Задача рассеяния в терминах билинейных функционалов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Обозначения

Введение

Глава I» Абстрактная теория рассеяния в терминах билинейных функционалов

§ I.I. Определение волновых операторов в терминах билинейных функционалов

§ 1.2. Переход от обычной постановки задачи рассеяния к ее постановке в терминах билинейных функционалов

§ 1.3. Обобщенные шредингеровы переходные функции.

§ 1.4. Структура возмущенного функционала J>

§ 1.5. Обобщенные операторнозначные спектральные меры

§j 1.6. Волновые операторы для полугрупп

§ 1.7. Построение волновых операторов по возмущенной эвклидовой переходной функции

Глава П. Сингулярные возмущения самосопряженных операторов.III

§ 2.1. Предварительные сведения о билинейных формах .III

§ 2.2. Отношения регулярности и сингулярности между билинейными формами

§ 2.3. Классификация сингулярных возмущений

§ 2.4. Сингулярные билинейные формы как возмущения граничных условий

§ 2.5. Метод ортогонального расширения

Основной предмет диссертации - задача рассеяния с сингулярным возмущением. Точнее, в работе исследуется вопрос о постановке задачи рассеяния в случае, когда возмущение самосопряженного оператора задано сингулярным выражением, которое не имеет операторного представления, но допускает интерпретацию как билинейная форма. Такая ситуация типична для квантовой теории. Она возникает, например, при изучении потенциалов, заданных обобщенными функциями. Необходимость рассмотрения сингулярных возмущений имеет физические основания. К их числу относится требование релятивистской инвариантности теории. Основным источником сингулярностей является бесконечное число степеней свободы изучаемых физических систем. Так, в квантовой теории поля практически все возмущения, имеющие физический интерес, являются высокосингулярными.

Сложность постановки задачи рассеяния при изучении сингулярных возмущений связана с невозможностью определить в общем случае возмущенный оператор как самосопряженный оператор в том же гильбертовом пространстве, в котором действует невозмущенный оператор. Отсюда следует неприменимость обычной постановки задачи рассеяния в указанной ситуации и возникает необходимость поиска новых методов в теории рассеяния. К настоящему времени уже известен ряд приемов решения задачи рассеяния с сингулярным возмущением. Однако они применимы лишь в отдельных случаях. Таким образом, построение общей теории рассеяния, охватывающей достаточно широкий класс сингулярных возмущений и согласованной с уже имеющимися результатами, представляет собой актуальную проблему.

- б

Решение указанной проблемы требует принципиального расширения понятия волнового оператора. Напомним, что в развитой к настоящему времени абстрактной теории рассеяния волновые операторы возникаю на следующем пути. Пусть в гильбертовом пространстве ^ задана пара самосопряженных операторов и ^ , отвечающих гамильтонианам свободной и возмущенной физическим систешм Наблюдаемый в опыте эффект рассеяния в результате возмущения свободной системы описывается оператором рассеяния £ уу/" где \ч/ ~ - волновые операторы, определяемые в нестационарном подходе как

Р, дс (I) где - ортопроектор в на подпространство абсолютной непрерывности оператора ^ } ^ = . Существование волновых операторов и их полнота ( ^ = ~ основные вопросы абстрактной теории рассеяния. Отметим, что существование операторов влечет,по крайней мере,частичное подобие операторов \\л и *• — Это вместе с полнотой \л/ - означает устойчивость абсолютно непрерывного спектра относительно рассматриваемых возмущений. Тем самым абстрактная теория рассеяния включается в теорию возмущений непрерывного спектра. Классический, в определенном смысле, период в развитии теории рассеяния можно считать завершенным. Наиболее важные результаты в этой теории получены методом Кука, ядерными методами либо с помощью принципа инвариантности и связаны в первую очередь с именами Т.Като и М.Ш.Бирмана. Значительный вклад в развитие теории рассеяния внесли Дж.Яух, К.Фридрихе, П.Лаке, Р.Филлипс, С.Т. Курода, Л.Д.Фаддеев и ряд других математиков.

Переход к рассмотрению сингулярных возмущений приводит, как уже отмечено, к дополнительному вопросу в теории рассеяния - проблеме построения возмущенного оператора. Сложность этой проблемы заключается в невозможности в общем случае определить возмущенный оператор в исходном пространстве ^ . Привлечение теории рассеяния с парой пространств в данном случае также наталкивается на ряд трудностей, в частности на появление неограниченных и незамыкаемых операторов отождествления. Отметим, что систематическое развитие теории рассеяния с парой пространств по существу началось с работы Т.Като [9о] . Первые признаки существования волновых операторов в такой теории получены в работе А.Л.Белопольско-ко и М.Ш.Бирмана , см. также работы М.Ш.Бирмана и .

В полной мере трудности проблемы построения возмущенного оператора энергии проявились в квантовой теории поля, где рассматриваемые возмущения задаются, как правило, формальными выражениями, которые лишены операторного смысла в исходном пространстве. Традиционный подход к задаче рассеяния в квантовой теории поля основан на теории возмущений с использованием различных регуляриза-ций, в частности, так называемых пространственных и ультрафиолетовых обрезаний заданных сингулярных выражений. Снятие регуляризацией, например, в формальном ряду для $ -оператора ведет к появлению различного сорта расходимостей. Их устранение (вычитание), проводимое согласно теории перенормировок, в ряде случаев, относящихся к так называемым перенормируемым теориям, приводит к совершенно удовлетворительным с физической точки зрения результатам уже в первых членах ряда теории возмущений. Отметим, что строгий вариант процедуры бесконечных перенормировок дает X. -операция Боголюбова - Парасюка. Успешность программы теории перенормировок, усовершенствованной применением так называемых одевающих канонических преобразований Л.Д.Фадцеева для отделения эффектов рассеяния от эффектов поляризации вакуума, в конкретных моделях была продемонстрирована И.Я.Арефьевой £ 1,2^ . Однако из-за сложности математического аппарата, отсутствия сходимости всего ряда теории возмущений, наличия неперенормируемых теорий и ряда других причин построить последовательную квантовую теорию на основе теории перенормировок до сих пор не удавалось. Это привело к появлению аксиоматического подхода в квантовой теории поля (см., например, [^17, 67"| ). Цель этого подхода - доказать существование квантовой теории поля в рамках самых общих физических принципов. Эта цель была достигнутавтрех и двухмерном пространстве -времени методами конструктивной теории поля (см. |^23, 65^ ).

В плане задачи рассеяния аксиоматический подход привел к созданию новой, необычной по постановке теории рассеяния Хаага -Рюэля. Она удовлетворяет всем принципам теории поля, но не касается проблемы построения возмущенного оператора, а предполагает уже заданным интерполирующее (возмущенное) поле, в терминах которого и строится оператор рассеяния. В результате проведенного автором в работах ^30 - 32, 3^ анализа оригинальной схемы теории рассеяния Хаага - Рюэля оказалось, что она представляет собой своеобразный вариант теории рассеяния в паре пространств состояний . При этом из-за обобщенности по времени интерполирующего поля в теории Хаага - Рюэля лишены, вообще говоря, смысла пространство состояний и оператор энергии в фиксированный момент времени, что принципиально отличает эту теорию от обычной теории рассеяния. Этот факт, с другой стороны, отражает присущую квантовой теории поля сингулярность возмущений (выражений, отвечающих взаимодействиям). Выяснение абстрактного содержания указанных свойств теории Хаага - Рюэля и привело, по существу, к построению общей теории рассеяния в терминах билинейных функционалов. Здесь уместно отметить также следующий ряд работ [l4, 18, 56, 72, 87, 89, 91, 98^ , которые оказали влияние на формирование идеи построения теории рассеяния на языке билинейных функционалов.

