Некоторые экстремальные свойства аналитических в круге функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рушшса

Пиров Хайдаржон Хокимжоиович

НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

ДУШ АНБЕ-2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа Хорогского государственного университета имени М.Назариюева

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: член - корр. АН РТ, доктор

физ.-мат. наук ШАБОЗОВ Мирганд Шабозович

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: академик АН РТ, доктор

физ.-мат. наук, профессор БОЙМАТОВ Камолиддин Хамроевич

доктор физ.-мат. наук,сис ДЖАНГИБЕКОВГулходжа

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Таджикский государственный

педагогический университет им. К. Ш. Джураева

яр ^¿г, у,

Защита состоится "_Л * с - 2004 г. в '' часов на

заседании диссертационного совета К.017.007.01 при Институте математики АН РТ по адресу: 734063, г. Душанбе, ул.Айни 299/1

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики АН РТ

Автореферат разослан 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физ.-мат. наук, снс Ш^^цХ1^ Мамонов М.З.

2004-4 12089

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Среди наиболее важных задач теории приближения особое место занимают экстремальные задачи, связанные с наилучшим приближением аналитических в круге функций комплексными полиномами. К настоящему времени аппроксимационнме и структурные свойства аналитических в круге функций хорошо изучены. В то же время для , аналитических функций многие экстремальные задачи до сих нор остаются нерешенными. К их числу относится задача о точном вычислении значений поперечников классов аналитических функций в наиболее известных функциональных пространствах.

В 1936 г. А.Н.Колмогоров дал определение поперечника множеств в линейном нормированном пространстве и предложил рассматривать в качестве аппарата приближения всевозможные линейные мшлчюбразин фиксированной размерности. Получаемые при этом величины называются поперечниками но Колмогорову.

Диссертационная работа посвящена вычислению колмогоровских поперечников классов аналитических функций, принадлежащих пространству Харди, определяемых модулями непрерывности высших порядков. Отметим, что вопросы, связанные с точным вычислением поперечников классов функций, в определение которых существенную роль играют модули непрерывности или модули гладкости, ранее рассматривались в работах В.М.Тихомирова, Л.В.Тайкова, Н.Айнуллоева, С.Б.Вакарчука,

к/

М.Ш.Шабозова. Результаты, полученные в диссертации, дополняют и продолжают исследования указанных авторов в этом направлении.

Цель работы. 1) В пространстве Харди Нр, 1 < р < 2, получить

точные неравенства, связывающие наилучшие приближения аналитических

о

функций полиномами с интегралами, содержащими модули непрерывности высших порядков граничных значений прои зводных г - го порядка.

2) Вычислить точные значения поперечников но Колмогорову классов

Рос НАЦИОНАЛЬНА« Г И5ЛИОТЕКА С. Петербург ШЧРК

аналитических функций, определяемые модулями непрерывности высших порядков граничных значений производных.

Метод исследования. В работе используется разработанный В.М.Тихомировым метод оценки снизу поперечников компактов в нормированных щюегранствах.

Научная новизна исследований.

- Найдены новые точные неравенства между наилучшими приближениями аналитических в единичном круге функций полиномами и модулями непрерывности высших порядков производных в пространстве Хнрди Нр, 1 < р < 2;

- найдены т очные константы в неравенствах типа Джексона для классов аналитических функций принадлежащих Нр1 1 < р < 2;

- вычислены точные значения поперечников по Колмогорову некоторых классов аналитических функций определяемых модулями непрерывности высших порядков в пространстве Иг.

Практическая ценность. Все результаты являются новыми. Они имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Результаты первой главы могут быть использованы при решении экстремальных задач теории приближения аналитических функций в пространствах Бергмана, Гварадзе и др., а результаты второй главы могут быть использованы при подсчете е -энтропии компактных классов аналитических в единичном круге функций.

Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались на семинарах по теории приближения функций в ХоГУ им.М Назаршоева (Хорог, 1998 - 2003 гг.); на семинаре по теории функций в ТГНУ (Душанбе, 1998 - 2000 гг.): на научно-теоретической конференции посвященной 10-летню ХоГУ иМ.М.Назаршоева (Хорог, 26-28 октября 2002 г.); на междунар конференции но дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами (Душанбе;. 25-29 октября 2003 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации onvr> и кочаны к работах ¡1 - 5j, список которых при веден а конце автореферата

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 74 ораннцах машинописного текста и состоит из введения, двух глав и списка цитирован ной литературы из 40 наименований.

Каждая из глав состоит из четырех параграфов. Система нумерации параграфов сквозная, каждый из них имеет двойную нумерацию, и которой первый номер совпадает с номером главы, а и горой указывает номер параграфа. Внутри параграфа используется тройная нумерация, первая указывает главу, вторая параграф, а третья порядковый номер леммы, теоремы или формулы в данном параграфе.

Содержание диссертации.

Во введении дается краткий обзор работ но рассматриваемой проблеме и краткая характеристика диссертации с указанием основных результатов.

