Интерполяционные теоремы и теоремы об эквивалентных нормах в пространствах гладких элементов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

Гл. I. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ИЗВЕСТНЫЕ

РЕЗУЛЬТАТЫ.

Гл. 2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ СИММЕТРИЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ

§ 2.1. Одно интерполяционное неравенство

§ 2.2. Некоторые обобщения и их следствия

Гл. 3. СГЛАЖИВАЩИЙ АППРОКСИМАЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС И ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ТЕОРЕМЫ.

§ 3.1. Сглаживающий аппроксимационный процесс (общий случай)

§ 3.2. Интерполяционные теоремы для полунорм, построенных по резольвенте неограниченного замкнутого оператора♦

§ 3.3. Обобщенный сдвиг и интерполяционная теорема

§ 3.4. Сглаживающий аппроксимационный процесс, построенный по ограниченной полугруппе

Гл. 4. ПРОСТРАНСТВА ГЛАДКИХ ЭЛЕМЕНТОВ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДЯЩЕГО ОПЕРАТОРА ОГРАНИЧЕННОЙ ПОЛУГРУППЫ

§ 4.1. Некоторые свойства пространств Е***- г-'-с.-^ и

Егч*- г*"* и 9 Г г-» а ' —»

§ 4.2. Пространства Ь^

§ 4.3. Интерполяционные свойства пространств ЕгЛ и Ьг!> г-п.-*

Гл. 5. ПРОСТРАНСТВА ГЛАДКИХ ЭЛЕМЕНТОВ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДЯЩИХ ОПЕРАТОРОВ СИСТЕМЫ КОММУТИРУЩИХ ГРУПП г-(М,*)

§ 5.1. Пространства С рС-ь

§ 5.2. Пространства Ь ^е г » Ь .дч«,4 >

Работы СЛ. Соболева, С.М. Никольского, Л.Н. Слободецкого, О.В. Бесова и их сотрудников дали мощный толчок к изучению пространств функций, обладающих той или иной степенью гладкости в смысле интегральных метрик. Эти пространства нашли многочисленные применения в теории дифференциальных уравнений, математической физике, вычислительной математике. Естественным обобщением задач, рассмотренных в указанных работах, явились задачи о построении и исследовании в произвольном банаховом пространстве линейных подмножеств, состоящих из элементов, обладающих той или иной степенью гладкости относительно заданного неограниченного линейного оператора, действующего в этом пространстве. Ж.Л. Лионе и Ж. Петре [28] с помощью развитых ими интерполяционных методов констант и средних построили промежуточные пространства между банаховым пространством Е; и областью определения степени производящего оператора ограниченной полугруппы операторов, действующей в £ .П. Грисвард [24] распространил их метод на более широкий класс операторов - позитивных операторов (см. [18], [I]). С.Г. Крейн ( [14],[253) несколько обобщил конструкцию указанных авторов, введя понятие сглаживающего аппроксимационного процесса, с помощью которого и вводятся промежуточные пространства гладких элементов.

Другим стимулом многочисленных исследований явилась знаменитая интерполяционная теорема Ж. Марцинкевича, доказательство которой было восстановлено и опубликовано А. Зигмундом [34]. Отметим здесь лишь результаты С.Г. Крейна и Е.М. Семенова [1б], получивших обобщения теоремы Ж. Марцинкевича в классе симметричных в смысле Е.М. Семенова пространств (см., также,[15], теоремы 6.1,

6.1У, гл. П) и результаты К.К. Головкина [4], построившего абстрактные аналоги теоремы Марцинкевича и распространившего её на интерполяцию по гладкости (¡^4], теорема 7).

В результате синтеза идей работ [1б] и £4] во второй главе диссертации получено обобщение интерполяционных неравенств К.К. Головкина. Вместо степенных весов рассмотрены произвольные веса, вместо функционалов типа максимизации (в ¡^4] так называются нормы в пространствах функций на полуоси, инвариантные относительно операторов растяжения и операторов возведения аргумента в степень) - нормы в произвольных симметричных пространствах, обладающие порядковой полунепрерывностью.

В третьей главе полученные интерполяционные неравенства применяются к доказательству новых интерполяционных теорем для пространств гладких элементов, построенных по сглаживающему аппрок-симационному процессу. В качестве примеров рассмотрены пространства, строящиеся по резольвенте позитивного оператора, по ограниченной полугруппе операторов, по оператору обобщенного сдвига, связанного с обыкновенным дифференциальным оператором второго порядка.