Математические трудности задачи рассеяния с сингулярным возмущением в достаточной степени проявляются и на уровне квантовой механики. Так характерные черты проблемы построения возмущенного оператора можно обнаружить в хорошо известном примере, когда оператор Далласа в пространстве U (R1) возмущается точечным потенциалом е , seíR/1 . Корректный метод решения этой задачи был предложен в известной заметке Ф.А.Березина и Л.Д.Фаддеева (VJ . Дальнейшее изучение задачи рассеяния для возмущений с малым носителем в математическом плане проводили Р.А.Минлос и Л.Д. Фаддеев [57^ , Ф.А.Березин [8"] , К.Н.Фридман[8б], С.Альбеверио и Р.Хёэг-Крон [79, 8l] , Э.Х.Эйвазов [7¿J , А.Фраге-ла [73] , И.Д.Чуешов [74] , Д.Р.Яфаев [78^ , Б.С.Павлов и М.Д.Фаддеев [6Í] и ряд других математиков. Результаты отмеченных работ показывают, что методы фиксированного гильбертова пространства в теории сингулярных возмущений не всегда эффективны и часто возникает потребность введения дополнительного пространства.

Развиваемый в диссертации способ постановки задачи рассеяния всегда ставит в соответствие возмущенной системе свое пространство состояний. Введение нового пространства состояний осуществляется таким образом, что трудности связанная с возможным отсутствием у возмущенной системы оператора энергии в каждый фиксированный момент времени, вообще говорящие возникает. Поясним кратко суть этого способа.

Пусть в гильбертовом пространстве ^ заданы самосопряженный оператор 1лл и его возмущение в виде билинейной эрмитовой формы V , которая не имеет операторного представления. В общем случае такой ситуации возмущенная билинейная форма -Х^+й (с ассоциирован оператор л ) также не имеет операторного представления в и, следовательно, паре ,

У невозможно обычным образом сопоставить возмущенный самосопряженный оператор ^ в Ч- . Поэтому естественно попытаться заменить в определении волновых операторов группу (4; К? л. е. ,как непрерывную по х ограниченную операторную функцию в обобщенной операторнозначной функцией. Понятно, что ей в ^ вместо инфинитезимального оператора 1ч г будет соответствовать билинейная форма ^ . Далее, поскольку адцекватным языком для обобщенных операторнозначных функций является язык билинейных функционалов, то и в развиваемой постановке задачи рассеяния исходным языком служат билинейные функционалы. Способ введения необходимых билинейных функционалов и выделение нужных их свойств можно пояснить на следующем пути.

Рассмотрим в гильбертовом пространстве величину где 1л - самосопряженный оператор в ^ . В приложениях, когда

1ч является оператором энергии некоторой физической системы, функция СЬЛ — "Ьг. ч-) задает амплитуду вероятности перехода из состояния ч* в состояние Ч-" за время ~ ~ЬЛ ~ . Усреднение этой функции по переменным -Ь л и ~Ь г сопоставляет оператору п некоторый билинейный функционал $ / ^ ) над множеством линейных комбинаций элементов вида V — где ~ сглнживающие функции из некоторого основного пространства. Используя два свойства функционала ^^ , а именно, его положительную определенность и инвариантность относительно одновременных сдвигов по ~ЬЛ и нетрудно восстановить исходный оператор ¡п . Более того, если для пары ; существуют волновые операторы V«/—(и^и^) , то их также можно построить исходя из функционалов • Переход от к и составляет отправной момент развиваемого в диссертации метода постановки задачи рассеяния. Этот метод оказывается применимым и в случае замены функционала произвольным билинейным функционалом , обладающим лишь указанными выше двумя свойствами и не связанным» вообще говоря, с каким-либо оператором ¿»г. в

Ч- •

Дадим теперь краткое описание основного содержания диссертации. Оно разбито на три главы.

Первая глава посвящена систематическому изложению абстрактной теории рассеяния на языке билинейных функционалов. Так, в §1.1 дано определение волновых операторов в терминах билинейных функционалов, установлены их основные свойства и получены простейшие признаки существования. В § 1.2 показано, как обычное определение волновых операторов вкладывается в их определение на языке билинейных функционалов. Непосредственное обобщение этих построений проведено в § 1.3 на языке так называемых обобщенных шредингеровых переходных функций. Приведен ряд иллюстративных примеров. В § 1.4 изучена структура функционала с точки зрения обратной задачи рассеяния. Дальнейшее изучение структуры функционалов проведено в § 1.5. Здесь введено понятие обобщенного спектрального разложения - аналога спектрального разложения для самосопряженного оператора. Построения §§ 1.1 - 1.5 находят приложения в §§ 1.6 - 1.7, где развита постановка задачи рассеяния на языке операторных полугрупп и эвклидовых переходных функций.

В главе П изучаются сингулярные возмущения самосопряженных операторов с целью нахождения способа построения функционала , отвечающего сингулярно возмущенной системе. В § 2.1 приведены основные сведения о билинейных формах. Определение понятия сингулярной билинейной формы дано в § 2.2. Здесь же достаточно подробно изучены свойства таких форм. В § 2.3 установлена классификация сингулярных билинейных форм в \\л - шкале гильбертовых пространств. В § 2.4 имеем дело с методом построения возмущенного оператора в исходном пространстве в том случае, когда сингулярная билинейная форма допускает истолкование как возмущение абстрактных граничных условий свободного оператора. Наконец, в § 2.5 развит метод построения возмущенного оператора в расширенном (ортогональным образом) пространстве. Именно этот метод дает способ определения функционала , отвечающего сингулярно возмущенной системе и необходимого для постановки задачи рассеяния. В заключение главы П рассмотрены примеры.

Глава Ш полностью посвящена приложениям в квантовой теории поля. Эта глава имеет три параграфа. В § 3.1 известная в квантовой теории поля теория рассеяния Хаага - Рюэля формулируется как пример абстрактных построений § 1.1. Эта переформулировка вместе с результатами §§ 1.6 - 1.7 позволяет развить в § 3.2 теорию рассеяния на языке функций Швингера. В § 3.3 с помощью метода ортогонального расширения доказано существование рассеяния в ряде моделей квантовой теории поля.

Перейдем к более подробному изложению содержания работы.

Пусть на некотором линейном множестве V задана пара билинейных функционалов ^ / 6 V и пара групп линейных биективных преобразований ИЛ^. : У ■—у -Ь £ ^Л ,

• Предположим, что функционалы а ч я положительно определены (п.о.): иЧ> = ^ С-4^ > ° ) и £ У/ и -инвариантны: и} (2)

Факторизуя и пополняя У относительно квазискалярного произведения <ч,— С4-,^) , получим пару гильбертовых пространств . ; "7л. ~ оператор вложения У в , сопо

V / ° ставляющий каждому и 6 у отвечающий ему класс эквивалентности в » "* ^ ) (' > '^ ~ Н0Рма и скалярное произведение в

• . Из (2) следует, что в группа генерирует г п * г унитарную группу операторов Ц ■ СЬ"). а

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть для каждого и € У в пространстве существуют пределы ъг (-а = <з>

Причем такие, что и-П^ = ||и-Иг иЦкЦ^с^. (4)

Тогда расширения по непрерывности отображений

Д/± : ^ ^ а ^ чСб) назовем волновыми операторами, которые в дальнейшем кратко обозначаем л .

Операторы ^ , если они существуют, обладают основными свойствами обычных волновых операторов. В частности они являются переплетающими для унитарных групп .