Первая глава диссертации состоит из четырех параграфом и посвящена нахождению точных значений наилучших приближений аналитических п единичном круге функций комлексными молиномами в пространстве Хярди Нр, 1 < р < 2. В первом параграфе приведены необходимые определения и обозначения, используемые в дальнейшем, а в остальных трех параграфах излагаются результаты автора. Приведем содержание этой главы.

Говорят, что аналитическая в круге |г| < 1 функция

/(*) = £ ckzk, z = peil, 0<р<1 о

принадлежит пространству Харди Н,„ 1 < р < оо, если

( 1 2* \1/P / 1 \1/р

где F(f) - lim f(peü) - граничное значение /(г)

Через F«(i) (г = 0,1,2,...; F^(t) = F{t)) и F^(l) (г = 0,1,2,..; F^(t) — F(t)j обозначим, соответственно, граничные значении производных fM(g) = <ff/dzr и дтЦЫт = drf{peit)/dtr. Далее, полагаем

н; = {/(г) е Щ : |/W| < оо}, (г = 0,1,2,...; 1 < р < оо).

Если /(г) € Яр, 1 < р < оо, имеет граничные значения F(t), то их гладкость характеризуем модулем непрерывности m - го порядка

Wr„(F;ft)*, = sup{||Am(F; .,t)| : |t| < ft},

где Am(F;v,i) = £ (-l)'(7)F(u + ¿i) - разность m - го порядка F{t). Величину

ВД)я, := E(f,Vn-i)h, - inf{|/ - p»-,| : €

назовем наилучшее приближение функции /(г) множеством полиномов .

степени не более п-1: V„~i = (p„_i(i) : pn-i{z) = X! а*2\ } в пространстве

1 к=о '

tip, 1 < р < оо. В принятых обозначениях справедлива

Теорема 1.2.1. Пусть для аналитической внутри единичного круга'

А

функции Дг) е НТр, (г = 0,1,2,...; 1 < р < 2) ее производные f(r](z) е Н2 имеют непрерывные граничные значения F^r\t) ф const. Тогда

шр-Mk-

/ен; ' »

й* ( * V

'U"ii(rlT)Mn-rj)H -smtdt]

= ----;--г—.-гт, Г < П (1.2.1)

2"» п - (п - 1)...(п-г + 1) 1 I к '

Верхняя грань в (1.2.1) достигается дл* /о (-г) = г" € Отметим, что при т = 1 теорема 1.2.1 доказана С Б Вакарчуком. В общем случае теорема ].2 1 есть обобщение сдного результата В В Шалаева

о наилучшем приближении периодических дифференцируемых функций принадлежащих на случай аналитических функций, нрннадлежлщих пространству Нр, 1 < р < 2.

В этом же параграфе доказана следующая

Теорема 1.2.2. Пусть выполнены все условия теоремы. 1.2.1. Тогда дли любых натуральных т, п и г (п > г) справедливо равенство

sup /ен;

1/2

(1.2.2)

Кт 1

1<Р<2,

■где

v/2 ' п-{п- 1)-... -(п-г + 1)'

Í И2] I Г,/2

I/ _ ) /-чт п _*__/~ггп-2я I

Лт — Í 02r„ - ¿ 2- 452 _ Г )

а [у] означает целую часть числа у. Верхняя гщнь в (1.2.2) реализуется функцией f0(z) = z"eHrp, 1 < р < 2.

Отметим, что периодический аналог (1.2.2) доказан X Юссефом. Теорема 1.2.3. Пусть /(г) £ НТр (г = 0,1,2,:..; 1 < р < 2) имеет непрерывные граничные значения F^r'(í) ф const. Тогда, для любых натуральных т, п, г (п > г) имеет место равенство

sup-£--Í75 .=

/eiW» i

' í /í/(n - r))Hj - (siní + - sin2*Ы

= V(rn + l)(m + 2) _1___

~ 2"'+1 ' n ■ (n - 1) • ... • (n - r + 1)'

Dfр.ьняя ¿рань реализуется функцией /<Дг) — € Нр

(

В третьем параграфе приводятся аналоги теорем 1.2.1 - 1.2.3 когда модули непрерывности т - го порядка задаются посредством граничных значений производных но аргументу

Параграф 1.4 первой главы посвящен нахождению точных констант и неравенстве Джексона для функций /(г) € 1 < р < 2. Для наилучшего приближения аналитических в единичном круго функций подпространством полиномов Тп-\ в нормированном пространстве X неравенства Джексона имеют вид:

* п(п-1 ('"' :)х' (Ы1)

где и>т(<р,6)х - модуль непрерывности тп - го порядка функции <р(г) в «

г

пространстве X, константа Мт не зависит ни от ¡р, ни от п, но зависит от

, ¡Г- г-•»<->•

т. Мы выяснили, что в некоторых приведенных выше теоремах, из которых выводятся неравенства вида (1.4.1), константа Мг может быть явно указана.

