Интерполяция билинейных операторов в симметричных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

. . •1 2 !.!ЛР- 1397

На правах рукописи

Ким Юлия Евгеньевна

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ БИЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ В СЪ ШЕТРИЧНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

специал» ть 01.01.01 "математический анализ"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертащш на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 1997

Работа выполнена в Самарском государственном университете

Научный руководитель :

Кандидат физ.-мат. наук, доцент - Асташкин C.B.

Официальные оппоненты : >■ : ■ -, '

Доктор физ.-мат. наук, профессор - Баскаков А.Г. Доктор фнз.-мат. наук, профессор - Родин В.А.

Ведущая организация - Казанский государственный университет

Защита состоится 8 апреля 1997 года в 15 часов 20 мпн. на заседании Диссертационного совета К 0.63.48.09 Воронежского государственного университета по адресу: 394693, Воронеж, Университетская пл. 1, ВГУ, ауд.314.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " H " 1997 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета ' Задорожний В.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность исследования

Настоящая работа посвящена вопросам интерполяции билинейных операторов в симметричных пространствах.

Рождение теории интерполяции линейных операторов связывают, прежде всего, с теоремами М. Рисса (1926 г.) и Ж. Мар-цинкевича (1939 г.). В конце 50-х начале 60-х годов в работах Ж.Л. Лионса, Б. Гальярдо, А.П. Кальдерона, С.Г. Крейна появились общие интерполяционные теоремы для семейств абстрактных гильбертовых и банаховых пространств, по сути, утверждения, устанавливающие непрерывность оператора из одного пространства в другое на основании информации о его поведении в "крайних" парах пространств. В последующие годы эта теория интенсивно развивалась и нашла глубокие, важные применения в теории функциональных пространств, уравнениях с частными производными, теории рядов Фурье, теории приближений. В 80-е годы были изданы монографии, посвященные изложению основ теории интерполяции - "Интерполяция линейных операторов" С.Г. Крейна, Ю.И. Петуиина, Е.М. Семёнова и "Интерполяционные пространства. Введение" Й. Берга, Й. Лёфстрёма, а также книга X. Трибеля "Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы", в которой наиболее полно отражен прикладной аспект этой теории.

Среди разделов математики, испытывающих наиболее сильное влияние интерполяционных методов, с полным правом можно назвать теорию симметричных пространств (с.п.). Одно из направлений изучения с.п. - решение задач описания поведения в них как конкретных операторов (Гильберта, Хардн-Лпттльвуда, перехода к сопряженной функции), так и их классов. Однако, в последнее время возникла необходимость рассмотрения ряда новых операторов, в частности, оператора тензорного произведения. Интерес к исследованию этого оператора объясняется, прежде всего, тем, что он естественным образом возникает при решении многих задач теории симметричных пространств, связанных с их

геометрическими свойствами (при изучении ортогональных рядов в с.Л-) структуры подпространств с.п.). Нахождешпо условий непрерывЕГОСТИ оператора тензорного произведения в конкретных классах с.п.: в пространствах Лоренца, Марщшкевича, Орлича и некоторых других, посвящены работы М. Мильмана, Р. О'Нейла, C.B. Асташкпна. С нашей точки зрения, представляет интерес получение подобных результатов для пространств Лоренца-Зигмунда Lpi0ii4 , являющихся естественным обобщением двух известных классов LPtq и L(\oga L).

С исследованием оператора тензорного произведения связано введение понятия мультипликатора с.п. относительно тензорного произведения.

К первым утверждениям теории интерполяции билинейных операторов в с.п. относятся теоремы А.П. Кальдерона (1964 г.) и Ж.Л. Лионса, Я. Петре (1964 г.) для комплексного и вещественного методов интерполяции соответственно. Результаты второй из этих работ были в дальнейшем развиты в исследованиях ряда авторов, среди которых отметпм М. Зафрана и Л. Малигранда. Из публикаций последнего времени назовем статьи С. Янсона и C.B. Асташкина. В первой уточняется результат Лионса-Петре, во второй - исследуется связь функторов вещественного метода, интерполирующих билинейные операторы, со сверткой в параметрах этого метода. Однако многие возникающие в этом направлении задачи еще остаются нерешенными.

