Хорошо обусловленные методы построения сплайнов высоких степеней и сходимость процессов интерполяции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

РЫЧКОВА Марина Викторовна

ДИНАМИКА РИСКА АДДИКТИВНОГО ПОВЕДЕНИЯ В ПОДРОСТКОВОМ ВОЗРАСТЕ

19.00.13 — Психология развития, акмеология

ф4'

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата психологических наук

Красноярск- 2006

Работа выполнена на кафедре психологии развития ГОУ ВПО «Красноярский государственный университет»

Научный руководитель:

доктор психологических наук, профессор ХАСАН Борис Иосифович

Официальные оппоненты:

доктор медицинских наук, профессор КОВАЛЕВСКИЙ Валерий Анатольевич

кандидат психологических наук, доцент ЯДРЫШНИКОВА Татьяна Леонидовна

Ведущая организация

ГОУ ВПО «Красноярский государственный педагогический университет им. В.П.Астафьева»

Защита состоится 7 декабря 2006 г. в 16 часов на заседании регионального диссертационного совета КМ 212.253.02 по присуждению ученой степени кандидата психологических наук при ГОУ ВПО «Сибирский государственный технологический университет» по адресу: 660049, г.Красноярск, ул. Ленина, д. 71, в зале заседания диссертационного совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Сибирский государственный технологический университет» по адресу 660049, г.Красноярск, пр.Мира, д.82.

Автореферат разослан 7 ноября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Андриенко А.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. В настоящее время проблема адциктивного поведения является одной из самих насущных, по данным официальной статистики правоохранительных органов и органов здравоохранения, она носит негативно прогрессирующий характер. Усугубляется проблема тем, что такое поведение относится к варианту тайного, и до определенного момента окружающие могут ничего не знать о потенциальных пристрастиях и формировании адциктивного поведения подростка. На наш взгляд, необходимо особое внимааие уделить именно этому периоду, вмешательство в который еще может предотвратить развитие зависимости.

Специалистами в данной области, наркологами, социальными работниками, педагогами, психологами первостепенное значение придается программам профилактики, которые ориентированы на развитие личности, не подверженной зависимостям, а значит, обладающей сформированной ценностью свободы - самостоятельной, ответственной и инициативной.

Осознанное, правомерное и эффективное включение профилактических мероприятий в процесс образования и воспитания возможно только с учетом специфического содержания подростковых проб, от которого зависит динамика риска адциктивного поведения.

Решение обозначенной проблемы связано с необходимостью построения образовательного пространства, которое адекватно задачам возраста, ориентированного на развитие личностного ресурса ребенка, а значит, защищающего от аддиктивных проб. В этой связи актуализируется психологическая проблема выявления факторов, оказывающих влияние на динамику риска адциктивного поведения в подростковом возрасте.

Исследование проблемы «притягивает» пристальное внимание ученых различных направлений - психологов, педагогов, социологов, наркологов, что свидетельствует о высокой степени ее актуальности. Значительный вклад в исследование закономерностей формирования зависимого поведения подростка в целом (в частности, наркозависимости) внесли отечественные (С.А. Беличева, С.В Березин, H.JI. Бочкарева, A.B. Гоголева, Т.А. Донских, E.JI. Григоренко, Е.В. Змановская, М.С. Иванов, Ц.П. Короленко, Т.В. Корнилова, H.A. Круглова, Л.Г. Леонова, С.Р. Петросян, С.Д. Смирнова, H.A. Сирота, В.М. Ялтонский) и зарубежные (А. Бродски, С. Пил, Э. Фромм, Д. Холмс, Э. Эриксон и др.) ученые.

Исследования подросткового возраста личности психологами и педагогами последних десятилетий (Л.И. Божович, Р.Г. Гуровой, Я.Л. Коломинского, Н.С. Лейтеса, А.Н. Лутошкина, Т.Н. Мальковской,

A.B. Мудрика, A.B. Петровского, И.С. Полонского, Л.И. Рувинского,

B.А. Сухомлинского, Л.И. Уманского, П.М. Якобсона, М.М. Ященко) посвящены проблемам формирования мировоззрения, навыков коллективной

жизни, социальной активности, эмоций. Работы, связанные с изучением формирования наркозависимости, сводятся к описанию симптомов заболевания, индивидуальных и социальных последствий употребления наркотиков, стратегий совладания, навыков противостояния аддиктогенному влиянию, описанию возможных профилактических программ (Я.П. Гирич, A.B. Голева, А. Данилина, И. Данилина, Е. Иванова, Е.В. Змановская, Г.П. Казакова, Ц.П. Короленко, Т.А. Донских, H.A. Круглова, Л.Г. Леонова, Н.Л. Бочкарева и др.).

Однако, на наш взгляд, не получил достаточного изучения период подросткового экпериментирования с адциктивными пробами, которые разворачиваются по логике нормального возрастного развития, и имеют свою специфическую динамику, отличную от характеристики зависимых форм поведения. Поэтому возникает необходимость исследования факторов риска, которые позволят обнаружить первые пробы и формирование аддиктивного поведения до момента, когда оно становится заметно окружающим, выявить степени риска и их динамику.

Актуальность и значимость рассматриваемой проблемы обусловлена противоречиями между:

- требованиями современного общества к организации безопасной, с точки зрения рисков развития образовательной среды, и реальной тенденцией к увеличению аддиктизации подростков;

- необходимостью организации профилактических мероприятий, с учетом специфики аддиктивных проб в подростковом возрасте в рамках нормы и отсутствием возможности мониторинга динамики риска аддиктивного поведения на протяжении исследуемого периода.

Актуальность и практическая значимость проблемы, ее недостаточная теоретическая и методологическая разработанность обусловили выбор темы исследования: «Динамика риска аддиктивного поведения в подростковом возрасте».

Цель исследования: определить динамику степеней риска аддиктивного поведения в подростковом возрасте.

Объектом исследования является поведение подростков в возрасте от 13 до 16 лет.

Предмет исследования: динамика риска аддиктивного поведения у подростков 13-16 лет, учащихся восьмых-одиннадцатых классов.

В основу исследования легла следующая основная гипотеза:

Учитывая и систематизируя факторы риска аддиктивного поведения подростка, можно определить степени риска аддиктивного поведения и их динамику в исследуемом возрастном периоде на примере наркотической аддикции.

В качестве частных гипотез были приняты следующие:

1. Определяющими степень риска аддиктивного поведения в подростковом возрасте являются следующие факторы риска: «субъективные

представления подростков о возможности осуществить пробы в рамках асоциального и просоциального пространства», «интерес к объекту аддикции» и «модальность социальных установок», которые измеримы.

2. Измерение выделенных факторов в рамках устойчивых подростковых групп (классов, параллелей) позволяет исследовать динамику риска аддиктивного поведения.

Цель исследования и выдвинутая гипотеза обусловили необходимость решения следующих задач:

1. Провести теоретико-методологический анализ проблемы формирования аддиктивного поведения в подростковом возрасте.

2. Разработать классификацию степеней риска формирования аддиктивного поведения.

3. Выделить факторы, позволяющие определить степень риска аддиктивного поведения у подростков 13-16 лет.

4. Разработать инструмент для мониторинга риска аддиктивного поведения в фиксированных подростковых группах.

5. Провести анализ изменений степеней риска аддиктивного поведения с учетом специфики половых различий на протяжении исследуемого периода.

Методы исследования: фокусированное групповое интервью; опросник «Риск аддиктивного поведения подростков»; метод «Анализ статистически значимых различий».

Экспериментальная база. В исследование включено 625 подростков в возрасте от 13 до 16 лет (мальчиков - 289; девочек - 336), учащиеся восьмых -одиннадцатых классов школ г. Красноярска.

Этапы исследования. Исследование проводилось с 2002 по 2006 гг. в три этапа.

На первом этапе (2002-2003 гг.) проводился анализ литературы по исследуемой проблеме с целью получения информации о формировании аддиктивного поведения в подростковом возрасте; формулировалась проблема исследования, обосновывались его цель, задачи, рабочая гипотеза; разрабатывалась теоретико-методологическая основа исследования.

На втором этапе (2004-2005 гг.) был разработана классификация степеней риска формирования аддиктивного поведения, выделены факторы, позволяющие определить степени риска аддиктивного поведения подростков 13-16 лет, адаптирован к современной ситуации поставленным задачам опросник для исследования риска аддиктивного поведения подростков.

На третьем этапе (2005-2006 гг.) было проведено эмпирическое исследование динамики степеней риска, обобщены, систематизированы и проанализированы полученные результаты исследования, сформулированы выводы, оформлен текст диссертации.

Достоверность и надежность полученных результатов обусловлена адекватностью используемых методов поставленным целям и задачам

исследования, учетом статистически значимых различий между изучаемыми параметрами.

Практическая значимость. Предложенная нами классификация степеней риска формирования аддикции подростков 13-16 лет (восьмые-одиннадцатые классы) и опросник для исследования их динамики в указанном возрасте вошли в городскую и краевую программу профилактики аддиктивного поведения, а также в совместный проект Института психологии и педагогики развития (г. Красноярск) и Британского совета (г. Дадли, Англия) по профилактике аддиктивного поведения.

Материалы исследования могут быть использованы специалистами в области педагогики, психологии, наркологии, а также служить базой для проведения дальнейших психолого-педагогических исследований в сфере образования, направленных на проектирование безопасного образовательного пространства.

Научная новизна исследования заключается в том, что разработана новая классификация степеней риска формирования аддиктивного поведения в подростковом возрасте (13-16 лет), усовершенствован опросник «Риск аддиктивного поведения подростков» (РАПП), а также показана специфика динамики степеней риска с учетом специфики половых различий.

Теоретическая новизна. Впервые проблема подросткового аддиктивного экспериментирования рассмотрена с точки зрения психологии развития и возрастной психологии.

Апробация и внедрение. Результаты диссертационного исследования обсуждались на ежегодных Всероссийских научно-практических конференциях «Педагогика развития» (Красноярск, 2002-2005 гг.), на отчетной конференции Британского совета по профилактике наркозависимости в подростковом возрасте (Красноярск, 2005), на большом социальном форуме (Красноярск, 2006), на научных семинарах Института психологии и педагогики СО РАО (Красноярск), заседаниях кафедры психологии развития психолого-педагогического факультета Красноярского государственного университета.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Степени риска аддиктивного поведения в подростковом возрасте располагаются в следующем порядке по степени близости к зависимости:

- «нулевая» - отсутствие риска формирования аддиктивного поведения;

- «первая степень» - наличие потенциальных факторов риска;

- «вторая степень» - наличие единичных аддиктивных проб;

- «третья степень риска» - формирование непосредственно аддиктивного поведения.

2. В качестве факторов, позволяющих определить степень риска аддиктивного поведения у подростков 13-16 лет (восьмые - одиннадцатые классы), выделены следующие:

«субъективные представления подростков о возможности

осуществить пробы в рамках асоциального и просоциального

пространства»;

- «интерес к объекту аддикции»;

- «модальность социальных установок».

1. В результате сравнительного анализа динамики риска аддиктивного поведения в условиях школы, с учетом половых различий выявлено, что для женской группы характерно начало наркотических проб в возрасте 15 лет (десятый класс) и достижение к школьному финишу максимальной степени риска. Для мужской группы характерно более раннее начало наркотических проб 14 лет (девятый класс), достижение максимальной степени риска к возрасту 14-15 лет (девятый, десятый класс) и понижение риска к окончанию школы.

