Интерполяционные L-сплайны и задачи оптимального восстановления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

0. Введение

0.1 История вопроса

0.2 Постановка задачи .'.

0.3 Краткое содержание диссертации.

1. Обобщенные интерполяционные сплайны, порожденные возмущенным оператором.

1.1 Существование, единственность и аппроксимативные свойства обобщенных интерполяционных сплайнов

1.2 Обобщенные интерполяционные сплайны, построенные по приближенному оператору

1.3 Неравенства типа Маркова для обобщенных интерполяционных сплайнов

2. Интерполяционные L -сплайны

2.1 Оценки погрешности полиномиальной сплайн-интерполяции

2.2 Аппроксимативные свойства интерполяционных £-сплайнов

2.3 Аппроксимативные свойства интерполяционных £-сплайнов, построенных по приближенному оператору

3. Некоторые экстремальные задачи и интерполяционные

С -сплайны

3.1 Асимптотика линейных и колмогоровских поперечников классов D:>W^0,a в метрике Lq

3.2 Задача оптимального восстановления и ее связь с интерполяционными С -сплайнами

Сокращения

Основные обозначения и определения к главе

Основные обозначения и определения к главе

Основные обозначения и определения к главе

0.1 История вопроса

Полиномиальные сплайны как самостоятельный аппарат приближения был введен Шёнбергом [42] в 1946 г., однако и ранее кусочно-полиномиальные функции использовались как в численном анализе (ломаные Эйлера), так и в качестве экстремальных функций в работах Ж.Фавара, А.Н.Колмогорова, С.М.Никольского и других математиков. Дальнейшие исследования по приближению классов гладких функций показали, что полиномиальные сплайны дают минимально возможную погрешность приближения среди подпространств заданной размерности, т.е. реализуют п -поперечник (по Колмогорову, линейный и др.). Более того, оказалось, что этим экстремальным свойством обладают не только полиномиальные сплайны наилучшего приближения, но и полиномиальные интерполяционные сплайны. Именно они во многих случаях решают задачу оптимального восстановления функции и ее производных по имеющейся дискретной информации о функции. Подробный обзор результатов по этой тематике приведен в монографиях: Дж.Алберг, Э.Нильсон, Дж.Уолш [2], В.М.Тихомиров [28], Н.П.Корнейчук [14], [17], Л.Шумейкер [44] и др.

Аппарат полиномиальных сплайнов оказался удобным и при решении задач вычислительной математики. Эти вопросы достаточно подробно освещены в монографиях: В.А.Василенко [5], С.Б.Стечкин, Ю.Н.Субботин [23], Ю.С.Завьялов, Б.И.Квасов, В.Л.Мирошниченко [10], А.И.Гребенников [8] и др.

С -сплайны также были введены Шенбергом [43], здесь С - линейный дифференциальный оператор. Развитие теории С -сплайнов бьь-ло во многом обусловлено потребностями вычислительной математики. В частности, требовалось восстанавливать решения дифференциальных уравнений вида Cx(t) = y(t) (краевая задача, задача Коши), которые при приближенном решении уравнений, часто получались в виде сеточных функций (например, в случае, когда задача решалась разностным методом). Обзор работ в этом направлении имеется в монографиях [2], [4], [8], [10], [23] др.

Вопросам обобщения понятия сплайн и изучению аппроксимативных свойств сплайнов различной природы также посвящено большое число работ. Первый шаг в этом направлении, как отмечено выше, сделал Шенберг [43], рассмотревший тригонометрические сплайны. На следующем этапе были введены интерполяционные сплайны, порожденные некоторым линейным дифференциальным оператором, при различных ограничениях. Дальнейшее обобщение понятия "интерполяционный сплайн" происходило в основном в двух направлениях: с одной стороны ослаблялись ограничения на оператор, с другой стороны обобщение достигалось за счет расширения способа интерполяции. Одновременно развивался абстрактный подход к теории сплайнов в гильбертовом пространстве; при этом подходе интерполяционный сплайн определяется как решение некоторой экстремальной задачи. Большой вклад в вариационное направление внесли Аттиа [34], Анселон, Лоран [33], В.А.Василенко [5], В.А.Морозов, А.И.Гребенников [7] (см. также [2], [19], [35]). Дальнейшее развитие этот подход получил, например, в работах [36], [37] и ряде других.

Нами предложено определение интерполяционного сплайна в линейном нормированном пространстве как соответствующего элемента из ядра некоторого расширения L, заданного линейного оператора Lq (точное определение дано в главе 1). Содержательность данного определения показано на примере изучавшихся ранее интерполяционных С-сплайнов. Для которых установлены новые теоремы существования и единственности и получен ряд новых асимптотически точных результатов.

Выше уже упоминались п -поперечники классов функций в связи с задачей о наилучшем методе приближения. Данное направление получило дальнейшее развитие для случая классов функций, задаваемых ограничением на норму линейного дифференциального оператора. Был получен ряд точных и асимптотически точных результатов (см. например [21], [31], [38], [41], [44] и др.). Оказалось, что для ЛДО с постоянными коэффициентами в ряде случаев интерполяционные С -сплайны также реализуют п -поперечник, а значит являются оптимальным методом восстановления функции из соответствующего класса (см. например [22], [30], [40] и др.). В данной работе нами показано, что и для ЛДО с переменными (вообще говоря с суммируемыми) коэффициентами в ряде случаев соответствующие интерполяционные С -сплайны реализуют асимптотику п -поперечника, т.е. являются асимптотически оптимальным способом восстановления функции (а в ряде случаев и ее производных). Значение асимптотически точных результатов (как отмечено Н.П.Корнейчуком) важно тем, что часто точные результаты получены в неявной форме. Например, узлы полиномиального сплайна (реализующего п -поперечник) и точки интерполяции в непериодическом случае можно найти лишь приближенно, в то же время, полиномиальные интерполяционные сплайны по равномерному разбиению (с краевыми условиями Лидстона) реализуют асимптотику ряда п -поперечников. В данной работе подобные результаты переносятся на интерполяционные С -сплайны с переменными коэффициентами. При этом доказана теорема, позволяющая находить в ряде случаев асимптотику п -поперечников класса функций задаваемых ограничением на норму ЛДО.

