Интерполяция операторов и ее приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Определения, обозначения, предварительные сведения.

Глава 2. Интерполяция линейных операторов в пространствах измеримых функций.

§2.1. Описание интерполяционных орбит операторов, ограниченных в квазинормиро ванных группах.

§2.2. К-монотонные весовые пары, порожденные пространством, не инвариантным относительно сдвига.

§2.3. Операторы слабого типа и устойчивость вещественного метода интерполяции.

Глава 3. Интерполяция мультилинейных операторов с функториальной точки зрения.

§3.1. Билинейные интерполяционные теоремы для вещественного метода.

§ 3.2. Мулътилинейные интерполяционные теоремы для функтора Петре и метода Калъдерона-Лозановского.

§ 3.3.Интерполяция билинейных функционалов слабого типа.

Интерполяционные теоремы можно упрощенно рассматривать как утверждения, устанавливающие ограниченность оператора из одного пространства в другое на основании информации об его ограниченности в других парах пространств.

Классические теоремы Рисса-Торина и Марцинкевича, с одной стороны, привели к созданию в конце 50-ых - начале 60-ых годов абстрактной теории интерполяции, с другой стороны, стимулировали ряд глубоких исследований по интерполяции операторов в функциональных пространствах измеримых функций.

Так, в середине 60-ых годов были получены два важных результата по интерполяции операторов, ограниченных в ставшей "модельной" после теоремы Рисса-Торина паре (Li, Loo). Первый из них, доказанный Ж.В.Риффом [1], показал, что орбита любой функции из суммы L-¡ + L^ относительно этого класса операторов совпадает с ее К. -орбитой. Вторая теорема, принадлежащая А.П.Кальдерону [2] (близкое утверждение доказал Б.С.Митягин [3]), дала описание всех пространств, интерполяционных относительно пары (Li, Loo). Одновременно, в основном, после работы Я.Петре и Г.Спарра [4] выяснилась возможность рассматривать интерполяционные конструкции не только для банаховых пространств, но и для квазибанаховых абелевых групп измеримых функций. В этом случае нужно изменить одно из "крайних" пространств, и вместо пары (¿i, L^) рассматривать пару (Lo, £оо), где Lq - пространство всех измеримых функций с носителем конечной меры. Вопросы по интерполяции операторов, ограниченных в последней паре, выглядят столь же естественными, что и для пары (L-¡,Loo), но изучаются в диссертации уже в рамках всех квазибанаховых групп.

Если орбита каждого элемента х £ Xq + Xi относительно банаховой пары (Xq, Х\) совпадает с ее К -орбитой, то такая пара называется К -монотонной (или парой Кальдерона). Важность изучения таких пар связана, прежде всего, с возможностью полного описания класса всех пространств, интерполяционных относительно них [5,6]. Исторически первым примером К -монотонной пары была пара (¿i, Loo). Далее в работах А.А.Седаева и Е.М.Семенова [7], А.А.Седаева [8], Г.Спарра [9] было показано, что аналогичным свойством обладают произвольные пары весовых Lp -пространств, а также пары, являющиеся частичными ретракта-ми последних (например, пары пространств вещественного К -метода, параметры которых - весовые 1р -пространства последовательностей [10,11]). Это послужило причиной постановки вопроса о том, насколько универсален такой способ построения К, -монотонных пар.

Развитие идей, связанных с теоремой Марцинкевича, привело к созданию вещественного метода интерполяции, одного из наиболее важных способов конструирования интерполяционных пространств. Отличительной особенностью его является определенная устойчивость относительно банаховых пар. В работе [12] интерполяционный функтор был назван устойчивым, если его значения на определенных парах .весовых - п 1^ -прострааств пссле/102а.10.ьн0стей совпадают. Там же показано, что множество таких функторов можно охарактеризовать как класс всех функторов вещественного метода интерполяции, соответствующих параметрам, в которых ограниченно действует оператор Кальдерона. В случае симметричных (или перестановочно инвариантных) пространств измеримых функций вопросы устойчивости интерполяционных методов тесно связаны с их значениями на парах пространств Лоренца и Марцинкевича. Из общих реитерационных теорем следует, что устойчивые функторы "устойчивы" и в этой ситуации. В диссертации рассматривается задача определения эффективных достаточных условий устойчивости функторов на парах симметричных пространств. При определенных предположениях найденные условия точны, а наличие устойчивости не всегда является следствием реитерационных теорем.