Структура диссертационной работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитированной литературы, приложения. Текст диссертации иллюстрирован таблицами и графиками.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение отражает актуальность темы диссертационного исследования, гипотезу, цель и предмет исследования. В соответствии с целью и гипотезой исследования сформулированы задачи и методы, применяющиеся в исследовании. Обосновывается научная новизна, теоретическое и практическое значение исследования, сформулированы положения, выносимые на защиту диссертации. Указана структура диссертации.

Первая глава «Аддиктивное поведение в подростковом возрасте». В главе сделан обзор зарубежных и отечественных исследований по изучению различных форм аддиктивного поведения подростков, преимущественно наркотической аддикции. Обращено внимание на работы в области изучения подростковых проб. С точки зрения психологии развития рассмотрено возможное содержание обозначенных проб и его значение для развития подростка или формирования аддиктивного поведения.

В первом параграфе «Психологическое содержание подросткового возраста рассматриваются психологические особенности содержания указанного периода, определяющие его как наиболее рискованный для формирования аддиктивного поведения. В качестве оснований приводятся результаты зарубежных и отечественных исследований, посвященных проблеме возраста (С. Холл, М. Кле, Э. Эриксон, Л.С. Выготский, Л.И. Божович, Д.И. Фельдштейн, Б.Д. Эльконин, Т.В. Драгунова, К.Н. Поливанова, Г.А. Цукерман).

Замечается, вслед за исследователями, существующая на данный момент терминологическая и теоретическая неточность в определении границ и содержания возраста, что обусловлено его «молодостью». Подростковый возраст описывается как возраст, который не нашел еще своего разрешения, «амплификации», подобно более древним возрастам (Л.И. Божович, Д.Б. Эльконин, Л.С Выготский, К.Н. Поливанова).

Отсутствие на сегодняшний день институционализированных пространств адекватных решению задач подросткового возраста (К.Н. Поливанова) само по себе можно считать основанием для «превращения» психологических особенностей, сопровождающих развитие подростка в существенный фактор риска формирования аддиктивного поведения.

К числу наиболее значимых, в интересующем нас аспекте, были отнесены такие переживания подростка, как депривация потребности в самопроявлении, осуществляющаяся внешними и внутренними запретами (Л.И. Божович), и неудовлетворенность основных потребностей, которые скрываются за требованием относиться к нему как к взрослому (Д.Б. Эльконин).

Несмотря на некоторые разногласия, появившиеся у отечественных психологов при определении психологического содержания подросткового возраста, отмечается, что главным в этот период является построение себя, открытие себя, «проектирование своей личности в будущее, с попытками реализовать намеченные цели и задачи».

Во втором параграфе ««Проба» как условие развития личности в подростковом возрасте» раскрывается то значение, которое придают современные отечественные психологи подростковой пробе. Поскольку подросток претерпевает значительные изменения, которые касаются всего: тела, характера, мышления, идеалов, норм и так далее, он теряет четкое ощущение того - «кто он?». Поэтому фактически все поведение ребенка в этот период, все его действия имеют смысл обнаружения себя, своих возможностей, своего соответствия. Подросток все время испытывает себя и все время пытается пробовать. Причем ориентация подростка на пробу своих возможностей происходит и в интеллектуальной, и в социальной, и в межличностной, и в личностных сферах (Д.Б. Эльконин, Д.И. Фельдштейн, Г.А. Цукерман и др.).

Отмечается такая важная черта подросткового возраста, как придание всякому действию, в особенности пробе, знакового значения. И именно «означивание» поведения приводит к его проявлению и обнаружению. В означивании происходят проба действия, его обнаружение, «разглядывание» (К.Н. Поливанова).

Далее в параграфе приводится анализ содержания пробующего действия и «материала» на котором проба осуществляется для формирования направленности интересов подростка (Л.С. Выготский,

Б.Д. Эльконин, К.Н. Поливанова). Так, в качестве существенных выделяются два типа проб: осуществляемые на материале и в рамках социально значимой, одобряемой взрослым (имеется в виду не «натуральный» взрослый, а взрослый, как осуществляющий посредническое действие (Б.Д. Эльконин)) деятельности к осуществляемые на материале асоциальной деятельности. Первые организую управляемое развитие личности подростка, иными словами взросление, те есть формирование способности к самостоятельному, ответственному и инициативному действию. Вторые приводят к канализации энергии развития в деструктивное русло и могут служить началом формирования зависимого поведения при условии реализации механизма сдвига мотива на цель (А.Н. Леонтьев).

В третьем параграфе «Условия формирования адцикта» на основании проведенного анализа работ, посвященных проблеме формирования аддиктивного поведения (И.Н. Пятницкая, Д.А. Леонтьев, Д.И. Фельдштейн, Б.Д. Эльконин, К.Н. Поливанова, А.Н. Леонтьев), дается описание соотношения содержания аддиктивных проб и формирование аддиктивного поведения. В качестве одного условия или предпосылки формирования аддиктивного поведения выделено наличие «предрасположенностей», выраженных в особенностях субъективных представлений подростка о возможных пространствах, для реализации присущей возрасту потребности в самочувствии и апробации взрослости.

Следующим условием обозначена «встреча» с объектом аддикции и условия ее переживания. Проба может быть спровоцирована нормальным подростковым любопытством и не приводить к дальнейшей аддиктизации, но может быть спровоцирована и мотивом понижения сопровождающей проживание возраста напряженности и приводить к формированию потребности повторять такие пробы в дальнейшем.

В параграфе описывается значение направленности референтной группы и формирование во взаимодействии с ней установок подростка по отношению к социальным нормам. Установки формируются и выражаются в действиях и поступках (Д.И. Фельдштейн). Поскольку пробы в исследуемом возрасте осуществляются, как правило, совместно со сверстниками, то именно они будут определять возможность дальнейшей социализации подростка. Способствующими нормальной социализации подростка считаются совместно с группой реализующей социально значимые установки в деятельности. Аддиктивные же пробы реализуются, как правило, с группой, установки которой носят асоциальный характер, как и их деятельность в целом (И.Н. Пятницкая). Продолжающиеся аддиктивные пробы, в такого рода компании, приводят к трансформации установок подростка в сторону асоциальных, выражающихся в отрицании значимости мнения окружающих сверстников, важности формирования одобряемых черт характера, в нежелании участвовать в общественной жизни школы, класса.

Во второй главе «Риск аддиктивного поведения в подростковом возрасте» раскрывается понятие аддиктивногЬ поведения, в отличие от зависимого, дается конструктивное определение понятия независимого поведения как «свободы для», анализируется риск аддиктивного поведения и проводится его классификация по степени' «близости» к формированию зависимости. На основании проведенного в первой главе теоретического анализа работ, посвященных исследуемой проблеме, выделены факторы риска позволяющие определить степень риска формирования аддиктивного поведения в подростковом возрасте. Описаны результаты фокусированных групповых интервью, с помощью которых была исследована представленность выделенных факторов в опыте подростков, что позволило внести изменения и дополнения в опросник для исследования риска аддиктивного поведения подростков.

В первом параграфе «Степени риска формирования аддиктивного поведения в подростковом возрасте» предложена классификация периода подросткового экспериментирования с аддиктивными пробами до начала формирования зависимого поведения, на примере наркотической аддикции. Нами было выделено четыре основных степени риска:

- «нулевая» - отсутствие риска формирования аддиктивного поведения;

- «первая степень» - наличие потенциальных факторов риска;

- «вторая степень» - наличие единичных аддиктивных проб;

- «третья степень риска» - формирование непосредственно аддиктивного поведения.

Поскольку наличие пробы само по себе, безусловно, повышает степень риска формирования аддиктивного поведения, но не является условием, обязательно приводящим к зависимости, возможны переходы от одной степени риска к другой, как в сторону повышения риска, так и в сторону его понижения.

Понимание возможности таких «переходов» обусловило необходимость изучения факторов или их сочетания, которое позволило бы нам не только определять степень риска подростка на момент проведения исследования, но и прогнозировать ее изменения.

Второй параграф «Факторы, позволяющие прогнозировать изменение степени риска аддиктивного поведения». За основу нами был взят опросник «Риск аддиктивного поведения», разработанный на кафедре психологии развития Красноярского государственного университета под руководством Б.И. Хасана.

С учетом проведенного в первой главе теоретического анализа в качестве факторов, позволяющих определить степень риска и прогнозировать возможное понижение или повышение степени риска, нами были определены следующие:

1) «Субъективные представления подростка о возможных пространствах осуществления «проб»» - подросток может субъективно

воспринимать как «пригодное» дл* реализации проб пространство социально значимой, одобряемой и приемлемой деятельности или таковым он воспринимает только (или в том числе) пространство асоциальной деятельности, связанное с нарушением норм и правил, не принимаемое обществом.

В подростковом возрасте интерес к пробам сопровождается такой атрибутивной характеристикой, как субъективное переживание риска. В этом смысле для подростка более привлекательным оказывается то пространство, которое оказывается более провокационным, буквально, вызывающим желание -попробовать. И если подросток, активно реализующий себя в рамках образовательного пространства и социально приемлемой деятельности, проявляет интерес к пространству противоположной модальности, мы можем говорить об «избыточности» ресурса ребенка или о «дефицитарности» (Е.Ю. Федоренко) по отношению к нему образовательного пространства. Однако в таком случае всегда остается высокой степень вероятности возврата к более низкой степени риска, за счет имеющегося «культурного» опыта, даже при условии осуществленной наркотической пробы.

В случае, когда подросток проявляет интерес только к асоциальным видам деятельности, полностью исключая из поля проб образовательное пространство, или не проявляет интереса ни к чему, мы можем говорить о возможных пробах по типу «избегания» избыточного напряжения, вызываемого необходимостью принимать участие в социально значимой деятельности. Наличие данного фактора рассматривается нами как основание, с высокой степенью вероятности предположить потенциальную готовность к пробе наркотика и увеличение степени риска в случае ее осуществления.

То есть включенность подростка в социально значимую деятельность, реализация проб в рамках образовательного пространства выступают как защитный от аддиктивных проб (или их повторения) фактор, отсутствие интереса к реализации себя в рамках указанной деятельности выступает как фактор, увеличивающий степень риска формирования аддикции.

Проведенное фокусированное групповое интервью позволило набрать утверждения для опросника, сформулированные «на языке» подростка, и сформулировать первую шкалу опросника для диагностики риска аддиктивного поведения в подростковом возрасте.

2) «Интерес к объекту аддикции». В исследованиях методом фокусированного группового интервью мы получили данные, свидетельствующие о том, что в подростковом возрасте существует только одна форма проявления интереса к наркотикам - это проба. Удалось также выделить субъективные различия в отношениях к пробе, наркотикам и людям их употребляющим, у подростков, осуществивших пробы наркотика, и тех, кто ни разу не пробовал наркотические препараты.

Данный фактор оказался диагностически значимым для определения факта осуществленной пробы (вторая степень риска). Было выяснено, что подростки, осуществившие пробу наркотика, повышают свою осведомленность о наркотических препаратах, способах их употребления, возможности приобретения. Наркотики начинают рассматриваться ими не как объективное «зло», а подразделяются на «опасные» или «неопасные». По субъективным ощущениям их пробы не опасны, следовательно, меняется отношение к наркотическим препаратам.

