Равномерные и С1 - приближения функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений второго порядка на компактах в R2 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

механико-математический факультет

на правах рукописи

Федоровский Константин Юрьевич

УДК 517.5

Равномерные и С1 - приближения функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений второго порядка на . компактах в В,2.

/01.01.01 — математический анализ/

АВТОРЕФЕРАТ диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1990

I с.__

механико-математнческий факультет

на правах рукописи

Федоровский Константин Юрьевич

УДК 517.5

Равномерные и С1 - приближения функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений второго порядка на компактах в В?.

/01.01.01 — математический анализ/

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1996

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент П.В. Парамонов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.П. Буланов кандидат физико-математических наук, доцент В.Я. Эйдерман

Ведущая организация; Московский педагогический

государственный университет.

Зашита диссертации состоится " " 1997г. в

16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " Ср<г£/)<*и<Я_1997г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ, профессор

Т.П. Лукашенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Пусть Ьи = сцит,Х1 + 2су>иХ1Г., + г-ми.,-,,, — эллиптический дифференциальный оператор на плоскости х ) с постоянньши комплексными коэффициентами с-ц. с^ и с^. Эллиптичность Ь означает, что соответствующий символ сц^'+ С22^| с вещественными £1 и £2 обращается в ноль только при & = & = 0. Последнее эквивалентно тому, что корни Л) и Л2 характеристического уравнения Сц А2 + 2сц\ + С22 — О не являются вещественными.

В диссертации изучаются необходимые и достаточные условия при-ближаемости функций ¿-полиномами, т.е. полиномиальными (по х, и хг) решениями уравнения

Ьи = 0 (0.1)

на плоских компактах в двух классических метриках — равномерной и С^-метрике (т.е. С1-метрике "слабого" типа).

Напомним, что последовательность функций класса С1 в окрестности компакта X (у каждой функции — своя окрестность) сходится в смысле С}„ на компакте X, если она равномерно сходится на А' вместе со своими частными производными первого порядка. Точное определение пространства и его нормы приводится нижег

В наиболее общем виде интересующая нас задача формулируется так:

При каких условиях на функцию / и компакт X функция / может быть с любой точностью равномерно (соответственно в метрике С1) на X приближена последовательностью Ь-полиномов?

Эта задача тесно связана со следующей:

При каких условиях на / иХ функцию / можно равномерно (соответственно в метрике С^) на X приблизить последовательностью функций, удовлетворяющих уравнению (0.1) в окрестности (своей для каждой функции) компакта X ?

Заметим, что поскольку в классе непрерывных функций понятия классического и обобщенного решений уравнения (0.1) совпадают, равномерный предел последовательности решений уравнения (0.1) в некоторой области снова является решением (в той асе области). Отсюда следует, что условие Ы = 0 на внутренности X" компакта А' является естественным необходимым условием возможности приближения функции / в каждой из рассматриваемых выше задач.

Для более конкретного изложения введем необходимые нам в дальнейшем функциональные пространства.

Пусть X — компакт в R2, С(Х) — пространство всех комплексно-значных непрерывных на Л' функций с равномерной нормой (||/||Л- = тах|/(х)|).

Положим Ai(X) = {/ 6 С(Х) : Lf = 0 на Xo}. Для произвольного подмножества Е С R2 обозначим через L(E) совокупность функций, удовлетворяющих уравнению (0.1) на Е (каждая функция в своей окрестности множества Е). Обозначим через Pi(X) и G¿(A') равномерные замыкания на Л' подпространств {р\х : р — L-полином} и {/1х : / 6 ЦХ)}, а через Cl{X) — замыкание в (С(Х))3 под-, пространства {{/, V/}|x : / g C^R2)} — это и есть пространство "функций" класса С1 "слабого" типа на компакте X с индуцированной нормой из пространства (С(А'))3. Уточним, что если 9 = {9й,9и9г} € (С(Х})\ то |Ы|(С(д:)), = |Ы|* = тах Ы!*.-

Кроме того, пусть: Alw L(X), P¿ L{X) и G[ l(X) — замыкания в (С(А'))3 подпространств {{/,?/})* : / £C\R2) П L{X")}, {{Pî^PÎIx : Р—¿-полином} и {{/, V/}|x : / е L(X)} соответственно.

