Аппроксимативные свойства множеств в линейных пространствах с несимметричной сферой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.Ломоносова

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА МНОЖЕСТВ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С НЕСИММЕТРИЧНОЙ СФЕРОЙ

Специальность 01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

р:с ол

1 о рнв !9Я7

На правах рукописи УДК 517.982.256

АЛИМОВ Алексей Ростиславович

Москва 1997 г.

Л

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научные руководители - доктор физико-математических наук,

профессор С. Б. Стечкин

доктор физико-математических наук, доцент И.Г. Царьков

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор А. Л. Гаркави

доктор физико-математических наук, с.н.с. Е. В. Щепин

Ведущая организация - Институт математики и механики

Уральского отделения РАН.

Защита состоится 28 февраля 1997 г. в 16 час. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 28 января 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ

профессор Т. П. Лукашенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Интерес к изучению аппроксимативных свойств множеств в линейных пространствах с несимметричной нормой вызван появлением в последнее время исследований широкого класса экстремальных задач для несимметричных функционалов. В частности, активно изучаются задачи, связанные со знакочувстви-тельными аппроксимациями и экстремальными свойствами тригонометрических и алгебраических полиномов в функциональных пространствах с несимметричной сферой. Среди рассматриваемых задач центральное место занимает вопрос о взаимосвязи между структурными и аппроксимативными характеристиками множеств.

Целью работы является изучение выпуклости, связности и других топологических свойств чебышевских множеств и солнц в линейных нормированных пространствах и в линейных пространствах с несимметричной сферой.

Методы исследования. В работе применяются методы нелинейного анализа, геометрической теории аппроксимаций, топологии и комбинаторной геометрии выпуклых множеств.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Охарактеризованы линейные пространства, в которых существует солнце с заданным числом компонент связности дополнения. Получены необходимые условия и достаточные условия на пространства, в которых существуют чебышевские множества с заданным числом компонент связности дополнения.

2. Охарактеризованы такие системы' двумерных несимметричных пространств, относительно которых всякое чебышевское множество

выпукло. Показано, что любое множество, являющееся солнцем относительно системы двумерных пространств с несимметричной сферой, является солнцем в пространстве, шар которого получен пересечением шаров исходной системы пространств.

3. Охарактеризованы двумерные несимметричные пространства X и топологические компакты К, для которых К можно гомеоморфно вложить в X как чебышевское множество (солнце).

Приложения. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты относятся к геометрической теории приближений и могут найти применение в задачах приближения функций различными конкретными нелинейными множествами и в других экстремальных задачах.

Лпробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах по теории функций и теории приближений в МГУ (под руководством проф. С.Б. Стечкина, под руководством чл.-корр. РАН П.Л. Ульянова и проф. М.К. Потапова, под руководством проф. Т.П. Лукашенко и проф. В.А. Скворцова) и МИРАН (под руководством проф. С.Б. Стечкина и проф. С.А. Теляковского), на Международных школах по теории приближений под руководством С.Б. Стечкина в 1993-1995 годах и на школе памяти С.Б. Стечкина в 1996 году, на 7-Й и 8-й Саратовских зимних школах по теории функций и приближений (1994 и 1996 гг.), на Воронежской зимней математической школе-1995, а также на конференции "3rd International Conference on Functional Analysis and Approximation Theory" (Италия, 1996).

Публикации. Полный список' публикаций автора по теме диссертации приведен в конце автореферата. Соавторов нет. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1-4.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 83 наименования. Общий объем диссертации — 102 страницы.

Содержание работы. Во введении дан краткий обзор работ, связанных с темой диссертации, и сформулированы основные результаты диссертации.

