Приближение классов периодических функций многих переменных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

.Г 6

v .

5 МОЖОВСЮЙ; ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВШНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.6

ГАЛЕЕВ ЭЛЫАТ МИХАЙЛОВИЧ

ПРИБЛИЖЕНИЕ КЛАССОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ КНОГИХ ПЕРШЕЗШХ

01.01.01 - математически® анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ЕЗосква - 1993

Работа выполнена на кафедре общих проблем управления механико-мвтечатического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор В.И.Буренков,

доктор физико-математических наук, профессор В.Ф.Гапошкин.

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник В.Н.Темляков,

Ведущая организация - Институт математики АН Украины.

и

Защита диссертации состоится "О " чхЛЛ/уУ рМ 1993 г. в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного совета по математике * 1 (Д.053.05.04) при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико- математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан .»А- нмЩы 1993 г.

Т.П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность-теш. Теория приближений, являясь частью математического анализа, изучает метода приближенного вычисления чисел, функций, операторов, решений уравнений. Первый этап теории приближений связан с приближенном индивидуальных функций о помощью по."л-номов и рационрлышх дробой, нахождением полиномов, наименее уклоняющихся от нуля. Ярким представителем и одним из основателей этого этапа был П.Л.Чебышев.

Второй этап связан с ггри^ликонием ужо на одной, а целого класса функций фиксированным методом приближения, выявлением зависимости между гладкостью функции и скоростью ое аппроксимации. Отмэ-там осмонинолагающио исслодова1шя в этом направлении, птоведеннаэ Джексоном и Борнштейиом. Пахашм является ■ также предлогшшгаэ С.Ы.Никольским использование средств гармонического анализа для

ТротиП втпп теории приближений связан о идеями Колмогорова, когда для приближения класса ищется наилучший аппарат прибликения, например, подпространство ©тсировашгай размерности. Вводятся раз-лич1шо поперечники, являвдиеил опредэлошшк i характеристиками этих классов. Наиболее отчетливо вопроси втого этапа поставлены п работах В.М.Тихомирова. •

Изучв&кшо в диссертации вопросы относятся п основном ко второму и тротьому отапс:.! теории приближений. Являясь учеником Гихо-гаровп н участником ого семинара в' точение многих лет, иптор ¡троился дать отоог на ряд конкретшлс вопросов приближения, влаквиия, попоречникоз классов периодических функщЛ многих переменных. В роботе гладкость функции х задвется но ограниченном одноЯ какой

I

то производной в метрике ¿р, а цолим побором ограничений:

|х4 ,^ 1, 1-1,...,т. То есть, гладкость характеризуется набоР

ром "элементарных" гладкостей, и ставится общая задача о вложетш и приближении таких функций. Как правило, мы будем ограничиваться случаем 1 < р^ < поскольку случаи -- 1 требуют несколько иной техники и в диссертации не рассматриваются. Поэтому, если особо не будет оговорено, то считаем, что 1 < р^ < ю.

Цальв работы является приближение классов периодических функций одной и нескольких переменных. Объектами аппроксимации являются классы функция о доминирующей смешанной производной ^ и их пересечения, классы Никольского-Гельдера Н^ и их пересечения, а также классы Бесова Вр д. Для них решаются вопросы вложения, приближения суммами Фурье, вычисляются всевозможные поперечники втих классов, вводятся но"ые характеристики приолиж чия. Определятся порядки ряда величин, связанных с нормами многомерных ядер Дирихле и Фавара и неравенствами Бернштейна-Никольского наилучших но выбору N гармоник, которые играют важную роль в теории приближения функций многих переменных.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора.

Отметим наиболее важные задачи, решенные в диссертации.

1. Опг^деле. ле порядков колмогоровских поперечников (^(^(Т"),^) при 1 < р < ® и а1)<н£(Тп).Ь,5) при 1 < <

что позволило для классов (вместе с работами В.Н.Темлякова для Я * р) завершить определение слабой асимптотики ^(«^(Т"),^) при всех 1 < < «о.

2. Определение порядка колмогоровского поперечника ан(Н^(Тп),Ь(1) при Г < р * я < 2.

3. Определение порядка ядерного (а вместе с тем и ортопроек-ционного) поперечника ^(Н^.Ь^) при q í р < 2, что позволило для классов (вместе с работами Темлякова) завершить определение ор-топроекциснннх поперечников ¿^¡(Н^.Е^) при всех 1 < р^ <

Отметим еще ряд завершенных результатов о вложениях и прибли-

т •

яании суммами Фурье классов Чг = р (Т11), ядерных поперечниках;

Р Р

о колмогоровских поперечниках ^(З1) в Ь при всех« 1 < р3,ч < «.

• р ч

В работе также вводятся две новые характеристики приближения: ядърний и спектральный Н-поперечники. Введение этих величин на наш взгляд естественно и полезно. Оказывается, что знание ядерной нормы и спектра оператора позволяет делать вывода о приближающих способностях оператора, не зная дата размерности приближающего подпространства. Причем N может принимать и дробные значения.

Кроме того определяются точные значена* спектральных и проекционных поперечников ряда конечномерных множеств, порядки колмогоровских, линейных и бернитейновских поперечников пересечения функциональных классов при больших и малых гладкостях, точные значения бернатейновских поперечников'бесконечномерных р-эллипсоидов. Находятся порядки смешанных норм производных ядер Дирихле и Фавара с гармониками внутри и вне ступенчатого, гиперболического креста. Отыскиваются также порядки норм производных ядер Дирихле и Фавара, являщихся минимальными по выбору N гармоник. Находится порядок множителя, зависящего от N. в неравенстве Бернштейна-Никольского, являющегося минимальным по выбору N гармоник.

Методика исследования. В работе определяются порядки поперечна, .ав функциональных классов, наилучших приближения специально сконструированными операторами Фурье, а также других величин, используемых в теории приближений.

При оценке сверху прод'являотся, как правило, оператор, доставляющий наилучшее приближение, экстремальное иодпростраство, ядро Дирихла, или доказывается их существование и нунпая оценка.

При оценке снизу приближения оператором Фурье строятся плохо приближаемые функции. Они же как правило используются при доказательстве неулучшаемости полученных вложений функциональных классов.

Оценки снизу поперечников функципальных классов сводятся к оценкам снизу поперечников конечномерных множеств с помощью теорема Марцишшвича-Зигыунда для периодических функций многих переменных с гармониками на блоке од. При оценке конечномерных поперечников используются геометрические и алгебраические аппарата.