Важной проблемой в теории промежуточных интерполяционных пространств является установление эквивалентности норм, построенных различными способами. Теоремы об эквивалентности норм позволяют при исследовании конкретной задачи выбирать ту из эквивалентных норм, которая для этого наиболее удобна. В теории интерполяции наиболее сильным орудием для установления эквивалентности норм являются так называемые теоремы о реитерации (см.р8|, [I], [15], [22]).Оригинальный метод, не связанный с интерполяцией,был предложен К.К.Головкиным ([з],[б]) для дифференциально-разностных норм в пространствах скалярных гладких функций.Этот метод основан

- б на некоторых нетривиальных алгебраических тождествах, берущих своё начало от работы А. Маршо 1927 г. ([зо]). В четвертой и пятой главах диссертации методы и результаты К.К. Головкина переносятся на пространства гладких элементов банахова пространства, построенных по ограниченной полугруппе операторов и по системе коммутирующих групп операторов.

Следует отметить, что гладкие элементы обычно выделяются следующим образом: по элементу строится некоторая функция на полуоси , норма которой (называемая К.К. Головкиным параметрической полунормой) должна принадлежать некоторому идеальному банахову пространству Р , функций на полуоси. Во всех перечисленных выше работах требовалось чтобы оператор растяжения имел в пространстве р норму, равную единице (в большинстве работ Р ~ ЗС ). В диссертации удалось избавиться от этого ограничения и рассмотреть тот случай, когда Р - произвольное (иногда сепарабельное) симметричное пространство.

Перейдем к формулировкам основных результатов.

Первая глава диссертации носит вводный характер, в ней приведены основные определения и теоремы других авторов, используемые в работе. Сформулируем основной результат второй главы.

Определение I. Параметрические полунормы ^(^"Ь) и ^ЫЛ) называются ( - эквивалентными относительно симметричного пространства Р и неотрицательной функции ^(4:) , если существуют такие постоянные , , что для любого ЯЛ £ ЗС , имеем

Определение 2. Будем говорить, что параметрическая полунорма ^(и^) удовлетворяет - условию относительно

Р^ХСЙ) * если ^ лю^ого найдется такое разбиение произвольного и вХ • и-ЯА^ч- ЯДу^ , при котором соответствующие параметрические полунормы ^(и^^ ((.удовлетворяют оценкам г ^ ч где и (0</с<°°) ~ некоторые функции, совпадающие при <тг = 1 , а полунормы ^(яд.,^) и ^('и.,^) эквивалентны относительно ( Р > ^ Л) •

Будем обозначать через - оператор растяжения: к } МсС0(*> , 1 о- , и при выполнении условия

С . ^ (и^ ) V < 4: < , и^ , О <Л <1г\

1 КЛ / / яЛ г / л»Л

Предположим, что

II и № + II е^Ч (£)• и («с) II о» .

Теорема I. Пусть линейный оператор Т действует из векторного пространства ЗС , на котором задана параметрическая полунорма в векторное пространство У с параметрической полунормой . Пусть удовлетворяет

- условию относительно 5 условию (I) (Х140 полумультипликативная функция) и выполнены оценки где ^¿(^О, ^¿и)>0 . Тогда, если 26 , 5(4:} измеримое и положительное решение системы то для любого симметричного пространства Р" с порядково полунепрерывной нормой (см. стр. 142 ) выполнено неравенство я

Сформулируем основные результаты третьей главы. Во многих случаях для сглаживающего аппроксимационного процесса^ С^ (см. выполнено соотношение следующего вида

I- ' (2) о ' £ где > Л/(*>«0 - равномерно ограниченные по А и

Ь операторнозначные функции, коммутирующие с ~ А 'и при всех ^>0 ; с1{\) и /К >0 - ограниченные возрастающие скалярные функции на (0,1] и [£>13 соответственно. Будем обозначать о ^ < °° и предположим, что сто -Л^/Л' от г

Теорема 2. Пусть линейный оператор Т* действует из ба

Ел (МрМ1%11г + Ш1Л нахова пространства ид векторное про-и странство "У с параметрической полунормой ^р(^Л) выполнены оценки

Тх "а где ¿сС*) и - положительные функции. Тогда, если выполнено соотношение (2), условия (з), (4), ае(~0 , измеримое и положительное решение системы то для любого симметричного пространства Р лунепрерывной нормой с порядково по

Тх

Во втором параграфе третьей главы для сглаживающего аппроксимационного процесса, построенного по резольвенте неограниченного замкнутого оператора В в банаховом пространстве Е с плотной в С ~ областью определения SXB) , для которого sap l|X(b+>3tL < 00 > \>0 Ь введена параметрическая полунорма

Будем обозначать 1

S/Ц (/^У ^ ^ о < ^^ 1

В предположении, что оо

5) доказана следующая теорема.

