Использование теории возмущений для повышения эффективности методов Монте-Карло тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ОРДЕНА ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ВЬНИСЛИГЖШЫЙ ЦЕНТР

На. правах рукописи СЫР1ЫЕАЕЕА ГАЙНИ АБСЕМЕТОША

УДК 519.245:519.676

ЖЛОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ДНЯ ПОВЫШЕНИЯ ЭШКТИШОСТИ МЕТОДОВ ЮНТЕ-КШЮ

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1991

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете и на ВЦ СО АН СССР

Научный руководитель

Официальные оппоненты

.Ведущая организация

член-корреспондент АН СССР Г.А.Михайлов

доктор физико-ч.1атематических наук, профессор А.М.Кольчужкин

кандидат физико-математических наук Ю.Н.Копилов

Институт математики и механики АН Каз.ССР, г. Алма-Ата

Защита состоится " 1991 г. в ча-

сов на заседании специализированного совета К 002.10.01 по присуждению ученой степени кандидата наук в Вычислительном центре СО АН СССР по адресу: 630090, Новосибирск-90, проспект академика Лаврентьева, 6.

С диссертацией мсшго ознакомиться в читальном зале Отделения ГПНТБ (проспект академика Лаврентьева, 6).

.Автореферат разослан "

¿0" С? 199/ г.

Ученый секретарь специализированного совета канд. физ.-мат. наук

Ю.И.Кузнецов

Общая характеристика работы

Актуальность теш. В последнее время интенсивно развиваются численные метода решения краевых задач для уравнений а частных производных в наиболее трудном случае трехмерного пространства. Кроме того, особой интерес представляют ваяние в теоретическом и практическом отношении краевые задачи, дкя которых стандартная оценка метода Монте-Карло не применима.

Поэтому разработка и численная реализация эффективных алгоритмов метода Монте-Карло, позволяющих решать перечисленные задачи, являются актуальными.

Цель работы. Построение несмещенной оценка метода Монте-Карло для решения задачи Дзрихле. Построение численных алгоритмов статистического моделирования дня расчета возмущений решения краевой задачи в областях, где стандартная оценка метода Монте-Карло имеет бесконечную дисперсию. Проведение методических расчетов дая подтверждения достоверности результатов. Решение практической задачи с расчетом возмущений для реакторной решетки с использованием векторного метода Монге-Каряо.

Научная новизна. Для решения краевых задач моделированием блужданий по сферам получена несмещенная оценка метода Монте-Карло с конечной дисперсией. Исследованы условия -смещенности оценок производных от решений краевых задач. Повышена эффективность . метода блуждания по сферам дая решения уравнения Гельмгольца с положительным параметром. Построен векторный алгоритм расчета возмущений в теории переноса излучений.

Практическая значимость. Разработанный в диссертации алгоритм расчета возмущений можно применять при расчетах прямоугольной решетки твеяов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на конференции молода ученых Сибири и Дальнего Востока (Новосибирск, 198?), на семинарах отдела статистического моделирования в физико БЦ СО Ж СССР.

Публикации. По тег,те диссертации опубликовано шесть работ.

Объем работы. Д^сеср-лцпэняая работа состоит-из введения, трех глав, закгаиокая сг-.пка литературы из 64 наименований.

Объем работы 104 страницы, содер:;саг;л:: г.эяанопис1шй текст, 5 рисунков и 12 жйлзд.

Содержание работы.

р.? вкяпэтгсщ дг^-тся обзор латеражуры по дзучгшш в диссер-тащш вопроса,;, ;--шэ по главам краткое содержите диссертации, приведен яйречень положений, з-нясстиай на. оачату.

Пдруап глар?. 1.о-звдцока гоетрс&ы'» «цязраяюв случайного с'„7:гд по сферам дан расчет ого возщцешй к

зг /.диодная: для краэвнх задал.

•• .1.1 приводятся ссдовнаа определенно нроцес-

олуздг.г-1Л но сферам, ого оавс-жш свойотга. Подробна олп-снеоозся гжсоб гос?роешш на лроцьссе -смещенной, оценки тал-ода ¿'лнто-Карло дня рзяакЕл краевой задачи.

В 1.2 схрогтся несмещенная оценка рекания задачи Дяряхле дет уравнения Лапласа с нулевыми граничными условиями. При этом используется .моделирование блузданий по сферам. Доказывается конечность дисперсии этой оценки.

В ограниченной области £,3 с границей I рассматри-ваэхся задача

ди №)--& ^

Необходимо оценить решение задачи в некоторой точке -£> .

Используется представление решения в виде интегрального уравнения второго рода

где

- функция Грина .дифференциального оператора задачи

для шара радиуса с центром в точке чЁ",

Дня моделирования блуадалия по сферам строится подходящая для ядра уравнения (2) цепь Маркова с переходной плотностью

здесь 1 - вероятность продолжения траектории из

точка -с. , /р - ¿г -окрестность границы Г.