3) «Модальность социальных установок». Пробующее действие подростка, содержащее в себе и замысел и реализацию, как ведущая форма деятельности, суть которой заключается в построении подростком самого себя, возможно только в контексте, когда сама деятельность этого построения лежит в рамках социально значимой деятельности. В таком случае для подростка становится важно, какое впечатление он производит на окружающих, какой у него характер, каковы его оценки и т.п. При развитии пробующего действия в рамках асоциальных проб подросток разрешает конфликт между социально ориентированными установками и асоциальными в сторону референтной группы, то есть, как правило, начинает отрицать значимость и важность перечисленных моментов. Фактически при условии высокого риска по двум предыдущим факторам это будет означать, что подросток переступил границу пробующего поведения в сторону дальнейшей аддиктизации и теперь уже реализует аддиктивное поведение.

В случае же адекватной значимости социального одобрения можно говорить о наличии защитного фактора относительно риска аддикции.

В результате проведенных исследований факторы были представлены в опроснике «Риск аддиктивного поведения подростков» в виде одноименных шкал:

- «субъективные представления подростка о возможных пространствах проб»;

- «интерес к наркотикам»;

- «социальные установки».

Определенные нами факторы позволили расширить выделенные уровни риска, обозначив возможные переходы по степеням риска.

В третьей главе «Динамика степеней риска формирования аддиктивного поведения подростков с учетом половых различий» описан диагностический инструмент «Риск аддиктивного поведения подростков» с учетом внесенных в него изменений. Представлены результаты исследования динамики степеней риска в возрасте 13-16 лет. В первом параграфе «Метод исследования риска аддиктивного поведения в подростковом возрасте» описан метод исследования риска аддиктивного поведения подростков: опросник «РАПП», приведены метод и примеры обработки данных опросника, обозначены показатели для перевода баллов в значения.

Интерпретация возможного сочетания значений- показателей по шкалам, представлена таблице, по данным которой видно, что, к примеру, «высокое» значение показателей «интереса к наркотикам» свидетельствует об осуществленной наркотической пробе. В сочетании с отсутствием в субъективных представлениях подростка возможности для реализации проб в рамках образовательного пространства и социально значимой деятельности («высокое» значение набранных баллов по шкале просоциального риска) мы можем прогнозировать переход к более высокой степени риска -«формированию аддиктивного поведения». И наоборот, при условии «высокого» значения набранных баллов по шкале «интерес к наркотикам» и «низкого» значения показателей по шкале «просоциального риска» мы предполагаем понижение степени риска формирования аддиктивного поведения у подростка.

Максимальная степень риска определяете» сочетанием «высокого» интереса к наркотикам и «высокого» значения баллов по шкале «социальные установки» (что свидетельствует об их смещении в сторону асоциальной референтной группы). Возможность понижения степени риска определяется по участию в социально значимой деятельности в рамках образовательного пространства («низкие», «средние» баллы). Риск дальнейшего повышения степени риска прогнозируется при условии исключения из опыта и субъективных представлений образовательного пространства как пространства возможных проб, реализации себя.

Во втором параграфе «Анализ динамики степеней риска аддиктивного поведения с учетом половых различий» описываются результаты проведенного исследования и анализа статистически значимых различий, полученных при сопоставлении распределений признака в исследуемом возрасте. Полученные данные представлены в виде графиков, отражающих динамику каждой из выделенных степеней риска у подростков 13-16 лет, где по оси Оу отражены проценты, указывающие на процентный состав представленной степени риска от всей выборки подростков исследуемых возрастов. Ось Ох отражает возраст исследуемых подростков с восьмого по одиннадцатый класс. Мы видим, из приведенного рис.1, что динамика процентного состава группы «не рискующих» с восьмого по одиннадцатый классы среди мальчиков и девочек различна. К одиннадцатому классу показатели «нулевой степени риска» у мальчиков и девочек достоверно различаются (р<0,01). Процент девочек «нулевой» степени риска стабильно снижается на протяжении всего исследуемого периода. Если в восьмых классах данная группа девочек-подростков включает в себя больше половины всех учениц восьмых классов (58%), то к одиннадцатому классы их число снижается до 45%.

Таблица

Интерпретация сочетаний значений показателей по шкалам опросиига РАПП

Степень риска/ значение показателей по шкалам «Нулевая» отсутствие риска формирования аддиктивного поведения «Первая степень» - наличие потенциальных факторов риска «Вторая степень» - наличие единичных адциктивных проб «Третья степень риска» -формирование аддиктивного поведения.

переходная к «нулевой» (потенциальный риск) переходная ко «второй» (актуальный риск) переходная к «первой» переходная к «третьей» переходная ко второй переходная К нарко- завксимости

«Субъективные представления о возможных пространствах реализации проб»: просоциальное пространство Н,С В Н,С,В Н,С В Н,С В

асоциальное пространство н,с н,с В н,с,в Н,С,В

«Интерес к наркотикам» Н.С н,с в В

«Социальные установки» н,е н,с,в н,с В

Примечание: Н-низкое значение набранных по шкале баллов, С- среднее, В - высокое.

Рис.1. Динамика «нулевой» степени риска аддиктивного поведения у подростков 13-16 лет (с восьмого по одиннадцатый класс)

Динамика данной степени риска среди мальчиков имеет другой, по сравнению с девочками, вид. Начиная с девятого класса процент мальчиков подростков постоянно увеличивается от класса к классу и к одиннадцатому классу составляет 69% от общего числа мальчиков параллели, что на 14% больше, чем в восьмых классах и на 23% больше чем в девятых (р=0,05).

Таким образом, в одиннадцатых классах процент мальчиков подростков с «нулевой» степенью риска формирования аддиктивного поведения значимо выше, чем к концу средней школы (р<0,01) и так же значимо превышает процент девочек с такой же степенью риска в данном возрасте (р<0,01).

Динамику «нулевой» степени риска у девочек мы можем назвать стабильно отрицательной, так как процент случаев с «нулевой» степенью у девочек снижается стабильно от 13 к 16 годам (от восьмого к одиннадцатому классу). Динамику «нулевой» степени риска среди мальчиков мы можем назвать отрицательной в средней школе (от восьмого к девятому классу процент подростков снижается) и положительной для старшего школьного возраста (процент случаев с «нулевой» степенью риска значимо повышается).

Далее описан анализ изменений процентного состава «первой» степени риска среди мальчиков и девочек в исследуем периоде на рис.2.

Общий вид графиков, отражающих динамику «первой, переходной к нулевой» степени риска, среди мальчиков и девочек отличен. В данном случае стабильно отрицательной выглядит динамика распространенности

35% 30%

25% 20% 15% 10%

I

0%

8 класс Экгасс 10 класс 11 класс

Рис. 2. Динамика «первой, переходной к нулевой, или «потенциальной»» - степени риска аддиктивного поведения у подростков 13-16 лет (с восьмого по одиннадцатый класс)

данной степени среди мальчиков, процент подростков стабильно снижается от восьмого (3 2%) к одиннадцатому классу (17%).

Такие данные свидетельствуют о том, что потенциально рискующих мальчиков - подростков, избегающих участия в социально значимой деятельности и реализации подростковых проб в рамках образовательного пространства, с возрастом становится меньше.

Динамика данной степени риска среди девочек, напротив носит положительный характер. Выражена тенденция к увеличению состава группы избегающих участия в социально значимой деятельности и реализации подростковых проб в рамках образовательного пространства с девятого (21%) к одиннадцатому классу (27%). Тем не менее статистически значимых различий в динамике «потенциального риска» среди мальчиков и девочек нет.

Данные по динамике «актуального» риска представлены на рис. 3.

Несмотря на то, что статистический анализ различий не дал нам оснований определить значимые различия в динамике степени «актуального» риска между подростками разного пола, на графиках можно видеть определенные тенденции. Среди мальчиков, процент подростков «актуально рискующих» относительно аддикции, в восьмых и девятых классах составляющий 4%, к десятому классу понижается до 2% и остается таким же до рубежа старшей школы.

Рис. 3. Динамика «первой, переходной ко второй или «актуальной»» степени риска аддиктиеного поведения у подростков 13-16 лет (с восьмого по одиннадцатый класс)

Среди девочек процент степени «актуального» риска формирования аддиктивного поведения составляет 8% в восьмых классах (самый высокий за весь исследуемый период), затем понижаете* к девятому классу на 3% и остается на уровне 5% и в десятом классе. К одиннадцатому классу наблюдается увеличение состава группы подростков в степени «актуального» риска аддикции до 7%. Таким образом, как и степень «потенциального» риска, степень «актуального» риска формирования аддиктивного поведения у мальчиков-подростков имеет тенденцию к отрицательной динамике, то есть в целом, с возрастом, мальчиков-подростков, рискующих осуществить пробу наркотика или реализовывать аддиктивное поведение, становится меньше.

У девочек-подростков в целом мы наблюдаем обратную картину, с возрастом процент потенциально готовых осуществить пробу наркотика или реализовывать аддиктивное поведение растет.

Данные по динамике распределений «второй степени риска с потенциалом возврата к первой» у подростков 13-16 лет (с восьмого по одиннадцатый класс) с учетом пола представлены на рис. 4.

Динамика единичных адциктивных проб с потенциалом понижения степени риска среди мальчиков и девочек имеет различную форму. Статистический анализ полученных данных показывает, что пик интереса к наркотическим пробам наряду с пробами просоциального характера у мальчиков приходится на 9-е классы (14-15 лет) и составляет 11%, что на 8% больше чем в восьмых классах (3%) (р<0,05). К десятым классам процент подростков, проявляющих интерес к такого рода пробам, снижается до 9% и к одиннадцатым вновь возрастает до 12%.

—♦—девочки —•— магьники

Рис. 4. Динамика «второй, переходной к первой» степени риска аддиктивного поведения у подростков 13-16 лет (с восьмого по одиннадцатый класс)

У девочек, интересующихся или принимающих активное участие в социально значимой деятельности в рамках образовательного пространства, значимое повышение процента проявляющих интерес к наркотическим пробам происходит к десятому классу (17%), что на 13% больше, чем в восьмых классах(4%), (р<0,01).

Достоверно различаются и распределения данной степени риска в возрасте среди мальчиков и девочек, приходящиеся на девятые и десятые классы (р<0,05). Когда мальчики проявляют интерес к пробам наркотика, девочек это еще не интересует, зато когда мальчиков такие пробы перестают интересовать, у девочек к ним просыпается повышенный интерес. Замечу, что речь идет о тех подростках, которые активно принимают участие в том числе в просоциальной деятельности.

Таким образом, динамика «второй степени риска с потенциалом перехода к первой» обусловлена значимым повышением интереса к наркотическим пробам у мальчиков-подростков к девятому, а у девочек-подростков к десятому классу.

Перейдем к рассмотрению динамики «второй степени риска, переходной к третьей», то есть единичных аддиктивных проб с потенциалом формирования аддиктивного поведения в подростковом возрасте, которая представлена на рис. 5.

Приведенные выше графики, наглядно демонстрируют различия в динамике указанной степени риска, среди мальчиков и девочек с восьмого по одиннадцатый классы. В распределении мальчиков не обнаружено статистически значимых различий: в восьмых и девятых классах процент подростков, осуществивших пробу с риском формирования аддиктивного поведения, составляет 3%, в десятых — 5%, в одиннадцатых равен 0%. Однако, в общем, мы можем отметить отрицательную динамику данной степени риска к одиннадцатому классу.

