Полиноминальные и рациональные аппроксимации относительно знакочувствительных весов и Ф-метрик Орлича тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

РАМАЗАНОВ Абдул-Рашид Кехриманович

ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ЗНАКОЧУВСТВИТЕЛЬНЫХ ВЕСОВ И Ф- МЕТРИК ОРЛИЧА

01.01.01- математический анализ

ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ 'УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ ДОКТОРА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

Автореферат

Екатеринбург - 1998

Работа выполнена в Дагестанском государственном университете

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Е.П.Долженко дЬктор физико-математических наук, профессор В.А.Калягин доктор физико-математических наук, профессор Н.И.Черных

Ведущая организация: Московский физико-технический институт

Защита состоится " / " ^»-¿^ьЛ 1998г. в 4 О часов на заседании диссертационного совета Д.002.07.02 при Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, г.Екатеринбург, ГСП-384, у.С.Ковалевской 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ УрО РАН. Автореферат разослан " -6 " н-С 1998г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.002.07.02, доктор физико-математических наук

.М.Бадков

Работа посвяшена развитию нового направления теории приближения — аппроксимациям со знакочувствительным весом (когда учитывается не только модуль ошибки приближения, но и ее знак):

получены необходимые и достаточные условия полиномиальной аппроксимируемости функций;

- найдены аналоги важнейших прямых и обратных теорем теории приближения функций полиномами и рациональными дробями;

- построены системы полиномов, ортогональных со знакочувствп-тельным весом, и изучены их общие свойства (ряды Фурье, квадратурные формулы и др.).

В работе получены также прямые теоремы теории приближения функций посредством полиномов и рациональных дробей в метриках Орлича (в метрике Ф-вариаций и в интегральной Ьф-метрике) — в обоих случаях относительно произвольной непрерывной, возрастающей и выпуклой вниз на [0, со) функции Ф(и) с Ф(0) = 0.

Актуальность темы . Аппроксимации со знакочувствительным весом, вообще говоря, разрывным и вырождающимся, рассмотрены п работах Е.П.Долженко и Е.А.Севастьянова 90-х годов. В частности 1. для этих аппроксимаций ими изучены вопросы существования, единственности и устойчивости элемента наилучшего приближения.

Знакочувствительным весом на отрезке Д = [а,Ь] С (—оо,оо) называется упорядоченная пара р(г) = (р_(х),р+(:г)) однозначных неотрицательных функций р~{х) и р+(я), определенных на отрезке А.

Вес р{х) = (р-{х),р+{х)) называется 2гг-периодическим, непрерывным, полунепрерывным, ограниченным или невырожденным (т.е. строго положительным), если таковыми являются обе его компонентыр_(.г) а р+{х).

Для заданных на Д функции /(х) и веса р(х) = (р_(х),р+(г)) положим {f,p)(x) = /+{х)р+{х) - /~(х)р_(х), где, как обычно, считаем /+(х) = тах{/(х),0}, }~{х) — (—¡{х))+, и величину

|/|Р = |/и=8ир{!(/,р)(а;)|:ЖеД}

назовем ¿»-нормой функции /(х) по отрезку Д (для 27г-периодических функций /(х), р-(х) и р+{х) супремум можно брать по любому отрезку длины периода 2тг).

1 Долженко Е.П., Севастьянов Е.А. Зн&кочувствительные аппроксимации. Пространство знако-чувствительных весов. Жесткость и свобода системы// Докл.АН.-1993.-Т.332,- N 6.- С.68(5-689.

Долженко Е.П..Севастьянов Е.А. Знакочувствительные аппроксимации. Вопросы единственности и устойчивости// Докл.АН.-1993.-Т.333.- N 1,- С.5-7.

Вообще говоря, | - /|р,д ф |/|Р,д, но р-норма |/|р,д является сублинейным (неотрицательным, выпуклым и положительно однородным) функционалом на множестве всех ограниченных на Д функций /(.с): в частности, при р_(х) = р+{х) = 1 (х € Д) р-норма |/|р,д совпадает с обычной супремум-нормой ||/|| = ||/Цд = sup{|/(x)| : х € Д}-

Сублинейные функционалы D(f), для которых D(f) = 0 лишь при / = 0, в качестве масштабных функций выпуклых тел конечномерного пространства ввел Г.Минковский и называются функционалами Минковского. Функционалы Минковского в качестве несимметричных (¡¿ц.,95_)-норм рассматривали М.Г.Крейн и А.А.Нудельман 2. Эти нормы соответствуют случаю р-нормы относительно знакочувствитель-ного веса р(х) = (р_(х),р+(х)) с непрерывными и строго положительными на Д функциями р-(х) и р+(х). Отметим также , что в работах В. Ф. Бабенко и И. Э. Симоновой, Б. В. Симонова изучен вопрос-существования полинома наилучшего приближения для пространств суммируемых функций с несимметричной нормой относительно знако-чувствительного веса со строго положительными компонентами веса.

Аппроксимации с непрерывным невырожденным знакочувствитоль-ным весом принципиально мало чем отличаются от обычных аппроксимаций с положительным непрерывным весом, тогда как в случае разрывных знакочувствительных весов или в случае, когда допускается обращение в нуль их компонент (т.е. вес вырождается) на подмножествах рассматриваемого отрезка Д, многие вопросы теории приближения являются более трудными, чем в классическом случае непрерывных положительных весов, и имеют уже нестандартные ответы.

В главе 1 получены прямые и обратные теоремы теории приближения полиномами в р-норме относительно непрерывного знакочув-ствктельного весар(х) = (р_(х),р+(х)), причем модуль непрерывности приближаемой функции в них определяется как обычно, именно относительно той нормы приращения этой функции, в которой рассматривается приближение , т.е. относительно р-нормы, а в обратных, теоремах применяется обобщение на р-нормы неравенства С.Н.Бернштейна об оценке нормы производной полинома.

В этой главе для рациональных приближений получен аналог обратной теоремы об оценке вариации функции через ее наименьшие рациональные уклонения; доказательство этой теоремы основано на обобще-

2Крейи М.Г.,Нудельман A.A. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи -М • Наука, 1973.-552 с. •

нии неравенства Е.П.Долженко о вариации рациональной функции на знакочувствительные веса.

В случае ограниченного (разрывного) веса р(х) = (р^(х),р+(х)) вопрос о принципиальной возможности сколь угодно точного приближения ограниченных функций полиномами в р-норме становится очень сложным. В главе 2 для его решения использована теорема о разделении полунепрерывных функций с помощью непрерывных и получены необходимые и достаточные условия полиномиальной аппроксимируемости ограниченных функций в р-норме.

Для оценки наименьших полиномиальных уклонений в этом случае вводится новое обобщение модуля непрерывности, в терминах которого и формулируются прямые и обратные теоремы теории приближения в р-норме относительно ограниченного знакочувствительного веса. Для доказательства прямых теорем построены операторы сглаживания ограниченных функций в р-норме, а обратные теоремы получены через введенную Е. П. Долженко и Е. А. Севастьяновым характеристику системы "Ограниченный знакочузствительный вес — Семейство тригонометрических полиномов порядка не выше п" - свободу \У(р, т) этой системы. Для оценки \¥(р, т) получены неравенства типа С.Б.Стечкина и П.Л.Ульянова 3 об оценке нормы полинома по отрезку через его норму по подмножествам этого отрезка.