Большинство из имеющихся интерполяционных конструкций плохо приспособлено к интерполированию мультилинейных операторов. Исключение составляет, пожалуй, только комплексный метод интерполяции, созданный независимо Ж.-Л.Лионсом и А.П.Кальдероном. Он так же хорошо "интерполирует" и мульти-линейные операторы [13]. В то же время, например, для классического варианта вещественного метода, подробно рассматриваемого в монографии [14], ситуация совершенно иная. Билинейные интерполяционные свойства имеют лишь функторы, параметры которых - весовые -пространства. В связи с этим становится актуальной задача нахождения и описания функторов, "интерполирующих" мультилинейные операторы. Изучение с этой точки зрения общего вещественного метода, семейства функторов Я.Петре, а также интерполяционной конструкции Кальдерона-Лозановского позволило в качестве следствий доказать "естественные" билинейные и мультилинейные теоремы для пространств Орлича, Лоренца и Марцинкевича.

Создание теории интерполяции, во многом, было вызвано насущными потребностями целого ряда областей математики (дифференциальные уравнения в частных производных, теория аппроксимации, теория операторов, ортогональные ряды и др.). Применение интерполяционных методов и результатов позволило уточнить многие утверждения относительно конкретных операторов анализа, добиться принципиального продвижения в изучении геометрии различных классов функциональных пространств. В диссертации теория интерполяции применяется при решении задач, возникающих в связи с изучением симметричных пространств измеримых функций, являющихся естественным обобщением шкалы Ьр -пространств (теория их достаточно полно представлена в монографиях [15] и [16]).

Наряду с хорошо известными операторами Харди-Литтльвуда, Гильберта, оператора перехода к сопряженной функции [15] важную роль в теории последнее время начинают играть другие менее изученные операторы. В работе рассматривается тензорное произведение симметричных пространств, естественным образом возникающее при решении ряда задач, связанных с исследованием их геометрических свойств (например, структуры подпространств - в [17], ортогональных рядов с векторными коэффициентами - в [16,2.(1] и [18]). В отличие от работ М.Мильмана [19-22] и Р.О'Нейла [23], посвященных, в основном, нахождению условий ограниченности тензорного произведения в конкретных классах пространств, здесь оно изучается в произвольных симметричных пространствах. Получены оценки мультипликатора относительно этого произведения, которые, в частности, позволяют уточнить некоторые известные результаты (например, теорему Р.О'Нейла об ограниченности тензорного произведения в пространствах Лоренца ЬРЛ).

Одним из интересных свойств симметричных пространств является возможность их однозначного определения относительно некоторого класса пространств на конусе ступенчатых функций достаточно общего вида. При его изучении полезным оказывается вещественный метод интерполяции, с помощью которого удается получить результаты как положительного, так и отрицательного характера.

В последнее время достаточно интенсивно изучается введенное в работе [24] понятие дизъюнктно строго сингулярного оператора, естественное обобщение понятия строго сингулярного оператора. Оно оказалось весьма полезным при рассмотрении ряда геометрических свойств функциональных пространств (в частности, дополняемости подпространств). В работах [24,25] изучался вопрос о дизъюнктной строгой сингулярности оператора тождественного вложения одного пространства Орлича в другое. Здесь эта задача рассматривается в более общем контексте: в классе всех симметричных пространств. Основные результаты при этом формулируются в терминах фундаментальных функций и индексов Бойда этих пространств (определения см. в главе 1).

