О равномерной приближаемости функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений второго порядка на компактах в R2 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова

механико-математический факультет

На правах рукописи

Зайцев Александр Борисович

УДК 517.5

О равномерной приближаемости функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений второго порядка на

компактах в К2.

/01.01.01 — математический анализ/

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор П. В. Парамонов

Москва — 2003

Работа выполнена на кафедре Теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского Государственного Университета им М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор П.В. Парамонов. Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор В.Я. Эйдерман. кандидат физико-математических наук, доцент К.Ю. Федоровский. Ведущая организация: кафедра Высшей математики

Владимирского государственного университета.

Защита диссертации состоится 2003 г. в 16 часов 15

минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском Государственном Университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета (Главное здание).

Автореферат разослан 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, д/ доктор физико-математическйЗс—-АЛ"'^

наук, профессор ||| л! I (^.П. Лукашенко

-А

Общая характеристика работы Пусть

(0.1)

— эллиптический оператор с постоянными комплексными коэффициентами си,с\2 и с22- Эллиптичность оператора (0.1) означает, что корни (характеристического) уравнения 61/,/У

невещественны. Если, кроме того, мнимые части (характеристических) корней уравнения (0.2) имеют разные знаки, то оператор (0.1) называется сильно эллиптическим.

В диссертации изучаются необходимые и достаточные условия равномерной приближаемости функций Ь-полиномами, т.е. полиномиальными (по хх и решениями уравнения

на компактах в К2.

В наиболее общем виде интересующая нас задача формулируется так:

При каких условиях на функцию / и компакт X функция f может быть с любой точностью равномерно на X приближена Ь-полиномами?

Так как в классе непрерывных функций понятия классического и обобщенного решений уравнения (0.3) совпадают ([1, теорема 18.1]), то равномерный предел последовательности решений уравнения (0.3) в некоторой области снова является решением (в той же области). Отсюда следует, что условие 1>/ = 0 на внутренности Х° компакта X является естественным необходимым условием возможности приближения функции / в сформулированной выше задаче.

ЮТрев Ж. Лекции по линейным уравнениям в частных производных с постоянными коэффициентами. М. Мир. 1965.

сцА2 + 2с12А + с22 = 0

(0.2)

Ьи = 0

(0.3)

Для более конкретного изложения введем необходимые нам в дальнейшем функциональные пространства.

Пусть X — компакт в R2, С{Х) — пространство всех комплексно-

значных непрерывных на X функций с нормой \\f\\x = max |/(я)|.

хб-Х

Положим Al(X) = {/ G С{Х) : Lf = 0 на Через А{Х) обозначим пространство функций, непрерывных на X и голоморфных на Xе. Через Т>ь и V обозначим соответственно классы L-полиномов и полиномов комплексной переменной, через Pl{X) и Р(Х) — замыкание в С(Х) пространств : р £ Vl) и {р|х : р G V}, а через R{X) — замыкание в С(Х) сужения на X множества рациональных функций с полюсами вне X. При п > 2 пусть Рп{Х) означает замыкание в С(Х) сужения на X пространства полиномиальных решений уравнения д"и = 0 (здесь и далее д — \ + — оператор Копга-

Римана), а Ап{Х) = {/ G С{Х) : Tf = 0 на Х°}. Если Y — компактное подмножество в X, то через Rl(Y,X) (соответственно через R(Y,X) или Д„(У,Х) при п > 2) обозначим замыкание в C(Y) пространства функций, определенных и удовлетворяющих уравнению (0.3) (соответственно голоморфных или удовлетворяющих уравнению д и = 0) в некоторой (своей для каждой функции) окрестности компакта X.

Мы ограничимся рассмотрением следующей задачи:

Каковы необходимые и достаточные условия на компактное множество X, при которых совпадают пространства Pl(X) и Ai(X)?

Компакт X с последним условием называется компактом аппроксимации (точнее, в нашем случае, компактом равномерной L-полиномиаль-ной аппроксимации, или, L-компактом).

И Walsh J.L. The approximation of harmonic functions by harmonic polynomials and by harmonic rational functions. Bull. Amer. Math. Soc. 1929. v.35, 499-544.

Р'Гамелин Т. Равномерные алгебры. M. Мир. 1973.

'^Парамонов П. В. Ст-приближения гармоническими полиномами на компактных множествах в R". Матем. сб. 1993. т.184. No 2, 105-128.

