Билинейные инвариантные дифференциальные операторы на тензорных полях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ . . . . ;.

ГЛАВА I. ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

§ I. Тензорные поля.

§ 2. Инвариантные дифференциальные операторы

ГЛАВА 2. РЕЗУЛЬТАТЫ.

§ 3. Инвариантные операторы.

§ 4. ЯГ-инвариантные операторы

ГЛАВА 3. ВЫЧИСЛЕНИЯ.

§ .5. Старшие особые векторы.

§ б. Доказательство теоремы 3.10 в случае /1=

§ 7. Особые и 2Г-особые векторы при У1 = 2.

§ 8. Доказательство теорем ЗЛО и 4.4 в случае П > 3.

§ 9. Доказательство теоремы 3.12.

0.1. Инвариантными оператораим мы будем называть операторы на тензорных полях, одинаково записывающиеся в любой /криволинейной/ системе координат на многообразии м.

Важность таких операторов для физики стала ясной после открытия общей теории относительности. Согласно принципу эквивалентности, движение тела в гравитационном поле эквивалентно движению вне поля, но в неинерциальной системе отсчета /причем с криволинейными координатами, если гравитационное поле неоднородно/. Воздействие гравитационного поля на различные тела выражается, согласно уравнению Эйнштейна, через метрику пространства. Инвариантность этого уравнения является математической формулировкой принципа эквивалентности.

Аналогичным образом инвариантные операторы должны появляться всегда, когда имеется зависимость между тензорными полями на многообразии, не меняющаяся при замене системы координат, либо условие на тензорное поле, либо алгебраическая структура на пространстве тензорных полей. Примеры - структура алгебры Ли на пространстве векторных полей, формула Стокса, уравнение геодезической, условие локального выпрямления пары векторных полей, условие локальной интегрируемости поля плоскостей, условия Ко им - Римана и другие /в последнем примере допускаются только аналитические координаты/.

0.2. Тензорными полями будем называть сечения расслоений вида

В данной работе мы ограничимся рассмотрением линейных дифференциальных операторов

ГСМ, Е^СМ)) — Г (74, £?(Х>) и билинейных дифференциальных операторов

Г (М, Е J С/ч)) X Г (/И, £ £(/ч)) - Г(7Ч, £,Р C^u

Простейшим линейным инвариантным оператором первого порядка является полный дифференциал функции df = Z Ц. t — f »

Инвариантность этого оператора является одной из фундаментальных теорем дифференциального исчисления.

Обобщением этого оператора является внешняя производная дифференциальных форм: d-. J2POn - S2*"(M) .

Оператор d оказался единственным линейным дифференциальным инвариантным оператором ненулевого порядка на тензорных полях. Это было доказано для дифференциальных форм - Р. Пале, [26], 1959 г., для ковариантных тензорных полей - X. Лейхером, [23], 1973 г., для тензорных полей общего вида - независимо и разными методами - А.Н. Рудаковым, [13], 1974 г., А. А. Кирилловым, [7], 1977 г. и 4.-JI, Тэн, [29] /1976 г. - в диссертации, опубликовано в 1978 г./.

Перейдем к билинейным операторам. Исторически первыми и наиболее известными инвариантными операторами первого порядка являются производная Ли

L ■ Г(м,тм)х ГСМ/ Ejc/Ч)) - Г(М, Е9Р(М)) частный случай этого оператора - коммутатор векторных полей/, а также операторы, сводящиеся к внешнему дифференцированию d и операторам нулевого порядка.

В первой половине XX века, после работ Эйнштейна и Гильберта по общей теории гравитации, начался систематический поиск инвариантных операторов. Об этой задаче говорил 0. Веблен на конгрессе математиков в Болонье, [31], 1928 г. Два новых инвариантных оператора нашел Я. А. Схоу-тен в [27], [28], 1940 и 1954 гг.:

Г(м,л*т) х Г(м,/т/ч) - Г(м,лк*е"тм),

Г(м,£,рН) »Г(М,Е9Р(М)&ЛЛТ*№ ) --> ГСМ Т*м <&л"Т*М )

- так называемые антисимметричный и лагренжев конкомитанты Схоутена. Он также заметил, что скобка Пуассона на кокаса-тельном расслоении т*м интерпретируется /если ограничиться функциями, однородными на слоях/ как инвариантный оператор первого порядка р: Г(М, $КТМ ) X Г(М, £>еТМ) - Г(М, в^'тм) симметричный ко'нкомитант Схоутена/. Еще один оператор обнаружил ученик Схоутена А. Нейенхёйс, ^247, 1955 г. -коммутирование векторнозначных форм /скобка Нейенхёйса/: тм&лк*ет*/ч) .