Общая постановка задачи о нахождении констант в неравенстве (1.4.1) заключается в следующем: пусть X, У - нормированные пространства аналитических функций в ограниченной области комплексной плоскости, Хг - множество функций /(г) £ X, у которых € X, причем ф 0.

Если Хт СТ и 91„ — п - мерное подпространство в У, то неравенствами Джексона называются соотношения вида

Еп(/)у<МГ-а^-шт^\7)х> /€Х\ (1.4.2)

где апг = п(п — 1)...(п — г + 1), п > г. При фиксированных пространствах X, К подпространстве 9Ти и числа г и 7, отыскание наименьших констант в неравенстве (1.4.2) равносильно задаче вычисления точных граней величин

«Ф (1.4.3)

РМфаииЛ

Из теоремы 1.2.1 в качестве следствия . случаем неравенство Джексона вида (1-4.2) для /(г) € Н1 < р < 2, из коюрого находим точные значения констант в (1.4.3)

Теорема 1.4.1. При выполнении условий теоремы 1.2.1 имеет место неравенство

Е„(/)н„ < 2-т/Чг'м„(^(г);!г/(п-г))й; 1 < р < 2, г < п. (1.4.4)

Если ujm(F^\t)Hj является выпуклой вверх функцией, то (1.4.4) может быть уточнено, а именно значение модуля непрерывности в нраиой часги (1.4.4) вместо точки у = я/(п-r) вычисляется в точке 7 = п/2(п~г) и тогда неравенство (1.4.4) обращается в равенство для /0(г) = г" € НТр, 1 < р < 2, и мы приходим к следующему утверждению.

Теорема 1.4.2. Если wm(F<r); t)„t является выпуклым вверх модулем непрерывности на отрезке [0, ж/(п — г)], Г < п, то при всех нату[)альных т = 1,2,...; для константы (1-4.3) справедливо равенство

tur и т> \ а"г • E(f,Vn-\)Hr 1

Xn/2(n-r){H2,Hp,Vn-l) = sup —у—-ь— = —¡5, 1 < р < 2.

Неравенство Джексона вида (1.4.4) можно было вывести из остальных *еорем второт параграфа, но к сожалению, получаемые ири этом констнты не являются точными.

Во второй главе диссертации, состоящей из четырех параграфов рассматривается задача отыскания точных значений Колмогорове« их Поперечников для различных классов аналитических функций, принадлежащих пространству Нг-

Пусть X - произвольное банахово пространство, 9Л - некоторое выпуклое центрально - симметричное подмножество из Х\ Ln С X — п— мерное линейное подпространство. Символом

E„{f)x E(f, Ln)x = inf{|/ - y : V € ¿„}

">бозначим наилучшее приближение элемента / G X подпространством Г<„ С X. Величину

d„(m, X) = inf{Sllp{E(/, Ln)x : / е ал} : Ln С^х} (2.1.1)

называют п - мерным поперечником по Колмогорову множества 5Ш в банаховом пространстве X. Нижняя грань в (2.1.1) вычисляется .ю всем подщюстранствам L„ размерности п из пространства X.'

Точные результаты полученные в теоремах первой главы, дают для поне|)ечника (2.1.1) соответствующих классов функций оценку сверху. Оцепи ib снизу поперечник (2.1.1) удается при помощи теоремы о поперечнике шара В.М-Тихомирова.

Результат, приведенный в теореме 1.2.1, позволяет вычислить точное значение поперечника (2.1.1) для следующего класса аналитических функций из пространства Я%. Пусть Ф(и) положительная возрастающая функция такая, чю 1ппФ(и) = Ф(0) = 0. Для любых натуральных т и г > 0 и и 6 [0,2я] определим u Н? класс функций

1W) = {/(*) € Щ : ' Si%idt * ф2Ц-

Положим

(1 — cos А-«), = {1 — cos ки, если ки < 7г; 2, если ки > тг}.

Основным результатом параграфа 2.2 является

Теорема 2.2.1. Пусть функция Ф(и) удовлетворяет условию

Т/1 .

/(1 ~ cost). • sin -dt < 2дФ2(и) (2.2.1)

VI Р

при любом fi > 0 и любом и € [0,2эт]. Тогда справедливо равенство

Отметим, что множество функций {Ф(«)}, для которых условие (2.2.1) выполняется, непусто. При т — 1 из равенства (2.2.2) получаем ранее доказанный результат С.В.Вакарчука.

В ^2.3, исходи из утверждении теоремы 1.2 3, определим класс аналитических функций

vv; {/ € Щ : }«l(F«-,t)Hj ■ (sinIt + isin 2{t)dt < ij.

Для введенного класса функций доказана

Теорема 2.3.1 .При любых натщмлъных т, п и г > 0 (п > г) cn¡xieed-ливо равенства

, /.Ьг „ у Лтп + 1 )(т -f 2) yjn-r Ч^.*»)-*—3=+¡--п(п-!)...(«-г и-1)-Г<П-

В последнем параграфе 2.4 второй глаиы прииодятся аналоги тео]>ем 2.2.1 и 2.3.1 для классов функций И^,'1и(Ф) и из пространства #2.