[ При L = Д ответ для

данной задачи дает следующая теорема Уолша-Лебега [2, стр. 503], [3, гл. II, теорема 3.3], которую мы приведем в том виде, как она сформулирована в [4, стр. 107]:

Теорема 1. Пространства Ра(Х) и Дд(Х) совпадают в том и только в том случае, когда X — компакт Каратеодори.

Напомним, что X — компакт Каратеодори, если дХ = дХ, где дХ — граница компакта X, а X — объединение компакта X и всех ограниченных компонент множества R2 \ X.

Утверждение теоремы Уолша-Лебега с помощью линейной невырожденной замены переменных в R2 может быть дословно обобщено на случай оператора L со взаимно сопряженными характеристическими корнями.

Одним из основных результатов теории аппроксимации полиномами комплексного переменного является следующая теорема Мергеляна [5, стр. 44]:

Теорема 2. Пусть X — компакт в R2. Тогда Р{Х) = А(Х) тогда и только тогда, когда R2 \ X связно.

Заметим, что в приведенных выше критериях полиномиальной аппроксимации соответствующие условия приближаемости являются чисто топологическими и нелокальными.

Для операторов L с условием Ai ф Аг ситуация обстоит заметно сложнее. Основная трудность связана с отсутствием принципов максимума и подходящих результатов о разрешимости и устойчивости задачи Дирихле (в классической постановке) для уравнения (0.3) в од-носвязных плоских областях. Здесь наиболее сильным на данный момент является следующий результат [6, теорема 7.4]:

ММергелян С. Н. Равномерные приближения функций комплексного переменного. УМН. 1952. т.7. N 2, 31-122.

t6lVerchota G. С., Vogel A. L. Nonsymmetric sistems on nonsmooth planar domains. Trans. Amer. Math. Soc. 1997. v.349. No 11, 4501-4535.

Теорема 3. Пусть D — жорданова область с кусочно-гладкой границей в R2, L — сильно эллиптический оператор вида (0.1). Тогда для любой функции f £ C(dD) существует единственная функция и € Al(D) с условием u\qd = f.

В 1962 г. Браудер получил результат [7, теорема 2], из которого следует

Теорема 4. Пусть D — жорданова область с гладкой границей. Тогда Pl(D) = Al(D).

При доказательстве здесь существенно использовались теоремы вложения Соболева, которые требуют весьма ограничительных условий гладкости на границу компакта.

В 1999 г. П. В. Парамонов и К. Ю. Федоровский установили следующий результат (см. [8, теорема 1.1(2)]):

Теорема 5. Пусть X — компакт в К2, M.'2 \ X — связно. Тогда Pl{X) = Al(X).

_2

Заметим, что теорема 5 для случая L — д была ранее доказана X. Кармоной в работе [9].

Из теоремы 5 следует, что если X — компакт Каратеодори с несвязным дополнением и в каждой ограниченной компоненте множества R2 \ X задача Дирихле для уравнения (0.3) разрешима при любой граничной функции, то Pl(X) = Al(X). В частности, если X — компакт Каратеодори, дХ является объединением конечного числа кусочно-гладких жордановых контуров, L — сильно эллиптический

PlBrowder F. Е. Approximation by solutions of partial differential equations. Amer. Math. J. 1962. v.84. No 1.

^Парамонов П.В., Федоровский К.Ю. О равномерной и С'-нриближаемости функций на компактах в R2 решениями эллиптических уравнений второго порядка. Ма-тем. Сборник. 1999. т.190. No 2, 123-144.

Р'Сагтопа J. J- Mergelyan approximation theorem for rational modules. J. Ap-prox.Theory. 1985. v.44, 113-126.

оператор, то из теоремы 3 следует, что Рь{Х) = Аь(Х). Таким образом, в случае произвольного сильно эллиптического оператора вида (0.1) условие связности множества К2 \ X не является необходимым для совпадения пространств Рь{Х) и Аь(Х).

Примененный в работе [8] локализационный метод А.Г. Витушкина [10] является весьма универсальным и широко используется в задачах аппроксимации функций решениями общих эллиптических уравнений в метриках различных функциональных пространств.

В 1996 году К.Ю. Федоровский [11] установил критерий аппроксимации полианалитическими многочленами на спрямляемых контурах в М2. В [11] существенным является понятие неванлинновского контура. Спрямляемый жорданов контур Г называется неванлинновским, если существуют функции /(г) и д(г) (д ф 0), ограниченные и голоморфные внутри Г, такие, что почти всюду на Г имеет место равенство ( = —^у в смысле угловых граничных значений. Примером

неванлинновского контура является окружность. Напротив, любой эллипс, не являющийся окружностью, не является неванлинновским контуром. Также не является неванлинновским контуром любой спрямляемый контур, содержащий две аналитически независимые аналитические дуги ([11, предложение 2]). Основным результатом работы [11] является следующий (см. [11, теорема 1]):

Теорема 6. Пусть Г — спрямляемый контур в К2, п > 2. Тогда Р„(Г) = С'(Г) тогда и только тогда, когда Г не является неванлинновским контуром.