Цель работы

Настоящая работа посвящена исследованию поведения в симметричных пространствах как конкретного билинейного оператора тензорного произведения (нахождение условий непрерывности этого оператора в пространствах Лоренца-Зигмунда, описание мультипликаторов пространств Орлича, Лоренца, Лоренца-Зигмунда), так и классов билинейных операторов (доказательство билинейной интерполяционной теоремы для функтора Петре-Густавссона и изучение ее приложений к функциональным пространствам и пространствам последовательностей).

Методы исследования

В работе используются методы теории банаховых пространств, теории интерполяции линейных операторов.

Научная новизна

Все основные результаты диссертации являются новыми. Изучено тензорное произведение в пространствах Лоренца-Зигмунда Lp,a,q '■ получены необходимые и достаточные условия непрерывности оператора тензорного произведения в а также описаны мультипликаторы этих пространств.

Доказана билинейная интерполяционная теорема для функтора Петре-Густавссона п представлены ее приложения к функциональным пространствам и пространствам последовательностей.

Практическая и теоретическая ценность

Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты представляют интерес для исследований в рамках одного из важных направлений функционального анализа - теории интерполяции линейных операторов. Они могут быть использованы в процессе подготовки спецкурсов и спецсеминаров для университетов и пединститутов.

Апробация работы

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях : "Об одном типе мультипликаторов в симметричных пространствах" в межвузовском сборнике "Мера и интеграл" (Самара,1995 г.), "Интерполяция билинейных операторов в пространствах Мар-цинкевича" в соавторстве с C.B. Асташкиным в журнале "Математические заметки" (1996 г.,т.60, вып.4), "Оператор тензорного произведения в пространствах Лоренца-Зигмунда" в сборнике "Вестник Самарского государственного университета" (Самара,1996 г.). Основные положения диссертационной работы докладывались на заседании Воронежской зимней математической

школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, я л ларь 1997 г.) и международных семинарах ''Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, июнь 1995 г., июнь 1996 г.).

В статье "Интерполяция билинейных операторов в пространствах Марцинкевнча" постановка основной задачи,а также разработка методов ее решения принадлежит С.В.Асташкпну. Ю.Е.Ким доказала общую теорему об интерполяции билинейных операторов методом Петре-Густавссона. В тезисах докладов международного семинара "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, июнь 1995 г.) сообщение "Билинейные интерполяционные теоремы для весовых /со -и ространств" посвящено приложениям теоремы для функтора Петре, доказанной C.B. Асташкиным. Билинейные интерполяционные теоремы для весовых со- и 1<х-пространств, для пространств Марцинкевича получены Ю.Е.Ким. Вклад соавторов в этих работах равноценен.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения и четырех глав. Библиография содержит 44 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Все необходимые обозначения, определения и некоторые известные результаты собраны в первой главе, которая носит вспомогательный характер.

Пусть ( 1Г , Е , ц) ~ пространство с мерой /л, заданной на а-алгебре S подмножеств множества W. Совокупность почти всюду конечных измеримых функции» на W с естественными алгебраическими операциями и топологией сходимости по мере ц на множествах конечной меры является линейным топологическим пространством, которое мы будем обозначать через S(W, S, ц).

В дальнейшем речь пойдет, главным образом, о следующих конкретных случаях 5(И", E,/t) : 1) S{Z), где Z = {0, ±1, ±2,...}, ц{{к}) = 1 (к <Е Z) ;

б

2) S(I), где I = [0,1], с мерой Лебега ;

3) S(I x I) с мерой Лебега. .

Перейдем к изложешпо необходимых сведений из теории симметричных пространств.

Для неотрицательной функции x(t) G 7 введем функцию распределения пх{т) :

пх{т) = J {tel : x(t) > т}| (0 < г < со).