Приложения. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в исследованиях по- теории приближений функциональных классов <в том числе весовых), в теории вложений, наилучшего приближения операторов на классах гладких функций и приближения классов функций классами, проводимых в Матеыати-чском институте РАН, Московском, Санкт-Петербургском, Днепропетровском, Воронежском и других университетах и институтах.

Апробация работа. Основные результаты по мере их получения в рабочем порядке обсуждались на семгзтира' по теории аппроксимации Б МГУ (рук. проф. В.М.Тихошров). .'узличные фрагменты работы докладывались на следующих конференциях, школах, сег.лхарах:

I) Международных конференциях по теории аппроксимации (Киев,

1983; Варна, .1987; Аккафредиа, 1969, 1992; Исфахан, 1990: Кочкемет. 1990; Фрадрихрода, 1992);

2) Всесоюзных школах по теории функций й приближений (Саратов, 1982,1984,1986,1988, 1990; Иркутск,1987; Баку,1989; Одесса, 1931);

3) Всесоюзной иконе по теории операторов в функциональных пространствах (Челябинск, 1986; Ульяновск, 1990);

4) Второй Северо-Кавказской конференции "Функционально-да*фз-ренциалыше уравнения" 'Махачкала, 1988);

6) Ыеявузовсхах шкодах-семинарах "Теория приближений и задачи нгшслятольной математика" (Зименки, 1986; Ленинград, 1989; Крас-повядово, 1990, 1992);

5) 1-оа КеявузовскоЯ конфэронцил по теории функций и аппроксимация (Алуита, 1991);

7) Конференциях молодых ученых ИГУ (1981, 1984, 1985, 1986);

8) секанара по теория Функций в МГУ, руководители: чл.-корр. РАН П.Л.Ульянов, проф. Б.С.Каяаа (1993);

9) сэкинаре по теории аппроксимации в МИРА11, руководитель проф. С.Б.Стечккн (1992);

10) семинаре по теории ортогональных рядов в ЫИРАН, руководителя: проф. Б.С.Кагин, проф. В.II.Темляков (19ЭО-Х992);

Публшмиуга. Основные результаты дассертг-ши опубликованы в 30 работах актора (одна кз них в соавторство). Список работ приведен в копцэ автореферата.

Структура к ой'ей .втссертацзн. Диссертация состоит из введения четарох глав.кшгсаядас соответственно 4,4,6,6 параграфов, списка обозначений я списка литератур/. В покере теоремы первое число означвз? покер главу, второе - номер параграфа. Об'ем диссертации - 245 страши*. ВкЗлнографш» содержат 103 наименования.

5

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе выводятся необходимые и достаточные условия вложения конечномерных "ножеств в функциональных классов, которые в дальнейшем используются для нахождения оценок сверху приближений.

В S 1 кратко излагаются необходимые сведения из гармонического анализа, теории мультипликаторов, дробного дифференцирования, выпуклого анализа. Вводятся классы периодических функций нескольких переменных с доминирующей смешанной производной и векторной нормой ii^dr11), а.р « R", 1 < р < со, с производной определяемой по Вейлю; классы Никол*~кого-Гельдвра Н^Т11), с .производной определяемой смешанной разностью второго порядка; и классы 0.в.Бесова b^g, 1s6s°°.

В { 2 выводятся необходимые и достаточные условия вложения конечномерного множеств В(К), явяяпцегося пересечением множеств в£ = {х « 1^1|х| n s п"41 ), (1/р,а) « К, во множество в||.

Теорема 1.2.1. Пусть К - замкнутое множество из R2, KdO,1)«R,

Q(K) = cony К + cone{(-1,0),(1 ,-1)), В(К) = п В®, 1 < q £ <в,

(1/р,а)«к р

р < S. Тогда В(К)-с В^ тогда и только тогда, когда (1/q,P) « Q(K).

Эта теорема является прообразом теоремы 1.3.1 о влозаниях функциональных классов.

В § 3 выводятся необходимые в достаточные условия влохония .сласса периодических функций нескольких переменных W®, являщзгося пересечением конечного числа классов W0^, 1 = 1,...,ш, в класс для функций с произвольны!,я гармониками, а также для функций с гармониками из логарифмически выпуклого множества.

Теорема 1.3.1. Пусть о.а^.р.р1 «if, = n Ä^ff*1).

p 1=1 p1

t < p,p* < <e , i » 1,...,m, G = (convid/p1,«!1), i = 1,...,ш) +

(v.O) - (X,X)I « tP). Тогда W® cc тогда и только тогда,

р .

когда (1/р.а) « С.

Теорема 1.3.2. Пусть *®(I?,S> «= л ^«(»".S), а.с^.р.р1 «'И0, > р 1«1 рА 1 < pip1 < 00. 1 « 1 ....,и, S - { 8 я М"1 bj = ibj' ]. J = 1 ,....п,

a'« Q + К, Q с ßj - ограниченное множество, К с R^ - зачкнутый выпуклый конус о вершинойв нуле, ¡Pd^S) - <х « £ « 1>,

B«S , _ v

О - множество из теоремы 1.3.1,* В = 0 + (0,К°). Тогда W^-fl^S) сс. W^CE^S) тогда в только тогда, когда (1/р,а) «В.

Здесь К0 » { £ « if l <{ ,т|> s 0 v т) а К } - поляра конуса К. ' Достаточность условий.вложения выводится из построения некоторых мультипликативных неравенств. Перше неравенства подобного типа получены 0.В.Бесовым (теорема 1.1.3). Уточнение этих керэваг:тв дает достаточность условий вложения. Основной трудностьо было обоснование необходимости уоловиЗ вложения. Для доказательства этого строится специальная функция, являющаяся некоторой разностью ядер Дирихле. Эта функция в дальнейшем неоднократно использовалась для доказательства необходимости условий вложения и оценок снизу приближения как на Е", так и на R11 в работах автора, Г.Г.Магарил-йльяева, Дииь Зунга и других. '

Множество G для скалярных норм видимо впервые рассматривалось Н.С.Бахваловш, доказавшим для классов близких к вложение пересечения как и в теореме t.3.1 при (1/р.а) « Int G.

Магарил-Ияьяев доказал аналогичное вложение для функций на R". В совместной работе его и-Тихомирова проводится обобщение н« Rn»Tm.

В § 4 приводится обобщение неравенства Хаусдорфа-Вса на случай

фузг-циа многих переменных и векторных норм.