Из теоремы 6 вытекает отсутствие каких-либо топологических критериев выполнения равенства Рп(Х) = Л„(АЛ).

110'Витушкив А.Г. Аналитическая емкость множеств в задачах теории приближе-

ний. УМН. 1967. т.22. N0 6, 141-199.

'"'Федоровский К. Ю. О равномерных приближениях функций п-аналитическими

полиномами на спрямляемых контурах в С. Матем. заметки. 1996. т.59. вып. 4, 604-

610.

'"•Кармона Х.Х., Парамонов П.В., Федоровский К.Ю. О равномерной алпроксимач

В 2002 г. П.В. Парамонов, К.Ю. Федоровский и X. Кармона [12] существенно обобщили результат [11, теорема 1]. В работе [12] были даны определения неванлинновской и локально неванлинновской областей. Ограниченная односвязная область И называется неванлинновской (соответственно локально неванлинновской), если существуют функции / и д (д ф 0), голоморфные и ограниченные в Б (соответственно голоморфные и ограниченные в Б \ Ко, где К0 — некоторый компакт, лежащий в О), такие, что почти всюду на единичной окружности имеет место равенство (в смысле угловых граничных значений)

[Л = ш{Ь), где ш(-) — некоторое конформное отображение еди-9\ш\ч)

ничного круга В на область I). Имеет место следующая теорема ([12, теорема 2.2]):

Теорема 7. Пусть X — компакт Каратеодори в К2 с несвязным дополнением, п > 2. Тогда Р„(Х) = Л„(Х) тогда и только тогда, когда каждая ограниченная связная компонента С множества М2 \ X не является неванлинновской областью (что, в свою очередь, эквивалентно условию Я„(дС,С) — С(дС)).

П. В. Парамонов и К. Ю. Федоровский сформулировали следующую гипотезу (см. [8, гипотеза 4.1(2)]):

Гипотеза 1. Пусть Ь — сильно эллиптический оператор. Тогда для выполнения условия Рь(Х) = Аь{Х) необходимо и достаточно, чтобы X был компактом Каратеодори.

—2

Для случая Ь — д гипотеза, аналогичная гипотезе 1, не верна как в части достаточных (см. выше), так и в части необходимых условий. В частности, имеет место следующая теорема (см. [12, теорема 4.3]):

Теорема 8. Пусть жорданова область И со спрямляемой границей не является локально неванлинновской, К — компакт, лежащий в

ции полианалитическими полиномами и задаче Дирихле для бианалитических функций. Матем. Сборник, 2002. т.193. n0 10, 75-98.

£>, п > 2. Предположим, что Р„(К) = Ап(К). Тогда Рп{К и дИ) = Ап(Кидр).

Примером области, не являющейся локально неванлинновской, служит любая жорданова область, у которой граница содержит две аналитически независимые аналитические дуги.

Цель работы. В диссертации изучаются необходимые и достаточные условия на компактное множество X, при которых совпадают пространства Рь{Х) и Ас(Х).

Научная новизна. Пусть ф — некоторый фиксированный гомеоморфизм плоскости М2 на себя, Р — совокупность ф — полиномов, т.е. комбинаций вида {р\(г) + Р2{Ф{г))-,Р\ и рг — полиномы комплексного переменного }. В первой главе диссертации вводится новое понятие ф-специальных областей Каратеодори и изучаются свойства этих областей. В терминах ^-специальных областей дается характеристика всех нигде не плотных компактов Каратеодори X, для которых пространство Р плотно в С(Х) (назовем такие компакты ^-компактами).

Во второй главе изучаются ¿-компакты общего вида. Получены новые результаты редуктивного характера, позволяющие установить, что X является ¿-компактом при условии, что таковыми являются некоторые специальные топологически более простые подмножества компакта X.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1) для произвольного гомеоморфизма ф плоскости на себя в терминах ^-специальных областей охарактеризованы все нигде не плотные ^-компакты Каратеодори (теорема 1.1).

