Условия приближаемости функций решениями однородных эллиптических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ В.А.СТЕКПОВА

ПАРАМОНОВ Петр Владимирович

УСЛОВИЯ ПРИБЛИЖАЕМОСТИ ФУНКЦИЙ РЕШЕНИЯМИ ОДНОРОДНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.01. - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1993

Работа выполнена в отделе теории функпий комплексного переманного Математического института-им. В.А.Стаклова РАН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

на заседании специализированного Совета Д.002.38.03 при Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН по адресу: Москва, ул. Вавилова, д. 42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А.Стеклова.

Автореферат разослан " № фе^ал) 1994 г.

профессор Л.Д.Кудрявцев

доктор физико-математических наук,

профессор Б.А.Зорич

доктор физико-математических наук,

профессор А.М.Седлецкий

А_1994 г. в

часов

Ученый секретарь специализированного

Совета Д.002.38.03 •

доктор физико-математических наук

А.С Долево

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ Актуальность темы. Рассмотрим вначале простейший пример постановки задач нашей тематики.

Задача I0« Пусть X - компакт в (С / - комплекснознач-ная функция на X • Каковн условия на функцию £ и множество X , необходимые и достаточные для того, чтобы £ можно было с любой точностью равномерно на X приблизить функциями, голоморфными на компакте X ?

Аналогично формулируются задачи о возможности аппроксимации функций полиномами от комплексной переменной и рациональными дробями с полюсами вне X , причем, как легко показать, проблемы рациональных и голоморфных (задача Iе) аппроксимаций эквивалентны.

Пусть С (X) - пространство непрерывных Функций на X с равномерной нормой || ^ ||х = &ир> {//(г) | | 2 е X } . Обозначим через Н (X) и Р(Х) соответственно замыкания в С (X) пространства голоморфных на X ( т.е. в окрестностях X) Функций и пространства полиномов от комплексной переменной. Задача о возможности голоморфных(полиномиальных]аппроксимаций коротко формулируется так: когда £ € Н (X) (соответственно,

Р(Х) ) ? Ясно, что Р(Х) С Н(Х) , причем, если ^ £ Н(Х) , то £ является также элементом пространства А(Х) = \$€С(Х)\ § голоморфна на Х°} .где Х° -совокупность внутренних точек компакта X . Возникает вопрос: для каких X естественное необходимое условт приближаемое™ £ € Д (X) одновременно является и достаточным (для аппроксимации соответствующим классом Функций]? Приведем конкретные Формулировки.

Задача 2°. Для каких X справедливо равенство А(Х) = И (X) ? Задача 3°, Для каких X выполняется А(Х)= Р(Х) 9

Решение задачи 3° было получено Мергвлянои /з}: Теорема I (/з}). Дшг совладения алгебр ¿\(Х) и /'А',) необходимо и достаточно, чтобы дополнение X компакта X было связным.

Из теоремы Рунге непосредственно вытекает, что если €\Х -связно, то Н()()= Р(Х) • Обратное утверждение следует из принципа максимума. Таким образом, задача 3е является частным случаем задачи 2° и в теореме I основным является тот Факт, что А(Х)~ Н(Х) в случае связности С\ X .

Примеры Мергеляна и Долженко j I, с. 172J- показывают, что простых геометрико-метрических критериев в задаче 2° оявдать не приходится. Наиболее естественным ответом к задаче 2° в настоящее время считается критерий, полученный Бигушкиннм {ij в терминах аналитической С - емкости, определение которой нам удобно привести в следующей форме.

Определение I. Аналитической С - емкостью ограниченного множества Е в С называется величина oi(E}= г , 1 : f £ 01(E)} , где ^Т, f У означает действие распределения Т на гладкую функцию , а класс "допустимых функций" 01 (£) тает вид { -f£ С (<С) ) Sifpfif/Ъг) С £ (т.е. голоморфна вне Е ) , ff ¡¡g < 1 , f(oe>)= t где Supp(^) - носитель функции (распределения^ ^

Иными словами, представляет собой максимальную "мас-

су" особенностей, которую может иметь функция из 01(E) . Теорему 2 (Витушкин {l}). Пусть X - компакт в С Следующие условия эквивалентны:

(а) А(х)= И(Х) ;

(в) для всякого ограниченного открытого множества в (С

справедливо равенство. оС (£)\ X") — <¿ (%>\ X) ;

(с) найдутся А ~> 0 и i такие, что для любого открытого круга В (л, $") (с центром CL€ <С и радиусом §">£?) выполняется оценка оС(&(а, S)\ Х°) £ A°C(B(aJx)\ X) Смысл этого утверждения состоит в том, что для возможности аппроксимации каждой функции из А (X) необходимо и достаточно потребовать, чтобы множество особюс точек (<С\ X) класса приближающие фикций (голоморфных на X) било не менее "интенсивным" чем мнонество особых точек (С \ Х°) класса приближаемых функций (А(Х)) .

В {I, гл. 4J приводится ряд усилений теоремы 2, дающих, в частности, ответ к задаче Io. Эти результаты позволяют получить рад весьма "тонких" геометрических достаточных условий совпадения А (X) и Н(X) , однако метрической характеристики емкости оС(') до сих пор найти не удается. Например, открытым остается вопрос о ее полуадцитивности.