В главе 3 введено скалярное произведение со знакочувствительным весом (которое оказывается, вообще говоря, несимметричным ) и построены ортогональные справа и ортогональные слева системы полиномов. Здесь же изучены некоторые общие свойства рядов Фурье по таким системам, рассмотрены свойства нулей несимметрично ортогональных полиномов и построены квадратурные формулы типа Гаусса.

В главе 4 выделены классы непрерывных на отрезке действитель-" ных функций, для которых имеет место простое по форме соотношение типа слабой эквивалентности между наилучшими рациональными приближениями в равномерной метрике и в более "жесткой" метрике, порожденной Ф-вариациями. Для полиномиальных приближений аналогичная связь установлена через прямой аналог теоремы Джексона в метрике Ф-вариаций. Оценки равномерных рациональных аппроксимаций функций из' этих классов получены в работах А. П. Буланова. В. Попова и П.Петрушева, А. А. Пекарского и др.

Ниже непрерывные, возрастающие и выпуклые вниз на [0, оо) функ-

3Стечкин 'С.Б.,Ульянов П.Л. Подпоследовательности сходимости рядов// Tp.MIIAH.-1965.-T.8G.

ции Ф(и) с Ф(0) = 0 назовем допустимыми. Для них Ф-вариадия по Л.Юнг функции f(x) на отрезке Д = [а,Ь] определяется равенством

т

ВД, А) = sup £ Ф(|f(xi) - 01), »=1

где супремум берется по всем конечным разбиениям а = xq < х\ < ...< хт = Ь, т = 1,2,..., и она обобщает р-вариацию Винера (случай Ф(и) = ир,р > 1) и жорданову вариацию (случай Ф(и) = и). Говорят, что f € Уф = Кф[а, Ь], если УФ(/, [о, 6]) < оо, и / £ Vj = У$[а,Ь], если tf 6 Уф при некотором t — t(f) > 0. В вводится норма 4

ll/lkv = \\№vm = inf{i > 0 : V*(f/t, [а, Ь]) < 1}

и считается /i = fa, если fi(x) — /2(2;) = const (ж £ [о,6]).

Следуя Е.П.Долженко, промодулем Ф-абсолютной непрерывности функции f £ Уф назовем величину V$(<5, /, [а, Ь]), которая при (5 > 0 совпадает с выражением для У$(/, Д), если там супремум берется при дополнительном ограничении Х{ — 1 <5 (i = 1,2,..., т); а модулем Ф-абсолютной непрерывности функции / £ У£ назовем

Wi{6, f) = W*(5,f, [а, Ц) = inf{i > 0 : ВД f/t, [а, Ъ]) < 1}.

Величина W$(5,f) была введена Б.И.Голубовым 5, а при Ф(и) = v? (р > 1) - Л.Юнг, и в этом случае систематически использовали в своих работах А. П. Терехин , С. С. Волосивец.

Функцию f(x),x € [а,Ь], назовем Ф-абсолютно непрерывной, если Уф(5, /, [о, 6]) —> 0 при 6 0. Это определение эквивалентно обычному определению Ф-абсолютной непрерывности при Ф(и) = о(и) (и -> 0). Пусть ф(и) - допустимая функция с Ф(и) = о(и) (и -4 0), Возьмем возрастающий модуль непрерывности W(<5) и модуль непрерывности ш(5) с и>(и)/Ф~1(и) 4- 0 при и 4- 0 и для М > 0 рассмотрим классы

KW = {fe 1] : /) < ll/IUv < M}, ни = {/ € C[0,i] ■• «(/,«) < w(i), \f{x)\ < M, x G [0,1]}.

Так как тогда для любой функции / 6 Ни выполняется неравенство /) < ш(6)/Ф~1(6) (5 > 0), то по критерию Б.И.Голубова оба класса Kw и Ны будут компактными в V$[0,1]. В главе 4 дается оценка

4Musielak J., Orlicz W. On generalized variations// Studia Math.-1959.-T.18.-P.U-41.

Голубов Б. И. Критерии компактности множеств в пространствах функций ограниченной обобщенной вариации//Изв. АН Арм.ССР.-1968-N 3.- С.409-416.

г-энтропии этих классов относительно метрики Ф-вариаций. Основные определения, методы и результаты по исследованию е-энтропии различных классов функций можно найти в работах А.Н.Колмогорова и В.М.Тихомирова 6, А.Г.Витушкина , Г.Лоренца и др.

Пусть функция Ф(и) возрастает, непрерывна и выпукла вниз на [О, оо), причем Ф{и)/и -> 0 при и 0 и Ф(и)/и с» при и оо. Тогда существует дополнительная к Ф(и) в смысле Л.Юнг функция Ф(и) = max{w — Ф(и) : v > 0}, u > 0. При Д = [а,Ь] С (-оо, оо) пространство Орлича ¿|(А) относительно функции Ф(и) состоит из измеримых по Лебегу на Д функций и(сс) с конечной нормой

1М|ф,д = SUP u(x)v(z) dx

В главе 5 установлено соотношение типа слабой эквивалентности для наименьших рациональных уклонений функции signx в метрике этого пространства (интегральной ¿^-метрике Орлича). Эта функция, как известно, играет чрезвычайно важную роль в теории приближения функций.Приближению функции sign ж посредством рациональных функций в равномерной (на симметричной паре отрезков) и интегральной метриках посвящены работы Е. И. Золотарева, Н. И. Ахи-езера, Д. Ньюмена, А. А. Гончара, А. П. Буланова, Н. С. Вячеславова, С. А. Агаханова и Н. Ш. Загирова и др. В главе 5 получены также точные по порядку оценки наилучших рациональных приближений в ¿Ф-мстрике Орлича для класса функций конечной жордановой вариации. Эти оценки носят достаточно общий характер, так как стандартными методами распространяются на все ограниченные измеримые функции . Они же решают для указанного класса задачу о непрерывной шкале скоростей наименьших рациональных уклонений, соединяющей интегральные метрики с равномерной; в случае степенных функций Ф(и) = ир, как показано А. А. Пекарским, для всех р > 1 соответствующая скорость наименьших рациональных уклонений степени п одна и та же по порядку при п —> оо (и равна 1 /я).

Цель работы. Получить прямые и обратные теоремы теории приближения полиномами и рациональными функциями со знакочувстви-тельным весом. Построить полиномы, ортогональные со знакочувстви-тельным весом, и изучить их общие свойства. Получить прямые теоремы теории приближения функций в метриках Орлича - в метрике

Колмогоров А.Н,,Тихомиров В.М. е-энтропия и е-емкость множеств в функциональных пространствах//УМН.-1959.-T.14.-N 2.-С.З-86.

Ф-вариаций и в интегральной Ьф-метрике.

