Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов функций в пространстве Харди Hp,1≤p≤ x тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

005011157

\Ц

МИРКАЛОНОВА МОХИРАМО МИРАФГАНОВНА

НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И ЗНАЧЕНИЯ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ХАРДИ Нр, 1 < р < ос

01.01.01 - Вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 1 МЛ? 2012

ДУШАНБЕ-20 12

Работа выполнена в Таджикском национальном университете

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: доктор физико-математических наук,

академик АН РТ, профессор Шабозов Мирганд Шабозович

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

доктор физико-математических наук, член-корреспондент АН РТ Рахмонов Зарулло Хусенович

кандидат физико-математических наук Акобиршоев Мухидцин Отамшоевич

Таджикский государственный педагогический университет имени С.Айни

Защита состоится 29 февраля 2012 г. в II00 часов на заседании диссертационного совета ДМ 047.007.01 при Институте математики АН РТ по адресу: 734063, г. Душанбе, ул.Айни, 299/4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Республики Таджикистан

Автореферат разослан 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Халилов Ш.Б.

Актуальность темы. Общеизвестно, что в экстремальных задачах теории приближения функций большую роль играют точные неравенства, позволяющие установить новые связи между конструктивными и структурными свойствами функций. Поэтому в последнее время интенсивно изучались неравенства, содержащие оценки величины наилучшего приближения функций посредством модуля непрерывности высших порядков в различных пространствах аналитических функций.

Первые точные результаты по наилучшим полиномиальным приближениям аналитических в круге функций принадлежат К.И.Бабенко и Л.В.Тайкову. Именно работа К.И.Бабенко явилась отправным пунктом для получения точных значений колмогоровских поперечников в работах

B.М.Тихомирова и Л.В.Тайкова. В последующих работах Л.В.Тайкова и

Н.Айнуллоева в норме пространства Харди были получены точные значения колмогоровских поперечников некоторых классов аналитических в единичном круге функций, граничные значения которых допускают представление сверткой, либо усреднённый модуль гладкости их граничных значений мажорируется заданной функцией. В дальнейшем эта тематика нашла своё'отражение в работах М.З.Двейрина, И.В.Чебаненко, Ю.А.Фаркова, S.D.Fisher,

C.A.Michelli, A.Pinkus, С.Б.Вакарчука, М.Ш.Шабозова, О.Ш.Шабозова, Х.Х.Пирова, Г.А.Юсупова, М.Р.Лангаршоева и многих других математиков.

Методами функционального анализа найден общий подход к проблемам теории приближения аналитических функций полиномами, благодаря чему удалось объединить многочисленные исследования этой теории в различных банаховых пространствах. Отметим, что наиболее полно вопросы наилучшего приближения изучались в пространствах Харди Нр, р > 1. В то

же время, вопросы получение точных неравенств в которых наилучшее полиномиальное приближение аналитических функций оценивается через суммы усреднённых значениях модулей непрерывности самой функции и её некоторой производной изучены недостаточно.

Целью настоящей работы является дальнейшее развитие тематики, связанной с вычислением точных значений различных поперечников классов аналитических в единичном круге функций, задаваемых модулями непрерывности высших порядков граничных значений самой функции и некоторой её производной.

Цель работы

1. Найти новые точные неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями и интегралами, содержащими модули непрерывности высших порядков граничных значений самой функции и её второй производной в пространстве Харди.

2. Вычислить точные значения бернштейновских, колмогоровских, гель-фандовских, линейных и проекционных поперечников некоторых компактных классов аналитических в единичном круге функций.

Метод исследования. В работе использованы современные методы теории функций комплексного переменного, функционального анализа, а 'также некоторые новые подходы к решению экстремальных задач теории аппроксимации в функциональных пространствах аналитических в круге функций.

Научная новизна исследований .................

• Найдены новые точные неравенства между наилучшими приближениями аналитических функций комплексными полиномами и усреднёнными модулям непрерывности высших порядков самой функции и её второй производной в пространстве Харди Нр, 1 < р < оо.

• Найдены точные верхние грани наилучших приближений конкретных классов аналитических в круге функций, определяемых модулям непрерывности высших порядков производных в пространстве Харди.

• Вычислены точные значения бернштейновских, колмогоровских, гель. фандовских, линейных и проекционных п-поперечников для классов

функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков граничных значений г-ых производных.

Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Они могут быть использованы при вычислении е-энтропии и п-поперечников классов функций, в других банаховых пространствах аналитических функций, например в весовых: пространствах Бергмана.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах по теории приближения функций (Хорог, 1999-2001 гг.), на семинарах кафедры математического анализа и теории функций в ТНУ (Душанбе, 2002-2011 гг.), на семинарах отдела теории функций

Института математики АН Республики Таджикистан (Душанбе 2008-2011 гг.), на международной научной конференции по „Дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами“, посвященной 50-летию кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений ТГНУ (Душанбе, 25-28 октября 2003 г.), на международной конференции „Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ“, посвященной 80-летию академика АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайлова (Душанбе, 2008 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5]. В совместной работе [1] Г.А.Юсупову в доказательстве теоремы 3 принадлежит оценка снизу, а в [2] М.Ш.Шабозову принадлежит постановка задач и выбор метода доказательства.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 55 наименования и занимает 82 страницы машинописного текста. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.

Во введении приведен краткий обзор работ, имеющих непосредственное отношение к теме диссертационной работы, и дается краткая характеристика изучаемой проблемы.

В первом параграфе первой главы приводятся основные определения и вспомогательные факты, используемые в дальнейшем. Напомним, что функция

к=0 .

- аналитическая в единичном круге |г| < 1, принадлежит банахову пространству Яр, 1 < р < оо, если

Содержание диссертации

ОО

/(г) = г = реи, 0 < р < 1, 0 < і < 2тт

І1/ІІР'•= ІІЛк = р1іт0Мр(/, р)<оо,

1/р

1 < р < 00,

І!Ліво := 11/Ця* = тах| |/(*)| : \я\ < і}, р = оо.

При этом норма функции /(г) Є Нр реализуется на ее угловых граничных значениях /(і) := /(е*‘). Всюду далее через НРі Д) 0 < Л < 1 обозначим пространство Харди аналитических в круге |г| < И функций /(г), для

которых /(г) ' := /(Дг) < оо.

■ ■ ^>,д . "Вг .

