Вещественные интерполяционные методы, связанные с пространствами Орлича тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

I. Метод средних с произвольным функциональным параметром

1.1. Некоторые вспомогательные определения.

1.2. Метод средних.

1.3. Простые свойства обобщенного метода средних р{Х0,Х1)РоЛ.

1.4. Теорема двойственности.

1.5. Теоремы о реитерации.

1.6. Описание интерполяционных орбит идеалов Неймана-Шаттена, действующих в гильбертовых парах.

II. Вещественные пространства-параметры для пространств Орлича

2.1. Описание пространства-параметра для пространства Орлича в невырожденных случаях.

2.2. Аномальные пространства Орлича.

III. Интерполяционные теоремы в парах пространств Lv с функциональными параметрами

3.1. Совпадение весовых пространств последовательностей Орлича с весовыми пространствами 1р.

3.2. Еще о теоремах вложения для пространств <р(Хо, Xi)PoJJl

3.3. Интерполяционные теоремы.

Пространства Орлича являются объектом внимания теории интерполяции линейных операторов с самого момента их появления в анализе. Интерполяция в пространствах Орлича рассматривалась в работах многих математиков, таких, как А.В.Бухвалов, Г.Густавсон, П.П.Забрейко, М.А.Красносельский, Г.Я.Лозановский, Г.Лоренц, Л.Малигранда, М.Мастыло, В.И.Овчинников, Я.Петре, Е.И.Пустыльник, Я.Б.Рутицкий, Е.М.Семенов, А.Чианки, В.А.Шестаков и др. Первые результаты об интерполяции в пространствах Орлича были доказаны самим Орличем. В дальнейшем оказалось, что первый результат Орлича относится к более широкому классу перестановочно инвариантных пространств, которые точно соответствовали постановкам задач в теории интерполяции, и продолжительный период развития теории интерполяции был связан с перестановочно инвариантными пространствами или же с пространствами Lp и их модификациями.

Особая роль пространств Орлича стала ясна в 70 - е годы, когда в задачах об интерполяции в пространствах со смешанной нормой попытались интерполировать операторы по внутренней норме (работы A.B. Бухвалова [3] и [4]). Оказалось, что это возможно для пространств Орлича и в ряде случаев только для них (см. [25]). Для решения задачи об интерполяции в пространствах Орлича в работе В.И. Овчинникова [18] были созданы специальные интерполяционные функторы <^(Х0, XI), и <рт(Хо,Х\), которые позволили доказать интерполяционность конструкции Кальдер она, а в случае пар пространств Орлича описать все интерполяционные пространства Орлича между пространствами Орлича (см. также [26]). Достоинством и одновременно недостатком этих функторов является то, что они не входят в число функторов вещественного метода (К-и 3-методов). К числу достоинств относится то, что с их помощью можно доказать утверждения, которые не могут быть получены вещественным методом, например, точные теоремы для "ухудшающих" операторов (см. [18]). К недостаткам можно отнести то, что соответствующие теоремы нельзя применять к квазилинейным операторам.

Фундаментальный обзор результатов по теории интерполяции для пространств Орлича содержится в книге [37].

Если рассматривать интерполяционные пространства Орлича между пространствами Ьр, то с одной стороны они описываются конструкцией Кальдерона, а с другой стороны, в силу теоремы, доказанной Спарром ([42]) они могут быть описаны вещественным К-методом. Следовательно, существуют интерполяционные функторы, которые являются вещественными и описывают пространства Орлича. Интерес к подобного рода функторам и пространствам, которые могут быть ими получены, вызван в частности тем, что такие пространства возникают при описании интерполяционных орбит элементов при действии операторов из одной пары пространств Ьр в другую (см. [40]). Подобные функторы также интересны и для исследования пространств гладких функций, поскольку они позволяют, оставаясь в принципе в классе пространств Бесова, расширить класс используемых пространств. Данная работа тесно примыкает также к серии работ В.И.Буренкова, М.Л.Гольдмана, Р.Кермана, В.Д.Степанова, Х.Хайнига и др. об оценках для интегральных операторов (см. [32], [33], [2]). Этим объясняется актуальность исследования пространств-параметров, которые порождают пространства Орлича.