0.2 Постановка задачи

В данной работе, пользуясь методами функционального анализа, определим обобщенный интерполяционный сплайн в линейном нормированном пространстве и исследуем следующие вопросы.

1) Найти условия, обеспечивающие существование и единственность ОИС (необходимые и достаточные, достаточные).

2) В терминах В -близости элемента х и его ОИС изучить аппроксимативные свойства ОИС на соответствующем классе.

3) Изучить устойчивость аппроксимативных свойств ОИС при замене оператора С порождающего ОИС "близким" в некотором смысле оператором С£.

4) Все предыдущие вопросы рассмотреть применительно к интерполяционным С -сплайнам, т.е. к случаю когда С есть линейный дифференциальный оператор с переменными коэффициентами.

5) На соответствующих классах сравнить погрешность приближения функций с помощью интерполяционных £-сплайнов с оптимальными методами приближения (т.е. с соответствующими поперечниками).

Рассмотрению сформулированных выше вопросов и посвящена данная работа.

0.3 Краткое содержание диссертации Сокращения.

ЛНП - линейное нормированное пространство. ЛДО - линейный дифференциальный оператор. ИС - интерполяционный L -сплайн.

ОИС - обобщенный интерполяционный сплайн = интерполяционный С -сплайн.

ПИС - полиномиальный интерполяционный сплайн. АС - класс абсолютно непрерывных функций.

В 1-ой главе изучаются ОИС, порожденные возмущенным оператором в ЛНП. Основные результаты этой главы - теоремы 1.1, 1.4 и 1.5.

§ 1.1. Условимся о некоторых обозначениях. Если А линейный оператор, то через D(A), R(A) и N(A) будем обозначать соответственно область определения, область значений и ядро оператора А. Запись А : X —» У будет означать, что оператор А переводит D(A) С X на 11(A) с У.

Пусть X и У некоторые "основные" линейные нормированные пространства, I/O линейный оператор Lq : X —> У, D(Lq) С X, R(Lq) = Y. Пусть подпространство X, J2 С (X\(D(Lq)\{0})). Распространим оператор Lq на полагая Lqz = О V х Е . Продолженный таким образом оператор обозначим через L, D(L) = Yh +D(Lq).

Определение 1. Ядро оператора L, N(L) будем называть подпространством L -сплайнов.

Пусть Xq подпространство из X, Хо D D(L) и F - некоторое подмножество линейных и линейно независимых функционалов на Xq.

Определение 2. Будем говорить, что L -сплайн а интерполирует элемент х Е Xq относительно множества F, если V/ Е F f(x) = f(a).

Пусть в пространстве X задан также линейный оператор До : X —> Y\ ^ У, действующий в некоторое линейное нормированное пространство Yi, непрерывно вложенное в У, причем, D(Aq) D D(Lq). Если Y, <£ D(Ao), то продолжим каким-либо образом Ao на Yl • Продолженный оператор обозначим через А : X —Yi, D(A) D D(L). Будем также считать, что определены операторы Cq = Lq -f aq : X —> Y, D(Cq) = D(Lq) и £ = l + a : x ^ У, D(C) = D(L).

Определение 3. Подпространство N(C) назовем подпространством обобщенных £-сплайнов.

Аналогично интерполяционным L -сплайнам определим обобщенные интерполяционные относительно множества F С -сплайны. Для одного и того же элемента х £ D{C) — D(L) интерполяционный сплайн будем обозначать буквой а, а ОИС s.

В данном параграфе и далее мы будем предполагать, что выполнено следующее условие: интерполяционные L -сплайны относительно множества F существуют и единственны

Ухе D(L). (0.1)

Пусть Di = {х £ D(L) : f(x) — 0 V f £ F}. Оператор обратный к сужению оператора L на D\ назовем оператором Сарда и обозначим через R.

Пусть х £ D(jC) и а есть ИС для элемента х. Определим операторы Т\ и Т2 следующим образом:

Tix = a-RAx, Ух £ D(£),

Т2У = Лег - АЯу, Vj/eYi.

Имеет место следующая

Теорема 1.1. Пусть выполнено условие (0.1). Тогда следующие условия эквивалентны: а) для элемента х £ D(C) существует единственный ОИС; б) оператор Т\ имеет и, притом, единственную неподвижную точку; в) оператор Т2 имеет и, притом, единственную неподвижную точку.

Определим класс W{Lq\Y\) = {х £ D(Lq) : Lqx £ Y"i,||Loa:j|i < 1},

ВДе II • Ik £ II • 111

Теорема 1.2. Пусть выполнено условие (0.1) и а) пространство Y\ банахово; б) supxeW{LM ||А(а; - a)111 = ЦАДИКУ, = 71 < 1

Тогда \/х £ D(C) существует единственный ОИС относительно множества F ( здесь как и ранее и есть И С для элемента х).