Символом

£^-і(/)р := £(/,■?«-1) = іп£{||/-Рп- 1ІІР : Рп-і(-г) Є Рп-і}

обозначим величину наилучшего приближения функции /(г) Є Нр, р > 1 подпространством полиномов "Рп-\ степени не выше п — 1. Производную Г-ГО порядка функции ¡(г) по аргументу < комплексного переменного г = рей обозначим а обычную производную г-го порядка обозначим /^(г).

При этом очевидно, что

; №(г) = /'(г) • «. Лг)(4= , г = 2,3,... .

Соответствующие граничные значения производных обозначим через /оГ^) и Лг)(£). Через ЯрГ^ (г Є Z+) Яр°^ = Яр), обозначим множество аналитических в единичном круге Функций /.(*) .є, Яр, у которых /(г)(г) Є Яр, 1 < р < оо. Аналогичным образом обозначим

= {/(2) Є Яр, ||/'г)||р.< оо) , 1 < р < 00.

Если функция /(г) Є Яр имеет непрерывные граничные значения /(£) € ¿р[0, 27г], то их гладкость охарактеризуем скоростью убывания к нулю модуля непрерывности т-го порядка её граничных значений

^т(/; і)р = Эйр ‘

&-<)

/ (• + (т - к)т)

: М < і

(1)

при ¿-40, либо зададим скорость убывания к нулю мажоранты некоторой усреднённой величины, содержащей о;т(/; £)р. В ластности, из (1) для произвольной ¡(г) е П Я^о имеем:

^т(/іг); = 2тзир |^ к2г \ск\2 (1 - соакт)”

и=1

И < і

(2)

{£ 4,

1*=г+1

шт(/(г); Оа = 2т 8иР ^ £ ак,т М* (! - с™(к - Г)ТГ : М < Ч > (3)

где акх — к(к - 1)... (к — г + 1), к > г.

При решении экстремальных задач во всех основных результатах в качестве экстремальной функции выступает функция

/0(г) = гпеЯ^ЛЯ$, 1 < р < оо,

модуль непрерывности т-го порядка которой в Яр-норме, при всехр € [1, оо), имеет вид

У , . ч ( 2тп2г(1 - созп*)т, 0 < * < 7г/п,

V /р 2 тп , Ь > тг/п.

1 ( (г) \ [ 2т“п.г(1 _ С08(П “ ОО™. 0 ^ ^ 7Г/(П _ Г)>

4 12т<п *>тг/(п-г).

В параграфе 1.2 рассматривается задача нахождения точных значений наилучших полиномиальных приближений функций /(г) € П Нр}, 1 < р < оо, структурные свойства которых характеризуются модулями непрерывности и гладкости. Здесь доказаны следующие утверждения

Теорема 1.2.1 Для любой функции /(г) £ Нр^ П Нр}, 1 < р < оо,

соответственно для и 6 (0,7г/2п] и и £ (0,7г/2(п - г)], п > г, п е М,

г 6 2+ при любом Л (0 < Н < 1) справедливы точные неравенства

■ 2и

^(Лям^^т/'^.ОрЛ, (4)

о

2и

Яп-1(Яя„й < (П4~")ДПI^(/(г)^)рЛ, п > г (5)

; ПГ 0 и знак равенства в соотношениях (4) и (5) реализуется для }а{г) = гп 6 я'г) П Н(;1 1 <р < 00.

Теорема 1.2.2. Для произвольной функции /(г) 6 Яр^, 1 < р < оо, любого и € (0, 7г/(2п)] и любого Я (0 < Я < 1) справедливо точное неравенство

Е„~1{/)нр,я <

- f I/" (Л!| ;2l)p (' - sinS * + ©7“(;;2l)'sinI'4 -

5 частности, при и = тт/(2п) из (6) умеем

Еп-\(Лнг,н ^

*/[2п) jr/(2 п)

- sin nz) dx + n2 J ui(f\2x)p sin nzda;

Д!

2n

■ (7)

о о

Неравенства (6) и (7) обращаются в равенство для функции /о(г) = гп € ■Ир?2, 1 < р < оо.

Следствие 1.2.2. Для произвольной функции /(г) € Яр|2, 1 < р < ос, любого и € (0,7г/(2п)] и любого И (0 < Я < 1) справедливо точное неравенство

Я«-г(/)н„* <

и

^ дп

,w

О - sinl)dx+©7w (/r2);2*)Psinldx j •

(6)

~ гп1--1

о о

В частности, при и — п/(2п) из (6) имеем

£п-1 (/)#„,я <

' 1Г/(2п) тт/(2п)

j ш (/М; 2х^ (1 - бшш;) йх + п2 J ш ^Г~^-,2х^ Бтпхс1х о о

(7)

Неравенства (6) и (7) обращаются в равенство для функции /о(г) = гп 6

Нр^а, 1 < р< ОС.

Теорема 1.2.3. Для любой функции /(г) € #£2, 1 < р < оо и любого заданного и Е (0,7т/(2п)], при любом И (0 < Я < 1) справедливо неравенство

£п-1(/)яр,я <

7гДп _J_ 2un2 7Г -

¿h{}“* 2l)„ О - “"I?)<fc+

+(1;)■ (8>

и, в частности,

£п-1 (Ля,,я <

тг/(2п)

< л"

О

я/{2п)

+п2

J и2 (/; 2я)р 51П пгсЬ |. (9)

Оба неравенства (8) и (9) обращаются в равенства для функции /о(г) = гп 6 н£а, 1 < р < 00.

Следствие 1.2.3. Для любой функции /(г) € Яр$, 1 < р < оо и любого заданного и £ (0, тг/(2п)], при любом Я (0 < Я < 1) справедливо неравенство

Еп-\(/)нг,а <

ттЯ" 1 ' '

<

2ипг ж — 2

'■о

+

л

и, б частности,

£п-1 (Ля,,Л <

тг/(2п)

Я"

(ж — 2 )пг

тг/(2 п) ч

+п2 У Ш2 ^/(г~2); зшпхс£с>. (9)

о '

Оба неравенства (8) и (9) обращаются в равенства для функции /о(г) = гп € Я$, 1 < р < ос. ■

В третьем параграфе первой главы изложены результаты о точном значении верхних граней наилучших приближений комплексными алгебраическими полиномами некоторых классов аналитических в круге функций, задаваемых модулями непрерывности тп-го порядка граничных значений г-ых (г 6 Z+) производных функций в пространстве Харди Щ. Одним из основных результатов третьего параграфа является следующая

Теорема 1.3.2. Пусть ¡(г) Е Нр\ 1 < р < 2. Тогда для любых чисел т,п>г € М, 1 < д < 2, О < и < д(п-г) 1п[п/(п - г)], 0 < Л. < 7г/(п-г), г <п справедливо неравенство

к \ У*

.1

т? 7Г БІіі" -І П

где аПіГ = п(п - 1).. < (п —г +1), п > г. Неравенство (10) обращается в равенство для функции /0(2) = гп Є Нр \ 1 < р < 2.