модули непрерывности тц - го порядка которых определяются граничными значениями производных г - го порядка по аргументу Fa(r'(<). В соответствии с обозначениями §2.3 для натуральных m, г > 0 и и € (0,2тг] вводятся в рассмотрение следующие классы функций:

= {/(*) € щ ■■ -*inltdt * *»}•

ВД = {/(*) € Щ : jufn (/*>; t)Hi ■ (sin U + \ sin < 1J.

При сделанных предположениях справедливы следующие утверждения

Теорема 2.4.1. Пусть функция Ф(и) удовлетворяет условию (2.2.1) при любом ц > Q и любом и € [0,2тг], Тогда имеет место равенство

Теорема 2.4.2. Для любых натуральных т,п иг справедливо равенство

и (w' и\-+ + 1 dn\Wma,H2) =---ÍF»

-1 /г-

Пользуясь случаем автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю члену -корреспонденту АН РТ Шабозову fyj.Hl. за постановку задач и постоянное внимание нри работе над диссертацией.

Слисок опубликованных работ по теме диссертации

1. Шабозов М.Ш., Х.Х.Пиров. О наилучших приближениях аналитических функций и значение поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди // ДАН Республики Таджикистан., 1999, т.42, N1 - с. 19-24

2. Пиров Х.Х. О наилучшем приближении аналитических функций полиномами // ДАН Республики Таджикистан, 2000, т.'43, N4. с.8-11.

3. Шабозов М.Ш., Х.Х.Пиров. О наилучших приближениях аналитических функций и значениях поперечников некоторых классов функций в пространстве Нг- //' Вестник Хорогского госуниверситета, 2000 - N2, сери» 1 - с.7С - 86.

4. Пиров Х.Х., М.Ш.Шабозов. Точные константы в неравенствах типа Джексона для приближения аналитических функций из 1 < р < 2. // Весен и к Хорогского госуниверситета, 2002 - N5, сери« 1, - с.78 - 80.

о. Шабоюв М.Ш., Пиров Х.Х. Точные константы в неравенствах типа Джексона для приближения аналитических функций из Н1 < р < 2. // ДАН России, 2003, т.394, №4, с.19 - 24.

Отпечатало в типографии РТСУ Зак.№ 4/117 Тираж 100 экз.

/ t

л

I

г

РНБ Русский фонд

2004-4 12089

В в е д е н и е.

Глава I. Наилучшее приближение аналитических в единичном круге функций полиномами в пространстве Харди Нр, 1 < р < 2.

§1.1. Вспомогательные факты. Классы функций.

Постановка задач.

§1.2. Приближение классов функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков.

§1.3. Приближение классов функций, определяемых модулями непрерывности от производной по аргументу.

§1.4. Неравенства Джексона для функций принадлежащих пространству 1 < р < 2.

Глава II. Поперечники классов аналитических функций в пространстве Нг

§2.1. Определение поперечников множеств в банаховых пространствах.

§2.2. Значение поперечников некоторых классов аналитических функций в пространстве Н2.

§2.3. Вычисление поперечников класса ХУ^.

§2.4. Поперечники классов УУ[п а(Ф) и 1УД в.

Литератур а.

Настоящая диссертационная работа посвящена нахождению точных значений величины наилучших приближений аналитических в единичном круге функций произвольными комплексными полиномами в пространстве Харди Нр, 1 < р < 2 и вычислению колмогоровских поперечников некоторых классов аналитических в единичном круге функций. Термин поперечник множеств в линейном нормированном пространстве и первый точный результат в задаче о поперечниках принадлежат А.Н.Колмогорову [11]. Он впервые вычислил точное значение поперечников классов дифференцируемых периодических функций в пространстве -£/г[0,27т]. В 1960 г. В.М.Тихомиров [24] вычислил колмогоровские поперечники классов периодических и аналитических функций, а в 1967 г. Л.В.Тайков [19], основываясь на результат К.И.Бабенко [6], впервые вычислил поперечник Колмогорова класса функций Нр в Нр, 1 < р < оо. До этого усилия математиков были направлены на вычислении поперечников классов периодических функций.

Систематическое изучение поперечников различных классов аналитических функций началось в 1976 г. в серии работ Л.В.Тайкова [20-23] и чуть позже в работах Н.Айнуллоева [1-4]. Продолжением этих работ явились работы С.Б.Вакарчука [7-9]. Указанные результаты были обобщены и развиты в работах М.Ш.Шабозова [29-30], М.Ш.Шабозова и О.Ш.Шабозова

28, 33], М.Ш.Шабозова и Г.Юсупова [35]. Отметим, что в цитированных работах результаты получены только для классов аналитических функций принадлежащих пространству Харди Нр, 1 < р < 2.