Данное определение, по существу, представляет собой своеобразный вариант определения волновых операторов в теории рассеяния с парой пространств . Отличительный момент состоит в том, что в нем не используется какой-либо оператор отождествления ^ —* . Отметим, что естественное введение Т как отображения ~!гСл некорректно, так как, вообще говоря, , где /у^ = { ч £ У ( ~ ° ^

В дальнейших построениях, которые охватывают многие интересные приложения, всегда выполнены следующие дополнительные предположения.

Множество V является подмножеством некоторого ядерного пространства из оснащения ^ Ц-С «=- 7 , где

УС. - вспомогательное гильбертово пространство, а сопряжено к ^ относительно . Функционалы ^^ определены и непрерывны на 43 . Группы являются сужениями на V унитарных в групп операторов еГ'^З- , которые перестановочны. Обозначим где V " самосопряженный в оператор. Предполагаем, что

Щ с &[%/) и V ^ ^ ^

Справедлив следующий аналог критерия Кука.

ТЕОРЕМА I. Пусть у - 3>г.~ $>л • Пределы и± в (3) существуют , если . й.

Если, кроме того, ^ {ул ] —о , -Ь ->± , то существуют изометрические волновые операторы \Л/ ^

Для установления связи волновых операторов и ^г^г^) введем объекты 1гС > У / ^ £ | ^ (Р^ > отправляясь от пары Ц самосопряженных операторов, заданных в пространстве . Определим вспомогательное гильбертово пространство как

Положим у = л.о.уо >где У0 = (ч= «С®* I ^^у^^и^^^гС^^ . Сопоставим каждому оператору Ц билинейный функционал наД V с помощью равенства

2ДГ ( ^сЬр^), Уо ^ (6) где ~ обозначает переход к фуре-образам. Все множество таких функционалов обозначаем через ^ ; если спектр оператора Ь чисто абсолютно непрерывный, то пишем • Определим где ,а ^ - единичные операторы. Понятно, что функционалы В»),., являются -инвариантными. Введем, как и вы

3- * ше, по функционалам пару гильбертовых пространств и определим в них с помощью унитарные группы операто ~Ь Н' ров

1л 6Л . Они имеют представление е. 1 • Рассмотрим отображение

Оно изометрично. и его расширение по линейности и непрерывности (обозначаем его снова ¿е^, ) устанавливает унитарную эквивалентность операторов к ^ и Н ^ .

ТЕОРЕМА 2. Пусть ^ ^ <£ ^ Существование изометрических волновых операторов ^ г. 1 эквивалентно существованию обычных волновых операторов ч/У^Ск^и^. При этом

Обобщение проведенных построений состоит в замене функционала ^>1*2. функционалом , который уже не предполагается связанным с каким-либо самосопряженным оператором 1л 2 формулой (6), а строится по некоторой функции^^С^) ^ являщейся обобщенной по переменной "Ь . Устанавливается применимость определения волновых операторов в этом случае. Построения иллюстрируются рядом примеров.

Далее рассмотрена обратна задача рассеяния в следующей постановке. Пусть в гильбертовом пространстве ^ заданы самосопряженный оператор \лл и перестановочный с ним унитарный оператор ¿> . Требуется описать все п.о., ТЛ^-инвариантные функционалы ^»2. в пространстве ~К. — (Ц1)®^- такие, что для пары существуют волновые операторы М^ч и соответствующий оператор рассеяния унитарно эквивалентен оператору .

ТЕОРЕМА 3. П.о. и ТЛ^ -инвариантный функционал ъ является общим решением обратной задачи тогда и только тогда, когда р он допускает представление: ^о » гДе ФункЦионал ^о обладает свойством с** ^ > р а ^^ - частное решение обратной задачи следующего вида где \л/ - один из операторов $ СГ или СГ + От1

- произвольные ограниченные самосопряженные операторы в такие, что ( , = { ° ^ где ^"(А) S-Avim еу.р L-ItVM

•fc —it I

Дальнейшее изучение структуры функционалов Ь. уже с точ ки зрения общей теории интегральных разложений п.о. ядер по элем-тарным [ приводит к понятию обобщенных операторнозначных мер F(M • Эти же меры появляются и в главе П. Введение мер F^O дает удобный математический аппарат для исследования задачи рассеяния.

Пусть ^ - фиксированное ядерное оснащение пространства Ч? . Предполагается, что ср имеет представок» ^ . ' ление <ф>- П сЬ> >где Яр., - последовательность гильбер

К = а * к товых пространств с согласованными нормами II • ((к , =

V^ " двойственность между ф и <ф> ' . В дальнейшем считаем, что У0 состоит из элементов -f <S> ¥ £ ф. Обозначим через множество непрерывных на ядерном пространстве ^ билинейных функционалов J> »которые п.о. и -инвариннтны. Из последнего условия следует, что

D Ujv) ) ID v) . Применяя теорему Ю.М.Березанского об интегральных разложениях п.о. ядер к функционалу J> € ^Р получаем представление:

- 2тг ^ £сА) o(<F> , V^ ^ (9) где |р(д); c¡>/ ( Д 6 - борелевское (> -кольцо на - семейство операторов такое, что при каждом <£ выражение определяет положительную меру на удовлетворяющую оценке

51 W ¿ с- l^l* , о, в которой уц (¿х) - скалярная мера медленного роста; при этом к от <f не зависят. Семейство операторов р"(л) из (9) с указанными свойствами мы и называем обобщенной операторноэнач-ной мерой. Все множество таких мер обозначаем через х . Каждая мера в свою очередь задает равенством (9) некоторый функционал ^ £ ^Р . Это соответствие записываем как £ - Г( )") . Если ^ = , то в (9) = " Разложение единицы оператора . Следовательно, в 'Х входят все меры, порожденные обычными разложениями единицы. В отличие от них, произвольные меры Рвое X действуют в оснащении ^ и не являются конечными.

ТЕОРЕМА 4. Равенство (9) устанавливает взаимно однозначное соответствие между билинейными функционалами ^ и обобщенными операторнозначными спектральными мерами "3?, .

Класс мер обладает рядом преимуществ по сравнению с ортогональными спектральными мерами. В частности;множество ТЯ^ является полным относительно сходимости, индуцированной слабой сходимостью функционалов ^ 6 ^Р . Установлено, что талая сходимость обобщает понятие сильной резольвентной сходимости. Отметим еще, что для любых мера = ал + ¿?2 . Операторные меры, соответствующие обобщенному разложению единицы, входят в более узкий класс мер, который обозначаем р? . По определению

Г(Д>£ Р если на <ф> определены и непрерывны билинейные формы

Убг.Ч)^ и^^г, и У2 = ! X СЮ) Л и, кроме того, в пространстве = у форма замыкаема л и с ней ассоциирован некоторый самосопряженный оператор /, ,

Л V Л причем ф ^ (Ьг.), 17= . Введение оправдано тем, что существование волновых операторов Уу/^ для пар ^ ^ ^ , — , можно устанавливать с помощью пол . строения более простых объектов - волновых операторов \л/ - - - ( и „ и . •

- V/ ± ( , ил -3 , Ф) : <р £ ± ^ где л <=>- -е. €. 4*, Ч^

Здесь оператор , как оператор отождествления из в ^ , вообще говоря, неограничен и незамыкаем.

ТЕОРЕМА 5. Пусть е "У^ } = Г(РСл))^

Существование ограниченных (изометрических) волновых операторов является достаточным условием для существования (изометрических) волновых операторов .