Аналогичное утверждение (теорема 1.3.1) доказано для случая, когда структурные характеристики функции /(г) Є #£а характеризуются усреднёнными значениями модулей непрерывности т-го порядка шт(/|г\ і) 2-

Приведём определения и обозначения общего характера, нужные нам в дальнейшем для вычисления точных значений верхних граней наилучших приближений на классах функций. . ...

Пусть по-прежнему Яр, 1 < р < оо - банахово пространство Харди, Ш - некоторое выпуклое центрально-симметричное множество из Нр\ Ьп

- произвольное п-мерное линейное подпространство из Яр; £(ЯР, Ьп)

- множество всех линейных ограниченных операторов, отображающих пространство Яр в подпространство Ьп\ Сх(Нр,Ьп) - подмножество

проекторов из C(Hp,Ln). Требуется найти следующие аппроксимационные величины:

Еп(Ш)н, =' Е(Ш, Ln)Нр = sup {En(f)Hp : / Є ЯП} (11)

- приближение фиксированного множества 9Л С Нр подпространством Ь„ в пространстве Нр;

£п№)н, = £№,Ln)Hp =

= inf {sup {||/ - A/||Hp : / Є 9Jt} : Л С £„(ЯР, Ьп)} (12)

- наилучшее приближение множества Ш С Нр линейными операторами в пространстве Яр;

£Lm,Ln)Hf =

= inf{sup{||/-A/||Hp: / ЄЙя}: Лс^(ЯріІп)} (13)

- наилучшее приближение множества Ш С Нр проекторами в пространстве Нр. Для величин (11) - (13), согласно определению, выполняются неравенства

Еп(9Я)я, < £п(Ш)Нр < (14)

Наряду с отысканием точных значений величин (11)-(13), естественный интерес представляет также отыскание тех подпространств L„ С Нр, на которых реализуются соответствующие нижние грани. Такие подпространства называются экстремальными подпространствами.

Пусть Ф(ц) - произвольная непрерывная возрастающая при и > О функция такая, что Ф(0) = 0. При любых т,п,г Є N, соответственно, при 0 < h < 7г/(п - г), г < n, 1 < q < 2, 0 < и < q(n - г)Цп/(п - г)], г < п и 0 < h < 7г/п, 1 /г < q < 2, 0 < v < rq - 1, определим следующие два класса функций, определяемых мажорантой Ф :

^(г)(ф) := ^г)(т,п, д,і/;Ф) = h

f{z) Є Я<г) : j<(/(r), і)2 sin" Ж-Ш < Ф«(Л) о

•^Г)(Ф) :=^г)(тп,п,9,1/;Ф) =

Приступая к вычислению величин (11) - (13) в соответствии с утверждениями теорем 1.3.1 и 1.3.2, будем рассматривать следующие случаи:

а) ап = ^(Ф), X = Я2, Ьп-і = Тп-\\

б) т = ^Г)(Ф), Х = Н2, Ьп-г =

Теорема 1.3.3. Для верхних граней наилучших полиномиальных приближений классов функций Ф), ^¿г)(Ф) при любых т, п, г Є М, соот-

ветственно для случаев

а) 0 < Ь < 7г/(п - г), г < п, 1 < 9 < 2, 0 < V < д(п - г)1п[п/(п - г)];

б) О < к < п/п, 1/г < д < 2, 0 < V < гд — 1,

имеют место равенства

Д,-і(^Г)(Ф))ї = £п-!(^Г\Ф))2 = ^_і(^М(Ф))2 =

Еп.,(т ф))2=^_1(т-«(Ф))2=еинт)т2=

Из теоремы 1.3.3 вытекает

Следствие 1.3.1. При выполнении всех условий теоремы 1.3.3 имеют место равенства

= г„.,(^')(Ф))г = ¿;._,(Р'НФ>к =

= г И!) < (» - г)1* г! (^±1, !±А) ф (-^), „ > Г,

Е„-ЛК>ть = гп.,й"(<Я)2 ■= С|(^г,(«))> =

2-(~«) п-+; в-; (^±1. ф (0,

где В(а,Ь) - бета-функция Эйлера.

В заключительном четвёртом параграфе первой главы приводится обобщение результатов Н.Айнуллоева и Л.В.Тайкова о полиномиальном приближении аналитических функций, принадлежащих классу Нр}г\Нр\ 1 < р < 2, причём структурные свойства функции /(г) € ^/(г) £ Нр ^ , 1 < р < 2

полностью характеризуются стремления к нулю модуля непрерывности 771ГО порядка шт(/^;<)р (шт (/{г);£)р) производной /¿г)(£) (7(г)(*))> задавая эту скорость посредством мажоранты некоторой усреднённой величины ит(/а]^)р (шт (/(г>;<)р) в предположении, ЧТО /¿Г)(*) ^ С0715{ (/(г)(<) ^

сопв^ , .

Теорема 1.4.2. Для любых функций /(г),£ Нр1 ПЯрГ\ 1 < р.< 2, при всех т, п,г € N и произвольного д £ К+, ц > 1 справедливо неравенство

эир ——

я/2дп

2тп Вп-\{})р

<

J шт (/¿г) ;2^2 [1 + (/х2 - 1) БШ /т^]

<

фц

! 8111т í [1 4- (^2 - 1) вт ^{]

(й

-I

Если же п> г, то также верно неравенство _______________________2тап,г(тг-г)~1Дп-1(/)р

эир

/ея;

! ит (/(г); 2^ [1 + (м2 - 1) эт/*(п - гЩ

<И

(15)

*/2м :

У зшт£ [1 + (/х2 — 1):Б1П /^.¿] сИ

Прир = 2 верхняя грань в соотношениях (15) и (16) реализует функция /<,(*) = г" бЯ^ПЯ^.

Из теоремы 1.4.2 при /и = 1 вытекает

Следствие 1.4.1. В условиях теоремы 1.4.2 при /л = 1 справедливы равенства

2тп’-1К-1(/)р 2тап,г(п - г)"1^/),

8“Р'—п-------------------------------------------------= ир -£ =

/€ЯЙ /• . . /ен1'

I ит (/¿г>; 2<)2 <и 6 Р I ит (/(г); 2*)а Л

о

(2т- 1)!!