Теорема 1.4.1. Пусть р « R", 1 < р < 2, 1/р + 1/q » 1,

*<t) = £ п x,.e1(,c,t\ х = {хк, к « zn>. Тогда k«Z К к

|Х| > |х<-)|~ __ . |xf _ < |х( )|~ _ .

lp(Zn) Lqil11) lq(Zn) Iip(T^)

Норма в пространстве lp(Zn) определяется следующим образом:

IX, _ - (я... ц < Е ip(zn> е, ^ к

Если р = оо, то ( g |yi[|p)1//p понимается как вир |ykl • В отличие от векторной нормы пространства I. (Т11), в которой внутреняя нор-ыа берется в пространстве Lp по переменной t1, в lp(Z > внутренняя норма Серится в пространстве 1р по индексу суммирования К^.

Во второй главе определяются порядок аппроксимации суммами Фурье классов периодических функций одной и нескольких переменит и их ядерные поперечники. Показывается, что построенный оператор Фурье дает оптимальное приближение среди всех операторов Фурье о заданным числом гармоник К. И более того, является оптимальный среда всех ядерных операторов с ядерной нормой не превышапаей К. Отметим, что в этот класс операторов входят ортопроекторы на N-квр-ние подпространства. Доказывается оь-ималькость построенного оператора Фурье также для некоторых других классов линейных опеоаторов.

В § 1 приводятся несколько теорем В.Н.Темлякова, Динь Зунга, Н.О.Никольской и автора.' Формулируется для функций многих переменных ан&пог теоремы Царщшкевича-Зигмунда о дискретизации.

В 8 2 определяется порядок приближения классов i|(T1). H^d*1), В® gfT11) суммами фурьо в пространстве Lq при всех 1<p,q<».

Порядок приближения оператором Фурье класса функций одной переменной в найден В.М.Тихомировым.

Приближение класса функций В в нормированном пространство X оценивается велэтипой

а(й,31г,Х) = аир |х - Ц^х8х.

Теорама 2.2.1. Пусть = п ^(Т1). а1« К, 1 < р^о < со, р 1=1 р1

1 = 1,....га, 0 = соп7С(1/р1,а1}. 1 = 1.....га}+сопе((-1.-1),(1,0)},

у(х) » еир{а| (х,а) <£ 0), 7(1/4) > 0. Тогда

0(«|.3К.ЬЧ) х N . •

При приближении периодических функций многих переменных суммами Фурье встает вопрос, какие гармоники следует брать для прибли-жеш1Я. Впервые такой отфор был проведан К.И.Бабенко, вычислившим (^(Я^СГ11),!^). Им было установлено, что для приближения классов функций многих переменных важную роль играет гармоники ир гиперболического креста. Б.С.Мигягин впервые гпямзкил к подобным ваза дач см теорию мультипликаторов. Приближение классов осуществляется оператором Фурье с гармониками из некоторого расширенного гиперболического крэста, впервые рассмотренного С.А.Гелякоьскш

(V- »V

для оценки сверху колмогорозского поперечника <^("„,1^) и использованного Я.С.Бугровым для приближения Е Ь2. Приближении классов функций шогих переменных и построению оператора Фурье посвящены работы Н.С.Никольской , а тек же ряд работ автора, В.Н.Темля-кова н Линь вуига, о которых ниже буд^т более подробно рассказано. Для пряСлятения классов ¿¡£(1°) будем использовать оператор

Фурье с гармоника»® из ступенчатого гиперболического креста: I*

гАаи » у; 8 1(1),

■ !:- И!':!

ГДв 3 1

О. = <к« 2П| 2 3 «|1ц|<2в*. з - 1.....п>. Ояз(г)- 2 х„е1<к,*).

8 3 В квав Х

Оператор Б® впервые использовался Никольской для приближения «^(Т*1) в пространстве Ьр.

При приближении пересечения классов мы используем оператор Фурм с гармониками из пересечения ступенчатых гиперболических крестов.

Для приближения классов Н^Т"), В^дСГ") используется оператор фурье с гармониками из расширенного ступенчатого пшерболичео-кого креста (см., например, теорему 2.2.7).

В § 2 доказаны теоремы о приближении классов £^(1°), ¡^(Т11), Й^!®). Здесь мы приводим только одну более общую теорему.

Теорема 2.2.4. Пусть » г}*"^«"), о^.р*^ « вР, 1 < р*,Ч < р 1*1 р*

1 «* 1.....В, 0 » С сопт {О/р^.а1). 1 »1 .....т) - (\,Х) «• (у,0) I Х.у « Л?), Сч:- {7 «1^1(1/4.7) «О. Сч П Я? * 0. 8 - Св « | (в.7) ¿1*7« с^ }. Тогда число гармоник в операторе фурье БЛгШ « 2 вях(г) имеет порядок Н при * N и

0(^.8,,.?,) х (ГЧо^М)^.

где М - значение, а 1 - размерность аффинная оболочки множества решений задачи

(8,1) - вир; (8,7) $ 1 V т « Оц.

Теорема 2.2.6. Пусть ^ » п Н^С^11). '1 < р.Я < а1« ЯР, Б = <з « (в.а1) <1.1- 1,...,а ), где И - значение, а 1 - размерность множества решений задачи; (8,1).аир; в « Б, - К, р*= и1пСр,2). Тогда существует полиэдральное множество Б* => Б

такое, что card U х card U о x N я при 1/M>(t/p-1/q),

S<4JS B eeJiS' e +

G(H£,SN.Lq> x

, 1/p , , 1/H

(log1!!) (N hog1») . q «p,

, 1/q . . 1/Ii-1/p+1/q

(log^N) (N^log1!!) . q > p.

для оператора Фурье имеющего порядка N гармоник, действующего

на функцию х по формуле 8„х(г) = У 0„х(1;).

" в^Ё* в

Для т = 1 теорема 2.2.6. при р = Я доказана Н.С.Никольской; при р^ и q<ps2 Темляковым, при 2 < q < р Динь Зунгом, при q < 2 < р автором £61—18]..

Для классов теорема 2.2.6 при р < q $ 2 и при . 2 £ я ^р доказана Динь Зунгом , в остальных случаях автором [81-С9].

В заключение 5 2 приводится формулировка теоремы о приближении сушами Фурье классов Бесова в£ д(Т") оператором Фурье с гармониками из расширенного гиперболического креста.