Существенное влияние интерполяционных методов испытала на себе также теория ортогональных рядов (см., например, монографии [26-28]). В работе изучаются вопросы, так или иначе связанные с классической системой Радемахера (в другой терминологии: последовательностью Бернулли независимых симметричных одинаково распределенных случайных величин со значениями ±1), введенной в 1922 году Х.Радемахером [29] и играющей заметную роль в теории функций, теории вероятностей и других разделах математики. Важным обстоятельством является то, что применение теории интерполяции для решения рассматриваемых в диссертации задач заключается не столько в прямом применении интерполяционных утверждений (как например, в [15,§2.9] или в [27,гл.12]), сколько в вычислении "интерполяционных" функционалов на некоторых подпространствах, связанных с изучаемой ортогональной системой.

Рассмотрению рядов Радемахера в симметричных пространствах посвящена работа В.А.Родина и Е.М.Семенова [30]. Позднее была опубликована важная работа С.Монтгомери-Смита [31] о распределении сумм Радемахера. В [30], в частности, были найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы система Радемахера в симметричном пространстве была эквивалентна каноническому базису пространства ¿2- Применение вещественного метода интерполяции позволило дополнить это и существенным образом уточнить другие утверждения последней работы. Так, например, получено описание подпространств симметричных пространств, порожденных системой Радемахера (в том числе и для тех, в которых эта система не эквивалентна каноническому базису ¿г)- С помощью него можно, в частности, найти симметричное пространство, содержащее те и только те ряды по системе Радемахера, последовательности коэффициентов которых принадлежат наперед заданному координатному пространству. В свою очередь, эти результаты, а также теоремы двойственности для вещественного метода интерполяции позволяют во многих случаях эффективно находить пространства последовательностей коэффициентов Фурье-Радемахера функций из симметричных пространств.

Большой интерес в последнее время вызывают системы, образованные попарными произведениями различных независимых функций (так называемые хаосы) (см., например, монографию [32]). Сохраняя в той или иной степени свойства систем независимых функций, они в определенном смысле "близки'" к последним. В диссертации изучаются геометрические свойства подпространств, порожденных хаосом Радемахера. В частности, найдены необходимые и достаточные условия его безусловности в симметричном пространстве.

Другая группа рассматриваемых в работе вопросов связана с изучением систем случайных величин, в некотором смысле "подобных" "модельной" системе Радемахера. Точнее, это системы, распределение модулей полиномов по которым с точностью до эквивалентности то же, что и для системы Радемахера (в диссертации это свойство называется эквивалентностью по распределению). Важнейший пример такой системы - лакунарная по Адамару подпоследовательность тригонометрической системы. Среди работ, посвященных изучению систем, эквивалентных по рспределению системе Радемахера (или очень близких к ним) назовем работы Ж.Пизье [33] и Н.Асмар и С.Монтгомери-Смита [34] (в них рассматриваются системы Сидона характеров, определенных на компактной абелевой группе), а также работу С.Квапеня и И.Якубовского [35] (о мультипликативных и сильно мультипликативных системах случайных величин). В диссертации свойство эквивалентности по распределению системе Радемахера изучается систематически. Получены условия, необходимые и достаточные для того, чтобы произвольная система случайных величин обладала этим свойством. С помощью них найдены опять же необходимые и достаточные условия для того, чтобы из нее можно было выделить подсистему, эквивалентную системе Радемахера. Эти результаты дополняют и уточняют известные теоремы С.Б.Стечкина и В.Ф.Гапошкина о выделении Яр -подсистем, а также подсистем со свойством Сидона [36] соответственно. Кроме того, получены точные по порядку оценки плотности подсистем конечных ортонормированных наборов функций, эквивалентных по распределению соответствующим наборам функций Радемахера. При изучении этих вопросов существенным образом используется К -функционал, играющий центральную роль в теории вещественного метода интерполяции.

1. Ryff J. V. Orbits of Li Functions Under Doubly Stochastic Transformations// Trans. Amer. Math. Soc. 1965. V. 117. P. 92-100.