2„г>+1

(17)

. 2")

где Г(а) - гамма-функция Эйлера.

Отметим, что из равенства (17) при т = 1,р = 2 вытекают некоторые результаты работ Н.Айнуллоев и Л.В.Тайкова [2]. '

Вторая глава диссертации посвящена вычислению точных значений поперечников некоторых классов аналитических в единичном круге функций. Отметим, что к настоящему времени в задаче об отыскании точных значений поперечников классов функций одного действительного переменного получен ряд окончательных результатов. Однако, несмотря на изобилие работ по вычислению поперечников для аналитических функций одного комплексного переменного, многие аналогичные проблемы до сих пор остаются нерешёнными. Тем не менее в некоторых банаховых пространствах аналитических в единичном круге функций уже достигнут значительный прогресс, о котором мы уже упоминали в начале введения.

Основной целью второй главы диссертации является вычисление точных значений поперечников некоторых классов аналитических в единичном круге функций, у которых усреднённые модули непрерывности различных порядков угловых граничных значений г-ых производных мажорируются заданной функцией Ф(£), удовлетворяющей определённым ограничениям.

Напомним определения поперечников, значения которых для конкретных классов функций Ш вычислены во второй главе.

Колмогоровским поперечником класса функций Ш в пространстве

Харди Нр, 1 < р < со называют величину

dn(M, Нр) = inf{s(£W, Ln)p : Ln С Hv), (18)

где нижняя грань берётся по всему подпространству заданной размерности п

из пространства Нр. Если исходить из наилучшего линейного приближения £(Ш, Ln), то величину

АП(ЭЛ, Яр) = inf{¿(ЗП, Ln)p : Ln С Яр} (19)

называют линейным поперечником класса 9Л в пространстве Яр.

Аналогично, взяв за основу величину (13), вводят в рассмотрение проекционный поперечник

тгп(9Л, Нр) = inf{^(ГОТ,Ln) : Ln С Нр}. (20)

Существуют ещё две величины, известные в теории приближений под названиями „п-поперечник по Гельфанду“ и „n-поперечник по Бернштейну“.

Если S = {/ Є Яр, 11/Цр < 1} - единичный шар в пространстве Яр, то

<Г(9Л, Яр) = inf {inf {ш ПI" С eS : e > о} : Ln С Яр| (21)

называют поперечником по Гельфанду, а величину

Ьп(Шї; Яр) = sup{sup{e5 П Ln+\ С Ш : є >о} : Ln+\ С Нр} (22)

называют поперечником по Бернштейну.

Хорошо известно, что между поперечниками (18) - (22) выполняются неравенства:

Ьп(ЯП; Яр) < ^ < An(9Jt; Нр) < тгп(аП; Яр). (23)

Кроме введённых в четвёртом параграфе первой главы классов функций Т^{Ф) и /'І^(Ф), для которых вычислили верхние грани наилучших полиномиальных приближений в теореме 1.3.3, для той же мажорантной функции Ф(£), в предположении, что Ф(0) = 0, при 0 < t < п/2, введём следующие классы функций:

/ £ ЯрГ) : J w(/M, í)pdí<$í-^-U, n>r, l<p<oc,

o '

а также следующие классы функций, зависящие от параметра ц :

=

= {/ € ЯЦ : jWm(/<r),2í)2[l + (м2 - l)sin£]d¿ < Ф(«)|,

' о '

Ж£\Ф,ц) =

Л / € Я<г) : jwm(f{r\2t)2[l + - l)rin~]dí < Ф(«)|,

где т € К, г € 2+, р, € К+, д >1 - -произвольное фиксированное число.

Перечислим основные результаты второй главы об отыскания величин

(18) - (22) для вышеперечисленных классов функций. Основным результатом второго параграфа второй главы является

Теорема 2.2.2. Пусть функция Ф(£) для любых А € [0,1] и I € (0,7г] удовлетворяет неравенству

4 Ф(х) 7г/2 - (тг/2 - 1)А'

Тогда для любых г, n € N, 1 < р < оо справедливы равенства

Rn

(24)

7п

К>(Ф).Я„,Й)=^-Ф0,

7п(^(Ф),ЯР,Л)

, (п - г)Дп

■Ф

п - г/

п> г,

4гг(п — 1),... (п - г + 1) где 7„(-) - любой из поперечников Ьп(-), ¿п(). Множество мажорант Ф(£), удовлетворяющих условию (24), не пусто. .

Отметим, что результаты теоремы 2.2.2 являются обобщением результата Л.В.Тайкова, полученного для классов дифференцируемых периодических функций на случай аналитических в единичном круге функций,

принадлежащих пространству Яр, 1 < р < оо. Условию (24) удовлетворяет, например, Ф(£) = t'!2.

В третьем параграфе, пользуясь результатами теоремы 1.3.3 для классов аналитических функций Tm,q,a, найдены точные значения всех

вышеперечисленных поперечников, а именно, доказана следующая

Теорема 2.3.1. Пусть т,п,г Е N, 1 /г < q < 2, 0 < и < rq - 1,

О < h < тг/п. Тогда имеют место равенства

( h \ ~1/Я 7n(^r,la> Н2) = 2~mn~r ( J ^sin j'j sin" ^tdtj . (25)

Если же m,n,r € N, 1 < q < 2, 0 < и < q(n - r)ln[n/(n - r)], 0 < h < 7r/(n — r), n > г, то имеют место равенства

-l/q

= 2 í J sin^ídíj , (26)

г<?е е равенствах (25) и (26) 7„(■) - любой из вышеперечисленных поперечников Ьп{‘), (?(•)> dn(-), Л„(-), 7Гп(0-

Четвёртый параграф второй главы посвящён получению точных значений поперечников в пространстве Н2 классов аналитических в круге функций wiГ,о(Ф, А*) и Wm^i/u), зависящих, кроме мажоранты Ф, ещё и от параметра ц > 1 и определяемых модулями непрерывности т-го порядка. Точные результаты, полученные в теореме 1.4.2, дают для всех поперечников оценку сверху. При получении оценки снизу либо используется теорема В.М.Тихомирова, либо пользуются определением бернштейновского поперечника в каждой конкретной ситуации. Положим

(sinx), = { sini, если 0 < х < 7г/2; 1, если х > 7г/2

Приводим основной результат заключительного параграфа второй главы.