Теорема 2.2.7. Пусть 1 < р.ч < 1< 9 ^ я, р*:= к1п{р,2}, г,г'« й", (1/р - 1А})+ < г, =...= г1+| < г1+2 <...< гп. = 1 = 1.....1+1, г1+1< г^ < г1, 1 = 1+2,..,,п. Тогда число гармоник в'операторе Фурье имеет порядок N при х N и

G<Bi,e-W *

. , Г..-1/Р+1А} , (1/q-1/6).

.(N logpN) (log1!!) . Р < q-

Известно (результаты Р.С.Исмагилова, Б.С.Кашина, В.Е.Майорова), что при р < q, q > 2 оператор Фурье не дает наилучшего приб-

тТ*

лигения классов Н* в простргчстве среда всех операторов линейного приближения подпространствами размерности N.

Поэтому естественна поставить задачу о нахождении как можно

более широкого класса операторов, для которого наилучшим (в смысле пор дка приближения) будет оператор Фурье. Первые результаты в этом направлении получены В.Н.Темляковым.

Он доказал, что оператор Фурье при приближении ВрСТ") и 5^(1") в Ьц при р < ч дает наилучшее приближение среди всех операторов ортогонального проектирования, а также среда линейных ограниченных операторов ранга №

Приведем некоторые другие условия на линейные операторы, при которых оператор Фурье дает оптимальное по порядку приближение, не привлекая при этом дополнительное пространство и понятие ортогональности, которое имеет смысл только в гильбертовом пространстве.

Ядерным И-поперечником множества И в банаховом пространстве

X назовем величину: ЗЫВ.Х) = 1лХ аир |х -

11 Мия.х) хеи *

где ф(Н,Х) - ядерные операторы с ядерной нормой Л(Р) < N (И > 0).

Ядерная норма ортопроекторов ранга N в пространстве ^ и бператоров Фурье в Ь^ с N гармониками не превышает N.

Теорема 2.3.2. Пусть Ц = п «^(Т"). «¿.р1^ « й", 1 < р*,я < 1=1.....а, С и Сч - множества из теоремы 2.2.4, Сч п ^ * 0- Тогда

ЯцО'р.Ь,) * (Н Чо^Л) , где = N. М - значение, а 1 - размерность аф£инной оболочки

множества решений задачи: (з,1) -« аир; (в,7) 5 1 V 7 е с .

Теорема 2.3.3. Пусть 1 < р,ц < », г«1!°, р*:= т1пСр,2), ч1/р-1/Я)+ < г, - ... = г1+1 < г1+2 < ... < гп. Тогда

(ю^к)1/р агиов^)1"1, а С р.

I (Ю?"Н) (К" 1о^К) 1 ' „ р < Ч.

Наиболее трудным в теореме 2.3.3 является случай q й р £ 2. Оценка сверху следует из приближения оператором Фурье. Оценка снизу даже для приближения оператором Фурье (работа Темлякова ) потребовала, довольно тонких построений функции класса н£, которая плохо приближается оператором Фурье в Ь^.

При доказательстве оценки снизу нам пришлось для фиксированного произвольного ядерного оператора с ядерной нормой не более N вначале доказать, что существуют гармоники, которые плохо приближаются этим оператором. Далее на этих гармониках взять аналога функций, построенных ТемляковыМ для оценки приближения оператором Фурье, и их разбросать так, чтобы при переходе к метрике £т константа в неравенстве Никольского разных метрик была минимальной. Затем, усредняя приближение по всем сдвигам функций, доказать существование плохо приближаемого сдвига разбросанных функций.

Определение порядка ядерного поперечника Эд^.Ь^) при я'р'<2 позволило (вместе с работами Темлякова) завершить определение орто-проекционных поперечников б^СН^.Ь^) при всех 1 < р,я <

Теорема 2.3.4. Пусть 1 < р,я < », 1 < 0 < », р*:= т1п{р,2), г « и11, (1/р - 1Л})+< г, =...= г1+1 < г1+2 гд. Тогда

, , г, . (1/р*-1/8). ДО (1о^Л) \ Ч < Р«

, г,-1/р+1/а , (1/4-1/0). (И Чо^н) 1 (Ю^ы) . р < q•

В § 4 вводится понятие спектрального поперечника. Оно возникло при оценках снизу ортопроекционных поперечников конечномерных множеств, к которым можно в ряде случаев свести оценки снизу поперечников функциональных классов.

Спектральным N-поперечником множества W в банаховом прост-рг стве X назовем величину

tr„(W.X) = Inf äug |х - Тх|х,

где инфимум берется по конечномерным линейным непрерывным операторам I : ь X, для которых след оператора tr Т = N.

Величина trN(W,X) по структуре похожа на геометрические поперечники (по Колмогорову, Александрову, проекционные, ортопроекцн-онные и т.п.). Но она не связана непосредственно с размерностью приблдалсщего подпространства. Более того, N может принимать и нецелые значения.

Если N с N - натуральное число, проекторы и ортопроекторы на подпрострянство Цс X размерности N имеют след равный N. поэтому оценка снизу проекционных и ортопроекционных поперечников сводится к оценке снизу спектральных поперечников:

trH(W.X) < *j,(W,X) < a^(W.X).

Таким образом, след оператора является еще одной характеристикой оператора приближения, знание которого позволяет нам сделать определенные выводы о приближающихся возможностях оператора, не зная даже о размерности приближающего подпространства.

В § 4 найдены точные значения спектральных поперечников эллипсоидов В^(г) в lq, а также проекционные и спектральные поперечники некоторых конечномерных множеств. Приведем часть теорем.

Теорема 2.4.3. Пусть В™(г):= <х «'вР|( 2 |rixi|p)1/p) < 1> при

t < р < о», в£(г):= ix « HPllrjx^ <1,1 = 1.....ш), 1 < p,q < »,

г «= (г,.....ги) > О, N « R, z = 1/(1 - (1/q - 1/р)+). Тогда

trN(B°(r),l°) = |m - N|/fr|z.

Теорема 2.4.4. Пусть К - компакт из R2, содержащийся во множестве tO.1] х R. Q = cony К + cone С (-1,0), <1 ,-1)}, 1 < q < «.,

7(E) = max ía|(J,а) « Q). В = В(К) = п ^N)-0^211. Тогда гн -т(1/,) (i/p.a)-K р

Теорема 2.4.5. Имеет место следующее равенство

•V®?'1^ - 1 - ил».

В третьей главе находятся порядки колмогоровских и линейных по

перечников функциональных классов и конечномерных множеств.