9% т-

8%

8%

7% ■ 6% ■ 5% -| 4% -; 3% ■ ; 2% -| 1% ■ I 0% -

—мальчики

девочки

8 класс

9 класс

10 класс

11 класс

Рис. 5. Динамика «второй, переходной к третьей» степени риска аддиктивного поведения у подростков 13-16 лет (с восьмого по одиннадцатый класс)

Достоверно отличается динамика данной степени риска у девочек. В восьмых классах процент девочек-подростков, реализующих аддиктивные пробы с риском перехода к аддиктивному поведению, составляет 0%, к девятому классу их процент увеличивается незначительно и составляет 2%, к десятому классу вновь спускается на нулевой уровень, к одиннадцатому классу значительно возрастает и принимает значение 8% (р=0,01).

Статистический анализ различий в динамике между мальчиками и девочками показывает их достоверность для десятых и одиннадцатых классов. В десятых классах процент мальчиков статически достоверно выше, чем процент девочек осуществивших пробу наркотика с потенциалом формирования аддиктивного поведения (р<0,05), в одиннадцатых классах ситуация «оборачивается» и процент девочек данной степени риска статистически значимо превышает процент мальчиков (р<0,05).

Таким образом, на основании проведенного анализа мы сделали вывод о том, что пик наркотических проб как эффекта избегания (реализации защитного механизма в ответ на избыточные требования образовательного пространства) приходится на одиннадцатые классы для девочек подростков. Это подтверждает наш прогноз, сделанный на основании изучения динамики «первой» степени риска аддиктивного поведения среди девочек.

Визуально, сравнивая графики (рис.6), мы фиксируем разницу в динамике данной степени риска среди мальчиков и девочек. Статистически значимых различий в динамике между ними не обнаружено. Тем не менее мы отмечаем, что среди мальчиков-подростков в десятых, одиннадцатых классах процент подростков, реализующих аддиктивное поведение равен, 0%, тогда как среди девочек таких подростков 3% в одиннадцатых классах.

6%

5%

4% -

3%

деасмки

3% - - 3% » - '

—магьчики

2% •

1%

0%

8 класс

9 класс

10 класс

11 класс

Рис. 6. Динамика «третьей, переходной ко второй» степени риска аддиктивного поведения у подростков 13-16 лет (с восьмого по одиннадцатый класс)

Кроме того, статистический анализ данных позволяет говорить о том, что к девятому классу происходит значимое увеличение процента девочек-подростков, принадлежащих к данной степени риска, в девятых классах оно составляет 5% от общего числа девочек параллели девятых классов. На основании приведенных данных мы можем предположить, что к девятому классу девочки, референтной группой которых является асоциальная, наряду с просоциальными пробами или интересом к ним, совершают и аддиктивные пробы. К десятому классу это приводит к тому, что данные подростки либо покидают школу, либо меняют социальные установки в сторону просоциальных, т.к. возможность поступить в старшую школу напрямую связана с личной заинтересованностью в социальной успешности. То есть выстроенный таким специальным образом переход из средней в старшую школу оказывает значимый профилактический эффект.

Полученные данные в изменении распределения «максимальной» степени риска формирования аддиктивного поведения показаны на рис.7.

Динамика третьей степени риска, как мы видим на графиках, представлена различными изменениями данной степени риска среди подростков разного пола. Для девочек значимых различий в проценте случаев, составляющих данную степень, нет на всем протяжении возраста с восьмого по одиннадцатый классы. Однако, тип динамики обнаруживает свое сходство с динамикой «третьей» степени риска (переходной ко второй) с тенденцией нивелирования данной группы к десятому классу и ее незначительным (но все же увеличением) к одиннадцатому классу.

Динамика данной степени риска среди мальчиков достигает статистически значимого различия как по отношению к ситуации восьмого класса (р<0,05), так и по отношению к показателям процентного состава данной степени риска среди девочек десятого класса (р<0,05).

Рис. 7. Динамика «третьей, переходной к наркозависимости» степени риска аддиктивного поведения у подростков 13-16 лет (с восьмого по одиннадцатый класс)

Таким образом, мы делаем вывод о том, что для мальчиков наиболее рискованный период, с точки зрения формирования наркозависимости, - десятый класс. Именно в этом возрасте своего максимума достигает «третья, переходная к наркозависимости» степень риска.

Для девочек наиболее рискованным, с точки зрения формирования наркоманической аддикции, оказывается одиннадцатый класс, именно в данном возрасте (16-17 лет), процент девочек-подростков со второй и третьей степенью риска достигает своего максимального значения и составляет 10% от общего числа, что значимо больше, чем процент мальчиков с данными степенями риска (0%), (р<0,05).

Представленный в данной главе анализ полученных эмпирических данных подтверждает выдвинутую автором в начале исследования гипотезу и значительно расширяет представления современной психологии развития и возрастной психологии о периоде подросткового экспериментирования с аддиктивными пробами до начала формирования зависимости. Анализ позволил выделить степени риска аддиктивного поведения и проследить их динамику на протяжении исследуемого периода развития подростка.

В заключении в обобщенном виде представлены выводы, сформулированы основные результаты работы. Констатируется, что результаты проведенного исследования подтверждают выдвинутую гипотезу и дают положительное решение всех задач исследования.

В результате исследования получены новые сведения, которые в определенной мере восполняют недостающие в возрастной психологии и

психологии развития представления об устройстве периода подросткового экспериментирования с аддиктивными пробами до формирования зависимости.

В диссертационной работе на основании проведенного теоретико-методологического анализа исследований формирования аддиктивного поведения в подростковом возрасте обоснована актуальность и выявлены теоретические и методологические предпосылки исследования динамики аддиктивного поведения в подростковом возрасте.

Классифицированы степени риска формирования аддиктивного поведения в подростковом возрасте, выделены факторы, позволяющие определить степень риска аддиктивного поведения и прогнозировать их динамику у подростков 13-16 лет (восьмой - одиннадцатый классы):

Проведен анализ динамики степеней риска аддиктивного поведения на протяжении исследуемого периода с учетом специфики половых различий, который показал, что в целом динамика степеней риска имеет гетерохронные характеристики и полоспецифична. В самом общем виде анализ динамики степеней риска свидетельствует о том, что девочки начинают пробы наркотика позже, чем мальчики, и к концу школьного возраста достигают максимально рискованного, с точки зрения динамики аддикции, периода. Мальчики начинают осуществлять пробы раньше девочек, к концу школьного возраста среди них практически нет подростков с неблагоприятным прогнозом формирования аддиктивного поведения.

Диссертация не исчерпывает весь круг проблем, связанных с формированием аддиктивного поведения в подростковом возрасте, и открывает объективное поле дальнейших исследований по проектированию образовательного пространства как профилактирующего аддиктивное поведение среди подростков с учетом полученных в исследовании данных.

Основные положения диссертационной работы изложены автором в следующих публикациях:

1. Рычкова, М.В. Верификация шкал опросника для диагностики степени риска наркозависимости в подростковом возрасте методом фокус-групп [Текст] / М.В. Рычкова, В.В. Шпакова // Психолого-педагогическая наука и образование: гуманитарные технологии: сб. материалов краевой науч. конф. студентов и молодых ученых. Красноярский государственный университет, Красноярск, 2004. - С. 45-50 (0,5 п.л., 50% личного участия).

2. Рычкова, М.В. Возможность диагностики пробы наркотиков в подростковом возрасте на материале фокус-групп [Текст] / М.В. Рычкова, И.А. Кухаренко // Психолого-педагогическая наука и образование: гуманитарные технологии: сб. материалов краевой науч. конф. студентов и молодых ученых. Красноярский государственный университет, Красноярск, 2004. - С. 63-64 (0,1 п.л., 50% личного участия).

3. Рычкова, М.В. Методика исследования динамики риска аддиктивного поведения в подростковом возрасте (на примере наркозависимости) [Текст] ! М.В. Рычкова, И.А. Кухаренко, Б.И. Хасан // Психологическая диагностика. - 2005. - №3. - С. 17-44. (1,1 п.л., 40% личного участия).

4. Рычкова, М.В. Метод оценки образовательной среды с точки зрения рисков развития (на примере наркотической аддикции) [Текст] / М.В. Рычкова, И.А. Кухаренко // Педагогика развитияхоциальная ситуация развития и образовательные среды: сб. материалов конференции / РИО Красноярского государственного университета. - Красноярск, 2006. - С. 124129 (0,4 п.л., 50% личного участия).

5. Рычкова, М.В. Динамика риска аддиктивного поведения в подростковом возрасте [Текст] / М.В. Рычкова // Вестник Красноярского государственного университета. - Красноярск, 2006. - С. 135-137 (0,3 п.л.) (Издание, рецензируемое ВАК России).

6. Методика «Риск аддиктивного поведения» в подростковом возрасте (на примере наркозависимости): методическое пособие / М.В. Рычкова, Б.И. Хасан, И.А. Кухаренко; под ред. Б.И. Хасана. — Красноярск: Институт психологии и педагогики развития, 2006. - 26 с. (1,1 п.л., 40% личного участия).

Сдано в производство 03.11.06 Формат 60x84 1/16, Усл. печ. л. 1,5. Изд. №112. Заказ №1017. Тираж 120 экз.

Печатный центр «КПД» 660075, г. Красноярск, ул. Красной Гвардии, 21-507 Тел. (3912) 58-68-58, е-таЛ: kpd@ktk.ru

Введение.

Глава 1. Ленточные системы уравнений

1.1. Определения и обозначения.

1.2. Оценивание max-нормы обратной матрицы.

1 3. Оценки элементов обратных ленточных матриц.

1.4. Условия нео1рицательности решения чрёхдиагональной сипе-мы уравнений при наличии диа1 онального преобладания по столбцам

1.5. Условия неотрицательности решения системы уравнений с симметрической циркулянтной матрицей.

Глава 2. Системы определяющих уравнений для построения интерполяционных сплайнов

2 1. Б-сплайны и их свойства.

2 2 Линейные соотношения, связывающие значения сплайна и коэффициенты В-снлайн-разложения ею производных

2 3. Системы определяющих уравнений. Периодический случай

2.4. Системы определяющих уравнений. Полный сплайн.

2 5. Соотношения линейной зависимости между разрывами старшей производной и значениями сплайна.

2 0 Вычисление элементов и свойства Maipini, определяющих сппем уравнений

Глава 3 Устойчивые меюды построения сплайнов малых сiспелей

3 1 Кубические сплайны

3 2 Си тайны пяюи степени

Глава 4. Оценки погрешности приближения производных интерполяционных сплайнов и их сходимость

4.1. Оценка ес использованием разложения по /^-нормализованным Б-сплайнам.

4.2. Оценка е^ с использованием разложения s^ но L[-нормализованным Б-сплайнам.

4.3. Оценка погрешности приближения старшей производной

4.4. Решение проблемы де Бора.

4.5. Эквивалентное! ь условий сходимосi и процессов ин1ерполяции для производных степени к н2п — к —

Глава 5. Условия изогеометрической интерполяции

5.1. Монотонность кубических сплайнов.

5.2. Положительность интерполяционных сплайнов.

5.3. Условия fc-монотонности кардинальной интерполяции.

Глава 6. Об шперполяции енлайнами чётной степени

6.1. Задача интерполяции сплайнами четной степени.