Две неотрицательные функции х G 5(7) и y G .5(7) называются равноизмеримымн, если пх(т) = пу(т) (0 < г < оо).

Банахово идеальное пространство (ВИП) Е С S(í) назыоаеся симметричным, если из того, что х G Е, у G S(I) и функция |х| равноизмерима с ¡у|, следует, что у G Е и ЦуЦ^ =

Для неотрицательной функции (р ее функция растяжения определяется равенством :

Mv{t) = sup (0 < t < оо).

s G 7 VW st G 7

Так как Л4,р полумультипликативна, то существуют числа

.. In M¥{t) In Mv(t)

= hm —— = sup —-—— t-> о In t 0<Í<1 In t

ьMv{t) . _ In M^t) д и = lim —- = mf —-—-—-, ¿-+00 In t l<«oc Inf

называемые соответственно нижним н верхним показателями растяжения функщш ¡р . Если <~р - квазивогнутая функция, то

О < J* < Sv < 1.

Приведем примеры симметричных пространств. Обобщением известного класса Lp¡q являются пространства Лорепца-Зигмунда Lp>rt,q, которые состоят из всех функций х G 5(7) таких, что

Flip,а,? < °°>

II p,a,q

esssup tei

9Ё-t

1/9

q < со q = oo.

Пусть у? - квазивогнутая функция на I. Тогда пространство Лоренца

А,

= {*еЗД : INI= j*x*(t)d<p{t)< со}

( tp - наименьшая вогнутая мажоранта <р ). Заметим, что для вогнутой ifi

Wx\\av = £x'(i)Mi)-

Наконец, если A(t) - iV-функция на I , то есть положительная при t > 0, непрерывная справа прн t > 0, выпуклая (функция, удовлетворяющая условиям :

,• А*) п ,. М*)

lim —— = 0 , lim —— = +оо,

<->0+ t <->+оо t

то пространство Орлича

j*G I: ||x||iA=inf{A>0: J*А

La

И*)1

А

^dt < l| < ooj.

Важной характеристикой симметричного пространства является его фундаментальная функция. Далее через всегда будет обозначаться характеристическая функция множества а С I. Функция рхЫ) — ||Х(о,5)Цх (3 € /) называется фундаментальной функцией симметричного пространства X.

Теперь напомним основные понятия теории интерполяции линейных операторов.

Всюду в дальнейшем запись X С У обозначает, что X вложено в У, то есть : 1) из х € X следует, что ж € У; 2) существует такая постоянная С, что ||х||у < (х 6 X).

Для любых банаховых пар X = (Хо, Хх) и У = (Уо,У1) через Ь ^Х —> У^ обозначим банахово пространство всех линейных операторов Т : Хо + Л'1 —> Уо + У, которые непрерывно отображают X,- в У{ (» = 0,1), с нормой

Банахово пространтсво X называется промежуточным для пары X = (Хо, Хх), если Хо ПХ! С X С Х0+Х1 ; при этом совокупность (Хо,Х1,Х) называется тройкой.

Тройка (Хо,Х1,Х) называется интерполяционной относительно тройки (У0 ,УЬУ), если для любого Т е £ (X -4 У) Т : X У.

Под интерполяционным функтором (и.ф.) понимается функтор действзаощий из категории банаховых пар в категорию банаховых пространств так, что для произвольных пар Х= (Хо,Х1) и У=(Уо;У1) тройка (Хо,Х1,^(Х)) интерполяционна относительно тройки (УоДъ

НУ))-

Напомним определение вещественного АС-методо интерполяции.

Для банаховой пары (Хо, X]) и 0<з, ¿<оо определим Д^-функ-ционал Петре :

= М {йЦгоЦ^+ ¿11x111^ ; л:=х0+а-1 , ж,- € X;, ¿=0,1.} ,

В случае 5=1 этот функционал будем обозначать через х] X).

Предположим, что Е - БИП двз'сторошшх последовательностей а = Тогда пространство (Хо, Х})^, состоит из х Е Хо 4- Х\, для которых

|*|| = |{/С(2^;Х)}.