Постановку задач Iе- 3° можно обобщить (изменить) в двух направлениях. Во-порвнх, естественно рассмотреть другие классы приближающих функций. Мы ограничимся классами решений однородных эллиптичебких уравнений с постоянными коэффициентами (ОЭУТЖ). Основными примерами здесь являются: класс голоморфных функций (уравнение du/hi = О , 2 е <С ) и класс гармонических функций (АU - О в , z). Во-вторых, можно рассмотреть другие метрики, в которых осуществляется аппроксимация. В нашем случае это будут метрики, связанные с понятиями пространств "гладких порядка Ьг " (функций (hi > о) на компактах в (точнее с нормами в этих пространствах), яричзм при Щ ^ i имеется несколько тэкях понятии, приводящих к различным аппрок-симационнчм задачам. Для более обстоятельного изложения нагл не-

обходимо перейти к постановкам этих задач, причем для наглядности мы "привяжемся" вначале к случаю Ш= 1 .

Обозначим через С1 (Л. ), л - открыто в , - пространство (вещественных) функций £ на Л у непрерывных и ограниченных вместе со своими частными производными первого порядка на Л , о нормой

где И^1Л = £ир{1д(х)\\хеА]. Положим 1^ = II/II, .

Обозначим через С-^ (X) , X - компакт в к* , -пространство, элементами которого являются "струи" р = - 1 •••} } , где функции , ¿ = о, я, (ве-

щественного ) класса С (X) удовлетворяют следующим условиям. Найдутся М >0 и функция и)(6)-* О при 0 + , о й £ 1

, такие, что

И , с-о,...,*. ; (г)

для всех 6 X . Нормой | Р ^ элемента /- в

^■/'е* С^) является нижняя грань среди всех Л/ , которые удовлетворяют условиям (I) и (2 ) (возможно для различных допустимых 60 ) ) •

Определим Г(Х) = / / е С1(й*) I Я*) = О , О при всех ОС € X } , а также пространство

с соответствующей (^актор-нормой. Элементами пространства С-1 (X ) являются классы эквивалент-

ности /х = / + У<(Х) ФУ11101^ / цо модулю Т1(X) , с нормами |Г= II { = Гй/.

По теорема Уитни {II} пространства (V) и С1(Х) изоморфны (элементу ^ с представителем ^ £ С.1 (&*) соответствует струя р - // 1Х , } . ?Лы не будем разли-

чать эти пространства и их эквивалентные нормы.

Другое пространство "I раз гладких" функций на компакте X , обозначаемое здесь » состоит из функций класса

С (X) » являющихся сужениями на X Функций ^ класса

. Нормой в этом пространстве является у —

- Щ { Ц II, I * € ¿Ж) , 1\х = /''). Ясно, что 'д<(Х) изометрично пространству , где ~

= 0 ва X} .

Наконец, третье пространство, (1^ (X) , как линейное многообразие совпадает с (X) , однако нормой струи

- • ■ • » в ¿С является величина Л Р !|( ^ ^ -

= /ЯЛх/ И/1/^ | О $ I $ И , т.е. условия (2) как бы не учитываются. Пространства С.1(Х) и С?'(Х) банаховы, что, как правило, не так для С-^ (X) .

Аналогично определяются пространства С1уг (X) при других значениях Ш о X) только

для натуральных Уп ) , причем С1т(Х) и совпадают при [о^ ) ( подробности см. ниже на с. 15 ,21, а также в 5 I диссертации).

Постановку аппроксимашонных задач мы дадим для класса гармонических функидй, именно этому случаю уделяется основное внимание в работе.

Пусть /С(Х)~ { и / и - гармонична на X (каждая и в своей окрестности компакта X ) } , _Р -

пространство всех гармонических полиномов в Ц . Каждая функция Ц 6. (Х) естественным образом определяет элемент Ux = (2*11 \х iK|í.f№i;JB пространствах СЫ(Х) = (Х) и

CZr(X) , а таюш элемент U°= U¡x в , tn> О .

Обозначим через ('соответственно Р*"(Х)) замыкание

в C"(X) подпространства {Ux | U£ (соответственно,

подпространства {Ux | U £ Р} ) . Ясно, что РЫ(Х) С

С ах) с СЧ (X) на г

(т.е. 0 на Х° для любого f^)} .Подобным

образом определяются пространства

£*¿(X)t Pw(x), ¿W ¿(X) . Аналоги задач 1°- 3° дяя гармонических приближений в нормах пространств dM(X) , о , формулируются следующим образом.

Задача I. Описать элементы пространства Л*(Х) , Jn> о

Задача 2. Для каких X верно равенство

Задача 3. Для каких X справедливо C*t(X)= РЫ(Х) ?

Аналогично ставятся аппроксимадионные задачи для пространств С*(Х) и CZr(X) (коротко мы будем, например, говорить: "Задача 2 дая С*(Х) ").

Задача 2 дая пространства dir (X) была (в других терминах) сформулирована в работе Дени {4} . Такие же постановки рассматривались в работах Вейнстока, Pao, Шагиняна, Тарханова, где были получаны достаточные условия приближаемости "грубого" характера.