2) доказаны редуктивные теоремы, позволяющие получить ряд условий, при которых X является ¿-компактом; в частности:

(а) если ¿ — сильно эллиптический оператор, то всякий компакт Каратеодори является ¿-компактом (следствие 2.2 — аналог достаточных условий в теореме Уолша-Лебега);

(б) для операторов ¿ с условием Л] ф Аг, не являющихся сильно эллиптическими, класс ¿-компактов Каратеодори описан в терминах

так называемых L-специальных областей (следствие 2.1); приведен ряд содержательных примеров наличия и отсутствия аппроксимации;

(в) для операторов L, не являющихся сильно эллиптическими, найден большой класс /^компактов, не являющихся компактами Карате-одори (теорема 2.2 и пример 2.1).

Приведенные здесь основные результаты диссертации являются новыми и обоснованы строгими математическими доказательствами. Точные формулировки приведены ниже.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в ряде разделов теории приближений.

Методы исследования. В диссертации используются: теория разложения ортогональных мер (см. [13], [14], [3]), элементы классической теории потенциала (см. [15]), локализационный метод Витушкина (в контексте работы [8]), а также ряд классических результатов о граничных свойствах голоморфных функций (см. [16], [17]).

Аплробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на семинарах по комплексному анализу на механико-мате-матическом факультете МГУ (под руководством акад. РАН А. Г. Витушкина, акад. ВШ Е. П. Долженко, проф. П. В. Парамонова).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [zl], [z2] и [z3]. Работ, написанных в соавторстве, нет.

MBishop Е. The structure of certain measures. Duke Math. J: 1958. v.25. No 2, 283-289. / В настоящей работе цитирован русский перевод: Э. БишУп. Структура некоторых мер. В сб. "Некоторые вопросы теории приближений". М. ИЛ. 1963, 74-86. [Hlgi^^P g Boundary measures of analytic differentials. Duke. J^iath. J. 1960. v.27. No 3, 331-340. / В настоящей работе цитирован русский перевод: Э. Бишоп. Граничные меры аналитических дифференциалов. В сб. "Некоторые вопросы теории приближений". М. ИЛ. 1963, 87-100.

!15]Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М. Наука. 1966. '151Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М. Наука. 1966.

'^Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. М.-Л.: Гостехиэдат. 1950.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Глава 1 состоит из двух параграфов, а глава 2 — из четырех параграфов. Общий объем диссертации составляет 50 страниц. Список литературы содержит 29 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении формулируются основные задачи, рассматриваемые в диссертации, приводится краткий обзор посвященных им работ и обсуждается структура и основные результаты диссертации.

В главе 1 получен ряд необходимых и достаточных условий на компакт Каратеодори X без внутренних точек, при которых множество Р плотно в С(Х).

Компакт X с последним условием будем называть ^-компактом.

Пусть Б — область Каратеодори (т.е. дБ = дБ), ш — некоторое конформное отображение В на Б, функция / голоморфна в Б. Скажем, что / 6 АС(Б), если /(ш(ш)) продолжается до функции, непрерывной на Б и абсолютно непрерывной на дВ.

Функция ш имеет угловые пределы почти всюду на дВ относительно линейной меры ([16, стр. 381]). В дальнейшем, если и> имеет угловой предел в точке и/о, то через и>(юо) мы будем обозначать данный предел. Пусть х{2) — конформное отображение Б на В, обратное по отношению к и{и)). Функция х{2) имеет в каждой достижимой граничной точке 2о области Б пределы, и при том совпадающие, по всем путям, лежащим вйи оканчивающимся в этой точке ([16, Гл. II, § 3, теорема 1], [18, стр. 102]). В дальнейшем данный предел мы будем обозначать через х{го)- Функция х(г) не может иметь одинаковых пределов в двух различных достижимых граничных точках области Б ([16, Гл. II, § 3, теорема 1]). Таким образом, между достижимыми граничными точками области Б и точками на дВ, в которых существуют угловые пределы функции и>, имеется взаимно однозначное соотношение.

Из сказанного выше следует, что каждая функция / класса АС (Б) имеет в каждой достижимой граничной точке го области Б пределы, и

I181 Каратеодори К. Конформное отображение. М.-Л.: Гостехиэдат. 1934.

при том совпадающие, по всем путям, лежащим в D и оканчивающимся в этой точке, которые мы обозначим через f(zо).

Скажем, что область Каратеодори D является ^-специальной, если существуют непостоянные функции F G АС (Л) и F2 G АС(ф(1>)), такие, что в каждой достижимой граничной точке ( области D имеет место равенство F(() = F2(V>(0)-

Основным результатом главы 1 является

Теорема 1.1. Пусть X — компакт Каратеодори без внутренних точек и с несвязным дополнением, ф — гомеоморфизм плоскости R2 на себя. Тогда множество Р плотно в С(Х) тогда и только тогда, когда каждая связная компонента множества X \ X не является ф-специалъной областью.