Во второй главе диссертации изучаются сингулярные возмущения абстрактного самосопряженного оператора ^ в гильбертовом пространстве ^ , которые допускают представление в виде плотно определенной эрмитовой билинейной формы V . Основная задача -найти способ построения билинейного функционала , отвечающего паре ^ , у . С этой целью в работе проведен анализ понятия сингулярного возмущения. В частности, вложен точный смысл в это понятие - введено определение сингулярной билинейной формы, изучены свойства таких форм, установлена классификация сингулярных возмущений в 1ц -шкале гильбертовых пространств. Попутно выяснены общие условия, при которых возмущенной форме У^+У (с ассоциирован оператор ) можно сопоставить оператор VI 2, в исходном пространстве . Для решения основной задачи развита общая единая схема построения функционала . Она применима для широкого класса сингулярных возмущений. В частном случае, когда форма Уг оказывается замыкаемой и ограниченной снизу в ^ , функционал совпадает с функционалом , определенным по оператору иг , ассоциированному с # В общем случае процедура построения функционала использует так называемый метод ортогонального расширения. Его суть состоит в переходе от ^ к новому пространству ^ — Ф Т1 , в котором форма Уг становится замыкаемой, а оператор ^л - симметрическим. Последующее применение теории самосопряженных расширений симметрических операторов 10, 20, 54 с88тавляет паре 1л ^ , У семейство самосопряженных операторов 1ч ^ в Ни * ^о каждому

А ° из операторов 1ч г стандартным образом строится функционал

С ^ . Найдено условие на У , обеспечивающее существование волновых операторов ~ Проведенные построения иллюстрируются примерами.

Перейдем к более подробному изложению результатов главы П.

Рассмотрим в гильбертовом пространстве ^ самосопряженный оператор Ц с чисто абсолютно непрерывным спектром и его возмущение, заданное в виде эрмитовой билинейной формы У с областью определения Предположим, что У непрерывна на и ю=у1> 2.у(1. Обозначим через -X билинейную форму, полученную сужением на ф> скалярного произведения в ^

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Билинейную форму о называем сингулярной в ^ (обозначаем УХ'Х ), если для каждого существует последовательность {^иЗцТ-г , Ф^ такая, что II

00 • Если форма У замыкаема в ^ , то ее называем регулярной (обозначаем У II К ).

Пример сингулярной формы дает билинейная форма в построенная по <9 -функции Дирака: У^(р) Ч'СЬз ,где

Достаточным условием сингулярности формы V в является плотность в множества фо = { ^¿ф [ = (12)

Важную роль в дальнейших построениях играет следующий факт. Каждая ограниченная снизу в ^ билинейная форма V имеет единственное разложение: У у. на регулярную V,- и сингулярную компоненты. В частном случае, когда Й ^ о , это разложение в несколько других терминах получено Б.Саймоном [97] . Если форма X не ограничена снизу, то под ее сингулярностью понимаем плотность в соответствующего ей множества £Ф>0.

В работе проведено достаточно подробное изучение свойств сингулярности и регулярности билинейных форм с абстрактной точки зрения, т.е. как некоторого отношения между парой форм У и 'Х , заданных на ср . В частности, показано, что отношение для положительных форм эквивалентно равенству ^ уц-'у ~ у ®

К » понимаемому в смысле естественного изоморфизма. Решен также вопрос об описании множества форм, относительно которых заданная форма X является регулярной. Этот вопрос важен в связи со следующей задачей. Пусть у формы й ^ о в ^ сингулярная компонента ^ ~Ф о . Как изменить скалярное произведение А в ^у так, чтобы в новом пространстве ^ форма У оказалась замыкаемой? Обозначим через У билинейную форму на , задающую новое скалярное произведение.

ТЕОРЕМА б. Заданная на Ф положительная билинейная форл ма V будет регулярной в пространстве ^ тогда и только тогда,

I п Л когда в пространстве регулярная компонента формы К имеет строго положительное замыкание.

Л Л Л

В качестве 'Х , например, можно брать форму вида 'У = X +

Л Л /\ Л где , ^ , ^ > а определена по замкнутому строго положительному оператору в ^ у .

Далее проведена классификация сингулярных билинейных форм в -шкале гильбертовых пространств:

13) где , к = , = —сопряжено к ^ относительно " двойственность между ^ ^ и . Из всего множества сингулярных возмущений V^ о оператора V» ^ выделены следующие три подмножества ( <-= 2., V. V , если

Уе Гг , если Хе , если УЛ-'Х^. Отметим, что эти подмножества не пересекаются и каждая сингулярная в ^ форма X ^ о однозначно разлагается в сумму трех компонент Хр^ . Следующая теорема дает достаточные признаки сингулярности формы & в ^ к ; к. = о,

ТЕОРЕМА 7. Пусть У II'Ур , р > к >' о . Если выполнено одно из условий: Ж. ("Ту^П ^ ^ — о или у ^ с! > о/ где Ж (Ту) - замыкание в ^„р области значений оператора Ту ^ р р , определенного равенством Ту % = У (V; Ч')/ а V - сужение на К) замыкания V в ^ р формы X , то Кег X плотно в ^ к и, следовательно, Если при этом к^- / , то Кег У - область существенной самосопряженности оператора \л ^ .

В последнем случае Хб Г^ и вопрос о придании нетривиального смысла возмущению непрерывного спектра оператора формой X открыт. Если Хв , то паре и, V можно сопоставить возмущенный оператор V* ^ методом форм-суммы.

ТЕОРЕМА 8. Условие ХНХ] необходимо и достаточно для замыкаемости в Чу формы У^ - ^л У*

Особый интерес представляют возмущения У в r~"z . В этом случае форма Yz ~ У незамыкаема в ^ . Однако, в частном случае, когда соответствующее форме У множество <ф>о плотно в ^ ,паре b-t , У можно сопоставить (неединственным образом) возмущенный оператор в ^ , как одно из самосопряженных расширений симметрического оператора К — i4 Подчеркнем факт независимости оператора W от значений формы

X на тех элементах, где она отлична от нуля. Впервые этот метод был предложен Ф.А.Березиным и Л.Д.Фаддеевым £7] в конкретной задаче: ^ — /2( IR3^, = ~^ У-У^. Излагаемый далее метод ортогонального расширения не предполагает плотности в ^ множества 'Ф'о и применим для произвольных сингулярных возз гмущений V U I i Поясним идею этого метода. i=i

Пусть в гильбертовом пространстве задан замкнутый си

А <> А мметрический оператор U d > о . Обозначая — Ж С Ь ), i 74 А Ti = l^ei- n , представим в виде: ^ "= ^ Ф 77 , Пусть

Р и Р^ - ортопроекторы в ^ на и 71 соответственно. Нетрудно убедиться, что в ^ отображение

А А

Pcf-^hif } является корректно определенным положительным оператором. Действительно, если Pf— о ,то f € Т7 и, следовательно Ii ¥ = о ,т.е. ч5 = о . Построенный оператор обозначим через

Он самосопряжен. Введем в мг, на билинейную форму Y ( уЛ С P7?VJlf')A »где ~ скалярное произведение в ^ .

Очевидно, что она положительна и сингулярна. Рассматривая А-т как невозмущенный оператор, а форму V как его возмущение, приходшк типичной ситуации, изучаемой в работе. Обращение проведенных построений сопоставляет паре 1\ , У симметрический л оператор 1л в Ч^ Пусть 1л г - одно из самосопряженных расширений оператора к -Ь Р^ . Функционал ^ ^ »определенный по равенством (6), в котором (•,•) заменено на С')'^*» предлагается брать в качестве функционала » от~ вечающего паре 1\А , Й

ТЕОРЕМА 9. Пусть в гильбертовом пространстве ^ заданы оператор Ц ^ ° и билинейная форма ^ >у о . Предположим,что

А

У IIУ2 . Тогда в пространстве ^ - ^ Ф (I ,где ТС — Нгу отображение и ' <р Ф ^ ^ © ° / ^ ^ СЬ/ (14)

71 ~ задает плотно определенный положительный симметрический оператор. Если <ф> - область существенной самосопряжен

I А ности для й-, ,то индексы дефекта замыкания оператора 1л л равны Л/т 77. • Если У ,то А существенно самосопряжен и его замыкание имеет вид ¡лл Ф <э

Последнее утверждение теоремы означает, что трижды сингулярные возмущения (из VI X2. следует, что %7 и УХК0) являются тривиальными, как возмущения непрерывного спектра оператора и л не только в , но и в расширенном пространстве.