Научная новизна. Получены прямые и обратные теоремы теории приближения полиномами и рациональными функциями со знако-чувствительным весом - в развитие этого нового направления теории приближения функций. Найдены необходимые и достаточные условия полиномиальной аппроксимируемости ограниченных функций относительно ограниченного знакочувствительного веса. Особенность рассматриваемых вопросов состоит в том, что из-за разрывности и/или обращения в нуль компонент веса они имеют нестандартные ответы. Получены точные неравенства - типа С.Н.Бернштейна об оценке р-нормы производной полинома, типа С.Б.Стечкина и П.Л.Ульянова об оценке нормы полинома на отрезке через его норму на подмножествах этого отрезка; неравенство Е.П.Долженко об оценке вариации рациональной функции обобщено на знакочувствительные веса.

Построены ортогональные справа и ортогональные слева со знако-чувствительным весом полиномы и изучены их общие свойства.

Получен также ряд новых прямых теорем теории приближения полиномами и рациональными функциями в метриках Орлича, оценки в которых являются точными по порядку. При этом выделены классы функций, для которых вопрос о скорости сходимости рациональных аппроксимаций в метрике Ф-вариаций сводится к случаю менее "жесткой" равномерной метрики. В случае интегральной Ь$-метрики дана оценка типа слабой эквивалентности для наименьших рациональных уклонений функции sign г.

Практическая ценность. Результаты диссертации могут найти применение в теории аппроксимаций, теории экстремальных задач и прикладной математике.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научной конференции по теории функций в г.Одессе (1991), на Саратовских зимних школах по теории функций и приближений (1992, 1994, 1998), на Воронежских зимних школах по современным проблемам теории функций (1993,1995,1997), на Всероссийской научной конференции по теории дробно-рациональных приближений (Махачкала, 1991) , на Всероссийской конференции по нелинейному анализу (Махачкала,1992), на Всероссийской конференции по кодструктивной теории функций (Махачкала, 1994), на научных конференциях по алгебре и анализу в г.Казани (1994, 1997), на Международной конференции, посвященной 90-летию акад. С.М.Никольского (Москва, 1995), на Меж-

дународной конференции по теории приближения функций в г.Калуге (1996), на семинарах МГУ под руководством проф. Е.П.Долженко.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разделенных на 28 параграфов, и списка литературы, состоящего из 107 наименований. Общий объем диссертации 207 страниц.

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в работах [1] - [28].

Содержание работы. Во введении обосновывается тема исследований, приводится обзор содержания диссертации и излагаются основные результаты. Перейдем к более подробному изложению результатов диссертации по главам.

Для непрерывных на отрезке Д = [о, 6] функции /(х) и веса р(х) ~ (р_(х),р+(х)) при //¡(г) = /(х + Н) и 8 > 0 модуль непрерывности в р-норме определим равенством

и(5,/,р) = аир{|(Л - /,р)(х)| : х,х + Н е Д, Щ< <5}.

В случае 2л--периодических функций /(х),р_(х) и р+(х) в определении ш(6, /, р) будем считать х, х + к 6 (—оо, оо) .

При р~(х) = р+(х) = 1 определение и>{5,/,р) совпадает с обычным определением модуля непрерывности в равномерной метрике

ы(/,г) = вир{|(/л - /)(х)| = х, х + к € Д, Щ < 5},

но в отличие от 5) модуль непрерывности в р-норме и!(5, /, р), вообще говоря, не обладает свойством полуаддитивности относительно 5, хотя в случае непрерывных функции /(г) и веса р(х) = (р_(х),р+(х)) модуль непрерывности /, р) является непрерывной и неубывающей при 6 > 0 функцией с ш(0, /,р) = 0.

Определим теперь модуль непрерывности веса р(х) = (р_(х),р+(х)) (х £ Д) при 6 > 0 равенством и(р,6) = тах{и>(р_,($),ш(р+)<5)}. Тогда эти три модуля непрерывности связаны соотношением

Ц2<5, /,р) < Щ6,/,р) + ш(/,й)ш(р, 5),5> 0.

Для ограниченных на Д функции f(x) и веса р(х) = (р_(х),р+(х)) пусть Еп(/,р,А) = ш£{)<9 - /|р,д : с!е§<2 < п} - наименьшее уклонение в р-норме функции /(х) от алгебраических полиномов С>{х) степени не выше п (п = 0,1,...); наименьшее уклонение 2д--периодической функции /(х) от тригонометрических полиномов порядка не выше п (п — 0,1,...) обозначим символом .&„(/,р).

Очевидно, если р_(х) = р+(х) = 1, то Е„(/,р, А) и En{f,p) совпадают с соответствующими наименьшими уклонениями En(f, Д) и En(f) в равномерной метрике.

Вес р(х) = (р_(х),р+(х)) назовем монотонным на отрезке Д = [а,6], если обе функции р-(х) и р+(х) неубывающие на: Д или обе они невоз-растающие на Д. В главе 1 доказывается

Теорема 1.2.Для любых непрерывных на отрезке А — [о, Ъ] функции /(х) и веса р(х) = (р_(х),р+(х)) при п = 1,2,... имеем

En(f,p, Д) < бы /,р) + 8а, (/, Цр) oj (р, ■ (1) Если при этом вес р{х) монотонен, то

En(f,P, А) < 6w ((& - а)/п, f,p) ,п = 1,2,...;; (2)

если же вес р(х) не монотонен, то, вообще говоря, для любых положительных С\ и С найдется непрерывная на Д функция f(x), для которой

En(f,p,A)>C1u {С/п, f,p)

при всех достаточно больших п.

Неравенство вида (1) справедливо и в периодическом случае.

Из (1) непосредственно следует оценка сверху для наименьших уклонений Hn{f,p) = Rn{f,P, А) = inf{|r - /|р,д : degr < п} непрерывной на Д функции f(x) от рациональных функций г(х) степени не выше п в р-норме. При этом оценки вида (1) являются неулучшаемыми даже для рациональных уклонений Rn(f,P, А).

Именно, пусть функция wi(<5) непрерывная и неубывающая при <5 > 0 с u>i(0) = 0, а функции oji(5) и ш$(5) - модули непрерывности (т.е. непрерывные, неубывающие и полуаддитивные при <5 > 0 и равные нулю при 5 = 0). Тройку таких функций ш2,и3) назовем согласованной, если существуют такие константы С\ > 0 и С2 > 0, что

wi(2<5) < C!(«i(i) + и2{6)ш3{8)), wi(5) < С2ш2{5) (5 > 0).

Заметим, что для непрерывных на отрезке А функции f(x) и веса р(х) = (р_(х),р+(х)) модули непрерывности ш(6, f,p),u>(f,6) и oj(p,6) всегда образуют согласованную тройку, например, с С\ — 2 и С2 = 1+||р||д, где ||р||д = хпах{||р_||д, ||рн-||д}. Далее, для любой согласованной тройки (wi, о>2, ш3) функция <р(5) = üji(S) +ui2{S)uz(5) (6 > 0)

является функцией типа модуля непрерывности, в частности, для некоторого С > 0 выполняется неравенство <p{2S) < Cip(6) (5 > 0).