Мы ограничимся рассмотрением задач, которые в литературе принято называть задачами аппроксимации для "классов" функций:

Каковы необходимые в достаточные условия на компактное множество X, при которых совпадают соответственно следующие*функциональные пространства:

(1) PL(X) и Л^Х);

(2) P¿,t(*) и

(3) Gl(X) и Ai(X)\

(4) Gli(X) и AlJX).

Другими словами, это задачи отыскания необходимых и достаточных условий на компакт X, при которых естественное необходимое условие приближаемости / € L(A"°) является и достаточным для всех функций / из соответствующего приближаемого класса (С(Х) или

cl(X)).

Задачи (1)-(4) естественным образом обобщаются на случай аппроксимации функции ("струй") решениями обших эллиптических

уравнений Lu = 0 в метриках различных функциональных пространств (включая абстрактные). Однако здесь, в кратком обзоре, и всюду в диссертации обсуждаются только наиболее важные результаты, касаюшнеся непосредственно задач (1)-(4). а также (аналогов) задач (1) и (3) для эллиптических операторов Lu = L„u — с(д/дх 1 — Xdjdxi)nu произвольного порядка п = 1,2,.... имеюшнх равные характеристические корни (Ai = • • • = А„ = Л £ С \ R), где с ф 0 — константа.

Рассмотрим вначале задачи (1) и (3), связанные с аппроксимацией функций в равномерной норме.

Для случая гармонических функций (L = Д — оператор Лапласа) решение задачи (1) дает следующая теорема Уолша-Лсбега [1].

Теорема 1. Пространства Рд(АГ) и Лд(Х) совпадают в том и только том случае, когда дХ = дХ (т.е. граница дХ компакта X в R2 совпадает со своей "внешней" границей дХ, где X — объединение компакта X со всеми ограниченными компонентами дополнения R2 \ X).

Решение задачи (3) длягармонических функций получено М.В. Келдышем [2] и Ж. Дени [3] в терминах так называемых иррегулярных точек, которые можно описать также с помощью классической гармонической емкости.

Теорема 2. Пусть X — компакт в R2, а 1п(£) — множество иррегулярных точек для множества Е С R2. Следующие условия эквивалентны.

1)Оь{Х) = Ал(Х).

2) Irr(R2 \ А'°) s Irr(R2 \ А').

(1] Walsh J.L. The approximation of harmonic functions by harmonic polynomials and by harmonic rational functions. Bull. Amer. Math. Soc. 1929. v.35, pp.499-544.

|2] Келдыш M.B. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле. УМН. 1941. No.8, с.171-231.

[3]Deny J. Systèmes totaux de functions harmoniques. Ann. Inst. Fourier. 1949. v.l, pp.103-113

Утверждения теорем Уолша-Лебега л Келдыша-Дени линейной невырожденной заменой переменных в R2 могут быть дословно обобщены на случай операторов L с сопряженными характеристическими корнями (Aj = А2). Однако основной метод классической теории потенциала — метод выметания масс (см. [2] и [3]) не удается обобщить на какой-либо другой из рассматриваемых случаев.

При L = L\ = Ъ — \(д/дх\ + id/dxi) (оператор Коши-Римана), т.е. в случае аппроксимации полиномами комплексного переменного, решение задачи (1) было получено С.Н. Мергеляном (4): ,

Теорема 3. Пусть X — компакт в R.2. Toada

Pg(X) — Ац(Х) { С \ А' — связное множество} .

Проблема равномерной аппроксимации функций рациональными дробями (задача (3) для случая L = Ъ) была полностью решена А.Г. Витушкииым [5] в терминах аналитической емкости а(-):

Теорема 4. Для произвольного компакта X в С следующие условия эквивалентны:

1)СЪ{Х) = АЪ{Х);

2) для любого открытого круга В С С имеет место равенство а(В \ Х°) = а(В \ X).

Развитый в работе |5] метод локализации является весьма универсальным и широко используется в задачах аппроксимации функций решениями общих эллиптических уравнений в метриках различных функциональных пространств.

Заметим, что в приведенных выше критериях полиномиальной аппроксимации соответствующие условия приближаемости являются глобальными и геометрическими, а условия аппроксимации в задаче

(3) для операторов Д и Ъ — локальными.

[4] Мергелян С.Н. Равномерные приближения функций комплексного переменного. УМН. 1952. т.7. No.2, с.31-122.

|5] Витушкин А.Г. Аналитическая емкость множеств в задачах теории приближений. УМН. 1967. т.22. No.6, с.141-199.