Через (LN) обозначим класс всех действительных линейных нормированных пространств. Для X € (LN), M С X и х G X обозначим

Рмх = {уеМ\\\х-у\\ = р(х,М)= inf Ца; — z||}

*6М

— множество элементов из М, ближайших для х. В общем случае отображение P\j : X —» 2м не является однозначным. Множество M С X называется чебышевским, если для любого х G X множество Рмх его ближайших элементов из M состоит из одной точки. Множества с таким свойством были названы чебышевскими в работах Н.В. Ефимова и С.Б. Стечкина в честь одного из основателей теории приближения функций П.Л. Чебышева, который показал, что (в современных терминах) в пространстве С[0,1] подпространство многочленов степени не выше га G N и множество рациональных дробей

( а0+а1х +.. , + апхп \

Ппт = Ï Г~ГТ-!-ГТ—m : е R f

[b0 + bix + ... + bmxm j

с фиксированными га, m G N являются чебышевскими множествами.

Активное развитие геометрической теории приближений, изучающей

аппроксимативные свойства множеств, было начато в 50-е годы в

совместных работах Н.В. Ефимова и С.Б. Стечкина и в работах В. Кли

(см. обзоры [1], [2], [3]).

[1] Балаганский B.C., Власов Л.П. Проблема выпуклости чебышёвских множеств // УМН. 1996. Т. 51, вып. 6 (312). С. 125-188.

Н.В.Ефимов и С.Б.Стечкин установили, что класс lZ„m (п € Z+, m (Е N) рациональных дробей не является чебышевским множеством в пространствах Lp (1 < р < оо). Этот результат стал первым применением геометрической теории приближений к конкретным задачам теории приближения функций.

Н.В.Ефимов и С.Б.Стечкин обнаружили, что следующее понятие полезно при изучении чебышевских множеств. Множество M С X называется солнцем, если для любой точки х M найдется точка у £ Рмх, обладающая тем свойством, что у 6 Pmz Для любой точки z на луче с началом в у, проходящем через х.

Изучение чебышевских множеств и солнц было продолжено в работах С.Б. Стечкина, В. Кли, А.Л. Гаркави, В.И. Бердышева, Л.П. Власова, А. Брондстеда, В.А. Кощеева, А. Брауна, C.B. Конягина, И.Г. Царь-кова, B.C. Балаганского и других.

Диссертация продолжает исследования аппроксимативных свойств множеств как в линейных нормированных пространствах, так и в пространствах более общего вида, — линейных пространствах с несимметричной сферой (несимметричных пространствах).

Пусть в действительном линейном пространстве X задан функционал р : X х X —> R+, обладающий следующими свойствами:

1) р(х, у) = 0 х = у для всех х, у € X,

2) р{х,у) ^ p(x,z) + p{z,y) для всех x,y,z€X,

3) р{ах, 0) = ар(х, 0) для всех х G X, а ^ 0,

4) р(х,у) = p(x + z,y + z) для всех x,y,z£X.

[2] Власов Л.П. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах // УМН. 1973. Т. 28, вып. 6 (174), С. 3-66.

[3] Гаркави А.Л. Теория наилучшего приближения в линейных нормированных пространствах. В кн.: Итоги науки. Сер. Математическая. Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1969.

Из пп. 3) и 4) немедленно вытекает свойство

3') р(О, ах) = ар(0, х) для всех х G X, а ^ 0.

Такой функционал будем называть несимметричной метрикой на пространстве X. Линейное пространство с несимметричной метрикой называется линейным пространством с несимметричной сферой (несимметричным пространством). В таком пространстве, вообще говоря,

р{?,у) Ф р(у,х).

Через (LNN) обозначим класс всех несимметричных пространств. Понятно, что

(LN) С (LNN).

Для пространств с несимметричной сферой введём по аналогии с нормированным случаем понятие чебышевского множества и солнца. Пусть X 6 (LNN), М С X, М ф 0. Множество М называется чебышевским, если для каждого i g А' множество

Рмх = {у EM I р(х, у) = р(х, М) = inf р(х, г)}

г 6 М

его ближайших элементов из М состоит из одной точки. Множество М называется солнцем, если для любой точки х £ М найдется точка у € Рмх обладающая тем свойством, что у € Pmz для любой точки г на луче с началом в точке у, проходящем через х. Если •) = || • || — норма, то это определение совпадает с классическим определением чебышевского множества (солнца) в линейном нормированном пространстве.

