Методы Монте-Карло с вычислением производных для решения задач теории переноса излучения с учетом поляризации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение

1. Теория дифференцирования векторных оценок

1.1. Конус вектор-функций Стокса.

1.2. Общая схема метода Монте-Карло.

1.3. Векторные оценки статистического моделирования в случае нестоксовского свободного элемента.

1.4. Треугольные системы интегральных уравнений.

1.5. Вычисление параметрических производных решения сопряженного уравнения переноса путем дифференцирования исходного уравнения.

2. Стационарные задачи

2.1. Первые производные векторных оценок по произвольным параметрам.

2.2. Прямое дифференцирование векторных оценок по коэффициентам поглощения и рассеяния.

2.3. Вычисление производных двойной локальной оценки.

2.4. Вычисление степени поляризации.

2.5. Оценки производных однократно рассеянного излучения

2.6. Сравнительный анализ метода зависимых испытаний и метода прямого дифференцирования для вычисления производных по параметрам.

2.7. Методы уменьшения дисперсии параметрических производных векторных оценок.

2.7.1. Билинейное представление параметрических производных

2.7.2. Метод рандомизации.

2.7.3. Представление коэффициентов взаимодействия в виде линейной комбинации функций специального вида . 66 2.8. Методы решения обратных задач атмосферной оптики

3. Нестационарные задачи

3.1. Интегральное уравнение переноса в расширенном фазовом пространстве

3.2. Весовая оценка, связанная с сопряженным решением.

3.3. Оценка временной асимптотики.

4. Численные результаты

4.1. Исследование производных двойной локальной оценки

4.2. Использование приемов уменыцения дисперсии оценок производных

4.3. Определение высотного хода коэффициента аэрозольного рассеяния

4.4. Оценки временной константы в нестационарном случае

Диссертационная работа посвящена исследованию свойств поляризованного излучения и поиску методов решения обратных задач атмосферной оптики по определению коэффициентов взаимодействия с активной (рассеивающей и поглощающей) средой. Описываемые здесь задачи имеют следующий вид. Рассматривается некоторая область G С R3 трехмерного эвклидова пространства, заполненная рассеивающей и поглощающей средой (атмосфера планеты), на которую падает частично поляризованное квазимонохроматическое излучение.

Физическое описание распространения излучения в атмосферах планет, изложенное в работах [6, 21, 25], предоставляет нам удобный инструмент для исследования процесса переноса поляризованного излучения. Этим инструментом являются вектор-функции Стокса, характеризующие свойства излучения в каждой конкретной точке, и интегральное уравнение переноса с обобщенным ядром, описывающее сам процесс переноса.

Интенсивность и состояние поляризации излучения полностью определяются четырехкомпонентной вектор-функцией Стокса /(г, со), компоненты которой имеют размерность интенсивности и определяют в совокупности интенсивность, степень поляризации, плоскость поляризации и степень эллиптичности излучения. Процесс переноса излучения в этом случае может быть описан некоторым интегральным уравнением второго рода (см., например, [8, 12, 18, 19]), оператор которого, в силу физических особенностей задачи, оставляет инвариантным множество вектор-функций Стокса. Исследованию свойств подобных операторов посвящены, например, работы [5, 11].

Рассматриваемая математическая модель позволяет ставить достаточно большое множество практически интересных задач, для решения которых может быть эффективно применен метод Монте-Карло. Традиционный способ его использования заключается в следующем [8, 16, 18, 22]. Рассматривается некоторый линейный функционал X от решения уравнения переноса, для него строится стандартная весовая оценка статистического моделирования математическое ожидание которой и дает нам искомое значение функционала.

Конкретный вид функционала X, разумеется, зависит от поставленной задачи. Так, для определения характеристик поляризованного излучения "в точке" используются локальные оценки [12, 19]. Обладая же возможностью вычисления характеристик излучения можно решать задачи определения параметров рассеивающей среды по некоторым заданным результатам наблюдений. В этом случае наиболее универсальным инструментом является итерационный процесс Ньютона-Канторовича (см. [1, 2, 8, 12]).

