Полиномиальные приближения на подмножествах комплексных эллиптических кривых тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

на правах рукописи

ХАУСТОВ Александр Викторович

ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ НА ПОДМНОЖЕСТВАХ КОМПЛЕКСНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ

01.01.01-математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт- Петербург 2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа математи-ко-механического факультета Санкт-Петербургского Государственного Университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физико-математических наук, профессор Широков Николай Алексеевич

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, доцент Коточигов Александр Михайлович,

кандидат физико-математических наук, доцент Васин Андрей Васильевич

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Брянский Государственный Университет им. акад. И.Г. Петровского

Защита состоится "*2.?"сл*ьз 2004 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском Отделении Математического Института им. В.А. Стеклова РАН по адресу: 191023, наб. р. Фонтанки, д. 27, к.311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского Отделения Математического Института им. В.А. Стеклова

РАН.

Автореферат разослан "2*Г" г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.202.01 доктор физико-математических наук

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Поскольку в настоящее время достаточно подробно разработана теория приближения аналитическими полиномами на подмножествах комплексной плоскости и поскольку эта теория оказалась важной в некоторых смежных вопросах анализа, представляется обоснованным распространить эту теорию на новую ситуацию, связанную одновременно как с многомерным комплексным анализом, так и с двоякопериодическими функциями. Поэтому тема диссертации, связанная с полиномиальными приближениями на подмножествах комплексных эллиптических кривых является актуальной.

Цель работы. Целью диссертации является получение конструктивного описания классов Гельдера на подмножествах комплексных эллиптических кривых в терминах полиномиальных приближений.

Методика исследований. Применяются новые способы приближения, построенные для двоякопериодических функций, и классические методы полиномиальных приближений на подмножествах комплексной плоскости.

Научная новизна и значимость работы. Все результаты работы являются новыми. Возможность конструктивного описания может быть полезной при изучении свойств классов Гельдера на подмножествах комплексных эллиптических кривых.

Практическая значимость работы определяется местом теории аппроксимации в математическом анализе. У результатов диссертации есть все возможные приложения, реализованные для аналогичных теорем о приближениях на подмножествах комплексной плоскости.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по математическому анализу в Санкт-Петербургском отделении Математического Института РАН им. В.А. Стеклова.

Публикации. По теме диссертации опубликована одна печатная работа [1] и одна работа нринята к "^чтУГ" [?]________

('ОС. национальна*

] БИБЛИОТЕКА

Структура и объем работы. Диссертационная работа, объемом 61 страница, состоит из трех глав, разбитых на 14 параграфов, приложения и списка литературы, содержащего 15 наименований.

Содержание работы

Первая глава содержит исторический очерк и изложение основных результатов работы. Вторая глава посвящена прямой теореме приближения функций класса Гельдера на эллиптических кривых. В параграфе 2.1 формулируется задача приближения функций класса Я"(О), 0 < а < 1, где С? — замкнутое подмножество эллиптической кривой: <3 С Е = {(С)'«') € С2 : ш2 — 4£3 — #2С ~Зз}, с помощью полиномов двух переменных Р„(£,го), degPn < п. Устанавливается соответствие между этой задачей и задачей приближения функций класса Гельдера На(0) с помощью двоякопериодических функций Здесь ф(г) — классическая функция Вейерштрасса с периодами 2и>1, 2иг (см., например, [1]), а £) — односвязная область, причем £> с где С} — параллелограмм периодов функции и кроме того множество б является образом множества £> при отображении

ПО - (ТО.фЧг)).

В параграфе 2.2 более точно формулируются условия на множества И и С7 при которых справедлива прямая теорема. А именно, область О должна быть так называемой областью Лаврентьева— односвяз-ной областью, дуги границы которой соизмеримы с хордами, то есть найдется такая постоянная с, что при произвольных вх, «2 £ справедливо неравенство

< с - 1.

Здесь — кратчайшая дуга границы сШ между точками «1, Доказывается, что условия соизмеримости дуги границы с хордой для множеств СиО равносильны.