По-видимому первым, кто указал на целесообразность рассмотрения пространств с несимметричным расстоянием был М.Г. Крейн [4]. Такие пространства естественно возникали в задачах о чебышевских ужах и задачах наилучшего (а, /?)-приближения. В дальнейшем, такие пространства использовались в экстремальных задачах [5]-[7], задачах теории функций и теории приближения функций [8]-[15], топологии [16], [17].

[4] Крейн М.Г. L-проблема моментов в абстрактном линейном нормированном пространстве. // статья IV в книге Н.И. Ахиезера и М.Г. Крейна — О некоторых вопросах теории моментов. Харьков: ГОНТИ, 1938.

[5] Крейн М.Г., Нудельман A.A. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973.,

[6] Busemann H. Local Metric Geometry // Trans. Amer. Math. Soc., 1944, V. 56, Л'» 2. P. 200-274.

[7] Zaustinsky E.M. Spaces with Non-Symmetric Distance // Memoirs of the Amer. Math. Soc. 1959, JV« 34 (91pp.).

[8] Долженко Е.П., Севастьянов E.A. Знакочувствительные аппроксимации. Пространство знакочувствительных весов. Жесткость и свобода системы // Докл. РАН. 1993. Т. 332. № 6. С. 686-689.

[9] Долженко Е.П., Севастьянов Е.А. Знакочувствительные аппроксимации. Вопросы единственности и устойчивости // Докл. РАН. 1993. Т. 333. № 1. С. 5-7.

i

[10] Бабенко В.Ф. Несимметричные приближения в пространствах суммируемых функций // Укр. матем. жури. 1982. Т. 34. X« 4. С. 409-416.

[11] Рамазанов А.-Р.К. Полиномы, ортогональные со знакочувствительным весом // Матем. заметки. 1996. Т. 59. № 5. С. 737-752.

[12] Рамазанов А.-Р.К. О прямых и обратных теоремах аппроксимации в метрике знакочувствительного веса // Analysis Math. 1995. V. 21. № 3. P. 191-212.

[13] Козко А.И. On Jackson — Nikolskii inequalities for trigonometric polinomials in spaces with asymmetric norm // East. J. Appr. 1996. V. 2. № 2. P. 177-186.

[14] Корнейчук H.П., Доронин В.Г., Лигун A.A. Аппроксимация с ограничениями. Киев: Наукова думка, 1982.

[15] Шумейко A.A. Несимметричные приближения сплайнами // Межд. конф. "Функциональные пространства, теория приближений и нелинейный анализ", посвященная 90-летию академика С.М. НикГольского. Москва, 27 апреля - 3 мая 1995. ГМ.: 1995. С. 309.

[16] Wilson W.A. On quasi-metric spaces // Amer. J. Math. 1931. N« 53.

[17] Kiinzi H.-P.A., Wajch. E. Borel classification via quasi-metrics // Topol. Appl. (to appear).

Впервые вопросы геометрической теории приближений в пространствах с несимметричным расстоянием были рассмотрены в работах А. Брондстеда [18], [19] и Е. Асплунда [20].

Первая глава диссертации посвящена изучению числа компонент дополнения к чебышевскому множеству или солнцу в симметричных и несимметричных пространствах.

Пусть X £ (LNN). Введем обозначения:

В — {у Е X |р(0, у) ^1} — единичный шар (в общем случае несимметричный),

S = {У £ X | р(0,у) = 1} — единичная сфера.

Определение. Точки s,s' G S называются далекими, если (int В — s) Г\(В — s') = 0. Через к(В) обозначим максимальное кардинальное число попарно далеких точек шара В, а через кехр(В) обозначим максимальное кардинальное число попарно далеких достижимых*) точек шара В.

В общем случае, если dim А' < оо, то

2 0ехр(5КЧЯ)

и оценка сверху достигается если и только если единичный шар В является параллелепипедом.-

Сформулируем основные результаты первой главы.

[18] Brpndsted A. Convex sets and Chebyshev sets // Math^ Scand. 1965. 17. P. 5-16.