В первой главе даются основные определения и изучаются свойства интерполяционных пространств </?(Хо, Х^^ с произвольным функциональным параметром (р, которые были введены Овчинниковым В.И. в [40]. Соотношение между пространствами <р(Хо, Х1)РОгР1 и пространствами (Хо,Х\)о)Р аналогично соотношению между пространствами Орлича и пространствами Ьр. Эти функторы в случае пар пространств {ЬРо, ЬР1} дают пространства Орлича (см. [40]), и как показано в параграфе 1.2 они являются вещественными интерполяционными функторами. Основными результатами этой главы являются теоремы двойственности и теоремы о реитерации для функторов ср(Хо, Х^р,,^. В параграфе 1.6 полученные результаты о двойственности и реитерации применяются для описания интерполяционных орбит при действии операторов из идеалов Неймана-Шаттена, отображающих гильбертовы пары. Эти результаты в свою очередь позволяют получить в этом же параграфе нетривиальные теоремы вложения для пространств (р(Хо,Х1)Ро^Р1.

Во второй главе исследуется параметр К- метода для пространств Орлича между Loo и L\. Здесь показано, что в случае когда пространства Орлича отделены от краев пары, то в некотором смысле они могут служить пространствами-параметрами для самих себя. (Так, кстати, обстоит дело, если мы остаемся в классе пространств Lp.) Основной результат этой главы - это контрпример к гипотезе о том, что пространства Орлича всегда могут служить (в некотором естественном смысле) пространствами-параметрами для самих себя.

Анализ пространств-параметров для пространств Орлича, начатый во второй главе и продолженный в параграфе 3.1 третьей, позволил обнаружить и доказать цикл новых интерполяционных теорем в парах пространств Lp, которым посвящена третья глава. Подобные ситуации рассматривались ранее в работе В.И. Овчинникова [21]. От теорем, которые получены Овчинниковым в [21] их отличает то, что они относятся к пространствам, "близким к краям" пары. Техника работы [21] не позволяла рассмотреть такие ситуации ранее.

Основная идея доказательства состоит в том, что при некоторых условиях пространство Орлича совпадает не только с пространством Марцинкевича или Лоренца (что было известно уже давно, см. [36]), но и с пространствами конструкции Янсона (обобщенными пространствами Лоренца).

В параграфе 3.2 вновь рассмотрены теоремы вложения для пространств ip(Xо, Xi)POiPl, и на основе анализа пространств-параметров уточняется зависимость этих пространств от po,pi- В частности, получены условия на <р, когда эти пространства не зависят от одного из 8 — параметров ро,р\. Это явление ранее для пространств Лионса-Петре не отмечалось.

Сами интерполяционные теоремы доказываются в параграфе 3.3.

Заметим, что нумерация параграфов в работе двойная, где, как обычно, сначала указывается номер главы, затем номер параграфа. Внутри каждого параграфа все определения, теоремы и т.п. нумеруются заново и получают тройную нумерацию: (номер главы, номер параграфа, номер теоремы) и т.п. Формулы имеют такую же тройную нумерацию.

Основные результаты этой работы были апробированы на конференции "Понтрягинские чтения - XII", на Воронежских зимних математических школах, на семинарах проф. Овчинникова В.И. по теории операторов и на семинаре НИИМ ВГУ проф. Баскакова А.Г.

Также результаты были опубликованы в работах [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14].

Автор искренне благодарит профессора В.И. Овчинникова за поставленную задачу, постоянное внимание и поддержку в работе.

1. Берг Й. Интерполяционные пространства. Введение / Й. Берг, Й. Лёфстрём. - М.: Мир, 1980. - 264 с.

