Полиномиальные и рациональные аппроксимации относительно знакочувствительных весов и Ф-метрик Орлича тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

,о1М-от/о5

/

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.5

РАМАЗАНОВ АБДУЛ-РАШИД КЕХРИМАНОВИЧ

ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ЗНАКОЧУВСТВИТЕЛЬНЫХ ВЕСОВ

И Ф-МЕТРИК ОРЛИЧА

01.01.01 - математический анализ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Содержание

ВВЕДЕНИЕ.......................................................5

1 ЗНАКОЧУВСТВИТЕЛЬНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ С

НЕПРЕРЫВНЫМ ВЕСОМ 35

1.1 Модуль непрерывности относительно р-нормы..... 36

1.2 Первая обобщенная теорема Джексона об аппроксимациях со знакочувствительным весом и ее неулучшаемость 39

1.3 Неравенство типа С.Н.Бернштейна для производных полиномов .......................... 47

1.4 Обратная теорема для полиномиальных приближений . 52

1.5 Рациональная аппроксимация функции sign® со знакочувствительным весом................... 55

1.6 Рациональные знакочувствительные аппроксимации и глобальные свойства функций. Обобщения неравенства

Е.П.Долженко об оценке вариации рациональной функции 60 2 ЗНАКОЧУВСТВИТЕЛЬНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ С

ОГРАНИЧЕННЫМ ВЕСОМ 69

2.1 К теореме о разделении полунепрерывных функций непрерывными. Оценка модуля непрерывности разделяющей функции......................... 71

2.2 О полиномиальной аппроксимируемости ограниченных функций со знакочувствительным весом......... 73

2.3 Еще одно определение модуля непрерывности относительно знакочувствительного веса............ 82

2.4 Операторы сглаживания ограниченных функций в р-норме. Вторая обобщенная теорема Джексона о знако-чувствительных аппроксимациях ............. 87

2.5 Оценка свободы системы "Ограниченный знакочувст-вительный вес — Тригонометрические полиномы порядка не выше п"...................... 92

2.6 Неравенства С.Б.Стечкина - П.Л.Ульянова для норм алгебраических и тригонометрических полиномов ... 95

2.7 Обратная теорема типа С.Б.Стечкина для полиномиальных приближений со знакочувствительным весом . 104

3 ПОЛИНОМЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СО ЗНАКОЧУВСТВИТЕЛЬНЫМ ВЕСОМ 108

3.1 Несимметричное скалярное произведение........108

3.2 Существование систем ортогональных справа и ортогональных слева полиномов .................112

3.3 Коэффициенты Фурье, их свойства. Обобщенная теорема Ф.Рисса - Э.Фишера. . .................115

3.4 О полноте и замкнутости несимметрично ортогональной системы. Скорость сходимости частных сумм Фурье 125

3.5 Нули несимметрично ортогональных полиномов. Квадратурные формулы типа Гаусса..............130

4 АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО Ф-ВАРИАЦИЙ 134

4.1 Метрика Ф-вариаций и модуль Ф-абсолютной непрерывности .............................134

4.2 Приближение кусочно монотонными функциями. Основные леммы..........................137

4.3 Приближение полиномами. Аналог теоремы Джексона . 143

4.4 Р ациональные аппроксимации выпуклых функций и функций с конечной жордановой вариацией..........147

4.5 Рациональные аппроксимации классов функций .... 152

4.6 О минимальных условиях на наименьшие рациональные уклонения для Ф-абсолютной непрерывности приближаемой функции.....................156

4.7 Оценки ег-энтропии двух классов Ф-абсолютно непрерывных функций.......................158

5 АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ИНТЕГРАЛЬНЫХ МЕТРИКАХ ОРЛИЧА 169

5.1 Слабая асимптотика для наименьших рациональных уклонений функции sign х в метриках Орлича........170

5.2 Рациональная аппроксимация функций конечной жор-дановой вариации в метриках Орлича..........183

5.3 Рациональные аппроксимации ограниченных функций 193 ЛИТЕРАТУРА..............................................198

ВВЕДЕНИЕ

Работа посвящена развитию нового направления теории приближения — аппроксимациям со знакочувствительным весом (когда учитывается не только модуль ошибки приближения, но и ее знак):

- получены необходимые и достаточные условия полиномиальной аппроксимируемости функции;

- найдены аналоги важнейших прямых и обратных теорем теории приближения функций полиномами и рациональными дробями;

- построены системы полиномов, ортогональных со знакочувствительным весом, и изучены их общие свойства (ряды Фурье, квадратурные формулы и др.).