Пусть У2 ЛНП, ||Mb, Y2^Y и Кф<ду К с (Y2nR(£0)). Определим следующие классы:

Ж(Аь К) = {х£ D(jC0) : С0х G К},

W(CfK) = {х € D(C) : Схе К}, W(L0l К) = {a; G D(L0) : <Е К}.

Пусть 72 = supa-g^i^) ||А(ж-o-)||i (здесь а есть И С для х).

Рассмотрим задачу вычисления значений заданного линейного оператора на классе W(Co, К) и W(C, К) с помощью ОИС. Пусть В : X —> Z - линейный оператор, D(B) D D(£), где Z некоторое ЛНП,

II Л\г = ll-lk

Введем следующие величины:

01 = sup \В(х — сг)||4, xeW{L0,Yi)

32= sup \\В(х-а)\\4, xt,W{L0J<) Р(Со,К)= sup \\B(x-s)\\h sup \\B(x-s)\\4, хе(С,К) здесь <7 есть ИС для х, a s - ОИС для х.

Теорема 1.4. Пусть выполнены условия теоремы 1.2, причем 72> 02) Pi < со- Тогда имеет место неравенство: /3(£0, К) - 02 |=| К)-(32\< (31Ъ(1 ~ 71 Г1- (0-2)

Следствие. Рассмотрим последовательность И С стп, для которой выполнены условия теоремы 1.4 и такую, что правая часть (0.2) есть о(@2(п))- Тогда для соответствующей последовательности ОИС sn справедливо соотношение sup \\В(х — sn)||4 = sup \\В(х - sn)||4 = xeW(C,K) x£W(C0,K) (l + o(l)) sup \\B(x - an)\\A. xeW{L0,K)

Здесь fa(n) имеет тот же смысл, что и fa в теореме 1.4, но подчеркнута зависимость от п .

В § 1.2 рассмотрен вопрос об устойчивости аппроксимаций с помощью ОИС в случае, когда ядро возмущенного оператора известно приближенно. о

Пусть W (Со, К) - класс, полученный с помощью некоторой фактоо ризации класса W(Cq,K) по ядру N(C0), т.е. W(C0lK) =W (Со, К)® N{Co). Л£ : X —>• Yi - некоторый линейный оператор, D(Л£) D D(C), С£ = L + Ае : X Y, D(C£) = D{C).

Пусть Д£ = С — С£ ~ А — Л£. Предположим, что 3 е\ > 0,^2 > О такие, что sup ||Ае(ж - 0")||i < £\, sup ||Л£(ж - cr) |j 1 < £2xeWiLoK) xeW(L0,K)

Через s и se обозначим ОИС, построенные соответственно по оператоо рам С и С£ для элемента х EW (Со, К).

Теорема 1.5. Пусть имеет место (0.1) и выполнены следующие условия:

1) sup{||A£x||i : ж £W(C0,K) }<е;

2) Y\ - банахово пространство;

3) Ti + ^i < 1;

4) ft, 72, £2 < оо.

Тогда справедливы следующие утверждения : 1) ОИС s и s£ относительно множества F существуют и единственны для любого х Е W(C, К);

2) sup{||B(s-ee)||4: ®GW(A),A')}<A(e + e2 + e172(l-7i)"1)(l-71 -^l)"1

Пусть Xi ЛНП, X\ c—)■ X, содержащее ОИС и ИС, || • Ц^ = || • Неопределим следующие величины: а 1 = sup ||Ао-||ь

Н|5<1 а?2 = sup \\Ва\\4, IHIs<i где В : X —> Z - заданный линейный оператор, a L -сплайн. В случае, когда В есть оператор вложения в пространство Х\, величину (3\ обозначим через Р[. Положим = /3[qi(1 — 7i)1, £2 = — 7i)1

Теорема 1.7. Пусть sua соответственно ОИС и И С интерполирующие один и тот же элемент. Допустим, что выполнены условия теоремы 1.2, а также ai,o>2,(3'1:< оо и < 1- Тогда справедливы следующие неравенства:

1 + 7i)1||A(7||i < ||As||i < (1 - 7i)-1||A(j||i, ai(l + 7i)1(l + < sup IIAelliHsHs1 < «i(l - 7i)1(l - 6)"1,

1-ЫИ5<И|б<(1+6)1Н|5, a2(l - 6)(1 + 6)"1 < sup \\Ba\\4 • IHIs1 < a2(l + 6)(1 - 6)"1s^O

Следствие. Пусть задана последовательность ИС ап, удовлетворяющая условиям теоремы 1.7 и такая, что £1 = £i(n) —> 0,^2 = 0 пРи п 00• Тогда для соответствующей последовательности ОИС sn справедливы соотношения

IWIs = (1 + о(1))||(т||5, sup ||Ssn||4 • Iknlls"1 = (1 + 0(1)) sup \\Вап\и ■ Iknlls-1s^O с 7^0

Другими словами, точные константы в неравенствах типа Маркова для оператора В на подпространствах ОИС, асимптотически равны точным константам в неравенствах типа Маркова для оператора В на соответствующих подпространствах ИС.

2-я глава показывает содержательность общей схемы, изложенной в 1-ой главе, в случае, когда С есть ЛДО с переменными коэффициентами. В качестве множества интерполируемых функционалов берутся значения функции и, возможно, ее производные в узлах некоторой сетки. Основные результаты этой главы содержатся в теореме 2.1, предложении 2.2, теореме 2.4 и теореме 2.5.

§ 2.1. Пусть задан линейный дифференциальный оператор о = Lq -f Aq, r-l где Lq — Dr, A0 = aj £ 1], 0 < j < г - 1. Положим j=о

I = max {j : a At) ^ 0}. В периодическом случае будем считать, что

0<j<r—1 aj(t) 1-периодические функции.

