограниченной области Б из п-мерного комплексного пространства Сп. В указанной формуле значения голоморфной функции в области Б восстанавливаются с помощью интегрирования по границе дИ области И произведения этой функции и ядра, являющегося относительно простым и не зависящим от области. Это ядро совпадает с ядром Коши в случае одной комплексной переменной, но не является голоморфным по "внешним" переменным в Сп {п > 1): этот факт можно считать причиной глубокого различия между комплексным анализом одной и комплексным анализом нескольких переменных. Формула Мартинелли-Бохнера использовалась при изучении свойств СЯ-функций и решений 5-задачи Неймана (см. [35]), при исследовании задачи Коши для системы Коши-Римана (см. [9]) и получении условий разрешимости и формул для решений неоднородной системы Коши-Римана (см. [54]). Ее обобщение на дифференциальные формы (формула Мартинелли-Бохнера-Коппельмана) также успешно использовалась для исследования комплекса Дольбо (см., например, [6], [11]).
Цель настоящей работы - дальнейшее развитие теории эллиптических комплексов с помощью так называемых интегралов Грина в рамках методов теории гильбертовых пространств и метода регуляризации некорректных задач (об этих методах см., например, [43], [63]).
Опишу более подробно содержание диссертации.
Пусть X - открытое подмножество пространства Мп, а А(х,В) = ]С|«|<т - линейный дифференциальный оператор порядка т >
1 на X, где Аа{х) - (I х &)-матрицы бесконечно дифференцируемых функций на X. Выражение а(А)(х,С) = 5}а|=т^а(ж)Са (для х е X, £ £ С") называется главным символом дифференциального оператора А. Говорят, что оператор А эллиптический, если его главный символ является инъективным, т.е., если ранг матрицы сг(А)(ж,С) равен к для всех (ж,С) еХхМп\{0}.
Важным классом операторов с инъективным символом является класс "квадратных" эллиптических операторов, соответствующий случаю I = к. Таковы, например, оператор Лапласа Д^ в!п и оператор Коши-Римана д на плоскости.
Классическим примером переопределенных эллиптических операторов (систем) являются оператор градиента У^ в!" и система Коши-Римана д в С" при п > 1. Как и в классических примерах, при не слишком ограничительных предположениях, оператор А индуцирует некоторый эллиптический комплекс дифференциальных операторов на X, где N < оо, Д-+1 о Д- = 0, а А0 = А (комплекс де Рама для оператора градиента и комплекс Дольбо для системы Коши-Римана; в общем случае см., например, [56]). Для "квадратных" эллиптических операторов вышеупомянутый комплекс состоит только из одного ненулевого оператора А0.
Кроме того, важным примером "квадратных" систем являются лапласианы Ai = +эллиптического комплекса (здесь
А* - формально сопряженный дифференциальный оператор для А). Они эллиптичны, если порядки операторов Ai и Дi совпадают. Поскольку A-1 = 0, то лапласиан А = AqAq всегда эллиптичен.
Для "квадратных" эллиптических операторов существуют не только параметриксы, но и (по крайней мере, локально) двусторонние фундаментальные решения. В диссертации интегралы Грина, соответствующие этим параметриксам и фундаментальным решениям, используются для исследования следующего круга задач:
- регуляризация задачи Коши для эллиптических комплексов;
- регуляризация смешанных задач для лапласиана А*А;
- описание условий ацикличности эллиптических комплексов;
- задачи Неймана для комплекса
- задача описания сопряженного пространства для пространства решений эллиптического оператора;
- регуляризация задачи Дирихле для лапласиана на многообразиях с трещинами.
Для изучения всех вышеупомянутых задач систематически используются пространства Соболева и пространства Харди. Разработанные в диссертации методы фактически сводят изучение задач из теории дифференциальных уравнений к некоторым задачам из анализа (например, к изучению свойств дифференциальных операторов на специально подобранных пространствах, как в главе 1, или к изучению свойств потенциалов и задачи об аналитическом продолжении, как в главе 2, или к изучению итераций потенциалов, как в главе 3). Данные методы позволяют не столько получать условия разрешимости этих задач (они слишком сложны для проверки), сколько строить формулы для их решений, в том числе, приближенных.
В главе 1 излагаются предварительные сведения и некоторые вспомогательные результаты, касающиеся эллиптических линейных дифференциальных операторов, эллиптических комплексов, их параметриксов, фундаментальных решений, интегралов и формул Грина, а также функциональных пространств, которые систематически используются в главах 2, 3 и 4.
Так, например, для того, чтобы использовать интегральные представления при изучении разрешимости эллиптических систем и различных краевых задач для них, полезно иметь информацию о граничном поведении решений таких систем. Поэтому в главе 1 исследуются слабые граничные значения решений класса Лебега Lq(D) на границе области D С X] эти исследования во многом представляют собой несколько иной взгляд на результаты Ройтберга [52].
Также в этой главе построена теория Ходжа задачи Дирихле для лапласиана А*А на многообразии X с трещиной Г, параметрикс которой играет ключевую роль в главе 3. Такие задачи известны довольно давно (см., например, [19, п. 46.4] в случае, когда X = С, А*А - обычный оператор Лапласа в R2, а Г - отрезок действительной оси). В частности, в [19] указано на связь этой задачи Дирихле на плоскости с разрезами и известной задачи Гильберта о восстановлении аналитической в некоторой области D функции по заданной на dD линейной комбинации ее мнимой и действительной частей.
В последнее время задача Дирихле для эллиптических операторов на многообразии с разрезом обычно рассматривается в рамках анализа на многообразии с краем и ребрами коразмерности 1 в весовых пространствах Соболева #s,7pf, Г), где индекс s £ М отвечает за "гладкость", а 7 G 1 - за вес, определяющий поведение элементов пространства вблизи особенности, т.е., вблизи дГ (см., например, [49], [86], [117], [119]). В диссертации речь идет об отыскании решений задачи Дирихле из обычного пространства Соболева Нт(Х \ Г), где т - порядок оператора А, что соответствует очень специальному случаю Нт'т(Х, Г); при этом используется метод обобщенных решений, получивший широкое распространение после работ С.Л. Соболева, М.И. Вишика, O.A. Ладыженской и др. (см., например, [16], [124]). Кроме того, рассматриваемый в диссертации оператор (т.е., А*А) формально самосопряжен. Эти обстоятельства позволяют получить гораздо больше информации о решении задачи Дирихле, чем в общей теории.
Более точно, обозначим через Е тривиальное векторное расслоение
0 О
X х С , и положим У = X \ Г. Пусть теперь Hm(Y,E) будет замыкание пространства финитных сечений расслоения Е над У, т.е., С0°°(У,£), в пространстве Соболева Hm(Y,E), Ят(У, Е) - двойствено ное пространство к Hm(Y,E) относительно спаривания в пространсто ве Лебега L2(Y,E), %(Y) обозначает подпространство в Hm(Y,E), соо стоящее из решений операторного уравнения Аи = 0 в У, а H±(Y) -ортогональное дополнение 7i{Y) в Hm(Y,E) относительно скалярного произведения в L2(Y,E). Фактически речь идет об изучении свойств о линейного оператора Д : Hm(Y,E) H~m(Y,E). Одним из основных результатов главы 1 является следующая теорема.