< оо.

е

Для БИП Е С 5(Z) и функции ф на (0, оо) через ф ■ а (а € Е) будет обозначаться последовательность ^ ,

а через Е(ф) - пространство с нормой

Если /оо (max (1,1/f)) С Е С l\ (min (1,1 /¿)), то отображение (Xo,Xi) i-4 (А'о,Х\)КЕ определяет точный интерполяционный функтор; их совокупность называют вещественным К-методом интерполяции.

Переходя к краткому изложению главы 2, предположим, что I — [0,1] , Е{1) - симметричное пространство, х. у £ Е(Т) .

Определим следуюпщй билинейный оператор тензорного произведения

B{x,y)(s,t) = {x®y)(s,i) = x{s)y(t) , (s,t) £ I xl .

Один из наиболее известных результатов, посвященных исследованию поведения оператора тензорного произведения В в конкретных классах с.п. - теорема о непрерывности тензорного произведения в пространствах LPitj, доказанная Р.О'НеЙлом. Напомним, что классические пространства Лоренца Ьрл содержатся в классе пространств Лоренца-Зигмунда. В первом пункте этой главы изучается вопрос о том, как связаны между собой пространства Лоренца-Зигмунда при различных показателях а и q. Отметим, что вложения пространств Lp.Q/i функций, определенных на полуоси (0,со), исследовались С.Беннеттом и К.Рудником, а также Р. Шарили. Аналогичный результат для с.п. иа отрезке, доказанный в первом разделе главы, выглядит несколько иначе.

ТЕОРЕМА 2.1 Ьр^^ С ¿рДс тогда и только тогда, когда:

1) если b < с ,то а < ß ;

2) если Ь> с , то ß > а + с— Ь~1 .

Основной результат этой главы - аналог теоремы О'Нейла для пространств bp>ctig, доказан во втором разделе.

ТЕОРЕМА 2.2 Пусть I<P<<Z0<<J1 и гГ^-р^+д^ Ч?^0 . Оператор В непрерывен из LPiqo X ЬРЛ1 в LPla,q тогда и только

тогда, когда :

1) q > z , то а > 0 ;

Ю ЯХ < Ч < z > 1710 ot> p~l + q"1 — — gj"1 .

Рассмотрим теперь ситуацию, когда q <

ТЕОРЕМА 2.3 Пусть 1 < р < q0 < qx uq<

90+'

Оператор В действует из ЬР;Ча х Ьр> д1 в пространство -тог-

да и только тогда, когда

В главе 3 рассматриваются вопросы описания мультипликаторов пекоторых симметричных пространств.

Пусть Р - некоторое симметричное пространство на I. Рассмотрим задачу нахождения максимального среди с.п. Е со свойством:

С решением этого вопроса связано введение понятия мультин-лпкатора симметричного пространства относительно тензорного произведения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Мультипликатором симметричного пространства Е(1) относительно тензорного произведения назовем множество М{Е) всех измеримых на I почти всюду конечных функций х — х($) , для которых х @ у & Е{1 X I) при любом

В первом разделе этой главы подробно исследуются основные свойства мультипликатора произвольного с.п.

ТЕОРЕМА 3.1 Мультипликатор М(Е) - симметричное пространство с нормой

Фундаментальная функция пространства М(Е) совпадает с нормой оператора растяо/сения пространства Е .

а >р 1 + g 1 - g0 1 ~ 9i 1 •

,-1

В : Е X F F{T X I) .

У € Е{1) .

Основные результаты главы 3 содержатся в следующих теоремах.

ТЕОРЕМА 3.2 Пусть Ьа -*■ пространство Орлича, построенное по функции , тогда для его мультипликатора справедливо вложение

где Лт(£) = Л4а(1) - функция растяжения функции А . При этом Ьр? является максимальным среди пространств Орлича, удовлетворяющих условию (1).

ТЕОРЕМА 3.3 Для мультипликатора пространства Лоренца М(Л^) выполняется включение :

где Л4ф - функция растяжения ф . При этом Км^ максимально среди простра>1ств Лоренца, удовлетворяющих условию (2).