Примем в качестве "основного" пространства пространство L[0,1]. В качестве области определения операторов Lq и Ао возьмем множества Lr[0,1] = : Dr~lx е'АС} и ^[0,1] = : Dl~lx 6 AC, Dlx Е Lq\0,1]}, где q-1 + д'*1 = 1, 1 < q < оо.

Пусть заданы два разбиения отрезка [0,1] Д„ : 0 = Ц<и< . <tn = l,

А'т: 0 < г0 < п < . < тт < 1,

Нп = max(ti - ti-i), hn = min (ti:-ii-1).

1 <i<n 1 <i<n

В качестве ^ будем рассматривать подпространство Ylt-in поли1 номиальных сплайнов степени г — 1 дефекта d (1 < d < г), соответствующее разбиению Дп.

Пусть Oij{t) — (t — ti)r+ 3, где 1 < г < n, j - некоторые целые числа из промежутка 0 < j < к{ (ki < г — 1), d — ma+ 1) и

1<г<п U

1,2,.

1, и > 0 , , и > О us+ = < , s

О, и < 0 [0, и < О

Подпространство полиномиальных сплайнов степени г — 1 дефекта с?, отвечающее разбиению Д„, есть, множество функций вида г—1 п—1 ki t) = = + i/=0 г=1 j=0 где gv и ciij - некоторые числа.

Распространим оператор = Dr на подпространство ]Г) . Для этого достаточно определить оператор дифференцирования на функциях <Tij(t). Будем считать (см. [17]), что DkOij(t) есть к-я производная в обычном смысле для всех t <Е [0,1] таких, что t ^ 0 < i < п (в точках t = 0 и t = 1 производные понимаются как односторонние). Для t = ti, 1 < i < п — 1 полагаем \ [Dk<nAU + °) + £>коф - 0)] , 0 <к<г.

Аналогичным образом построим расширение оператора Ло- В результате получаем оператор Л. Определим расширение оператора Со, полагая С — L + A, V(C) = V(L).

Полиномиальный сплайн, определяемый разбиением Ап и интерполирующий функцию x(t) в узлах сетки А'т, будем обозначать a(t,x).

Вопросам существования и единственности полиномиальных интер-' поляционных сплайнов посвящено большое число работ, отметим [2], [5], [10], [17], [23], [39], где приводятся достаточно общие условия, обеспечивающие существования и единственность ПИС. В дальнейшем мы всегда будем предполагать выполненным следующее естественное условие:

А) ПИС, определяемые сетками Дп, А'т существуют и единственны.

Пусть Wrv = : Dr~1x G AC, \\Drx\\p < l} , 1 < p < oo, e(t) = x(t) - a{t,x), en(r,j,p, p) = sup \\DJe{t)\\p,

Определение 4. Последовательность сеток Дп назовем нормальной, если найдутся не зависящие от п константы ci,c2 > 0 такие, что сумма длин частичных промежутков разбиения Дп, больших с\Нп, не меньше С2.

Последовательность сеток Дп называют квазиравномерной, если Нп/К = 0(1).

Всегда будем предполагать, что Нп —» 0 при п —> оо. Многие ПИС обладают следующим свойством еп(г,Ьр,р) = 0(Щ-*), (0.3) для р = 1 и р =. оо, 0 < j < к при некотором к (0 < к < г — 1). Обозначим jo = min(fc, г — d), где d - дефект сплайна, & то же, что и выше.

Теорема 2.1. Пусть для последовательности ПИС выполнено условие А и, кроме того, en(r, j,p,p) < оо при р — 1 и р = оо, 0 < j < к, где к - некоторое целое число из промежутка 0 < k < г — 1. Тогда en{r,j,p,p) = О оо, оо) • е|(г, j, 1, l)tfn (Н)+) , 0 < j < io - 1 < О оо,оо) , jo < J < к 1-1 i -Hfc-f1-1) \

0 ( en p(r, oo, oo) • en(r, 1, l)/in , fc + 1 < j < r - 1, для 1 < p, p < oo.

Следствие 2.1. Пусть для ПИС из теоремы 2.1 выполнено условие (0.3). Тогда en{r,j,p,p) = <

О Я,

О Hr-ih in \р р), о < j < JO - 1, Jo > 1 io <j<k, о , * +1 < j < г - l,

1 < p, /9 < oo.

§ 2.2. В этом параграфе изучаются аппроксимативные свойства ОИС. ОИС для функции x(t) по разбиению Ап с узлами интерполяции А'т, соответствующий ЛДО С будем обозначать s(t,x). В этом случае оператор Сарда есть линейный интегральный оператор i 0 где K(t,r) - ядро Пеапо в интегральном представлении погрешности сплайн-интерполяции, определяемой сетками Дп, А'т.

Теорема 2.2. Пусть выполнено условие А. Тогда следующие условия эквивалентны: а) для функции х (Е Т>{С) существует единственный ОИС s(t,x); '. б) уравнение (относительно функции x(t) J x(t) = cr(t,x) — RAx(t) имеет в V(C) единственное решение; в) уравнение (относительно функции y(t) ) y(t) = Aa(t,x) — ARy(t) имеет единственное решение в пространстве Lq\, 1 < q\ < q.

Теорема 2.3. Пусть выполнено условие А и для некоторого q\ : 1 < Ч\ < Ч справедлива оценка df sup ||A(x(t) - a(t,x))\\qi < 1. xew,

Тогда для любой функции х € Т>(С) существует и только один ОИС дефекта d, определяемый сетками Ап,А'т.