2. Буренков В.И. Неравенства типа Харди для модуля непрерывности / В.И. Буренков, М.Л. Гольдман // Труды ин-та математики им. В.А. Стеклова. 1999. - Т. 227. - С. 92-107.

3. Бухвалов A.B. Интерполяция операторов в пространствах вектор-функций с приложениями к сингулярным интегральным операторам / A.B. Бухвалов // Доклады АН СССР 1984 - Т. 279, №■ 6. - С. 1293-1296.

4. Бухвалов A.B. Теоремы об интерполяции операторов в пространствах со смешанной нормой / A.B. Бухвалов // Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений .Ярославль, 1984.- С. 90-105.

5. Гохберг И.Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн. М.: Наука, 1967.

6. Дмитриев В.И. Основы теории интерполяции линейных операторов /В.И. Дмитриев, С.Г. Крейн, В.И. Овчинников // Геометрия линейных пространств и теория операторов.- Ярославль, 1977.-С. 31-74.

7. Канторович Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов М: Наука, 1977.

8. Кравишвили Е.Д. Описание пространств Орлича вещественным методом интерполяции / Е.Д. Кравишвили; Воронеж, гос. пед. ун-т // Труды матем. факультета. Воронеж, 2001. - N° 6 (новая серия). - С. 78-89.

9. Кравишвили Е.Д. Описание пространств Орлича вещественным методом интерполяци / Е.Д. Кравишвили; Воронеж, гос. ун-т // "Понтрягинские чтения — XII". Тез. докл. Воронеж, 2001. - С. 94.

10. Кравишвили Е.Д. Интерполяционные теоремы в парах пространств Ьр с функциональными параметрами / Е.Д. Кравишвили; Воронеж, гос. ун-т // Математические модели и операторные уравнения. Воронеж, 2001. - С. 94-104.

11. Кравишвили Е.Д. Интерполяционные теоремы для пространств Ьр с неквазистепенными параметрам / Е.Д. Кравишвили; Воронеж. гос. ун-т // Воронежская зимняя математическая школа (ВЗМШ 2002): Тез. докл. - Воронеж, 2001. - С. 44-45.

12. Кравишвили Е.Д. Метод средних с произвольным функциональным параметром / Е.Д. Кравишвили; Воронеж, гос. ун-т //Труды матем. факультета. Воронеж, 2002. - №■ 7 (новая серия). - С. 70-87.

13. Красносельский М.А. Выпуклые функции и пространства Ор-лича / М.А. Красносельский, Я.Б. Рутицкий.- М.: Физматгиз, 1958.- 271 с.

14. Крейн С.Г. Интерполяция линейных операторов / С.Г. Крейн, Ю.И. Петунин, Е.М. Семенов.- М.: Наука, 1978.- 400 с.

15. Лозановский Г.Я. О некоторых банаховых решетках / Г.Я. Ло-зановский // Сибирский мат. журн.- 1973 Т. 14 - С. 140- 155.

16. Овчинников В.И. Интерполяционные теоремы, вытекающие из неравенства Гротендика / В.И. Овчинников // Функционналь-ный анализ и его приложения 1976.- Т. 10, вып. 4 - С. 45-54.

17. Овчинников В.И. Об оценках интерполяционных орбит / В.И. Овчинников // Математический сборник- 1981.- Т. 115 С. 642-652.

18. Овчинников В.И. Конструкция С. Янсона для пар пространств Lp // В.И. Овчинников, A.C. Титенков; Воронеж, гос. ун-т // Труды матем. факультета.- Воронеж, 1998.- №■ 3.- С. 52-56.

19. Овчинников В.И. Интерполяционные теоремы для пространств Lm / В.И. Овчинников // Математический сборник 1988.- Т. 136(178).- С. 227-240.