Теорема 2.4.1. Если для любых m,n,r G N с заданным ц > 1 и при любых v 6 (0, тг/2], соответственно, для и = 7г/(2цп) и и = 7г/2ц(п - г), п> г мажоранта Ф(х) удовлетворяет условию

l + (/x2-l)sin^

dt <

< Ф(и)

/(й

. 7ГІ \т

ИП 2иц/

то йля любого натурального п имеют место равенства

7п(<і(Ф,М),Я2) = 2~тп~ТФ • 7М,„

*К>(*. <•>,*) - 2-«й® (ад^) ■ Л,-

’ тг/2д(;

J (зіп кі)п [і + (М2 - 1) віп /х/гі] <й

где

г, п > г, -і

(27)

(28) (29)

в 7п(-) - любой из поперечников Ьп(-), Ср(-), ¿¿„(-), А„('), 7Г„(-).

Все поперечники в соотношениях (28) и (29) реализуются частными

п-1

суммами Тейлора Тп-1(/, г) = ]Рск(/)г*.

к=0

Множество мажорантных функций Ф(х), удовлетворяющих условию (0.0.27), не пусто. Это вытекает из утверждения

Теорема 2.4.2. Множество функций Ф, удовлетворяющих условию (0.0.27), не пусто. Для того, чтобы неравенство (27) имело место для функции Ф„(<) = £“ с любым го" Є N и (і > 1, необходимо и достаточно, чтобы число а = а(ц) определялось по формуле

' і ■ ■

а(ц) = 1 + тп

1. о 2(1

сИ

/(*$)'

1 + (м2 - 1)

ей

Для границы значений числа а = а(^) справедливо неравенство

г- (2т — 1)!! :

^2Т((т + 1)/2)а°М£т + 1'

где Г(и)-гамла-фх^кция Эйлера.

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю академику АН РТ М.Ш.Шабозову за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Юсупов Г.А., Миркалонова М.М. О точных значениях п-поперечников на классах функций, задаваемых модулями непрерывности высших порядков в пространстве Харди // ДАН Республики Таджикистан, 2008, т.51, N»10, с.722-729.

2. Шабозов М.Ш., Миркалонова М.М. Наилучшее полиномиальные приближение функций в пространстве Харди Яр, 1 < р < оо // Йзв. АН Республики Таджикистан. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. наук, 2009, №2(135), с.19-31.

3. Миркалонова М.М. Верхние грани наилучших полиномиальных приближений на некоторых классах аналитических функций в пространстве Харди // ДАН Республики Таджикистан, 2010, т.53, N*5, с.338-345.

4. Миркалонова М.М. Значение п-поперечников некоторых классов аналитических функций в пространстве Н2 // ДАН Республики Таджикистан, 2010, т.53, №8, с.595-600.

5. Миркалонова М.М. Наилучшее полиномиальное приближение аналитических функций в пространстве Харди Нч, 1 < д < оо // ДАН Республики Таджикистан, 2009, т.52, №11, с.825-829.

Сдано в издательство 25.01.2012 Подписано в печать 26.01.2012 Печать Офсетная Тираж 100 шт.

Типография «Офсет Империя»

Введение

Глава I. Наилучшее полиномиальное приближение аналитических функций в пространстве Харди 1 < р < оо

§1.1. Определения и обозначения

1.1.1. Вспомогательные факты.

1.1.2. Описание модулей непрерывности высших порядков.

1.1.3. Наилучшее приближение функции /(г) Е Н^ П Я^а.

§1.2. Наилучшее полиномиальное приближение аналитических функций /(г) Е Нр ^ П Нр}, 1 < р < оо, структурные свойства которых характеризуются модулями непрерывности и гладкости

§1.3. Верхние грани наилучших полиномиальных приближений на некоторых классах аналитических функций, задаваемых усреднёнными с весами модулями непрерывности высших порядков или их мажорантами.

§1.4. О некоторых обобщениях результатов Л.В.Тайкова и Н.Айнуллоева о полиномиальном приближении аналитических функций, принадлежащих классу Нр^а.

Глава II. Точные значения п-поперечников некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди

Нр, 1 < р < оо

§2.1. Определения и обозначения п-поперечников, классы функций г) (г)

§2.2. Значения п-поперечников для классов функций И^а,

Ф), \¥1{;\ф).

§2.3. О точных значениях п-поперечников для классов функций

-г(г) тгМ -Лт) /фч тгМ/ф\ 67 •Ггад,а, -г)

§2.4. Точные значения п-поперечников для классов функций

В настоящее время вопросам наилучшего полиномиального приближения аналитических в круге функций и вычисления точных значений различных поперечников классов аналитических функций посвящено достаточно много работ, где уже получен целый ряд окончательных результатов. Первые точные результаты по наилучшим полиномиальным приближениям аналитических в круге функций принадлежат К.И.Бабенко [3] и Л.В.Тайкову [33-35]. Именно работа К.И.Бабенко [3] явилась отправным пунктом для получения точных значений колмогоровских поперечников в работах В.М.Тихомирова [36] и Л.В.Тайкова [33]. В последующих работах Л.В.Тайкова [34,35] и Н.Айнуллоева и Л.В.Тайкова [2] в норме пространства Харди были получены точные значения поперечников в смысле Колмогорова некоторых классов аналитических в единичном круге функций, граничные значения которых допускают представление сверткой, либо усреднённый модуль гладкости их граничных значений мажорируется заданной функцией. В дальнейшем эта тематика нашла своё отражение в работах М.З.Двейрина [14-16], М.З.Двейрина и И.В.Чебаненко [17], Ю.А.Фаркова [39], S.D.Fisher [40], S.D.Fisher and C.A.Michelli [41], A.Pinkus [29], С.Б.Вакарчука [6-11], М.Ш.Шабозова [43-46], М.Ш.Шабозова и О.Ш.Шабозова [47], М.Ш.Шабозова и Г.А.Юсупова [48] и многих других математиков.

Целью настоящей диссертационной работы является дальнейшее развитие этой тематики, связанной с вычислением точных значений различных поперечников классов функций, аналитических в единичном круге функций, задаваемых модулями непрерывности высших порядков граничных значений производных.

Приводим краткое содержание диссертационной работы.

В первом параграфе первой главы приводятся основные определения и вспомогательные факты, используемые в дальнейшем. Напомним, что функция оо = ^скгк, г = реи, 0 < р < 1, 0 < £ < 2тг к=0

- аналитическая в единичном круге \г\ < 1, принадлежит банахову пространству Яр, 1 < р < сю, если := ||/||Яр = Нт ЛГР(/, р) < оо, р—>-1—о

2тг

1/р

Мр(/, р)

2тг оо.