Теорема 1.2.6 (Разложение Ходжа). Найдутся линейные ограниченные операторы
П : Я-т(У, Е) -> Я(У), © : Я"т(У, Е) Ят(У, Е) П ?^(У) такие, что
1) П есть L2(Y, Е)-ортогональный проектор на (конечномерное) пространство 7i(Y);
2) AU = 0 и 6П = П© --= 0; о QAu = и -Ни для всех и G Hm(Y,E), AQw - w ~Uw для всех w в Я"т(У, Е). Данная теорема была получена в соавторстве с H.H. Тархановым и Б.-В. Шульце (см. [122]).
Как и в классической теории, оператор © обычно называют пара-метриксом Ходжа задачи Дирихле, или функцией Грина этой задачи, если H(Y) тривиально.
Отметим, что для случая, когда трещина Г отсутствует, теория Ходжа распространена на пространства распределений. Кроме того, с помощью ядра параметрикса в в данной главе строятся интегральные представления Грина и Пуассона в пространствах Соболева.
В главах 2, 3 и 4 содержатся основные результаты диссертации. В целом они посвящены вышеупомянутым граничным задачам для эллиптических комплексов.
Кроме того, в начале каждой из этих глав коротко излагаются общие результаты из функционального анализа, которые затем реализуются в применении к эллиптическим комплексам.
Так, например, в § 2.1 и § 3.1 коротко излагаются хорошо известные результаты, касающиеся применения спектральной теоремы к изучению операторных уравнений первого рода в гильбертовых пространствах (см., например, [13], [14], [32], [33], [42], [43], [91], [123], [135], [136] и многие др.), а в § 4.1 приводится довольно общая схема описания двойственных пространств с использованием воспроизводящих ядер и задачи Неймана.
Грубая формулировка задачи Коши для комплекса {А*} в некоторой относительно компактной области И из X с достаточно гладкой границей дИ и данными Коши на подмножестве Г С сШ, имеющем положительную (п — 1)-мерную меру Лебега, состоит в следующем.
Задача 0.0.1. Пусть / - заданная векторная функция в О, удовлетворяющая условию совместности Д-ц/ = 0 в И, иа (|о;| < т — 1) - заданные векторные функции на Г. Требуется найти решение и операторного уравнения А^и = / в И, чьи производные Иаи до порядка (т — 1) включительно имеют, в подходящем смысле, граничные значения (1)аи)(г на Г, удовлетворяющие равенству (£>аи)|г = иа (Н <т- 1).
В классе бесконечно дифференцируемых функций задача Коши для эллиптических комплексов изучалась в [60] (ср.также [88] для комплекса Дольбо); в частности там отмечалось, что разрешимость задачи эквивалентна исчезновению некоторого класса когомологий. Там же обсуждалась возможность сведения этой задачи Коши к дифференциально-граничным комплексам (ср. [21], [51], [56]).
Особенного внимания заслуживает случай, когда г = 0 (т.е., когда А{ является эллиптическим). Со времен Адамара этот вариант задачи Коши известен как классический пример некорректно поставленной задачи (см. [2, с. 39]). Однако, он естественно возникает^ приложениях. Например, задача Коши для уравнения Лапласа возникает при интерпретации данных геологоразведки (см., например, [41]), задача Коши для системы Коши-Римана возникает при изучении установившегося плоско-параллельного движения жидкости и в теории восстановления сигнала (см., например, [3]), а задача Коши для системы Ламе возникает в линейной теории упругости (см., например, [46]).
В различных постановках задачу Коши для оператора Лапласа изучали Иванов [26], Кондратьев и Ландис [30], Королюк [31], Лаврентьев [39]—[41], Мазья и Хавин [45], Мергелян [47], Ярмухамедов [87], Ньюман [114], и другие.
Для голоморфных функций одного комплексного переменного задача Коши рассматривалась в работах Крейна и Нудельмана [33], Фока и Куни [66], Карлемана [94], Патила [115], Штейнера [137], Дзина [145], и других математиков (см. также книгу Айзенберга [3]).
Задача Коши для скалярных эллиптических операторов второго порядка затрагивалась в работах Лаврентьева [40], Ландиса [44], Фурси-кова [67], Пуччи [116].
Задача Коши для переопределенной системы Коши-Римана изучалась в работах Айзенберга и Кытманова [9], И. Антиповой (Цих) [12], Знаменской [23], Карепова [28], Кытманова и И. Цих [36], Кытманова и Якименко [37], [38], Тарханова [59], Ходос [72], и др. (см. также книгу
Айзенберга [3]).
Задача Коши для общих эллиптических дифференциальных операторов исследовалась в работах Тарханова [58], [59], [61], Начиновича [110] и в книге Тарханова [141].
Если А - "квадратный" эллиптический оператор и либо область Б достаточно мала, либо коэффициенты А вещественно аналитические, то задача Коши легко сводится к случаю, когда / = 0 (по крайней мере, если / достаточно гладкая). В противном случае, для изучения задачи неизбежно приходится затрагивать вопросы ацикличности эллиптических комплексов линейных операторов.
С другой стороны, хорошо известно, что задача Коши для (формально) сопряженного комплекса {А?} в случае, когда Г = дВ тесно связана с описанием циклов комплекса в области В (см., например, [60]). В этой связи напомним, что даже вопрос о локальной ацикличности эллиптических комплексов с гладкими коэффициентами до сих пор остается открытым, и, более того, это одна из основных нерешенных проблем теории дифференциальных комплексов (см., например, [60], [89]). Однако, для (необязательно эллиптических) комплексов совместности с постоянными коэффициентами, лемма Пуанкаре, т.е., локальная ацикличность, всегда выполняется (см. [50], [105], [106]); она также верна и для эллиптических комплексов с вещественно аналитическими коэффициентами (см., например, [89]). Как показывает пример Леви (см. [104]) для не эллиптических комплексов с непостоянными коэффициентами С°°-лемма Пуанкаре, вообще говоря, не имеет место быть. Совсем недавно С°°-лемма Пуанкаре была доказана для эллиптических комплексов с гладкими коэффициентами в случае, когда размерность многообразия X равна двум (см. [102]).
Результаты, приведенные в главе 2, посвящены задаче Коши для локально разрешимых эллиптических систем (т.е., случаю, когда г — 0). Они опубликованы в [8], [75], [76], [84], [85], [127], [129], [130], [132], [133] и представляют собой попытку использовать для исследования задачи Коши метод построения регуляризующих операторов, интегралы Грина и спектральную теорему для компактных самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах (об этих методах см., например, [13], [42], [43]). Фактически, задача Коши сводится к задаче об аналитическом продолжении, а для решения последней здесь используются базисы со свойством двойной ортогональности (о них см. [32], [33], [43], [123]), идея применения которых восходит еще к Стефану Бергману. Отметим, что применительно к задаче Коши для "квадратных" систем этот метод был разработан в кандидатской диссертация автора.