[6] Долженко Е.П. О приближении на замкнутых областях и о нульмножествах. ДАН. 19G2. т.143. No.4, с.771-774.

Как показывают примеры, построенные С.Н. Мергсляном [4] и Е.П. Долженко [6], на простое геометрическое решение залачн (3) при £ = с? рассчитывать, по видимому, не приходится.

Для операторов второго (и более высокого) порядка, отличных от Д (и случаев А! = ^г), дело обстоит заметно сложнее.

Рассмотрим задачи (1) и (3) для п-аналитическнх (п > 2) функций (L — <Г — dn/&Zn, см. глава 1, §1.1 диссертации). В этом случае индекс L в обозначении рассматриваемых функциональных пространств заменяется на п, например, Л„(А") = Лд«(А') = {/ £ С(Л') : д"/ = 0 на А'°}.

Нетрудно показать, что всякая п - аналитическая в области D функция / имеет вид /(г) = /0(г) + 2/1(2) + ••• + 2"_1/„_|(г). где /о(-), ... ,fn-i(-) — голоморфные в области D функции, а всякий п - аналитический полином имеет вид p(z) = po(z) + zpi{z) + • • • + 2n-1p„_i(2), гдеpo(-)> ••• îPn-i(') — комплексные полиномы.

Класс n-аналитических функций представляет интерес для исследования в силу ряда причин.

Во-первых, функции этого класса тесно связаны с рядом задач теории функций многих комплексных переменных и теории п-гармонических функций, которые важны в приложениях.

Во-вторых, как будет показано ниже, условия равномерной при-ближаемости функций п - аналитическими (п > 2) полиномами принципиально отличаются от соответствующих условий приближаемо-сти комплексными и гармоническими полиномами, что позволяет взглянуть'на задачи (1) и (3) с другой точки зрения.

Рассмотрим вначале задачу (3).

Задача (3) для п - аналитических функций рассматривалась в ряде работ Вердеры [7], Кармоны [8] и других авторов.

Вердера [7] доказал, что на произвольном компакте А' С R2 любую Дини-непрерывную функцию класса Лг(А') можно равномерно приблизить последовательностью функций, бианалитическнх в окрестности X.

[7] Verdera J. On the uniform approximation problem for the square of the Cauchy-Riemann operator. Pasific J. of Math. 1993. v. 159, pp.379396.

(8] Carmona J.J. Mergelyan approximation theorem for rational modules. J. Approx. Theory. 1985. v.44, pp.113-126.

Там же сформулирована гипотеза о том, что Gi(X) = А^(Х) для любого компакта А' С С. Отметим, что (в сил}' ограниченности фундаментального решения — для оператора 52) эта гипотеза явля-

JT2

ется естественным аналогом сформулированного выше емкостного критерия А.Г. Витушкина.

Вернемся к задаче (1) для L — 3". Из результатов Кармоны [8] вытекает

Теорема 5. Пусть X — компакт в С, п > 2 — целое. Если С \ А' связно, то Ап(X) = Р„(А").

В известных автору работах (см. (8], [9]) задача (1) для п - аналитических функций рассматривалась только для компактов со связным дополнением. Вопрос о том, будет ли условие связности С \ А' не только достаточнымj'но и необходимым для совпадения пространств А„(Х) и Р„(Аг), до настоящего времени оставался открытым. Оказалось (см. гл. 1 диссертации), что, в отличие от равномерных приближений комплексными полиномами, это не так. Более того, стало ясно, что не существует чисто геометрических критериев приближа-емости функций n-аналнтическимн полиномами на плоских компактах при п > 2.

Что касается задачи (2), то сразу заметим, что для всех рассматриваемых операторов L порядка 2 критерии приближаемости имеют ту же геометрическую форму, как и в теореме С.Н. Мергеляна.

Для гармонических функций это утверждение было получено П.В. Парамоновым в работе [10], а общий случай изучен в работе П.В. Парамонова и автора [[2]] и излагается во второй главе диссертации (см. теорему 2.1 ниже).

{&) Андриевский В.В., Белый В.И.. Маймескул В.В. Прямые и обратные теоремы приближения функшш для рациональных модулей в областях с квазиконформной границей. Матем. заметки. 1989. т.46. No.2, с. 12-20.