Необходимые и Достаточные условия приближаемости в задаче 2 при tne(o}l) были получены Матеу и Оробичем {б}, а достаточные условия в задаче 2 дая пространств С* (X) при ftl€ (f, t) -Вердерой {9J. Эти условия аналогичны условию (с) теоремы 2, причем гармонические Clm - емкости dim (■) , введенные в этих

работах, описываются в метрических терминах - они сравнимы с гаь обхватами по Хаусдорфу порядка Ж +■ п - X

Важное замечание. Условие ■¿.'"(Х) ('соответственно

^ g р*(Х)) означает, что дм любого представителя f . элемента fx в С* (IR*) найдется последовательность {jgj Функций £ • гармонических на X ( соответственно, совпадакщкх в окрестностях компакта X с гармоническими полиномами), таких, что j~£ f в норме dMfjR'lJ при + . Этот факт, по существу означающий корректность постановки задач 1-3, вытекает из следующего простого утверждения: JM (X) является замыканием в С!"(¡R *) подпространства J* (X) ~

$ J (спектральный синтез

в С*(К*)).

Учитывая сказанное, мы можем считать, что следующий результат О'Фаррелла {в} - Вердерн {9_}-даат ответ к задаче I для пространств dM(X) и CZ (X) (но не С!М(Х)) пщ fa^Z . Теорема 3 ((в|. (э|. Пусть f <£" С", tn> Z . Для того, чтобы f можно было приблизить в норме СЫ(ЦН) гармоническими на X функциями, необходимо и достаточно, чтобы Д^ ¡х))= — О при всех -Х€ X и оС , £>*J-£ .

Задача 3

при ix—X • frl= О изучена в работах Уолша и Лебега (см. {ю})в геометрических терминах . Задача 2 при ¡71= О решена Келдышем {2} и Дени {$} в терминах "тонких" множеств, которые могут быть описаны также в терминах классической гармонической емкости. Оказывается, что в отличие от случая his о г изучаемого в рамках классической теория потенциала, свойство знакопостоянства фундаментального решения для уравнения Лапласа (в окрестности нуля яря П.—2 ) уже на играет практически никакой роли при to > О . Таким образом,

/

- 10 -

задача 1-3 (и их аналоги) при положительных йг оказались технически боле а близкими к случаю равномерных голоморфных приближений, упомянутому выше.

Основным методом исследования в цитированных выше работах {8}, {э}, {ба также в работах автора [1-п1 является метод локализаций, предложенный Бигушкиным {1} для равномерных голоморфных аппроксимаций и адаптированный для приближений решениями общих эллиптических уравнений и систем в работах Харви и Полкинга {б], О'Фаррелла {ч} и других авторов.

Схему приближения, изложенную в работе Витушкина {г}, условно можно разделить на две части: метод локализации особенностей приближаемой функции (упомянутый выше и, как оказалось, универсальный для рассматриваемых здесь задач) и технику приближения локализованных функций "по отдельности" (т.е. оценку и "уравнивание" коэффициентов разложения у локализованных и приближающих функций в рады типа Лорана в окрестности бесконечной точки^, которая существенно зависит от конкретной задачи и, собственно, составляет основное содержание работ, исп'ользупцих эту технику, В этих работах, как правило, наиболее важными моментами являются: (а) выбор соответствующей емкости и изучение ее геометрико-метрических свойств; (б) доказательство аналога теоремы 2 , а также его обобщений и следствий .

Важными моментами в работах Вердеры {9], Матеу и Оробича {б_} являются:

(а) дальнейшее упрощение концепции рядов типа Лорана для решений ОЭУПК (в частности, для гармонических функций ) в окрестности бесконечности;

(б) привлечение в обиход нового способа получения оттенок коэффициентов разложения локализованных функций в ряды типа Лорана

(а через них и самих локализованных функций), основанного на методах теории распределений.

Существенным фактом, ислользуешм для получения этих оценок, является свойство локальной ограниченности сингулярных интегральных операторов типа Кальдерона-Зигмунда в простанствах

для нецелых значений Ш , которое перестает быть верным при целых /п . Последнее неудобство удалось обойти при Уп>, I. (весьма нетривиально при Ь\ = 2. {9}), однако, задачи 1-3 при 1п - 1 (в особенности для пространств С1(Х) и С1 (ХУ) оставались практически неизученными. Для их решения автором [5, была предложена новая техника приближения локализованных функций, состоящая, в частности, в том, что соответствующие коэффициенты Лорана "уравниваются" не для каждой локализованной и приближавшей ее функции, а сразу для их суш, специальным образом скомбинированных. Эта схема, а такта ряд других технических находок, во многом упрощает и оригинальные доказательства теорем I и 2.