Более точно, в терминах базисов с двойной ортогональностью получены более конструктивные, простые и удобные для проверки условия разрешимости некорректной задачи Коши для эллиптических систем в пространствах Соболева, чем известные ранее (ср. [59]). В основном эти условия состоят в сходимости ряда Фурье (относительно некоторого базиса со свойством двойной ортогональности) интеграла Грина, соответствующего данным Коши. Более того, получена конструктивная формула регуляризации (приближенного решения) задачи Коши для линейных эллиптических систем. Ранее было доказано существование таких регуляризаций (см. [58]), но возможность конструктивного подхода не выходила за рамки задачи Коши для системы Коши-Римана или систем, факторизующих оператор Лапласа (см. [3], [87]).
Интересно, что системы, которые являются (не обязательно ортогональными!) базисами в двух пространствах голоморфных функций одновременно, встречаются и в других областях комплексного анализа (см. например, обзор [144]).
Приведем точные формулировки основных теорем главы 2.
Обозначим через £>) множество слабых решений операторного уравнения Аи = 0 в Д а через Зр(А,И) - подмножество в Б(А,П), состоящее из решений конечного порядка роста. Кроме того, пусть п = будет система Дирихле на дВ, сопряженная к системе Дирихле Ь = относительно формулы Грина для оператора
А, Аь - касательный оператор на Г, индуцированный комплексом {Д}, а г(/) - касательная составляющая сечения / относительно комплекса {Д} (см., например, [60]). Следующее утверждение позволяет свести задачу Коши для локально разрешимых систем с инъективным символом к задаче Коши для систем "квадратных".
Теорема 2.2.17 Пусть комплекс {Д} является точным на уровне пучков в положительных степенях в некоторой окрестности В. Предположим, что операторы До и + Д обладают свойством единственности в малом на X. Если и Е 5^(Д0,1)), / Е ЗИЛ) + то Аои — Iе области В тогда и только тогда, когда
1) существуют область и С И с границей дш, содержащей непустое открытое подмножество в Г, и сечение у Е 5^(До>^) такие, что Аоу = / в ш;
2) А\Ци)) = п(/) на Г;
3) п(Аои) = п(/) на Г.
Для получения более конструктивных условий разрешимости задачи Коши нам придется уточнить ее формулировку. Предположим, что Г -открытое связное множество, т.е., подобласть в дВ. Такую ситуацию можно реализовать следующим образом. Имеется некоторая область О <Ш X, а Г - гладкая замкнутая гиперповерхность в О, разбивающая область на две связные компоненты: 0~ — В и 0+ = 0\В.
В формулировке следующей задачи участвуют пространства Соболева Яв^1/2(Г, Е^), определение которых может вызвать недоразумение. Мы делаем это так. Пусть Е^ векторные расслоения над некоторой окрестностью и гиперповерхности дВ. В пространстве Соболева Н8~Ь}~1!2{дВ, Е^)) (определенном стандартным образом) рассматривается подпространство Е, образованное всеми сечениями к, равными нулю в окрестности Г. Для в — ^ — 1/2 < 0 это означает, что < д, и >= 0 для всех д е Н~в+Ь
1/2(зд (яШ)*) с виррд С Г. Ясно, что Е замкнуто. Соответствующее фактор-пространство, наделенное фактор-топологией, обозначается через Зафиксируем целые неотрицательные числа г и 5, удовлетворяющие в < г + т и положим £>) = Я*(£>, Я) П Л).
Задача 2.3.1. Пусть даны сечения / е 5г(Ло + А^В), щ е < .7 < т — 1). Найти (если возможно) такое решение и € 5е(До, Б), что / в И; г(и) = ©™=~0Ч' т г.
Естественность такой формулировки задачи Коши также обосновывается в главе 2. Для нее доказана и теорема единственности в ситуации, когда оператор А обладает свойством единственности в малом на X (теорема 2.2.7).
В качестве левого фундаментального решения дифференциального оператора Ао возьмем ядро Кс(х,у) = А^Кф(х, у), где Ф - двустороннее фундаментальное решение лапласиана До на X.
Обозначим через щ € ЕЩ (0 < з < т - 1) какойнибудь представитель щ е Я3~ь-?1/2(Г, ЕЩ и пусть й = для х дВ положим т—1 р д(й)(х) = - V / < ЦКс(х, >у Ж, (7Ъ/)М = (ФА*хвЛ(х), где < >у= У3(у)щ(у) для сечения V расслоения Е* и сечения и расслоения Е, а хб -характеристическая функция области И в X. Обозначим также через (0(й) + 7Ъ/)+ сужение сечения (0{и) + 7Ь/) на 0+. По построению (<?(й) + 7Ъ/)+ £ 5(Д0,0+).
Теорема 2.3.3. В предположениях теоремы 2.2.17, если граница области D является достаточно гладкой, то задача 2.3.1 разрешима в том и только том случае, когда выполнено условие 1) теоремы 2.2.17, Ab(@Uj) = r(f) наТ и сечение = (Q(ü) + 7Ь/)+ продолжается из области 0+ на всю область О как решение из £^(До, О).
Далее для исследования задачи Коши используем базисы с двойной ортогональностью.
Теорема 2.1.8. Если Q <Ш О - открытое множество с регулярной границей, дополнение которого не имеет компактных связных компонент в О, то в пространстве Ss(До, О) найдется такой ортонормиро-ванный базис сужение которого на Г2 является ортогональным базисом в Sp(До, s £ р £ Z+.
Для элемента $ 6 Ei = ^(До, О) обозначим через с^З) (и = 1, 2,.) его коэффициенты Фурье относительно ортонормированной системы {Ьи} в Еь т.е., си($) = (УАЬп а для элемента £ € Е2 = SS(A0,Q) через (и = 1,2,.) - его коэффициенты Фурье относительно ортогональной системы {Ьи} в Е2, т.е., kv($) = ^ь )^ •
Теорема 2.3.5. В предположениях теоремы 2.2.17, если граница области D является достаточно гладкой, то задача 2.3.1 разрешима в том и только том случае, когда выполнено условие 1) теоремы 2.2.17, Ab(®Uj) = r(f) на Tu ! IM TDf + 0(«)) |2 < оо.
Уместно отметить, что для случая, когда / = 0, все сформулированные выше утверждения из главы 2 получены в соавторстве с H.H. Тархановым (см. [132]).