2. Calderon A. P. Spaces between L1 and L°° and the theorem of Marcinkiewicz// Studia Math. 1966. V. 26, No. 3. P. 273-299.

3. Митягин Б. С. Интерполяционная теорема для модулярных пространств// Мат. сборник. 1965. Т. 66, No. 4. С. 473-482.

4. Peetre J., Sparr G. Interpolation of normed Abelian groups// Ann. mat. pura ed appl(4). 1972. V. 92, No. 4. P. 217-262.

5. Ovchinnikov V. I. The method of orbits in interpolation theory // Math. Rept. 1984. V. 1. P. 349-515.

6. Брудный Ю. А., Кругляк H. Я. Функторы вещественной интерполяции. Ярославль, 1981.-211 с. (Рукоп. деп. в ВИНИТИ, No. 2620 -81 Деп.).

7. Седаев А. А., Семенов Е. М. О возможности описания интерполяционных пространств в терминах К-метода Питре// В сб. тр. ин-та мат. Сиб. отд. АН СССР. 1971. Вып. 4(21). С. 98-114.

8. Седаев А. А. Описание интерполяционных пространств пары и некоторые родственные вопросы// ДАН СССР. 1973. Т.209, No. 4. С. 798800.

9. Sparr G. Interpolation of weighted Lp-spaces// Studia Math. 1978. V. 62. P. 229271.

10. Дмитриев В. И., Овчинников В. И. Об интерполяции в пространствах вещественного метода// ДАН СССР. 1979. Т. 246, No. 4. С. 794-797.

11. Cwikel М. Monotonicity properties of interpolation spaces 2/ / Arc. mat. 1981. V. 19, No. 1. P. 123-136.

12. Асташкин С. В. Об устойчивости интерполяционных функторов// Функц. анал. и его прил. 1985. Т. 19, No. 2. С. 63-64.

13. Calderon А. P. Intermediate spaces and interpolation, the complex method// Studia Math. 1964. V. 24, No. 2. P. 113-190.

14. Берг Й., Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир, 1980.-264с.

15. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978.-400 с.

16. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces 2, Function spaces. Berlin: Springer-Verlag, 1979.-243p.

17. Carothers N. L. Rearrangement invariant subspaces of Lorentz function spaces// Israel J. of Math. 1981. V. 40, No. 3-4. P. 217-228.

18. Асташкин С. В., Браверман M. Ш. О пдпространстве симметричного пространства, порожденном системой Радемахера с векторными коэффициентами/ / В сб. "Операторн. ур-ияв функц. пр-вах". Воронеж, 1986. С. 3-10.

19. M.Milman, Tensor products of function spaces/ / Amer. Math. Soc. 1976. V. 82, No. 4. P. 626-628.

20. Milman M. Embeddings of L(p, q) spaces and Orlicz spaces with mixed norms// Notes de Mat. 1977. V. 13. P. 1-7.

21. Milman M. Some new function spaces and their tensor products // Notas Mat. 1978. V. 20. P. 1-128.

22. Milman M. Embeddings of Lorentz-Marcinkiewicz spaces with mixed norms// Anal. math. 1978. V. 4, No. 3. P. 215-223.

23. O'Neil R. Convolution operators and L(p, q) spaces// Duke Math. J. 1963. V. 30. P. 129-142.

24. Hernandez F. L., Rodrigues-Salinas B. On lp-complemented copies in Orlicz spaces 2Ц Israel J. of Math. 1989. V. 68. P. 27-55.

25. Hernandez F. L. Disjointly strictly-singular operators// Proc. 19 Winter School on Analysis (Srni), Acta Univ. Carolinae. 1990. V. 31. P. 35-49.

26. Зигмунд А. Тригонометрические ряды,т.1. M.: Мир, 1965.-615c.

27. Зигмунд A. Тригонометрические ряды,т.2. M.: Мир, 1965.-537с.

28. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984.-496с.

29. Rademacher H. Einige Sätze über Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen// Math. Annalen. 1922. Bd. 27. S. 111-138.