Если ф — гомеоморфизм плоскости М2 на себя, меняющий ориентацию замкнутых жордановых кривых, то ^-специальных областей не существует. Это утверждение непосредственно следует из теоремы 1.1 и результатов О'Фаррелла [19, теорема 1]. Независимое доказательство этого факта дается при доказательстве следующего утверждения.

Следствие 1.1. Пусть X — компакт Каратеодори без внутренних точек, ф —■ гомеоморфизм плоскости 1R2 на себя, меняющий ориентацию замкнутых жордановых кривых. Тогда множество Р плотно в С{Х).

Пусть Ai ф А2,Т(1) : г -4 ii + и Т(2) : z -i- хi + — линейные невырожденные отображения плоскости R2. Пусть D — область Каратеодори. Скажем, что D — ¿^специальна, если существуют непостоянные функции Fx G AC(T(i)(D)) и F2 G AC(T^(D)), такие, что в каждой достижимой граничной точке £ области D имеет место равенство Fi(T(1)<) = ВД2) С).

Из теоремы 1.1 следует

(1910' Farrell A. G. A generalized Walsh-Lebesgue Theorem. Ргос. Roy. Soc. Edinburg. Sect. A. 1975. v.73. No 1, 231-234.

Теорема 1.2. Пусть X — компакт Каратеодори без внутренних точек и с несвязным дополнением, А1 ф Аг. Тогда Рь(Х) = С(Х) тогда и только тогда, когда каждая связная компонента множества Х\Х не является Ь-специальной областью. Из теоремы 1.2 и следствия 1.1 следует

Следствие 1.2. Пусть X — компакт Каратеодори без внутренних точек, Ь — сильно эллиптический оператор. Тогда Рь(Х) — С(Х).

В конце главы 1 для случая эллиптического оператора не являющегося сильно эллиптическим, приведены примеры ¿-специальных областей и областей, не являющихся ¿-специальными. Таким образом, в указанном случае критерии приближаемо сти не могут иметь топологический характер.

В главе 2 получен ряд необходимых и достаточных условий на компакт X в М2 и на эллиптический оператор Ь вида (0.1), при которых РЬ(Х) = АЬ(Х).

Доказано, что возможность аппроксимации функций на определенных частях компакта эквивалентна возможности аппроксимации на всем компакте. Более точно, имеет место следующая

Теорема 2.1. Пусть X — компакт в М2 с несвязным дополнением. Тогда для выполнения равенства Р^Х) = А^(Х) необходимо и достаточно, чтобы для любой связной компоненты С множества X", содержащей точки множества Ж2 \ X, выполнялось условие Яь(Х П

Из теорем 2.1 и 1.2 вытекает

Следствие 2.1. Пусть X — компакт Каратеодори с несвязным дополнением. Тогда для выполнения равенства Рь(Х) = Аь(Х), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Н.1(дС,0) = С(9£г) для любой ограниченной связной компоненты С? множества К2 \ X. При А1 ф \г последнее условие эквивалентно тому, что С не является Ь-специальной областью.

Из следствия 2.1 и следствия 1.2 следует

Следствие 2.2. Пусть X С Ж2 — компакт Каратеодори, Ь — сильно эллиптический оператор. Тогда Рь(Х) = А^Х).

Таким образом, гипотеза 1 подтверждена в части достаточных условий.

Пусть Ь — эллиптический оператор вида (0.1). Найдется невырожденное линейное преобразование Т^ плоскости К2, приводящее оператор Ь к виду

I = срддр (0.4)

где /? 6 (—оо, —1] и [1, +оо), ср — некоторая ненулевая комплексная константа, а

Отметим, что оператор Ь приводится к виду (0.4) при /3 < —1 если и только если он сильно эллиптический.

При ¡3 € (—оо, —1] и (1, +оо) положим гр — XI ■+■ ^¿22. При этом

дргр = 0.

Для оператора вида (0.4) при /3^1 Т(1) — тождественное отображение, а Г(2) = Тр : г гр.

Пусть а — конечная борелевская мера. Через Бирр (сг) обозначим (наименьший замкнутый) носитель меры а.

Пусть Ф — специальное фундаментальное решение уравнения (0.3). При * е К2 \ Эирр (а) положим (о * Ф)(£) = / Ф(г — ^¿«7(2).