6.2. Системы определяющих уравнений

6.3. Оценки погрешностей приближения производных.

6.4. Интерполяция сплайнами четвёртой степени.

Рассмотрим задачу интерполяции некоторой функции / по значениям {/,}, известным в некоторых точках отрезка [а, Ь]. Ещё совсем недавно стандартным решением такой задачи выступали интерполяционные многочлены Лагранжа, но теперь наиболее распространённым решением являются полиномиальные сплайны, т. е. кусочно-многочленные функции. Сплайнами принято считать функции, являющиеся на подотрезках отрезка [а, Ь] многочленами обычно одной и чой же пепени, называемой степенью сплайна. Точки сопряжения разных многочленов, составляющих сплайн, называют узлами сплайна. Естественно, сплайны одной и той же степени могут различаться гладкостью или дефектом (разностью между степенью и гладкостью).

Кусочно-многочленные функции появились в теории приближений в разных видах очень давно, в современном виде аппроксимация сплайнами появилась в статье И. Шёнберга [164], но началом бурного развития сплайнов, внедрением в вычислительную математику, пожалуй, можно считать 1957 год, открытие Дж. Холлидеем [135] свойства минимума кривизны.

Теорема 0.1 (Дж. Холлидей). Среди всех функций /, имеющих на отрезке [а, 6] непрерывную вторую производную, и таких, что f(xt) = /,, i = 0,., N, т.е. принимающих заданные значения, кубический сплайн s с узлами в точках х,, для которого s"(a) = s"(b) = 0, минимизирует интеграл

Раньше инженеры и чорхёжники в практической работе для проведения плавных кривых черг i пмоющисч я точки чн< то использовали i ибкую рейку н иол\чали превосходные результаты, чет не вшда можно бы ю добпгыя in по п> я шперио шито чпоюч тепами и ш лекала Ока илплеи я hsoiiivь

1) it хая рейка в первом приближении представляет кубический сплайн с узлами в точках изгиба, вторая производного которою есть аналог кривизны. Открытое Дж. Холлидеем свойство послужило объяснением прекрасного профиля и вогнутой рейки.

Если в (1) вместо второй производной использовать производную порядка п, ь f/(,°(®) (2) то функцией, минимизирующей интеграл в классе W'2'[a,b], снова будет кусочно-многочленная функция, а именно сплайн s степени 2п — 1 класса С2"~2[а,Ь] (дефекта 1) опять с узлами в точках интерполяции (см. [179], [96], [102]). Такое свойство сплайна степени 2п - 1 называют свойством минимальной нормы [1].

Сплайн s, минимизирующий (2), принято называть «натуральным», он характеризуется тем, что на концах отрезка [a, b] его старшие производные обращаются в 0, а именно

0, и — п,. ,2п — 2. (3)

Можно при минимизации потребовать чтобы вместе с интерполяцией функции / в узлах сетки осуществлялась ещё интерполяция производных, вновь решением будет сплайн, но, вообще говоря, уже большего дефекта. Также классическим, но более распространённым в приложениях по сравнению с натуральным сплайном, является сплайн ь, который помимо функции интерполирует лишь по п — 1 производных на концах отрезка [«,/;]: ГН'О, *И(Ь) = /И(Ь), * = 1, • • •, П - 1. (I)

Такои сплайн называется «полным», дефект у нею также минимален (дефекта 1) Именно сплайны минимальною дефекы преде твлнюг наибольший интерес

Одно из направлений развития и обобщения теории сплайнов, называемое вариационной или абстрактной теорией сплайнов, связано с определением сплайнов, как решений некоторых вариационных задач о минимуме функционала (см. [8], [51], [66], [68], [81], [82], [99], [129]).

Сплайны естественным образом возникают и во многих других задачах теории приближения, например, оптимальное восстановление операторов, оптимальные квадратуры, поперечники классов функций (см. [38], [63], [64], [90], [167]).

Но всё-таки, как пишет Н.П.Корнейчук в своей монографии [63], "вторжение сплайнов в теорию приближения произошло через задачи интерполирования функций". Преимущества енлайнов перед другими аппаратами приближения обнаружилось именно в задачах интерполяции. Н. П. Корнейчук указывает два аспекта, в которых эти преимущества проявились наиболее убедительно:

1) Интерполяционные сплайны в ряде важных случаев обеспечивают минимально возможную (при фиксированной размерности) погрешность приближения на классе функций. Интерполяционные многочлены не обеспечивают даже наилучшего порядка.

2) Сплайны - аппарат более удобный, чем многочлены с вычислительной или — скажем шире — с практической точки зрения. Если говорить о сплайнах минимального дефекта по фиксированному разбиению, обладающих наилучшими аппроксимативными свойствами, то практические удобства связаны с наличием в нодпространсгве таких сплайнов базиса из Б-сплайнов с конечным носителем. Именно эго обстоя юльство обусловливает локальную гибкоеп> интерполяционного сплайна, выражающуюся, в частности, — в отличие от ншериоляционно1 о многочлена — в малой чув-с1вигельности к по1решностя\! в исходных данных, небольшое изменение значении функции водно!"! или нескольких соседних iочках интерполяции ма ю сказывается па поведение шперпо шцноиною сп мина на некоюром удалении от этих точек. С этим же связан и тот факт, что интерполяционный сплайн, хорошо приближая функцию, одновременно хорошо приближает и её производную" [63].

Хогя далее Н П.Корнейчук указывает, что и при вычислении интерполяционного сплайна, "приходится сталкиваться со значительно меньшими трудностями, чем при вычислении многочлена", однако для сплайнов высоких степеней на произвольных неравномерных сетках сколько-нибудь полного исследования о вычислительной устойчивости имеющихся методов построения ишерполяционных сплайнов ног.

Конечно же, в настоящее время сплайны полномасштабно внедрились в вычислительную математику, и, пожалуй, не осталось ни одного раздела вычислительной математики, связанного с аппроксимацией функций, где сплайны не нашли бы применения. Но всё-таки, на наш взгляд, по-прежнему большинство задач связано с интерполяцией функций.

Основным объектом данной диссертации являются интерполяционные сплайны. Именно классические интерполяционные полиномиальные сплайны нечётной степени минимального дефекта, у которых узлы совпадают с Iочками интерполяции. (Мы затронем и интерполяционные сплайны четной степени, но они но своим свойствам существенно отличаются от сплайнов нечётной степени). Нас в первую очередь интересуют два основных вопроса: методы построения интерполяционных сплайнов и изучение сходимости процессов интерполяции для всех производных.

Пусть сетка Д является разбиением отрезка [а, Ь]:

Д : а = Х|) < х\ < . <х\ =Ь

Символом 3, (Д) или S, будем обозначать множество всех полиномиальных сплайнов на oiрезке [а,/>] порядка г (или степени г - 1) минимальною дефекта с у иами на сетке Д, т е (Д) =С, = {(Т€С -JM : (т\ ; .А-1}, где через Р, обозначено множество всех многочленов степени г — I. Считаем, что в узлах сетки А заданы значения /, некоторой функции /: h = f{x,), г = 0,., iV.

Мы рассматриваем задачу построения сплайна s € §2и(Д), интерполирующего заданные значения. Для однозначного определения сплайна нечётной степени 2п — 1 при п ^ 2 необходимы дополнительные условия. Обычно дополнительные условия задают на краях отрезка \а,Ь].

Можно, конечно, не задавать никаких условий, а в качестве единственного сплайна брать натуральный сплайн, который минимизирует интеграл (2). Такой сплайн удовлетворяет условиям (3), которые называют «естественными» краевыми условиями. Однако вопреки своему названию натуральный сплайн, т.е. сплайн с естественными краевыми условиями, не очень естественен для приложений и мало пригоден для практического применения. Это связано с тем, что естественные краевые условия, как правило, не согласуются с решаемой задачей. Если производные интерполируемой функции порядка I = тг,., 2п — 2 далеки от нуля на концах отрезка [a, b], то качество приближения натуральным сплайном вблизи концов будет плохим. Но правильный выбор краевых условий, как правило, даёт замечательные результаты.

На практике существует много рецептов какие краевые условия следует использовать в зависимости от известной дополнительной информации о функции /. Наилучшие результаты достшаются при использовании на концах 01 резка [а,/>] значений младших тг — 1 производных, если они швест-ны. Как уже ошечалось, это будет полный сплайн, т е ишерполяциоинып сплайн с краевыми условиями (4)

Распространен еще один тип краевых условий — псриодиче(кие. Они используются в том случае, если ингерпо шруемая функция / явшоия (/; — <г)-иерш>дпчс( коп Тогда шперпо шпионныи сп iann ь (чиыом юле b - а)-исриодичсским.

Нас будет интересовать решение задачи интериоляции полными сплайнами или периодическими.

Практическое построение сплайна заключается в определении каких-либо параметров (коэффициентов) сплайна, участвующих в его представлении. Простейшими сплайнами являются ломаные (п = 1), при их вычислении и исследовании сходимости процессов интерполяции не возникает никаких трудностей. Но уже кубические сплайны (п = 2) и выше являются нелокальными, и для нахождения определяющих параметров необходимо решать систему уравнений, вытекающую из интерполяционных условий. Конкретный вид системы и её свойства определяются набором параметров, используемых для представления сплайна или, говоря другими словами, базисом в конечномерном пространстве полиномиальных сплайнов.

Наиболее понятный и очевидный метод построения интерполяционного сплайна в базисе из степенных и усеченных степенных функций приводит к системе уравнений с сильно заполненной матрицей. К тому же эта матрица оказывается очень плохо обусловленной даже в случае равномерной ceiKH. Поэтому nociроение интерполяционного сплайна в базисе из усеченных степенных функций оказалось не приемлемым с практической точки зрения.

Гораздо более удачным оказалось представление сплайна через узловые значения какой-либо из его производных. Получаемые системы уравнений имеют ленточную структуру. А для кубического сплайна системы относительно наклонов сплайна (первых производных) в узлах и моментов (вторых производных), являясь трехдпагональнымп, имеют кроме того еще диагональное преобладание Указанные свойства систем }равнений позволяют использовать очень эффективный и падежный метод решения метод пршонки (см [1|, [5], [б], [12|, |81|, [82], |87|)

Привлекателен выбор в качестве оиреде ииощнч параметров пилина коэффициентов его разложения но базису из нормализованных Я-сплайнов. В-сплайны имеют конечный носитель, и существует устойчивый мегод вычисления этих базисных функций произвольной степени, основанный на рекуррентном соотношении Хотя Б-сплайновая коллока-ционная матрица является вполне неотрицательной ленточной матрицей, и при решении системы уравнений с этой матрицей методом Гаусса отпадает необходимость осуществлять выбор главного элемента для проведения исключения [119], тем не менее этот метод построения имеет ограниченное применение. Его можно с уверенностью использовать только на сетках, близких к равномерным, или специальной структуры, в противном случае обусловленность системы уравнений данного метода может стать сколь угодно плохой [42]. (Под величиной обусловленности мы понимаем произведение равномерных или таж-норм матрицы и её обратной). Заметим, что величина обусловленности не всегда полностью характеризует матрицу в таком вопросе как решение системы линейных уравнений, но относительно малое её значение является гарантией хорошей точности численного решения системы [2]. Конечно, в отдельных случаях система уравнений может устойчиво решаться и при плохой обусловленности, но в данном случае в [108] показано, что при интерполяции кубическим сплайном данных вида /г = 8i,k (фундаментальный сплайн) на сильно неравномерных сетках при значительном удалении от узла сетки ха. возможен neoi раиичениый рост осцилляций сплайна и, следовательно, Б-сплайн-коэффициентов и элементов обратной матрицы. Здесь плохая обусловленность и накопление ошибок округления при решении системы тесно взаимосвязаны.