В третьем параграфе второй главы описывается класс Гельдера Яа((3) функций, заданных на связном замкнутом подмножестве С? эллиптической кривой — класс функций, локально в множестве

С5 = {(Со>и>о) € С? : {(С,о>): - <0| < П, -У0|<г2}ПВС(?

при некоторых гьгг}

являющихся сужением голоморфных функций двух переменных на эллиптическую кривую, и удовлетворяющих условию Гельдера порядка а:

1/Ы ~ /(«2)1 < ф1 -А'гГ, 51,52 6 б.

Устанавливается эквивалентность этого класса классу Гельдера Яа(£>) функций, заданных на плоскости, в следующем смысле: каждой функции € На(С1) соответствует функция ф(г) =

^ На(П) и наоборот. Соответственно приближениям с помощью полиномов двух переменных -Рп(С>и') на эллиптической кривой соответствуют приближения на плоскости с помощью двоя-копериодических функций Рп(ф(г),ф'(г)). Параграфы 2.2 и 2.3 демонстрируют эквивалентность задачи приближения на эллиптической кривой и задачи приближения на плоскости.

В параграфе 2.4 описывается семейство функций, которые будут в дальнейшем использованы для оценки скорости приближения искомыми функциями. Для этого вводится классическое конформное отображение Ф(г) : С \ О —► С \ {|г| < 1}, Ф(оо) = оо, Ф'(оо) > 0. Искомыми функциями являются расстояния

= Ш(г,Ь1+1), Ь > 0, г € сШ

до линий уровня Ь\= Ф({|г| = 1 + ¿}), Ф = Ф-1. Также доказывается соизмеримость функций р®+1 и в случае, когда я — произвольное отображение однолистное в некоторой области, содержащей £>.

В параграфе 2.5 выводится простое следствие из известной теоремы об одновременной аппроксимации функции и ее производных. ([3], гл.9) для случая односвязной области и функции, принадлежащей вместе со своей производной классу Гельдера порядка а. Затем доказывается, что функция, аналитическая в некотором параллелограмме (}т — {и>з + О-хШх + : 1а11 < г> 1а21 < г}> ш3 = (¿2 и принадлежащая вместе со своей производной классу На((2т), а также симметричная относительно центра параллелограмма периодов и>з, может быть приближена с помощью функций где <Эп(0 — полином степени не выше п, с точностью порядка

n-(o+i)j црИЧеМ при этом ее производная будет аппроксимирована функциями с точностью п~а. С помощью этого резуль-

тата проводится построение функции s(z) заданной и однолистной в параллелограмме периодов и представляющей собой полином не-которой степени от ^J, Приближение функции ф € Ha{D) строится с помощью представления

8D

а именно, используя классические полиномы (см. при-

ложение диссертации), приближающие ядро Коши zfzrpt строятся функции

Рптг),Ф(*)) =-¿г J <f>(\)s'(\)n™(s(\),s(z))d\,

dD

являющиеся полиномами степени < с • п от ф, ф'.

Параграф 2.6 посвящен получению оценок для рассматриваемых приближений. Их доказательство основывается на свойствах приближений ядра Коши w), на доказанных свойствен семейства приближающих функций и на некоторых оценках интегралов по границе области, получаемых из геометрических соображений (последние получаются практически также как в [2] или в [3], гл. 9). Тем самым завершается доказательство прямой теоремы приближения:

Теорема 2. Пусть D — односвязная область, D с Int Q С С, и пусть G — T{D), G С Е С С2. Пусть, кроме того, дуги границы множества G соизмеримы с хордами. Тогда для всякой функции F 6 Ha(G), 0 < а < 1 найдутся полиномы двух переменных Pn(C,u>), degP„ < const • п такие, что при € 0G справед-

лива оценка

|FK.w) - РП(С,Ч>1 < c(F,G)S°(C,w),

где

Благодаря параграфам 2.2 и 2.3 эта теорема может быть переформулирована в теорему приближения функций на плоскости с помощью двоякопериодических функций:

Теорема 3. Пусть D — область Лаврентьева, D С IntQ, где Q — параллелограмм периодов функции Вейерштрасса ?ß{z), Г = BD. Тогда для каждой функции f G Ha(D) мойдутся полиномы двух переменных Рп (С^), deg Рп < const • п такие, что при z £ Г справедлива оценка

I/(*) - рп(ф(г),ТО)1 <

где

Ш = P?+l(z).