Теорема 1.3.Пусть ~ согласованная тройка функций,и

<p(2S) < С<р(6) {5 > 0). Тогда при каждом п — 1,2,... существуют непрерывные на отрезке А = [0,1] функция f(x) и вес р(х) = (р-.(х),р+(х)) такие, что

w(/,$)xwj(5), cu(p,<5) ж (¿-*0),

Ы(1/(18п),/,Р)=УХ(1/(18П)),

ЕМ.рЛ) > Дп(/,Р,А) > (l/2)C"V(l/n)-

Для получения обратных теорем в случае непрерывного знакочув-ствительного веса р(х) = (р-(х),р+{х)) применяется следующее неравенство типа С.Н.Бернштейна для производных полиномов в р-норме. Пусть р{х) = (р_(х),р+(ж)) - непрерывный 27Г-периодический вес. Для данного натурального п положим

Тогда А = 2n(rr-2 Inn + в), 0 < в < 1, и справедлива

Теорема 1.4.Для любого тригонометрического полиномаТ(х) лю-;,-бого порядка п > 1 выполняется неравенство

\Т'\Р < птах{|Г|р, | - Т|Р}+£||Г||. (3)

Неравенство (3) является точным для класса 27г-периодичесхих непрерывных весов р(х) = с наперед заданным колебанием uj(p,2ir) = П и при п -4 оо точным по порядку на классе всех весов р(х), для которых ш{р,6) < w(<5), где ш(6) - произвольный заданный модуль непрерывности.

Можно показать, что модуль непрерывности ш(<5, f,p) непрерывной 27г-периодической функции f(x) относительно непрерывного весар(х) = (р-(х),р+(х)), вообще говоря, нельзя оценить сверху через сумму наименьших полиномиальных уклонений En(±f,p) (по аналогии с теоремой Р.Салема - С.Б.Стечкина для равномерной метрики). Однако, используя неравенство (3), можно получить следующий аналог теоремы

С.Б'.Стечкина в метрике знакочувствительного веса. Пусть (wj,ш2, шз) - согласованная тройка функций, <p(S) = u>i(S) + u>2(3)u)3(S). Тогда для любого 27г-периодического веса р{х) — (р-(х),р+(х)) с ш(р,6) < 0)3(6) {& > 0) справедлива

Теорема 1.5..Если для 2 it'Периодической функции f(x) существует такая последовательность тригонометрических полиномов t„(x) порядков не выше п соответственно, что при некотором M > 0 и п> 1 справедливы неравенства

I ± (in - /)|Р < ДМ1/П), ||t„ - /II < Мш2 (1/п)|,

то при iî3(t) = тт{ыз(тг),шзЦ) In (2/i)} и 6 0 имеем

Лр) = а (<* // f2 (wi(i) + w2(i)n3(t)) dt) .

Условия теоремы 1.5 выполняются всегда, когда в согласованной тройке (u>i,W2,W3) все три функции являются функциями типа модуля непрерывности; существуют также (u>i,W2, W3), для которых wj(tf) не является полуаддитивной, но условия теоремы 1.5 выполняются.

Переходим к обратным теоремам теории рациональных аппроксимаций применительно к нашему случаю аппроксимаций знакочувстви-тельных. Е.П.Долженко получил оценку жордановой вариации v(f,A) непрерывной функции f{x) (х Е Д) через сумму ряда ее наименьших равномерных уклонений #„(/, Д) от рациональных функций степени не выше п. Эта оценка получается из другого его неравенства: v(r, Д) < 2degr|jr||A, где г(х) - рациональная функция. Заметим,что существуют непрерывные на данном отрезке А функция }{х) и вес р(х) = (p_(z),p+(x)), для которых жорданова вариация Д) > О, но Mn(±f,p, Д) = 0 при всех п = 0,1,.... Поэтому вариацию v(f, Д) нельзя оценить через сумму ряда с членами Rn{±f,p, Д). Однако, для достаточно широкого класса весов с помощью такого ряда молено оценить вариацию v(fp_p+,A) произведения непрерывной на Д функции f(x) и функций р~(х) и р+(х), определяющих данный вес р(х).

Будем говорить, что вес р{х) = (р_(х),р+(х)) при х е Д на некотором множестве рациональных функций удовлетворяет D-условию, если существует такое С = С(р) > 0, что для любой рациональной функции т(х) из этого множества выполняется неравенство

г)(гр_р+, Д) < C(deg т +1) (|г|р,д + I - г|р,д) < оо.

При р_(х) = р+(ж) = 1 D-yсловие постоянным множителем отличается от неравенства Е.П.Долженко, обобщением которого служит

Теорема 1.8.Пусть р(х) = {р-(х),р+(х)) - непрерывный на отрезке А = [а, &] вес, V — v(p-, А) + v(p+, Д) < оо , г(х) - рациональная функция, степени п, к = к{г, А) - число интервалов знакопостоян-ства г(х) на Д. Тогда выполняется неравенство

г/(гр_р+, А) < 4v max{|r|p, ¡ - r|p} + tf ||р||д тш{|г|„, | - r¡p},

где N = 0 при п = 0, а при п > 1 имеем:

N = 2п + k — 2 < Зп — 1 г[х), непрерывной на А;

N = 3n + k — 2<5п — 1 для любой г(г) с |r|p + | - г|р < оо.

Итак, если непрерывный на Д вес р(х) = (р-(х),р+(х)) имеет конечную вариацию, то он удовлетворяет D-условию на множестве всех рациональных функций г (ж) с |г|рд + | - г|рд < оо.

Вес р(х) = (р-(х),р+(х)) назовем псевдосимметричным на отрезке , Д, если существуют такие ограниченные функции <р+(х) и <р-(х), что " i-'-при х 6 Д имеем р~(х) < ip+(x)p+(x) и р+(х) <

Теорема 1.9.Пусть р{х) — (р-.(х),р+(х)) - непрерывный на отрезке А вес. Чтобы для некоторого С = С(р) > 0 и любой непрерывной на А функции f(x) при

оо

s(f,p) = £ ад.р)+ДП(-/,Р) < со

п=0

выполнялось неравенство

v(fP-P+, А) < С (|/|р + I - /|„ + S(/,p)),

необходимо, а в случае псевдосимметричного на А весар[х) и достаточно, чтобы вес прих € Д удовлетворял D-условию на множестве рациональных функций г(х) с |г|р + | — г\р < оо.

В главе 1 даны также двусторонние оценки R„(signx,p, [-1,1]) с целью выяснения количественного влияния знакочувствительного веса в точках разрыва данной функции на скорость ее приближения рациональными функциями в р-норме.

В главе 2 изучаются полиномиальные аппроксимации, с ограниченным на отрезке Д = [a,fe] весом р(х) = (р_(х),р+(х)). При е > О рассмотрим множества Д_ = Д(р_ > е), Д+ = Д(р+ > е) и их замыкания Д_, Д+ (здесь, как обычно, для данной функции д(х),х Е А,

запись Д(р > е) означает множество всех точек х отрезка Д с д{х) > е). Положим Ре = Д_ П Д+, Д£ = ДГПД; и для ограниченной на отрезке Д функции /(х) при х € 21 и при определим соответственно

функции'

М_(х) = М~(х,е) = Пт 8ир{/(е) : * € [х - <5,х + ¿] П Д-},

т+{х) = т+(х,е) = НтЫ{/(1) : * € [х - <5, х + ¿]; П Д+}.