В работе получены также прямые теоремы теории приближения функций действительного переменного посредством полиномов и рациональных дробей в метриках Орлича (в метрике Ф-вариаций и в интегральной Ьф-метрике) - в обоих случаях относительно произвольной непрерывной, возрастающей и выпуклой вниз на [0, оо) функции Ф(и) с Ф(0) - 0.

Аппроксимации со знакочувствительным весом, вообще говоря, разрывным и вырождающимся, рассмотрены в работах Е.П.Долженко и Е.А.Севастьянова 90-х годов. В частности, в работах [1] - [4] для этих аппроксимаций ими изучены вопросы существования, единственности и устойчивости элемента наилучшего приближения.

Знакочувствительным весом на отрезке А = [а,Ь] С (—оо,оо) называется упорядоченная пара р{х) = (£>_(ж),£>+(ж)) однозначных неотрицательных функций р~(х) и р+(х), определенных на отрезке А.

Вес р{х) — (р-(х),р+(х)) называется 27г-периодическим, непрерывным, полунепрерывным, ограниченным или невырожденным (т.е. строго положительным), если таковыми являются обе его компоненты р_(х) и р+(х).

Для заданных на А функции /(ж) и веса р{х) = (р_(ж),р+(ж)) положим

(/>р)м = 1+(х)р+(х) ~ г(х)р-(х),

где, как обычно, /+(ж) = тах{/(ж), 0}, = (—/(ж))+.

Величину

|/1р = \/\РА = Н(/,Р)11д = вир{|(/,й(ж)| : ж е А}

назовем р-нормой функции /(ж) по отрезку А (для 27Г-периодических функций /(ж), р~(х) и р+(х) супремум можно брать по любому отрезку длины периода 2ж).

Вообще говоря, | — /|Р)д ф |/|р,д, но р-норма |/|р,д является сублинейным (неотрицательным, выпуклым и положительно однородным) функционалом на множестве всех ограниченных на А функций /(ж); в частности, при р~(х) = р+{х) = 1 (ж Е А) р-норма |/|Р)д совпадает с обычной супремум-нормой

||/|Ы1/11л = вир{|/(ж)|:жеА}.

Сублинейные функционалы •£>(/), для которых £>(/) = 0 лишь при / = 0, в качестве масштабных функций выпуклых тел конечномерного пространства ввел Г.Минковский ([5]) и называются функционалами Минковского.

Функционалы Минковского в качестве несимметричных (<£>+, <£>_)-норм рассматривали М.Г.Крейн и А.А.Нудельман ([6]). Эти нормы соответствуют случаю р-нормы относительно знакочувстви-тельного веса р{х) = (_р_(ж),р+(ж)) с непрерывными и строго положительными на А функциями р~(х) и р+(х).

Отметим также работы В.Ф.Бабенко [7] и И.Э.Симоновой, Б.В.Симонова [8], в которых изучен вопрос существования полинома наилучшего приближения для пространств суммируемых функций с несимметричной нормой относительно знакочувствительного веса со строго положительными компонентами.

Аппроксимации с непрерывным невырожденным знакочувствитель-ным весом принципиально мало чем отличаются от обычных равномерных аппроксимаций с положительным непрерывным весом, тогда как в случае разрывных знакочувствительных весов или в случае, когда допускается обращение в нуль их компонент (т.е. вес вырождается) на подмножествах рассматриваемого отрезка А, многие вопросы теории приближения являются более трудными, чем в классическом случае непрерывных положительных весов, и имеют уже нестандартные ответы.