Если сингулярная форма У не положительна, но замыкаема в ^ , и для нее существует оператор Ту: ^ такой, что У = <1 Ту Ч9, ^^^Ч'&ф ,то подпространство Т7 вводим как замыкание (Ту) в • При дополнительных ограничениях отображение (14) и в этом случае задает симметрический оператор с индексами дефекта равными с( I ки 71.

В случае, когда для формы У >/ о множество Ф*^ плотно

- 25в ^ и о при несущественных дополнительных условиях доказано, что каждому положительному самосопряженному расширению И г оператора к = м Фа в взаимно однозначно соответствует аналогичное расширение А 2 оператора 1л -Н г л в . Именно, показано, что каждый оператор ^ имеет вид кг ® В> , где 6 -оператор в 7? , однозначно определенный по А г * — А ^ . Тем самым установлено, что абстрактный вариант метода Ф.А.Березина и Л.Д.Фаддеева включается в метод ортогонального расширения. л

Пусть У^-о^У^^Т^^г и ИХ г - одно из самосопряжен

Л. , Л ных расширений оператора (л ■+■ Р^ .Отметим, что в ^ форма ==■ ^ + V замыкаема и ассоциированный с ней оператор равен \л г. р - расширению по Фридрихсу. При этом если и А

Уб Г~г ТО И1 с —

Обозначим через Е2 проек-' л * торнозначную спектральную меру оператора А г в ^^ . Сопоставим каждому оператору меру Ро )е ^ равенством

V д где £ - опера

Л Л тор вложения ср5 в ^ . Заметим, что множество "7 ср5 л плотно в ^ . По каждой мере (¡-\0±) строим, пользуясь равенством (9), функционал • Понятно, что эти функционалы можно вводить и с помощью равенства типа (6). Непосредственно возмущенной форме = + V естественно сопоставить функционал ^>2. = ^

ТЕОРЕМА 10. Если форма У £ С, У ^ и удовлетворяет условию то для каждой пары билинейных функционалов ; существуют и изометричны волновые операторы ~ 2.}^>л)> .

Третья глава диссертации содержит следующие результаты. Теория рассеяния Хаага - Рюэля включена в схему абстрактной теории рассеяния в терминах билинейных функционалов. Показано, что задача рассеяния в квантовой теории поля допускает постановку в рамках эвклидового подхода непосредственно на языке функций Швингера. Наконец, методами, развитыми во второй глава, доказано существование волновых операторов при сингулярных возмущениях гамильтониана свободного поля различными комбинациями мономов Вика. Изложим эти результаты подробнее.

Пусть - функционал Вайтмана некоторого скалярного поля

А(?0 ~ ^ 'ъс \ эс е удовлетворяющего всем требованиям теории рассеяния Хаага - Рюэля [17, 27, 9б"] . Сопоставим полю Аб*Л необходимые объекты для постановки задачи рассеяния по схеме главы I. В качестве функционала ^>2. берем функционал Вайтмана Пд^ . Роль пространства играет основное пространство , на котором задан "ИЛ- . Пространство состояний поля А (Ьс4) и канонический оператор вложения г^ ^ "УС ^ соответствуют пространству и оператору ~Зг • Вспомогательное гильбертово пространство ~}С = СФ I. ? ^ ^ -л

Группы

1АЛ) в "УС задаем как и где = ¿Г (<£ (2) , ¿1+

Р = Г ( I ^ ( щ0> о , с{ Г операция вторичного квантовалия). В качестве функционала берем функционал

Вайтмана 1а9~0 , отвечающий свободному скалярному полю А 0 6е ^ массы УУ7 о . Пространство состояний поля и оператор вложения : соответствуют и . о —— ^ о I

Роль множества У сейчас играет специальное подмножество , состоящее из функций, носители фурье-образов которых по каждой переменной расположены в £ -окрестности < гиперболоида (роЧ)г - рг ~ Мо ,

ТЕОРША II. Для каждого в ^ существуют пределы к = ^ил ^^ е е ° и для них справедливы равенства

4"'/-К = // ^ И /'-1Г О

Таким образом, для пары билинейных функционалов Вайтмана и , отвечающих квантованным полям А (ЬО и До(Ьс.), существуют и изометричны волновые операторы При этом оператор рассеяния ^ ( ^-^сЛ'' — — оказывается совпадающим с оператором рассеяния теории Хаага -Рюэля.

Кроме этого, показано, что в данной формулировке волновые операторы могут существовать и при замене Т/01- другим функционалом удовлетворяющим требованиям теории Хаага - Рюэля лишь частично. При этом функционалу ТсЯ' уже не соответствует какое-либо квантованное поле и, следовательно, сама теория Хаага-Рюэля не применима.

Эвклидов подход, как известно, играет важную роль в квантовой теории поля. Его суть, грубо говоря, состоит в переходе к "мнимому времени", т.е. в замене унитарных групп е полугруппами , \л>/ о^ функций Вайтмана - функциями

Швингера, квантованного поля - обобщенными случайными процессами. Однако для получения физической интерпретации^ как правило^ необходимо совершать обратный переход к пространству Минковского. Поэтому важное значение в эвклидовом подходе имеет вопрос о восстановлении функций Вайтмана по функциям Швингера. На аксиоматическом уровне он решен Остервальдером и Шрадером [^59, бо] . Но реализация соответствующей программы в конкретных случаях достаточно сложна. В связи с этим представляет интерес проблема постановки задачи рассеяния непосредственно в рамках эвклидового подхода.

В диссертации показано, что волновые операторы и оператор рассеяния в квантовой теории поля могут быть определены прямо на языке функций Швингера. Основой для получения этого результата служит формулировка теории рассеяния в терминах билинейных функционалов и использование в качестве основных функций аналитических функций, обладающих специальными свойствами. Изложим этот результат сперва на абстрактном уровне.

Пусть на задана пара функционалов У«.с. и , для которых существуют волновые операторы . Предположим, что обобщенная спектральная мера (д) , отвечающая функционалу $>2. » согласно теореме 4, имеет носитель на полуоси ^ = \Р у ) . Тогда при любых Ч)^ преобразование Лапласа комплексной меры ч^ = < ^г.СА4)^ задает аналитическую в нижней комплексной полуплоскости (С функцию , которая удовлетворяет оценке

1 ^чли^^-и^о + 1 2-А' с независящими от Ч^ч- . Сужение функции ) ч5.,^ на мнимую полуось ъ = о определяет на ^ ф билинейный функционал (<< = V ^ С & ^ <£ ^^ ^

СтО --— $ ^ ^(тг+ь^ч-) Р^С-Сы оН:с{ь , обладающий свой

00 Со ством: о(2 ЦчТ ^ о , □ . Обозначим через гильбертово пространство, построенное из ^■+• по оС? стандартным образом; - оператор канонического вложения ^^ в

Пространства и "З-С^ 2= ^ 2. оказываются естественно изоморфными. Соответствующий унитарный оператор определяется с помощью отображения то о

Введем множество 2 к, аналитических в функций Рсг) таких, что для каждого Ь £ 4 $ = о, где Г^ - граница сектора с вершиной в точке Ь и углом *7Г < г с % тт , а Р - любой полином степени усНг ^ , где ^ взято из оценки (16). Доказано, что множество состоит из достаточно большого запаса функций и справедлива

ТЕОРЕМА 12. В пространстве существуют повторные пределы

- /О и* /л ии "37 , ц ' = где (Г,*-* да е-'^ЯР, сужение функции на полуось / Х*и ^ / ^ £ > о ^« £ — -Ь ,

Расширение по линейности и замыкание отображения ( ^ £ = Р'к® ^ > - сужение на вещественную ось) совпадает с оператором ^ ^ ^ С^2 ^ * Аналогичный факт справедлив и для М С ^ г. , ^ V

Отметим, что в случае, когда и г » И3 теоремы 12 следует возможность определения обычных волновых операторов х^С^^лЛ по возмущенной полугруппе -е. без использования унитарной группы е г .