30. Rodin V. A., Semyonov E. M. Rademacher series in symmetric spaces// Analysis Math. 1975. V. 1, No. 3. P. 207-222.

31. Montgomery-Smith S. J. The distribution of Rademacher sums// Proc. of the Amer. Math. Soc. 1990. V. 109, No. 2. P. 517-522.

32. Ledoux M., Talagrand M. Probability in Banach èpaccs. Berlin: Sp^uger-Verlag,1991.

33. Pisier G. Les inégalités de Kahane-Khintchin d'après С.Boreil Sémin. géom. des espaces de Banach, 1977-1978, Exposé No.7: Ecole Polytechnique, Cent. Math., 1978. P. 1-14.

34. Asmar N. H., Montgomery-Smith S. J. On the distribution of Sidon series// Arkiv for mathematik. 1993. V. 31, No. 1. P. 13-26.

35. Jakubowski J., Kwapien S. On multiplicative systems of functions/ / Bull. Acad, pol. sci., Ser. sci. math. 1979. V. 27, No. 9. P. 689-694.

36. Гапошкин В. Ф. Лакунарные ряды и независимые функции//Успехи мат. наук. 1966. Т. 21, вып. 6. С. 3-82.

37. Канторович JI. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.-742с.

38. Семенов Е. М. Теоремы вложения для банаховых пространств измеримых функций// ДАН СССР. 1964. Т. 156, No. 6. С. 1292-1295.

39. Lorentz G. G. Bernstein Polinomials. Toronto, Univ. of Toronto Press, 1953.

40. Красносельский M. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматгиз, 1958.

41. Boyd D. W. Indices of function spaces and their relationship to interpolation// Canad. J. Math. 1969. V. 21, No. 5. P. 1245-1254.

42. Peetre J. A theory of interpolation of normed spaces// Notas de Math. 1968. V. 39. P. 1-86.

43. Овчинников В. И. Интерполяционные теоремы, вытекающие из неравенства Гротендика// Функц.анал. и его прилож. 1976. Т. 10, No. 4. С.45-54.

44. Peetre J. Nouvelles propriétés d'espaces d'interpolation// C.R.Acad.Sci. Paris. 1963. V. 256, No. 7. P. 1424-1426.

45. Дмитриев В. И., Крейн С. Г., Овчинников В. И. Основы теории интерполяции линейных операторов// Межвуз. темат. сб. научн. тр. Ярославль: Изд-во Яросл. ун-та. 1977. С. 31-74.

46. Рора N. Interpolation theorems for rearrangement invariant p-spaces of functions, 0 < p < 1, and some applications// Rend. Circ. mat. Palermo. 1982. V. 31, No. 2. P. 199-216.

47. Hudzik H., Maligranda L. An interpolation theorem in symmetric function F-spaces// Proc. of the Amer. Math. Soc. 1990. V. 110, No. 1. P. 89-96.

48. O'Neil R. Integral transforms and tensor products on Orlicz spaces and L(p,q) spaces// J. d'Analyse Math. 1968. V. 21. P. 1-276.

49. Асташкин С. В. Описание интерполяционных пространств между Vи (/oo(w0),/oo(^x))// Мат. заметки. 1984. Т. 35, вып. 4. С. 497503.

50. Janson S. Minimal and maximal methods of interpolation// J. Funct. Anal. 1981. V. 44. P. 50-73.

51. Kalton N. J. Calderon couples of rearrangement invariant spaces// Studia Math. 1993. V. 106, No. 3. P. 233-277.

52. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces 1. Sequence Spaces. Berlin: Springer-Verlag, 1977.-185p.

53. Marcinkiewicz J. Sur I'interpolation d'operateurs// C. R. Acad. Sci. Paris. 1939. V. 208. P. 1272-1273.

54. Dmitriev V. I., Krein S. G. Interpolation operators of weak type// Analysis Math. 1978. V. 4, No. 2. P. 83-99.

55. Maligranda L. Indices and interpolation// Diss. Math. Warszawa. 1985. P. 1-49.

56. Sharpley R. Spaces Ka{X) and interpolation// J. Funct. Analysis. 1972. V. 11, No. 4. P. 479-513.

57. Асташкин С. В. Об одном свойстве функторов вещественного метода интерполяции/ / Мат. заметки. 1985. Т. 38, вып. 3. С. 393-406.