3 := 11/Ця«, = тах| |/(г)| : < 1}, р

При этом норма функции /(г) Е Нр реализуется на её угловых граничных значениях /(£) := /(егЬ). Всюду далее через 0 < Я < 1 обозначим пространство Харди аналитических в круге \г\ < Н, функций /(г), для которых я,

Символом р,н оо.

Рп-1| Рп-!^) Е Тп-г} обозначим величину наилучшего приближения функции /(г) Е Нр, р > 1 подпространством полиномов "Рп-1 степени не выше п — 1. Производную г-го порядка функции /(г) по аргументу £ комплексного переменного г = регЬ обозначим /а\г), а обычную производную г-го порядка обозначим /^(г). При этом очевидно, что г) =/'(*)■«, №(г) = \/^Ч*

1) г = 2,3,. .

Соответствующие граничные значения производных обозначим через /а\ь) и Через #рГ) (г Е Ж+, Яр0) = Нр) обозначим множество аналитических в единичном круге функций /(г) Е Нр, у которых f^(z) Е Нр,

1 < р < оо. Аналогичным образом, обозначим я£2 = {/(*) € нр, ||/М||р < оо} , 1 < р < оо.

Если функция f(z) Е Нр имеет непрерывные граничные значения f(t) Е Ьр[0, 27г], то их гладкость охарактеризуем скоростью убывания к нулю модуля непрерывности то-го порядка её граничных значений um{f\t)p = sup т , ч в-*: к=О 4 7 (• + (ш — к)т) \т\ < t

1) при £ —> 0, либо зададим скорость убывания к нулю мажоранты некоторой усреднённой величины, содержащей В частности, из (1) для произг) (г) вольной /(г) Е Щ П щ ^ имеем:

00

Ж1, t)2 = 2m sup ^ k2r |c,|2 (1 - cos kr)m : \r\<t\, (2) fc=i oo

Xfirht)2 = 2msup{ £ *lr\ck\2 (I - cos{k - r)r)m : |r|<0, (3) k=r+1 где = /с(/с — 1). (к — r + 1), к > r.

При решении экстремальных задач во всех основных результатах в качестве экстремальной функции выступает функция ш =znE Я<г> П 1 < Р < оо, модуль непрерывности m-го порядка которой в Яр-норме, при всехр Е [1, оо), имеет вид 2mn2r(l - cosn£)"\ О < t < ir/n,

2 ( Ar) m\JO,ai =

2 2mn2r, i > ir/n. ornj

2 ( Ar)

2ma2r(l - cos(n - r)i)m, 0 < t < тг/(п - r),

2ma2 n,r> t > ir/(n — r).

В параграфе 1.2 рассматривается задача нахождения точных значений наилучших полиномиальных приближений функций f(z) £ Н^ П Нр]а, 1 < р < оо, структурные свойства которых характеризуются модулями непрерывности и гладкости. Здесь доказаны следующие утверждения

Теорема 1.2.1 Для любой функции /(г) € Нр^ П Нр}, 1 < р < оо, соответственно для и 6 (0,7г/2п] и и Е (0,7г/2(п — г)], п > г, п Е М, г Е при любом Я (О < Я < 1) справедливы точные неравенства

2и

Еп-ЛЛнрЯ < ^т/(4) о

2и

Еп-1(ЛнрЯ < {П7Г)КП [п>г (5) О и знак равенства в соотношениях (4) и (5) реализуется для /о(г) = гп <Е Н^ПН^а, 1<р<ОС.

Теорема 1.2.2. Для произвольной функции ¡{г) Е Нр}, 1 < р < оо, любого и Е (0,7г/(2п)] и любого Я (0 < Я < 1) справедливо точное неравенство п-1(/)яр,я < V о о

6)

5 частности, при и = п/(2п) из (6) имеем

Еп-1(/)нрЯ < тг/(2 п) тг/(2п)

J (1-8тпж)Жс + п2 J бшпх(1Х о о

Неравенства (6) и (7) обращаются в равенство для функции /0(2) = гп 6 1<Р<оо.

Теорема 1.2.3. Для любой функции f(z) € ЯрУ], 1 < р < оо и любого заданного и £ (0,7г/(2п)] при любом Я (0 < И < 1) справедливо неравенство

Еп-1{ЛнрЯ <

7гЯП 1

2 ипг 7г — 2 1 1 о о

Jбо>2 вт^-хс/гЕ >, п ' и

Ш21ш2 (; 2х'>' (8) и, в частности, п-1(/)яр,я < тг/(2п) тг - 2)п О

7Г/(2П)

J (1 - апш) п п2 J (/(г"2);2х) этпхсйЛ. (9)

Оба неравенства (8) и (9) обращаются, в равенство для функции /о (г) = е Я$, 1 < р < оо.

В третьем параграфе первой главы изложены результаты о точном значении верхних граней наилучших приближений комплексными алгебраическими полиномами некоторых классов аналитических в круге функций, задаваемых модулями непрерывности т-го порядка граничных значений г-ых (г € производных функций в пространстве Харди Н2. Одним из основных результатов третьего параграфа является следующая

Теорема 1.3.2. Пусть /(г) £ Нр\ 1 < р < 2. Тогда для любых чисел т, п,г б М, 1 < д < 2, 0 < 1/ < q(n-r) 1п[п/(п — г)], 0 < /г < тг/(п—г), г < п справедливо неравенство где ащг = гг(п — 1). (п — г + 1), п > г. Неравенство (10) обращается в равенство для функции /о (г) = гп £ Нр\ 1 < р < 2.

Аналогичное утверждение (теорема 1.3.1) доказано для случая, когда структурные характеристики функции /(г) Е Н^а характеризуются усреднёнными значениями модулей непрерывности га-го порядка 2.

Приведём определения и обозначения общего характера, нужные нам в дальнейшем для вычисления точных значений верхних граней наилучших приближений на классах функций.