Отметим, что в случае, когда » из теоремы 12 следует возможность определения обычных волновых операторов vj^C^IjUa^ по возмущенной полугруппе е Т г без использова

-i-fcU-i ния унитарной группы е

Формулировка соответствующего теореме 12 результата в кван-товополевой ситуации связана с довольно громоздкими построениями и доказательством ряда вспомогательных утверждений. Изложим его в несколько упрощенной форме. Заменим пространство пространством , построенным по последовательности функций Швингера - ¡^59, 65^ , отвечающих заданному полю А (ЬО.

В силу теоремы реконструкции Остервальдера - Шрадера q можно отождествить с пространством -^jl ; обозначим через ТА соответствующий оператор отождествления. Введем элементы и $ -t ЗТ

- аналоги функций и^.' и U ^ из теоремы 12. Справедливы следующие утверждения.

В существуют повторные пределы —=■> о ~Ь —>> ±- с^сь

Расширение по линейности и замыкание отображений совпадают с операторами от"1 w -О^ТаМ Кроме того, утверждается, что оператор рассеяния в теории Хаага - Рюэля равен оператору ТЛ"^ > где определен расширением по линейности и замыканием в Т^ф отображения Ц —.

В связи с проблемой существования нетривиальных в смысле рассеяния примеров квантованных полей представляет интерес задача рассеяния для гамильтониана Н 0 свободного поля, возмущенного комбинациями мономов Вика ^^^ ^ n,wv - cyl,,,, Эти мономы задаются в пространстве Фока нормальными произведениями v\ oneрагоров рождения и кп операторов уничтожения и имеют корректный смысл лишь как билинейные формы [23^ , которые, вообще гово-рЯ;сингулярны. Обычно изучение указанной задачи проводится с помощью теории перенормировок. В диссертации рассмотрено два класса возмущений

Ы и ^ Ы /V ч и , Л/-и у,^ * и о V

- 2 • V . 1л. = о методом ортогонального расширения. Показана возможность постановки и решения задачи рассеяния без превлечения теории перенормировок. Полученные утверждения качественно согласуются с известными результатами.

Пусть с\ =4^2.,. обозначает размерность переменной у функций из одночастичного пространства У . При » форма Удг сингулярна в 5" и п.а. Построение возмущенного оператора осуществляем в новом пространстве ^ = V 3" © Т1 . = у Именно, Н ^ определяем как одно из А/ ' ^ р. самосопряженных расширений симметрического оператора И гпа .

V А где Р^ - ортопроектор в ^ на НП ,а И Ц = м а м^-^Ио и® ° / (множество ^ е ¿О ( Но4) И плотно в оно состоит из последовательностей шварцеских функций , удовлетворяющих дополнительным требованиям). При Ц , Л/;>2, форма ^л/ трижды сингулярна в . Как следствие, опера

А А . тор И существенно самосопряжен на ~0 Я? , его замыкание равно И о ® ° • Если с| — 3> , индексы дефекта оператора

А .

И бесконечны. В этом случае форма 5ы удовлетворяет условию типа (15) и можно вводить волновые операторы, аналогичные (II). ч

ТЕОРЕМА 13. При А-Ъ , 2 для каждой пары Нс И^ существуют и изометричны волновые операторы №—( )

Для возмущений »которые в отличие от У/у не А ограничены снизу, новое пространство вводится сложнее: У = - @ Т1 ,где скалярное произведение задано в оператором , а в 71 комбинациями форм У1> 1 , 1-2у. ,

Л/-1 и УЛ/'°,У°/Л/ . При этом форма У-^". оказывается

А * ' в ^ ограниченной. В рассматриваем положительный оператор А типа И из предыдущей задачи. Если Л^?» , Л/ ^ 3 , то У.^л/, л ' » трижды сингулярна в ^ » оператор И существенно самосопряжен в ^ и его замыкание равно И 0® О # в случае М = 3 , А/ = 4

Ч и Ч* у - модель) индексы дефекта замыкания оператора п бесконечны. В этом случае справедлива

А. А

ТЕОРЕМА 14. Для каждой пары Н о > Н , где И и {г

А /у произвольное самосопряженное расширение в 5" оператора Нн- Р^ ,

-V- / А А существуют волновые операторы V/ ~ С И ¿^ 3 К0 ) х ^ .Если д Л д

Н и^ ^ Н р ~ расширению по Фридрих су оператора Н + Р» » то

V/ — ~ . л

Подчеркнем, что К р есть в точности оператор, ассоциированл ный в ¥ с формой ( Но' >' ^ -у- ^: ^ ; ^' * Поэтому равенство \л/— ^~~ означает тривиальность ^ \ -модели в данном

А Л " подходе. Однако для Нр волновые операторы будут, вообще говоря, различными.

В заключение отметим, что при Ы-Л (линейное по свободному полю возмущение) и при л/=2. (квадратичное возмущение) операторы

Л А II

И в У существенно самосопряжены и их замыкания равны п0® о , что ведет к тривиальности рассеяния. В случае /V ^ 3> , <к = Л

А А РСч^ - модель) оператор И^^ , ассоциированный в ЯГ с формой Сн0 У.^лл в подпространстве ^ не совпадает с Н0 » т.е. в данном случае происходит нетривиальное возмущение непрерывного спектра оператора Н0 •

Сформулируем кратко результаты, выносящиеся на защиту.

1. Определение волновых операторов и развитие абстрактной теории рассеяния в терминах билинейных функционалов.

2. Доказательство включения обычной теории рассеяния в теорию рассеяния на языке билинейных функционалов.

3. Описание общей структуры билинейного функционала, отвечающего возмущенной системе.

4. Построение спектральных разложений для билинейных функционалов - аналогов спектральных разложений для самосопряженных операторов.

5. Введение понятия сингулярной билинейной формы. Классификация сингулярных возмущений самосопряженных операторов.

6. Развитие метода ортогонального расширения для построения возмущенного билинейного функционала.

7. Постановка задачи рассеяния на языке возмущенной полугруппы.

8. Доказательство включения теории рассеяния Хаага - Рюэля в схему теории рассеяния в терминах билинейных функционалов.

9. Формулировка задачи рассеяния в рамках эвклидового подхода на языке функций Швингера.

10. Доказательство существования волновых операторов при возмущении гамильтониана свободного поля различными комбинациями сингулярных мономов Вика.

Выражаю глубокую признательность и благодарность Юрию Макаровичу Березанскому, всем сотрудникам отдела математического анализа и участникам семинаров, которыми руководит Ю.М.Березанский, в особенности М.Л.Горбачуку,Л.П.Нижнику и Ю.Г.Кондратьеву за стимулирующие дискуссии и обсуждения, за создание подлинно творческой обстановки для научной работы.