ТЕОРЕМА 3.4 Если 1<5<р<оо,шо

М(Ьр>а1Я) = Ьр^д (для а<0) , М(ЬР)а|9) = (для а>0).

В случае 1 < р < д < оо справедливо следующее :

С М(Ьр>ад) (для а<0) , М(Ьр>01д) — Ьр (для а>0).

В работах, посвященных интерполяции билинейных операторов в с.п., речь шла о функторах комплексного и вещественного методов интерполяции. В главе 4 доказана билинейная интерполяционная теорема для функтора Петре-Густавссона.

Напомним определение интерполяционного функтора Петре-Густавссона < Х,р > .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1 Через < Х,р > обозначим множество всех х € Хо + Х\ , допускающих представление

с м(ьА),

(1)

с М(Л^) ,

(2)

с»

Г X 1°° Г 2пх I00

где ХпбХоПХ! и последовательности | '|р(2") )

слабо безусловно сходятся в Ао и Х\ соответственно.

Норма в пространстве < Х,р > - ||а:|| = т£ С , где С = тах{Со, Су] ,

Со = sup

еп = ±1 , FcZ

S rf2")

Ло

Ci = sup

£п = il , FcZ

г—v £п2 Хп

лг

(F С Z — конечное множество) и inf берется по всем представлениям (3).

В описании приложений этой теоремы существенную роль играет орбитальный подход к построению данного функтора, впервые предложенный в работах В.И. Овчинникова.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2 Пусть р = p(t) - квазивогнутая функция, L - пространство всех линейных ограниченных операторов, действующих из с"о = (со,со(2~п)) в X = (A'o, A'i) . Через G3(A') обозначим орбиту элемента ар = {р(2")}^1_00 (ар € Ао + Ai) относительно пары с"о и пространства L, то есть множество элементов вида Т(ар) , где Т € L (¿о —>• А*) . Тогда

< Х,р >= G3(A) = Orbc-0(ap,X,L) .

Основной результат этой главы представлен следующей теоремой.

ТЕОРЕМА 4.3 Пусть р — p(t) - квазивогнутая функция на полуоси (0, оо) , удовлетворяющая условиям :

1) для нижнего и верхнего показателей растяжения функции р справедливо 0 < -ур < 5Р < 1 ;

2) cyvj,ecmeyern такое а > 0 , что для любыых и > 0 , v > О выполнено неравенство

p(u)p(v) < ap(uv) .

Предположим, что X = (Xo,Xl), Y = (Y0,Yi), Z = (Zo,Z\)

- произвольные банаховы пары и T - билинейный оператор, непрерывный из х Yo в Zq и Х\ х Fi в Zi . Тогда Т можно продолжить до билинейного оператора, непрерывного из

<jt,p>x<Y,p>o(Zr,ZlXoo-

СЛЕДСТВИЕ 4.4 Если пространства Zq и Z\ рефлексивны и выполнены условия теоремы ^.3, то Т продолжается до билинейного оператора, непрерывного из < Х,р > X < Y,p > в {Zo,Zi)p}00.

Второй пункт четвертой главы посвящен приложениям теоремы 4.3, а также билинейной интерполяционной теоремы для функтора Петре, доказанной в [2]. Для представления этих результатов нам понадобятся следующие понятия и обозначения.

Для неотрицательной числовой последовательности через lao{w) обозначим /00 с "весом" w , норма в котором

1КаЛ11м«) = IKwllL =зир|а,-иу| .

je'¿

Аналогичным образом определяется пространство со (го) . Если p(t) - квазивогнутая функция, а = {/,,} , У1 =

- двусторонние положительные числовые последовательности, то функция р* (i) и последовагелыюсть jf, определяются следующим образом :

p\t) = l/p(t~1),fp = fp(f1/f) .

