Исследование движения систем Гельмгольца с бесконечным числом степеней свободы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Будочкина Светлана Александровна

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМ ГЕЛЬМГОЛЬЦА С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

Специальность 01.02.01 -теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2005

Работа выполнена на кафедре математического анализа факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Савчин Владимир Михаилович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Вильке Владимир Георгиевич

доктор физико-математических наук,

профессор Шестаков Александр Андреевич

Ведущая организация:

Московский государс твенныи авиационный институт (технический университет)

защита состоится

№ ШЦИЗ/ 2005 г. в 10 час. \шн. на заседании диссертационного совета К212.203.01 в Российском университете дружбы народов по адресу: 117923, г. Москва, улица Орджоникидзе. 3. ^^

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Рос пшекого университета дружбы народов (117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, б).

Ученый (скретарь 4 диссертационного совета К212.203.01. кандидат физико-математических наук, доцент

Т.К. Чехлова

jfioe-r

'serf

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В аналитической механике известны различные способы исследования непотенциальных систем с конечным чистом степеней свободы. D частности, эти вопросы рассматривались в работах В.В. Румянцева, И.С. Аржаных. B.C. Новоселова, P.M. Сантилли и др. За последние годы оформилось целое направление исследовании по так называемым системам Гельм-гольца1.

Системами Гельмгольца называются материальные системы, уравнения движения которых непосредственно или с помощью множителей представляются в форме уравнении Эклера Дагранжа или Гамильтона.

Задачи прямой и косвенной представимости уравнений движения систем с конечным и бесконечным числом степеней свободы в форме уравнении Эйлера Лагранжа ставились и решались, начиная с работ Г. Гельмгольца, Г.К. Суслова,

A. Манера, в работах А.С. Галиуллина, В.Л. Бердичевского. В.М. Филиппова.

B.М. Савчина, Ф. Мэгри. P.M. Сантилли и др.

Одной m основных задач систем Гельмгольца яачяется задача нахождения первых интегралов уравнении движения.

В связи с этим большое внимание уделяется отысканию симметрии до ди-вергеншш действии по Гамильтону, соответствующих заданным уравнениям движения, их взаимосвязи с симметриями уравнении Эйлера Лагранжа и их первыми интеграции.

Вопросы существования действия по Гамильтону тесно связаны с задачей преде тавнмости уравнений движения в виде канонических уравнений Гамильтона: при известных условиях невырожденности лагранжиана гамильтониан системы находится с помощью преобразования Лежандра. Для систем с конечным числом степеней свободы А. Пуанкаре установил взаимосвязь первых интегралов и решении канонических уравнений Гамильтона, их уравнений в вариациях и уравнении < опряженных к уравнениям в вариациях. Аналогичные вопросы д!я сиг тем с бесконечным числом степеней свободы были исследованы В.М. С'авчиным.

В классической механике, теоретической физике гамильтонов формализм служит основой для анализа многочисленных систем с конечным и бесконечным числом степенен свободы. Это отражено, в частности, в работах В.В. Козлова, В.Г. Вильке. К).Г. Павленко и др.

Многочисленные задачи с распределенными параметрами приводят к необходимости исследования движений, описываемых дифференциальными уравне-

[4.IHV linn Л ( Cm мым Iru,utо 1Ы1Л M РУДН, 19С

нпямп ( частными производными, интегро-дифференциальными уравнениями с частными производными и др. типами уравнений и систем уравнений.

Представляет значительный интерес распространить методы механики систем Гельмгольца с конечным числом степеней свободы на системы с бесконечным чшлом степеней свободы. Этому и посвяшена данная диссертация.

Объектом исследования являются материальные системы с бесконечным числом степеней свободы, движение которых описывается уравнениями со второй производной по времени.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании задачи прямон и косвенной представимости уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы в форме уравнений Эйлера-Лагранжа: в пос троении соответствующего действия по Гамильтону: в определении общей структуры уравнении движения потенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы: в нахождении первых интегралов уравнений движения: в установлении взаимосвязи решении и первых интегралов неклассических уравнении Гамильтона, их уравнении в вариациях и уравнений, сопряженных к уравнениям в вариациях.

Методы исследования. В исследованиях, проведенных в диссертационной работе, применяются методы аналитической динамики, современные методы решения обратных задач вариационного исчисления и нелинейного функционального анализа.

Научная новизна работы состоит в следующем: 1) в работе впервые1 получены необходимые и достаточные условия представимости достаточно общих уравнении движения систем с бесконечным числом степенен свободы со второй производной по времени в форме уравнений Эйлера - Лагранжа и построены соответствующие действия по Гамильтону; 2) в терминах необходимых и достаточных условии определена общая структура уравнении движения потенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы, при зтом исследована потенциально! ть как относительно классической билинеинои формы, так и Г)цшненнои формы (о сверткой; 3) в случае уравнении движения непотенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы потучены условия суще-< твованпя вариационного множителя и при выполнении некоторых условии дан конструктивный способ сто построения; 4) получено >сювие инвариантности ло дивергенции деш твня по Гамильтону ii дан общпп вид первых ннтегратои уравнении движения систем с бесконечным числом степеней свободы со второи производной по времени: 5) доказано, что генераторы симметрии до дивергенции деш твня по Гамильтону образуют алгебру Ли относ нтельно коммутатора двух генераторов: б) (формулирован принцип стационарного действия Якоби дтя систем с бесконечным числом степенен свободы: 7) установлена взаимо-

связь симметрии действия по Гамильтону с симметрнями соответствующих уравнении Эилера-Лагранжа, а также решений и первых интегралов, в общем оучае. неклассических уравнений Гамильтона, их уравнений в вариациях и уравнений, сопряженных к уравнениям в вариациях; 8) распространен метод показателей Ковалевской на случай уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы.