[19] Br0ndsted A. Convex sets and Cliebyshev sets II // Math. Scand. 1966. 18. P. 5-15.

[20] Asplund E. Sets with unique farthest points // Isr. J. Math. Sec F. 1967. V. 5. № 3. P. 201-209.

*' Точка s € 5 называется достижимой, если существует опорная гиперплоскость Н к шару В в точке s со свойством ЯПВ = {«}.

Теорема 1.1. Пусть X G (LNN), и — кардинальное число. Для того, чтобы в X существовало солнце с v компонентами связности дополнения, необходимо и достаточно, чтобы k(B) ^ v.

Теорема 1.2. Пусть X 6 (LNN), dimX < оо, v € N, 1 < г/ < ксхр(В). Тогда в X существует чебышевское множество с v компонентами связности дополнения.

Теорема 1.3. Пусть X £ (LNN), dimAr < оо, v € N, M С X — чебышевское множество с v компонентами связности дополнения. Тогда k(B) ^ v. Если dimX ^ 3, то кехр(В) ^ v.

Следствие 1.3.1. В любом строго выпуклом пространстве**^ дополнение к солнцу состоит не более, чем из двух компонент связности.

Следствие 1.3.2. Пусть X = C(Q) или X = Lœ{Q) или Ll(Q), причем dimÀ" = оо. Тогда к(В) = оо, так что в X существует солнце с бесконечным числом компонент связности дополнения.

Следствие 1.3.3. Пусть Q — метрический компакт. В пространстве C(Q) любое чебышсвскос множество с непрерывной метрической проекцией имеет не более, чем 2card ^ компонент связности дополнения*^ .

Следующая теорема связана с известной проблемой Н.В. Ефимова, В. Кли и С.Б. Стечкина о выпуклости чебышевских множеств бесконечномерном гильбертовом пространстве.

Пространство называется строго выпуклым, если его единичная сфера не содержит невырожденных отрезков.

*' card Q обозначает мощность множества Q.

Теорема 1.4. Пусть Н — гильбертово пространство. Тогда следующие условия равносильны:

1) В пространстве Н существует невыпуклое чебышёвское множество;

2) В пространстве Н существует чебышёвское множество с п (тг ^ 3) компонентами связности дополнения.

Вторая глава посвящена исследованию аппроксимативных свойств множеств относительно системы пространств с несимметричной сферой.

Рассмотрим систему X = •)},£/, где X — линейное действи-

тельное пространство, I — множество индексов, /з,- — несимметричная метрика на пространстве X (г 6 I). Множество М С X называется чебышевским относительно ЗГ, если М является чебышевским множеством в пространстве (Х,р,) для любого г 6 /. Если X состоит только из одного пространства, то это определение превращается в обычное определение чебышевского множества.

Обозначим посредством единичную сферу пространства (Х,р{) (г € I). Система точек V = {Pi}i€I (р, € называется дости-

жимой относительно X, если точка 0 принадлежит границе тела Ш = сопу(и,е/{5^' — р,}) и является достижимой; система точек V называется гладкой, если точка 0 принадлежит границе тела IV и является точкой гладкости*' на границе тела IV.

Теорема 2.1. Пусть X — система двумерных пространств с несимметричной сферой. Для того, чтобы каждое чебышёвское относительно X множество было выпукло, необходимо и достаточно, чтобы каждая

*' Точка 5 £ В называется точкой гладкости шара В, если опорная гиперплоскость к шару В в точке з единственна.

достижимая относительно X система точек {р^ 6 (0,1)};е/ была гладкой.

В § 2.2 решаются следующие задачи: о У-связности солнц (теорема 2.2) и о солнечности множества относительно пространства, единичный шар которого получен пересечением единичных шаров системы пространств (теорема 2.3).

Множество называется V-связным, если его пересечение с любым шаром пространства связно. У-связное множество является связным и локально связным.

Теорема 2.2. Пусть X £ (ЬЛ^ЛГ), сНтХ - 2 и М С X — солнце. Тогда М — V-связное множество; более того, для любого х £ X множество Рмх есть либо точка, либо отрезок, либо ограниченная часть угла (состоящая из объединения двух отрезков).