Вопрос полиномиальной аппроксимируемости ограниченной функции в метрике зяакочувствительного веса решает следующая

Теорема 2.2.Пусть функция /(х) и вес р(ж) = (р_(х),р+(ж)) ограничены на отрезке Д. Для существования таких алгебраических полиномов <5п(я), что |(3„ - /|р,д -»■ 0 прип оо, необходимо и достаточно выполнение при всех достаточно малых е > О неравенства

М_(х,е) < т+(х,е), геД£. (4)

Чтобы рассмотреть предельный случай е = 0, для х б П(р) = яирр(р_) П эирр(р+) определим функции М_(ж, 0) и т+(х,0), заменив в определениях М_(х,е) и т+(х,е) множества Д_ и Д+ соответственно на множества Д(р_ > 0) и Д(р+ > 0). Так как М-(х,г) < М_(®, 0) и т+(х,0) < т+(х, е) при каждом е > 0 и г 6 Д£ С П(р), то условие М-(х, 0) < пгц.(х,0) (х € П(р)) является достаточным для существования полиномов <3п(х) с |<3„ — /|р,д —0 (п —> оо), однако, как показывают соответствующие примеры, не является необходимым для этого. Следовательно, участие чисел е > 0 в условиях теоремы 2.2 существенно для ее справедливости. Это верно и для приводимых ниже утверждений.

Существуют ограниченные на Д функции /(х) и веса р(ж) = (р_(х),р+(ж)), для которых (4) выполняется в виде строгого неравенства на множестве Д£ при всех достаточно малых е > 0.

Если компоненты р_ (х) ир+(х) весар(х) конечны и полунепрерывны сверху (в частности, непрерывны) на отрезке Д, а функция /(х) ограничена на Д,то для существования алгебраических полиномов <Зп{х) с Юп — /|р,д —> 0 (п оо) необходима и достаточна непрерывность функции /(ж) на множестве ^ при всех достаточно малых е > 0.

Для ограниченных на отрезке Д функции /(ж) и веса р(х) = (р_(х),р+(х)) определим относительно чисел е > 0 семейство

модулей непрерывности, полагая

<4г(/, Р, = вир [М-(х, г) - е)]+ ,

где супремум берется при |х — у\ < 5 (5 > 0) по всем х Е 5Г и у е Д7. Считаем эту величину доопределенной нулем на [0, й), если с^(Д_, Д+) = й > 0, причем равной тождественно нулю, если хотя бы одно из множеств и Д+ пусто.

Очевидно, при р~(х) г р+(х) = 1 величина ш£(/,р,Й) совпадает с обычным равномерным модулем непрерывности о>(/, <5); функции /(х) на отрезке Д. :

Условие полиномиальной аппроксимируемости (4) эквивалентно вы. полнению равенства ие(/,р,0) = 0 при всех достаточно малых е > 0, 'причем u^e{f,p,ë) при каждом е > 0 как функция от 8 > 0 является неотрицательной, неубывающей на [0, оо) и непрерывной в точке 5 — 0; при каждом 8 > 0 как функция от е > 0 она является невозрастающей. Тогда для и>£(/,р, при каждом достаточно малом е > 0 существует мажоранта ше(8), которая является модулем непрерывности.

Пусть О = {ш£((5)} - семейство таких функций, что при каждом е > 0 функция ше(5) является модулем непрерывности, а при каждом 6 > 0 она не возрастает по е > 0. Для ограниченных на Д функции ¡{х) и веса р{х) — (р_(х),р+(х)) при с > 0 рассмотрим две функции

/) = вир{М_(у,г) - ше(\х - : у в £Г}, <Р+(х, Л = 1гЧ{т+(у, е) + ше{\х - у\) : у £

определенных на всем отрезке Д. Они служат операторами сглаживания ограниченных на Д функций ¡{х) в р-норме.Так, первую из них можно взять в качестве искомой функции в теореме 2.5.

Ниже #Ы(Д) означает класс непрерывных на Д функций с равномерным модулем непрерывности < и>(5) (8 > 0); для двух данных множеств Е и F числовой оси ЦЕ, Р) = БирЦх — у] : х £ Е, у Е

Теорема 2.5. Пусть функция /(х) и веср(х) = (р_(х),р+(х)) ограничены на Д, е > 0 - достаточно малое число, ш{5) ='и>е(5) - заданный модуль непрерывности. Тогда условие и>е(/,р,8) < ш{8) (8 > 0) необходимо и достаточно для существования функции £ Нш(Д) со

свойствами : \

_ |

<р(х) > М-(х,£) при х 6 Д_; '

ip(x) < m+{x,e) при х € Д+;

\Ч> - f\pA < И/. Л) + h = h{Д,SI).

Теорема 2.6. £ca« функция f(x) и ееср(х) = (р-(х),р+(х)) ограничены на отрезке A, u£{f,p, 5) < w£(S) (5 > 0, е > 0), то для каждого п = 1,2,... существуют полином Qn(x) степени не выше п и число еп > 0 такие, что при всех е € (0,ел) и h = h(A,~5I) выполняется неравенство

\Qn - /U ^ + + 5|[p|U)w. (1/п) •

Аналогичные утверждения имеем и в периодическом случае.

Обратные теоремы в случае ограниченного 2тг-периодического веса р(х) = (р_(я),р+(г)} получены через свободу W(p,rn) системы "Ограниченный знакочувствительный вес р(х) - Множество тп тригонометрических полиномов порядка не выше п", введенную Е.П.Долженко и Е. А.Севастьяновым и определяемую равенством

W = W(p,rn)=Sup{\\TU/\T\pA},

где А и [0,2тг] и супремум берется по всем тригонометрическим полиномам Т(х) € г„, Г(ж) ?é 0. Как следует из неравенства (3), для любого тригонометрического полинома Т(х) порядка n > 1 имеем

|Г'|Р < я юах{|!Г|Р) ¡ - Т|„}(1 + BW/n).

Заметим, что существуют 2тг-периодические ограниченные веса р(х) = (p_(z),p+(®)) cA£ = SInS7 = 0 при А = [0,2эт] и е > 0, для которых свобода системы W(p, г„) = сю при любом п = 1,2,____

Пусть Д£ Ф 0 при всех достаточно малых е > 0 и пусть

¿V(n, Д£) = inf{¡|T¡k : ||Г||Д = 1 ,Те ту,}.