Теоретическая и практическая ценность работы. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании потенциальных и непотенциальных взаимодействий различной физической природы, описываемых дифференциальными, интегро-днфференшмльнымп и др. типами уравнений, а также < истемами таких уравнении. Результаты диссертации также могут использоваться при чтении спецкурсов по аналитической механике систем с бесконечным числом степеней сво-I боды.

Научные положения, выносимые на защиту:

-критерии существования действия по Гамильтону для достаточно общих уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы со второй производной по времени;

-общая структура уравнений движения потенциальных систем с бесконечным числом степенен свободы и формула для построения соответствующего действия по Гамильтону;

-условие инвариантности до дивергенции действия по Гамильтону п общин вид первых интегралов уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы со второй производной по времени;

-теоремы о взаимосвязи решений и первых интегралов, в общем случае, неклассических уравнении Гамильтона, их уравнений в вариациях и уравнении, сопряженных к уравнениям в вариациях;

-метод показатели Ковалевской для уравнений движения систем с бесконеч ньш числом степенен свободы;

-ил тостратпвные примеры: уравнение малых поперечных колебаний шарнирно закрепленного прямолинейного трубопровода, по которому течет идеальная жидкость со скоростью гЩ при от< утствип внутреннего и внешнего трения:

\ равнение, описывающее движение шарнирно-опертого но обоих концах приз-матпчес кого с тержня; уравнение Кортевега-дс Фриза.

Обоснованность научных положений. Теоретические положения и выводы диссертации сформулированы в виде теорем и строго доказаны.

Публикации. Ос новные результаты диссертации опубшкованы в работах

автора [1-10], список которых приведен в конце автореферата.

Личный вклад автора в проведенное исследование. В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично диссертантом. В совместно опубликованных работах научному руководителю В.М. Савчину принадлежат постановки задач.

Апробация полученных результатов. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:

- на научной конференции факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов (Москва, 1998г.};

- на Всероссийских научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания в Российском университете дружбы народов (Москва, 1999, 2000, 2001, 2004 гг.):

- на научном семинаре по вариационным принципам и методам в математике и естествознании в Российском университете дружбы народов (Москва, К 2005г.);

- на кафедре теоретической механики в Российском университете дружбы народов (Москва, 2005г.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 71 наименования ц изложена на 103 страницах.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

Во введении обосновываются актуальность и научная новизна темы диссертации. Сформулирована цель работы и дан краткий обзор содержания каждой главы.

Первая глава посвящена получению условий прямой и кос ценной представимости достаточно общих уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы в форме уравнений Эйлера-Лагранжа и построению соответствующего действия по Гамильтону. Кроме того, в этой главе определена достаточно общая с труктура уравнении движения потенциальных с не тем с бесконечным числом степеней свободы.

В §1.1 сочтено целесообразным изложить необходимые сведения об основах вариационного исчисления в операторной форме.

Рассматривается уравнение движения, представленное в операторном виде.

ЛГ(в) =0, нЕ D(N) QU С V,

гдр U.V лннснные нормированные пространства над полем действительных чисел R: D(.V) - область определения оператора N.

В зависимости от конкретного вида N это могут быть уравнения пли системы обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными, интегро-дифференциальных уравнений с частными производными и т.д. Используемый в диссертации операторный подход к исследованию движений различных систем позволяет избежать громоздких записей, характерных для координатного подхода.

Предположим, что на V х U определена невырожденная билинейная форма

'i

Ф{-.) = 1 < v> dt:VxlT-+R. (1.1)

¡о

Если в точке н 6 D(N) существует предел

<$Л'(н, 1>) = lim -{А> + eh) - N(u)} V/i е U, £—+0 £

то он называется вариацией Гато оператора N в точке и.

В 1Д.2 получены необходимые и достаточные условия представимости достаточно общих уравнений движения систем с бесконечным числом степенен свободы с о второй производной по времени в форме уравнений Эйлера-Лагранжа и построено соответс твующее действие по Гамильтону. Кроме того, определена общая структура уравнений движения потенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы.

Пу< ть уравнения движения системы с бесконечным числом степеней свободы представлены в операторном виде

Лг(и) = Р-ШЩ, + Р\щЩ + Q(t. и) = 0, (1.2)

г , ~ d d2

и £ D(N) С U С V. fe[t,bi,]C R; ut = Dtu = —u, =

Здесь V/ е [fo,f|],V« £ t"i операторы Р,„х : U\ -4 \\ (i = 1.2) являются линейными; Q : [fo.fi] х i'i —> \\ произвольный оператор, вообще говоря, нелинейный; D(.Y) = {« б U : «(0€ W W € [Mi], i/|,=f„ = «|г=/| = л, i'i |i=/„ = Л- «»U * € (/ = 1,4)}, Lr = C2([Mi]:tfi). V = t'l-V,

линейные нормированные пространства, Ut С V'i. Множество И' С C"i опреде-1яется внешними с вязями, наложенными на систему.