Установлен следующий аналог теоремы 8, позволяющий описать широкий класс компактов X с условиями дХ ф дХ и Рь(Х) — Аь(Х):

Теорема 2.2. Пусть Ь — оператор вида (0-4) при /? > 1, £> — жор-данова область со спрямляемой границей Г, К — компакт, лежащий в О с условием Р[,{К) = А^К). Предположим, что не существует функций Р, Рр и меры а со следующими свойствами:

1) Р 6 А(И), Рр € А(Тр(0)), F и Рр абсолютно непрерывны на дБ и дТр(О) соответственно; Бирр (<г) С К.

2) (<7*Ф)(С) = ■Р,(С)--Р>(1>С) при всех С е Г; мо не при всех( е

Тогда Рь{Т и К) = Л£(Г и #).

Конкретные примеры использования теоремы 2.2 приведены в конце §2.1.

Таким образом, гипотеза, аналогичная гипотезе 1, не верна в обе стороны для любого эллиптического оператора вида (0.1), не являющегося сильно эллиптическим.

Благодарность. Автор благодарен своему научному руководителю д.ф.-м.н. П. В. Парамонову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проект 00-01-00618) и программы "Ведущие научные школы Российской Федерации" (проект НШ-2040.2003.1).

Работы автора по теме диссертации.

[г1] Зайцев А.Б. О равномерной приближаемости функций полиномами специальных классов на компактах в К2. Матем. заметки. 2002. т.71. вып.1, 75-87.

[я2] Зайцев А. Б. О равномерной приближаемости функций решениями эллиптических уравнений второго порядка на плоских компактах. Деп в ВИНИТИ N 2229 - В2002 от 23.12.2002, 17 стр.

[гЗ] Зайцев А. Б. О равномерной приближаемости функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений второго порядка на компактах в К2. Матем. заметки. 2003. т.74. вып.1, 41-51.

Типография ордена «Знак почета» издательства МГУ 119899, Москва, Воробьевы горы Заказ № 1304 Тираж 100 экз.

* 13 82 9

2.00Ï-A

\

J 2.2.9

Введение.

Глава 1. Равномерная аппроксимация г/>-полиномами на компактах без внутренних точек

§1.1. Формулировка задачи и основных результатов.

§1.2. Доказательство основных результатов.

Глава 2. О равномерной приближаемости функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений второго порядка на компактах в R2 (случай произвольного компакта).

§2.1 Формулировка задачи и основных результатов.

§2.2. Доказательство теоремы 2.1.

§2.3. Доказательство предложений 2.1 и 2.2.

§2.4 Доказательство теоремы 2.2.

Пусть д2 „ д2 д2

L = СЦд-2 + 2С12д-«--Н С22^-"2 axj ох\дх2 0x2

0.1) эллиптический оператор с постоянными комплексными коэффициентами сц,с12 и С22- Эллиптичность оператора (0.1) означает, что корни Ai и Л2 (характеристического) уравнения невещественны. Если, кроме того, мнимые части (характеристических) корней уравнения (0.2) имеют разные знаки, то оператор (0.1) называется сильно эллиптическим.

В диссертации изучаются необходимые и достаточные условия равномерной приближаемости функций L-полиномами, т.е. полиномиальными (по х\ и £2) решениями уравнения на компактах в R2.

В наиболее общем виде интересующая нас задача формулируется так:

При каких условиях на функцию f и компакт X функция f может быть с любой точностью равномерно на X приближена L-полиномами?

Так как в классе непрерывных функций понятия классического и обобщенного решений уравнения (0.3) совпадают ([1, теорема 18.1]), то равномерный предел последовательности решений уравнения (0.3) в некоторой области снова является решением (в той же области). Отсюда следует, что условие Lf = 0 на внутренности Х° компакта X является естественным необходимым условием возможности приближения функции / в сформулированной вьптте задаче.

I •

Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проект 00-01-00618) и программы "Ведущие научные школы Российской Федерации" (проект НШ-2040.2003.1).

СЦЛ2 + 2С12А + С22 =0

0.2)

Lu = 0

0.3)

Для более конкретного изложения введем необходимые нам в дальнейшем функциональные пространства.

Пусть X — компакт в R2, С(Х) — пространство всех комплексно-значных непрерывных на X функций с нормой ||/||х = тах|/(ж)|.