Тогда irjp^ > ||Т||де]У.(п, Д£) при любом Т 6 т„, поэтому для оценки свободы системы W(p, тп) нужны неравенства типа С.Б.Стечкина и П.Л.Ульянова ||Т||д < СЦТЦя, справедливые для любого полинома Т(х) € т„,замкнутых подмножеств Е = Ае отрезка А = [0,2п] и константы С = С(е,п), не зависящей от Т(х). Тогда, очевидно, W(p, т„) < inf {С(е, п)/е : е > 0}. j

i

14 :

В главе 2 для тригонометрических и алгебраических полиномов получены точные неравенства типа С.Б.Стечкина - П.Л.Ульянова (в них Тп{х) — 2п~1хп + ...- полином Чебышева степени п):

Теорема 2.7.Если измеримое по Лебегу множество Е С Д =. [-1,1] имеет-меру \Е\ = ц> 0, inf Е = a,supß = ß, А ±= max{l - а, 1 + ß}, то

||Р||д < Тп i) it-Pllß

для любого алгебраического полинома Р(х) степени п ==0,1, —

Теорема 2.8. Если измеримое по Лебегу множество ЕС Д = [—7г, тг] имеет меру \Е) — р > 0, то

iPiusa.(^(-^-i))imi. I

для любого тригонометрического полинома Т(х) порядка п — О,1, —

Аналогичные оценки имеют место и для некоторых! множеств Е с нулевой мерой, но приходится учесть структуру множества Е.

Пустцкак и выше, П = {u)£(J)} - семейство заданных модулей непрерывности. Тогда для ограниченных 27г-периодических функции f(x) и веса р{х) — (р_(ж),р4.(х)) имеет место следующий аналог обратной теоремы С.Б.Стечкина.

Теорема 2.9. Пусть для каждого п = 0,1,... нМдется такое е(п) > 0, что каково бы ни было е 6 (0, е(п)) существует тригонометрический полином tn(x) порядка не выше п с\tn~f\P < (l/(n +1)). Тогда djts каждого 8 £ (0,1) найдется такое es > 0, что при е€ (0, £j) выполняется неравенство

««(/,**) < 64тах{1, ЦрИдИг(р»т)}| £r2ut{\)dt,

причем свобода системы W(p, г) берется для множества г всех тригонометрических полиномов порядка не выше 1/6.

В главе 3 вводится несимметричное скалярное произведение относительно веса р{х) = (р_(ж),р+(х)) с неотрицательными на конечном или бесконечном интервале (а, 6) весовыми функциями р_(я) и р+{х), для

которых существуют конечные интегралы от хпр±(х) (п = 0,1,...; п = 0 в случае конечного интервала), причем

Пусть 12,Р(а,Ь) - класс всех измеримых по Лебегу на интервале (а, Ь) действительных функций /(х), для которых конечна величина

При р-{х) = Р+(я) (х £ (а, 6)) получим класс интегрируемых с квадратом функций (с весом р-(х)).

Отметим также, что |/ + зкг> ^ Ыг,р Для /,д £ Ь21р{а,Ь), но,

вообще говоря, | - /|2,р ^ \f\zp-

Если функции /, -/, д € ¿2,?(«> то скалярным произведением /(з:) на ^(ж) относительно веса р(ж) = (р_(сс)1р+(х)) назовем величину

Заметим, что из £ ¿2)Р(а, 6), вообще говоря, не вытекает конечность последнего интеграла. Но этот интеграл существует и конечен всегда, когда /, — /, д £ Ь21Р(а, £>), так как в этом случае имеет место следующий аналог неравенства Коши - Буняковского в ¿2,Р(а,Ь):

Систему функций <ро{х), ^(я)) • • • из Ьг:Р(а, Ь) назовем ортонормиро-ванной справа (слева) с весом р(х) = (р-(х),р+(х)) на интервале (а, Ь), если ((рт,ч>п)р = 0 при т > п(т < п), = 1 при т = п (т,п = 0,1,...).

Теорема 3.1. Существуют только две последовательности алгебраических полиномов {Рп(а;)}^=0 и {<5п(^)}^о> в которых каждый из полиномов Рп(х) и <2п(х) имеет точно степень п и положитель--ный старший коэффициент, причем система {Рп(х)}^0 является ор-тонормированной справа, а другая {<?п(е)}5£=о - ортонормированной слева с весом р{х) = (р_(г),р+(х)) на интервале (а,Ь). :

Пусть /, — / € ¿2,р(а, 6). По ортонормированной справа системе {Р„(х)}~=0 определим ряд Фурье

[Ь т\п{р-{х),р±{х)} <1х > 0.

1а

(/,з)р= / ¡(х)(д,р)(х)с1х. *<1

|(/.0)р| < тах-ОЛг.р, I ~ /М

оо

/(я) ~ Ё апРп(х),

(5)

п=О

где а0 = a'a(f) = (/,Р0)р> «» = «п(Л = (/»Я»)Р ~ ак(Рк,Рп)Р, п = 1,2,...; 5n(r) = Sn{x,f) - частичная сумма ряда (5) порядка п. Для / € Ь2,р(а,Ь) положим также Ь„ = bn(f) = (Pn,f)P, п = 0,1,... Тогда для любых f,-f,g € L%T(a,V) и п - 0,1,... имеем;

(/ - Sn(-J),g) = U,g)P- £ в*(/)Ь*($)

^ п=0

(аналог тождества Бесселя). Следовательно, условие

£ [f{x) - S„(x, /)] (д,р){а:) ch -» 0 (n оо) эквивалентно выполнению аналога равенства Парсеваля

оо

= Е «*(/)№■ • (б)

аг=0

Желая получить обобщение теоремы Ф.Рисса-Э.Фишера, рассмотрим линейное пространство ¿2,р(а! ¿0 всех измеримых по Лебегу функций f(x),x 6 с l(f,</)pl < оо при д 6 L^p(a,b) и положим

= 8ир { Г КХ){9,Р){Х) Лх : \ЗЬ,р < 1}

Если /, -/ € 12,р(а,6),то / € Ц1Р{а,Ъ) и ,

ц/||р = тах{|/|21р,|-/|2,р}.

Заметим также, что в случае обычных рядов Фурье условие

00 «

£ **(/) <

*=0

для коэффициентов Фурье функции / £ ^¡^{а, Ъ) (т.е. в случае Р-(х) = р+(х)) можно записать в другой эквивалентной форме: '

lim sup

П-VCO

«=П

= 0,

где супремум берется по всем д 6 £-2,Р(а, £•) с |5|2,р < 1. :

Поэтому следующее утверждение служит прямым обобщением теоремы Ф.Рисса - Э.Фишера на системы полиномов {Ря(:г)К^0, ортонор-мированные справа с весом р{х) = (р-{х),р+(х)) на интервале (а, 6).

Теорема 3.2.Если для числовой последовательности со,сь. полияется соотношение

в ы-

Нт вир

Е скЪк{д)

к=п

О,

где супремум, берется по всем д £ Ь2,р(а,Ь) с |д|2,р < 1, то существует Функция / 6 такал, что ак(/) = (к = 0,1,...), причем

С

Ьf(x){9,p)(*)dx=t<Ш9) ° к=0

для любой функции д 6 Ь^р(а, Ь).

Для изучения сходимости рядов Фурье по ортонормирёванкьш справа системам в главе 3 введены понятия их полноты и замкнутости.

Если для / £ Ь^{а,Ь) и любой д 6 Х2,Р(а> Ь) .выполняется (6), то

||/-5«(-,/)||Р<8ир £ акЦ)Ък{д\

к=п+1

где супремум берется по всем д £ Ь21Р(а,Ь) с \д\г,Р < 1.