В } 1 доказываются две тоорэмы о колмогоровских поперечниках

конечномерных множеств, которче далее будут использованы при

вычислении поперечников функциональных классов.

Теорема 3.1.1. Пусть К - замкнутое множество из ft2, KcE0,il«R.

Q(K) = conv К + cone { (-1.0),(1,-1) ), B(K) = n B°(R2n),

(1/p.a) x p

Г(£) = max (al (J,a) « Q). Тогда

РП Í n-r(1/q). 1 S q < 2. d (B(K),l2n) x i

l п-Г(1/2)И/ч-1/2( 2

P.q"

') х

5 4 5 <0.

Теорема 3.1.2. Пусть '1- < ч < », Н 5 пт/2. Тогда х и1/Ч-

Здесь В^'^ дданичный шар нормированного пространства

- ^ СЕ. <хк1р)1/р. х - ВР». В=1.....

Iх' П,П = ( Е с 2 1хк1р)ч/р>1/11,

Дв = { к в Н I (з - 1)п < к 5 вп ), а = 1.....т.

При доказательства теорем 3.1.1 и 3.1.2 существенным образом используется и развивается метод Е.Д.Глускина оценки снизу колмо-

горовского поперечника пересечения октаэдра с кубом.

Оценка снизу ^(В^Д^™) проводится методом усреднения расстояния от вершин множества до произвольного подпространства Ьд размерности N. Причем расстояние от точки- до подпространства выписывается с помощью теоремы двойственности и оценивается снизу и помощью специально построенного ортопроектора на по; лрост-ранство ортогональное к а усреднение расстояний берется Ь степени я', т.е. в сопряженной к 1ч метрике 1 ,, 1/я + 1/я' = 1.

В б 2 находится порядок поперечника по Колмогорову пересечения классов периодически^ функций одной переменной.

Теорема 3.2.1. Пусть Й® = пй0'!'*!1). а1 « й, 1 < р1 < Б 1=1 р1

1 « 1,...,т, в = соотСО/рЧа1),! - 1.....т) + сопе£(-1,-1),(1.0)),

7(х). = вир {а|(х,а)«С). Тогда

Он^) х

-7(1/4)

N . 7(1/4) >0, 1 < я < 2,

-7(1/2)

N , 7(1/2) > 1/2, 2 < Я < ».

В случав п = 1 укажем основные вехи истории нахождение колмо-горовских поперечников (^(Йр.Ь^). При р = я » 2 точные значения получил Л.Н.Колмогоров; для р = 1. ч = 2ир = 1]>» порядок найден С.Б.Стечкиным; при р = я = «о точные значения определены В.Ы.Тихомировым; при 1 < р = я < <» порядки найдены С.Б.Бабаджановым и В.М.Тихомировым; 1 5 я < р ^ » - Ю.И.Маковозом; 1.= р < я 5 2 -М.З.Соломяком и В.М.Тихомировым; 1 < р £ ч 5 2 - Р.С.Исмагиловым;

= 1, я>2 - Е.Д.Глускиным; в остальных случаях при 1 £ р < я < к, Я > 2 - Б.С.Кашшым.

Кашину принадлежит открытие изменения асимптотики поперечника при малых гладкостях. В его работах и в работах его ученика

Е.Д.Кулашша исследуются поперечники при малых гладкостях.

В $ 2 приводится теорема, уточняющая оценки поперечников Кула-нина для критического показателя и дается оценка сверху поперечника пересечения классов при малых гладкостях.

В { 3 находятся поперечники по Колмогорову классов периодических функций многих переменных.

Теорема 3.3.1. Пусть а, р, ч с 1 < q $ р <

О < а, = ... о. < а, <;...«; а, . Тогда 11+1 1+2 „^ л» л» 1

(^(^(Т»1).^«^)) х (ГЬо^И) 1.

Теорема 3.3.2. Пусть а,р^ «И11. 1<ч$2<р<®,

О < а, =...= а; < а, «;...< а, . Тогда Ч 11+1 п+г ^

ая(н^(тп).ь(1(тп)) ж (н-1юз1н) 1(1овхю- .

Теорема 3.3.3. Пусть 1 < р < q < 2, г « й", 1/р - 1/ч < г., = ...= г1+1 < г1+2 Гп. Тогда

бдШ^Т^.ут")) х (Н~ 1 (Ю^Ю .

Оценка сверху в ?°ореме 3.3.3 вытекает из приближения класса оператором Фурье, проведенного В.Н.Течляковым. Ему пришлось доказать довольно тонкое неравенство о связи нормы функции х(•) в пространств^ Ьч с нормами ф;-нкций 0вх(- ) в пространстве

Оценка снизу тажзэ является трудной. Она доказывается, на»® путем сведения поперечника функционального класса к попера",шку конечномерного множества В^'" з смешанной норлэ 1° с помовц>ю теоремы Дяттльвуда-Пэли, нерзаэнства Темлякова и теорегы Марцинке-вяча-Зигмунда о дискретизации. Вычислению коиэчномерного поперечника в смгоанясЯ норме посвящена теором~ 3.1.2.

Определение порядков ко.могоровшшх поперечников dj( (W^ (Т").L^) при I < q s р < « в теореме 3.3.1 пс волило для классов (вместе с работами В.Н.Темлякова для q а р) завершить определение слабой асимптотики ¿^(W^íT11).^) при всех 1 < p,q < ».

Оценки поперечников в теоремах 3.3.1 - 3.3.3 не сводятся к одномерному случаю. Здесь существенным образом используется торема Литтльвуда-Пэли о выделении блочной системы для подсчета нормы функций в пространствах Lp и Lq, а также разные оценки нормы функции

х = S б.х через, нормы функций 0_х(-) с гармониками из блоков а .

в

Оценки снизу поперечыков функциональных классов сводятся к оценкам снизу поперечников конечномерных множеств с помощью теоремы Марцинкевича-Зигмуэда для периодичепких функций многих переменных с гармониками на блоке ов. в дальнейшем оценка нормы функции через Олочйую систему и использование теоремы о дискретизации на блоке для функций многих переменных стало одной из стандартных методик перехода от поперечников функциональных классов к поперечникам дискретных множеств. Такой подход позднее неоднократно использовался в работах Динь Зунга и других.

Отметим, что впервые дискретизация по теорема Марцинкввича-Зигмунда для для нахождения колмогоровских поперечников классов функций одной переменной была проведена Кашиным.