В течении последующих двадцати лет публиковались лишь работы, посвященные изучению и применению уже известных операторов - f20], [22], [25], [30].

В 1977 и 1978 гг. в курсовой и дипломной работах автор исследовал и полностью классифицировал билинейные инвариантные дифференциальные операторы на тензорных полях в случае cUm /Ц /опубликовано в f4], 1980 г./. При этом обнаружено три новых оператора первого порядка

F . G , р* .

А. А. Кириллов в C8J, 1979 г. заметил, что при помощи инвариантного спаривания

ГоС/ч,е;и) X Г0[м , ЕJ [М)ълп1*м) Я индекс о означает, что рассматриваются только тензорные поля с компактным носителем/, можно определить сопряженные операторы к уже известным инвариантным дифференциальным операторам. При этом "лагранжев конкомитант" Схоу-тена оказался сопряженным к производной Ли, а операторы, сопряженные к двум другим конкомитантам Схоутена и к скобке Нейенхёйса, оказались /в случае (Ж-м М > 3 / новыми. В этой же работе Кириллов обобщил на случай O^miM > 2> оператор Г :

F: Г(М, AfT*M»V*)x Г(М,Лм*'Т*М»Ук*е') к I (Л I /Л ) при КЪ О где при К < С

Наконец, последний билинейный инвариантный оператор первого порядка

Q: Г(Н ,ЛрТуЦ®\/к) х Г(М, A4TM®V0^ - Г(М, Л^ТМ ) для многообразий произвольной размерности определил автор в [3], 1980 г. Этот оператор является обобщением антисимметричного конкомитанта Схоутена и оператора, сопряженного к нему. В этой же статье приведен список операторов второго и третьего порядков. Все они сводятся к внешнему дифференцированию d и билинейным операторам первого порядка.

При otiw М = i имеется еще один инвариантный оператор, определенный не на тензорных полях, а на объектах вида -f-(x) (dx) - тензорных плотностях:

Т2 ({(*> (ЛхУ* t (ctx)-i ) =

Этот оператор обнаружен автором в 1977 г. в курсовой работе. Б.Л. Рейган и Д.Б. ^укс в [l5], 1979 г. обобщили этот пример на случай иа -линейных операторов, а в [I6J, 1982 г. классифицировали все полилинейные кососимметри-ческие дифференциальные операторы на тензорных плотностях на прямой.

Теорема о полной классификации билинейных инвариантных дифференциальных операторов на тензорных полях на конечномерном гладком многообразии анонсирована автором в [з], 1980 г. Доказательство опубликовано им в [b], 1984 г, и содержится в настоящей диссертации.

0.3. Если на многообразии М фиксирована дополнительная структура - форма объема, симплектическая или контактная структура, то имеет смысл рассматривать операторы, инвариантные относительно этой структуры, то есть такие операторы, которые одинаково записываются в любой системе координат, в которой заданная структура имеет каненический вид. Таковы, например, дивергенция на многообразии с фиксированной формой объема и скобка Пуассона на симплектическом многообразии.

Полная классификация линейных инвариантных дифференциальных операторов на многообразии с фиксированной формой объема и на симплектическом многообразии получена А.Н. 1^удаковым в £Г4], 1976 г., на контактном многообразии -И.А. Кострикиным в [il], 1979 г.

В настоящей диссертации содержится также полная класе сификация билинейных инвариантных дифференциальных операторов на многообразии с фиксированной формой объема. Она была опубликована автором в [*4], 1980 г. - для случая /Ц - /Я и в [б], 1984 г. - для общего случая. Все билинейные инвариантные операторы 1-го порядка получаются композицией умножения на форму объема в некоторой степени и билинейных операторов, перечисленных в пункте 0.2. Все билинейные инвариантные операторы высших порядков, кроме одного, сводятся к внешней производной d и операторам первого порядка. Исключением является симметричный оператор второго порядка

Г(М, $*7*№) х ГбМ, $*Т*М) — Г(М,<>гТ*М) существует только при ch КИ М - Z /. В случае dX м РЛ ~ 2. форма объема задает также симплектическую структуру; как оператор на симплектическом многообразии, этот оператор обобщается на многообразия любой четной размерности.

0.4. Опишем методы, применявшиеся для классификации инвариантных операторов.