Положим Al(X) = {/ G С(Х) : Lf = 0 на Х°}. Через А(Х) обозначим пространство функций, непрерывных на X и голоморфных на Х°. Через Vl и V обозначим соответственно классы L-полиномов и полиномов комплексной переменной, через Рь{Х) и Р(Х) — замыкание в С{Х) пространств {р\х : р Е Vl} и {р\х р Е V}, а через R(X) — замыкание в С(Х) сужения на X множества рациональных функций с полюсами вне X. При п > 2 пусть Рп{Х) означает замыкание в С(Х) сужения на X пространства полиномиальных решений

Коши-Римана), а Ап(Х) = {/ G С(Х) : д f = U на А"), йсли У — компактное подмножество в X, то через Rl(Y,X) (соответственно через R(Y,X) или Rn(Y,X) при п > 2) обозначим замыкание в C(Y) пространства функций, определенных и удовлетворяющих уравнению (0.3) (соответственно голоморфных или удовлетворяющих уравнению д и = 0) в некоторой (своей для каждой функции) окрестности компакта X.

Мы ограничимся рассмотрением следующей задачи:

Каковы необходимые и достаточные условия на компактное множество X, при которых совпадают пространства Рь{Х) и Ai{X)?

Компакт X, удовлетворяющий последнему свойству, иногда называют компактом аппроксимации (точнее, в нашем случае, компактом равномерной L-полиномиальной аппроксимации, или L-компактом).

Для случая гармонических функций (L = Д — лапласиан) решение данной задачи дает следующая теорема Уолша-Лебега [2, стр. 503], [3, гл. II, теорема 3.3], которую мы приведем в том виде, как она сформулирована в [4, стр. 107]: хех уравнения д и = 0 (здесь и далее д = 1

Теорема 0.1. Пространства Ра(Х) и А&(Х) совпадают в том и только в том случае, когда X — компакт Каратеодори.

Напомним, что X — компакт Каратеодорщ если дХ = дХ, где дХ — граница компакта X, а X — объединение компакта X и всех ограниченных компонент множества R2 \ X.

Утверждение теоремы Уолша-Лебега с помощью линейной невырожденной замены переменных в К2 может быть дословно обобщено на случай оператора L со взаимно сопряженными характеристическими корнями.

Одним из основных результатов теории аппроксимации полиномами комплексного переменного является следующая теорема Мергеляна [5, стр. 44]:

Теорема 0.2. Пусть X — компакт в М2. Тогда Р(Х) = Л(Х) тогда и только тогда, когда М2 \ X связно.

Заметим, что в приведенных выше критериях полиномиальной аппроксимации соответствующие условия приближаемости являются чисто топологическими и нелокальными.

Для операторов L с условием Ai ф \<i ситуация обстоит заметно сложнее. Основная трудность связана с отсутствием принципов максимума и подходящих результатов о разрешимости и устойчивости задачи Дирихле (в классической постановке) для уравнения (0.3) в од-носвязных плоских областях. Здесь наиболее сильным на данный момент является следующий результат [б, теорема 7.4]:

Теорема 0.3. Пусть D — жорданова область с кусочно-гладкой границей в R2, L — сильно эллиптический оператор вида (0.1). Тогда для любой функции f Е С (3D) существует единственная функция и Е Al(D) с условием и\до = /.

В 1962 г. Браудер получил результат [7, теорема 2], из которого следует

Теорема 0.4. Пусть D — жорданова область с гладкой границей. Тогда Pl(D) = Al(D).

При доказательстве здесь существенно использовались теоремы вложения Соболева, которые требуют весьма ограничительных условий гладкости на границу компакта.

В 1999 г. П. В. Парамонов и К. Ю. Федоровский установили следующий результат (см. [8, теорема 1.1(2)]):

Теорема 0.5. Пусть X — компакт в Ш2, М2 \ X — связно. Тогда Pl(X) = АЬ(Х). 2

Заметим, что теорема 0.5 для случая L = д была ранее доказана X. Кармоной в работе [10].

Из теоремы 0.5 следует, что если X — компакт Каратеодори с несвязным дополнением и в каждой ограниченной компоненте множества R2 \ X задача Дирихле для уравнения (0.3) разрешима при любой граничной функции, то Pl{X) = Al{X). В частности, если X — компакт Каратеодори, дХ является объединением конечного числа кусочно-гладких жордановых контуров, L — сильно эллиптический оператор, то из теоремы 0.3 следует, что Рь{Х) = Аь{Х). Таким образом, в случае произвольного сильно эллиптического оператора вида (0.1) условие связности множества К.2\Х не является необходимым для совпадения пространств Рь{Х) и Al(X).