В главе 1 получены прямые и обратные теоремы теории приближения полиномами в р-норме относительно непрерывного знакочувствительного весар(х) = (р_(ж),р+(ж)), причем модуль непрерывнос-

ти приближаемой функции в них определяется как обычно - именно относительно той нормы приращения этой функции, в которой рассматривается приближение, т.е. относительно р-нормы, а в обратных теоремах применяется обобщение на р-нормы неравенства С.Н.Бернштейна об оценке нормы производной полинома.

Нестандартная форма этих теорем связана с возможностью обращения в нуль весовых функций р~(х) и р+(х) на подмножествах отрезка, по которому определяется р-норма.

В этой главе для рациональных приближений получено прямое обобщение обратной теоремы об оценке вариации функции через ее наименьшие рациональные уклонения; доказательство этой теоремы основано на обобщении неравенства Е.П.Долженко о вариации рациональной функции на знакочувствительные веса.

В случае ограниченного (разрывного) весар(х) = (р_(х),р+(х)) вопрос о принципиальной возможности сколь угодно точного приближения ограниченных функций полиномами в р-норме становится очень сложным. С использованием теоремы о разделении полунепрерывных функций с помощью непрерывных, доказанной в §1 гл. 2, в главе 2 получены необходимые и достаточные условия полиномиальной аппроксимируемости ограниченных функций в р-норме.

Для оценки наименьших полиномиальных уклонений в этом случае вводится новое обобщение модуля непрерывности, в терминах которого и формулируются прямые и обратные теоремы теории приближения в р-норме относительно ограниченного знакочувствитель-ного веса. Для доказательства прямых теорем построены операторы сглаживания ограниченных функций в р-норме, а обратные теоремы получены через введенную Е.П.Долженко и Е.А.Севастьяновым характеристику системы "Ограниченный знакочувствительный вес — Семейство тригонометрических полиномов порядка не выше п" — свободу г) этой системы. Для оценки свободы системы т) получены неравенства типа С.Б.Стечкина и П.Л.Ульянова об оценке нормы полинома на отрезке через его норму на подмножествах этого отрезка.

В главе 3 введено понятие скалярного произведения со знакочув-ствительным весом (которое оказывается, вообще говоря, несимметричным) и построены ортогональные справа и ортогональные сле-

ва системы полиномов. Здесь же изучены некоторые общие свойства рядов Фурье по таким системам, рассмотрены свойства нулей несимметрично ортогональных полиномов и построены квадратурные формулы типа Гаусса.

В главе 4 выделены классы непрерывных на отрезке действительных функций, для которых имеет место простое по форме соотношение типа слабой эквивалентности между наилучшими рациональными приближениями в равномерной метрике и в более "жесткой" метрике, порожденной Ф-вариациями. Для полиномиальных приближений аналогичная связь установлена через прямой аналог теоремы Джексона в метрике Ф-вариаций. В этой метрике даны двусторонние оценки ^-энтропии двух компактных классов Ф-абсолютно непрерывных функций.

В главе 5 получены точные по порядку оценки наилучших рациональных приближений в интегральных ¿^-метриках Орлича для класса функций конечной жордановой вариации; эти оценки основаны на соотношении типа слабой эквивалентности, установленном для наименьших рациональных уклонений функции sign ж в 1/ф-метриках. Полученные оценки стандартными методами распространяются на ограниченные измеримые функции. Они дают непрерывную шкалу скоростей, соединяющую интегральные метрики с равномерной.

Перейдем к более подробному изложению результатов диссертации по главам.

Для непрерывных на отрезке А = [а, ъ] функции /(ж) и веса р(ж) = (р_(ж),р+(ж)) при Д(ж) = /(ж + К) и 8 > 0 модуль непрерывности в р-норме определим равенством

ш(8, /,р) = вир{|(Д - /,р)(ж)| : ж, ж + h е A,\h\ <

В случае 27г-периодическихфункции/(ж) ивесар(ж) = (р_(ж),р+(ж)) в определении /,р) будем считать ж, ж + h Е (—сю, оо).