Пусть X — линейное двумерное действительное пространство, на котором введена система несимметричных метрик {Р|}>е/. Положим р(0, ж) = 8ир;е/рД0, х), В = {х £ Х|р(0, я) ^ 1}. При этом мы накладываем естественное требование: 0 6 т<;щз В. Для г £ / обозначим х £ Х|р,(0,а;) ^ 1} — единичный шар пространства {Х,р{) £ (¿ЛГЛГ). Тогда В = (Х,р) £ (ХЛГЛГ), В — единичный шар пространства (X, р). Условия, наложенные на пространство X и несимметричные метрики />,-, р обозначим (*).

В § 2.2 решена следующая задача: пусть М С X — солнце в любом из пространств (Х,р{) (г £ I). Верно ли, что М — солнце в пространстве (Х,р)? Теорема 2.3 дает положительный ответ на этот вопрос.

Теорема 2.3. Пусть выполнены условия (*) и М С X — солнце относительно любого пространства (X,pi). Тогда М — солнце относительно пространства (X, р).

Следствие 2.3.1. Пусть выполнены условия (*) и М С X — чебы-шевское множество относительно любого пространства (X,pi). Тогда М — солнце относительно пространства (X, р). Если card/ <00, то М — чебышевское множество относительно пространства (Х,р).

Отметим, что следствие 2.3.1, в пространствах, размерности выше 2, вообще говоря, неверено. А именно, в любом линейном пространстве X, конечной размерности более 2, можно определить такую пару норм || • ||i и || -1|2что найдется множество М С X, чебышевское в пространствах (X, || • ||i) и (X, || • Ц2), но при этом М не является чебышевским в пространстве X с нормой шах{|| • ||i, || • ||2}.

В третьей главе охарактеризованы двумерные линейные несимметричные пространства X и топологические компакты К, для которых К можно гомеоморфно вложить в X как чебышевское множество (теорема 3.1) или как солнце (теорема 3.2).

Автор глубоко благодарен за постановку задач и постоянное внимание к работе своим научным руководителям ныне покойному профессору С.Б. Стечкину и доценту И.Г. Царькову, под руководством которого диссертация была закончена.

Работы автора по теме диссертации

1. Alimov A.R. A number of connected components of sun's complement // East Journal on Approximations. 1995. Vol 1, № 4. P. 419-429.

2. Alimov A.R. Chebyshev set's complement // East Journal on Approximations. 19Ö6. Vol 2, № 2. P. 215-232.

3. Алимов A.P. Чебышёвские множества в линейных пространствах с несимметричной сферой // Труды 7-й Саратовской зимней школы 30 января - 4 февраля 1994 года (памяти профессора A.A. Привалова). Межвузовский сборник научных трудов. Часть 2. Изд-во Саратовского ун-та, 1995. С. 91-93.

4. Алимов А.Р. Чебышёвские компакты на плоскости // Деп. в ВИНИТИ 04.11.96. № 3204-В96. 20 С.

5. Alimov A.R. Chebyshev set's complement //in Abstracts of "3rd Int. Conf. on Functional Analysis and Approximation Theory, Acquafredda di Maratea, Italy, Sept. 23-28, 1996", P. 19.

6. Алимов А.Р. Дополнение к чебышёвским множествам // Международная конференция по теории приближения функций посвященная памяти профессора П.П. Коровкина, Калуга, 26-29 июня 1996. Тезисы докладов. Т. 1. С. 10-11. Калуга, 1996.

7. Алимов А.Р. Число компонент связности дополнений солнц // Воронежская зимняя математическая школа 1995. Тезисы докладов школы. Воронеж: 1995. С. 11.

8. Алимов А.Р. Чебышёвские компакты на плоскости // Материалы международной конференции и Чебышевских чтений, посвященных 175-летию со дня рождения П.Л. Чебышева. М.: Изд-во мех.-матем. ф-та МГУ им. М.В.Ломоносова, 1996. С. 14-16.