Инвариантные операторы на тензорных полях простейших типов можно классифицировать, приводя поля к каноническому виду. Например, векторные поля и формы объема в окрестности своей неособой точки выпрямляются /т.е. их компоненты посоянны в некоторой системе координат/. Это значит, что рациональные инвариантные дифференциальные операторы на пространстве векторных полей или на / Ю - cUw) УЧ / могут быть толькь нулевого порядка, т.е. являются алгебраическими /поточечными/. Аналогично доказывается, что любой рациональный инвариантный дифференциальный оператор на или алгебраически выражается через оператор внешнего дифференцирования d - Ч.-Л. Тэн, £291. Таким же способом Д.Б.А. Зпстейя в f211 доказал /используя результаты Картана/, что любой инвариантный дифференциальный оператор на квадратичных формах алгебраически выражается через тензор кривизны и его ковариантные производные.

Тензорные поля более сложных видов не приводятся к хорошему каноническому виду по соображениям размерности. Тем не менее, любое тензорное поле можно представить в виде суммы нескольких тензорных полей, каждое из которых приводится к аффинному виду, т.е. к такому, в котором компоненты являются аффинными функциями

Этот факт использовали для классификации линейных инвариантных операторов Р. Пале, {26}, X. Лейхер, £23] и Ч.-Л. Тан, [29].

А.А. Кириллов в [7] использует другой способ - он рассматривает линейный инвариантный оператор как морфизм двух представлений алгебры Ли векторных полей и ее подалгебры линейных векторных полей /эта подалгебра изоморфна Сс^} /. Дальнейшее исследование использует технику теории представлений, в частности, операторы Лапласа на представлениях алгебры ^ t

Метод А.Н. Рудакова, £13], состоит в том, что вместо пространств тензорных полей Г• рассматриваются сопряженные пространства «7* дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами из

Г. в й .

Определяется сопряженный оператор 7„ —^ У <

С 1

Оказывается, что образ этого оператора порождается так называемыми старшими особыми векторами. Таким образом, задача классификации линейных инвариантных дифференциальных операторов сводится к отысканию старших особых векторов в У L . Первоначально эти векторы вычисляются для случаев

М = R \ /Г . Для произвольной размерности задача решается при помощи различных вложений алгебр Ли векторных полей на плоскости и на прямой в алгебру Ли

Я* векторных полей на

Метод А.Н. Рудакова применялся впоследствии для классификации линейных инвариантных операторов на многообразиях с дополнительной структурой, а также на супермногообразиях, см. [14], £И], [19], [12], [17], [18]. В настоящей диссертации он впервые применен для классификации билинейных операторов. Следует отметить, что оба основных этапа - вычисление старших особых векторов при УЦ - (ft*> lR и сведение к этому случаю общего случая - не описываются общей схемой метода и в каждой из указанных работ проведены независимо, оргинальными способами.

0.5. Целью диссертации является полная классификация билинейных инвариантных дифференциальных операторов на тензорных полях на многообразии без дополнительной структуры и на многообразии с фиксированной формой объема.

0.6. Основные результаты диссертации: I/. Получена полная классификация билинейных инвариантных дифференциальных операторов на тензорных полях любого типа на гладком конечномерном многообразии. 2/. Обнаружен новый инвариантный оператор : ГСМ,Л9Т1Л &VK) х r(M,A4TM®V€J

->Г(М, А^-'ТМ ®VK+e ) у te) = (с-о^-ОС^-О^Н ? + где if - произвольная форма объема на , дивергенция поливекторного поля определяется по формуле d tr\

3/. Обнаружен новый инвариантный оператор на тензорных плотностях на многообразии размерности I тл : Г(.МУ*)хГ(МУ~*) — Г(МУ*)л

Т2 (fix) (Ля)-* , $(*) (d*)~*) +3fy-3ty-iff* )«*')* .

4/. Определены по две инвариантные структуры супералгебр Ли на каждом из пространств

SL\СМ) = © © rCM^VWuV"), Si' (/М), ф ф ПХл^М

P-sO К<0

5/. Дана полная классификация билинейных инвариантных дифференциальных операторов на тензорных полях любого типа на многообразии с фиксированной формой объема.

6/. Обнаружен новый инвариантный оператор на двумерных многообразиях с фиксированной формой объема $5: ГСМ, SVM ) х ГСМ, S'7*M) - Г(М, S*T*M],

Если в координатах (У, у ) форма объема имеет вид •гГ= dxAdy то записывается в виде

S (adxz+ £tdxd# + cdy\ a'dx'+sf'dxty+c'df). 2 dx* + * М,'*'* + Ц+ где QSac'-£tt'+ca' , = ЫЦ ' & % '

Все перечисленные результаты являются новыми.

0.7. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах по теории представлений и алгебре в Московском и Ленинградском университетах и опубликованы автором в [3], [4], [5].

0.8. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны в теории представлений, дифференциальной геометрии и теоретической физике.