Случай /и= / стал в каком-то смысле объединяющим. Отработанная здесь методика, в совокупности с техникой Вэрдерн {э}, позволила получить полное ргаениа задач I я 2 (а также окончательное решение задач I и 2 для ()) при >П€ [1/-&) В результате устанавливается, что аналог теоремы 2 В^тушкина справедлив для всех ¡П£[о, 1) (т.е. до порядка оператора Лапласа), но не обобщается на случай 1П>2 . При ( для С-(_Х) > (X) , ноне С (X) ) соответствующие критерии в задаче 2 формулируются в геометрических терминах. В целях получения "единой" формулировки критериев приблияаемос-ти в задаче 2 автором предлагается [? "единое" определение гармонических - емкостей ЗР^ (•) для всех ¡п^, О

/ см. определение 1.7 на с, 17 нике и § I диссертации/, которые сравнимы с введенными ранее гармоническими С - емкостями {э], {б}, т.е. наследуют все их основные свойства. Задача 3 при Ш > о ( для пространств с*(Х) и

сот

была поставлена и изучалась в работах автора ["б-8]. Здесь снова "барьерным" оказалось значение Ш = 1 . Для компакта X в

^ Л

Щ через X обозначается объединение X со всеми его ограниченными компонентами (связности) дополнения. Доказанный в [?] - аналог теоремы Рунге-Уолша (ю) утверждает, что при Х= X для всех ШЪО выполняется

г(х)= рЧх) .

Однако с его помощью задача 3 сводится к задаче 2 только в случав 1 . Для остальных Ш £0,1)) критерии в задаче 3 удалось получить только на плоскости при [о, (непосредственное обобщение критерия Уолта-Лебега /10^), причем доказано, что аналогичное утверждение уже не верно в случав ) где.найдены "точные" метрические достаточные условия аппроксимации. При ШП£ [о, -*) , , получен ряд достаточных условий приближаемое™ частного характера.

Сель работы. В диссертации изучаются необходимые и достаточные условия С"4- приближаемости (т.е. "гладкой порядка т " приближаемости) функций решениями однородных эллиптических уравнений с постоянными коэффициентами на компактных множествах в

. Основное внимание удаляется С" - аппроксимациям гармоническими функциями и, в частности, гармоническими полиномами.

Научная новизна. Итогом первой главы диссертации является доказательство полного спектра критериев С.М - приближаемости функций гармоническими функциями на компактах в . Эти критерии объединяются следующим утверждением. УТВЕРЖДЕНИЕ I. Пусть X - компакт в Д* ,

(1)при Ь\€[о}г) следующие условия эквивалентны:

(а) СЧ{Х) = Г(Х) ; {%) = £*(Х) ; ^

(в) для любого ограниченного открытого множества 2) в $ справедливо равенство

(г) найдутся а> О и такие, что для любого шара Ь(а> (с центром а<£ & и радиусом выполняется неравенство 31»(В(л,В))\ X") * А ХМ(В(<Я/4{)\Х); (теорема 3.3 и предложение 3.13).

(п) На случай ^>2 утверждение (I) не распространяется ;

(предложение 3.11). (ш)При равенство

также

= ¿V (X) для целых эквивалентно условию

(следствие 3.4 и предложение 7.4 ) . Отметим, что приведенные выше условия приближаемости являются метрическими при Не (о^) и О,2) и геометрическими при I .

Объединявшим результатом второй главы является следующий ряд критериев С!* - лриближаамости Функций гармоническими полиномами.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2: Пусть X - компакт в , г

(I) При /у, I) доя совпадения ¿"V (X) и РЫ(Х) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условия (в) или (г) УШРЗД2Ш I и условие Х~ X I (см. теорему 3.3 и предложения 6.3 и 6.4). (п) При !п>, 2 равенство С*£(Х}- Р*[Х) (а такта

- Р^и (X) дая целых УК>- И ) выполняется если и только если Х° — X и X - X »' (следствие 3.4 и предложения 6.3 ,6.4 , 7.4).

(ш^ Пусть /!=• 3. , тогда С.-^ эквивалентно

Х- X » (теорема 7л). (1У) Пусть ц-г , те Го, ¥2,) . Тогда условия С (х)= Р*(х) эквивалентны;(следствие б.п).

Кроме того, установлен ряд новых критериев С* - приближаемое™ голоморфными функциями, а также критериев С"**- приближаемости функций реиениями произвольных однородных эллиптических уравнений с постоянными коэффициентами.

Приведенные здесь основные результаты диссертации (УТВЕРЖДЕНИЯ I и П) являются новыми, получены автором самостоятельно и обоснованы строгими математическими доказательствами.

Практическая данность. Работа носит теоретический характер. Ей результаты могут быть использованы в ряде разделов теории приближений и теории устранимых особенностей решений эллиптических уравнений, в теории потенциала, а также в теории банаховых алгебр. В целом метод приближения носит конструктивный характер и, видимо, может использоваться в электро- и термо- статике, а также в геодезии в задачах моделирования соответствующих векторных полей.

Методы

исследования. В работе используются методы теории приближения голоморфными функциями, классической теории потенциала, теории фракталов, теории обобвднных функций и сингулярных интегральных операторов.

Аппробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на семинарах по теории функций в МГУ и МИР АН, в университетах Барселоны /Испания/, Монреаля и Лондона /Канада/, Хельсинки и Лйзяскюля /Финляндия/, на Всесоюзных школах-семинарах по теории функций /Ташкент/.

Публикации. Результаты автора по теме диссертации, включая все основные, опубликованы в работах [i-II^ » приведенных в конце автореферата /фамилия автора указана только в совместных работах/.