В дальнейшем для упрощения обозначений будем записывать (1.2) также в виде

N(u) = P?uuu + Р\пЩ + Qiu) = О,

считая, что операторы Р]„. 1\и и Q зависят также и от t.

Обозначим (...)* оператор, сопряженный к оператору (...): D(N'U) = {h G V : (» + cl>) £ D(N) Vt}, где s - достаточно малое число.

Теорема 1. Пусть D* = —D¡ на D(N'U). Тогда для существования действия по Гамильтону для уравнения движения (1.2) на D{N) относительно (1.1) не-обгодимо и достаточно, чтобы Vu € D(N).Vt £ [to,íi] выполнялись следующие условия на D{N'J:

Р2-Р2*=0, (1.3)

-2^ + Р^ + Р.^О, (1.4)

02Р2 дР\и ^ ГУ» п п

-р;„(-.«,) + р;„(и,; ■) - .)]• = о. (1.6)

Отметим, что (1.3) (1.6) являются критерием существования депствпи по Гамильтону для уравнений движения, определяемых N (1.2)

Используя условия (1.3)-(1.6), получены необходимые и достаточные условия представимости уравнений движения вида

Л» = «)«' -1- + С,и) = 0 (( = Гй) (1.7)

в форме уравнении Эйлера Лагранжа.

Теорема 2. Если Б* — на 0(1%). то условия (1.3)-(1.6) выполняются тогда и только тогда, когда

Оу*

Рг = -3£2 Р\и = - -

Операторы "В мо<>ут быть найдены по формулам

(. 1

Ф(Ж,(«).«,) = 11 <-Р1й(А)(«-»о),~> <Ш*. (о О «1 1

(о о

/дР ^ п

< СЦЩХ)) + - "о) - - «о).« ~ «о > «/А,

и

яЛг м(А) = но+А(и-«о); «о — фиксированный элемент из О(Л'), при этом действие по Гамильтону имеет вид

д%2

= f

< %2nhu, > + < %(и) - > +В[н]

dt + Гл[и0].

h

Таким образом, вариационная задача, к которой приводит принцип Гамильтона, формулируется так: из всех функций и € D(N) определить такую, которая сообщает стационарное значение функционалу действия F,v["]-

"Истинный" путь здесь определяется искомой функцией и. а "окольный"' -функцией и + г h. причем h £ D(N'U).

В §1.3 получили развитие методы построения действий по Гамильтону, не принадлежащих эйлерову классу функционалов, и эквивалентных уравнений, допускающих представление в форме уравнений Эйлера- Лагранжа. Дается конструктивный прием построения вариационного множителя для заданного уравнения движения (1.2).

Теорема 3. Пусть:

1) для щншнения (1.2) не выполняется критерий существования действия по Гамильтону на D{N) относительно билинейной формы (LI).

2) операторы P-iu,Q/u.P2U(utt;-),P'lu(ut; ) .являются кососимметрическими, Piu

- симметрии? (ким на D{N'U);

.У) P„D, = D,P„ (i = 1.2} на D(N'H).

i

Тогда формула Mv(t) = fv(r)dr определяет вариационный множитель для

io

уравнения движения (1.2).

Во второй главе рассмотрено применение групп преобразовании для отыскания первых интегралов уравнений движения систем с бесконечным чистом степеней свободы со второй производной по времени. Кроме того, сформулирован принцип стационарного действия Якоби для систем с бесконечным числом ( теиенеи свободы. В случае абсолютной инвариантное ти действия по Гамильтону установлена взаимосвязь вариационных симметрии с симметрнями соответс твующего уравнения движения.

В *{2.1 получено условие инвариантности до дивергенции действия по Гамильтону и дан общий вид первых интегралов уравнении движения систем с бесконечным числом степеней свободы со второй производной по времени.

s

Для действия по Гамильтону вида

= j{< щ > + < %(и) - f, щ > +В[и]} dt + (2.1)

h

вводится однопараметрическая группа преобразований

„ Г t = t + £tp(t,u). X H(ï) = u(t) + e4>{t,u),

где у. t/' - некоторые операторы, определенные на [fg.ii] х W.

С помощью этого преобразования заданной функции u(t) ставится в соответствие функция ïï(f,£) по правилу

Ti = u + £S(tt), (2.2)

где 5(н) = ii'(t, и) - uiKp(t,u).

Определение 1. Действие по Гамильтону (2.1) называется абсолютным инвариантом относительно преобразования (2.2), если

F£'[h + sS(n}\ = Fl/lv] + r(u,c'S(«)), Vw € W, VT, :f„<7i <th

причем lini^o riIi^Mi = 0.

Определение 2. Преобразование (2.2) называется симметрией до дивергенции действия по Гамильтону (2.1) на W, если существует функционал / такой, что

Г,

F,()[» + ,-5(«)] = Fl^[u] + cj Dtf\u]dt + r(u.cS(tt)) к

Vu 6 W, VTÏ : tQ < T, < tx.