Пусть го - фиксированное целое число (0 < zq < г — 1). При 1 < q < р < оо введем следующие обозначения:

L4(r,io,P,p) + р"1 + < /Г1 pi(r,i0,p,p) + p"1 + > p < q

Vi{r,io, q,p) + pi(r,l,p, oo), q<p< oo, (го, P, p) + P, rf, P1 + < v vi(ifrp,p) + vi{l,p,q2), p1 + q1>p1,p<q vi(i0,q,p) + г^(/,р,оо), q<p< oo, Л = r - г0 - (p~! - /?-1) + , g2 = 0Г1 - g"1)"1.

Пусть последовательность сеток An (при 1 < q < p < oo ) удовлетворяет условию произвольное, если и — О

Hnhn о , если v < 0, р~г + q~l < р~\ 1 <p<q

ОН д— A + f если is < Q, p 1 + q 1 > p 1 < p < q или q < p < oo.

0.5)

Положим

Wp° = G D(£q) : НАЛ < 1}, Wf = {x(t) e V(C) : \\Cx\\p < 1}.

Теорема 2.4. Пусть для последовательности ПИ С, определяемой сетками Дп, Д^, выполнены условия А, (0.3) и (0.4). Пусть, кроме того, выполнено одно из следующих условий: 1) 1 < Р < Я < oo, 1 < р < оо;

2)1<^<Р<оо, р > р и последовательность сеток Дп удовлетворяет условию (0.5);

3) 1 < q < р < оо, 1 < р < р < оо и последовательность сеток Ап нормальная и удовлетворяет условию (0.5).

Тогда Vn > щ ОИС существуют, единственны и для соответствующих pup справедливы соотношения sup рУ(®(*)-в(*,а;))||р = xewf sup ||Di(a:(0-s(^a;))llp= (l + o{l))en(r,i,p,p) xGWp0 для всех i = 0,. ,io, причем в случае 1) можно взять «о = г — 1.

Ранее, подобный результат для ЛДО с переменными коэффициентами был получен (при i = 0) лишь для эрмитовой сплайн-интерполяции с гладкими коэффициентами ([31], [41]).

§ 2.3. В этом параграфе изучается устойчивость аппроксимаций с помощью ОИС, построенных по приближенному оператору. Этот вопрос важен в связи с практическим построением ОИС. Рассмотрим оператор С£ = Dr + Л£, I

A£ = Y,aJ£(t)D>, j= о где aj£ е Lq, 0 < j < I.

Будем предполагать, что выполняются следующие неравенства а^)-а3£{г)\\я<£, 0 <j<l, (0.6) где е > 0 - некоторое число. Определим класс

Wp={xeW^ : DJx (;-•.(}— О, 0 < j < г - 1} .

Через s£(t,x) обозначим ОИС, определяемый сетками Ап, А'т, построенный по оператору С£ и интерполирующий функцию x(t). На практике естественно брать в качестве функций кусочно постоянные функции.

Теорема 2.5. Пусть для последовательности ПИ С, определяемой сетками Ап, А'т выполнены условия А, (0.3) и (0.4). Пусть, кроме того, для оператора С£ выполнено условие (0.6). Тогда

1) Для любого е > 0, начиная с некоторого номера щ ОИС s(t,x) и se(t,x) существуют и единственны V х <Е Т)(С), причем, если е достаточно мало 0 < £ < £о> то номер щ можно выбрать независимо от £.

2) Для всех г = 0,., г — 1, 1 < р. р < оо справедливы соотношения равномерно по £ (т.е. константы в правой части не зависят от £ ) причем, если последовательность Ап квазиравномерная, то

3) При любом фиксированном £ > 0 для всех г = 0,., г — 1 и 1< р < оо р sup IIDl{s{t,x)-s£(t,x))\\p = sew/ o(Qn(r,i,p,p)), 1 <p<q, р< р< оо о(вп(г, г, q, р)), q < р < оо, q < р < оо. Причем, если последовательность ! Ап квазиравномерная, то sup \\Dl{s(t,x) - se(t,x))\\

О с0 x£Wv Р о К r-i-i + i р р < r-t-i + i

О Я, i 1 < Р < р < р < ОО q < р < оо, q < р < оо.

Теорема 2.6. В условиях теоремы 2.5 положим е = еп так, что О < £п < го- ГогЛг

1) .Если 1 < р < q < оо, 1 < р < оо и еп — о(1), то для всех г = 0,., г — 1 справедливо соотношение sup \\D\x(t)- s£n(t,x sup |\D\x(t) - s(t,x))\\p ~ en(r, i,p, p). c0

0.7)

G~*(r, i0,q, p)Hn " " J , последовательность сеток An удовлетворяет условию (0.5), то для всех г — 0,., го справедливо соотношение (0.7). Причем, если последовательность Ап квазиравномерная и еп — о ^Нп , то (0.7) имеет' место при всех г = 0,., г — 1.

3) Если l<g<p<oo, 1 < р < р, еп — о ^©~1(г,го,д,р)Яп ^ , последовательность сеток Дп нормальная и удовлетворяет условию (0.5), то для всех i = 0,., го выполняется (0.7). Причем, если последовательность Ап квазиравномерная и еп — о I Нп 4 р + ] , то (0.7) выполняется для всех г = 0,., г — 1.

4) Если 1 < р < р < оо, 1<р<<7, £>0 - произвольное фиксированное число, последовательность сеток Ап квазиравномерная, то для всех г = 0,., г — 1 справедливо соотношение (0.7).