Пусть по-прежнему Нр, 1 < р < оо - банахово пространство Харди, Ш - некоторое выпуклое центрально-симметричное множество из Нр, Ьп

- произвольное п-мерное линейное подпространство из Нр; £>{НР, Ьп)

- множество всех линейных ограниченных операторов, отображающих пространство Нр ■ в подпространство Ьп\ С^(Нр,Ьп) - подмножество проекторов из £(Нр,Ьп). Требуется найти следующие аппроксимационные величины:

Еп(Ш)Нр Е(Ш, Ьп)Нр = зпр {Еп(ЛНр : / € Ш} (11)

- приближение фиксированного множества Ш С Нр подпространством Ьп в пространстве Нр\

8п(Ш)Нр^ 8(Ш,Ьп)Нр = inf{sup{||/-A/||Hp: fem}: Л С £Д(ЯР, Ln)} (12)

- наилучшее приближение множества Ж С Нр линейными операторами в пространстве Нр; inf{sup{||/-A/||Hp: fem): А с C^(Hp,Ln)} (13)

- наилучшее приближение множества Ж С Нр проекторами в пространстве Нр. Для величин (11) - (13), согласно определению, выполняются неравенства

Еп(Ж)Нр < Еп(Ш)Нр < Ш)Нр. (14)

Наряду с отысканием точных значений величин (11)-(13), естественный интерес представляет также отыскание тех подпространств Ln с Нр, на которых реализуются соответствующие нижние грани. Такие подпространства называются экстремальными подпространствами.

Пусть Ф(и) - произвольная непрерывная возрастающая при и > О функция такая, что Ф(0) = 0. При любых m,n,r G N, соответственно, при 0 < h < 7г/(п — г), г < п, 1 < q < 2, 0 < и < q(n — г) ln[п/(п — г)], г < п и 0 < h < 7г/п, 1/r < q < 2, 0 < и < rq — 1, определим следующие два класса функций, определяемых мажорантой Ф :

Т-И(ф) -=Т{г){т,п,д,и\Ф) = { /М е Н? : / uUfir\t)2sm^tdt < Ф*(Л)

Г)(Ф) :=Jlr)(rn,n,q,w, Ф) { № 6 я£> :

М,4)2зт"^<Ф «(Л)

Приступая к вычислению величин (11) - (13) в соответствии с утверждениями теорем 1.3.1 и 1.3.2, будем рассматривать следующие случаи: а) Ш = ^(г)(Ф), X = Я2, = Тп-1\ б) Ш = ^(Ф), X = Я2, Ьпг =

Теорема 1.3.3. Длл верхних граней наилучших полиномиальных приближений классов функций при любых т, п, г Е М, ветственно для случаев соота) 0 < /г < 7г/(п — г), г < п, 1<д<2, 0 < ^ < д(п — г) 1п[п/(п — г)]; б"; 0 < /г < тг/п, 1/г < < 2, 0 < V < гц - 1, имеют место равенства

Д„-1(7<Г)(Ф))2 = ^-1(^(Г)(Ф))2 = С1(^(Г)(Ф))2 = 2 а. \ 0

-1/9 тц эт п — г \ ' . „ -к , , Т .,. бш I ( ) ■ 2 п

771^ —Г \ п Атд ■ и71 , эт — эт —¿ас

-1/9 0

Ф(Л).

2 7 """ /г' Из теоремы 1.3.3 вытекает

Следствие 1.3.1. При выполнении всех условий теоремы 1.3.3 имеют место равенства 2-(-i) (n - г) V. ii±i) Ф , n > r, n^i B-i (mq+2U + \ Ф Q , где B(a, b) - бета-функция Эйлера.

В заключительном четвёртом параграфе первой главы приводится обобщение результатов Н.Айнуллоева и Л.В.Тайкова о полиномиальном приблиг) (г) жении аналитических функций, принадлежащих классу щ^Пщ , 1 < р < 2, причём структурные свойства функции f(z) G Hp]"J (^f(z) G Hp^ , 1 < p < 2 полностью характеризуются стремлением к нулю модуля непрерывности т-го порядка wm(/ir); i)p (/(r); производной /ir)(i) (/(г)й), задавая эту скорость посредством мажоранты некоторой усреднённой величины

Um(far);t)p (u^m(/(r);i)p) В ПреДПОЛОЖвНИИ, ЧТО fa\t) ± COUSt ^ constj г) (г)

Теорема 1.4.2. Для любых функций f(z) G Яр,а П Щ , 1 < р < 2, при всех то, п, г G N w произвольного ¡i G М+, уи > 1 справедливо неравенство

2тп7"1-Еп-1(/)р . sup —----<

7Г/2 ЦП f£HPia С

7^; 2[1 + (м2 - 1) sin/mi] dt о тг/2м J sinmi [1 + (/А2 - 1)sinAii] di > . (15)

Если же п > г, то также верно неравенство

2таП)Г{п-гУ1Еп-1Ц)р<

7г/2Д(П—г) f&H{pr) ' г ' r);2i)2 [1 + (/i2 - 1) sin f-i(ri - r)t] dt

-l

J smmt [1 + (¿¿2 - l)sin/i£] dt I . (16)

При p = 2 верхнюю грань в соотношениях (15) и (16) реализует функция f0(z) = zn е tfg П

Из теоремы 1.4.2 при /j, = 1 вытекает

Следствие 1.4.1. В условиях теоремы 1-4-2 при fi = 1 справедливы равенства

2mnr-lEn^{f)p 2manr{n - r)-lEn^{f)p sup —-— = sup —-—--- = r) fcfr(r) ^/(n-r) у. Ч N /еяр

I Jа um(f^-2t) dt I umlfW-2t) dt

2 J \ У 2 0

2m- 1)!! fm + 1' 2m Г

17)

2 у где Г (а) - гамма-функция Эйлера.

Отметим, что из равенства (17) при т = 1.р — 2 вытекают некоторые результаты работ Н.Айнуллоев и Л.В.Тайкова [2].

Вторая глава диссертации посвящена вычислению точных значений поперечников некоторых классов аналитических в единичном круге функций. Отметим, что к настоящему времени в задаче об отыскании точных значений поперечников классов функций одного действительного переменного получен ряд окончательных результатов. Однако, несмотря на изобилие работ по вычислению поперечников для аналитических функций одного комплексного переменного, многие аналогичные проблемы до сих пор остаются нерешёнными. Тем не менее, в некоторых банаховых пространствах аналитических в единичном круге функций уже достигнут значительный прогресс, о котором мы уже упоминали в начале введения.

Основной целью второй главы диссертации является вычисление точных значений поперечников некоторых классов аналитических в единичном круге функций, у которых усреднённые модули непрерывности различных порядков угловых граничных значений г-ых производных мажорируются заданной функцией Ф(£), удовлетворяющей определённым ограничениям.

Напомним определения поперечников, значения которых для конкретных классов функций Ш вычислены во второй главе.