Здесь уместно упомянуть некоторые особенности рассматриваемого подхода. Для успешного использования метода Монте-Карло к вычислению линейного функционала X необходимо на интегральный оператор, описывающий перенос излучения, наложить некоторые ограничения, обеспечиавющие существование математического ожидания оценки ее несмещенность и конечность дисперсии. В общем случае эти условия оказываются достаточно жесткими, однако специфика рассматриваемых задач позволяет существенно их ослабить [24, 32].

Однако, даже если дисперсия оценки £ конечна, она может оказаться настолько большой, что полученный алгоритм будет практически неприменимым. В этом случае приходится применять некоторые приемы уменьшения дисперсии оценок метода Монте-Карло (см. [13, 14, 16]).

Рассмотрение обратных задач и применительно к ним итерационного процесса Ньютона-Канторовича приводит к необходимости получения оценок параметрических производных соответствующих линейных функционалов. В этом случае целесообразным представляется использовать уже имеющиеся стандартные оценки £ и путем несложных рассуждений свести задачу к вычислению параметрических производных этих оценок. В этом случае опять возникает необходимость рассмотрения условий несмещенности и конечности дисперсии полученных оценок производных. Однако, как показали исследования, результаты которых приведены в диссертационной работе, условия несмещенности и конечности дисперсии оценок налагаемые на интегральный оператор, практически совпадают с условиями, обеспечивающими несмещенность и конечность дисперсии оценки £ (см., например, [24, 30]).

Отметим, что использование итерационного процесса Ньютона- Канторовича обладает, помимо всего прочего, еще одной особенностью. А именно, его применение сопряжено с обращением матриц, элементы которых рассчитываются с использованием реализаций оценок производных При этом обращаемые матрицы, как правило, являются жесткими. В этом случае на первый план выступает вопрос уменьшения дисперсии оценок производных, которому посвящены работы [26, 31, 32].

Далее следует краткое содержание диссертации по главам.

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертационной работы.

1. Получены ослабленные условия несмещенности и конечности дисперсии весовых оценок метода Монте-Карло в случае нестоксовского свободного элемента;

2. Получены условия несмещенности и конечности дисперсии производных весовых оценок по скалярным параметрам, входящим в матричное ядро уравнения переноса;

3. Построены производные оценок "по поглощениям" и "по рассеяниям" с учетом поляризации по сечениям поглощения, рассеяния и аэрозольного рассеяния в однородной атмосфере и атмосфере, разбитой на конечное число слоев;

4. Предложены способы уменьшения дисперсии производных весовых оценок, основанные на методе рандомизации и билинейном представлении оцениваемых функционалов;

5. Исследована применимость полученных алгоритмов к решению задачи восстановления высотного хода коэффициента аэрозольного рассеяния по результатам наблюдений с Земли;

6. Осуществлена численная реализация полученных алгоритмов с использованием модифицированной двойной локальной оценки для сферической атмосферы;

7. Проведено численное исследование временной асимптотики интенсивности излучения для уравнения переноса с учетом поляризации в расширенном фазовом пространстве.

1. В. С. Антюфеев, М. А. Назаралиев Обратные задачи атмосферной оптики (постановки, алгоритмы, результаты) Новосибирск, 1988

2. Ю. В. Булавский Метод рандомизации интегрального оператора для решения уравнений второго рода. // Докл. АН СССР, 1985, т. 283, № 4, стр. 797-800

3. B. В. Воеводин, Ю. А. Кузнецов Матрицы и вычисления. М., Наука; 1984

4. Т. А. Гермогенова, Н. В. Коновалов Спектр характеристического уравнения с учетом поляризации. ИПМ АН СССР, Препринт № 62, М., 1978