Величина же (^(Н^И?).! ') остается неизвестной при 1<q<p<2.

В } 4 определяются поперечники tío Колмогорову пересечения классов функций многих переменных.

Теорема 3.4.1. Пусть W* = п «£(1°). А с R" - полиэдр.

аei р

p.q « R", 1 < p,q < СО, А п Rj " 0. Тогда

tywj.y X (rhog1»)^.

гдэ В - значение, а 1 - размерность множества решений задачи (в.1) - вир; (в,В) s 1,

A, q з р; 2 s р < q. 1/М > 1/2; А - 1/р + 1/q, р s q s 2; . '

А - 1/р + 1/2, р s 2 з q, 1/М > 1/2. Теорема 3.4.2. Пусть Н* -^nS^I®). Л с а" - полиэдр, p,q « R",

1 < p.q < АпЯ?" «V Р> (1/Р - 1/q)/(1 - 2/q). Тогда

tyH*.Lq) х (lT1loglH)1/1'+1/lV где М - значение, а 1 - размерность множества решений задачи

(в.П Ч еир; (е,В) s 1, A, q s р, 2 ss р, а =

А, 2 £ р S q, 1/М > р, p,q ■ н, а » 2;

А - 1/р +1/2, р s 2 < q, 1/М > 1/р. р'« R, а » 2;.

. А - 1/р + 1/q, p s q s 2, 1/М > 1/р - 1/q, p.q « R, a =• q.

' В 5 5 деется двусторонние оцвнкя ко™огоропских поперечников классов пвриодачвсхих функций нескольких Переменных W? и ЙГв

м . - у .V

пространстве Lq при малых гладкостях. При этом оценки сверху и снизу является Солее точными (по степени log Н), чем имеющиеся в кавдадатской диссертации Е.Д.Кулаяина.

В 5 6 определяются линейные поперечники класоов периодических функций нескольких переменных и в пространстве £Q. .Теорию 3.6.1. Пусть 1 < p.q < г * TP, (1/р - }/q)l< г, =

В

.= г1+1 < г1+2 rn. Тогда

(Г1

p.-d/p-i/a). А 1 р г 2 или q < 2;

(ГЧо^Н) 1 . , 2<q, l/p+1/qsl, Г1>1/р; , , . Г,-1/2+1.'q

(JThos1») 1 , р < 2 < q, > 1 -1/q, ' ' ' Л 1/р + 1/q s 1.

Теорема 3.6.2. Пусть 1 < p.q < г е Rn, (1/р - 1/q)+< Г,

г1+1 < г1+2 s...<rn. Тогда

(K"1loglN)Illogl/2N, р й 2, q s р;

1 1 г..-1/p+l/q (Г"1ЮГЮ 1 log1/iiN, р s q s 2;

, r.-l/p+1/г 1/? ¡Г1 log1«) 1 10£l/tH, г., > 1/р,

2 < q, 1/р + t/q £ 1.

Попаречник был введен Тихомировым. JUsioaniiii поперечником множества W в оенвховом пространстве X называется величина

^'«v.X) = lni sup |х - лх|х, Л XeV<

гдз инфимум берется по всем дойствущкм в X линейным непрорыБгщм операторам ранга N.

По лкнойным попорвчникам классов периодических функций одной поремонкой отмена! Р.С.Исмагилова, который определил ^(Vi^.L^) при q < 2 или р г 2 и доказал теорему деойстбекшости для линейных поперечников. В.Е.Какоров и К.Хеллиг (чуть позкз) нашли порядки . ^(Wp.Lq) при 1 < р 2 2 s q и тем самам заверши подсчет ^цС1 p>bq) для классов функций одаой переменной W^ при всех 1 < p,q < « и больших гладкостях.

В четвертой главе определяются порядки нор* производных ядер Дирихле и Фавара фушсциЗ многих шремшгяых в смеашшой нор.;э с гармошкам;! внутри и вне ступэнчатого гишрболичоского краста. Отыскиваются также порядки норы производных ядер Дирихле и товара и порядок константы в неравенстве БеркштеЯна-Шжольсхого, являпдося ми-шшалышми по выбору N гармоник. ¡Зачисляются точша значения поперечников по СершатоСиу бвскоцечаошриых эллипсоидов и порядки шшречаиков по Бериагейну функциональных классов.

В § 1 приводятся известные, а также ряд новых вспомогательных результатов об оценках различных конечных и бесконечных сумм. Доказываются две теоремы о порядках ядер Дтрихле и Фавара периода- , ческих функций одной перекачкой.

В 8 2, используя методы вычислений норм ядер одномерного случая, определяются порядки взлггк; норм ядер н многомерном случае. Теорема 4.2.1-2. Пусть а.р.р « И", а > С, 71 = а^1 (р,+1-р][1),

1 = 1.....п. 7 = 74 =•••= Т1 > 74 ^ ... * 7ч . <•••< 11+1.

П+1 1+2 п 1 1+1

*'% ру 1 < р <о = ^ р^.

Ц 2 . 7 > 0,

А 7 = о.

11. 7 < 0;'

б) функция Р^ « £р тогда и только тогда, когда 7 < О,

а если 7 < 0. то ¡Р^^ х

Аналогичные т.>ом'.:л доказываются для случая р = ». Доказательство эдсрвш 4.2.1-2 является довольно громоздким и технически сложным, нэсмотря на использование кндукцш, з силу наличия сменш-юй нормы, которая существенным образом осложняет доказательство и влияет на формулировку результата.

В.Н.Темляков ранее работы автора 151 определяет нормы величин близких к Р^' и я!^ при 7>0 в скалярной метрике ь , 1<р<ю. А.А. и В.А.Юдины, а такие Э.С.Белинский находят рормн ядер Дирихле в Ьг •

В § 3 определяются порядки величин

1(к.1) (г) Ц(г^) = Ш1 |( £ е ) | ,

l(k,t) (~r) F„(r,q) - Inf |( d ) lq.

TI torf*1^

где г « BP, 1 < q < <o, card K^ = N. являпцихся норнами многомерных ядер Дирихле и Февара минимальными по выбору к гармоник.

Для функция одной переменной величина была введена В.Е.Цай-. оровым и найдена им при. 1sqs2, ггО; 2<q<«o, г > t/q; q = 2k. Ч « И,

0 < г < 1/q. Э.О.Белинский определил I), при 2 < q < г s 1/q. Случай 2 < q < «, г < 1/q одновременно с Белинским независимо получен С.В.Конягиным.