' п

В главе 3 демонстрируется, что веса приближения, использованные в прямой теореме, дают конструктивную характеристику класса Гельдера, т.е. что для них справедлива и обратная теорема аппроксимации, а именно

Теорема 4. Пусть D — односвязная область, D С IntQ С С, и пусть G = T(D), G С Е С С2. Пусть, кроме того, дуги границы множества G соизмеримы с хордами. Тогда произвольная функция F : G —» С, которая может быть приближена последовательностью полиномов Рп{С> w), deg Р„ <п двух переменных так, что для некоторой постоянной C(F, G) при произвольном п € N выполняются неравенства

|F(C,ti») - P„K,ti»)| < C(F,G)£(<.«0 njn. (C,w) G dG,

необходимо принадлежит классу Ha (G).

Или, для функций, заданных на комплексной плоскости:

Теорема 5. Пусть D — область Лаврентьева, D с Int Q, Г = 3D. Пусть / : D —> С. Если найдется такая последовательность полиномов двух переменных Pn(C,tu), degP„ < п, что для некоторой постоянной C(F,D), не зависящей от п, выполняются неравенства

| f(z) - Рп№(г),ф'(*))| < C(F,D)6Z(z) при z 6 Г,

то функция / принадлежит классу Н"(0).

Кроме этого в первом параграфе третьей главы приводится формул ировка так называемого неравенства типа Бернштейна для рас-сматриваемой ситуации, являющегося основным в доказательстве обратных теорем.

Параграфы 3.2 и 3.3 посвящены получению достаточно трудной асимптотической оценки поведения многочленов от вблизи

вершин параллелограмма периодов при известном их поведении на границе множества I). Основная идея получения этой оценки состоит в том, чтобы построить функцию, гармоническую в области С\П, где

П = {л : г = + 2и)%т + го, го 6 А 6 Щ-

с нужным порядком логарифмического роста в окрестности вершин сетки периодов и совпадающую на с)0 с к^ад(-г), где Ъ)(г) — функция, ограничивающая на дО. полиномы от ф':

ЫтЯ5'(г)|<гф), (1)

Для этого в параграфе 3.2 решается задача Дирихле в неограниченной области С \ О с граничными условиями

^(г) = -1о8|Т(г)|, гедП.

Здесь Т(г) — некоторая двоякопериодическая функция с периодами 2и>1, 2и>2, принимающая ненулевые значения на сЮ и имеющая полюсы порядка т > 1 в вершинах сетки периодов. В параграфе 2.3 проводится собственно доказательство оценки, а именно того, что если полиномы от ф' удовлетворяют условию (1),

то

< при г е

Здесь — множество точек параллелограмма периодов, лежащих вне окрестностей его вершин некоторого фиксированного радиуса е и вне области Б. Доказательство основывается на применении принципа максимума для гармонической в области функции, принимающей значения ш(г) на границе области П и обладающей логарифмическими полюсами нужного порядка в вершинах

сетки периодов, и субгармонической функции log Для построения такой гармонической функции используются результаты параграфа 3.2:

В параграфе 3.4 с помощью полученной асимтотической оценки доказывается, что функции д„(ф(г),ф'(г)) на окружностях радиуса ¿n(zo) вокруг некоторой точки z0 £ 0D удовлетворяют неравенству

|9»№(С),Ф'(С))| < Cw(zo), если |< - *>| = Sn(z0).

После этого проводится доказательство неравенства типа Бернштей-на:

!<?;№),№))1 < при2 € 0D.

Параграф 3.5 посвящен доказательству собственно обратной теоремы с помощью полученного неравенства типа Бернштейна.

В параграфе 3.6 демонстрируется, что наиболее естественно возникающий подход к доказательству обратной теоремы, а именно представление полиномов приближения в виде

рмг),Ф(*))=ppm^+vwppwz)),

разбиение приближаемой функции на четную и нечетную части и сведение двумерною случая к одномерному, в общем случае не дает результатов.

В приложении к диссертации, в виду важности и малой распространенности приближений, использованных для построения полиномов в прямой теореме, приводится их явный вид.