5. Д. Дейрменджан Рассеяние электромагнитного излучения сферическими полидисперсными частицами. М., Мир; 1971

6. Б. Дэвисон Теория переноса нейтронов. М., Атомиздат; I960

7. C. М. Ермаков, Г. А. Михайлов Статистическое моделирование. М., Наука; 1982

8. М. А. Красносельский, Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко и др. Приближенное решение операторных уравнений. М., Наука; 1969

9. С. Г. Крейн, ред. Функциональный анализ. М., Наука; 1972

10. М. Г. Кузьмина Общие функциональные свойства уравнения переноса поляризованного излучения К Докл. АН СССР, 1978, т. 238, № 2, стр. 314-317

11. Г. И. Марчук, Г. А. Михайлов, М. А. Назаралиев и др. Метод Монте-Карло в атмосферной оптике. Новосибирск; 1976

12. Г. А. Михайлов Нелинейные уравнения, связанные с оптимизацией методов методов Монте-Карло для решения интегральных уравнений 2-го рода. // Доклады РАН, 2000, т. 252, № 4, стр. 792-796

13. Г. А. Михайлов Исследование и уменьшение дисперсии весовых векторных алгоритмов метода Монте-Карло // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1985, т. 25, № 11, стр. 1614-1627

14. Г. А. Михайлов Векторные методы Монте-Карло для вычисления возмущений и производных по параметрам // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1987, т. 27, № 9, стр. 1311-1319

15. Г. А. Михайлов Оптимизация весовых методов Монте-Карло. М., Наука; 1987

16. Г. А. Михайлов, Г. 3. Лотова Новые методы Монте-Карло для решения нестационарных задач теории переноса излучения. // Доклады РАН, 2000, т. 372, № 4

17. Г. А. Михайлов Весовые методы Монте-Карло. Новосибирск, Изд-во СО РАН; 2000

18. М. А. Назаралиев Статистическое моделирование радиационных процессов в атмосфере. Новосибирск, Наука; 1990

19. B. В. Носач Решение задач аппроксимации с помощью персональных компьютеров. М., МИКАП; 1994

20. Г. В. Розенберг Сумерки. М., Физматгиз; 1963

21. Дж. Спанье, Э. Гельбард Метод Монте-Карло и задачи переноса нейтронов. М., Атомиздат; 1972

22. C. Уилкс Математическая статистика. М., Наука; 1967

23. С.А.Ухинов, Д. И. Юрков Оценки методов Монте-Карло для параметрических производных поляризованного излучения // Сиб. журн. вычисл. матем. 2002. - т. 5, № 1, С. 40-56

24. C. Чандрасекар Перенос лучистой энергии. М., Наука; 1953

25. Д. И. Юрков Билинейное представление параметрических производных с учетом поляризации // Тр. конф. молодых ученых. Новосибирск 2001. - С. 298-306

26. Д. И. Юрков Оценивание временных зависимостей в процессе переноса поляризованного излучения, // Тр. конф. молодых ученых. Новосибирск 2002. (в печати)

27. L. Carter, Н. G. Horak, М. Т. Sanford II An adjoint Monte Carlo treatment of the equations of radiative transfer for polarized light // J. of Сотр. Physics 1978, № 26, pp. 119-138

28. G. G. Lorentz, ed. Approximation theory: Poceedings of an International Symposium conducted by the University of Texas // New York, Acad. Press, 1973

29. S. A. Ukhinov, D. I. Yurkov Monte Carlo method of calculating the derivatives of polarized radiation // Rus. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1998. - Y. 13, № 5, pp. 425-444

30. S. A. Ukhinov, D. I. Yurkov Estimation of special parametric derivatives for transfer equation with polarization // Proc. of the 4th Int. Workshop on Simulation 2001. -pp. 481-485

31. D. I. Yurkov Randomization method in estimating the parametric derivatives with polarization II Proc. of the 2nd Int. Conference on Сотр. Math. Novosibirsk 2002. - pp. 295-299