Структура диссертации. Работа состоит из введения и двух глав, первая из которых разделена на пять параграфов /§ 1-5/, а вторая - на три/ § 6-8/. Общий объем диссертации составляет 161 страниц. Список литературы содержит 67 наименований.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во ВВЕДЕНИИ дается краткий обзор работ по теме диссертации, обсуждаются ее основные результаты и структура.

ГЛАВА I в основном посвящена вопросам аппроксимации гармоническими функциями в пространствах Ch(X) на компактах X в „ лишь в конце параграфа 3 решается задача 2 для С.1"(Х) -норм яри € [{; l) , а в § 5 приводится ряд результатов, касающихся голоморфных С — приближений и аппроксимаций решениями общих ОЭУПК.

В § Г, подготовительном, даются определения пространств см(х) на компактах x в , гармонических с.ы - емкостей, обхватов по Хаусдорфу и обсуждаются их основные свойства.

Дяя открытого множества 12 в R" и /п€ {0,4,... j обозначил®через Lîp"(Jl) пространство функций (вещественнознач-ных, если не оговорено противное), ограниченных вместе со своими частными производными до порядка )П включительно, с нормой

J м • л у

где цри о(= (об*,..- полагаем fo( | = </.,+ •■•+ Ы*. ,

= T'f ■ ■ ^ , = ¡ffr) I .

При т>о , miр 2-+ (т= fn]+ f , где [т] - делая часть М. , -se(o,l)) I через ¿¿рт('SL) обозначается класс функций -f в Цр[м3(Л) с конечной полунормой

Ц -f |j ' - Sup ^ C]J>

T V ¿Jo -t4

где LdE(g} •) - модуль непрерывности функции Cf на множестве £" . Норма в Lip*(&), tn £ . задается равенством:

^/»fW/ J-

Нам такке понадобиться полунорма ¡¡£ ¡^ ^ /ягга: ji ^ J~ lL в dW для . ' w,*m

Теперь определим пространство С*(Л.) , О , как замыкание в jLip^fll) подпространства ЦрЩГ) С"(Л.), где - класс бесконечно дифференцируемых в J2 функций.

Легко показать, что , если и только если

Lip* (SVj , причем для любого компакта (( в J2 и «¿6 Ж\. с условием [т] выполняется равенство:

А» ^ л

/В дальнейшем индексы /п = о и J2 = ^ мы опускаем/. Пусть X - компакт в , !п>,о . Поло;;шм

J^tX)* {fcCWJl^ftt^O при всех :x<i X и

, См(х)= С*Ю/х»(х).

Нормой элемента = J + JM(X) в С.*(Х) с представителем является

«■fx «Ж,*- Н\к~= bi/'jflJ^&J.

По теореме Уитни|п_}, пространство изоморфно пространст-

ву C*lt [х) » состоящему из п М. - струй" F = lf6°iht(6 ГтУ на X • Норма струи F определяется через соотношения типа Тейлора аналогично случаю ht= i , описанному внте. Для каждой струи р найдется f € С* (&к) такая, что F = fo^J¡х причем норма элемента F в Cjlt (Ю эквивалентна ////^ х ( р и j-х отождествляются). Далее вводятся пространства

Цх), Р7х), СУ(х)

и формулируются задачи 1.4 и 1.5 /т.е. задачи I и 2, рассмотренные выше/. Понятие емкости в весьма общей ситуации было дано Харви и Полкингом/ 5J в контексте описания устранимых особенностей для решений общих эллиптических уравнений в различных классах функций. Однако для наших задач это понятие следуе^изменить.

Введем в (К*) = ////* ЧЛССй*}

инвариантную относительно группы движения в R полунорму

II/„ , где берется по всем

вращениям R в & с центром в нуле. Пусть ф - стандартное фундаментальное решение для уравнения Лапласса в ¡fl" . Определение I.7. Гармонической С* - емкостью ограниченного множества Е ъ ¡R называется величина f ht Ф О при Н-1 /:

^(Е) = frf {<Af, / > I OC»(£)},

где класс Olm (e) ( С* - "допустимых" функций для Е) имеет вид: 01^(£)= {i6 СЦГ) I fyyC^cE ,

II ГС * 1, о J.

/Хорошо изученный специальный случай И-2 , )п-о далее не рассматривается/. Аналогично определяется гармоническая Ltp*" -емкость. Устанавливается сравнимость емкостей (• ) с ранее

введенными емкостями, в частности, с классической гармонической емкостью Винера о , П>3 ) и емкостями с/ы ) , упомянутыми выше({э}, {&}). Так, емкости 26однородны порядка Ч+т-.2. и инвариантны относительно группы движений в , причем при Иге (o,i)u(l,l) они сравнимы с нижыши обхватами по Хаусдорфу МН**~Л ) порядка H-bfn-Z в /см. теорему Г.9/. При Уп-1 последнее не верно. Однако, если - какая-либо

гиперплоскость в ЦН и hîAS^-(-) - мера Лебега на 2EZ , то для любого открытого ограниченного множества 2) в имеем:

где А ~ Afa)^ ■+<*>) ( см. лемму I.I3 : I/, 3/, 8/).