58. Aronszajn N., Gagliardo Е. Interpolation spaces and interpolation methods// Ann. mat. pura ed appl. 1965. V. 68, Ser. 4. P. 51 117.

59. Асташкин С. В. Об интерполяционных пространствах между ¿i(u>o) иi)// В сб. "Вопр. функц. анализа. Мера и интеграл". Куйбышев. 1984. С. 25-33.

60. Semenov Е. М. On the stability of real interpolation method in the class of rearrangement invariant spaces// Israel Math. Conf. Proc. (to appear).

61. Овчинников В. И. Об устойчивости конструкции Лионса-Петре// В сб. трудов математического ф-та ВГУ. Воронеж: Изд-во Воронежского госунта. 1997. С. 37-41.

62. Рутицкий Я. Б. О некоторых классах измеримых функций// УМН. 1965. Т. 20, No. 4. С. 205-208.

63. Lions J. L., Peetre J. Sur une classe d'espaces d'interpolation// Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 1964. V. 19. P. 5-68.

64. Janson S. On interpolation of multi-linear operators// Lect. Notes in Math. 1988. V. 130. P. 290-302.

65. Павлов E. А. Об операторе свертки в симметричных пространствах // УМН. 1976. Т. 31, No. 1. С. 257-258.

66. Павлов Е. А. Об ограниченности операторов свертки в симметричных пространствах/ / Изв. вузов. Мат. 1982, No. 2. С. 36-42.

67. Павлов Е. А. Об интегральном неравенстве Хаусдорфа-Юнга в пространствах со смешанной нормой// УМН. 1984. Т. 39, No. 2. С. 183-184.

68. Maligranda L. Interpolation of Some Spaces of Orlicz Type 2. Bilinear InterpolationBull. Pol. Acad. Sci. Math. 1989. V. 37, No. 7-12. P. 453-457.

69. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.-664с.

70. Бухвалов А. В. Комплексный метод интерполяции в пространствах вектор-функций и обобщенные пространства Бесова// ДАН СССР. 1981. Т. 260, No. 2. С. 265-269.

71. Асташкин С. В., Ким Ю. Е. Интерполяция в пространствах Марцинкеви-ча// Мат. заметки. 1996. Т. 60, вып. 4. С. 483-494.

72. Peetre J. Sur Vutilisation des suites inconditionellement sommable dans la theorie des espaces d'interpolation/ / Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1971. V. 46. P. 173-190.

73. Лозановский Г. Я. Замечание об одной интерполяционной теореме Кальде-рона// Функд. анал. и его прил. 1972. Т. 6, No. 4. С. 89-90.

74. Бережной Е. И. Интерполяция положительных операторов в пространствах ¡р(ХQ,Xi)j/ В сб."Качеств, и приближ. методы исслед. операторн. ур-ий". Ярославль. 1980. С. 19-29.

75. Водопьянов В. В. Орбиты и коорбиты положительной интерполяции для банаховых идеальных структур// Изв. вузов. Математика. 1989. No. 3. С. 76-78.

76. Bennett С., Sharpley R. Interpolation of operators. London: Academic Press, 1988.-469p.

77. Bennett C. Banach function spaces and interpolation methods l.The abstract theory// J. Funct. Anal. 1974. V. 17. P. 409-440.

78. Асташкин С. В., Овчинников В. И. Функториальный подход к интерполяции операторов слабого типа// Сиб. мат. ж. 1991. Т. 32, No. 3. С. 12-23.

79. Johnson W. В., Maurey В., Schechtman G., Tzafriri L. Symmetric Structures in Banach Spaces// Mem. Amer. Math. Soc. 1979. P. 1-298.