Список цитированной литературы

[1] Н. И. Ахиезер Элементы теории эллиптических функций., М., (1970)

[2] Н. А. Лебедев, Н. А. Широков О равномерном приближении функций ко замкнутых множествах, имеющих конечное число угловых точек с ненулевыми внешними углами, Изв. АН Арм. СССР 8, Ж 4 (1971), 311-341

[3] В. К. Дзядык Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М., 1977

Список работ по теме диссертации

[1] А.В.Хаустов, НА.Широков Полиномиальные приближения на замкнутых подмножествах эллиптических кривых, Зап. научн. семин. ПОМИ 302 (2003), 178-187.

[2] (принята к печати) А.В.Хаустов, Н.А.Широков Обратная теорема приближения «о подмножествах эллиптических кривых, Зап. научн. семин. ПОМИ 314 (2004)

Подписано к печати 19.07.2004 г. Формат бумаги 60X84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 1 усл. п.л. Тираж 100 экз. Заказ 3317. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26.

►15512

1 Введение

1.1 Краткая история вопроса

Рассмотрение вопроса о приближении аналитическими полиномами функций, заданных на подмножествах комплексной плоскости, в силу теоремы Вейерштрасса и свойств аналитических функций необходимо приводит к выделению классов функций, аналитических на внутренности множества и непрерывных на его замыкании.

Рунге установил возможность сколь угодно хорошего приближения функции полиномами для случая, когда функция / является аналитической на произвольном компакте с односвязным дополнением, Уолш — для случая, когда Ш — произвольная ограниченная жорданова дуга или односвязная область, ограниченная жордановой кривой, / е А(9Я). М.А. Лаврентьев указал необходимые и достаточные условия на компакт Ш, при которых любая непрерывная на нем функция может быть сколь угодно хорошо приближена полиномами. Обобщением этих исследований явилась теорема С.Н. Мергеляна, утверждающая, что если множество Ш замкнуто и не разбивает плоскость, то любую функцию из А(Ш1) можно сколь угодно хорошо равномерно приблизить полиномами.

Следующий вопрос, который представляет интерес — каким образом строить многочлены, хорошо приближающие функции из Большинство способов их построения основывается на формуле Коши мы ограничимся здесь рассмотрением случая, когда Ш является замкнутой областью со спрямляемой границей: Ш = D) и различных способах представления ядра

Коши в виде ряда:

Y,cn(()Pn(z), ze D, CedD, где cn(C) — некоторые функции, обладающие достаточно хорошими свойствами (например мероморфные в D и непрерывные на dD), a Pn(z) — полиномы от г степени не выше п. Предполагая, что ряд (2) может быть проинтегрирован почленно, получим из (1)

Таким образом частичные суммы ряда (3) доставляют искомое приближение функции /. Удобство этого представления состоит еще и в том, что коэффициенты ряда (3) зависят только от функции /, а полиномы Pn(z) — только от множества Ш.

Важную роль в теории приближений играют так называемые полиномы Фабера. Пусть ЯЯ — замкнутое множество на плоскости, дополнение к которому односвязно. Рассмотрим функцию Ф(-г), однолистно и конформно отображающую внешность Ш на внешность единичного круга, удовлетворяющую условию

О < lim < оо.

С-00 С

В окрестности точки z = оо имеет место следующее разложение

00 1 *

Полиномами Фабера Fn(z) называются полиномы, состоящие из совокупности членов с неотрицательными степенями в этом разложении:

Функция

Ф(w) -z ^ wn ' где Ф — Ф-1, называется производящей функцией полиномов Фабера. Если Ш — замкнутая область с достаточно гладкой границей, то во всех точках Int 971 имеет место разложение

Обозначим при R >

Lr = Ф({* : \z\ = Д}), Ф({z : \z\ < R}).