Если для кубических сплайнов вопрос выбора параметров представления уже достаточно хорошо проработан, выделены устойчивые, хорошо обусловленные методы построения, то для сплайнов более высокой степени нет такой полной определенное ш Казалось бы надо выбрать параметрами представления си тина шачения к у 5.i<i\ ссчки одной in пропшолныч снлайна, но получение соответствующих систем уравнений является довольно непростой задачей. В литературе известна только одна такая система — относительно моментов (относительно (2п — 2)-й производной, если степень сплайна равна 2п — 1), полученная Дж. Албергом, Э.Нильсоном и Дж.Уолшем [1]. Но уже для сплайнов пятой степени и выше матрица этой системы не только не имеет диагонального преобладания в общем случае, но и может быть сколь угодно плохо обусловленной при существенно неравномерном размещении исходных данных [10]. Система относительно моментов не получила распространения в силу её громоздкости и плохой обусловленности. Пожалуй единственный способ нахождения сплайнов произвольной степени, который получил распространение, это метод вычисления сплайнов через разложение по В-силайнам. Достоинство этого метода связано с вычислительной простотой определения элементов системы уравнений, основанной на устойчивом рекуррентном соотношении для В-сплайнов.

Однако метод вычисления интерполяционного сплайна через В-сплай-ны нельзя считать лучшим из возможных. Например, в кубическом случае предпоч!тельной альтернативой выступают алгоритмы вычисления сплайна через наклоны или моменты, обусловленность матриц которых на любой неравномерной сетке не превосходит 3. Несмотря на то, что для сплайнов произвольной степени В-сплайновая коллокационпая матрица является ленточной и вполне неотрицательной, для неё, как и в кубическом случае, обусловленность может быть сколь угодно плохой [18].

Можно упомянуть ещё про некоторые способы решения задачи интерполяции для сплайнов произвольной степени [98], [84], однако какой-либо анализ устойчивости вычисления параметров сплайнов при згом отсутствует. Таким образом, задача поиска хорошо обусловленных способов построения интерполяционных сплайнов высоких (тененей нредс гавляется достаточно акту а шнои и вое требованной

Второй вопрос, который мы изучаем в диссертационной работе, это исследование сходимости процессов интерполяции. Впервые вопрос о сходимости процессов интерполяции для сплайнов и их производных при минимальных требованиях гладкости интерполируемой функции был поставлен И. Шёнбергом, которого считают отцом сплайнов, в 1963 году на конференции в Обервольфахе (ФРГ) [157, р. 189].

Задача состоит в следующем. Рассмотрим последовательность сплайнов {л} степени 2п — 1, интерполирующих некоторую функцию / на иоследо-ва1ельнос1И сеюк {Д} таких, что h = max (агг+1 — хг) —» 0 при N —► со.

Будет ли иметь место сходимость s^ к для произвольной функции / € Ск[а, Ъ] (0 ^ к ^ 2п - 1) ? Если сходимости в общем случае нет, то каким ограничениям должна удовлетворять последовательность сеток {А}, чтобы сходимость имела место? Мы будем говорить только про сходимость в равномерной метрике.

Для последовательности сеток с равномерным распределением узлов сходимость для любой производной есть всегда [1], [87], здесь актуален вопрос отыскания точных констант (см. [63]). Для произвольных сеток вопрос значительно сложнее. По началу большинство усилий было направлено на кубические сплайны. Было установлено, что для кубических сплайнов сходимость без каких-либо ограничений на сетки имеет место при к — 1 или к = 2 [171]. А изучение сходимости самих сплайнов в С[а,Ь] и третьих производных в C^aJi] растянулось ещё на десяток лет.

В 1966 году А. Шарма и А. Меир [171] установили, чю если на последовательность сеток {Д} наложено ограничение

Яд ^ II < оо, где h

Ra = max — кс/v-i h, глобальная характеристика сети, то сходимость сплайнов имеет место для любой непрерывной функции /. А в 1967 г. С. Нордом [156] был построен пример расходящегося процесса на последовательности сеток, для которой условие (5) нарушено. С. Б. Стечкин и Ю. Н. Субботин [86] усилили пример С Норда, они пытались определить максимально широкий класс функций, для которых соответствующая последовательность интерполяционных сплайнов безусловно сходилась бы к ним. В результате их рабог [86], [87], и работы Ал. А. Привалова было установлено, что необходимым и достаточным условием является принадлежность функций классу Lip 1.

Э. Чеиьи и Ф. Шурер [120] показали, что условие (5) не является необходимым для сходимости в С[а,Ь]. В их примере последовательности сеток Яд —> оо, но сходимость имеет место для любой интерполируемой непрерывной функции. Они предложили изучать сходимость процессов интерполяции при ограничениях на локальные характеристики сеток h

Ра = max —^ ^ р < оо. (6) l«-j|=i hj

Исследованию сходимости процесса интерполяции в терминах локальных характеристик сеток был посвящён ряд работ. Вначале А. Меир и А. Шарма [152] показали сходимость кубических сплайнов на любой иоследова!ельно-сти сеток, удовлетворяющей ограничению (6), если р < у/2. Затем Э. Ченьи и Ф. Шурер [121] получили некоюрое улучшение р < 2. В этом же юду (1970) Ю С.Завьялов [39] еще усилил результат сходимости р < 1 + у/2, и этот же результат был повторён в 1973 г. Ч.Холлом [133]. Дальнейшее улучшение установил М Марсден [149], он показал, чю в классе С[а,Ь] всегда ecib сходимость при выполнении условия (6) с р ~ 2.439, а при р > р*, где

3 + у/В р = -2-2!— ~ 2 G18. привел пример последовательности сеток, где процесс может расходиться (последовательность норм соответствующих операторов интерполяции расходится). Во всех этих работах рассматривались кубические сплайны с периодическими краевыми условиями, а Т.Лич и Л.Шумейкер [147] повторили большинство из приведённых результатов и для других краевых условий.

Как пишет Ю. Н. Субботин [90], после знакомства с работой Ю. С. Завьялова [39] у него возникла идея как усилить метод доказательства Ю.С.Завьялова, и вскоре эта идея была блестяще реализована его учеником Н. Л. Зматраковым [43]. Он показал, что если р < р* и последовательность сеток удовлетворяет условию (6), то последовательность интерполяционных кубических сплайнов равномерно сходится к интерполируемой непрерывной периодической функции. Н. Л. Зматраков построил достаточно тонкие и сложные примеры, показывающие, что если р ^ р*, то существует непрерывная периодическая функция и последовательность сеток, удовлетворяющая (6), такие, что соответствующая последовательность интерполяционных кубических сплайнов расходится хотя бы в одной точке. Независимо от Н. Л. Зматракова окончательный результат о сходимости при р < р* повторил К. де Бор [108]. Более простыми способами, чем у Н. Л. Зматракова, эти же результаты о сходимости и расходимости получил В. Л. Мирошниченко [71], [42], причём не только для периодических краевых условий.

Исследование сходимости s'" к /"' в классе С![а,6] в терминах локальной характеристики сеток также изучалось А. Шармой и А. Меиром [171], Ю С.Завьяловым [39], но окончательное решение опять-таки было получено II. Л.Зматраковым [15]. Причем ограничения на последовательность сеюк оказались такими же, как и для сходимости самих сплайнов в С[а, Ь], л именно' при р < р* имеет место сходимость, а при р ^ р* есть <ei-ки, на коюрых процесс б}дет рлсхоцпься. Отметим, чю в да шнеГпием

Н. Л. Зматраков продолжил изучение сходимости и сплайнов, и третьих производных в метрике L{> (см. [44], [40], [47], [180]). Упомянем еще об одной характеристике сеток h< рА,т = max —, т ^ 1, i-j|=m rij обобщающей локальную сеточную характеристику. Изучение сходимости интерполяционных процессов для кубических сплайнов в терминах /?д)Ш рассматривалось в работах [43], [48], [138].

Для интерполяционных сплайнов более высоких степеней, чем кубические, результатов не так много и, особенно, окончательных. Первый результат, который можно считать окончательным, это результат К. де Бора [104] о сходимости третьих производных сплайнов пятой степени в классе СЯ[а, Ь] без каких-либо ограничений на последовательность сеток (небольшая погрешность доказательства была исправлена им в работе [115] и там же указано, что сходятся и четвёртые производные сплайнов седьмой степени в С1[а,Ь], указан путь доказательства, но сами вычисления не приведены). Позднее (1973) К.де Бор предположил, что и в общем случае сплайнов s степени 2п - 1, интерполирующих функцию / € Сп[а,Ь], имеет место безусловная равномерная сходимость sМ к /М. Эквивалентная формулировка этого предположения более известна как знаменитая гипотеза К.де Бора [105], за которую был объявлен денежный приз, об ограниченное! и нормы операторов наилучшего среднеквадратичною приближения сплайнами степени п — 1 как операторов из С[а, Ь] в С[а,Ь] константой, зависящей только oi п, но не от сетки.

В 1975 году К.де Бор [107] показал, чю сходимость ь1-^ к /"\ если ишерполируемая функция / класса С1 [а,Ь], бе? ограничении на сетки при к = (),. ,п — 2 невозможна, дополнительно он сказал, чю и при к = п + . ,2п - 1 безусловная сходимость ткже невозможна, но доказан» ibcnm ною факы не приве i, а сообщи i, что оно б\дсч он}б шковлно где-либо еще (об этом доказательстве в более поздних работах К.де Бора нам ничего не известно). В этой же работе было высказано дополнительное предположение о безусловной сходимости s*"-1) к в классе C"~l[a, b]. Нами [10] в 1984 г. были найдены такие числа рЦ\ к = 0, .,тг - 2 и к = п + 1,.,2п-1, и при любых р > приведены последовательности сеток, удовлетворяющие условию (6), на которых интерполяционные процессы расходятся для соответствующих к, если / G C/l [а, Ь\.

Сходимость процессов интерполяции в общем случае была доказана только для n-й производной при ограничениях (5) опять же К.де Бором [109]. Им же при этих же ограничениях установлена и сходимость самих сплайнов [110], а Ю.Н.Субботиным [89] — сходимость s^ к /М для функций / из Ск[а,Ь], 0 ^ к ^ 2п — 1, также при ограниченности глобальных характеристик последовательности сеток Некоторые неокончательные результаты о сходимости при ограничениях на соседние шаги сеток (локальные характеристики) получены только для к = ОС. Фридлендом и Ч. Мичелли [130] с привлечением специально разработанной и достаточно сложной техники теории осцилляционных матриц. Нам удалось эти условия перенести на случай к = 2п - 1 [11]. Небольшое улучшение условий С. Фридленда и Ч. Мичелли для сплайнов пятой степени, а также некоторые условия на сходимость первых и вторых производных, были получены А.Ю.Шадриным [94], [168].