Из леммы 1,13 видно, что емкость 2Ê, как бы "повторяет" /с учетом размерности/ свойства аналитической С. - емкости, тем не менее, сравнимость а?,(-) и <*£(•) в остается под

вопросом. В конце § I формулируется ряд нерешенных задач, касающихся свойотв емкости ) .

В § 2 изучаете*- свойства локализационного оператора Витуш-кина для гармонических Функций. Положим Се = I

Çuppjcz J , 1пе[о,+ ooj , и пусть y>£ - фиксирована.

Оператором локализации называется оператор Vu » действующий из пространства (С^(#*)) в себя по формуле: Vyf -где операция * означает свертку. Основными его свойствами являются инвариантность и непрерывность на C'JT. при всех In^o:

t m «: * A nfL,^ ,

где А = А С^л) а также свойство ,

означающее, что Vy "локализует" особенности ^ на множестве $rUj>f> f . Основная идея метода локализации /при Щ< 1 / состоит в том, что исходную функцию -f € Со представляют в виде

конечной суммы "локализованных" функций = X , где

J У/ ^

~ какое-либо "стандартное" гладкое разбиение единицы на Р* с носителями в "маленьких" шарах /В^-} . Полунормы /* Также в этом случав оказываются ■ "маленькими" и, найдя нужное приближение каждой из ^ , мы получаем требуемое приближение и самой £ , С этой целью изучаются разложения в ряды типа Лорана потенциалов Ньютона , где В случае, когда Ф * Т ^ 01* (Е) > устанавливаются оценки коэффициентов Лорана и /как следствие/ оценки производных Функции ф*Т вне ¿иррТ' через емкость . В конце § 2 вводится понятие гармонического С-* - центра множества, упрощающее /как и аналогичное понятие аналитического центра в {I}/ ряд технически сложных выкладок при доказательстве основных результатов работы.

В § 3 /основном в диссертации/ доказываются следующие критерии приближаемое™.

Теорема 3.1. Пусть Кб , / € . Сле-

дующие условия эквивалентны:

(1) Г^;;

(2) Для всякого шара В - В (а, 2") и у £ Со (&) верна оценка

| ] ^дубхЫх | Ае(?)5гЦАуЦзе,„(В\Х),

где А -А (»,, егф = -Ь)/! * |

(о,£) } > * = Н-М.

(3) Найдется —> О при О и А > < такие, что для любых В — & и (р € (10 (В) имеет место:

в

Наибольшие трудности здесь возникают в доказательстве случая 1п= 1 , потребовавшем, привлечения существенно новой техники

приближения локализованных функций. Из теоремы 3.1, результатов Келдыша /2]- Дени {4] и Матеу-Оробича {б] вытекает следующая Теорема 3.3. Пусть X - компакт в , 2. . При МёГо,и) следущие условия эквивалентны:

(а) СЧ(Х)= Г(Х) ;

(в)для всякого ограниченного открытого 2) в $ справедливо

равенство : (59 \ Хо) — X) ;

(с) найдутся Д>0 и такие, что для любого шара

(ВМ\ Х°) 4 А х* (В (а, 4*)\ х).

В предложении 3.11 доказывается, что этот критерий не распространяется на случай /И >2 . При удалось доказать еще один критерий С** - приблтсаемости, дающий ответ к задаче I при Ь.£(4}1) и являющийся аналогом соответствующего критерия Витушкина {I, с. 17з}.

Теорема 3.5. Пусть $ £ С*(&к) , ¡4 6 (<1,1.) . Условие при-ближаемости ^ £ [X) эквивалентно выполнению следующей оценки для любого шара В = Ь (а, 5) :

где А ~ А(Ь)Ь) ^ ^ °° > - внешняя единичная нормаль

к^З в точке у , - элемент поверхностной меры

Лебега на 1>Ь , = ЩЩС \

Реиениэ задачи I при Н> г получено в теореме 3 О'Фаррел-ла-Вердеры, сформулированной выше. Пользуясь этим результатом, мы получаем:

Следствие 3.4. При условия С"% (X) = Х°= X

эквивалентны.

В своих работах О'Фаррелл и Вердера придерживались следующего понятия пространства С" на компактах X . Положим

Г(х)= ife . x}f сух)= СЖУЩ-

Для этого пространства утверждение следствия 3.4 не верно, а установить аналогичный критерий весьма проблематично. При доказательстве необходимости в критерии совпадения (X) и £Ы(Х) при hieftii) в работе Вердеры {9, с. 185] была допущена неточность. Ее удалось устранить только следующим утверждением, из которого непосредственно вытекает эквивалентность условий

Ст(Х) -и С*(х)

- приближаемосги в задаче 2 при he^l). Предложение 3.13. Пусть Щб [о, l) , -f 6 JM(X), тогда/х ё £М(Х).

Отметим, что в доказательстве (3)=$?(j) теоремы 3.1 при tne(it2j мы существенно опираемся на соответствующее доказательство Вердеры {9, лемма 3.2}.