Фабером была доказана следующая теорема

Теорема. Пусть Ш — ограниченное замкнутое множество с односвязным дополнением. Если функция f(z) — аналитическая в области и на линии уровня Lr имеет особую точку, то

1. функция f(z) разлагается в ряд по полиномам Фабера: f(z) = J2anFn(z), (4) при этом lim УМ = 1 (5) п—>оо К и ряд (4) сходится равномерно в области Шц и расходится вне Шц

2. разложение в ряд (4), равномерно сходящийся в некоторой области D D Ш, единственно

3. обратно, если имеет место (5), то ряд (4) равномерно сходится внутри Шц, расходится вне Шд, и функция f(z) является аналитической в области Шц и на линии уровня Lr имеет особую точку.

Кроме полиномов Фабера для приближений часто используются так называемые обобщенные полиномы Фабера. Пусть S(w) — произвольная функция, аналитическая в области 1 < |w| < оо. Тогда для некоторых коэффициентов Сп справедливо разложение

S(W) = у «L. w ^ wn

Если почленно перемножить этот ряд на ряд, в который разлагается производящая функция полиномов Фабера, то получим

Полиномы TLn(z) называются обобщенными полиномами Фабера. Для обобщенных полиномов Фабера существует теория, параллельная теории для обычных полиномов Фабера.

Важную роль в различных аппроксимационных вопросах играют понятия обобщенной свертки двух функций по спрямляемой кривой, обобщенного поворота и растяжения. Допустимым континуумом будем называть такое замкнутое ограниченное множество, дополнение которого состоит из одной области, которое невырождено в точку и каждая точка границы которого является достижимой относительно его дополнения. Пусть Ш — допустимый континуум со спрямляемой границей Г, и на Г заданы две функции / и К такие, что порождаемые ими на единичной окружности функции / = /(Ф(ег/)), К = К(Ф(е^)) суммируемы на промежутке [0,2тг]. Обоб

Пn(z) = coFn(z) + ciFn-\{z). + cnF0(z). щенной сверткой / и К называется интеграл

-7Г Г

Отображение £ —» Ф(Ф(С)е~й) называется обобщенным поворотом на угол t. Обобщенным растяжением называется отображение С —> Ф(ДФ(С)), R > 1- Свойства этих отображений тесно связаны с геометрическими свойствами допустимых множеств, исследовавшихся В.К. Дзядыком, Н.А. Лебедевым, Н.А. Широковым и др. В частности, выяснилось, что для оценок различного рода приближений с помощью многочленов важную роль играют расстояния до линий уровня функции Грина области С \ Ш

Pi+k(z) = dist(2, L1+1), z G дШ, n G N,

Ь1+1=Ф({И = 1 + 1})

В.И. Белый и В.М. Миклюков применили для исследования этой величины и других геометрических характеристик аппарат теории квазиконформных отображений.

Используя различные полиномиальные ядра, построенные с помощью полиномов Фабера, обобщенных полиномов Фабера и классических ядер Пуассона, Дирихле, Фейера, Джексона и др., были получены прямые теоремы приближения для классов Гельдера функций, заданных на допустимых множествах. Веса приближения в этих теоремах основывались на расстояниях рл , В некоторых случаях оказалось, что эти веса дают конструктивную характеристику классов Гельдера, т.е. для них справедливы и обратные теоремы. Кроме того, В.И. Белым ([8], [9]) была получена теорема о приближении функций класса A(D) на областях D с квазиконформной границей (оказалось ([10], [11], [12]), правда, что веса pl+i не дают конструктивной характеристики классов Гельдера для «плохих» областей).

Как оказалось, и в областях пространств Сп также возможно конструктивное описание классов Гельдера в терминах скоростей приближения полиномами ([13], [14], [15]). Кроме того, при конструктивном описании классов функций часто используют другие приближающие совокупности функций — например, периодические функции. Поэтому представляется естественной и достаточно актуальной задача о конструктивном описании классов функций в ситуации, соединяющей многомерность и периодичность. А именно, речь пойдет о конструктивном описании классов Гельдера на подмножествах комплексных эллиптических кривых.