И, наконец, отметим, чго в 2001 году А.Ю.Шадрин [170] решил знаменитую проблему К.де Бора, установил безусловную сходимость к для функций / из С"[а,Ь]. Укажем ряд работ, в которых разбирались частые случаи шпотеш К.де Бора [136], [128], [154], [139].

Приведенный здесь краткий обзор результаюв по обозначенным pam е вопросам — методы построения интерполяционных сплайнов и сходимость инюрполяционною процесса при минимальных 1р(бованиях гладкости ин-герпо шр\омой ф\нкции не прпендич на iiomoiy, а офажает лишь интерес автора к затронутым вопросам. Имеется много работ но изучению сходимости производных интерполяционных сплайнов при повышенной гладкости интерполируемой функции, в частности, если / G Сп[а,Ь], то и сплайны, и п производных сходятся без каких-либо ограничений на сетки (см., например, [1], [87]). За рамками обзора остались вопросы сходимости в других метриках, а также вопросы построения и сходимости интерполяционных сплайнов более высокого дефекта.

Диссертация состоит из оглавления, введения, основной части, включающей шесть глав, заключения и списка литературы. Краткое содержание основной части приводится далее. Нумерация разделов внутри главы формируется из номера главы и номера раздела, разделённых точкой.

Первая глава является вспомогательной и включает в себя 5 разделов. Она полностью посвящена вопросам решения систем линейных уравнений и оцениванию норм обратных матриц. Дальнейшее решение вопросов в следующих главах опирается на результаты устанавливаемые в этой главе. Хотя эти результаты и носят вспомогательный характер, однако они могут представлять и самостоятельный интерес, а также могут быть использованы в других разделах математики.

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации.

1). Предложен новый подход к получению систем определяющих уравнений для построения интерполяционных сплайнов. Изучены свойства возникающих систем уравнений, указаны способы эффективного вычисления их элементов. Выделены устойчивые хорошо обусловленные системы. Отметим, что даже в хорошо изученном случае кубических сплайнов наш новый подход привел к новому устойчивому способу построения HHiepno-ляционных кубических сплайнов.

2). Обнаружена связь обусловленности возникающих в нредлахаемом подходе систем с вопросами сходимости процессов интерполяции. Положительно решена гипотеза К. де Бора (1975) о безусловной сходимости ещё одной средней производной сплайнов при минимальных требованиях гладкости интерполируемой функции. Установлена симметрия условий сходимости процессов интерполяции для младших и старших производных.

3). Новый подход к получению систем определяющих уравнений и раз-рабоынный аппарат исследования свойств сходимости с успехом перенесён на случай сплайнов чётной степени. Впервые была установлена связь условий сходимости процессов интерполяции двух наиболее распространённых конструкций сплайнов чётной степени по Марсдену и по Суббошну. Для сплайнов четвёртой степени по Субботину обнаружена система уравнений с диагональным преобладанием для нахождения определяющих параметров, тем самым найден хорошо обусловленный способ построения инюрполя-цнонных сплайнов четвертой степени Как следствие, для таких сплайнов установлена равномерная сходимость ь'" к /"' для любой интерполируемо!! функции / 6 6'![«,6] и любой последовательности ссток. А для сплайнов четверти < гепенн по Марсдену по чаем сходимость ь' к /' для любой / 6 C,l[f/,/>] и ыкже любой после шва!елыюс ти с сток

1. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж Теория сплайнов и её приложения. - М. Мир, 1972. - 316 с.

2. Бабенко К. И. Основы численною анализа. — М.: Наука, 1986 — 744 с.3. блатов И. А. Об оценках элементов обратных матриц и о модификации метода матричной прогонки // Сиб. матем. журн. — 1992. — Т. 33, № 2 С. 10-21.

3. ВОЛКОВ 10 С Расчодимос ib интерполяционных сплайнов нечем ной (ichchh // Вычислительные системы. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1951. - Выи 106: Прпб жжение сплайнами С. 11-)G

4. ВОЛКОВ Ю.С. Равномерная сходимость производных интерполяционных сплайнов нечётной степени. — Новосибирск, 1984. — 11 с. — (Препринт № 62 / ЛН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики)

5. ВОЛКОВ Ю. С. Об осцилляционных матрицах в задачах сплайн-интерполяции // Сибирский матем. журн. — 1987. — Т. 28, JV0 3 — С. 5153.

6. ВОЛКОВ Ю.С. О погрешности вычисления интерполяционных сплайнов нечетных степеней на неравномерных сетках // Всесоюз. симпоз по теории приближения функций: Тез. докл. — Уфа, 1987. — С. 38-39.

7. ВОЛКОВ Ю. С. О расходимости интерполяционных сплайнов и их производных // Междунар. конф. по конструктивной теории функций: Тез. докл. София, 1987. - С. 101.

8. ВОЛКОВ Ю.С. Анализ алюритмов построения интерполяционных сплайнов нечетной степени // Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики: Тез. докл. / Всесоюз. конф. — Новосибирск, 1987. С. 48-49.

9. ВОЛКОВ Ю. С. Исследование сходимости интерполяционных процессов для сплайнов нечетных степеней // Дис. .канд физ.-мат. наук. Ин-т математики СО РАН СССР. Новосибирск, 1988 - 85 с.

10. ВОЛКОВ Ю. С. О сходимости интерполяционных сплайнов в терминах локальной сеточной характеристики // Вычислительные системы. Новосибирск- ИМ СО АН СССР, 1988. Вып. 128 Аппроксимация сплайнами С 32 38

11. ВОЛКОВ 10 С Оценки числа обусловленное in /i-силапновоп колло-кационной Мсирицы /, Вычислительные системы. — Новосибирск. ИМ СО РАН, 1992. — Выи. 1 ГГ Интерполяция и аппроксимация сплайнами -С 3-10.

12. ВОЛКОВ Ю С. О построении интерполяционных полиномиальных сплайнов // Вычислительные системы. — Новосибирск: ИМ СО РАН, 1997. — Выи. 159. Сплайн-функции и их приложения. — С. 3-18.

13. ВОЛКОВ Ю С. Наилучшая оценка погрешности производной при интерполяции сплайном четверюй степени // Матем. труды. — 1998 — Т. 1, JY° 2. — С. 68-78.

14. ВОЛКОВ Ю. С. Монотонность и выпуклость кардинальной сплайн-интерполяции // Понтрягинские чтения-IX: Тез. докл. / Воронежская зимн. матем. шк. — Воронеж: ВГУ, 1998. — С. 47.

15. ВОЛКОВ Ю. С. О положительности полиномиальных сплайнов при интерполяции положительных данных // Теория приближения функций и операторов: Тез. докл. / Междунар. конф. — Екатеринбург, 2000. С. 53-54.

16. ВОЛКОВ Ю. С. О неотрицательном решении системы уравнений с симметрической циркулянтной матрицей построении // Матем. заметки. 2001. - Т. 70, вып. 2. - С. 170-180

17. ВОЛКОВ Ю. С. О монотонной интерполяции кубическими сплайнами // Вычисл. технологии. 2001. - Т. 6, 6. - С. 14-21.

18. ВОЛКОВ Ю. С. Некоюрые свойства интерполяционных сплайнов нечетной степени , Me I оды сплаин-функций' Тем докл. / Сиб конф. ноевящ иамяш Ю С.Завьялова (1931 1998) — Новосибирск: тд-ьо ИМ СО РАН, 2001 С. 19 20

19. ВОЛКОВ 10 С Новый способ построения ингерпо шцпонных к\би-че< кп\ си iamioB ЛАН. 2002. Т .N2, Y'2 <' '") 157

20. ВОЛКОГЗ Ю. С. Об оценке элементов матрицы, обратной к циклической ленточной матрице // Сиб жури, вычисл. магем. — 2003. — Т. G, № 3. С. 2G3-267.

21. ВОЛКОВ Ю. С. Безусловная сходимость ещё одной средней производной для интерполяционных сплайнов нечетной степени // ДАН. —2005. Т. 401, Лг° 5. - С. 592-594.

22. ВОЛКОВ Ю. С. Условия ограниченности операторов сплайн-интерполяции. Новосибирск, 2006. - 18 с. - (Препринт № 167 / РАН. Сиб. отд-нпе. Ин-г математики им. С. Л. Соболева).

23. Волков Ю.С. Две конструкции интерполяционных сплайнов чётной степени — Новосибирск, 2006. 32 с. — (Препринт .V' 169 , РАН. Сиб. отд-ние. Пн-г математики им. С. Л. Соболева).

24. Гантмахер ф. Р , КРЕЙН М Г. Осцилляцнонные матрицы и ядра и малые ко юбанпя механических сис тем. — М -Л Госючиздат, 1950. — 359 с37 гребенников А. И. Метод сплайнов н решение некорректных задач теории приближений. — М.: Изд-во МГУ, 1983. — 208 с.

25. ЖЕНСЫКБАЕВ А А Проблемы восстановления операторов. -Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 412 с.

26. ЗАВЬЯЛОВ Ю.С. Интерполяция кубическими многозвенниками // Вычислительные системы. — Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1970. Вып. 38. - С. 23-73.

27. ЗАВЬЯЛОВ Ю. С. Монотонная интерполяция обобщенными кубическими сплайнами класса С2 // Вычислительные системы. — Новосибирск: ИМ СО РАН, 1992. — Вып. 147: Интерполяция и аппроксимация сплайнами. — С. 44-67.

28. ЗАВЬЯЛОВ Ю.С. О неотрицательном решении системы уравнений с несгрою якобиевой матрицей // Сиб. мат. журн. — 1996. — Т. 37, № 6. С. 1303-1307.

29. ЗМАТРАКОВ И.Л Равномерная сходимость третьих производных интерполяционных кубических сплайнов /, Вычисли тельные системы. Новосибирск ИМ СО АН СССР, 1977. Вып. 72. Методы <н iaiin-фу нкции. - С 10-29

30. ЗМЛТРАКОВ H JI. Сходимость третьих производных интерполяционных кубических сплайнов в Ly, метриках // Матем заметки — 1981 Т. 30, № 1. — С. 83-99.

31. ИЛЬИН В. П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. — М.: Наука, 1995. — 288 с.

32. Ильин В. П., Кодачигова Л. К., Пинкина Н А. Анализ устойчивое hi метда циклической редукции Новосибирск, 198825 {. — (Препршн X' 801 АН СССР. Сиб. огд-ние. Вычиелинчь-ный центр).

33. Ильин В П , Кузнецов 10. И. Трёх Uiaiопальные млфицы и их при юления. М На\ка, HRl. 203 с

34. КАЛИТКИН Н.И., Шляхов Н.М. tf-сплайны высоких степеней // Матем. моделирование. 1999. - Т. 11, № 11. - С. 64-74.

35. КАЛИТКИН Н.Н., Шляхов II. М. Интерполяция Я-еилайнами // Матем. моделирование. 2002. - Т. 14, № 4 - С. 109-120.

36. КВАСОВ Б И. Применение параболических В-силайнов для решения задачи интерполяции // Жури, вычиел. матем. и маг. физики. -1983. Т. 23, № 2. - С. 278-289.

37. КИВВА С. Л., СТЕЛЯ О. Б. Об одном параболическом сплайне // Вычиел. технологии. 2001. - Т. 6, № 3. - С. 21 31.

38. КИНДАЛЕВ Б. С. Асимптотика погрешности и сунерсходимость периодических интерполяционных сплайнов чётной степени // Вычисли гельные системы. — Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1986. — Вып. 115: Сплайны в вычислительной математике. — С. 3-25.