Ясно, что при р-(х) = р+(х) = 1 (ж G А) определение модуля непрерывности в р-норме си(8, f,p) совпадает с обычным определением модуля непрерывности в равномерной метрике

Ц/,5) = sup{|(A - /)(ж)| : ж, ж + h G A, \h\ < 8},

но в отличие от cu(f, 5) модуль непрерывности в р-норме ш(8, /,р), вообще говоря, не обладает свойством полуаддитивности относительно

8, хотя в случае непрерывных функции /(ж) и весар(х) — (р_(х),р+(х)) модуль непрерывности /,р) является непрерывной и неубывающей при 8 > 0 функцией с о;(0, /,р) = 0.

Определим модуль непрерывности веса р(х) — (р_(ж),р+(ж)) (ж Е А) при 8 > 0 равенством

Как показано в работе, эти модули непрерывности связаны соотношением

ш(28, f,P) < 2ш(8, f,p) + Ц/, 5)ш(р, 8), S > 0.

Для ограниченных на отрезке А = [а, Ъ] функции /(ж) и весар(ж) = (р_(х),р+(х)) пусть

- наименьшее уклонение в р-норме функции /(ж) от алгебраических полиномов Q(x) степени не выше п(п — 0,1,...); наименьшее уклонение 27г-периодической функции /(ж) от тригонометрических полиномов порядка не выше п (п = 0,1,...) обозначим символом En(f,p).

Очевидно, если р_(ж) = р+{х) = 1, то En(f,p, А) и En(f,p) совпадают с соответствующими наименьшими уклонениями En(f, А) и En(f) в равномерной метрике.

Веср(ж) = (р_(ж),р+(ж)) назовем монотонным на отрезке А = [а, 6], если обе функции р~(х) и р+(ж) неубывающие на А или обе они не-возрастающие на А.

В главе 1 доказывается

Теорема 1.2,Для любых непрерывных на отрезке А = [а, Ь] функции /(ж) и веса р{х) — (р_(ж),р+(ж)) при п = 1,2,... имеет место неравенство

En(f,p, Д) < (^А /,р) + (/, и (р, . (0.1)

ш(р,8) = max{o;(p_, 8), и;(р+, £)}.

En(f,p, A) = infjQ - fjpA

Q

При этом, если вес р(ж) монотонен, то

(0.2)

если же вес р{х) не монотонен, то, вообще говоря, для любых положительных С\ и С найдется непрерывная на А функция /(х), для которой

при всех достаточно больших п.

Неравенство вида (0.1) справедливо и в периодическом случае.

Отметим, что из неравенства (0.1) непосредственно получается оценка сверху для наименьших уклонений

= Яп(/,р, А) = Ы \г - /|р,д

непрерывной на А функции /(ж) от рациональных функций г(х) степени не выше п в р-норме относительно непрерывного на А веса р(х) = (р_(ж),р+(ж)) (ввиду очевидного неравенства

<яп(/,Р,д) (п = о, 1,...)).

При этом оценки вида (0.1) являются неулучшаемыми даже для наименьших рациональных уклонений Лп(/,р, А).

Именно, пусть функция (<5) непрерывная и неубывающая при 8 > 0 с 0*1(0) = 0, а функции 102(8) и ш%(8) - модули непрерывности (т.е. непрерывные, неубывающие и полуаддитивные при 8 > 0 и равные нулю при (5 = 0).

Тройку таких функций (01,02,03) назовем согласованной, если существуют такие положительные константы С\ и С2, что

о*1(25) < 6*1(01(5) + 02(5)03(5)), 01(5) < с2о2(5)

при всех 5 > О (С\ и С2 при этом называются согласующими константами) .

Заметим, что для любых непрерывных на отрезке А функции /(ж) и веса р(х) = (р_(ж),р+(ж)) модули непрерывности си(8, /,р),о;(/, 5) и о(р,5), как следует из их свойств, всегда образуют согласованную тройку, например, с константами С\ = 2 и С2 = 1 + ||р||д, где ||р||д = тах{||р_||д,||р+||д}.