3-я глава посвящена некоторым экстремальным задачам теории приближения, связанным с асимптотиками поперечников и задачей оптимального восстановления функции и ее г-ой производной и их связи с интерполяционными С -сплайнамй. Основные результаты этой главы содержатся в теореме 3.1.

§ 3.1 этой главы посвящен вычислению асимптотик колмогоровских и линейных поперечников классов функций, задаваемых ограничением на область значений Л ДО.

Пусть W - некоторое подмножество в пространстве Lq. А.Н.Колмогоров поставил задачу вычисления величины dn{W)q = inf sup inf ||ж - y\\q,

XnCLq X£W yexn где inf берется по всем подпространствам Xn размерности < п. Величину dn(W)q называют п -мерным поперечником по Колмогорову класса W. Если минимизировать линейное приближение £(W,An) множества W с помощью линейных операторов Ап, dim An(W) < п, то приходим к задаче вычисления линейного поперечника, введенного В.М.Тихомировым,

K{W)q == inf sup - АпхII.

An xeW

Определенные выше поперечники характеризуют соответственно наилучшие аппроксимативные свойства подпространств заданной размерности и наилучшие аппроксимативные свойства линейных методов приближения.

Пусть R+ - множество действительных чисел > 0. Da, а £ R+ -оператор дробного дифференцирования порядка а, в смысле Римана-Лиувилля для непериодических функций и в смысле Вейля для периодических функций.

Wp = {x(t) : \\Dax\\p < 1} , aeR+, 1 < p < oo, оператор Da понимается в смысле Римана-Лиувилля.

Щ = {Ф) ■ \\Dax\\р < 1}, a G R+, 1 < р < оо, функции x(t) 1-периодические.

Задаче вычисления поперечников dn и \п для классов W£ или посвящено большое число работ. В работах [13], [20] окончательно решен вопрос о порядках величин dn и Ап. Именно, установлено [15], что при ар > 1 dn(Wp)q~n-1, I ~ l(a,p,q), (0.8) где I = а при р > q или 2 < р < q < оо; / = а + | — ^ при 1<Р<2<д<оо; / = а + i - i при l<p<q<2.

В [20] доказано, что при ар > 1

Л „(^xn^fcita,?,}), (0.9) где I = а при 1 < q < р < оо; I = a + ^ — ^ при 1 < р < q < 2 или 2<р<д<оо, / см -f | — ^ при 1 < р < 2 < q < оо, |-f J > 1; I = a + \ ~ \ при 1 < р < 2 < q < оо, i -f J < 1.

Аналогичные соотношения справедливы и для классов W®.

В работах [21], [38], [40] вычислены асимптотики поперечников при некоторых ограничениях на коэффициенты ЛДО. В работе [38], в предположении, что коэффициенты оператора Со имеют определенную "гладкость" показано, что dniwf% ~ dn(w;)q, для 1 < р, q < оо, г = 1,2,.; и, следовательно, вычислены асимптотики колмогоровских поперечников классов Wp° в метрике Lq в тех случаях, когда известна асимптотика поперечников классов Wг в Lq.

В данном параграфе будем считать, что коэффициенты aj(t), 0 < j < г — 1 оператора Со суммируемы, т.е. a,j G L. В периодическом случае считаем, что коэффициенты aj(t) - 1-периодические функции и в этом случае оператор Cq будем обозначать через Со

Если смотреть на соотношение Cqx -- у как на уравнение, то естественно предполагать некоторую "гладкость" правой части, т.е. считать, что функция y(t) G Wp ( или Wp в периодическом случае).

Определим классы {x(t) : CQx e aeR+, 1 < p < oo. Qx- € Й™}, а e 1 < p < oo и функции l-периодические. DjW£°>a = {Djx : ж £ j , j = 0,1,. ,r -1, D°Wp0,a =

D)WCo,a = j^. j = 0,1,., Г - 1, фуНКЦИИ X(t) 1периодические D0!^0'" =

В следующей теореме тгп есть dn или An, а I = 1{г — i + ot,p,q) определяется из (0.8) для dn и из (0.9) для Лп (для класса Wp~i+a).

Теорема 3.1. Пусть а е R+, г - 1, 2,.; г = 0,1,., г - 1; 1 < PiQ < Справедливы следующие соотношения:

0 < lim n4n(ZWp£°'a)9 = lim п'тгп(И^+а-% < oo;

0 < Hm nlnn(DlW^'a)q = Ит ni7r„(Wrpr+e-<)? < oo.

Аналогичный результат справедлив и в периодическом случае для классов DlWp°>a, только при N(£q) ф {0} следует учесть условия разрешимости периодической краевой задачи Соx(t) = y(t).

Следствие 3.3. Пусть г = 1,2,.; i = 0,1,., г — 1. Тогда lim пг+а-*тгпт]¥£0>а)а = n-toо V г

Vr+a-i\\q, a = 0,1,2,.; /; = oo, 1 < q < oo, = < ll^+a-illp», a = 0,1,2,.:.;; 'g = I, 1 < oo, (0.10) (1/тг)г+а-4 aeR+, p = q = 2. Здесь (fr+a-i - стандартная фаваровская функция порядка г + а — i.

Приведем один точный результат о приближении функций и их производных периодическими полиномиальными интерполяционными сплайнами.

Теорема 3.2. Пусть г = 1,2,.; v = 2г — 1; <J2n,v{t,x) ~ пе риодический интерполяционный сплайн степени v по узлам ti = i(2n)~\ 0 < г < 2п - 1 для х € Wf, г < /3 < 2г, (3 е R+. Тогда sup ||DQz - DVs^lb = (2тгп)-(/?-о), 0 < а < г, а G R+.