1.2 Содержание работы

Вторая

глава посвящена прямой теореме приближения функций класса Гельдера на эллиптических кривых. В параграфе 2.1 формулируется задача приближения функций класса Ha(G), 0 < а < 1, где G — замкнутое подмножество эллиптической кривой: G С Е — {(С^) G С2 : ш2 = 4£3 — дгС ~ 9з}, с помощью полиномов двух переменных Рп (£,«;), deg Рп < п. Устанавливается соответствие между этой задачей и задачей приближения функций класса Гельдера Ha(D) с помощью двоя-копериодических функций Pn(^(z),^'(z)). Здесь — классическая функция

Вейерштрасса с периодами 2ш\, 2и>2, a D — односвязная область, причем D С Q, где Q ~ параллелограмм периодов функции ф и кроме того множество G является образом множества D при отображении

T(z) = №z),#(z)).

В параграфе 2.2 более точно формулируются условия на множества D и G при которых справедлива прямая теорема. А именно, область D должна быть так называемой областью Лаврентьева — односвязной областью, дуги границы которой соизмеримы с хордами, то есть найдется такая постоянная с, что при произвольных ei, S'2 G 3D справедливо неравенство с - |si

Здесь S] .S2 — кратчайшая дуга границы 3D между точками si, S2- Доказывается, что условия соизмеримости дуги границы с хордой для множеств G и D равносильны.

В третьем параграфе второй главы описывается класс Гельдера Ha(G) функций, заданных на связном замкнутом подмножестве G эллиптической кривой — класс функций, локально в

G° = {(Со,а;о) е G : {(С, а;) : |С - Со! < гь к - шо\ < г2} П Е С G при некоторых ri,r2} являющихся сужением голоморфный функций двух переменных на эллиптическую кривую, и удовлетворяющих условию Гельдера порядка а: l) - /(32)1 < с|в! - S2|Q, 51,52 € G.

Устанавливается эквивалентность этого класса классу Гельдера Ha(D) функций, заданных на плоскости, в следующем смысле: каждой функции /((,w) G Ha(G) соответствует функция <fr(z) = е Ha(D) и наоборот. Соответственно приближениям с помощью полиномов двух переменных Pn(C,w) на эллиптической кривой соответствуют приближения на плоскости с помощью двоякопериодических функций Pn(*$(z),ty(z)). Параграфы 2.2 и 2.3 демонстрируют эквивалентность задачи приближения на эллиптической кривой и задачи приближения на плоскости.

В параграфе 2.4 описывается семейство функций, которые будут в дальнейшем использованы для оценки скорости приближения искомыми функциями. Для этого вводится классическое конформное отображение Ф(г) : С\D —> C\{|z| < 1}, Ф(оо) = оо, Ф'(оо) > 0. Искомыми функциями являются расстояния pi+t(z) = dist(z, Li+t), t> 0, zedD до линий уровня Li+t = = 1 + t}), Ф = Также доказывается соизмеримость функций pf+t и pfff в случае, когда s ~ произвольное отображение однолистное в некоторой области, содержащей D.

В параграфе 2.5 выводится простое следствие из известной теоремы об одновременной аппроксимации функции и ее производных для случая односвязной области и функции, принадлежащей вместе со своей производной классу Гельдера порядка а. Затем доказывается, что функция, аналитическая в некотором параллелограмме Qr = {^з + ос\Ш1 + о,2Ш2 : \ol\ | < г, |ок21 < г}, шз = wi + и принадлежащая вместе со своей производной классу Ha(Qr), а также симметричная относительно центра параллелограмма периодов может быть приближена с помощью функций Qn(^(z)), где Qn{С) — полином степени не выше п, с точностью порядка п~(а+1\ причем при этом ее производная будет аппроксимирована функциями Q'n(ty{z)) с точностью п~а. С помощью этого результата проводится построение функции s(z) заданной и однолистной в параллелограмме периодов и представляющей собой полином некоторой степени от ф'. Приближение функции ф <Е Ha(D) строится с помощью представления а именно, используя классические полиномы 1^(^,(3) (см. приложение), приближающие ядро Коши —строятся функции

Pnmz),y'(z)) = ~J <P(\)s'№f(.s(\),s(z))d\ являющиеся полиномами степени < с • п от ф'.