Можно показать, что коэффициенты а*(/), вообще говоря, не обладают свойством минимальности в пространстве Ь1р(а,Ь). При этом для произвольной ортонормированной справа с весом р(х) = (р-(х),р+(х)) на интервале (а, Ь) системы {Рп(х)}^_0 и функ-:• ции / £ ¿2,р(а> ПРИ я = 0,1,... имеем

А=0 ;

где Еп(1)Р - наименьшее уклонение функции /(х) от алгебраических полиномов степени не выше п в метрике р(а, Ь).

Переходя к ортонормированной слева системе полиномов {<3п(х)}^0, отметим следующее утверждение, вполне аналогичное свойству нулей обычных ортогональных полиномов.

Теорема 3.4. Каждый полином (¿„(х) (п = 1,2,...) из ортонормированной слева с весом р(х) на интервале (а,Ь) системы имеет п различных нулей на (а,Ь).

Отсюда следует, что если хх < х2 < ... < хп- нули поликома (¿„{х) (п = 1,2,...) из ортонормированной слева системы, то существуют

положительные числа Ai,A2, ...,А„ такие, что для любого полинома Q{x) степени не выше 2га — 1 имеет место равенство

/4 п

Q(x)p(x, Qn) dx=Y, 1 k=i ;

где p(x,Q„) ~ p+(x) signQ+{x) + p~(z) sign Q~{x). При этом, например, для непрерывной на отрезке [а, Ь] функции j{x) можно доказать сходимость квадратурного процесса типа Гаусса

f f(x)p(x, Qn) dx=t Afc/Ы + R(f) 1 Ja *=i

и оценить остаточный член R(f);

1ВД1 < 2£2n-i(/,M) £тах{р-{х),р+{х)}Нх.

В главах 4 и 5 речь идет о приближениях в метриках Орлича - в метрике относительно Ф-вариаций и в интегральной Ьф-метрике.

Легко увидеть, что для каждой непрерывной функции / € C[0ii,j существуют допустимые функции Ф(и), для которых / € V$[o, b] С а поэтому, естественно, возникает вопрос об оценке скорости стремления к нулю наименьших рациональных или полиномиальных уклонений / в метрике т.е. величин

VMf) = V-фВД, [а,Ь]) = inf II/- г||фу, ; V*En{f) = V*En{f, [а, Ъ}) = inf ||/ - Р||ФУ, .

где инфимумы берутся по множествам соответственно рациональных функций г(х) и полиномов Р(х) степеней не выше п(п = 0,1,...) с действительными коэффициентами.Соответствующие оценки в главе 4 получены в терминах модуля Ф-абсолютной непрерывности (J, /) и наименьших равномерных уклонений Rn(f) — i?n(/, [а, Ь]) и En(f) = En{f, [а, bj) функции / е С[а,ь] от рациональных функций и, соответственно, полиномов степени не выше п (п = 0,1,...).

Теорема 4.1 .Если для произвольной допустимой функции Ф(и) функция / G V£, то при п = 1,2,... выполняется неравенство

УфВД, М]) < 24W* /) .

В случае Ф(и) = ир(р > 1) теорема доказана А.П.Терехиным. Приведем еще один характерный результат.

Теорема 4.2.Если функция f(x) непрерывна на отрезке [0,1) и жорданова вариация v[j) = шг(/,[0,1)) < оо, Я„(/) = Я„(/, [0,1]), то для любой допустимой функции Ф(и) при п = 1,2,... имеем

f

VMS) < 6п„(/)/ф-1 (Я„(/)/(пЯп(/) + »(/))).

При этом для каждого п = 1,2,... существует непрерывная на [0,1] функция fn(x), для которой v(fn) = 1, но предыдущее неравенство выполняется в другую сторону с константой 1/13 вместо 6.

Если К - некоторый класс функций /(¡г), непрерывных на отрезке [ОД], то для данного п = 0,1,... и допустимой функции Ф(и) положим

Гф7гл(/С) = sup {VMf) : / € /С} , Пп(К) = sup{Rn(f) : / 6 /С}.

Через Сопи обозначим класс всех непрерывных выпуклых (вниз или вверх) на отрезке [0,1] функций f(x) с |/(г)| <1 (х € [0,1]). Для f Жданного модуля непрерывности и>(&) класс Нш состоит из функций '"-f(x),x £ [ОД], с u(f,S) < ш(5) и |/(®)| < 1(* е [0,1]); Lipa = Ни при <jj(¿) = ¿Q, 0 < а < 1. Для наперед заданной допустимой функции Ф(и) через Щ обозначим класс Яш, для которого отношение ш(<5)/Ф_1(<5) (<5 > 0) возрастает. Наконец, пусть V — Уф[0,1] при Ф(и) = и. Тогда имеет место

Теорема 4.5.Пусть Ф(и) - произвольная допустимая функция. Если К. - один из следующих классов: H%, Conv и V П Lipa (0 < а < 1), то выполняется соотношение !

V91ln{K) ж Пп{К)/ф-1(1/п) (п оо).

В главе 4 найдены также минимальные условия на наименьшие равномерные рациональные уклонения R„(f) для Ф-абсолютной непрерывности приближаемой функции /.

Даны оценки е-энгропии введенных выше классов Кщ и Ф-абсолютно непрерывных функций относительно метрики Ф-вариаций. В частности, доказана

Теорема 4.7.Пусть W~l(5) - функция, обратная к функции W(6). Тогда e-энтропия класса Кщ относительно метрики V$[0,1] удовле-

творяет неравенству \

He(Kw,V^) < 1600/Ж"1^) ^

(для всех достаточно малых s > О J. j

При дополнительных ограничениях такая же по порядку оценка справедлива и снизу. В случае степенных функций Ф(и) = ир (р > 1) аналогичные оценки получил также С.С.Волосивец.

Через ¿фЛ7!(/, Д) обозначим наименьшее уклонение в метрике Ор-лича II • I[ф,д функции / G 14(A) от рациональных функций с действительными коэффициентами степени не выше п (п = 0,1,...). В качестве показателя роста Ф(м) на луче [0, со) возьмем величины

в(Ф) = НгптГ(ЫпФ(и)/1пи), £(Ф) = limsup(lnlni>(u)/lnu).

Основными в главе 5 являются следующие два утверждения.

Теорема 5.1 .Если в(Ф) > 0, то выполняется соотношение

¿»Assign®,[-M]) « фЦ^у (п-+оо).

Теорема 5.3.Пусть L > 0 и для заданной на А = [a, b] функции f(x) ее жорданова вариация V(f, [а, 6]) < L. Тогда для п — 2,3,... и некоторой независящей от п величины С = С(Ф) > 0 имеем:

1) если в(Ф) > 1, то

LMf,A)<CL/Ф"1 (е") ;

2) если в(Ф) = 1, N = п/Inn, то

г Г, , «■ л \ ^ CL Л [N dx \

В случае степенных функций Ф(и) = ир при р > 1 (А.А.Пекарский) и функций Ф(и) с 5(Ф) < 1 (А.К.Рамазанов) для класса V = У(Д) функций /(«), х £ А, с V(f, А) < L оценка ЬфЩ/, А) одна и та же по порядку, а именно 1/п, тогда как при Ф(и) = ехр(«а) — 1, а > 1, по теоремам 5.3 и 5.1 получаем непрерывную шкалу скоростей

ЬфПп{У) = sup {LçRnif, А) : / G V} х 1/пЧ" (т| -> оо).