Примененный в работе [8] локализационный метод А. Г. Витушкина [9] является весьма универсальным и широко используется в задачах аппроксимации функций решениями общих эллиптических уравнений в метриках различных функциональных пространств.

В 1996 году К. Ю. Федоровский [11] установил критерий аппроксимации полианалитическими многочленами на спрямляемых контурах в R2. В [11] существенным является понятие неванлинновского контура. Спрямляемый жорданов контур Г называется неванлинновским, если существуют функции f{z) и g(z) (g ф 0), ограниченные и голоморфные внутри Г, такие, что почти всюду на Г имеет место равенство С = ^j^y в смысле угловых граничных значений. Примером неванлинновского контура является окружность. Напротив, любой эллипс, не являющийся окружностью, не является неванлинновским контуром. Также не является неванлинновским контуром любой спрямляемый контур, содержащий две аналитически независимые аналитические дуги ([11, предложение 2]). Основным результатом работы [11] является следующий (см. [11, теорема 1]):

Теорема 0.6. Пусть Г — спрямляемый контур в R2, п > 2. Тогда РП(Г) = С(Г) тогда и только тогда, когда Г не является неванлин-новским контуром.

Отсюда, в частности, вытекает отсутствие каких-либо топологических критериев выполнения равенства Рп{Х) = Ап(Х).

В 2002 г. П. В. Парамонов, К. Ю. Федоровский и X. Кармона [12] существенно обобщили результат [11, теорема 1]. В работе [12] были даны определения неванлинновской и локально неванлинновской областей. Ограниченная односвязная область D называется неванлинновской (соответственно локально неванлинновской), если существуют функции / и g (g ф. 0), голоморфные и ограниченные в D (соответственно голоморфные и ограниченные в D\Kq, где Kq — некоторый компакт, лежащий в D), такие, что почти всюду на единичной окружности имеет место равенство (в смысле угловых граничных значений) гДе и{') — некоторое конформное отображение единичного круга В на область D. Имеет место следующая теорема ([12, теорема 2.2]):

Теорема 0.7. Пусть X — компакт Каратеодори e R2 с несвязным дополнением, п> 2. Тогда Рп(Х) = Ап(Х) тогда и только тогда, когда каждая ограниченная связная компонента G множества М2 \ X не является неванлинновской областью (что, в свою очередь, эквивалентно условию Rn(dG,G) = C(dG)).

П. В. Парамонов и К. Ю. Федоровский сформулировали следующую гипотезу (см. [8, гипотеза 4.1 (2)]):

Гипотеза 0.1. Пусть L — сильно эллиптический оператор. Тогда для выполнения условия Pl{X) = Ai{X) необходимо и достаточно, чтобы X был компактом Каратеодори. 2

Для случая L = д гипотеза, аналогичная гипотезе 0.1, не верна как в части достаточных (см. выше), так и в части необходимых условий. В частности, имеет место следующая теорема (см. [12, теорема 4.3]):

Теорема 0.8. Пусть жорданова область D со спрямляемой границей не является локально неванлинновской, К — компакт, лежащий в D, п > 2. Предположим, что Рп(К) = Ап(К). Тогда Рп(К U 3D) = An(KUdD).

Примером области, не являющейся локально неванлинновской, служит любая жорданова область, у которой граница содержит две аналитически независимые аналитические дуги.

Перейдем к изложению результатов диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы.

1. Парамонов П. В. С"*-приближения гармоническими полиномами на компактных множествах в R". Матем. сб. 1993. т.184. No 2, 105-128. [5; Мергелян Н. Равномерные приближения функций комплексного переменного. УМН. 1952. т.7. No 2, 31-122. [

2. Verchota G. С Vogel А. L. Nonsymmetric sistems on nonsmooth planar domains. Trans. Amer. Math. Soc. 1997. v.349. No 11, 45014535. [Г Browder F. E. Approximation by solutions of partial differential equations. Amer. Math. J. 1962. v.84. No 1, 134-160. 18 Парамонов П. В., Федоровский К. Ю. О равномерной и Сприближаемости функций на компактах в М решениями эллиптических уравнений второго порядка. Матем. сб. 1999. т.190. No 2, 123-

3. Витушкин А. Г. Аналитическая емкость множеств в задачах теории приближений. УМН. 1967. т.22. No 6, 141-199. [ю; Carmona J. J. Mergelyan approximation theorem for rational modules. J. Approx.Theory. 1985. v.44, 113-126. [И Федоровский К. Ю. О равномерных приближениях функций паналитическими полиномами на спрямляемых контурах в Матем. зам. 1996. Т.59. No 4, 604-610. 48