Введем в рассмотрение следующие ядра ÖN\ определенные для (х,у)еОхХ (х^у): N х, у) = Кс(х, у)-J2 Ь"(х) ® kv(Kc(., у)) (N = 1,2,.). v=\
Теорема 2.3.10 (Формула Карлемана). В предположениях теоремы 2.2.17, если граница области D является достаточно гладкой, то для всяких точки х £ И и сечения и Е для которого
Аи е НГ(Б,Р), справедлива формула:
Кроме того, в данной главе рассмотрены примеры задач Коши для оператора Лапласа, для системы Ламе и для операторов Дирака. Построены соответствующие базисы с двойной ортогональностью.
Глава 3 посвящена итерациям самосопряженных операторов (в частности, интегралов Грина) и их применениям в теории эллиптических комплексов. Результаты, приведенные в ней, опубликованы в
77], [81], [82], [83], [112], [ИЗ], [121], [122], [126], [128], [129], [131].
Сначала в этой главе доказывается сходимость в сильной операторной топологии пространства непрерывных линейных отображений на пространстве Соболева Нт(Б) (т - порядок оператора А) предела итераций интегралов Грина, построенных с помощью параметрикса Ходжа задачи Дирихле для лапласиана А*А на гладком компактном многообразии X I) Б с границей дХ и трещиной Г С дВ (при этом допускаются случаи, когда дХ = 0 или/и Г = 0). Использование этого результата и методов построения регуляризующего оператора (ср. [42], [43]) легко приводит к условиям разрешимости и формулам для соболевских решений задачи Коши в И с данными на Г для оператора А, если только решения этой задачи существуют.
В применении к эллиптическим комплексам одного порядка этот метод ведет к условиям разрешимости и формулам для соболевских решений задачи Коши для комплекса. При этом соответствующие интегралы Грина строятся с помощью параметрикса Ходжа задачи Дирихле для лапласиана Дг- на гладком компактном многообразии X с и(х) = — Игл
ЛГ^оо гп1 Щ >у йв 1 . У границей дХ и трещиной Г. Вышеупомянутые формулы представляют собой суммы ряда, слагаемые которого суть итерации псевдодифференциальных операторов (в частности, интегралов Грина), в то время как условия разрешимости задачи Коши эквивалентны сходимости ряда вместе с некоторыми тривиальными условиями (ортогональностью специальному "гармоническому" пространству).
Более точно, обозначим через #"*((£>, Г), Е{) замкнутое подпространство в Нт(0,Е), состоящее из сечений и, для которых В^и = О на Г для всех 0<^<т—1.С помощью операторов {Д} на этом пространстве вводится специальное скалярное произведение (*,•), определяющее топологию, эквивалентную стандартной. Для заданного замкнутого подпространства Е в #т((Д Г), Е^, будем писать 7г2 для ортогональной проекции из Ят((2),Г),Е^) на Е относительно /г^ (•,•). В следующем утверждении = вгД;Х£>> где ©г суть параметрикс Ходжа из теоремы 1.2.6 для лапласиана Дг- комплекса {А}.
Следствие 3.2.11. В сильной операторной топологии пространства £(#т(£), Е{)) мы имеем с л
А*) =
Определим пространство данных Коши на Г как фактор-пространство д ) • Если граница множества Г на дИ достаточно гладкая, то это фактор-пространство может быть отождествлено с пространством ©^1Ят~-/-1/'2(Г, Легко понять, что использование оператора Ходжа из теоремы 1.2.6 (примененной к лапласианам Д;) позволяет свести задачу Коши для комплекса {Д} к случаю, когда данные Коши на Г равны нулю. Поэтому мы рассмотрим следующую задачу Коши.
Задача 3.3.2 Для данного / Е Ь2(Ац.\, Б), найти (если это возможно) сечение и Е #Ш((Д Г), Е{) такое, что Ди = / в В.
Пусть и(д) - данные Коши для д относительно комплекса {Д*}, а 7*'+1(Д Г) = {д € + Л-+1, Я) : щ{д) = 0 на дИ \ Г}.
Теорема 3.3.4. Задача 3.3.2 разрешима тогда и только тогда, когда 1) / 1 ?{г'+1(А Г); 2) Д+1/ = 0 в В; 3) ряд / = Х^о — сходится в Ят(Д Е{). Более того, если эти условия выполнены, то / есть решение задачи 3.3.2.
В случае Г = 0 мы получаем условия разрешимости системы Д-(г > 0) в пространствах Соболева и формулы для таких решений. Для комплекса Дольбо соответствующие псевдодифференциальные операторы связаны с интегралами Мартинелли-Бохнера-Коппельмана. В этом частном случае при X = Сп (п>1),г = ОиГ = 0 похожие формулы были получены в работе [54].
Данный метод позволяет получить и условия локальной разрешимости задачи Коши (и, при Г = 0, локальной ацикличности) для эллиптических комплексов.
Подобным образом в главе 3 изучается разрешимость и регуляризация одного класса смешанных задач для лапласиана Д0- Более точно, рассматривается обобщенная задача Зарембы в области И с данными Дирихле на Г и данными Неймана (относительно формулы Грина для оператора Ло) на сШ \ Г. Как и задача Дирихле, эта задача обычно рассматривается в рамках анализа на многообразии с краем и ребрами коразмерности 1 в весовых пространствах Соболева ЯЙ,7(Х, Г) (см., например, [49], [86], [117], [119]). В диссертации речь идет об отыскании решений смешанной задачи из обычного пространства Соболева Ят(1)), где т - порядок оператора Ао, что соответствует очень специальному случаю Ят,т(£), Г). В отличие от задачи Дирихле, обобщенная задача Зарембы не является, вообще говоря, фредгольмовой в такой постановке, если Г ^ дБ, а ее разрешимость тесно связана с разрешимостью задачи Коши.
Случай Г = 0 соответствует Л-задаче Неймана (задаче Неймана для комплекса {Л;} в степени 0), а случай Г = DD - задаче Дирихле для лапласиана Д0 в области D. Кроме того, разрешимость А-задачи Неймана тесно связана с описанием когомологий комплекса {Ai} над соответствующими функциональными пространствами.
Уместно отметить, что для некоторых частных случаев все сформулированные выше утверждения из главы 3 получены в соавторстве (с М. Начиновичем [112] для Г = 0, г = 0 и операторов, удовлетворяющих так называемому условию единственности для задачи Коши в малом; с H.H. Тархановым и Б.-В. Шульце [121], [122] для Г ф 0 и i = 0).
В заключение этой главы рассмотрены примеры для операторов Дирака в случае, когда Г = 0.
В главе 4 рассмотрены вопросы описания сопряженных пространств для различных пространств решений эллиптических систем. Так, например, получено описание сильного сопряженного пространства для пространства S(A, D) решений системы Аи = 0 в области D С X, снабженного стандартной топологией Фреше-Шварца. Соответствующие результаты опубликованы в [78], [79], [ИЗ], [134].