Теорема 3. Пусть линейный оператор Т действует из банахова пространства Е^Л- в векторное пространство "У с параметрической полунормой и выполнено условие (5) и оценки с-и^^И^в^в-ЛИ^ ("Л оС оо ) где ск.1 С'с) и - положительные функции. Тогда, если

8€ С"0 » - измеримое и положительное решение системы то для любого симметричного пространства > на имеет место неравенство г

В третьем и четвертом параграфах диссертации аналогичные утверждения получены для параметрической полунормы X построенной по оператору обобщенного сдвига , связанному с обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка и для параметрических полунорм построенных по сильно непрерывной ограниченной полугруппе в банаховом пространстве Е

В четвертой главе изучаются полунормы вида

6) р - симметричное пространство), соответствующие сглаживающему аппроксимационному процессу

-г и^ ь X где - сильно непрерывная ограниченная полугруппа операторов в банаховом пространстве Е . С помощью полунорм вида (6) вводятся пространства Е^

Для полунорм вида (6) доказана важная теорема.

Теорема 4. Если при некотором натуральном I , то вр при оС , ^>0 и натуральном р , причем полунормы Ц ^ . ||(и^У1ух||р 1|р на пространстве эквивалентны при любых натуральных р и £ , удовлетворяющих неравенству р О .

Вводятся банаховы пространства Е^ р^-ь » являющиеся замыканием множества ( СГ) по норме банахова пространства

Р*. и совпадающие с Р-*. если пространство и ^ и ^ г р сепарабельно. Доказана теорема об изоморфизме пространств л/

Е к*-

Теорема 5. Если функция ^ \£г> то пространство р * г-г-ь с точностью до изоморфизма не зависит от г1^-г10>$.

Изучаются пространства Е^ р^-ь при о » установлен тривиальный характер таких пространств. Дадим точные формулировки.

Определение 3. Назовем множество ядром семейства операторов \7(Ц (0<Л < , если Для любого -х еД/ТХ/СЩ и всех Ц €(о,оо) .

Теорема 6. Если - сжимающая полугруппа, то при ь>г1+1 или при и , пространство

Е^р^-5» совпадает с ядром семейства операторов

Если |ЦХМ16«М (М>А> 'Р) , то при *>ал+1 или при и И^рЧр^! пространство совпадает с ядром семейства операторов .

Во втором параграфе четвертой главы рассматриваются полунормы вида

- производящий оператор полугруппы исИ и соответствующие им банаховы пространства

Ей сыь-к) = Ы^еЕ^' оо

11*11 . = Цх|1 + Ш^-1) Ы1Р II " на некотором плотном в «О (^ ) при любом К- множестве /\/= Л» соответствующем полугруппе ТЛЬ) (множество /\ZxJch) построено и подробно описано в [Хв]^установлена эквивалентность полунорм вида (7) в случае произвольного симметричного пространства {- . Результат конкретизирован для пространств р являющихся нормально интерполяционными пространствами типа между о?^ и ^оо . Сформулируем доказанные теоремы. Через З1' будем обозначать наименьшее целое число, большее либо равное 5

Теорема 7. Если Б , то для ^ ^ полунормы эквивалентны на ^ пс ме Н^-Шиси-Х^Урпри .Если эквивалентность имеет место для при )|<5'1д]|р<1 .

Теорема 8. Пусть р - нормально интерполяционное пространство типа между о1 ± и сю . Полунормы

11 h^-lKU^VlY'D^ll Чс эквивалентны на /V полунорме

V» ^

11 11 (\J<S\)*\lE 11Р в следазщих слУчаях;

1. при ДЛЯ О¿.<¿<1

2. при e^S-voi для0^о(.<1

3. t>l<S при для 0 $ cL< 1+sV .