Колмогоровским поперечником класса функций в пространстве Харди Нр, 1 < р < оо называют величину с1п{Ш,Нр)=Ы{Е{Ж,Ьп)р : Ьп С Яр}, (18) где нижняя грань берётся по всему подпространству заданной размерности п из пространства Нр. Если исходить из наилучшего линейного приближения £(Ш,Ьп), то величину п(Ш,Нр)=м{е(Ш,Ьп)р: Ьпсяр} (19) называют линейным поперечником класса ЭДТ в пространстве Яр.

Аналогично, взяв за основу величину (13), вводят в рассмотрение проекционный поперечник

7гП(Ш1, Нр) = ^{¿^(ШТ, Ьп) : Ьп С ЯР}. (20)

Существуют ещё две величины, известные в теории приближений под названиями „п-поперечник по Гельфанду" и „п-поперечник по Бернштейну".

Если 5 = {/ Е Яр, \\fWp < 1} - единичный шар в пространстве Яр, то ¿П(ШТ, Яр) = т£ {Ы {ЭЛ ПЬп сев : е > о} : Ьп С Яр} (21) называют поперечником по Гельфанду, а величину

Ь„(9Я; Нр) = вир^р^Я П Ьп+1 СШ: е > о} : Ьп+1 С Нр } (22) называют поперечником по Бернштейну.

Хорошо известно, что между поперечниками (18) - (22) выполняются неравенства:

Ъп{Ш1; Нр) < ЯР < Хп(Ш-, Нр) < тгп(9Л; Нр). (23)

Кроме введённых в четвёртом параграфе первой главы классов функций ^"^(Ф) и ^^(Ф), для которых вычислили верхние грани наилучших полиномиальных приближений в теореме 1.3.3, для той же мажорантной функции Ф(£), в предположении, что Ф(0) = 0, при 0 < £ < 7г/2 введём следующие классы функций:

7Г/п о

7Г/(п-г) л

7г п 1 < р < оо,

П > Г, 1 < р < ОС1. а также следующие классы функций, зависящие от параметра /1 : <1 / е : I ыти£\2г)2 1 + - 1)зт£ < Ф(п) ¡>,

7г£

2и\ £ Н^ : I

7ГI

Шт(/{Г\2Ь)2 [1 + (м2 - 1) —] М < Ф(и) \, где т£М, г ¡1 Е К+, ц. > 1 - произвольное фиксированное число. х

Перечислим основные результаты второй главы об отыскания величин (18) - (22) для вышеперечисленных классов функций. Основным результатом второго параграфа второй главы является

Теорема 2.2.2. Пусть функция Ф(£) для любых А € [0,1] и Ь Е (0, ж] удовлетворяет неравенству

9 7г Ф(Лх) Л , ,

2эт -Л < < —;-т~,-(24)

4 - Ф(ж) - тг/2 - (тг/2 - 1)Л ^ ;

Тогда для любых г, п € М, 1<р<оо справедливы равенства

Яп , /тг п где 7п(-) - любой из поперечников Ьп{•), с/п(•). Множество мажорант Ф(^), удовлетворяющих условию (24), не пусто.

Отметим, что результаты теоремы 2.2.2 являются обобщением результата Л.В.Тайкова, полученного для классов дифференцируемых периодических функций на случай аналитических в единичном круге функций, принадлежащих пространству Нр, 1 < р < со. Условию (24) удовлетворяет, например, Ф(£) = ¿7Г//2.

В третьем параграфе, пользуясь результатами теоремы 1.3.3 для классов аналитических функций Тт\ ,а.1 найдены точные значения всех вышеперечисленных поперечников, а именно, доказана следующая

Теорема 2.3.1. Пусть т,п,г Е М, 1 /г < д < 2, 0 < и < гд — 1, О < И < ж/п. Тогда имеют место равенства

Н2) = 2~тП-Г

К тц \

I (вт^вш^Я] . (25) \о

Если же тп, п, г £ М, 1 < < 2, 0 < и < д(п — г) 1п[п/(п — г)], О < /г < 7г/(п — г), п > г, то имеют, место равенства

I Н гпд \

Н2) = 2-а"1, I (ат "" зт" ^ , (26) где в равенствах (25) и (26) 7п(-) - любой ш вышеперечисленных поперечников Ьп(-): йп(■),

Четвёртый параграф второй главы посвящён получению точных значений поперечников в пространстве #2 классов аналитических в круге функций ]¥т}а{Ф, м) и зависящих, кроме мажоранты Ф, ещё и от параметра ¡1 > 1 и определяемых модулями непрерывности т-го порядка. Точные результаты, полученные в теореме 1.4.2, дают для всех поперечников оценку сверху. При получении оценки снизу либо используется теорема В.М.Тихомирова, либо пользуются определением бернштейновского поперечника в каждой конкретной ситуации. Положим эта;)» = | втгс, если 0 < х < 7г/2; 1, если х > 7г/2 }.

Приводим основной результат заключительного параграфа второй главы.

Теорема 2.4.1. Если для любых т,п,г € N с заданным ц > \ и при любых V Е (0,7г/2], соответственно, для и = 7г/(2/лп) и и = 7г/2//(п — г), п > г мажоранта Ф(х) удовлетворяет условию

Ф (и) / эт v п / . \ т

7г£ \

2 иц о

О ч

1 + (^2-1)81П — и < и то ,

9 ч 7ГС 1 + ^1)8т о

И, (27) то для любого натурального п имеют место равенства

7п(<)а(Ф,М),Я2) = 2~тгГг Ф • ^ (28)

7 п т

7Г

2^(п — г)

П> г, (29) где тг/2цк

-1

Зц,к — вт Ы)т [1 + (/12 - 1) эт /1к{\ <И а 7п(-) - любой из поперечников Ьп(-), с1п(-), б?п(-), Ап(-), 7гп(-).

Бее поперечники в соотношениях (28) и (29) реализуются частными суммами Тейлора п-1 к=О

Множество мажорантных функций Ф(я), удовлетворяющих условию (0.0.27), не пусто. Это вытекает из утверждения

Теорема 2.4.2. Множество функций Ф, удовлетворяющих условию (0.0.27), не пусто. Для того, чтобы неравенство (21) имело место для функции Ф*(£) = Ьа с любым т £ N и ц > 1, необходимо и достаточно, чтобы числа а = а(/и) определялись по формуле 1 тгГ пап —

V 2/х, т—1 соя иг 2/1

1 + (ц2 - 1) БШ

-кг

ЛЬ . тгЛ то

1 + (р2 - 1) в!

7г* эт г

Для границы значений числа а = а(ц) справедливо неравенство

2га - 1)!!

2тГ ((га + 1)/2) < га + 1, где Г (и)-гамма-функция Эйлера.