В качестве мотивации данного исследования отметим ту роль, которую сыграла теорема Рисса об общем виде непрерывного линейного функционала на пространстве Гильберта в развитии теории уравнений в частых производных и, в частности, при решении различных краевых задач (см., например, [27]). Кроме того, любая удачная харак-теризация двойственного пространства S(A, D)' дает дополнительную информацию о решениях системы Аи = 0 (ряды Голубева, теоремы о разделении особенностей, и т.д, см. Хавин [68], Тарханов [141]).
Существует несколько классических представлений сопряженного пространства для 5(А, D), как, например, двойственность Гротенди-ка или двойственность Пуанкаре (см., например, [140]). Также интересны различные обобщения классической двойственности Гротендика для голоморфных функций многих комплексных переменных (см. например, [107], [25]). В данной главе рассмотрена некоторая общая схема для описания двойственности в пространствах решений эллиптических систем, включающая в себя, например, двойственность Гротендика для 5(A,D). Одним из преимуществ этой схемы является то, что она позволяет связать теоремы двойственности с такими основными задачами теории дифференциальных уравнений, как существование и регулярность решений.
Опишем коротко содержание главы 4. Предположим, что коэффициенты оператора А и граница области D вещественно аналитические, а сама область D обладает некоторыми свойствами выпуклости относительно А. Тогда, используя воспроизводящие ядра Бергмана, соответствующие различным скалярным произведениям на подпространствах в S(A,D), пространство S{A,D)' представлено как пространство S{A, D) решений системы Аи = 0 в окрестности замыкания области D, снабженное стандартной топологией индуктивного предела относительно некоторой убывающей последовательности окрестностей D.
Следствие 4.3.14. Для всяких решений и G S(A, D) и v £ S(A, D) существует предел hn(u,v)= lim I v*(x)u(x)dx.
JDs
Спаривание Jiq(-,-) раздельно непрерывно на S(A,D) х S(A,D), и ho(u, v) = (it, v)tf(D,E) для всех и G 5°(А, D) и v Е S(A, D).
Пусть 7Го обозначает проектора Бергмана, т.е., ортогональный проектор из L2(D,E) на S°(A> последствие 4.3.17. Для того, чтобы отображение Зо : S(A,D) —> S(A,D)', индуцированное спариванием было топологическим изоморфизмом между пространствами S(A, D) и S(A, D)' необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия:
1) 5(Л, D) плотно S(A,D);
2) 7го отображает 5(Д, D) непрерывно в 5(Л, D).
Теорема 4.3.18. Пусть А суть "квадратный" эллиптический оператор. Тогда отображение Зо, индуцированное спариванием Jiq(., .), есть топологический изоморфизм между пространствами S{A, D) и S(A, D)'.
В данной главе указаны и другие классы операторов и областей, для которых условия следствия 4.3.17 выполнены.
Для пространств голоморфных функций в односвязных областях в С и (р, д)-круговых областях в С2 похожие результаты были получены Айзенбергом и Гиндикиным [5] (ср. также работы Айзенберга [4] для (р, д)-круговых областей, Айзенберга и Митягина [7] для кратно-круговых областей; Цорн [146] получил похожие результаты для пространств голоморфных функций в строго псевдовыпуклых областях в Сп; Стаут [138] получил похожие результаты для пространств гармонических и голоморфных функций, используя скалярное произведение в пространствах Харди.
В диссертации рассмотрены и другие варианты двойственности. В частности, двойственность, индуцированная пространством Харди, получена совместно с H.H. Тархановым (см. [134]), а двойственность, индуцированная спариванием из главы 3, получена совместно с H.H. Тархановым и М. Начиновичем (см. [113]).
Также с помощью этого метода дано описание сопряженного пространства к подпространству Sp{A,D) пространства D), состоящему из решений конечного порядка роста вблизи dD.
Именно, доказывается, что пространство, сопряженное к Sp(A,D), может быть представлено как S(A,D) П C°°(D), при условии, что коэффициенты оператора А и граница области D являются бесконечно гладкими, а сама область D обладает некоторыми свойствами выпуклости относительно А.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:
- Красноярском общегородском семинаре по многомерному комплексному анализу (КрасГУ) под руководством профессоров JI.A. Айзенберга и А.П. Южакова (1991 - 1994 гг.) и профессоров А.К. Циха и A.M. Кытманова (1995 - 2004 гг.);
- семинарах по геометрии и анализу в Высшей Нормальной Школе г. Пиза (Италия) под руководством профессора Е. Везентини (1993-1995 гг.);
- семинаре по геометрии и анализу в Пизанском университете под руководством профессора М. Начиновича (Пиза, Италия, 1995 г.);
- семинарах по геометрии и анализу во Флорентийском университете под руководством профессора Г. Джентиле (Флоренция, Италия, 1995 г.);
- семинарах по анализу на многообразиях с особенностями в Потсдамском университете, под руководством профессора Б.-В. Шульце (Потсдам, Германия, 1997 - 2000 гг., 2003 г.);
- международных конференциях "Математические модели и методы их исследования" (КрасГУ, Красноярск, 1997, 1999 и 2001 гг.).
- международных конференциях по дифференциальным уравнениям и анализу на многообразиях с особенностями (Потсдамский университет, Потсдам, Германия, 1997-2001 гг.);
- международных конференциях "Симметрия в естественных науках" (Интитут вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, 1998 и 2000 гг.).
- международной конференции по комплексному анализу (Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, Москва, 2001 г.);
- семинаре по комплексному анализу под руководством проф. Дж. Зампиери (Падуанский университет, Падуя, Италия, 2001 г.);
- семинарах по геометрии и анализу под руководством академика РАН Ю.Г. Решетняка (Институт математики им. C.JI. Соболева СО РАН, Новосибирск, 2001-2002 гг.);
- семинарах по дифференциальным уравнениям в частных производных под руководством проф. Ю.Я. Белова (КрасГУ, 2002 г.);
- международной конференции "Некорректные и обратные задачи" (Институт Математики СО РАН, Новосибирск, 2002 г.);
- международной конференции по комплексному анализу (КрасГУ, Красноярск, 2002 г.);
- Сибирской школе по геометрии и анализу (Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, 2002 г.);
- семинаре "Математические проблемы механики" под руководством академика РАН В.Н. Монахова (Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 2002 г., 2004 г.);
- семинаре "Математическое моделирование в механике" под руководством проф. В.К. Андреева (Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, 2002 г.);
- семинарах по геометрии и анализу под руководством проф. А. Бе-гера (Свободный университет, Берлин, 2003 г.);
- семинарах по геометрии и анализу под руководством проф. С.П. Царева (Красноярский государственный педагогический университет, Красноярск, 2004 г.);
- семинаре "Дифференциальные уравнения математической физики" под руководством проф. Л.А. Калякина и проф. В.Ю. Новокшенова (ИМ с ВЦ УНЦ РАН, Уфа, 2004 г.).
Кроме того, уместно отметить, что основные результаты диссертации получены при поддержке следующих грантов:
- гранты РФФИ (96-01-00080, 99-01-00790 и 02-01-00167);
- гранты РФФИ поддержки ведущих научных школ (96-15-9626 и 00-15-96140);
- грант научных школ НШ-1212.2003.1;
- гранты Красноярского краевого фонда науки (6Е0103, 8Р0101, 10Р032М, ШОЗШ).