Оператор ^ и его полилинейные обобщения использовали Б.Л. Фейгин и Д.Б. фукс в f 16] для исследования модулей Верма над алгебрай Вирасоро.

0.9. Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав. Первые две главы содержат по два параграфа, третья глава - пять. Нумерация параграфов сквозная. Параграфы делятся на пункты, нумерация пунктов двойная. При ссылках указывается номер пункта.

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики, М., "Наука", 1974 г.

2. Вейль Г. Классические группы. Их инварианты и представления. М., Гос. изд. иностр. лит., 1947 г.

3. Грозман П.Я. Классификация билинейных инвариантных операторов на тензорных полях. Функц. анализ и его прилож., 1980, т.14, № 2, с. 58 - 59.

4. Грозман П.Я. Локальные инвариантные билинейные операторы над тензорными полями на плоскости. Вестник МГУ, сер. матем., 1980, № 6, с. 3-6.

5. Грозман П.Я. Доказательство теорем о классификации билинейных инвариантных операторов на пространствах тензорных полей. М., 1984, 93 с. /Рукопись деп. в ВИНИТИ 30.07.84, № 5517-84 Деп/.

6. Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления. М., "Наука", 1970 г.

7. Кириллов А.А. Об инвариантных дифференциальных операторах на геометрических величинах. Функц. анализ и его прилож., 1977, т.II, W 2, с. 39 - 44.

8. Кириллов А.А. Естественные дофференциальные операции над тензорными полями» М., 1979 /Ин-т прикл. математики. Препринт № 56/.

9. Кириллов А.А. Инвариантные операторы над геометрическими величинами. В кн.: Современные проблемы математики, т.16 /Итоги науки/. М.,ВИНИТИ, 1980, с.З 27.

10. Кириллов А.А. Унитарные представления группы диффеоморфизмов и некоторых ее подгрупп. М., 1974 /Ин-т прикл. математики АН СССР. Препринт № 82/.

11. Кострикин И.А. О представлениях высоты I бесконечномерных алгебр Ли серии Км . Успехи матем. н., 1979, т.34, № I, с. 229 - 230.

12. Лейтес Д.А. Неприводимые представления супералгебр Ли векторных полей и инвариантные дифференциальные операторы. Функц. анализ и его прилож., 1982, т. 16, Р I, с. 76 - 77.

13. Рудаков А.Н. Неприводимые представления бесконечномерных алгебр Ли картановского типа. Изв. АН СССР, сер. матем., 1974, т.38, № 4, с. 835 - 866.

14. Рудаков А.Н. Неприводимые представления бесконечномерных алгебр Ли типов S и Н . Изв. АН СССР, сер. матем., 1975, т.39, с. 496 - 511, № 3.

15. Фейгин Б.Л., Фукс Д.Б. Об инвариантных дифференциальных операторах на прямой. функц. анализ и его прилож., 1979, т.13, № 4, с. 91 - 92.

16. Фейгин Б.Л., Фукс Д.Б. Кососимметрические инвариантные дифференциальные операторы на прямой и модули Верма над алгеброй Вирасоро. Функц. анализ и его прилож., 1982, т.16, № 2, с. 47 - 63.

17. Шаповалов А. В. Конечномерные неприводимые представления гамильтоновых супералгебр Ли. Матем. сб.,1978, т.107, № 2, с. 258 274.

18. Шмелев Г.С. Инвариантные операторы на симплектическом супермногообразии. Матем. сб., 1983, т. 120, № 4, с. 528 - 539.

19. Jfije>nkutb A , ^еомгЫо aiped* ef ob^zrumtlcd opviaiionA on ttvi&en реМл-Jn : P^c. ^ Соп^чмл of yneJheMati-о1<хлб , ZdLchUu^ t W51, Co^mSixd^e uyunr, рчеъЬ; i960.

20. Тел* а С.-Х. ЖЬилоЛ Vtcfel 4uhol£^ cund yiaU^cd ЩьчяпЬай o^ud^rm, V, 4oo, */<*, p.so Tи1ч**иГ W.M. Jht padid %t aipix<Kef Zitocvvvttn OMcL ih<Le^ienait^ee/ deruvccti'ise o^ ^сплпл^buM.fttouL- Polon. $>Сл,; Sjzji.MocHi.; <9%b3V, 11, л/3 3 p.

21. Dt &intfa^fa aW ^eomti^ .} Aiti del Сопрмльо 3vdwnafconafe J/VatemA^ , BotytiA, 1922 ,

22. Войцеховский М.Й., Штерн А.И. Дифференциальный оператор. В кн.: Математическая энциклопедия, т.2, М., "Наука", 1979 г.