{ю] Парамонов П.В. О приближениях гармоническими полиномами в С1-норме на компактах в R2. Изв.РАН (Серия мат.). 1993. т.57. No.2, с.113-124.

(и) Парамонов П.В. О гармонических аппроксимациях в С'-норме.

Матем. сборник. 1990. т.181. No.10, с.1341-1365.

[12) Veillera J. On С"'-rational approximation. Proc. Amer. Math. Soc.

G

В работах [11], [12] исследованы другие версии С1 - пространств на компактах в R". причем соответствующие аппроксимаиионные задачи, вообще говоря, отличаются от рассмотренных выше. Так. до сих пор не удается установить аналог теоремы 2.1 для Cjf(-нормы [11]. Более подробно пространства C¿. и Cj(¡ и их нормы обсуждаются в §2.1 диссертации. Отметим еше, что красивое окончательное решение задач (2) и (4) для L ~Ъ непосредственно вытекает из работы Вердеры [12]:

= А" плотно в А';

AlЭ(А') = Р^(Х) <=*• Х° = А' и С\А' — связно.

Наконец, говоря о различных аналогах задач (1) - (4), целесообразно упомянуть работы А.Г. О'Фаррелла, Д. Матеу, Д. Оробнча, Д. Вердеры и П.В. Парамонова, связанные с приближениями в нормах пространств Ст ([13], [14], [17]), ВМО ([15]) и абстрактных (банаховых) пространств типа Уитни на замкнутых подмножествах в R" ([16]).

Цель работы. В диссертации изучаются необходимые и достаточные условия приближаемости функций полиномиальными решениями однородных эллиптических уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами на плоских компактах в равномерной норме и метрике пространства С1 слабого типа. Исследуется также вопрос о взаимосвязи задачи типа Дирихле для «-аналитических

1986. v.97, рр.621-625.

[13] Mateu J and Orobitg J. Lipschits approximation by harmonic functions and some applications of spectral synthesis. Indiana Univ. Math. J. 1990. v.39, pp.703-736.

[H] O'Farrell A.G. Rational approximations in Lipschitz norms. II. Proc. Royal Irish Acad. 1979. v.79A, pp.104-114.

[15] Mateu J. and Verdera J. BMO harmonic approximation and spectral systhesis for Hardy-Sobolev spaces. Revista Matern. Iberoamericana 1988. v.4, pp.291-318.

[16] Paramonov P.V. and Verdera J. Approximation by solutions of elliptic equations on closed subsets of euclidean space. Math. Scand. 1994. v.74. pp.249-259.

[17] Парамонов П. В. Cm - приближения гармоническими полиномами на компактных множествах в R". Матем. сборник. 1993, т.184, No.2, с.105-128.

функций в жордановой области в К2 и задачи о равномерной приближаемости функций п - аналитическими полиномамн (при п > 2) на ее границе.

Научная новизна. Получен ряд необходимых и достаточных условий равномерной приближаемости функций полиномиальными решениями однородных эллиптических уравнений на компактах в Я2 в случае равных характеристических корней соответствующего дифференциального оператора. В частности, показано, что условие связности дополнения не является необходимым условием приближаемости (для классов функций) и что не существует чисто геометрических критериев равномерной аппроксимации функций такими полиномами на произвольных компактах в II2.

Исследован вопрос взаимосвязи задачи типа Дирихле для п - аналитических функций в жордановой области в В.2 и задачи о равномерной приближаемости функций п - аналитическими полиномами (при п > 2) на ее границе. Показано, что при п > 2 эти задачи неэквивалентны (в отличии от аналитического (Ь — д) и гармонического (X = Д) случаев).

Получен критерий приближаемости функций полиномиальными решениями произвольных однородных эллиптических уравнений вто-_ рого порядка с постоянными коэффициентами в С^-норме на плоских компактах.

Основными результатами диссертации являются:

— Критерий равномерной приближаемости функций п - аналитическими полиномами на замкнутых жордановых спрямляемых кривых в комплексной плоскости (теорема 1.5).

— Обобщения предыдущего результата (теоремы 1.5) на случаи не-спрямляемых контуров и полиномиальных решений эллиптических уравнений произвольного порядка в й-2 с равными характеристическими корнями (теорема 1.9).

— Доказательство неэквивалентности (в общем случае) задачи типа Дирихле для л - аналитических функций в жордановой области в К2 и задачи о равномерной приближаемости функций п - аналитическими полиномами (при п > 2) на ее границе (теорема 1.22).