1. Агмон С , ДУГЛИС А., НИРЕНБЕРГ Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. - М.: Изд-во ин. лит. - 1962. - 205 с.
2. АДАМАР Ж . Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. - М.: Наука. - 1997. - 352 с.
3. АЙЗЕНБЕРГ Л.А, Формулы Карлемана в комплексном анализе. Первые приложения. - Новосибирск: Наука. - 1990. - 248 с.
4. АЙЗЕНБЕРГ Л,А. Пространства функций, аналитических в {p,q)- круговых областях / / Доклады АН СССР - 1961. - Т. 136. - 521-524.
5. АЙЗЕНБЕРГ Л.А., Гиндикин Г. Об общем виде линейного непрерывного функционала на пространствах голоморфных функций / / Ученые зап. Моск. обл. пед. инст. - 1964. - Т. 137. - 7-15.
6. АЙЗЕНБЕРГ Л.А., ДАУТОВ Ш . А . Дифференциальные формы, ортогональные голоморфным функциям или формам, и их свойства. - Новосибирск: Наука, 1975. - 114 с.
7. АЙЗЕНБЕРГ Л.А., Митягин Б.С. Пространства функций, аналитических в кратно-круговых областях / / Сиб. Мат. Журнал -1960. - Т.1, N. 5. - 153-170.
8. АЙЗЕНБЕРГ Л.А., КАРЕПОВ С В . , ШЛАПУНОВ А.А. О свойстве единственности и существовании предела в формулах Карлемана / / Труды МИРАН. - 1994. - Т. 203. - 3-12.
9. ЗНАМЕНСКАЯ Л . Н . Критерий голоморфной продолжимости функций класса LP, заданных на части границы Шилова круговых сильно звездных областей / / Сиб. Мат. журнал. - 1990. - Т. 31, N 5. - 175-177.
10. ЗНАМЕНСКИЙ СВ . , Геометрический критерий строгой линейной выпуклости / / Функ. Ан. - 1979. - N. 13. - 224-225.
11. ЗНАМЕНСКИЙ СВ. , Строгая линейная выпуклость. Двойственность для пространств голоморфных функций / / Сиб. Мат. журнал. - 1985. - N. 3. - 31-43.
12. ИВАНОВ В.К. Обратная задача потенциала для тела, близкого к данному / / Известия АН СССР. Сер. мат. - 1956. - Т. 20, N. 6.
13. ИосидА К. Функциональный Анализ. - М.: Мир. - 1967. - 624 с.
14. КАРЕПОВ О.В. О голоморфном продолжении функций с подмножеств границы Шилова круговых сильно звездных областей / / Матем. заметки. - 1993. - Т.184, N.8. - 3-16.
15. КАРЕПОВ О.В., ТАРХАНОВ Н.Н. Метод Фишера-Рисса в задаче Коши для систем с инъективным символом / / Докл. РАН. - 1992. - Т. 326, N 5. - 776-780.
16. КОНДРАТЬЕВ В.А., ЛАНДИС Е.М. Качественная теория линейных дифференциальных уравнений второго порядка. / / Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. -М.: ВИНИТИ АН СССР. - 1988. - Т. 32. - 99 -215 с.
17. Королюк Т.Н. О задаче Коши для уравнения Лапласа / / Известия ВУЗов. Математика. - 1973. - Т.З. - 53-55.
18. КРАСИЧКОВ И . Ф . Системы функций со свойством двойной ортогональности / / Мат. заметки. - 1968. - Т. 4, N. 5. - 551-556.
19. КРЕЙН М.Г., НУДЕЛЬМАН П.Я. О некоторых новых задачах для функций класса Харди и континуальных семействах функций с двойной ортогональностью / / Докл. АН СССР. - 1973. - Т. 209, N 3. - 537-540.
21. КЫТМАНОВ A . M . Интеграл Бохнера-Мартинелли и его приложения. - Новосибирск: Наука. - 1992. - 240 с.
22. КЫТМАНОВ A.M., Цих И.А. О голоморфном продолжении CR- гиперфункций в фиксированную область. / / Сиб. матем. журн. -1997. - Т. 38, N. 6. - 1319-1334.
23. КЫТМАНОВ A.M., ЯКИМЕНКО М . Ш . О голоморфном продолжении гиперфункций / / Сиб. матем. журн. - 1993. - Т. 34, №6. - 113-122.
24. КЫТМАНОВ A.M., ЯКИМЕНКО М.Ш. Об одном критерии существования голоморфного продолжения функций в С^ / / Известия вузов. Математика. - 1994. - №8. - 39-45.
25. ЛАВРЕНТЬЕВ М.М. О задаче Коши для уравнения Лапласа. / / Известия АН СССР. Сер. Мат. - 1956. N 20. - с. 819-842.
26. ЛАВРЕНТЬЕВ М.М. О задаче Коши для линейных эллиптических уравнений второго порядка / / Докл. АН СССР. - 1957. - V. 112, N. 2. - 195-197.
27. ЛАВРЕНТЬЕВ М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. - Новосибирск: СО АН СССР. - 1962. - 92 с.
28. ЛАВРЕНТЬЕВ М.М., РОМАНОВ В.Г., Н. ШИШАТСКИЙ С П . Некорректные задачи математической физики и анализа. - М.: Наука, 1980. - 286с.
29. ЛАВРЕНТЬЕВ М.М., САВЕЛЬЕВ Л.Я. Линейные операторы и некорректные задачи. - М.: Наука. - 1991. - 322 с.
30. ЛАНДИС Е.М. О некоторых свойствах решений эллиптических уравнений / / Докл. АН СССР. - 1956. - V. 107, N. 5. - 640-643.
31. МАЗЬЯ В.Г . , ХАВИН В.П. О решениях задачи Коши для уравнения Лапласа (единственность, нормальность, аппроксимация) / / Труды Моск. мат. об-ва. - 1974. - Т. 307. - 61-114.
32. МАХМУДОВ О.И. Задача Коши для системы уравнений теории упругости в пространстве / / Известия ВУЗов. Математика. - 1994. - Т. 380, N 1. - 54-61.
33. МЕРГЕЛЯН Н. Гармоническая аппроксимация и приближенное решение задачи Коши для уравнения Лапласа / / Успехи мат. наук. - 1956. - Т.П, N. 5. - 3-26.
34. МУСХЕЛИШВИЛИ Н . И . Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Изв. АН СССР - 1954. - 647 с.
35. НАЗАРОВ А., ПЛАМЕНЕВСКИЙ Б.А. Эллиптические краевые задачи в областях с кусочно гладкой границей. - М: Наука. - 1991.
36. ПАЛАМОДОВ В.П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. - М.: Наука. - 1967. - 488 с.