В § 4 приводится ряд геометрико-метрических следствий из теорем, полученных в § 3. Они основаны на сравнимости емкостей свм(') 0 нижними обхватами по Хаусдорфу (• ) при

lv€ U (4/л) и свойствах емкости , доказанных в лем-

ме I.I3. Приведем только саше основные результаты. Предложение 4.1. При Ш €(Oji)Uравенство (Х)= £*(Х) эквивалентно выполнению условия

ДЛЯ МПТг 0) - почти всех з:X

Теорема 4.5. Для совпадения (X) и необходимо и до-

статочно, чтобы для каждой точки Л £ ~дХ существовало / такое, что

J--»oJ х, [Bin, ¡г)\

Пользуясь этим фактом и (* з), с. 18,легко получить ряд метрических следствий из теоремы 4.5. В заключении § 4 приводятся примеры отсутствия аппроксимации. В частности, доказывается, что чисто топологических критериев Cl*1 - приближаемости при Мб [о, ¿) не существует.

В § 5 результаты § 3 и 4 обобщаются на случай аппроксимации решениями произвольных ОЭУПК. Пусть L — Э* -эллиптический оператор порядка р , 6«< 6 с . Эллиптичность L означает, что соответствующий символ Ln)- ¿Lh X , Rh , удовлетворяет условию О при всех f-ФО . Примерами таких операторов являются (Э/'Ъ в (С и А в

, Для оператора локализацииX^fjf — * (^f)/

где - стандартное фундаментальное решение для L , у £ (2°^ ($Н) » остаются в силе все основные свойства аналогичного оператора для гармонических функций. Нетрудно проверить, что формулировки основных результатов из § 3 и 4 обобщаются следующим образом:

Определение 5.1. Пусть tri > р-Х. . Эллиптической Л - -емкостью ограниченного множества Е ъ /R назовем величину:

*£ Sif{<Lf,H> I f€ CZc (f)t

Теорема 5.2. При tri £ ["p-i ? ¡>) функцию f € Co (ßl*) можно приблизить в норме f • функциями ^ , удовлетворяющими

уравнению Lß —0 в (зависящей от ß) окрестности X тогда и только тогда, когда для либых ßfafr) и у £

е С$ (BMJ)

выполняется оценка:

| ffCx)U(x)dx I $ Абг0)5*иу1хЦА(ъВ)\Х),

где А = А(*,л,1)< ~ , = s)/^":

и (о,5), Ы\= f>-1 }.

В качестве следствия из этой теоремы и результатов Матеу-Оробича {б], которые также обобщаются на общие ОЭУПК, мы получаем аналог теоремы 3.3 при /п€(р-2,р).

Следующее утверждение при )п = 0 дает утвердительный ответ к задаче Витушкина JI, с. Г73].

Теорема 5.12. Пусть l?l€[o;1) , X ~ компакт в (С , ^ е С*( ) • Функция ^ приближается голоморфными на X функциями в норме С.™(X) тогда и только тогда, когда для всякого круга 3(а,<>) имеет место оценка:

l [щи | * А

п.iß >°

где Ar А fo) + 00 » olt*, (') - аналитическая С" -

емкость

ом - С

- емкость).

ГЛАВА П посвящена С.** - аппроксимациям гармоническими полиномами. Существенно отметить, что, в отличие от общих гармонических приближений, условия пр'иближаемости гармоническими полиномами не являются локальными.

Предложение 6.3. Пусть X С. ¡Ц* - компакт со связным дополнением (X= X ) , ft > -2. . Тогда при всех Иг > о справедливо равенство Р*"(Х)= £М(Х)'

Это предложение (аналог теоремы Рунге-Уолша /ю] ) при Уп>у 1 полностью сводит задачу 3 к задаче 2, поскольку, как доказано в предложении 6.4, условие Х~ X необходимо для выполнения равенства £ (X) • Последнее, однако, не верно при

М. < i , гак что в этом случае требуется ряд других соображений.

Основными результатами § 6 являются следующие утверждения:

Следствие 6.11« При Ц= 1 > равенство

- эквивалентно условияю - ^Х •

Предложение 6.16. Пусть X - компакт в , гдХ= Э X . Пусть &х = {$■} , где Лир берется среди всех , удовлетворяющих следующему условию : для каждой ограниченной компоненты 2) дополнения к X найдется у? = таксе,

что для всякого ОС € Э-2) существует (замкнутый) сектор £ с центром в точке ОС , радиусом р и (угловой) величиной , для которого

$п%= {х} . Утверждается ,что при выполняется

В теореме 6.12 доказывается, что если компакт X является жордановой кривой, состоящей из конечного числа -гладких дуг, €>0 , то при

М > 7Г/(Л7Г- )

справедливо

С*(Х) = СЧ (X) , т.е. (достаточное) условие в предложении 6.16 является точным.

При условие Х~ X не несет никакой дополнитель-

ной информации о емкостях Э?г (В>\ X) и Х1(&\ Х°) , где 3 шар в , поэтому для получения метрических критериев полиномиальной С" - аяпроксимагии необходимо фактически получить метрическую характеристику ) . Последняя задача, как и соответствующая задача для аналитической емкости о( (•) , по-видимому, является весьма сложной.