причем lim£->u= 0.

Оператор S называете я генератором симметрии.

Теорема 4. Преобразование (2.2) - симметрия до дишр.:енцт (!' Иткчия (2.1) тогда и только тогда, когда

am

< N{«).S(tt) > +D, < № + 3Ç)u, + ЗД - -^u,S(») > -D,/[u] = 0

Vu G W, tQ<t< t{.

Теорема 5. Если преобразование (2.2) - симметрия до дивергенции {2.1) на И", то выражение

1[и) =< (% + + %(и) - %) > -/[«]

определяет первый интеграл уравнения движения (1.2).

В ¡¡2.2 установлена связь генераторов симметрии до дивергенции действия по Гамильтону с алгебраическими структурами.

Теорема 6. Если и Б? - генераторы двух симметрии до дивергенции действия по Гамильтону (2.1) на И7, то коммутатор ^ь^гК») = («) -5зц5|(</) также является генератором симметрии до дивергенции действия (2.1) на \У.

Доказано, что генераторы симметрий до дивергенции действия по Гамильтону (2.1) образуют алгебру Ли относительно коммутатора двух генераторов.

В ^2.3 сформулирован принцип стационарного действия Якобп для систем с бесконечным числом степеней свободы.

Предположим, что оператор является положительным и не зависит явно от t, 3{| = О. Тогда уравнение движения (1.2) примет вид

2Я2ии - дгаёЪ[и] = 0, (2.3)

а действие по Гамильтону (2.1) запишется так:

= 1\< <« > +®[«Р +

'о

Обозначим

Т{и] =< щ >, #[«) = -©[и]. Вводите я интегральный функционал

(I

4«] = 21 ^(Ь-П) < (2.4)

и,

называемый действием по Якоби.

Теорема 7. Решения уравнения (2.3), для которых Т[н] + Г[н] = Ь(сон^). являют я стационарными точками действия по Якоби (24).

В {¡2.4 изложен вопрос о взаимосвязи симметрий действия по Гамильтону и симметрии соответствующего ему уравнения движения.

Определение 3. Преобразование (2.2) называется симметрией уравнения

если для любого достаточно малого е и любого решения и этого уравнения функция и = и + tS(u) также является решением этого уравнения.

Теорема 8. Если функционал FV[u] является абсолютным инвариантом относительно преобразования (2.2), то это преобразование является также и симметрией соответствующего уравнения Эйлера Лагранжа (2.5).

В третьей главе установлена связь между первыми интегралами и решениями уравнения Гамильтона, его уравнения в вариациях и уравнения, сопряженного к уравнению в вариациях. Кроме того, распространен метод показателен Ковалевской на случаи уравнений движения систем с бесконечным числом степенен свободы.

В §3.1 изложен подход к уравнениям в вариациях неканонических уравнении Гамильтона для систем с бесконечным числом степеней свободы.

Рассмотрим уравнение движения вида

Определение 4. Уравнение (3.1) называется представимым в области О (Л") в виде уравнений Гамильтона, если существуют:

1) бпишеиная форма Ф](-. •) =< •,• >: У\ X V] К;

2) гамильтонов оператор б,, : £>(&'„) С У\ V] (матричный в с лучае системы уравнении);

3)функшюнал Я = Н[ч]. и € £>(Дг), такие, что

Щи) = 0.

(2.5)

N(u) = щ - N(u) =0, и € D{N).

(3.1)

У (и) = Gu{gradH[v]) V» £ £>(/V).

При .этом функционал Я называется гамильтонианом. Уравнение (3.1) в данном случае записывается в виде

u¡ = С„((7га</Я{«]).

(3.2)

Уравнение в вариациях для (3 2) имеет вид

h, = Gn{gradH[U])'Ji + С'„(дгш1Н[к}: h).

(3.3)

Для дальнейшего изложения используется также уравнение

Ь, = (yra(lH\u])'*Guh - \G'u{(jradH[u\. ■)]'h.

(3.4)

u

Теорема 9. Если функционал 1[и] является первым интегралом хцншненчя (3.2). то уравнение (3.1,) имеет решение h = gro(i/[ifj.

Теорема 10. Если /[[м], /2[и] первые интегралы уравнения (3.2). то

{/,./2}[«] =< gradli[v}.GugradI2[n] >

также является первым интегралом уравнения (3.2).

Теорема 11. Если при заданной функции a(x.t) функционал J(t.T) =< а,и > является первым инте.гралом уравнения (3-4), то уравнение в вариациях (3.3) пм(етп решение a(.rj).

Теорема 12. Если функционал J[t,v] =< a,v > является первым интегралом уравнения в вариациях (3.3). то уравнение (3.4) имеет решение а(л\1).

Теорема 13. EcAur(x,t) решение (3.3), av{x,t) решение (3.4), то функционал -/[с.?] =< r.v > является первым интегралом системы уравнений (3.3). (3.4).

В ¡¡3.2 распространен метод показателей Ковалевской на случаи уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы.