Несмещенная оценка решения задачи (I) в точке имеет вид ^'

4=1

где веса ^ определяются выражениями

- А- , -Я*.,«^/!"

Здесь Л7, - случайный номер первого попадания в ' ,

цепь блуждания по сферам с плотностью начального распределения Ь0(Х) — и переходной плотностью

р Ш').

Показывается, что дисперсия оценка конечна при <^>0,942. Трудоемкость несмещенного алгоритма блулдания по сферам имеет порядок

В общем случае, еслл дана задача

с ненулевыми граничными условиями, то ее решение кцетоя з вида -г/=■2/1-^4.

где

А

, I -Л (3)

Шь=0 С4)

А задача (4) методом R, -функций сводится к задаче AU^-tfi , gfi-AK.

Тогда решение задачи (4) находится в виде И^-ЯС^где £. - it -функция.

1.3 посвящен векторным алгоритмам дая вычисления решения уравнения Гельмгольца с положительным параметром С . неудовлетворяющим условию конечности дисперсии скалярной оценки метода Монте-Карло.

Рассматривается задача Дирихле дая уравнения

А и(Ж)+-с 1С ¿UFb

гдз - ограниченная область, Г7 - граница области^ .

ИзвестноДЕлепов Б.С., Кронбэрг A.A., Михайлов Г.А., Саболъфэлъд К.К., 1980), что дая этой задачи дисперсия стандартной оценки метода Монте-Карло конечна, если диаметр области Q) не превосходит величины 1Й/ЕР W~ , т.е. при условна, что параметр

С зЗ?3-/(6)

Строится оценка решения задачи (5) с конечной дисперсией и при С > sSt^/¿¿иа~£2>)л путем использования уравнения со значением ¿Г , которое удовлетворяет условию (6) на основе векторного метода Монте-Карло для вычисления возмущений и производных (Михайлов Г.А., 1937). Решепзе задачи представляется з Bsffii ряда воymtifizsM.

и,

П—О

Возмущения удовлетворяют треугольной системе интегральных уравнений

/С У^ + Г/С и*>г2,3,...

где ¿С - штегральннй оператор с ядром

параметр С удовлетворяет условию (6), /¿^ —/I,

¡€¿-10 , ^ и Сс. соответствуют значению- параметра С , не удовлетворяющего условию (6).

Выписывается векторная оценка метода Монте-Карло

п -Г /П

где

едшшчная матрица, 6/ц, - случайные штричные веса, -

цепь блувданий по сферам с плотностью начального распределения и переходной плотностью

Г , ^^

Треугольная система интегральных уравнений для определения производных

^ ' " д. -)-

где К- - интегральней опоратор с ядром

?

Дня вычисления значений производных используется

ьекторная оценка (7) с соответствующими матричннми весами Реыение задачи оценивается рядом:

и=о

В 1.4 рассматриваются условия & -смещенности оценок производных решения уравнения Гельмгольца по параметру

Втотая глаза посвящена вычислениям возмущений в задачах теории переноса.

3 2.1 описывается обдая схема моделирования процесса переноса, определяются распределения вероятностей для элементов процесса переноса.

В 2.2 строится векторный алгоритм расчета возмущений вероятности захвата нейтронов в твелах в бесконечной реакторной решетке от источника нейтронов в замадаителе.

Возмущение системы состоит в замене одного твела на поглотитель, радиус которого меньше радиуса твела.

Моделирование ведется в исходной системе по элементу периодичности реакторной решетки - квадратной ячейке с твелом в центре, вне которого замедлитель, а результаты дая возмущенной системы определяются с помощью весов.

Возмущенная система бесконечна, не имеет элементов симметрии, следовательно, пряное моделирование с источником равномерно по замедлителю здесь невозможно.

Теорема оптической взаимности позволяет проводить сопряженное моделирование.

Сопряженные уравнения переноса соответственно в исходной и возмущенной системах записываются как

здаеь к. , N - оператора, ядра которых сопрякены к ядрам уравнения переноса в исходной ж возмущенной системах соответ-¿гже.

Используется векторный алгоритм иетода Монте-Карло.

Векторная оценка дня возмущений записывается так

^ и-о

здесь - СРС*-Ь ^ ■' V

С^ = - оставшаяся часть твела, но входящая в погло-

титель; полная площадь сечения поглотителя; - инди-

катор , Д^л*,- индикатор замедлителя, ¿Гз^^ - цепь Маркова о изотропным рассеянием, где начальная точка ^ взбирается равномерно по тволу, а переходная плотность /э эО = з?^

Матричные веса представляются в виде

о' С /7 ^

¡эСХъч/-

^ - единичная матрица, ^

/ ~

Я*) _ ^¿ау.