Введены пространства Е-ль » являющиеся замыкау О ) г нием множества Л/ по норме банахова пространства \ и с помощью теорем 7-8, доказан их изоморфизм.

Теорема 9. Пусть F - симметричное пространство. Если функция Yw'^^^V^gF , то пространство р^к с точностью до изоморфизма не зависит от С в следующих случаях:

1. для i>S-vc>l ;

2. для если <1 .

Если р - нормально интерполяционное пространство типа oL между сЛ а и cL, ¿ж то пространства Е^к о-(<>-к) изоморфны по & в следующих случаях: 5

1. при к>о для ;

2. при дляО^°^<4- ;

3. при (J, >s- к>о для, 0 ^ oUi + s-b".

Третий параграф четвертой главы посвящен исследованию интерПОЛЯЦИОННЫХ СВОЙСТВ пространств t^-^pt-S и p^Jt p^C-S Доказаны следующие теоремы:

Теорема 10. Если в симметричном пространстве F норма по-рядково полунепрерывна (см. [I3J, стр. 142 ) и функция ^ Р , то пространство Е ^ р изоморфно пространству »построенному по интерполяциони Г ) г ному методу констант и, следовательно, пространство является интерполяционным между пространствами Е и .

Из теорем 5, 10 получается важное следствие.

Теорема II. Если симметричное пространство Е сепарабель-но, норма в Е порядково полунепрерывна и функция ,

УУЧЧ то интерполяционное пространство (Е^Е^К-ь ,-г-ь с точностью до изоморфизма не зависит от Ъ ^ >£ и пространство Е^-рг-ь является интерполяционным между Е и Е^.

В пятой главе диссертации исследуются различные полунормы, построенные по системе ограниченных коммутирующих групп в банаховом пространстве Е и соответствующие им пространства.

Введем используемые обозначения

Ке = П , мхи .«иг. е ^ 1 I

6- Т.

Е ^ Л С ЧХ.Г1 У -Г" ь^р« л,

УЬ* л где , у

Доказаны следующие теоремы . р полунормы

Теорема 12. Пусть £>>0 ; в с - натуральные числа такие, что + при некотором ¿^^ • Тогда при с С ^ - ь полунормы V эквивалентны при разных ^ О .

Теорема 13. Пусть ^ - система ограниченных коммутирующих полугрупп. Если функция

1 е Г , то пространство «-1 ^ ^ является промежуточным между к' и Е . к>р "

По множеству » соответствующему системе коммутирующих групп [ (^[Ус] п°ДР°бно описано в С18]), построено пространство Е ^^о с » являющееся замыканием мнол/ жества ** по норме банахова пространства с: . сСМ/О К

Доказан изоморфизм пространств с: по Т. .

И, К > Р

Теорема 14. Если при некотором J ^ ^ и функция игъси, ] ^ ^ I) Р , то пространство Ег^-^1,? с точность] <■ > ^е-ь до изоморфизма не зависит от 1 ^ О .

Во втором параграфе пятой главы изучаются полунормы вида и соответствующие им пространства , к Л

Ь - | К , кКР I -К+О у\ р. .к ад - и

Ь^И ^Ч ь Г"1 ^ ^ .

Доказаны следующие теоремы. „

Теорема 15. Если функция уу\ллл1^\ и К>$>>0 , то пространство ^ является промежуточным между

ОасЧ г

К^ И Е . к 5 ь Л

Теорема 16. Пусть И0У1С4 С'^ при некотором и

Ь и произвольной О О ; ; . Если

К"> *=>"> и функция Иуг1ц ^ £ Р , то при X в полунормы вида (8) и (9) эквивалентны.

Построены банаховы пространства « » являющиеся замыканием множества Л^и«"^ по Н0Рме пространств г- « «. » V- Л г соответственно. Доказана следующая теорема

Теорема 17. Если функция УуилД^ ^ то пространсте ^^ во с точностью Д° изоморфизма не зависит от

К><»><0 • Если при этом || бу|^ ^.»'с , то и пространство с точностью до изоморфизма не зависит от УО5><*>0 при ^(0,1).

Результаты диссертации докладывались на семинарах профессора С.Г. Крейна в Воронежском лесотехническом институте (ВЛТИ), на семинаре по интерполяции линейных операторов под руководством профессора С.Г. Крейна и профессора Е.М. Семенова в Воронежском государственном университете, на ежегодных научных конференциях ВЛТИ, в Воронежских зимних математических школах.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

Отметим некоторые технические особенности текста. Определения, формулы, теоремы и т.д. нумеруются двумя числами, первое из которых соответствует номеру параграфа в главе, второе - номеру определения, формулы и т.д. в параграфе.