80. Асташкин С. В. О билинейном мультипликативном операторе //В сб. "Исслед. по теор. функций мног. вещ. переменных". Ярославль: Изд-во Яросл. госун-та. 1982. С. 3-15.

81. Rosenthal Я. F. On a theorem of J. L. Krivine concerning block finiit-representablity of lp in general Banach spaces// J. Funct. Anal. 1978. V. 28. P. 197-225.

82. Маламид В. M. О конусах, определяющих симметричные пространства// В сб. "Исслед. по теор. функций мног. вещ. переменных". Ярославль: Изд-во Яросл. госун-та. 1981. С. 45-54.

83. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961.-936с.

84. Новиков И. Я. Последовательности характеристических функций в симметричных пространствах// Сиб. мат. ж. 1983. Т. 24, No. 2. С. 193-196.

85. Овчинников В. И. О связи комплексного и вещественного методов интерполяции/ / В сб.докл. 16-ой Всесоюзн.школы по теор.операторов в функц. пр-вах. Нижний Новгород. 1991. С. 167.

86. Shimogaki Т. A note on norms of compression on function spaces// Proc. Japan Akad. 1970. V. 46. P. 239-242.

87. Пич А. Операторные идеалы. M.: Мир, 1982.-536с.

88. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.-443с.

89. Новиков С. Я. О числовой характеристике подпространства симметричного пространства// В сб. "Исслед. по теор. функций мног. вещ. переменных". Ярославль: Изд-во Яросл. госун-та. 1980. С. 140-148.

90. Carothers N. L., Dilworth S. J. Geometry of Lorentz Spaces via Interpolation// Longhorn Notes. The University of Texas at Austin. Functional Analysis Seminar. 1985-1986. P. 107-133.

91. Baouendi M. S., Goulauic C. Commutation de I'interpolation et des foncteurs d'interpolation// C. R. Acad. Sci. Paris. 1968. V. 265. P. 313-315.

92. Wallsten R. Remarks on interpolation of subspaces// Lect. Notes Math. 1988. V. 1302. P. 410-419.

93. Родин В. А., Семенов E. M. О дополняемости подпространства, порожденного системой Радемахера, в симметричном пространстве// Функц. анал. и его прил. 1979. Т. 13, No. 2. С. 91-92.

94. Крейн С. Г., Семенов Е. М. Интерполяция операторов ослабленного типа// Функц. анал. и его прил. 1972. Т. 7, No. 2. С. 89-90.

95. Родин В. А. Ряды Фурье в симметричном пространстве и интерполяция операторов. Дисс. на соиск. звания канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 1973.

96. Holmstedt Т. Interpolation of quasi-normed spaces// Math. Scand. 1970. V. 26, No. 1. P. 177-199.

97. Brudnyi Yu. A., Kruglyak N. Ya. Interpolation Functors and Interpolation Spaces 1. North-Holland, 1991.

98. Nilsson F. Reiteration theorems for real interpolation and approximation spaces/ / Ann. mat. pura ed appl. 1982. V. 32. P. 291-330.

99. Кисляков С. В., Куанхуа Шу. Вещественная интерполяция и сингулярные интегралы// Алгебра и анализ. 1996. Т. 8, No. 4. С. 75-109.

100. Родин В. А., Семенов Е. М. Функции распределения рядов Радемахера// Тез. докл. 3-его Всеросс. шк.-колл. по стох. методам. Туапсе. 1996.

101. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: Физматгиз, 1958.-507с.

102. Овчинников В. И., Распопова В. Д., Родин В. А. Точные оценки коэффициентов Фурье суммируемых функций и 1С-функционалы// Мат. заметки. 1982. Т. 32, No. 3. С. 295-302.

103. Szarek S. J. On the best constants in the Khinchine inequality // Studia Math. 1976. V. 58. P. 197-208.

104. Новиков С. Я.Котип и тип функциональных пространств Лоренца// Мат. заметки. 1982. Т.32, No. 3. С. 213-221.

105. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965.

106. АлексичГ. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М.: ИЛ, 1963.-359с.

107. Plichko А. М., Popov М. М. Symmetric function spaces on atomless probability spaces.// Diss.Math. Warszawa, 1990.

108. Голубов В. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша. М.: Наука, 1987.-343с.

109. Steinhaus Н. Zur Konvergenzfrage bei dem Rademacherschen Orthogonalsystem// Мат. сборник. 1928. Т. 35. С. 39-42.

110. Bourgain J., Tzafriri L. Invertibility of "large" submatrices with applications to the geometry of Banach spaces and harmonic analysis// Israel J. Math. 1987. V. 57. P. 137-224.

111. Kwapien S. Decoupling inequalities for polynomial chaos// Ann. Probab. 1987. V. 15. P. 1062-1071.

112. Kwapien S., Woyczijnski W. A. Random Series and Stochastic Integrals.Single and Multiple. Birkhauser, Boston. 1992.

113. De la Репа V. H., Montgomery-Smith S. J., Szulga J. Contraction and decoupling inequalities for multilinear forms and U-statistics// Ann. of Prob. 1994. V. 22. P. 1745-1765.

114. De la Репа V. H., Montgomery-Smith S. J. Bounds on the tail probability of U-statistics and quadratic forms// Bull. Amer. Math. Soc. 1994. V. 31, No. 2. P. 223-227.

115. Стейн И. Сингулярные интегралы- и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.-342с.

116. Боровков А. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1976.-352с.

117. Макаров Б. М., Голузина М. Г., Лодкин А. А., Подкорытов А. Н. Избранные задачи по вещественному анализу. М.: Наука, 1992.-432с.

118. Blozinski A. P. Multivariate rearrangements and Banach function spaces with mixed norms// Trans. Amer. Soc. 1981. V. 263, No. 1. P. 149-167.

119. Billard P., Kwapien S., Pelczynski A., Samuel Ch.// Lonhorn Notes. Texas Func. Anal. Seminar 1985-1986. P. 13-35.

120. Семенов E. M. RUC-базисные свойства системы Хаара// Докл. РАН. 1996. Т. 348, No. 5. С. 590-591.

121. Кахан Ж.-П. Случайные функциональные ряды. М.: Мир, 1973.-302с.

122. Асташкин С. В. О выделении подсистем, "мажорируемых" системой Ра- / демахера// Мат. заметки. 1999. Т. 65, вып. 4. С. 483-495.

123. Hitczenko P. Domination inequality for martingale transforms of a Rademacher sequence// Israel J. Math. 1993. V. 84. P. 161-178.

124. Gluskin E. D.,Kwapien S. Tail and moment estimates for sums of independent random variables with logarithmically concave tails// Studia Math. 1995.V. 114(3). P. 303-309.

125. Белов А. С.,Родин В. А. Нормы лакунарных полиномов в функциональных пространствах//Мат. заметки. 1992. Т. 51, вып. 3. С. 137-139.

126. Khintchine A. Ûber dyadische Bruche//Math. Zeitschr. 1923. V. 18. P. 109-116.

127. Zygmund A. Sur les séries trigonométrie lacunaires// Journ. Lond. Math. Soc. 1930. V. 5 : 2. P. 138-145.

128. Banach S. Sur les séries lacunaires//Bull. Acad. Polon. 1933. P. 149-154.

129. Zygmund A. On lacunary trigonometric series//Trans. Amer. Math. Soc. 1932. V. 34 : 3. P. 435-446.

130. Kaczmarz S.,Steinhaus G. Le système orthogonal de M.Rademacher// Studia Math. 1930. V. 2. P. 231-247.

131. Кашин Б. С. О некоторых свойствах пространства тригонометрических полиномов с равномерной нормой// Труды МИАН. 1980. Т. 145. С. 111-116.

132. Стечкин С. Б. Об абсолютной сходимости рядов Фурье// Изв. АН СССР. 1956. Т. 20. С. 385-412.