Легко показать, что для любой согласованной тройки (о>1, о>2, о>з) функция

^(5) = 0!(5)+а;2(5)0з(5) (8 > 0)

является функцией типа модуля непрерывности, в частности, для некоторой константы С > 0 выполняется неравенство

<¿>(25) < С<р(5) (8 > 0).

Имеет место

Теорема 1.3.Пусть (0*1,0^2, ~ согласованная тройка функций, и(р(26) <Сср{8) (§> 0).

Тогда при каждом п — 1,2,... существуют непрерывные на отрезке А = [0,1] функция /(ж) и вес р(х) — (р_(ж),р+(ж)) такие, что

5) х и3{8) (8-+0),

причем

Еп(/,р, А) > Лга(/,р, А) > (1) .

Для получения обратных теорем в случае непрерывного знакочув-ствительного весар(ж) = (р_(х),р+(х)) применяется следующее неравенство типа С.П.Бернштейна для производных полиномов в р-норме.

Пусть р(х) — (р_(ж),р+(ж)) - непрерывный 27г-периодический вес, и для данного натурального п положим

Д m . 9 (2т — 1 \

А = Е ;г- sm —:-,

tn=i 2п V 4п ) В = min |по;(р, 27т), Аш |р, —J |.

Тогда, как показано в работе,

А — 2п(7г-21пп + в), 0 < в < 1.

В этих обозначениях справедлива

Теорема 1.4.Для любого тригонометрического полинома Т{х) любого порядка п > 1 выполняется неравенство

\Т'\Р < птах{|Г|Р, | - Т\р} + В\\Т\\. (0.3)

Неравенство (0.3) является точным для класса 27г-периодических непрерывных весов р(х) — (р-{х),р+(х)) с наперед заданным колебанием и(р, 2тс) = Q и при п —У оо точным по порядку на классе всех весов р(х), для которых си(р, 8) < где ш(8) - произвольный

заданный модуль непрерывности.

Можно показать, что модуль непрерывности u(5,f,p) непрерывной 2-7г-периодической функции /(ж) относительно непрерывного веса р(х) = (р_(ж),_р+(ж)), вообще говоря, нельзя оценить сверху через сумму наименьших полиномиальных уклонений £Ц±/,р) (по аналогии с теоремой Р.Салема - С.Б.Стечкина для равномерной метрики). Однако, используя неравенство (0.3), можно получить следующий аналог теоремы С.Б.Стечкина в метрике знакочувствительного веса.

Пусть (wi, 03) - согласованная тройка функций, и (р(8) = oi(5) + ^2(8)^3(8). Тогда для любого непрерывного 27г-периодического веса р(х) = (р-(х),р+(х)) с ш(р,8) < и$(8) (8 > 0) справедлива

Теорема 1,5,Вели для 2тг-периодической функции /(ж) существует такая последовательность тригонометрических полиномов tn(ж) порядков не вышеп соответственно, что при некотором М = const >0 и п — 1,2,... справедливы неравенства

I ± (i„ - /)|р < Afy>

\\tn-f\\<Mu2 (£),

то при 8 —> 0 имеем

uj(8JyP) = а($ Jgt'2 Mi) + о;2(i)ii3W) dtj ,

где ft3(i) = тт{о;з(7г),а;з(£) In (|)}.

Условия теоремы 1.5 выполняются всегда, когда в согласованной тройке (u;i,U2, ш3) все три функции являются функциями типа модуля непрерывности; существуют также согласованные тройки (ш 1,02, о>з), для которых uji(8) не является полуаддитивной, но условия теоремы 1.5 выполняются.

Переходим к обратным теоремам теории рациональных аппроксимаций применительно к нашему случаю знакочувствительных аппроксимаций. Е.П.Долженко получил оценку вариации непрерывной функции /(ж) (х £ А) через ее наименьшие равномерные уклонения Лп(/, А) от рациональных функций степени не выше п. Эта оценка получается из другого неравенства Е.П.Долженко ([9]):

v(r,A) < 2(degr)||r|U,

где г(х) - произвольная рациональная функция. Заметим, что существуют непрерывные на данном отрезке А функция /(ж) и вес р(х) — (Р-(х)>Р+(х))-> Для которых жорданова в