Теорема 4.3.1-2. Пусть r « tP, г, =...= г^ < гш2 гп,

1 < q < ю. Тогда: a) Ijj(rtq) » О при г, < 0, и если г, > О, то

г.+1-l/q „ (r.+l-2/q). •

N 1 /(log N) 1 \ q > 2, г, > 1/q

или q < 2, г. > 0;

(V+1)/q'

N/(log И) . q > 2. 1/q + 1/q* »= 1, г, <= 1/q;

(41*4+1 )/2 v (q-Dr-И 1 /(log N) % q > 2. r, < 1/q;

б) величина PN(r,q) конечна в том и только в том случае, когда г1 > 1 - 1/q и, если г, > 1 - 1/q, то

,, -г..+1-l/q V/q '

PN(r,q) х (H/log^J) 1 log N.

Для больших гладкостей оптимальным является набор гармоник соответственно внутри и вне ступечатого пшерболического креста. Нормы ядер Дирихле и Фавара в этих случаях подсчитаны в { 2. В пункте а) при г1 s 1/q оценка сверху получена Белинским.

Величины by и Рн обобщаются на ядра Дирихле и Фавара для пере' сечений классов и для них доказываются аналоги теоремы 4.3.1-2.

В § 4 исследуется для функций многих переменных величина

22

^(т'Ъ.ут'Ъ) - ш lx(p,lp/|r|q

»"О

С Zn, card K„ = N. b(Xj,) = 11л {е1(кД) | к « Kj,}). являщаяся минимальной по выбору N гармоник константой в неравенстве Бернш-тейна-Никольского для полиномов из пространства L(KN).

Для функций одной переменной эта величина изучалась Майоровым.

Отметим связь между минимальной константой в неравенстве Берн-птейна-Никольского TN, тригонометрическим бернштейновским поперечником bj и тригонометрическ.л колмогоровским копоперечником

V = ,/bH(!£'V = ^-N^V'

1/р + 1/р' =1,' 1/q + 1/q' =1. Аналогичная связь между величиной Бернштейнв-Никол'ьского hjj. бернштейновским поперечником bjj и колмогоровским копоперечником d_H устанавливается далее в 5 6. ; Теорема 4.4.1. Пусть г • И", г., =...=rl+1<rl+2s...< г . Тогда

(N/log1!*)1,1. 1 < р s q < » , г, > 0; .

, г.-1/p+i/q (N/log^N) 1 . , 2 s q s р < «, г,> 1/р;

, 2\.+1/q т 1 -1/q (ЯПс&Ю. 1 (log-^N) , 2sq<p = <*>, г, >1 -2/q;

(N/lOg1!^1 N1/2 . p =.« . 1 < q s 2, r,> 0: .1, 1 < p.q < oo, г., = 0.

В первых трех случаях теоремы 4.4.1 оптимальным набором гармо-:гак являются гармоники из соответствующего ступенчатого гмперболи-чзского креста. В случае 1 <q<2, р = »мы можем доказать юлько существование оптимального набора и найти порядок величины тн-

Аналогична величины рассматриваются для классов Й^СТ*) и w|(т") и для них доказываются аналоги теорем« 4.4.1. Для пересечений классов в первых трех случаях оптимальным набором являются гармо-

23

ники из пересечения . ступен-.атых Гиперболических крестов.

Оценки снизу в наиболее трудных случаях сводятся к дискретам

экстремальным задачам, которые впоследствии и решаются.

В § 5 определяются точные значения поперечников по Береттейну

«> , р 1/р

бесконечномерных эллипсоидов Вр(г) = (х| ( £ |хк/гк| ) О, 1<р<», |хк|< гк у к«Н, р=®} в пространстве 1ч при р=а>, q=2'и при 1<к^<а>.

Теорема 4.5.1-2. Пусть г^г^. ..>гп >...>0. Тогда: а) величина ьн(в0о(г),12)«о тогда и только тогда, когда ге12, и если г « 12. то

bN(B Гг).Ъ;) = mln ( £ if /Ш - ш)) N 2 ойп<Н k>o к

1 /г.

б) VVr)'V =

rN, i s р = q s Ю,

N -pq/(q-p) -(q-p)/(qp) (к^1Гк ' , 1 й p < q <S

Напомним определения поперечника по Бершатейну и копоперечника по Колмогорову цьнтрально-симметричкого множества V в банаховом пространстве X с единичным шаром В, введенные Тихомировым: bH(W,X) = еВ n bj, с W) - поперечник по Бернатейну,

d M(W,X) =lnf sup lnl |х - yjv - копоперочшж по Колмогорову, "н L_K х«й y^Llj, * .

Ljj (L_K) - подпространство размерности (корг ^мерности) N в К .

bN является радиусом вара размерности N, который можно вписать

во ¡аг.озьоство W. При N = dim X это будет радиус вписашюго в W вара.

Пусть Y - банахово пространство, топологичесш: влогенисю в X,

X* Y* - сопряженные соответственно к X и Y пространства, Б° -

диничшй шар в X? Используя соотношение двойственности мзгду

кодмогоровсккми i: гельфавдоБскими поперечниками, получим

bfJ(B,Y) = 1/d_u(B°,Y¥).

Эта формула является обобщением на бесконечномерные пространства

аналогичной формул» С.В.Пухова для конечномерных пространств. Таким образом, задача о вичислении берттейновских поперечников эквивалентна задаче о вычислена колмогоровских копоперечников поляры з сопряяенной метрике. '

Значит теорема 4.5.1-2 определяет точные значения колмогоровс-кого копоперечника с1_н(В1 (г),12) и с!_,)(Вр(г)Лч) при р г-Вычисление колшгоровских поперечников конечномерных аналогов этих множеств осуществлялось в разотах А.Н.Колмогорова, А.А.Петрова,

0.11.Смирнова; А.И.Мальцева; С.Б.Стечхина; Л.Пича; Ы.И.Стесина; Л.Б.Софаана; С.А.Смоляка.

В 5 б определяется порядки поперечников по Бернштейн; классов периодических функцай многих переменных Ь,,(я£,Ьч) при всех 1<р^<ю и ЬдШ^.Ь^) при 1 < ч 5 р и 1< р.ч з 2. При нахождении бернзтей-нозских поперечников функциональных классов ш используем найдонные пеки значения берканейновских попзрэчников бесконечномерных эллипсоидов. Методика оценок Ьм использует п развивает методику оценок колмогорсвсках попврочтаов.