— Критерий С^ - приближаемости функций полиномиальными решениями уравнения (0.1) на плоских компактах (Теорема 2.1).

Приведенные здесь основные результаты диссертации являются новыми и обоснованы строгими математическими доказательствами. Точные формулировки приведены ниже.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в ряде разделов теории приближений и теории граничных значений функций одного и нескольких комплексных переменных. Кроме того, результаты, касающиеся п-аналитических функции, могут найти применение в механике сплошных сред.

Методы исследования. В диссертации используются прямые (конструктивные) и двойственные методы теории приближений функций комплексного переменного (локализационная схема А.Г. Витуш-кина [5], теорема Уолша [18, стр. 53], теорема Риссов (19, стр. 67) об ортогональных мерах к пространствам комплексных полиномов), а также результаты из теории конформных отображений и граничных значений голоморфных функций (теоремы Каратеодори, Голубева-Привалова [20, стр. 484] и Неванлинны [21, стр. 264]).

Апробация работы и публикации. Все основные результаты диссертации докладывались на семинарах по теории функций комплексного переменного в МГУ и МИР АН, а также на международной конференции по комплексному анализу в г. Уфа (1996) и опубликованы в работах [[1]], [[2]] и [[3]].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и двух глав, состоящих из трех параграфов каждая. Общий оо-ьем диссертации составляет 56 страниц. Список литературы содержит 34 наименования.

Обзор содержания диссертации

Во введении формулируются основные задачи, рассматриваемые в диссертации, приводится краткий обзор посвященных им работ и обсуждается структура и основные результаты диссертации.

[18] Уолш Дж. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. М., ИЛ., 1961. [19}Гамелин Т. Равномерные алгебры. М., Мир, 1973.

(20] Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.-Л., Гостехиздат, 1952.

(21]Хейман У. Мероморфные функции. М., Мир, 1960.

Глава 1 посвящена вопросам равномерной аппроксимации функций полиномиальными решениями однородных эллиптических уравнений с постоянными коэффициентами на плоских компактах в случае равных характеристических корней соответствующего дифференциального оператора.

Глава 1 состоит из трех параграфов.

В §1.1 вводится понятие неванлинновского контура, являющееся ключевым для формулировки основного утверждения — теоремы 1.5.

Пусть Г — замкнутая жорданова кривая (контур) в С, а О = 1)(Г) — ограниченная ей область.

Определение 1.4. Спрямляемый контур Г назовем неванлиннов-ским, если существуют ограниченные голоморфные в £> функции С? и Р (Р ф 0) такие, что ( = С(0/Р(С) на Г; а равенство понимается в смысле (угловых) граничных значений почти всюду относительно длины на Г.

Так, окружность является неванлинновским контуром, а граница любого эллипса или произвольного выпуклого многоугольника — нет.

Здесь же формулируется и доказывается первый основной результат первой глгшы диссертации

Теорема 1.5. Пусть Г — спрямляемый контур, п>2 — натуральное число. Следующие условия эквивалентны:

(a) Ря( Г) ф С (Г),

(b) Г — неванлинновский контур.

Кроме того, в §1.1 приводится ряд полезных следствий теоремы 1.5, которые используются в §1.3 для анализа конкретных примеров (предложения 1.6 и 1.7).

В §1.2 понятие неванлинновского контура обобщается на случай неспрямляемых контуров (определение 1.8 квазиневанлинновского контура), а также формулируется и доказывается второй основной результат первой главы — обобщение теоремы 1.5 на случаи неспрямляемых контуров н полиномиальных решений эллиптических

уравнений произвольного порядка в Я2 с равными характеристическими корнями: Ьи = Ь„и = (д/дх\ - \д/дх2)пи ~ 0. гле А 6 С \ II.

Пусть

Пусть Тг = ¿2-

Заметим, что полиномиальные решения уравнения Ь„и — 0 имеют вид ро(гг) + ^Р^г) +----Ь гГ^Рп-^), где р0( ),

Р1 '■)) • ■ Рп-1 \' )

полиномы комплексного переменного.

Теорема 1.9. Пусть Ь = Ь„, п > 2, о Г — контур в

Л2. Тогда

■Рх(Г) 5^ С(Г) если и только если контур ТГ является коазинсьан-линновским.