1. Арефьева И.Я. Перенормированная теория рассеяния для модели Ли.- Теор.матем.физика, 1972, т.12, № 13, с.331-349.

2. Арефьева И.Я. Перенормированная теория рассеяния для модели Юкавы. 1„Построение одевающих операторов. П.Волновые операторы.- Теор.матем.физика, 1973, т.14, № I, с.З-17; т.15, № 2, с.207-220.

3. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966.

4. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. К.: Наукова думка, 1965.

5. Березанский Ю.М. Самосопряженные операторы в пространствах функций бесконечного числа переменных.- К.: Наукова думка,1978.

6. Березанский Ю.М. Билинейные формы и гильбертовы оснащения. -В кн.: Спектральный анализ дифференциальных операторов. К.: Изд-во Института математики АН УССР, 1965, с.83-106.

7. Березин Ш.А., Фаддеев Л.Д. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом. Докл.АН СССР, 1961, т.137, № 5, с.ЮП-1014.

8. Березин Ф.А. 0 модели Ли. Матем.сборник, 1963, т.60, № 4, с.423-446.

9. Белопольский А.Л., Бирман М.Ш. Существование волновых операторов в теории рассеяния для пары пространств.- Изв.АН СССР, сер.матем., 1968, т.32, № 5, с.1162-1175.

10. Бирман М.Ш. К теории самосопряженных расширений положительно определенных операторов.- Матем. сборник, 1956, т.38, № 4, с.431-450.

11. Бирман М.Ш. 0 спектре сингулярных граничных задач.- Матем. сборник, 1961, т.55, № 2, с.125-174.

12. Бирман М.Ш. Локальный признак существования волновых операторов.- Изв.АН СССР, 1968, т.32, № 4, с.914-942.

13. Бирман М.Ш. Признак существования полных волновых операторов в теории рассеяния для пары пространств. Проблемы матем. физики.- Л.: Изд-во ЛГУ, 1970, № 4, с.22-26.

14. Бирман М.Ш. Задача рассеяния для дифференциальных операторов при возмущении пространства. Изв.АН СССР, 1971, т.35, № 2, с.440-455.

15. Бирман М.Ш., Крейн М.Г. К теории волновых операторов и операторов рассеяния.- Докл. АН СССР, 1962, т.144, № 3, с.475 478.

16. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве.- Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.

17. Боголюбов Н.Н.,Логунов А.А.,Тодоров И.Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. М.: Наука, 1969.

18. Буслаев В.С., Матвеев В.Б. Волновые операторы для уравнения Шрёдингера с медленно убывающим потенциалом.- Теор.матем. физика, 1970, т.2, № 3, с.367-376.

19. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике.-М.: Наука, 1979.

20. Вишик М.И. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений. Труды Моск.матем.об-ва, 1952, т.1, с.187-246.

21. Гель^фанд И.М., Виленкин Н.Я. Обобщенные функции, в. 4.- М.: Физматгиз, 1961.

22. Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений меро-морфных функций.- М.: Наука, 1970.

23. ГлиммДк.,Джаффе А. Бозонные квантовополевые модели. Сб. Математика, в. 6, Конструктивная теория поля.- М.: Мир, 1977, с.99-168.

24. Дан^форд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы, часть П. М.: Мир, 1966.

25. Дирак П. Принципы квантовой механики. М.: Наука, 1979.

26. Евграфов М.А. Аналитические функции.- М.: Наука, 1968.

27. Йост Р. Общая теория квантованных полей. М.: Мир, 1967.

28. Като Т. Теория возмущений линейных операторов.- М.: Мир,1972.

29. Константинов А.10. Сингулярные свойства мономов Вика.- Укр. матем.журн., 1983, т.35, № 6, с.757-760.

30. Кошманенко В.Д. Об условиях тривиальности £ -оператора в теории рассеяния Хаага Рюэля. - Теор.матем.физика, 1973, т.15, № 3, с.297-306.

31. Кошманенко В.Д. 0 волновых операторах в теории рассеяния Хаага Рюэля. - Докл.АН СССР, 1974, т. 218, № 4, с.753-756.

32. Кошманенко В.Д. Об унитарности £ -оператора в теории Хаага Рюэля. - Укр.матем.журн., 1974, т. 26, № 4, с.552-557.

33. Кошманенко В.Д. Теория рассеяния в терминах билинейных функционалов.- Докл.АН СССР, 1975, т.224, № 2, с.277-280.

34. Кошманенко В.Д. Обратная задача теории рассеяния в терминах билинейных функционалов. Докл.АН СССР, 1976, т.229, № I,с. 30-32.

35. Кошманенко В.Д. Абстрактная теория рассеяния в терминах билинейных функционалов. Препринт Ин-та математики АН УССР, К., 1976, № 26. - 38 с.

36. Кошманенко В.Д. Описание ¡5 -оператора в абстрактной теории рассеяния.- Препринт Ин-та математики АН УССР, К., 1976, № 4, 30 с.

37. Кошманенко В.Д. 0 единственности обратной задачи в абстрактной теории рассеяния.- Труды всесоюзной конференции по уравн. с части. производными.- М., 1978, с.193.- 220

38. Кошманенко В.Д., Волленберг М. О структуре волновых операторов. Докл.АН СССР, 1979, т. 244, № 2, с.265-269.

39. Кошманенко В.Д. Теория рассеяния Хаага Рюэля как теория рассеяния в различных пространствах состояний. - Теор.,матем. физика, 1979, т.38, № 2, с.163-176.

40. Кошманенко В.Д. О задаче рассеяния для уравнения Шрёдингера с сингулярным возмущением.-^шси. матем. наук , 1979, т.34,р 4, с. 163.

41. Кошманенко В.Д. Операторное представление для незамыкаемых квадратичных форм и задача рассеяния. Докл.АН СССР, 1979, т.245, 2, с.295-298.

42. Кошманенко В.Д. О постановке задачи рассеяния с сингулярным возмущением в оснащенных пространствах. В кн.: Операторы матем.физики и бесконечномерный анализ. - К.: Изд-во Ин-та математики АН УССР, 1979, с.58-72.

43. Кошманенко В.Д. О структуре общего решения обратной задачи рассеяния в абстрактной постановке. Укр.матем.журн., 1980, т.32, № 4, с.599-506.

44. Кошманенко В.Д. Спектральные разложения в задаче рассеяния с сингулярным возмущением.- Докл.АН СССР, 1980, т.252, № 3, с.531-535.

45. Кошманенко В.Д. Замыкаемые расширения билинейных форм с выходом в новое пространство. Матем.заметки, 1980, т.30, № 6, с.857-864.

46. Кошманенко В.Д. Сингулярные билинейные формы и самосопряжен-ныэ расширения симметрических операторов. В кн.: Спект-ральны анализ и дифференциальные операторы. - Изд-во Ин-та математики АН УССР, К., 1980, с.37-48.

47. Кошманзнко В,Д. Обобщенная сходимость спектральных разложений.- Труды международной конференции "Обобщенные функции и их применение в матем.физике", М., 1980, с.304-308.

48. Кошманенко В.Д. Метод ортогонального расширения в задаче рассеяния квантовой теории поля. В кн.: Прямые и обратные задачи рассеяния.- К.: Изд-во Института математики АН УССР,1981, с.48-55.

49. Кошманенко В.Д. Классификация сингулярных возмущений самосопряженных операторов.- Препринт Ин-та математики АН УССР,К., 1982, 47 с.

50. Кошманенко В.Д. Волновые операторы для полугрупп и переходных функций. Докл.АН СССР, 1984, т. 276, № 2, с.277 280.