ТЕОРЕМА 4.5 Пусть билинейный оператор Т непрерывен из cg(u°) х co(v°) в loo(w°) и из cq(u1) X co(v*) в ^(w1) . Если квазивогнутая функция р — p{t) удовлетворяет условиям 1) и 2) теоремы 4-3 , то оператор Т люжно продолжить до билинейного оператора, непрерывного из со(ир*) X co(vp«) в loa{wp*) . .

ТЕОРЕМА 4.6 Пусть билинейный оператор Т непрерывен из со(и°) х со(и°) в co(u'°) и из co(uJ) х со^1) в со(гих) , причем для последовательностей {и^/и^} , справедливо :

lim u°n/ul= lim u*/ti°=0,

п—V—оо / п—}-\-<х >

Кт «»/«£= Нт «¿/«»=¿0.

п—оо / п-4+оо /

Квазивогнутая функция р = удовлетворяет условиям 1)-2) теоремы 4.8.

Тогда оператор Т продолжается до билинейного оператора, непрерывного из 1оо[ир*) X /оо(^*) в ¡сю•

Далее речь пойдет о применер^гш билинейной, интерполяционной теоремы в случае функциональных пространств.

Напомним, что для положительной квазиэогнутой функции <р пространство Марщпгкевича М(ф) - это банахово пространство измеримых функций на I = (0, оо) с нормой

I М(<р)

ъ

= sup[y(i)]_1 / x*(s)ds . ™ {

Через M°(tp) обозначим множество всех х £ М(ср) , для которых

rk

lim [vW]"1 / x"dt = 0 • А—>0,oo J о

. ТЕОРЕМА 4.7 Пусть билинейный оператор Т непрерывен из М°(фо) х М°{<ро) з М°(#0) " М°(01) х в М°(01) ,

причем функции ф\ = , = ? = ¿М^) (г =: 1)

обладают следующими свойствалщ ;,

О < 7^1 < < 1 , 0 < < < 1 , 0 < < 89, <1 (» = 0,1) ;

а для последовательностей {■г/)1(2;)/^'о(2-7)} , -[<^1(2-7)/с/>0(2-')} справедливо :

.lim ф\(2^)jфо(^) — lim фо{2^/ф1{2^ =0,

—)•—ОО ' J—>+оо '

.lim ц>\{2?} j(fiofö) = .Hm Vo(2J')/v>i(2') = 0 .

j—$~oo I j—>+oo

Предположим, что квазивогнутая функция p(t) удовлетворяет условиям 1)-2) теорелш 4-3 ...

Тогда оператор Т можно продолжить до билинейного оператора, непрерывного из М(фр) х М(<рр) в М(вр).

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю доценту C.B. Астанпшну за постоянное внимание, поддержку и помощь в работе.

Работы автора по теме диссертации

1. Ким Ю.Е. Об одном типе мультипликаторов в симметричных пространствах // Мера и интеграл. Самара, 1995, С.35-42.

2. Астащкин C.B., Ким Ю.Е. Интерполяция билинейных операторов в пространствах Марцинкевича//Матем.заметкп 1996. Т.60 N4. C.4S3-494.

3. Ким Ю.Е. Оператор тензорного произведения в пространствах Лоренца-Зигмунда //Вестнпк Самарского государственного университета 1996. N.2. С.45-55.

4. Ким Ю.Е. Мультипликаторы пространств Лоренца-Зигмунда относительно тензорного произведения //Воронеж, зимняя ма-тем. школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы". ТезИсы докл. Воронеж : ВГУ, 1997. С.87.

5. Асташкин C.B., Ким Ю.Е. Билинейные интерполяционные теоремы для весовых 'ост~пРостранств //Международ, семинар "Дифференциальные уравнения и их приложения". Тезисы докл. Самара : СамГУ, 1995. С.89.

6. Ким Ю.Е. О тензорном произведении в пространствах Лоренца-Зигмунда // Международ, семинар "Дифференциальные уравнения и их приложения". Тезисы докл. Самара : СамГУ, 1995. С.60.

Подписано в печать 6.02.97. Формат 60x84 1/16. Бумага писчая белая. Объем 1.0. Тираж 100 экз. Печать трафаретная.