Мы не можем привести пример квазиневанлинновского, но не не-ванлинновского контура, однако отметим, что любая замкнутая жор-данова кривая, содержащая две аналитически независимые аналитические поддуги не является квазиневанлинновским контуром.

В §1.3 исследуется вопрос о взаимосвязи задачи типа Дирихле для п - аналитических функций в жордановой области (задача В. см. §1.3) и задачи о равномерной приближаемостн функций п-аналитическими полиномами на ее границе (задача А. см. §1.3). В этом параграфе доказано, что указанные задачи (в общем случае) неэквивалентны.

Напомним, что если контур Г является аналитическим, то существует такая функция <р, голоморфная в некоторой окрестности V контура Г, что Г = {г Е {/ : ? = 95(2). Аналогично, если 7 — аналитическая дуга, то существуют такие окрестность [/ дуги 7 и голоморфная в 11 функция <р, что £ = ур(£) на 7. Функция ¡р называется функцией Шварца контура Г (дуги 7), а пара (£/, <р) — аналитическим элементом, соответствующим контуру Г (дуге 7). Аналитические дуги 71 И 72 называются аналитически зависимыми если соответствующие им аналитические элементы (С/1,^1) и (С/2,92) аналитически продолжаются друг в друга (и аналитически независимыми в противном случае).

Теорема 1.22. Пусть Ь = Ъп > 2. Пусть либо Г — аналитический контур такой, что функция <р (функция Шварца для Г) не продолжается до мероморфной в области О = £>(Г) функции, либо

п = 2 и Г — контур, содержащий две аналитически независимые аналитические поддуги. Тогда задачи А и В неэквивалентны.

В качестве примеров к теореме 1.22 можно рассмотреть произвольный эллипс (для первого случая) и произвольный многоугольник (для второго)

Кроме того, в §1.3 проводится анализ конкретных примеров наличия и отсутствия аппроксимации.

Глава 2 посвящена вопросам С^ - аппроксимации функций полиномиальными решениями уравнения (0.1). В ней установлено, что условие связности дополнения С \ X компакта X является необходимым и достаточным для совпадения пространств А\, ¿(А') и Р^ ¿(X). Таким образом, дается полное решение задачи (2) для произвольного оператора Ь второго порядка.

Вторая глава состоит из трех параграфов.

В §2.1 обсуждаются различные определения пространства С1 на компакте в Л2 (пространство С1 типа Уитни и "слабого" типа). Здесь же формулируется основной результат второй главы диссертации:

Теорема 2.1. Пусть X — компакт в К2. Следующие условия эквивалентны.

(a) Для всякой комплекснозначной функции / 6 С^Л2), удовлетворяющей на внутренности X" компакта X уравнению (0.1) (в обобщенном смысле) существует последовательность {р„} полиномов (от вещественных переменных) с условиями Ьрп = 0 е К2 и

X X

рп 3 /, V;),, Ц V/ (равномерно на X) при п +схз.

(b) а2 \ X — связно.

В §2.2 формулируется и доказывается ряд вспомогательных утверждений, необходимых для доказательства основного результата, в частности находится явный вид фундаментального решения уравнения (0.1) и исследуются разложения лорановского типа специальных решений этого уравнения в окрестности оо. Кроме того, в §2.2 определяется локализационный оператор Витушкина для Ь и приводятся

его основные свойства. Собственно доказательство теоремы 2.1 содержится в §2.3.

благодарности. Автор благодарен своему научному руководителю д.ф.-м.н. П.В. Парамонову за постановку задач и постоянное внимание к работе и академику РАН А.Г. Внтушкину за полезные обсуждения и ценные советы.

Работы автора по теме диссертации

[[1]] Федоровский К.Ю. О равномерных приближениях функции п-аналитическими полиномами на спрямляемых контурах в С. Ма-тем. заметки. 1996. т.59. N0.4, с.604-610

[[2]] Парамонов П.В., Федоровский К.Ю. С1 - приближения функций полиномиальными решениями однородных эллиптических уравнений второго порядка на компактах в Я2. М. МГУ. 15 с. Рукопись деп. а ВИНИТИ. №э.2965-В96 от 8.10.1996.

[[3]] Федоровский К.Ю. О некоторых достаточных условиях равномерной приближаемости функций полиномиальными решениями уравнения {д!дх\ - Хд/дх2)пи — 0 на компактах в Я2. М. МГУ. 12с. Рукопись деп. в ВИНИТИ. №э.3452-В96 от 29.11.1996.