37. РЕМПЕЛЬ С , ШУЛЬЦЕ Б.-В. Теория индекса эллиптических краевых задач. - М.: Мир. - 1986. - 589 с.
38. РойТБЕРГ Я.А. О значениях на границе области обобщенных решений эллиптических уравнений / / Мат. сб. - 1971. - Т. 86 (128),N. 2 . - С . 248-267.
39. РОМАНОВ А.В. Спектральный анализ интеграла Мартинелли- Бохнера для шара в С" и его приложения / / Функцион. анализ и его приложения. - 1978. Т. 12, N 3. - 86-87.
40. РОМАНОВ А.В. Сходимость итераций оператора Мартинелли- Бохнера и уравнение Коши-Римана / / Докл. АН СССР - 1978. -Т. 242, N. 4. - 780-783.
41. РУДИН У. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1975. - 445 с.
42. САМБОРСКИЙ Н. Коэрцитивные граничные задачи для переопределенных эллиптических систем (эллиптические задачи) / / Укр. мат. журн. - 1984. - Т. 36, N. 3. - 340-346.
43. СОБОЛЕВ Л. Введение в теорию кубатурных формул. - Москва: Наука. - 1974. - 808 с.
44. ХЕНКИН Г.М. Метод интегральных представлений в комплексном анализе / / Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. - М:. ВИНИТИ АН СССР. - 1985. - Т. 7. - 23-124.
45. ХЕНКИН Г.М, ЧИРКА Е.М. Граничные свойства голоморфных функций нескольких комплексных переменных / / Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. - М:. ВИНИТИ АН СССР. - 1975. - Т. 4. - 13-142.
46. ХЕРМАНДЕР Л. Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных: В 4 т. - Пер. с англ. - М.: Мир. - 1986.
47. Ходос О.В. Об условиях голоморфного продолжения гладких функций в фиксированную область / / Известия ВУЗов. Математика. - 1999. - N.8 (445). - 37-40.
48. ЧИРКА Е . М . Аналитическое представления CR-функций / / Мат. сб. - 1975. - Т. 98, N. 4. - 591-623.
49. ШАБАТ Б . В . Введение в комплексный анализ. Часть П. - М.: Наука. - 1985. - 464 с.
50. ШлАПУНОВ А.А. О задаче Коши для уравнения Лапласа / / Сиб. матем. журнал. - 1992. - Т. 33, N 3. - 205-215.
51. ШЛАПУНОВ А.А. О задаче Коши в классах Харди для эллиптических систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных / / Ред. Сиб. мат. журн. - Сиб. отд-ние РАН. Новосибирск. - 1998. - Деп. ВИНИТИ. 20.04.98, N 1177-В98. - 28 с.
52. ШлАПУНОВ А.А. Об одном условии разрешимости систем с инъ- ективным символом в терминах итераций потенциалов двойного слоя / / Сиб. матем. журнал. - 2001. - Т. 42, N 4. - 952-963.
53. ШлАПУНОВ А.А. О двойственности в пространствах решений эллиптических систем / / Сиб. матем. журнал. - 2002. - Т. 43, N 4. - 948-958.
54. ШЛАПУНОВ А.А. О двойственности в пространствах полигармонических функций / / Известия ВУЗов. Математика. - 2002. - N. 8 (483). - 79-81.
55. ШЛАПУНОВ А.А. Абстрактная теорема о двойственности / / Труды по геометрии и анализу. - Новосибирск: Институт математики СО РАН. - 2003. - 417-428.
56. ШлАПУНОВ А.А. О задаче Коши для некоторых эллиптических комплексов с постоянными коэффициентами / / Вестник КрасГУ. - Красноярск: КрасГУ. - 2003. - Сер. Физ.-Мат. науки. Вып. 1. -С. 62-72.
57. ШЛАПУНОВ А.А. Регуляризация задачи Коши для эллиптических комплексов / / Вестник КрасГУ. - Красноярск: КрасГУ. - 2004. -Сер. Физ.-Мат. науки, Вып. 1. - 163-170.
58. ШлАПУНОВ А.А. О некоторых условиях ацикличности эллиптических комплексов / / Известия ВУЗов. Математика. - 2004 (в печати).
59. ШлАПУНОВ А.А., ТАРХАНОВ Н . Н . О задаче Коши для голоморфных функций класса Лебега LP' в области / / Сиб. матем. журн. -1992. - Т. 33, N. 5. - 914-922.
60. ШлАПУНОВ А.А., ТАРХАНОВ Н.Н. Базисы с двойной ортогональностью в задаче Коши для систем с инъективным символом / / Докл. РАН - 1992 - Т. 326, N. 1. - 45-49.
61. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. - М.: Наука. - 1973. - 232 с.
62. ЯРМУХАМБДОВ Ш . О задаче Коши для уравнения Лапласа / / Докл. АН СССР. - 1972. - Т. 235, N 21. - 281-283.
63. ARONSZAJN N. Theory of reproducing kernels / / Trans. Amer. Math. Soc. - 1950- V. QS. - P. 337-404.
64. BERGMAN S. The kernel function and conformal mapping: Second (revised) edition. (Mathematical Surveys, V). - AMS. - 1970.
65. BOAS H.P. A geometric characterization of the ball and the Bochner-MartinelH kernel / / Math. Ann. - 1980 - V. 248, N. 3. -P. 275-278.
66. BUNG ART L. Boundary kernel functions for domains on complex manifolds / / Pacif. J. Math. - 1964. - V. 14, N. 4. - P. 1151-1164.
67. CARLEMAN T . Les fonctions quasianalytiques. - Paris: Gauthier- Villars. - 1926.
68. BARRET D. , FORNiESS J.E. Uniform approximation of holomorphic functions on bounded domains in C^// Math. Zeit. - 1986. - V. 191. - P. 61-72.
70. HENKIN G.M., LEITERER J. Theory of functions on complex manifolds. - Berlin: Akademie-Verlag. - 1984.
71. HORMANDER L. L^-estimates and existence theorems for the д operator / / Acta Math. - 1965. - V.113, N. 1-2. - P. 89-152.
72. KERZMAN N. Holder and L^-estimates for solutions oidu = f // Comm. Pure and Appl. Math. - 1971. - V. 24, N. 3. - P.301-379.
73. KOHN J.J. Subellipticity of the 5-Neumann problem on pseudo- convex domains: sufficient conditions / / Acta Math. - 1979. - V.142, N.1-2. - P.79-122.
74. KOPPELMAN W., PiNCUS J.D. Spectral representations for a finite Hilbert transformation / / Math. Z. - 1959. - V. 71, N. 4. - P. 399-407.
75. KUNio KAKIE. Existence of smooth solutions of overdetermined elliptic differential equations in two independent variables. / / Com-mentarii Mathematici Universitatis Sancti Pauli. - 1999. - V. 48, N. 2. - С 181-209.