Теоретические результаты каждой главы проиллюстрированы конкретными примерами: уравнением колебания упругой струны в случае линейной зреди-тарности; системой уравнений, описывающей распространение длинных ваш в мелкой воде: уравнением малых поперечных колебании шарнирно закрепленного прямолинейного трубопровода, по которому течет идеальная жидкость < о скоростью v(t) при отсутствии внутреннего и внешнего трения: уравнением, описывающим движение шарнирно-опертого на обоих концах призматического стержня: уравнением Кортевега-де Фриза.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в дне -сертационнои работе: 1) необходимые и достаточные условия прямой и косвенной представимости достаточно общих уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы со второй производной по времени в форме уравнении Эйлера Лагранжа; 2) в терминах необходимых и До< таточных условии определена общая структура уравнений движения потенциальных систем с бес конечным числом степеней свободы; 3) в случае некоторых уравнении движения непотенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы дан кош труктивнын способ построения вариационного множителя: 4) дан общин вид первых интегралов уравнений движения систем с бесконечным чш лом степенен свободы со второй производной по времени: 5) доказано, что генераторы

симметрии до дивергенции действия по Гамильтону образуют atreopy Ли относительно коммутатора двух генераторов: 6) сформулирован принцип стационарного действия Якобн для систем с бесконечным числом степеней свободы: 7) установлена взаимосвязь симметрии действия по Гамильтону с симметрнями соответствующих уравнений Эйлера-Лагранжа. а также решений и первых пн-тегратов, в общем случае, неклассических уравнении Гамильтона, нх уравнении в вариациях и уравнений, сопряженных к уравнениям в вариациях; 8) распространен метод показателей Ковалевской на случай уравнений движения систем с бес конечным числом степеней свободы.

Потеме диссертации опубликованы следующие работы автора:

[1] Будочкина С. А., Савчин В. М. Структура эволюционного операторного уравнения второго порядка, допускающего прямую вариационную формулировку // Тезисы докладов XXXIV научной конференции факультета физико-математических п естественных наук. М.: РУДН. 1998. стр. 47-48.

[2] Савчин В. М.. Будочкина С. А. Условия потенциальности для одного операторного уравнения со второй производной по "времени" // Тезисы докладов

XXXV Всероссийской научной конференции по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания. М.: РУДН, 1999. стр. 17.

[3] Савчин В. М., Будочкина С. А. Операторные эволюционные вариационные уравнения // Тезисы докладов Международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям. М.: МАЙ, 1999, стр. 95-96.

[4] Савчин В. М., Будочкина С А. Симметрии вариационного принципа Д7Я звсиюцнонного операторного уравнения второго порядка по t // Труды Международной конференции ""Проблемы реализации многоуровневой системы образования. Наука в вузах.'' М.: РУДН. 1999. стр. 357-359.

[5] Савчин В. М . Будочкина С. А. Вариационные принципы для операторного уравнения со второй производной по "времени" // Тезисы докладов

XXXVI Всероссинскои научноп конференции по проблемам математики, информатики. физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дне-цип-шн. М.: РУДН. 2000. стр. 17-18.

[6] Будочкнна С. А. Операторное уравнение со второй производной по времени, допускающее прямую вариационную формулировку. Межвузовскин сборник научных трудов "Современные качественные исследования динамических систем железнодорожного транспорта". М.: РГОТУПС, 2000, стр. 17-23.

[7] Будочкпна С. А. Показатели Ковалевской для бесконечномерных систем // Тезисы докладов XXXVII Всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. М.: РУДН. 2001, стр. 6.

[8] Савчнн В. М., Будочкина С. А. О структуре вариационного уравнения эволюционного типа со второй производной по t // Дифференциальные уравнения, 2003. том -39, N 1, стр. 118-124.

[9] Будочкпна С. А. Вариационные симметрии и первые интегралы эволюционного операторного уравнения // Тезисы докладов XL Всероссийской конференции по проблемах! математики, информатики, физики и химии. М.: РУДН, 2004, стр. 21-23.

[10] Boudotchkina S. A.. Savchiu V.M. On variational principles for second ordei evolutionary équations // Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и информ., 2004, N1(12), стр. З-lö. (в печати)

ы

Будочкина Светлана Александровна, Россия Исследование движения систем Гельмгольца с бесконечным числом степеней свободы

В диссертационной работе рассматриваются вопросы представимости уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы в форме уравнений Эйлера-Лагранжа и Гамильтона. Получены необходимые н достаточные устовпя существования действий по Гамильтону для достаточно общих уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы со второй производной по времени и дана формула для их построения Определена общая < труктура уравнении движения потенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы. Дан общий вид первых интегралов уравнений движения сн-(тем с бесконечным числом степеней свободы со второй производной по времени. Установлена взаимосвязь между решениями и первыми интегралами некритических уравнений Гамильтона, их уравнений в вариациях и уравнений, с опряженных к уравнениям в вариациях. Распространен метод показателен Ко-валевскоп на случаи уравнений движения систем с бесконечным числом степенен свободы с первой производной по времени.