Теорема 3.2 для целых а и (3 = г другим способом впервые получена в [24]. Из теоремы 3.2 получаем, что максимальная погрешность приближения производных равна величине соответствующего поперечника, т.е. восстанавливаем оптимальным образом не только саму функцию, но и все ее производные до г-го порядка включительно, располагая лишь информацией о функции в точках t{.

В § 3.2 рассмотрены случаи, когда интерполяционные £-сплайны осуществляют восстановление значений оператора D^ с погрешностью, равной величине (по порядку, асимптотически) соответствующего поперечника.

Пусть X и Z - некоторые ЛНП, W - некоторое непустое множество в X и В - линейный оператор, В : X —> Z, W С Т>(В). Пусть информация о элементе х 6 W задается вектором где Fn = (/i,., fn) - набор заданных на W функционалов (не обязательно линейных). Будем также считать, что задана некоторая система Zn= (zi,. ., zn) линейно независимых элементов из Z.

Под задачей восстановления значений оператора В на элементе х £ W по информации /(ж, Fn) об элементе х и заданной системе Zn понимают элемент x€Wf

I{x,Fn) = (f1{x),.Jn(x)) п

Погрешность восстановления элемента Вх, х € W в метрике пространства Z методом (Fn, Zn) определяется величиной en(B,x,Fn,Zn)z = ||Вх - z(B,x,Fn,Zn)\\z.

Погрешность восстановления значений линейного оператора В на классе W определяется величиной en(B, W, Fn, Zn)z = sup en(J5, x, Fn, Zn)z. xeW

Под задачей оптимального восстановления значений линейного оператора В на классе W будем понимать задачу о нахождении величины эеп(£, W)z = inf en(5, W, Fn, Zn)z.

Введем еще величину n(B,W)z= inf en{B,W,FlZn)z. где F^ - набор заданных линейных функционалов Д, 1 < к < п.

Как показано в [17] se'n(B,W)z = Xn(BW)z, а, кроме того, если BW есть сумма компакта и конечномерного подпространства, то n(B,W)z = dn(BW)z.

Таким образом, задача о поперечниках и задача об оптимальном восстановлении значений линейного оператора В на классе W оказываются тесно связанными. Причем, если В есть тождественный оператор Е, то они просто эквивалентны.

Применим изложенное, выше к случаю, когда X и Z - функциональные пространства Lp и Lq, a W есть класс функций При этом роль оператора В будет играть оператор дифференцирования D-i (0 < j < г — 1). В качестве метода кодирования берутся значения функции (и возможно ее производные) в узлах сетки А'т. Метод восстановления значений оператора В = D^ (0 < j < г — 1) с помощью интерполяционных £-сплайнов получается, если в качестве функций Zk(t) взять значения j-ой производной от фундаментальных сплайнов.

Теорема 3.3. Пусть последовательность сеток Дп - квазиравномерная и выполнены условия теоремы 2.4. Тогда

1) Метод восстановления значений оператора Di (0 < j < г — 1) '. с помощью интерполяционных С -сплайнов на классе Wp° в метрике Lp является оптимальным по порядку при р > р или 1 < р < р <,2 и не является оптимальным по порядку для остальных значений р и р{1<Р,Р<оо).

Причем, если соответствующие ПИС есть асимптотически оптимальный метод восстановления значений оператора Dна классе Wp в метрике Lp, то соответствующие интерполяционные С -сплайны определяют асимптотически оптимальный метод восстановления значений оператора Di на классе Wp° в той же метрике Lp в случае, если р = оо, 1 < р < оо, или 1 < р < оо, р — 1, или р = р = 2.

2) Метод восстановления значений оператора Dна классе W^0 в метрике Ьр с помощью интерполяционных С -сплайнов является оптимальным по порядку среди линейных методов восстановления при Р > Р, или 2 < р < р < оо и не является оптимальным по порядку среди линейных методов при остальных значениях pup.

Причем, если соответствующие ПИС есть асимптотически оптимальный метод восстановления значений оператора D3 на классе Wp в метрике Lp, то соответствующие интерполяционные С -сплайны определяют асимптотически оптимальный метод восстановления значений оператора DJ на классе Wp° в той же метрике Ьр в случае, если р = оо, 1 < р < оо, или 1 < р < оо, р — 1, или р = р = 2.

Аналогичное утверждение справедливо и в периодическом случае для

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление - М.: Наука, 1979. - 432 с.2j Алберг Дж., Нильеон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения М.: Мир, 1972. - 316 с.

2. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965. - 408 с.

3. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе.- М.: Мир, 1974.- 126 с.

4. Василенко В.А. Теория сплайн-функций.- Новосибирск: НГУ, 1978.- 65 с.

5. Габушин В.Н. Неравенства между производными в метриках Lp при 0 < р < оо // Изв. АН СССР. 1976,- Т.40, N 4,- С. 869-892.

6. Гребенников А.И., Морозов В.А. Об оптимальном приближении операторов // ЖВМ и МФ. 1977,- Т. 17, N 1.- С. 3-14.

7. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. М.: Изд-во Моск. ун-та. - 1983. - 208 с.

8. Женсыкбаев А.А. Приближение дифференцируемых периодических функций сплайнами по равномерному разбиению // Матем. заметки. 1973. - Т. 13, N 6,- С. 807-816.

9. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко B.JI. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. - 352 с.

10. Зигмунд А. Тригонометрические ряды М.: Мир, 1965. - 615 с.