Перейдем теперь к краткому изложению содержания диссертации. Данная диссертационная работа состоит из настоящего введения, двух глав состоящих из восьми параграфов, а также списка цитированной литературы включающей 40 названий.

Система нумерации параграфов в диссертации сквозная, каждый из них имеет двойную нумерацию в которой первый номер совпадает с номером главы, а второй указывает номер параграфа. Внутри параграфа используется тройная нумерация, первый номер указывает на номер главы, второй на номер параграфа, а третий порядковый номер леммы, теоремы или формулы в данном параграфе.

Первая глава диссертации состоит из четырех параграфов и посвящена нахождению точных значений наилучших приближений аналитических в единичном круге функций комплексными полиномами в пространстве Харди Нр, 1 < р < 2. В первом параграфе приведены необходимые определения и обозначения, используемые в дальнейшем, а в остальных трех параграфах излагаются результаты автора. Приведем содержание этой главы.

Говорят, что аналитическая в круге \г\ < 1 функция оо

1(г) = Т,скгк,г = реи,0<р1< 1, с—О принадлежит пространству Харди [18], если 1 2ж \ 1 /р , 2тг

1/Р 1 < р < ОО где = \ш1^/(реи) - граничное значение /(г). Через и обозначим, соответственно граничные значения производных = и дг//дГ = дг/(реи)/дГ.

Всюду в дальнейшем, полагаем

Пг)еНр: ^ н„ оо г = 0,1,2,.; 1 <р<оо).

Если /(г) 6 //р, 1 < р < оо имеет граничные значения то их гладкость характеризуем модулем непрерывности га-го порядка

К)Нр = Эир^ р

ТТЬ где = £ (—1 + " разность га-го порядка функции Р{Ь). О

В частности, имеют место равенства оо & • |с*|2 • (1 - сов ки)т : и 6 [0,*] си, т \ I 00 , \ТП 2тзир< X а^с^П-соз (к-г)и) : и €[(),*]

4 [*;=г+1 4 ' где положено акг = к{к - 1 ){к - 2).(Л - г)(к - г + 1), Л > г

Пусть

Рп-1 = Величину

71 — 1

Рп-\(г) : Рп-\{г) = X а*2 > |ап-1| Ф О к=О

Еп(/)р := £(/,?„. 1)р = Щ/ - Рп1 : Р„1(г) € Тп.Л назовем наилучшее приближение функции f(z) множеством Vn-\ в пространстве Харди Нр, 1 < р < оо. В частности,

1 2? 71— 1 ОО

El(S)щ = — / \F(t)\ dt - £ |с*|2 = £ |ct|2

При сделанных выше обозначениях в §1.2.1 доказана Теорема 1.2.1. Пусть для аналитической внутри единичного круга функции f(z) 6 Щ (г = 0,1,2,.; 1 < р < 2) ее производные 6 #2 имеют непрерывные граничные значения F^r\t) ^ const. Тогда, справедливо соотношение

Еп{1)нр sup- р ея; / я- \ ш/2

Ju™(F{r\t/{n-rf) sintdt

0.2.1)

2m n-(n-l).(n-r + l) г < п.

Верхнюю грань в (0.2.1) доставляет функция /о(г) = гп 6 Нр. Отметим, что при т—1 теорема 1.2.1 доказана С.Б.Вакарчуком [7]. В общем случае теорема 1.2.1 есть обобщение одного результата В.В.Шалаева [36] о наилучшем приближение дифференцируемых периодических функций на случай аналитических функций комплексного переменного, принадлежащих пространству Харди Нр, 1 < р < 2. В этом же параграфе доказана следующая Теорема 1.2.2. Пусть выполнены все условия теоремы 1.2.1. Тогда для любых натуральных т,п и г (г < п) справедливо равенство

Еп(/)нр sup р енг ( * \ 1!2 0

0.2.2)

Кщ 1 - ^ <Г О

V2 'n(n-l).(n-r + l)' ~Р~ ' где

Кт =

Cm

2т т/2] 2 £

1 4s2 - 1

Cm—2s 2т

-1/2 a [yj означает целую часть числа у. Верхняя грань в (0.1.2) реализуется функцией f0(z) = zn е Hrp, 1 < р < 2.

Отметим, что периодический аналог теоремы 1.2.2 ранее доказан Х.Юссефом [37].