76. KYTMANOV A.M. The Martinelli-Bochner integral and its appHca- tions. - Berlin: Birkhauser Verlag. - 1995. - 305 p.
77. LEWY H . An example of a smooth linear differential equation without solutions / / Ann. Math. - 1957. - V. 66, N. 2. - 155 -158 p.
78. MALGRANGE B . Systemes differentieles a coefficients constans. / / Sem. Bourbaki (1962-1963). - V.246. - 1964.
79. MALGRANGE B . Sur les systemes differentieles a coefficients constans. / / Paris: Colloq. Internat. C.N.R.S. - 1962. - P. 113-122.
80. MARTINEAU A., Sur les fonctionelles analytiques et le transformation de Fourier-Borel / / J. Anal. Math. - 1963. - V. 9. - P. 1-164.
81. MORIMOTO М. An Introduction to Sato's Hyperfunctions. - Providence, Rhode Island: AMS. - 1993.
82. MORREY C D . , NiRENBERG L. On the analyticity of the solutions of linear elliptic systems of partial differential equations / / Comm. Pure and Appl. Math.. - 1957. - V.IO. -P. 271-290.
83. NACINOVICH M . , SHLAPUNOV A.A. On iterations of the Green integrals and their applications to elliptic differential complexes / / Math. Nachr. - 1996. - V.180. - P. 243-286.
85. NEWMAN D.J. Numerical method for solution of an elliptic Cauchy problem / / J. Math, and Phys. - 1960. - V. 5, N. 1. - P. 72-75.
86. PATIL D.I. Representation of ЯР-functions / / Bull. Amer. Math. Soc. - 1972. - V. 78, N. 4. - P. 617-620.
87. Pucci C. Discussione del problema di Cauchy pur le equazioni di tipo ellittico / / Ann. Mat. Рига ed Appl. - 1958. - V. 46. - P. 131-153.
88. RABINOVICH V.S., SCHULZE B.-W., TARKHANOV N.N. Boundary Value Problems in Cuspidal Wedges / / Rocky Mount. J. - 2003. -V. 3. - 66 pp.
89. RoiTBERG YA.A . Elliptic boundary value problems in generalized functions. - Dordrecht NL: Kluwer Academic Publishers. - 2000.
90. SCHULZE B.-W. Crack problems in the edge pseudo-differential calculus / / Applic. Analysis. - 1992. - V.45. - P. 333-360.
91. SCHULZE B.-W. Boundary Value Problems and Singular Pseudo- Differential Operators. - J. Wiley, Chichester. - 1998.
92. ScHULZE B.-W., SHLAPUNOV A.A., TARKHANOV N.N. Regulari- sation of mixed boundary problems / / Mathematical Physics Studies. - Dordrecht, NL: Kluwer Academic Publishers. - 2003. - V. 24. - P. 121-147.
93. ScHULZE B.-W., SHLAPUNOV A.A., TARKHANOV N.N. Green integrals on manifolds with cracks / / Annals of Global Analysis and Geometry. - 2003. - V. 24. - P. 131 -160.
95. SCHECHTER M . , Negative norms and boundary problems / / Ann. Math. - 1960. V. 72, N. 3. - P. 581-593.
96. SHIMAKURA N. Partial differential operators of eUiptic type. / / Providence, Rhode Island: AMS. - 1992.
97. SHLAPUNOV A.A. On iterations of Green type integrals for matrix factorizations of the Laplace operator / / Rend. Mat. Ace. Line. -1994. - S.9, V.5, N. 2. - P. 103-116.
98. SHLAPUNOV A.A. On the Cauchy problem for the Lame system / / Zeitschrift Angew. Math, und Mech. - 1996. - V. 76, N. 2. - P. 215-221.
99. SHLAPUNOV A.A. Spectral decomposition of Green's integrals and existence of Ж^'^-solutions of matrix factorizations of the Laplace operator in a ball / / Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. - 1996. - V. 96. - P. 237-256.
100. SHLAPUNOV A.A. Green's integrals and their applications to elliptic systems. - Tesi di perfezionamento (ed. E. Vesentini), Pisa, Scuola Normale Superiore. - 1996. - 162 c.
101. SHLAPUNOV A.A. On the Cauchy problem for some elliptic systems in a spherical shell in R" / / Zeitschrift Angew. Math, und Mech. -1997. - V. 77, N. 11. - P. 849-859.
102. SHLAPUNOV A.A. Iterations of self-adjoint operators and their applications to elliptic systems / / Math. Nachrichten. - 2000. - N. 218. - P. 165-174.
103. SHLAPUNOV A.A., TARKHANOV N.N. Bases with double orthogonality in the Cauchy problem for systems with injective symbols / / Proc. London Math. Soc. - 1995. - V. 71, N. 3. - P. 1-52.
104. SHLAPUNOV A.A., TARKHANOV N.N. A stability set in the Cauchy problem for elliptic systems / / Operator Theory : Advances and Applications. - Basel: Birkhauser. - 1995. - V. 78. - P. 353-355.
105. SHLAPUNOV A.A., TARKHANOV N.N. Duality by reproducing kernels. / / International Jour, of Math, and Math. Sc. - 2003. -V. 2003, N. 6. - P. 327-395.
107. SLEPIAN D . Prolate spheroidal wave functions, Fourier analysis and uncertainty. IV. Extension to many dimensions; generalized prolate spheroidal functions / / Bell. Syst. Techn. J. - 1964. - V. 43, N. 6. -P. 3009-3057.
108. STEINER A . Abschnitte von Randfunktionen beschrankter analyti- scher Funktionen / / Topics in Analysis - Proceedings 1970. Editors: O.K. Letho, I.S.Louhivaara and R.H. Nevanlinna. Lect. Notes Math. - 1974. - V. 419. - P. 342-351.
110. STRAUBE E.J. Harmonic and analytic functions admitting a distribution boundary value / / Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, CI. Sci. -1984. - V. 11, N. 4. - P. 559-591.
111. TARKHANOV N.N. Complexes of Differential Operators. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. - 1995. - 396 pp.
112. TARKHANOV N.N. The Cauchy Problem for Solutions of Elliptic Equations. - Berlin: Akademie-Verlag. - 1995. - 478 pp.
113. TARKHANOV N.N. Analysis of Solutions of Elliptic Equations. - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. - 1997. - 480 pp.
114. TRIEBEL H . Interpolation Theory, Function spaces. Differential operators. - Berlin: VEB Wiss. Verlag. - 1978.
115. ZAHARYUTA V. Spaces of analytic functions and complex potential theory / / Linear Topological Spaces and Complex Analysis. - 1994. - V. 1. - P. 74-146.
116. ZiN G. Esistenza e rappresentazione di funzioni analitiche, le quali, su una curva di Jordan, si riducono a una funzione assegnata / / Ann. Mat. Рига ed Appl. - 1953 - V.34. - P. 365-405.
117. ZORN P. M. Analytic Functionals and Bergman spaces / / Ann, Scuola Norm. Sup. Pisa. - 1982. - V. IX. - P. 365-404.