Вводится двумерная нумерация твелов на плоскости,

Л'^чс. 1

Через ДК обозначается Поскольку ДК внчис-

//_, )

ляется одновременно лдя всех твелов его обозначаем

через Щ. (¿^) для -го твела.

Тогда оценка. (8) для твела (ь/) записывается как

Так же выписывается оценка & метода зависимых испытаний где веса /0 /¿у) - ~ ^-Д

В 2.3 определяются оценки поля излучения для плоского слоя методом возмущений и методом зависимых испытаний.

Метод зависимых испытаний позволяет решать задачи теории переноса одновременно для нескольких систем, используя одну и ту же подходящую цепь Маркова. Такой прием особенно эффективен, если задача зависит от параметра и необходимо определить решение для различных его значений одновременно. Для решения таких задач используется "метод подобных траекторий" и найдена подходящая плотность перехода для цепи Маркова (Михайлов Г.А., 1983).

Но метод зависимых испытаний может иметь бесконечную дисперсию, в этом случае применяется метод возмущений.

Интегральное уравнение переноса, зависящее от параметра <5^:

с£ (ос/) (9)

где - плотность начальных столкновений,

- плотность столкновений частиц; [сг^х/?) - ядро уравнения переноса

Для построения оценок методом возвещений исходным считается уравнение (9) со значением параметра <3== ^^ , а возмущенным - со значениями параметра , = I, 2. Здесь удовлетворяет оптимальной плотности перехода для метода подобных траекторий.

Используется векторный метод возмущений и выписывается следующая оценка функционала У ~ (^¿О для значений параметра ■б'~ ^с

и ^

ё . Н

где 6/и-,С - (уч-<7 —~ матргпше веса,

._. р (хтк—<) сск-)

- единичная матрица, р (х^) ос^ переходная

плотность в цепи Маркова с изотропным рассеянием и начальной точкой , //(Хн.)а...,о)индикатор области ^ . '

Для метода зависимых испытаний оценка У имеет бид

Третья глава .диссертации посвящена численной реализации предложенных алгоритмов.

В 3.1 - 3.3 и 3.5 приводятся результаты численного моделирования, в которых находят подтверждение разработанные в .диссертации алгоритмы при решении методических задач.

В 3.4 описывается результаты численных расчетов в бесконечной реакторной решетке при замене твела на поглотитель. Расчеты проводятся по элементу периодичности решетки - квадратной ячейке с твелом в центре. Графически показывается зависимость возмущений вероятности захвата нейтронов в твелах в зависимости от расстояния до центра поглотителя.

В заключении сформулированы основные результаты .диссертации.

1. Получена несмещенная оценка решения задачи Дирихле для уравнения с нулевыми граничными условиями методом блуждания по сферам. Доказана конечность ее дисперсии.

2. Повышена эффективность метода блувдания по сферам .для решения уравнения Гельмгольца с положительным параметром.

3. Выявлены условия £ -смещенности оценок производных по параметру для уравнения Гелы,ггольца.

4. Проведены расчета возмущений вероятности захвата нейтронов в тгелах в бесконечной реакторной репетке при ее изменении.

5. Осуществлена численная реализация предложенных алгоритмов на примере серии модальных задач.

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю чл.-кор. АН СССР Г.А.Михайлову за постоянное внимание и руководство работой, д-ру фаз.-мат. наук К.К.Сабельфельду за полезные замечания и обсуждения результатов, С.Г.Ыусахзшу за советы при выполнении работы.

1. Сырлыбаева Г.А. Несмещенный алгоритм решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона с нулевыми граничными условиями моделированием блужданий по сферам // Тез. конф. молода ученых Сибири и Дальнего Востока. - Новосибирск, 1987. -

с. 39 - 41.

2. Сырлыбаева Г.А. Несмещенная оценка метода Монте-Карло да решения задачи Дирихле с нулевыми граничными условиями // Чиеленные методы статистического моделирования. - Новосибирск, 1987. - с. 95 - 100.

3. Сырлыбаева Г.А. Доказательство конечности дисперсии одной оценки метода. Монте-Карло для решения задачи Дирихле // Теория и приложения статистического моделирования. - Новосибирск, 1988. - с. 88 - 93.

4. Сырлыбаева Г.А. Вычисление возмущений и производных по параметру для уравнения Гельмгольца векторными методами Монте-Карло // Вычислительная математика и моделирование в физике. - Новосибирск, 1989. - с. 88 - 104.

5. Сырлыбаева Г.А. Условия -смещенности оценок производных решения уравнения Гельмгольца // Метода статистического моделирования. - Новосибирск, 1990. - с. 61 - 70.

6. Сырлыбаева Г.А. Вычисление возмущений вероятности захвата нейтронов в твелах в бесконечной реакторной решетке

методом Монте-Карло. - Новосибирск, '1990. - 29 с. (Препринт АН СССР. Сиб. отд-нке. ВЦ; й 883). /

Публикации по теме диссертации