Boudotchkina Svetlana Alexandrovna, Russia Investigation of motion of the Helmholtz systems with infinite number of degrees of freedom

The main aim of the thesis is ail investigation of direct and indirect representations of given equations of motion in the form of Euler-Lagrange's and Hamilton's equation;,. Necessary and sufficient conditions for the existence of integral functional for a wide class of equations of motion with the second derivative with respect to time are obtained. General structure for equations of motion of potential systems with infinite number of degrees of freedom is defined. Formula for finding some first integrals of the equations of motion is given. Connection between solutions and first integrals of none ¡assical Hamilton's equations, their equations in variations and equations, adjoint to the equations in variations is established. A method of Ivo-\alcvski exponents has been extended for the given equations of motion with the fiist derivative with respect to time.

Подписано в печать 1О ^формат 60x84/16. Тираж~#^экз. Усл. печ. л. У Заказ

Типография Издательства РУДН 117923, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3

* г

i

ч

г

€.8089

РНБ Русский фонд

2006-4 5641

Обозначения и терминология Введение

1 О существовании действия по Гамильтону для уравнений дви жения систем с бесконечным числом степеней свободы с про изводной второго порядка по времени

1.1 Необходимые сведения об основах вариационного исчисления в операторной форме.

1.2 Прямой подход к вариационным формулировкам уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы

1.2.1 Критерий существования действия по Гамильтону для заданных уравнений движения.

1.2.2 Структура уравнений движения потенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы.

1.2.3 Примеры.

1.2.4 Комментарии.

1.3 Косвенные подходы к вариационным формулировкам уравнений движения непотенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы

1.3.1 Зависимость аналога условий потенциальности Гельм-гольца от выбора билинейной формы.

1.3.2 О существовании вариационного множителя для заданных уравнений движения с производной второго порядка по времени

1.3.3 Примеры.

2 Симметрии действия по Гамильтону и первые интегралы уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы

2.1 Условие инвариантности действия по Гамильтону и общий вид первого интеграла уравнения движения со второй производной по времени.

2.2 Свойства генераторов симметрий до дивергенции. GO

2.3 Закон сохранения энергии и принцип стационарного действия Якоби. G

2.4 Вариационные симметрии и симметрии уравнения движения

2.5 Примеры.

3 Свойства движений систем с бесконечным числом степеней свободы, описываемых уравнениями с производной первого порядка по времени

3.1 Уравнения движения с производными первого порядка по времени и их уравнения в вариациях.

3.2 Метод показателей Ковалевской нахождения частных решений заданных уравнений движения с производной первого порядка по времени.

3.3 Примеры.

Системы Гельмгольца являются обобщениями гамильтоновых и лагран-жевых систем и возникли в результате распространения методов гамильто-новой механики на случай механических систем при более широких предположениях относительно сил и связей, а также систем различной физической природы.

В 1886 г. Г. Гельмгольц [18] получил необходимые условия представимости обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка в форме уравнений Эйлера - Лагранжа, а Г.К. Суслов [52] и А. Майер [G2] доказали, что эти условия являются также и достаточными.

В работе P.M. Сантилли [64] изложены способы построения обобщенного лагранжиана для уравнений движения достаточно общего вида

АЛЪ (J, Щи + q,t)= 0 (ц, v = l,., п).

Изучению систем Гельмгольца с конечным числом степеней свободы посвящены работы А.С. Галиуллина [15, 16].

Вопросы представления уравнений движения механических систем в виде уравнений Эйлера-Лагранжа тесно связаны с обратными задачами вариационного исчисления, две ветви которых на протяжении длительного периода времени развивались независимо. Первая из них связана с именем Г. Гельмгольца и была направлена на решение задач классической механики. Начало второй ветви было положено В. Вольтерра и в дальнейшем составило основу теории потенциальных операторов.

В рамках современного вариационного исчисления классической обратной задачей вариационного исчисления (ОЗВИ) считается задача о построении интегрального функционала, уравнения экстремалей которого совпадают с заданными уравнениями движения.

Рассматриваемые в настоящей работе вопросы тесно связаны со следующей постановкой ОЗВИ, обобщающей ее классическую постановку.

Дано уравнение движения системы с бесконечным числом степеней свободы со второй производной по времени и краевые условия. Требуется построить действие по Гамильтону, множество стационарных точек которого совпадает с множеством решений исходной задачи.

Под задачей построения действия по Гамильтону для уравнения некоторой заданной модели в общем случае имеют в виду построение функционала, содержащего производные от неизвестной функции более низкого порядка, чем в исходном уравнении. В практическом плане это повышает устойчивость численных методов, сокращает объем вычислений (молено выбирать более короткий ряд Ритца (см. [39])).

Эта постановка ОЗВИ, в свою очередь, обобщает известную в классической механике обратную задачу Гельмгольца. Последняя состоит в том, чтобы построить функцию Лагранжа (лагранжиан) по заданным уравнениям движения, являющимся ОДУ второго порядка.

В работе В. Вольтерра [70] были найдены условия потенциальности операторов. а в дальнейшем [71] получена и формула для построения интегрального функционала. Изложение этого подхода в рамках теории потенциальных операторов имеется в монографии М.М. Вайнберга [10].