39. КИНДАЛЕВ Б. С. Точная оценка нормы обратной матрицы для симметрическою циркулянта // Вычислительные системы. — Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1987. — Вып. 121: Аппроксимация сплайнами. — С. 37-45.

40. КИРУШЕВ В. А., МАЛОЗЕМОВ В. Н. Интерполяция положительных данных при помощи неотрицательных натуральных кубических сплайнов // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 1995 - Выи. 2 (Х°8). - С. 2530.

41. КИРУШЕВ В. А., МАЛОЗЕМОВ В. Н. Об одном алгорише построения неотрицательного кубическою сплайна // Журн. вычиел. мат. и матем. физики 1997 - Т. 37, .V 4. - С. 387-391.

42. КОРНЕЙЧУК Н.П. Сплайны в теории приближении. М/ Наука, 1984 - 352 с.

43. Корнейчук Н.П., Баненко В.Ф, Лигун Л. А '-Экстремальные свойства ио шномов и си типов. Киев Нлукова думка, 1992 301 с65 лигун А. А., шумейко А. А. Асимптотические методы восстановления кривых — Киев Изд-во Института математики НАН Украины, 1997. 358 с.

44. ЛОРАН П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. — М. Мир, 1975. — 496 с.

45. РОЖЕНКО А. И. Абстрактная теория сплайнов. Учеб. пособие. — Новосибирск: Изд центр НГУ, 1999. 176 с.82 роженко А. П. Теория и алюригмы вариационной силаин-апироксимацпи. — Новосибирск: Изд. ИВМпМГ СО РАН, 2005. -244 с.

46. РОЖЕНКО А И О расчете скалярных произведении Z?-ch.ihiihob Сиб. жури вычисл матем 2006 Т 9, .V 1 С 55 01

47. СМЕЛОВ В. В. Простой унифицированный метод реализации обобщенных сплайнов с использованием алгоритма матричной прогонки // Сиб. матем. журнал. 1995. - Т. 36, № 3. - С. 650-658.

48. Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовица, И. Стигана. М : Наука, 1979.86. стечкин с. Б. субботин Ю. Н. Добавления // Теория сплайнов и её приложения / Дж.Алберг, Э Нильсон, Дж.Уолш. — М/ Мир, 1972. с. 270-309.

49. СТЕЧКИН С. Б. СУББОТИН Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. — М.: Наука, 1976. — 248 с.

50. Субботин Ю. Н. О кусочно полиномиальной интерполяции // Матем. заметки. 1967. - Т. 1, № 1. - С. 63 70.

51. ШАДРИН Л. Ю. О проблеме К де Бора для мноюмерных D'" сплайнов // Тр. мат. ин-та им. В.А.Сгеклова / РАН. 1997. - Т. 219. Теория приближения и гармонический анализ. — С. 420-452.

52. Ahlberg Л. н., Nilson е. N., walsh Л. l. Best approximation and convergence properties of higher-order spline approximations // Л. Math, and Mech. 1965. - V. 14, n. 2. - P. 231-243.

53. Bezhaev A. YU., Vasilenko V. A. Variational spline theory // Bulletin of the Novosibirsk Computing Center. — Novosibirsk: NCC Pab-lisher, 1993. — Ser.: Numerical Analysis, Special Issue: 3. — 259 p.

54. DE BOOR C. On uniform approximation by splines // Л. Approxim Theory. 1968 - V 1, ii. 2. - P. 219-235.

55. DE BOOR C. On the convergence of odd-degree spline interpolation / Л. Approxim Theory. 1968. - V. 1, n. 1. - P. 452-463.

56. DE BOOR C. The qnabi-interpolant as a tool in elementaiy polynomial spline theory Approxim Theory: Proc couf, Austin, 1973 — New Voik Academic Pre-*, 1973 P 209 270.

57. DE BOOR С. Bounding the error in bphrie interpolation // SIAM Review. 1974 - V. 16, n. 4. - P. 531-544.

58. DE B()()R C. On bounding bphne interpolation // J Approxim. Theory. — 1975. V. 14, n 3. - P. 191-203.

59. DE BOOR С On cubic spline functions that vanish at all knots // Adv. math. -- 1976. V. 20, n. 1 - P. 1 -17

60. DE BOOR C. A bound on the L^-norm of Lj-approxunation by splines in terms of a global mesh ratio // Math. Comput. — 1976. — V. 30, n 136 P. 765-771.

61. DE BOOR C. Total positivity of the spline collocation matrix // Indiana Univ. J. Math. 1976 - V. 28, n 6. - P. 541-551.

62. DE BOOR C. On local linear functionals which vanish at all B-splines but one // Theory of approximation with application: Proc. / Conf., Calgary, 1975 / Eds A.G.Law, B.N.Sahney. New York: Academic Press, 1976. - P. 120-145.

63. DE BOOR C. Quadratic spline interpolation and the sharpness of Lebchgue'b inequality // .1. Approxim. Theory. 1976 V. 17, и 41. P. 318-358

64. DE BOOR C. On a шах-norm bound for the least-squares spline ap-proxnnant '7 Approximation and function bpaies: Proc / Intern <onf., Gdansk, 1979 Amsterdam-New York. North-Holland, 1981. - P 163175

65. DE BOOR С. The exact condition of the /З-spIme basis may be hard to determine // J. Approxim. Theory. 1990. - V. 60, n. 3. - P. 344-359.

66. Cheney E. W., Schurer F. Convergence of cubic spline interpolates // J. Approxim. Theory. 1970. - V. 3, n. 1. - P. 114-116.

67. DEMKO S. Inverses of band matrices and local convergence of spline projections // SIAM J. Numer. Anal. 1977. - V. 14, n. 4. - P. 616619.

68. DeMKO S. Interpolation by quadratic splines // J. Approxim. Theory. — 1978. V. 23, n. 4. - P. 392-400.

69. HALL C. A. Uniform convergence of cubic spline interpolants // J. Approxim. Theory. 1973. - V. 7, n. 1. - P. 71-75.

70. JlA R.-Q. On a conjecture of C. A. Micchelli concerning cubic spline mtei-polation at a bimfmite knot sequence J. Approxim Theory — 1983. -V 3*5, n 3. P 281 291

71. JlA R.-Q. L^-boundedness of /"^-projections on splines for a multiple geometric mesh // Math. Comput. 1987 - V. 48, n. 178 - R 675690.

72. Kammerer W.J., Reddien G.W., Varga R.S. Quadratic interpolator splines // Numerische Mathematik. — 1974. — V. 22, n 2. — P. 241-259.

73. KARLIN S. Total positivity. Vol. 1. Stanford: Stanford University Press, 1968. - 576 p.

74. KERSHAW D. Inequalities on the elements of the inverse of the certain tridiagonal matrix // Math. Comput. 1970. - V. 24, n. 109. - P. 155158.

75. KERSHAW D. A bound on the inverse of a band matrix which occurs in interpolation by periodic odd order splines // J. Inst. Math. Appl. — 1977. V. 20, n. 2. - P. 227-228.

76. KVASOV В. I. Methods of shape-preserving spline approximation. — Singapore: World Scientific, 2000. 338 p.

77. Lee s.L., micchelli C. A., Sharma A., smith P. W. Some properties of periodic B-spline collocation matrices // Proc. Royal Soc. Edinburgh. 1983. - V. 94A, n. 3-4. - P. 235-246.

78. LYCHE T. A note on the condition number of the B-spline basis // J. Approxim. Theory. 1978. - V. 22, n. 3. - P. 202-205.

79. Lyche Т., schumaker L.L. On the convergence of cubic interpolating splines // Spline functions and approximation theory: Proc. / Sym-pos , Edmonton, 1972 / Eds. R Sharma, A.Meir. — Internat Ser. Numer. Math , Vol 21. Basel Birkhauser, 1973. P. 169 189

80. MARSDEN M Quadratic splme interpolation , ' Bull. Airier. Math. Soc 1971. - V. 80, n. 5 - P. 903-906.

81. MARSDEN M. Cubic spline interpolation of continuous function // J. Approxim. Theory. 1974 - V. 10, n. 2 - P. 103-111.

82. MEEK D. Some new linear relations for even degree polynomial splines on a uniform mesh // BIT. 1980. - V. 20, n. 3. - P. 382-384.

83. MEIR A., SHARMA A. On uniform approximation by cubic splines // J. Approxim. Theory 1969. - V. 2, n. 3. - P. 270-274.

84. MlROSHNlCHENKO V. L. Convex and monotone spline interpolation // Constructive theory of function: Proceed. / Intern. Conf., Varna, 1984. — Sofia: Publishing House of Bulgarian Academy of Sciences, 1984. — P. 610-620.

85. MlTYAGIN B. Quadratic pencils and least-squares piecewise-polynomial approximation // Math. Comput. 1983. - V. 40, n. 178. - P. 283-300.

86. M0RKEN K. Some identities for products and degree raising of splines // Constr. Approx. 1991. - V. 7, n. 2. - P. 195-208.

87. NORD S. Approximation properties of the spline fit // BIT. 1967. -V. 7, n. 2. - P. 132-144.

88. On Approximation Theory: Proc conf. Oberwolfach, 1963 / Eds. P. L. Butzer, .J.Korevaar — Basel: Birkhauser, 1964. — 261 p

89. SAKAI M., USMANI R. A. Some new consistency relations connecting spline values and integrals of the spline // BIT. — 1983. V. 23, n 31. P. 399 402.

90. Schumaker L.L. Spline Functions. Basic Theory. New York: Wiley, 1981. - 553 p.

91. SHADRIN A. Yu Convergence of quintie spline interpolants in terms of a local mesh ratio // Bulletin of the Novosibirsk Computing Center -Novosibirsk: NCC Pablisher, 1993 — Ser.- Numerical Analysis, Issue. 1 -P 87-95.

92. SHADRIN' A. Yu. On Lv boundness of the Lj-projector onto ^phtus .1 Approxim Theory. 1991 - V. 77, N. 3. - P 331 Л18.

93. SHADRIN A.YU The Lx-norm of the L2-spline projector is hounded independently of the knot sequence. A proof of de Boor's conjecture // Acta Math. 2001. - V. 187, n. 1 - P. 59-137.

94. SHARMA A., MEIR A Degree of approximation of spline interpolation // J. Math, and Mech. 1966. - V. 15, n. 5. - P 759-767.

95. SWARTZ B. 0(h2n+2~l) bounds on some spline interpolation errors // Bull. Amer. Math. Soc. 1968 - V. 74, n. 6. - P. 1072-1078

96. Vermeulen A. H., Bartels R. II., IIeppler G. R. Integrating products of Я-splincs // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1992 V. 13, n. 4.1. P. 1025-1038.

97. VOLKOV Yu S On <on\ergenee of derivatives of odd-degree spline interpolation and de Воог'м problem , Wavelet and Splines- Attracts , Internat conf. St Peter,Ьигд, 2003 P 100 101

98. Walsh J L , Ahlbkrg J. H., nllson e. N. Bebt approximation properties of the spline fit // Л. Math, and Meeh 1962. - V. 11, n. 2. -P. 225-234.

99. ZMATRAKOV N. L. On the convergence of interpolatory cubic splines and their derivatives // Functions, series, operators: Proc. / Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai, 35, Budapest, 1980. — Amsterdam: North-Holland, 1983. P. 1301-1307.