Параграф 2.6 посвящен получению оценок для рассматриваемых приближений. Их доказательство основывается на свойствах приближений ядра Коши П~г((", w), на доказанных свойствах семейства приближающих функций и на некоторых оценках интегралов по границе области, получаемых из геометрических соображений. Тем самым завершается доказательство прямой теоремы приближения:

Теорема 2. Пусть D — односвязная область, D С IntQ С С, и пусть G = T(D), G С Е С С2. Пусть, кроме того, дуги границы множества G соизмеримы с хордами. Тогда для всякой функции F 6 Ha(G), 0 < а < 1 найдутся полиномы двух переменных РП(С, ш), degPn < const •п такие, что при (£, и) G dG справедлива оценка

F(Cu)~Pn(Cu)\<c(F,G)5%(Cul

Благодаря параграфам 2.2 и 2.3 эта теорема может быть переформулирована в теорему приближения функций на плоскости с помощью двоякопериодических функций:

Теорема 3. Пусть D — область Лаврентьева, D С Int Q, где Q — параллелограмм периодов функции Вейерштрасса ^{z), Г — 3D. Тогда для каждой функции f € Ha(D) найдутся полиномы двух переменных Рп(deg Рп < const • п такие, что при zeV справедлива оценка

If(z) - РпСФОгО.фЧ*))! < с(/,G)S%(z), n{z) = Pi+±(z).

В главе 3 демонстрируется, что веса приближения, использованные в прямой теореме, дают конструктивную характеристику класса Гельдера, т.е. что для них справедлива и обратная теорема аппроксимации, а именно

Теорема 4. Пусть D — односвязная область, D с IntQ С С, и пусть G = T(D), G С Е С С2. Пусть, кроме того, дуги границы множества G соизмеримы с хордами. Тогда произвольная функция F : G —» С, которая может быть приближена последовательностью полиномов Рп((, w),degPn < п двух переменных так, что для некоторой постоянной C(F,G) при произвольном п G N выполняются неравенства

F(C,w)-Pn((,w)\ < C(F,GK((,w) при (С,ш) е dG\ необходимо принадлежит классу Ha(G).

Или, для функций, заданных на комплексной плоскости:

Теорема 5. Пусть D — область Лаврентьева, D С IntQ, Г = dD. Пусть f : D —у С. Если найдется такая последовательность полиномов двух переменных Рп((,w), deg Рп < п, что для некоторой постоянной C(F, D), не зависящей от п, выполняются неравенства

I№ - PnmzW(z))\ < C(F,D)6%(z) при ze Г, то функция / принадлежит классу Ha(D).

Кроме этого в первом параграфе третьей главы приводится формулировка так называемого неравенства типа Бернштейна для рассматриваемой ситуации, являющегося основным в доказательстве обратных теорем.

Параграфы 3.2 и 3.3 посвящены получению достаточно трудной асимптотической оценки поведения многочленов от ф, вблизи вершин параллелограмма периодов при известном их поведении на границе множества D. Основная идея получения этой оценки состоит в том, чтобы построить функцию, гармоническую в области С \ fi, где

Q = {z : z = 2loiUi + 2ш^П2 + Z£>, zd € Д щ, щ Е Z}.| с нужным порядком логарифмического роста в окрестности вершин сетки периодов и совпадающую на dil с logw(z), где w(z) — функция, ограничивающая на полиномы qn(y$(z),Vp'(z)) от ф': qnmz),y'(z)\<w(z), zedQ. (6)

Для этого в параграфе 3.2 решается задача Дирихле в неограниченной области C\Q с граничными условиями

ВД = -1оg№)|, zedQ.

Здесь %{z) — некоторая двоякопериодическая функция с периодами 2uj2, принимающая ненулевые значения на dil и имеющая полюсы порядка т > 1 в вершинах сетки периодов. В параграфе 3.3 проводится собственно доказательство оценки, а именно того, что если полиномы qn(^(z)1^'(z)) от ф, удовлетворяют условию (6), то

WnWzWW)I < при г е Qe

Здесь Qe ~ множество точек параллелограмма периодов, лежащих вне окрестностей его вершин некоторого фиксированного радиуса е и вне области D. Доказательство основывается на применении принципа максимума для гармонической в области Qe функции, принимающей значения log w(z) на границе области О и обладающей логарифмическими полюсами нужного порядка в вершинах сетки периодов, и субгармонической функции loglgnOPO^i^Oz)!. Для построения такой гармонической функции используются результаты параграфа 3.2.