Условия потенциальности для уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы, являющихся дифференциальными уравнениями с частными производными (ДУЧП) были получены рядом исследователей. Для общего нелинейного ДУЧП второго порядка аналог условий Гельмгольца был получен И.М. Рапопортом [38]. Соответствующее обобщение на случай нелинейного ДУЧП четвертого порядка дано В.И. Заплатным [21], а для общей системы ДУЧП произвольного конечного порядка - В.Л. Бердичевским [3, 4].

В последующем Э. Тонти [67], используя подход В. Вольтерра, получил аналог условий потенциальности Гельмгольца для различных классов дифференциальных уравнений и этим установил связь между двумя ветвями исследований по классической ОЗВИ.

Общим для перечисленных работ является то, что в них исследуется потенциальность дифференциальных операторов с частными производными только относительно классической билинейной формы вида и, следовательно, полученные в них аналоги условий Гельмгольца соответствуют этому частному случаю.

В случае невыполнения условий потенциальности Гельмгольца получили развитие методы построения действий по Гамильтону, не принадлежащих эйлерову классу функционалов, и эквивалентных уравнений, допускающих представление в виде уравнений Эйлера-Лагранжа.

Например, в работе Ф. Бампи и А. Морро [57] получен аналог условий Гельмгольца для системы ДУЧП второго порядка при исследовании на потенциальность относительно билинейной формы т v,g>= J j v(x,t) ■ g(x,T — t)dxdt. о Q

М.З. Нэшд [63] и А.Д. Ляшко [28] независимо предложили обобщение операторного критерия потенциальности Вайнберга, введя симметризующий оператор В. В дальнейшем метод исследования операторов на В - потенциальность относительно локальных билинейных форм был развит в работах Ф. Мэгри [61], В.М. Савчина [41] и Э. Тонти [69].

В монографии В.М. Филиппова [54] в случае нелокальных билинейных

Г -il * форм вспомогательный оператор В строится в виде В = (N'u) С, где С - произвольный линейный симметрический оператор, определенный на

D{C) Э D(N).

Еще одним способом построения косвенных вариационных формулировок является нахождение для заданного непотенциального оператора N вспомогательного оператора Ми такого, что уравнение MuN(u) = 0 допускает представление в форме уравнения Эйлера-Лагранжа.

В случае нелокальных билинейных форм Э. Тонти [68] предложил искать вариационный множитель в виде Ми = (N'U)*C, где С ~ произвольный линейный обратимый оператор, заданный на D(C) Э R(N).

В монографии В.М. Савчина [41] найдены условия, которым должен удовлетворять вариационный интегрирующий оператор Ми. Показано также, что Ми может иметь вид обычного множителя (для системы уравнений это будет матричный множитель), для отыскания которого в случаях интегро-дифференциальных уравнений в частных производных (ИДУЧП), ДУЧП могут быть использованы соответствующие аналоги условий потенциальности Гельмгольца.

Широкое распространение и систематическое использование вариационных принципов в математике, механике, теоретической физике обусловлено рядом замечательных последствий вариационных формулировок [55]:

• в теоретических исследованиях экстремальные вариационные принципы позволяют установить существование решения исходного уравнения;

• в приложениях важной является возможность получения устойчивого приближения решения рассматриваемого уравнения так называемыми вариационными методами;

• на основе вариационных формулировок возможно получение интегралов эволюционных уравнений, в том числе законов сохранения.

В связи с этим большое внимание уделяется отысканию симметрий действия по Гамильтону, их взаимосвязи с симметриями соответствующих уравнений Эйлера - Лагранжа и их первыми интегралами.

Для функционалов из общепринятых классов Эйлера - Лагранжа связь симметрий с законами сохранения была установлена в работе Э. Нетер [31]. Хотя классическая теория симметрий была создана еще Софусом Ли, ее широкое применение началось относительно недавно. В то время как основополагающие идеи и результаты С. Ли, касающиеся групп преобразований, были впоследствии разработаны в многочисленных работах, дифференциальные уравнения остались практически позади от этого развития. Первые после работ Ли систематические попытки применить теорию Ли к механике сплошной среды были сделаны Л.В. Овсянниковым [34] и Н.Х. Ибрагимовым [22].

Интегралы уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы имеют многочисленные применения. Например, они используются для доказательства единственности классических решений ДУЧП (см. [53]). В работе П. Лакса [60] законы сохранения применены для доказательства существования волновых решений уравнения Кортевега-де Фриза.

Известно [17], что если исходное ОДУ второго порядка является уравнением Эйлера - Лагранжа для некоторого интегрального функционала, то при условии невырожденности лагранжиана можно понизить порядок уравнения, а именно, представить его в виде канонических уравнений Гамильтона. Для спетом с конечным числом степеней свободы А. Пуанкаре установил взаимосвязь первых интегралов и решений канонических уравнений Гамильтона, их уравнении в вариациях и уравнении, сопряженных к уравнениям в вариациях. Аналогичные вопросы для систем с бесконечным числом степеней свободы были исследованы В.М. Савчиным [41].

В классической механике, теоретической физике гамильтонов формализм служит основой для анализа многочисленных систем с конечным и бесконечным числом степеней свободы. Это отражено, в частности, в работах В.Г. Вильке [12], B.C. Новоселова [33], Ю.Г. Павленко [36] и др.