11. Зматраков H.JI., Субботин Ю.Н. Кратные интерполяционные сплайны степени 2к + 1 дефекта к '// Тр. МИАН СССР. 1983. -Т. 164. - с. 75-99.

12. Кашин Б.Со Порядки поперечников некоторых классов гладких функций // Изв. АН СССР. 1977,- Т.41,- С. 334-351.

13. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения.-М.: Наука, 1976. 320 с. ,

14. Корнейчук Н.П. О наилучшем приближении на отрезке классов функций с ограниченной г-ой производной конечномерными подпространствами // Укр. матем, журнал.- 1979. Т.31, N 1. - С. 2331.

15. Корнейчук Н.П., Лигун А.А., Доронин В.Г. Аппроксимация с ограничениями. Киев: Наукова думка. - 1982,- 252 с.

16. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближений. М.: Наука, 1984. - 352 с.

17. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967. - 500 с.

18. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация.- М.: Мир, 1975.496 с.

19. Майоров В.Е. О линейных поперечниках соболевских классов и цепочках экстремальных подпространств // Мат. сб.- 1980.- Т.ИЗ, N 9.- С. 437-463.

20. Насырова X. Асимптотика п -поперечников некоторых компактов в пространстве 1/2 0,1] // Матем. заметки. 1976. - Т.20, N 3-С. 331-340.

21. Новиков С.И. О некоторых задачах интерполирования С-сплайнами // Analysis Math. 1992. - V.18 - P. 73-86.

22. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. - 248 с.

23. Субботин Ю.Н. Экстремальные задачи теории приближения функций при неполной информации //Тр. МИ АН СССР. 1980.- Т.145. С. 152-168.

24. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз.- 1960. - 624 с.

25. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах // Успехи матем. наук. 1960. - T.15.-N 3. - С. 81-120.

26. Тихомиров В.М. Наилучшие методы приближения и интерполирования функций в пространстве С— 1,1] // Мат. сб. 1969. - Т.80.-С. 290-304.

27. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений.- М.: Изд-во МГУ 1976. - 304 с.

28. Шадрин А.Ю. О приближении функций интерполяционными сплайнами, заданными на неравномерных сетках // Мат. сб. 1990.- Т.181- N 9. С. 1236-1255.

29. Шевалдин В.Т. £-сплайны и поперечники // Матем. заметки. -1983. Т.ЗЗ, N 5,- С. 735-744.

30. Шумейко А.А. Интерполирование функций эрмитовыми L-сплайнами //В кн. Исслед. по соврем, проблемам суммиров. и при-ближ. функций и их приложениям. ДГУ. 1979. - С. 126-131.

31. Якубович В. А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972. - 720 с.

32. Ancelone P.M., Laurent P.J. A general method for the construction of interpolating or smothing spline-functions // Numer. Math. 1968. - V.12. - P. 66-82.

33. Attia M. Generalisation de la definition et des proprietes des "spline function". Compt. Rend., 1965,- V.260.- P. 3550-3553.

34. Bezhaev A.Y., Vasilenko V.A. Variational spline theory // Bulletin of the Novosibirsk computing center. Series: Numerical Analysis, special issue. Novosibirsk. 1993.- N 3.- 258 p.

35. Haussmann W. Zur Theorie der Spline-Systeme // Habilitations-Schrift, Ruhr-Universitat, Bochum.- 1970.

36. Haussmann W„, Munch H.J. On the construction of multivariate spline systems // Proceedings of the Congress on Approximation Theory Austin, Texas.- 1973.

37. Makovoz Y. On n -widths of certain functional classes defined by linear differential operators,// Proc. Amer. Math. SOC. 1983.- N 1. - P. 109112.

38. Melkman A.A. Hermite-Birkhoff Interpolation by splines // J.Approx.Th. 1977,- V.19, N 3,- P. 259-279.

39. Micchelli C.A., Pinkus A. The exact asymptotic value for the N -width of smooth functions in L°° // In: Approxim.Theory. V.2, N.Y. etc.: Acad. Press. - P. 469-474.

40. Novikov S.I. Lp-Approximation by Piecewise Hermitian L -splines // EAST J.Approx. 1995,- V. 1, N 2,- P. 143-156.

41. Schoenberg I.J. Contributions to the approximation of equidistant data by analytic functions, Parts А,В // Quart, Appl. Math. 1946. -V.4.- P. 45-99, 112-141.

42. Schoenberg I.J. On trigonometric spline interpolation // J. Math. -1964. V.13- P. 795-825.

43. Schumaker L.L. Spline Functions, Basic Theory. N.-Y. 1981.

44. Сазанов А. А. Верхние грани уклонений интерполяционных сплайнов на некоторых классах функций //В кн.: Методы сплайн-функций. Вычислительные системы. - Новосибирск. - 1979.-Вып.81,- С. 31 41.

45. Сазанов А.А. Асимптотика поперечников классов функций, определяемых дифференциальным оператором //В сб.: Приближение функций полиномами и сплайнами. Свердловск. УНЦ АН СССР. -1985,- С. 127-139.

46. Сазанов А.А. Аппроксимативные свойства интерполяционных сплайнов, порожденных возмущенным оператором // Труды ИММ УрО РАН. 1996.- Т.4.- С 171-183.

47. Сазанов А. А. Аппроксимативные свойства интерполяционных С -сплайнов // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тез. конф. Саратов. 1997.- С. 142.

48. Сазанов А.А. Аппроксимативные свойства интерполяционных £ -сплайнов, построенных по приближенному оператору // Алгоритмический анализ некорректных задач. Тез. докл. конф. Екатеринбург. 1998.- С. 222-223!