В параграфе 3.4 с помощью полученной асимтотической оценки доказывается, что функции qn(ty(z), на окружностях радиуса Sn(zo) вокруг некоторой точки zq Е dD удовлетворяют неравенству

ЫФ(С),Ф'(С))| < С*фо), если 1С - 2о| = 5n(*b). После этого проводится доказательство неравенства типа Бернштейна: q'nmz),y'(z))\ < C(D)pp- при ^ € dD. dn(z)

Параграф 3.5 посвящен доказательству собственно обратной теоремы с помощью полученного неравенства типа Бернштейна.

В параграфе 3.6 демонстрируется, что наиболее естественно возникающий подход к доказательству обратной теоремы, а именно представление полиномов приближения в виде pnmz),y'(z)) = pii)mz))+^'(z)p!i2)mz)), разбиение приближаемой функции на четную и нечетную части и сведение двумерного случая к одномерному, в общем случае не дает результатов.

1. Н. И. Ахиезер Элементы теории эллиптических функций., М., (1970)

2. Н. А. Широков Приближение целыми функциями на бесконечной системе отрезков, Тр. С.-Петербургского Мат. об-ва 123 (2001), 181-188|

3. Н. А. Лебедев, Н. А. Широков О равномерном приближении функций на замкнутых множествах, имеющих конечное число угловых точек с ненулевыми внешними углами, Изв. АН Арм. СССР 8, Ж 4 (1971), 311-341

4. В. К. Дзядык Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М., 1977

5. Ch. Pommerenke, Univalent functions, Vandenhoeck & Ruprecht, Gottingen, 1975

6. П.М.Тамразов, Гладкости и полиномиальные приближения, Киев, 1975.

7. П.М.Тамразов, Контурные и телесные структурные свойства голоморфных функций комплексного переменного, Успехи математических наук, 1973, 28, №1, 131-161

8. В.И.Белый, Конформные отображения и приближение функций в областях с квазиконформной границей, Мат. сборник, 104:3, 1977, 163-193

9. В.И.Белый, Асимптотика поведения конформного отображения и условия принадлежности области классу множеств типа (В), ДАН УССР, серия А, №, 1977, 291-294

10. В.В.Андриевский, Геометрическое строение областей и прямые теоремы конструктивной теории функций, Мат. сборник, 126:1, 1985, 41-58

11. Н.А.Широков, Аппроксимативные свойства одного континуума, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 92, 1979, 241-252

12. Н.А.Широков, Конструктивное описание классов функций полиномиальными приближениями I, Зап. научн. сем. ПОМИ, 254, 1998, 207-234

13. Н.А.Широков, Теорема Джексона-Бернштейна в строго выпуклых областях в Сп, ДАН СССР, 276, №5, 1984, 1079-1081

14. Н.А.Широков, Теорема Джексона-Бернштейна в строго псевдовыпуклых областях в Сп, ДАН СССР, 287, №1, 1986, 66-69

15. N.A.Shirokov, Jackson-Bernstein theorem in strictly pseudoconvex domains in Cn, Constructive Approximation, 4, 1989, 455-461Работы автора

16. А.В.Хаустов, Н.А.Широков Полиномиальные приближения на замкнутых подмножествах эллиптических кривых, Зап. научн. семин. ПОМИ 302 (2003), 178187.

17. А.В.Хаустов, Н.А.Широков Обратная теорема приближения на подмножествах эллиптических кривых, Зап. научн. семин. ПОМИ 314 (2004), 270-284.Содержание1 Введение 111 Краткая история вопроса.112 Содержание работы.82 Прямая теорема 1621 Постановка задачи.16

18. Описание классов областей.18

19. Описание классов функций.20

20. Семейство функций, описывающих скорость приближения .22

21. Построение приближающих функций.2426 Оценка приближения.293 Обратная теорема 33

22. Формулировки результатов.33

23. Предварительные результаты .34

24. Поведение полиномов от ф, вблизи угловых точек параллелограмма периодов.40

25. Неравенство типа Бернштейна.43

26. Доказательство основной теоремы.48

27. Замечание о полиномах от ф, ф'.54