Теорема 1.2.3. Пусть f{z) (Е Щ (г = 0,1,2,.; 1 < р < 2) имеет непрерывные граничные значения F^(t) ф const. Тогда для любых натуральных т,п, и г (п > г) справедливо равенство

Бир /ея;

ЕпЦ)нр

1/2 п(п — 1).(п — Г + 1) '

Верхняя грань реализуется функцией /о(г) = гп Е Щ. В третьем параграфе приводятся аналог теорем 1.2.1 - 1.2.3, когда модули непрерывности т - го порядка задаются посредством граничных

Параграф 1.4 первой главы посвящен нахождению точных констант в неравенстве Джексона для аналитических функций из Н£ (г = 0,1,2,.; 1 < Р < 2). Напомним, что в теории приближения функций неравенствами Джексона называют соотношения, в которых погрешность приближения индивидуальной функции / оценивается через модуль непрерывности самой приближаемой функции или некоторой ее производной. Для наилучшего приближения аналитических в единичном круге функций подпространством X неравенства Джексона имеют вид: значений производных г - го порядка

Епи)х := Е(/,Гп-1)х = Щ/ -Рп-А : Рп-1 е Гп-\) <

-1 х

Мга->4/(г);-) =-(-ТТ^Т-> (0-4-1)

V п/х п(п—1).(п-г + 1) V п)х где шт((р, 5)х - модуль непрерывности т - го порядка функции <р(г) в пространстве X, константа Мг не зависит ни от (р, ни от п, но зависит от т. Здесь мы выяснили, что в некоторых приведенных выше теоремах, из которых выводим неравенства вида (0.4.1), константа МТ может быть абсолютной и явно указывается.

Напомним общую постановку задачи нахождения константы применительно к ограниченной области комплексной плоскости.

Пусть X, У - нормированные пространства аналитических функций /(г) в ограниченной области комплексной плоскости, Хт - множество функций /(г) Е X, у которых существуют производные /^(г) и /^(г), принадлежащие X, причем соответствующие граничные значения и

F^r\t) непрерывны и нигде на границе не обращаются в константу. Если ХГ £ У и — п-мерное подпространство в У, то неравенствами Джексона называются соотношения вида

Еп(/)у := Д(/,Жп)г < М;а->т(^г\7)х, / е (0.4.2)

Еп(Лу < М;п-Ги;т^,7)х, / е (0.4.3)

11

При фиксированных пространствах X, У, подпространстве 9ТП и числах г и 7 отыскание наименьших констант в неравенствах (0.4.2) и (0.4.3) равносильно задаче вычисления точных граней величин \т л/' суу \ ОСпг • Е(/,<Яп)у , ,,

Х1{ХГ,У,%1)= вир--г-^—г^-, (0.4.4) р(т)фсопаг Ш\ ' /Г , Уг V т ч пг -Е(/, У1п)у Х7(Х = эир --. ь{т)фсопв1 \ IX

0.4.5)

Теперь мы в состоянии из более общего результата теорем 1.2.1 и 1.3.1 в качестве следствия вывести неравенство Джексона для наилучшего приближения аналитических в единичном круге функций /(-г) Е Н1 < р < 2, а затем привести точные значения констант в равенствах (0.4.4) и (0.4.5).

Теорема 1.4.1. При выполнении условий теорем 1.2.1 и 1.3.1 (г<п) справедливы неравенства

Еп(/)Нр < 2"т/2 • а~} • тг/(п - г))^, 1 < р < 2, (0.4.6)

Еп(Лнр < 2"т/2 • п~г • тг/п) , 1 < р < 2. (0.4.7)

ЕСЛИ фуНКЦИИ Шт {Ра\1)н2 являются выпуклыми вверх функциями, соответственно, на [0,7г/(п — г)] и [0,7г/п], то оценки (0.4.6) и (0.4.7) могут быть уточнены, а именно значения модулей непрерывности в правых частях (0.4.6) и (0.4.7) вместо точек у = 7г/{п — г) и 7 = тт/п вычисляются соответственно в точках 7 = 7г/2[п — г) и 7 = 7г/2п. Для этих значений неравенства (0.4.6) и (0.4.7) обращаются в равенства для функции /о(-г) = гп Е Нр, 1 < р < 2, и мы приходим к следующему утверждению.

Теорема 1.4.2. Еслишт{Р^\1)н2 являются выпуклыми вверх модулями непрерывности, соответственно, на отрезках [0,7г/(п—г)], г < п и [0,7г/п], то при всех натуральных т = 1,2,.; для константы Джексона (0-4-4) и (0-4-5) справедливы равенства

Неравенства Джексона вида (0.4.6) и (0.4.7) можно было вывести из остальных теорем первого параграфа, однако получаемые при этом константы не являются точными.

Во второй главе диссертации, состоящей из четырех параграфов рассматривается задача отыскания точных значений колмогоровского поперечника для некоторых классов аналитических функций из пространства Харди #2

С этой целью сначала исследуется зависимость наилучших приближений Еп{/)нр, 1 < р < 2 от структурных свойств функции f(z), с помощью которых определяем классы функции, а затем вычисляются значения колмогоровских поперечников, введенных классов функций. Отметим, что точные значения колмогоровских поперечников для некоторых классов аналитических функций вычислены в работах В.М.Тихомирова, Л.В.Тайкова, А.Пинкуса, К.Миччели, Н.Айнуллоева, С.Б.Вакарчука, М.Ш.Шабозова. Мы продолжим исследование указанных авторов в этом направлении.