'гагвшк.'а автора т яаа даесешдая

1. Гахэев Э.!1. Приблиаениа некоторых классов периодических функций многих переменных суммами Фурье в метрике £р.- УЫН, 1977, 02л 4, с.251-252.

2. Гаяоез Э.!1. Прибязгегглэ сукнят Фурье классов функций с нескольким ограначакншга произволом. - Катем. задатки, 5 378, 23, т.2, с.197-211.

3. Гадгев Э.Ы. Поперэчнкгл по Колмогорову пересечения классов периодических фуяадка и хснвчясмэрянх иногчств.- Мат. заметки, 1981, 29, В.5, С.749-760.

4. Галеев Э.Ы. Некоторые оценки поперечников пересечения классов функций.- УШ. 1982, т.37, в.6. с. 153-154.

5. Галеев Э.М. Порядковые оценки производных периодического многомерного а-ядра Дирихле в смешанной норме.- Мат.сб.,1982, 117(159), » 1. с.32-43.

6. Галеев Э.М. Поперечники по Колмогорову классов периодических функций многих переменных и в пространстве - Теория функций и приближений, Труда 2-ой Саратовской зимней школы 1984 г., Межвуз. науч. сб., изд-во Саратов, ун-та, 1986, ч.2, о.70-72.

7. Галеев Э.Ы. Попере шики по Колмогорову некоторых классов периодических функций многих переменных. - Тезисы докладов Меад. конф. по конструктивной теории функций, НРБ, Варна, 1984.

8. Галеев Э.М. Поперечники по Колмогорову некоторых классов периодических функций многих переменных. - Конструктивная теория функций, Труды Меадунар. конф. по конструктивной теории функций, Софи, 1984, С.27-32.

9. Галеев Э.М. Поперечники по Колмогорову классов периодических функций с несколькими ограниченными производными. - В сб. трудов конференции молодых ученых МГУ 1984г. "Теория вероятностей, теория случайных процессов и функциональный анализ", изд-во МГУ, с.95-98.

10. Галеев Э.М. Поперечники по Колмогорову классов периодических функций многих переменных Й® и Н^ в пространстве Известия АН СССР. Сер. мат., 1985. т.49, с.916-934.

11. Галеев Э.М. Оценка колмогоровских поперечников классов Н^ периодических функций многих переменных малой гладкости.- Теория функций и ее приложения. Сб. тр. конф. молодых ученых МГУ 1985 г., изд-во МГУ. 1986, с.17-24.

12. Гелаев Э.М. Поперечники по Бернштейцу классов периодических функций многих переменных.- XI Всесоюзная школа по теориг операторов в функциональных пространствах, Тез. докл..Челябинск,26-30 мая 1986, т.2, с.28.

13. Галеев Э.М. Оценки поперечников по Колмогорову классов периодических функций многих переменных малой гладкости. - Вестник МГУ, сэр. Матем., мех., 1987, » 1, с.26-30.

14. Галеев Э.М. О линейных поперечниках классов периодических функций 1.яогих переменных,- Вестн. МГУ. Сер. матем., 1987, Л4, 13-16.

15. Галэев Э.М. Бернатейновскиэ поперечники классов периодачзских функций шогн переменных.- Дифф. уравнения, гормонич. анализ я их прилогдания. Сб.'трудов, конф. молодых ученых МГУ, изд-во ЦГУ.1Э87, с.75-78.

16. Галеев Э.М. О проекционных поперечниках к.которых конечномерных множеств. - Вестн. МГУ. Сер. магам, мех., 1988, № 1, с.64-67.

17. Галеев Э.М. Порядки ортопровкцйонкых попэре^нпксз ¡сласссв периодических функций однсЯ н нескольких переменных. - Матем. заметки, 1988, Т.43, в.2. С.197-211.

18. Галеев Э.М. о спектральных поперечниках конечномерных множеств. - Вестн. МГУ. Сер. матем. мех., 1983, # 5, с.41-44.

19. Galeev Е.й. Approximation of periodic functions of several variables. - Constructive theory of functions' 87. Sofia, 1968, p.138-144.

20. Галеев Э.М. Наилучшие приближения классов периодических функций. - Теория функций и приближений. Труды 3й Саратовской шкс.т! 1986 г., изд-во Саратов, ун-та, 1988, с.28-31.

21. Галеев Э.М. Приближение .лассов периодических функций многих

переменных. - Теория функций и приближений. Труды 4й Саратовской зимней школы 1988 г., изд-во Саратов, ун-та, 1990, с.65-67.

22. Галеев Э.М. Приближение классов периодических функций нескольких переменных ядерными операторами. - Матем. заметки, 1990, т.47, JÍ 3, с.32-41.

23. Галеев 9.М. Поперечники по Колмогорову классов' периодических функций одной и нескольких переменных.- Изв. АН СССР. Сер. Матем., 1990, Т.54. JS 2, с.418-430." '

24. Галеев Э.М. Поперечники по Бернштейну бесконечномерных эллипсоидов.- Комплексный анализ. .Дифференциальные и интегральные уравнения. Сб. научных трудов.. Элиста, 1990, с.14-20. • .

25. Caleev Е.Ы. Approximation for classes oí periodic functions. Proceedings of t.he Meeting "Trends In functional analysis and approximation theory. Attl Sern. Uqlv. D1 Kodena, 1991, p.301-310.

26. Галеев Э.М. Порядковые оцзнки наименьших по выбору N гармоник норм производных ядер Дирихло и Фавора.- Матем. сб., 1991,182, JS4, с.604-615. •

27. Caleev Е.М. Bernstein Die 3ters for the Classen of Periodic Functions of Several Variables. Math. Balear 'ca, Hew Series, 1991, v.5. p.229*244. ,

?8. Галеев Э.М. О неравенствах Бернштейна-Нккольсксго наилучших по выбору К гармоник. - ДАН СССР. 1992, т.323. й 2; C.211-21G.

29. Галеев Э.М. Неравенства Бернштейна-Никольского для функции нескольких переменных, наилучшие по выбору гармоник. - Вести. Ш'У, Сер. матек., кех., 1992, й б, с.3-6.

30. Белинский Э.С., Галеев Э.М. О наимоньдеП воличииз иорц с-юеси-кух производных. тригонометрических полкнокои с задаши»! число:.; гарькипш. - Вестник МГУ. Сор. Иатем., t.!ox., 1991, в.2, с.3-7.

яз

S. if? г-'СС