51. Кошманенко В.Д., Кондратьев Ю.Г. Задача рассеяния для операторов, ассоциированных с формами Дирихле. Докл. АН СССР, 1982, т.267, № 2, с.285-288.

52. Кошманенко В.Д., Найдхардт.Х., Волленберг М. К задаче рассеяния в теории сингулярных возмущений.- Укр.матем. ¡журн.,1984, т.36, № I,с.7 12.

53. Крейн М.Г. 0 некоторых новых исследованиях по теории возмущений самосопряженных операторов. Первая летняя матем.школа, часть I, -К.: Наукова думка, 1964, с.103-188.

54. Крейн М.Г. Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрмитовых операторов и её приложение. I.- Матем.сб.,1947, т.20 (62), с.431-495.

55. Марченко В.А. Спектральная теория операторов Штурма -Лиу-вилля.- К.: Наукова думка, 1972.

56. Матвеев В.Б., Скриганов М.М. Задача рассеяния для радиального уравнения Шрёдингера с медленно убывающим потенциалом.-Теор.матем.физика, 1972, т.10, № 2, с.238-248.

57. Минлос Р.А., Фаддеев Л.Д. О точечном взаимодействии для системы из трех частиц в квантовой механике,- Докл.АН СССР,1961, т.141, № б, с.1335-1338.

58. Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.- К.: Наукова думка, 1973.

59. Остервальдер К. Евклидовы функции Грина и обобщенные функции Вайтмана. Сб. Математика, в.б, Конструктивная теория поля.-М.: Мир, 1977, с.48-74.

60. Остервальдер К., Шрадер Р. Аксиомы для евклидовых функций Грина, П. Сб. Математика, в.12. Евклидова квантовая теория поля.- М.: Мир, 1978.

61. Павлов Б.С., Фаддеев М.Д. О рассеянии на полом резонаторе с малым отверстием.- В кн.: Исследования по линейным операторам и теории функций. ХП СЗап. научн. семин. ЛОМИ, т.126).-Л.: Наука, 1983, с.159-169.

62. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа.- М.: Наука, 1978.

63. Портенко Н.И. Диффузионные процессы с обобщенным коэффициентом переноса.- Теория вероят. и ее примен., 1979, т.24, № I, с.62 77.

64. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, т. 1,2,3. -М.: Мир, 1977, 1978, 1982.

65. Саймон Б. Модель POf)z эвклидовой квантовой теории поля. М.: Мир, 1976.

66. СаяповаМ.Р., Яфаев Д.Р. Теория рассеяния для периодических по времени потенциалов нулевого радиуса. В кн.: Спектральная теория. Волновые процессы.- Л.: Изд-во ЛГУ, 1981,с.252-266.

67. Стритер Р., Вайтман А. РСТ, спин и все такое.- М.: Наука,1966.

68. Фаддеев JI.Д. О разделении эффектов самодействия и рассеяния по теории возмущений. Докл.АН СССР, 1963, т.152, № 3,с.573-576.

69. Фаддеев Л.Д. Математические вопросы квантовой теории рассеяния трех частиц. Труды математического ин-та им,В.А.Стек-лова, 1963, т.69, с.1-121.

70. Фаддеев Л.Д. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра. Труды математического ин-та им.В.А.Стеклова, 1964, т.73, с.292-313.

71. Фаддеев Л.Д. Свойства -матрицы одномерного уравнения Шрёдингера.- Труды математического ин-та им. В.А.Стеклова, 1964, т.73, с.314-336.

72. Фридрихе К. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве. -М.: Мир, 1969.

73. Фрагела А. О возмущении полигармонического оператора потенциалами с малыми носителями.- Докл.АН СССР, 1979, т.245, № I, с.272-274.

74. Чуешов И.Д. О возмущении уравнения Шрёдингера потенциалами с малым носителем. Матем.заметки, 1976, т.20, № 5,с.675-680.

75. Шварц A.C. Элементы квантовой теории поля.- М.: Атомиздат, 1975.

76. Эйвазов Э.Х. Самосопряженность оператора Шрёдингера с сингулярным потенциалом.- Научные труды. Баку: Изд-во Азербайджанского госуниверситета, 1979, с.109-116.

77. Хепп К. Теория перенормировок. М.:Наука, 1974.

78. Яфаев Д.Р. Спектральные эффекты у границы непрерывного спектра и теория рассеяния.- Диссертация на соискание уч.степ, доктора ф.-м. наук.- Л., 1982.

79. Albeverio S., Hpfegh-Krohn R. Energy forms, Hamiltonians and distorted Brownian paths. J. Math. Phys., 1977, 18, N 5, p.907-917.

80. Albeverio S., Hjzfegh-Krohn R. Dirichlet Forms and Diffusion Processes on Rigged Hilbert Spaces. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete, 1977, 40, p.1-57.

81. Albeverio S., H^egh-Krohn R. Regular!zation of Hamiltonians and processes. J. Math. Phys., 1980, 21, N 7, p.1636-1642.

82. Baumgärtel H., Wollenberg M. Mathematical Scattering Theory. Berlin : Acad. Verlag, 1983.

83. Baumgärtel H. Zueinem Problem von M. G.Krein. Math. Nachr., 1973, ¿8, p.279-294.

84. Coester P., Haag R. Representation of States in a Field theory with Canonical Variables. Phys. Rev., 1960, 117, N 4, p. 1137-1145.

85. Paris W.G. Self-adjoint Operators. lecture Notes in Math., N 433, Berlin - Heidelberg - New York : Springer -Verlag, 1975.

86. Friedman C.N. Perturbation of the Schrodinger equation by potential with small support. J. Functional Anal., 1972, 10, N 2, p.346-360.

87. Howland J.S. Stationary scattering theory for time dependent Hamiltonians. - Math. Ann., 1974, 207. p.315-335.

88. Jauch O'.M. Theory of the scattering operator I, II. -Helv. Phys. Acta, 1958, 31, p.127-158, p.661-684.

89. Kato T., Kuroda S.T. The abstract theory of scattering. -Rocky Mountain J. Math., 1971, 1., N 1, p.127-171.

90. Kato Т. Scattering theory with two Hilbert spaces. J. Functional Anal., 1967, 1, N 3, p.342-368.

91. Kato Т., Kuroda S.T. Theory of simple scattering and eigenfun-ction expansions. Functional Analysis and Related Fields,: Berlin and New York, Springer-Verlag, 1970, p.99-131.

92. Koshmanenko V.D. On the unitarity of the S-operator in the Haag-Ruelle scattering theory. Preprint, Inst. Theor. Phys., 67E, K., 1973. - 16 p.

93. Koshmanenko V.D. Scattering theory with different state spaces of perturbed and free system. Reports of Math. Phys., 1978, 14, N 2, p.185-206.

94. Koshmanenko V.D., Ueidhardt H., Wollenberg M. On the scattering theory with unbounded identification operator. Preprint. Inst. Math., Berlin, 1983, - 37 p.

95. Koshmanenko V.D., Ueidhardt H., Wollenberg M. Singular perturbations and method of orthogonal extension. Preprint, Int. Math., Berlin, 1983, - 30 p.

96. Quelle D. On the asymptotic condition in quantum field theory* Helv. Phys. Acta, 1962, ¿5, p.147-163.

97. Simon B. A canonical decomposition for quadratic forms with applications to monotone convergence theorem. J. Functional Anal., 1978, 28, N 3, p.377-385.

98. Simon B. Quantum Mechanics for Hamiltonians Defined as Quadratic Forms. Prenceton, New Jersey: Prenceton Univ. Press, 1971.