20. Овчинников В.И. Интерполяционные орбиты классов ер в гильбертовых парах / В.И. Овчинников // Доклады АН СССР-1978.- Т. 242.- С. 52-55.

21. Овчинников В.И. Оптимальная интерполяционная теорема для квазибанаховых пространств 1Р с весами и для операторов из классов Неймана-Шаттена в гильбертовых парах / В.И. Овчинников // Математические заметки.- 1993.- Т. 53, вып. 2.- С. 94-99.

22. Овчинников В.И. Когерентно ядерные операторы в гильбертовых парах / В.И. Овчинников // Математические заметки-1998.- Т. 63, вып. 6.- С. 886-872.

23. Овчинников В.И. Об интерполяции в пространствах векторно-значных последовательностей / В.И. Овчинников // Вестник ВГУ. Физика. Математика.- 2000.- Вып. 1.- С. 143-146.

24. Пустыльник Е.И. Оптимальная интерполяция и некоторые интерполяционные свойства пространств Орлича / Е.И. Пустыльник // Доклады АН СССР.- 1983.- Т. 27.- С. 333-336.

25. Седаев А.А. Описание интерполяционных пространств для пары (Lpao,LPai) / А.А. Седаев // Доклады АН СССР.- 1973.- Т. 209.-С. 798-800.

26. Титенков А. С. О показателях растяжения квазивогнутых функций / А.С. Титенков // Математические науки и информационные образовательные технологии.- Курск: Курский гос. пед. ун-т, 1997.- С. 39-46.

27. Brudnyi Ju.A. Interpolation spaces and interpolation functors. / Ju.A. Brudnyi, N. Krugliak. Amsterdam: North Holland, 1991.

28. Brudnyi Ju.A. Calderon couples of Lipschitz spaces / Ju.A. Brudnyi, A. Shteinberg //J. Func. Anal.- 1995.- Vol. 131.- P. 459-498.

29. Cwikel M. Monotonicity properties of interpolation spaces IV / M. Cwikel// Ark. Mat.- 1981.- Vol. 19.- P. 123-136.

30. Goldman M.L. On the principle of duality in Lorentz spaces / M.L. Goldman, H.P. Heinig, V.D. Stepanov // Canadian J. of Math. 1996.- Vol. 48.- P. 959-979.

31. Janson S. Minimal and maximal method of interpolation / S. Janson // J. Functional Analysis.- 1981. Vol. 44. P. 50-73.

32. Lions J.-L. Sur une classe d'espaces d'interpolation / J.-L. Lions, J. Peetre // Inst. Hautes Etudes Sei. Publ. Math.- 1981.- Vol. 19-P. 5-68.

33. Lorentz G.G. On the theory of spaces Л / G.G. Lorentz // Pacific J. Math.- 1951.-Vol. 1.- P. 411-429.

34. Maligranda L. Orlicz spaces and interpolation / L. Maligranda. -Campinas: IMECA, 1989. 206 p.

35. Orlicz W. Ein Satz über die Erweirerung von linearen Operationen / W. Orlicz // Studia Math.- 1935.- Vol. 5.- P. 127-140.

36. Ovchinnikov V.l. The Method of Orbits in Interpolation Theory. / V.l. Ovchinnikov // Mathematical Reports. Chur: Harwood Acad. Pbl., 1984.- Vol. 1. Part 2.

37. Ovchinnikov V.l. Interpolation orbits in couples of Lp spaces / V.l. Ovchinnikov // C.R. Acad. Sei. Paris. Ser. I.- 2002. Vol. 334.- P. 881-884.

38. Ovchinnikov V.l. On the description of interpolation orbits in couples of Lp spaces when they are not described by the if-method / V.l. Ovchinnikov // Israel Mathematical Conference Proceedings.-1992.- Vol. 5.- P. 187-206.86 —

39. Sparr G. Interpolation of weight Lp spaces / G. Sparr // Studia Math.- 1978.- Vol. 62.- P. 229-271.