При ссылках внутри одной главы указываются два соответствующих числа, при ссылках в одной главе на другую к соответствующим двум числам добавляется третье означающее номер главы. Например (4.2.10) означает формулу (2.10) четвертой главы. Завершение доказательства теорем в диссертации отмечается символом СИ .

Автор выражает глубокую благодарность профессору С.Г. Крейну за постановку задач и руководство работой.

1. Берг Й., Лёфстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение.-М.: Мир, 1980, 264 с.

2. Бухвалов A.B. Интегральные операторы и представление вполне линейных функционалов на пространствах со смешанной нормой.-Сибирск. матем. журн., 1975, т. 16, вып. 3, с. 483-493.

3. Головкин К.К. Некоторые условия гладкости функций многих переменных и оценки операторов свертки. Докл. АН СССР, 1961, т. 139, № 3, с. 19-22.

4. Головкин К.К. Об одном обобщении интерполяционной теоремы Марцинкевича. Труды МИАН СССР им. В.А. Стеклова, 1967, т. 102, № 5, с. 5-28.

5. Головкин К.К. Об эквивалентных нормировках дробных пространств.-Труды МИАН СССР им. В.А. Стеклова, 1962, т. 66, с. 364-383.

6. Горохов Е.В. Некоторые свойства пространств Ег\* t-*"5,1 гУШ школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тезисы докладов.- Рига: ЛГУ им. П. Стучки, 1983, т. I, с. 6162.

7. Горохов Е.В. Об одном интерполяционном неравенстве. Сб. Операторные методы в дифференциальных уравнениях, Воронеж: Изд. ВГУ, 1979, с. 25-32.

8. Горохов Е.В. 0 пространствах гладких элементов относительно системы коммутирующих групп. Воронеж, 1982, 18 с. Рукопись представлена Воронеж, лесотехн. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 29 марта 1983, № 1537-83.

9. Горохов Е.В. Об эквивалентных нормах в пространствах гладких элементов. Воронеж, 1983, 21 с. Рукопись представлена Воронеж. лесотехн. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 29 марта 1983, № 1538-83.

10. Горохов Е.В. Сглаживающий аппроксимационный процесс и интерполяционные теоремы. Сб. Линейные операторы в функциональных пространствах, Воронеж: Изд. ВГУ, 1981, с. 31-45.

11. Дмитриев В.И. О методе Лионса-Петре построения интерполяционных пространств. Докл. АН СССР, 1971, т. 198, № 4,с. 747-750.

12. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967, 624 с.

13. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977, 741 с.

14. Крейн С.Г. Интерполяция линейных операторов в пространствах гладких функций. Сб. Теория операторов в функциональных пространствах, Новосибирск: Изд. Наука, Сибирское отделение, 1977, с. 188-205.

15. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семёнов Е.М. Интерполяция линейных операторов.- М.: Наука, 1978, 400 с.

16. Крейн С.Г., Семёнов Е.М. Интерполяция операторов ослабленного типа. Функц. анализ, 1973, т. 7, вып. 2, с. 89-90.

17. Семёнов Е.М. Теоремы вложения для банаховых пространств измеримых функций. Докл. АН СССР, 1964, т. 156, № 6, с. 12921295.

18. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980, 664 с.

19. Хилле Э. и Филлипс Р.М. Функциональный анализ и полугруппы.-М.: Иностр. литерат., 1962, 829 с.

20. Эдварде Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969, 1071 с.

21. Во^с! <£>.\А/. 1угоЦ<хь lu.vLd-ti.ow сигоС- 133 GxroJ . 3 TYlaU ., i S 6 9 , * i i, p. i 14 5-fc S14 :22. bua 2.ел. p- o£ -) h. s-emí <уъои>|>л e-|xv\oL (x^pp'xoxCmoL'tLovu. — : ¿рп^пхул. > i 86-f j 2>i S p.

22. YYIÍ/^USJJ V.I.öLHvol K/ülLVL SGr. I^t^o-CoL-Uoy^Jj¡ ©рдАоЛопл ^LoÁ. -Ltupa.W^U,!^8^^ U, p.Sb-93.