Многочисленные задачи с распределенными параметрами приводят к необходимости обобщения изложенных выше подходов на случай систем с бесконечным числом степеней свободы, состояние которых описывается ДУЧП, НДУЧП и др. типами уравнений и систем уравнений. Этому и посвящена настоящая диссертация.

Первая глава посвящена исследованию задачи существования действий по Гамильтону для весьма общего класса уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы.

В первом параграфе данной главы сочтено целесообразным изложить основы вариационного исчисления в операторной форме.

Во втором параграфе найден аналог условий потенциальности Гельмгольца для общего эволюционного оператора со второй производной по времени. В случае, когда заданные уравнения движения систем с бесконечным числом степеней свободы допускают прямую вариационную формулировку, дается формула для построения соответствующего действия по Гамильтону. Определена общая структура уравнений движения потенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы.

Особое внимание уделено косвенным подходам к интегральным вариационным формулировкам уравнений движения непотенциальных систем. В связи с этим в третьем параграфе настоящей главы получен аналог условий В-потенциальности при рассмотрении билинейной формы со сверткой. Как и в случае классической билинейной формы, построено действие по Гамильтону и определена структура уравнений движения Б-потенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы. Изучен также вопрос о существовании вариационного множителя и дан конструктивный способ его построения.

Во второй главе рассмотрено применение групп преобразований для отыскания первых интегралов уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы со второй производной по времени.

В связи с этим в первом параграфе данной главы установлена взаимосвязь между инвариантностью до дивергенции действия по Гамильтону и первыми интегралами соответствующего уравнения Эйлера-Лагранжа.

Во втором параграфе доказано, что генераторы симметрий до дивергенции функционала образуют алгебру Ли относительно коммутатора двух генераторов.

В третьем параграфе принцип стационарного действия Якоби сформулирован для случая потенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы.

В четвертом параграфе показано, что в случае абсолютной инвариантности действия по Гамильтону симметрии функционала являются симметриями соответствующего уравнения Эйлера-Лагранжа.

Известно, что если уравнения движения допускают прямую вариационную формулировку, то в невырожденном случае с помощью преобразования Лежандра молено понизить порядок уравнений, то есть свести их к системе уравнений Гамильтона. Этот подход обобщен на случай уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы. В связи с этим третья глава диссертации посвящена исследованию уравнений движения с первой производной по времени.

В первом параграфе установлена взаимосвязь между решениями и первыми интегралами, в общем случае, неклассических уравнений Гамильтона, их уравнений в вариациях и уравнений, сопряженных к уравнениям в вариациях. Кроме того, во втором параграфе разработан метод, позволяющий находить частные решения уравнений первого порядка, что является распространением метода показателей Ковалевской (см. монографию В.В. Козлова [24]) на случай систем с бесконечным числом степеней свободы.

Следует отметить, что операторные подходы к различным вопросам, изложенным и получившим развитие в настоящей диссертации, позволили разработать единый подход к исследованию разнообразных типов уравнений движения, а также их систем.

Заключение

В данной диссертационной работе впервые получены следующие результаты:

• получены необходимые и достаточные условия представимости достаточно общих уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы со второй производной по времени в форме уравнений Эйлера-Лагранжа и построены соответствующие действия по Гамильтону;

• в терминах необходимых и достаточных условий определена общая структура уравнений движения потенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы, при этом исследуется потенциальность как относительно классической билинейной формы, так и билинейной формы со сверткой;

• в случае уравнений движения непотенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы получены условия существования вариационного множителя и дан конструктивный способ его построения;

• получено условие инвариантности до дивергенции действия по Гамильтону и дан общий вид первых интегралов уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы со второй производной по времени;

• доказано, что генераторы симметрий до дивергенции действия по Гамильтону образуют алгебру Ли относительно коммутатора двух генераторов;

• принцип стационарного действия Якоби сформулирован для случая систем с бесконечным числом степеней свободы;

• установлена взаимосвязь симметрий действия по Гамильтону с симме-триями соответствующих уравнений Эйлера-Лагранжа, а также решений и первых интегралов, в общем случае, неклассических уравнений Гамильтона, их уравнений в вариациях и уравнений, сопряженных к уравнениям в вариациях;

• распространен метод показателей Ковалевской на случай уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы.

1. Наука, 1986. ГАЛИУЛЛИН ГАЛИУЛЛИН А. А. О структурах физических систем Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и информ., N1, 1995, стр. 3-8. ГАЛИУЛЛИН А. Аналитическая динамика. М.: РУДН, 1998. физическом значении принципа наименьшего действия. Сб. Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз, 1959, стр. 430-459. ГЕЛЬМГОЛЬЦ Г ГЕЛЬФАНД И М ФОМИН [19] В. Вариационное исчисление. М.: Наука, 1961. [20] ГОЛДСТЕЙН Г. [21] Классическая механика. М.: Гостехиздат, 1

2. Экстремальные свойства двшкения некоторых механических систем с конечным числом степеней свободы и континуальных систем: Дис. канд. физ.-мат. наук. Киев: Киевский политехнический ин-т, 1980. ЗАИЛАТНЫЙ В И [22] X. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. ИБРАГИМОВ Н. 98

3. Legons sur les Fonctions de Lignes. Gautier Villars, Faris, 103