При ¡1-1 представляет и; терес следующая задача: верно ли, что условия (х) - р1 (х) и Х-X эквивалентны? Здесь все сводится к вопросу; верно ли, что Х1 сравнима с ^'ак^ для ограниченных областей в /¡¿^ ?

Основной результат § 7 дает утвердительннп «пвет на "чуть-чуть" ослабленный вариант предыдущей задачи, который ооответст-

вует задаче 3 для пространства С^- (X)

Теорема 7.f. Пусть X - компакт в . Следующие условия эквивалентны:

(1) Для всякой функции je с, гармонической на х°, и для любого £ > О найдется гармонический полином р> такой, что !| f - р \\х < £ , llv(f-p) Пк < S

(2) Щ1\ X связно.

Заключительный параграф, § 8, основан на совместной работе автора и Дж. Вердеры [il]. Здесь впервые, насколько известно автору, приведена общая постановка задач об аппроксимации решениями ОЭУПК в нормах абстрактных /банаховых/ пространств типа Уитни на замкнутых подмножествах в RK . Для достаточно широкого класса пространств,, включающего все классические /невесовые/пространства L^, Ё>МО ; ; устанавливается, что задача об аппроксимации на замкнутых множествах является локальной, т.е. может быть сведена к соответствующей задаче на компактных множествах. Так, теоремы 3.3, 3.5, 5.2, 5.3 и 5.12 непосредственно обобщаются и на замкнутые множества в Цк .В этом же параграфе автор приводит ряд утверждений, касающихся С"1- приближаемости полиномиальными решениями ОЭУПК общего вида.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА [} Витушкин А.Г. Аналитическая емкость множеств в задачах теории приближений // УШ.1967. т.22. Jffi, O.I4I-I99. »} Келдыш М.В. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле

// УМН. 1941. Л 8. с.171-231. 3J Мергелян С.Н. Равномерные приближения функций комплексного переменного // УМН. 1952. т.7, £2.с.31-122.

I | Deny J. Syatém3 totaux.de functions harmoniques // Ann. Inst. Pourier.I949.v.1.p.103-113-

Harvey R. and Polking J. A notion of capacity which characterizes removable singularities // Trans.Amer. Math.Soc. 1972. v.169.p.183-195. J Maten J., Orobitg J. Lipschitz approximation by harmonic functions and зоте applications to spectral sintiesis // Indiana Univ. Math. J.1990. v.39.p.703-736. ^7J O'Farrell A.G. Metaharmonic approximation in Lipschitz norms // Proc.RoySl. Irish Acad. 1975.v.75A.p.317-330. {в} O'Parrell A.G.Rational approximation in Lipachitz norms-

II // Proc. Royal. Irish.Acad. 1979. v.79. A. p.104-114 {9} Verdera J. - approximations by solutions of ellip-

tic equations and Calderon-Zygmund operators I! Duke Math.J. 1987. v.55. N1 p.157-187. ^10jr Walsh J.L. The approxamation of harmonic functions by harmonic polynomials and by harmonic rational functions //Ball. Amer.Math Soc. 1929 v.35. p.499-544. {ll} Whitney H. Analytic extensions of differentiable functions defined in closed sets // Trans.Amer. Math. Soc. 1934. v.36. p.63-89.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЖЕ ДИССЕРТАЦИИ

fl ] 0 взаимосвязи локальных и глобальных аппроксимаций голоморфными функциями // Изв. АН СССР. Сер. матем.1982.т.46. ii I. с.100-116.

Г2 ] Об одном достаточном условии прибликаемости функций рациональными дробями и Докл. АН СССР. 1983. г.268. .№2.0.292295.

[3 ] 0 возможности деления и возведения в дробную степень в алгебре рациональных функций // Изв. АН СССР. Сер.матем. 1987. т.51./Й2. С.412-420.

4 J Rational approximation near zero sets of functions //

Publications Mathi/natiques (Universitat Auton. de Barcelona). 1969.v.33.p.59-68.

5 ] 0 гармонических аппроксимациях в С.* -норме // Ma тем. сб.

I9S0. т. 181. JS 10. о.1341-1365.

6 J Harmonic polynomial approximation on compact subsets of

the plane // Univ.Auton de Barcelona (CRM), Preprint И 134 (I99D,

[7 ] C*"~ приближения гармоническими полиномами на компактных

множествах в // Магем. сб.1993. т.184.№2.с.105-128.

[8 ] 0 приближениях гармоническими полиномами в С1 -норме на

компактах в Щ1 // Изв. РАН. I993.T.57.JS2.C.II3-I24.

.9] Mattila P., Paramonov P.V. On geometric properties of

harmonic Lip,, -capacity // Univ. of JuvaskylavPrepriht

N 155 (1992), 22p. To appear in Pacif. J.Math.

io] Готье П.М., Парамонов П.Е. Аппроксимация гармоническими

функциями в С.1 -норме и гармонический С -поперечник

компактных тожеств в // Магеы.заметки.1993.т.53.в.4

с.21-30.

II 3 Paramonov Р.У., Verdera J. Approximation by solutions of elliptio equations on closed subsets of Euclidean spaces // Univ. Auton de Barcelona.Preprint N2(1993), Юр, To appear in Math.Scand.

ЦБНТИ речного транспорта Заказ 1. Тираж 120