Пусть X - произвольное банахово пространство, 9Я - некоторое выпуклое центрально - симметричное подмножество из X; LTl Е X п - мерное линейное подпространство.

Символом

En(f)x := E(f, Ln)x = inf{||/ - J : G Z/„J обозначим наилучшее приближение элемента f Е X подпространством Ln С X, а величину dn(m,X) = infjsup{E(f,Ln)x : f e ш) : Ln С x)

0.5.1) называют поперечником no Колмогорову центрально-симметричного множества в банаховом пространстве X. Нижняя грань вычисляется но всем подпространствам Ln размерности п пространства X.

Точные результаты, полученные в теоремах первой главы, дают для поперечника (0.5.1) соответствующих классов функций оценки сверху. Оценить снизу поперечник (0.5.1) удается при помощи теоремы о поперечнике шара.

Результат, приведенный в теореме 1.2.1, позволяет вычислить точное значение поперечника (0.5.1) для следующего класса аналитических функций из пространства Щ. Пусть Ф(и) - положительная возрастающая функция такая, что НшФ(и) = Ф(0) = 0. Для любых натуральных т и г > 0 определим в пространстве Щ класс функций {/М € Щ : dt < Ф2(и), 0 < и < 2тг

Положим

1 — cos ки, ки < 7Г,

1 — cos ки)* — <

2, ки > 7г.

Основным результатом §2.2 является следующая

Теорема 2.2.1 Пусть функция Ф(и) удовлетворяет условию

Ф2• У"(1 - соз£)* БШ - <Й < 2/л • Ф2(и) (0.5.2) при любом ц > 0 и любом и 6 [0, 27г]. Тогда справедливо равенство

Я2) =

2т/2 п(п - 1).(п-г +1) ^п-г г <п. п — г/

В связи с утверждением теоремы 2.2.1 возникает вопрос. Для каких конкретных функций Ф(и) выполняется условие (0.5.2). Это условие впервые появилось в работе Н.Айнуллоева [1] при вычислении колмогоровских поперечников классов г - раз непрерывно дифференцируемых периодических функций. В этой работе подробно анализируется случай Ф2(и) = иа и доказывается, что неравенство (0.5.2) выполняется при а = 7г2/8 и любом ¡л > 0. Это означает, что множество функций (Ф(и)} для которых условия (0.5.2) выполняется непусто.

Замечание 2.2.1. Из утверждения теоремы 2.2.1 при т = 1 вытекает результат С.Б.Вакарчука [7]:

Я2) =

•Ф у/2 п(п — 1).(п — г + 1) Vп — г п — г/ г < п.

В §2.3, исходя из утверждения теоремы 1.2.3, определим класс аналитических функций

УГ =

ТП

Справедлива следующая

Теорема 2.3.1. При любых натуральных т,п, г > 0 (п > г) имеет место равенство у/п — Г

2т+1 п(п- 1).(п-г + 1) г < п.

Частые случаи теоремы 2.3.1 ранее доказаны М.Ш.Шабозовым в работе [30].

В последнем параграфе 2.4 второй главы приводятся аналоги теорем 2.2.1 и 2.3.4 для классов функций и из пространства #2, модули непрерывности т-го порядка которых определяются граничными значениями производных г - го порядка по аргументу В соответствии с обозначениями §2.3 для натуральных т, г > 0 и и Е [0,2п\ вводим в рассмотрение следующие классы функций:

М е Щ : £.Sin^ídí < Ф2(и) r г ш,а e : /^(fí'); t) ■ (sin + i sin ^t)dt < 1

В этих обозначениях справедлива следующая

Теорема 2.4.1. Пусть функция Ф(и) удовлетворяет условию

Ф2(—) • /(1 - cosí)* sin-di < 2иФ2(и) W í М при fi > 0 и любом и Е [0,27г]. Тогда справедливо равенство

Теорема 2.4.2. Для любых натуральных т,п, иг справедливо равенство

Полученные результаты опубликованы в работах [16, 31, 32, 34].

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю члену корреспонденту АН РТ, доктору физико-математических наук Шабозову М.Ш. за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией. ч

1. Айнуллоев Н. Значение поперечников некоторых классов дифференцируемых функций в ь2. //ДАН Тадж. ССР, т.27, N8, 1984, с.415-418.

2. Айнуллоев Н. О поперечниках дифференцируемых функций вДАН Тадж. С CP, т.28, N6, 1985, с.309-313.

3. Айнуллоев Н. Поперечники классов аналитических функций. //Геометрические вопросы теории функций и множеств. Сборник научныхтрудов. Калининский госуниверситет, 1986, с.91-101.

4. Айнуллоев Н., Тайков JI.B. Наилучшие приближения в смыслеА.Н.Колмогорова классов аналитических в единичном круге функций.Математические заметки, т.40, N3, 1986, с.341 351.

5. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.Наука, 1965, 408 С.