21 I

Отметим, что при доказательстве теоремы 5.3 существенно используется теорема 5.1. С другой стороны, теорема 5.1 показывает, что полученные в теореме 5.3 оценки являются неулучшаемыми по порядку, вообще говоря, даже для индивидуальных функций; в случае Ф(и) = как показано А.А.Пекарским, для любой (фиксированной) функции / Е V{A) имеем соотношение ЬфД„(/, Д) = о(1/п) (п оо).

Следовательно, характерный для рациональных аппроксимаций индивидуальных функций о-эффект в случае £ф-метрики с быстрорастущими функциями Ф(и), вообще говоря, отсутствует.

^¿Литература

[1| Рамазанов А.-Р.К. Равномерные рациональные приближения функций с производными конечной Ф-вариации//Вестник МГУ. Серия матем - 1981- N 5. - С. 15 - 19.

[2] Рамазанов А.-Р.К. О некоторых оценках модуля Ф-абсолютной не-прерывности//Функц. анализ, теория функций и их приложения (Сборн.науч.тр.).- Махачкала, 1982.- С. 110 - 116.

[3] Рамазанов А.-Р.К. On approximation by polynomials and rational functions in Orlich's space's//Analysis Mathematica.- 1984.- Т.Ю.-N2.-C. 117 - 132.

[4] Рамазанов А.-Р.К. Модуль изменения функций многих переменных и приближение кусочно постоянными функциями//функц. анализ, теория функций и их приложения (Сборн.науч.тр.).- Махачкала, 1986.- С.132 - 135.

[5] Рамазанов А.-Р.К. Рациональная аппроксимация функций в метрике Орлича//Теория дробно-рациональных приближений (Матер.Всеросс.науч.конф.).- Махачкала, 1991- С.23.

[6] Рамазанов А.-Р.К. Об одной оценке приближения функций двух переменных рациональными функциями//Функц.анализ, теория функций и их приложения (Сборн.науч.тр.).- Махачкала, 1992-

С.122 - 125. 1

!

[7] Рамазанов А.-Р.К. О приближениях по Ф-вариации//Теория функций. Диф.ур-я в мат. мод. (Матер. Воронежской зим. ,шк.).- Воронеж, 1993 - С. 110.

[8] Рамазанов А.-Р.К. Рациональная аппроксимация фуйкций конечной вариации в метрике Орлича//Мат.заметки.-1993.-Т.54-

N 2,- С.63 - 78.

[9] Рамазанов А.-Р.К. Оценки метрической энтропии классов Ф- абсолютно непрерывных функций//Всероссййская конференция по нелинейному анализу (Матер, конф.).- Махачкала,1993 - С.23.

[10] Рамазанов А.-Р.К. Несимметрично ортогональные полиномы// Конструктивная теория функций и ее приложения (Тр. науч. конф.).- Махачкала, 1994 - С.90 - 92.

[11] Рамазанов А.-Р.К.On approximation of functions in terms of Ф-variation//Analysis Mathematical 1994,- N.20- N 2 - C.263 -281.

[12] Рамазанов А.-Р.К. Рациональная аппроксимация со знакочувстви-тельным весом // Алгебра и анализ (Матер, науч. конф.).- Ч.2.-Казань, 1994.- С. 103 - 104.

[13] Рамазанов А.-Р.К. Аппроксимации функций по вариации и со зна-кочувствительным весом // Функ. - диф. уравнения

(Сборн. науч. тр.)- Махачкала, 1994,- С. 96 - 103.

[14] Рамазанов А.-Р.К. О полиномиальных и рациональных аппроксимациях в метрике знакочувствительного веса // Теория функций и приближений (Тр. 7-ой Саратовской зим. шк.).- Ч.З.Саратов,1995- С. 80 - 84.

[15] Рамазанов А.-Р.К. О рядах Фурье по несимметрично ортонормиро-ванной системе полиномов // Современные методы теории функций (Матер. Воронежской зим. шк.).- Воронеж, 1995 - С. 197.

[16] Рамазанов А.-Р.К. Несимметрично ортогональные полиномы и квадратурные формулы // Функц. пространства, теория приближений, нелинейный анализ (Тезисы докл. Межд. конф., посвящ. 90-летию акад. С.М.Никольского).-Москва, 1995.- С: 223 - 225.

[17] Рамазанов А.-Р.К. О прямых и обратных теоремах теории аппроксимации в метрике знакочувствительного веса // Analysis Mathematical 19.95.- Т.21- N 4 - С. 191 - 212.

.[18] Рамазанов А.-Р.К. Полиномы, ортогональные со знакочувстви-тельным весом // Мат. заметки-1996 - T.59.-N 5 - С.737 - 752.

.[19] Рамазанов А.-Р.К. Оценки несимметричной нормы производных полиномов // Междунар. конф. по теории приближения функций (Тезисы докл.) - Т.2.- Калуга, 1996 - С. 179 - 180.

[20] Рамазанов А.-Р.К. Рациональная аппроксимация со знакочувстви-тельным весом // Мат. заметки.- 1996.- Т.60.- N 5- С. 715 - 725.

' • *[2i] Рамазанов A.-PlK. Полиномиальные знакочувствительные аппроксимации ограниченных функций // Деп.ВИНИТИ, N 3367 - В 96, ' 15 с.

[22] Рамазанов А.-Р.К! К вопросу об отделении полунепрерывных функций непрерывными // Современные методы теории функций (Матер. Воронежской зим.шк.). - Воронеж, 1997 - С. 137.

[23] Рамазанов А.-Р.К. Точные неравенства типа неравенства Стечки-на - Ульянова для полиномов // Деп.ВИНИТИ, N 1622 - В97,

6 с.

[24] Рамазанов А.-Р.К. Об аналогах неравенства Стечкина - Ульянова для полиномов // Алгебра и анализ (Матер, науч. конф.).- Казань, 1997 - С. 177 - 178.

[25] Рамазанов А.-Р.К. О критериях полиномиальной аппроксимируемости со знакочувствительным весом // Функц.- диф. уравнения (Сборн. науч. тр.).- Махачкала, 1997.- С. 189 - 192.

[26] Рамазанов А.-Р.К. О неравенствах типа Стечкина - Ульянова для полиномов // Функц,- диф. уравнения (Сборн. науч. тр.).- Махачкала, 1997 - С. 192 - 196.

[27] Рамазанов А.-Р.К. О прямых и обратных теоремах для знакочув-ствительных аппроксимаций полиномами// Современные проблемы теории функций и их приложения (Тезисы докл.9-ой Саратовской зим. шк.). - Саратов, 1998. - С.135.

[28] Рамазанов А.-Р.К. Знакочувствительные аппроксимации ограниченных функций полиномами// Изв. вузов.Математика. - 1998. -N 5 (432).- С.53 - 58.