6. Бабенко К.И. О наилучших приближениях одного класса аналитическихфункций. // Изв. АН СССР, сер.матем., 1958, т.22, N5, с.631 640.

7. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди Н2. // Укр.мат.журнал, 1989, т.41, N26, с.799 802.

8. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге функций. // Укр.мат.журнал, 1990, т.42, N7, с.873 881.

9. Вакарчук С.Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций. // Математические заметки, 1995, т.57, N1, с.30 39.70

10. Григорян Ю.И. Поперечники некоторых множеств в функциональныхпространствах. // Математические заметки , 1973, т.22, N5, с.637 644.

11. Колмогоров А.Н. Uber die beste Armaherug von Funktionen einer gegebenen Fuktion klassen. // Annalen of Math., 1936, N37, s.107 111.

12. Корнейчук Н.П. Точная константа в теореме Джексона о наилучшемравномерном приближении непрерывных периодических функций. //ДАН СССР, 1962, т. 145, N3, с.514 515.

13. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.Наука,1976, 320 С.

14. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М.Наука, 1987, 424 С.

15. Лигун A.A. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве Z^- // Математическиезаметки, 1978, т.24, N6, с.785 792.

16. Пиров Х.Х. О наилучшем приближении аналитических функцийполиномами // ДАН Республики Таджикистан, 2000, т.43, N4. с.8-11.

17. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. М., 1950, 382 С.

18. Смирнов В.И., Лебедев H.A. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М. - Л.: Наука, 1964.

19. Тайков Л.В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классованалитических функций. // Математические заметки, 1967, т.1, N2, с.155 162.

20. Тайков Л.В. Некоторые точные неравенства в теории приближенияфункций. // Апа1из18 Ма^ета^ка, 1976, т.2, с.77 85.

21. Тайков Л.В. Поперечники некоторых классов аналитических функций.Математические заметки, 1977, т.22, N2, с.285 294.

22. Тайков Л.В. Наилучшие приближения дифференцируемых функций вметрике пространства 1>2. // Математические заметки, 1977, т.22, N4, с.535 542.

23. Тайков Л.В. Структурные и конструктивные характеристики функцийиз 1/2- // Математические заметки, 1979, т.25, N2, с.217 223.

24. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений. // Успехи матем.наук, 1960, т. 1, N3, с.81 120.

25. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.:Изд.МГУ, 1976, 304 С.

26. Черных Н.И. О неравенствах Джексона в ¿2• // Труды МИАН СССР,1967, т.88, с.71 74.

27. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в ¿2. // Математические заметки, 1967, т.2, N5, с.513 522.

28. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических в единичном круге функций. // ДАН Респ.Таджикистан, 1997, т.40, N9-10, с.54 61.

29. Шабозов М.Ш. О поперечниках в пространстве Харди Н2 классов аналитических функций, определяемых модулями непрерывностивысших порядков. // ДАН Респ.Таджикистан, 1998, т.41, N9, с.48 53.

30. Шабозов М.Ш. Значение поперечников некоторых классов функций впространстве Харди. // Вестник ХоГУ, 1999, N1,серия 1, с.35 44.

31. Шабозов М.Ш., Пиров Х.Х. О Наилучших приближениях аналитическихфункций и значениях поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди. // ДАН Респ.Таджикистан, 1999, т.42, N4, с.19 24.

32. Шабозов М.Ш., Пиров Х.Х. О наилучших приближениях аналитическихфункций и значениях поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди Н2. // Вестник ХоГУ, серия 1, 2000, N2, с.76 85.

33. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Поперечники некоторых классованалитических функций в пространстве Харди Н2. // Математическиезаметки, 2000, т.68, N5, с.796 800.

34. Шабозов М.Ш., Пиров Х.Х. Точные константы в неравенствах тинаДжексона для приближения аналитических функций из 1 < р < 2.Вестник ХоГУ, серия 1, 2002, N5, с.78 80.

35. Шабозов М.Ш., Юсупов Г. Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов аналитических функций. // Докл.РАН, 2002,т.382, N6, с.747 749.

36. Шалаев В.В. О поперечниках в Ь2 классов дифференцируемыхфункций, определяемых модулями непрерывности высших порядков .Укр.мат.журнал, 1991, т.43, N1, с.125 129.73

37. Юссеф X. О наилучших приближениях функций и значениях поперечников классов функций в L2. // Применение функционального анализав теории приближений. Калинин, 1988, с.100 - 114.

38. Pinkus A. n-widths in approximation theory. Berlin: Springer - Verlag, 1985.

39. Шабозов М.Ш., Пиров X.X. О наилучших приближениях аналитических функций и значениях поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди. // Докл. академии наук респ. Тадж., 1999, t.XLII, N4, с.19 24.

40. Шабозов М.Ш., Пиров Х.Х. Точные константы в неравенствах типа Джексона для приближения аналитических функций из Hp, 1 < р < 2. // ДАН. России, 2004, т.394, №3, с.З17-319.